Сходимость рядов Фурье и интерполяционных процессов Лагранжа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.Н.Г.ЧЕРНШЕВСКСГО

На правах рукописи

Новиков Владимир Васильевич

СХОДШЯЬ'.ЕВДОВ- ФУРЬЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЯА

OI.DI.OI- матвматиавский анализ

Автореферат

Дйсйертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наун

Саратов 1993

Рабата шюдаеча на кафедре теории функций и приближений Саратовского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.Н.Г.Черншевского.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор A.A.Привалов

Оф:;ииальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор З.А.Баскаков,

кандидат физико-математических наук доцент А.В.Трынин

Еедучак организация . • - Днепропетровский государственный

университет

Зглцгаа состоится " % " ig93 Г. в ^"^час.

на заседании Специализлрованного совета К 063.74.04 по присуждение ученой степени кандидата физико-катематических наук по спе-циЕЛьнбсги 0I.CI.0I - математический анализ при Саратовском государственном университете км.Н.Г.Черкьпзевского по адресу 4I007I Саратов, ул. Астраханская, 63, -Саратовский госукиверситет, механико-ьатематичзский факультет.

С диссертацией mosho ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского университета.

Автореферат разослан " " ^-г'^^Л:. 1993 г.

. ¿сеный секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук -доцент

И.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуа Центральное место з зяассическом гармоническом

анализе и теория интерполирования функций занимает-восходящая к Б.Риману задача об описании класса функций,. прэдстазимьгх тригонометрическими ряд ал:;*, а такяе, родственная ей задача представления функций интерполяционными полиномами,. 3 такой общей постановке эта проблема оказалась очень трудно Я, noaToi.iy самостоятельный интерес представляют далее отдельные еэ аспекты.. В частности, актуальной задачей является изучение условий'равномерной и поточечной сходимости рядов Фурье к интерполяционных процессов -Лаграняса. Особуа актуальность этой гадата придает.еще и тот факт, что благодаря простоте конструкция и легкостиреализации на ЭВМ,. полиномы Лагранжа и частичные суМ.'.У ряда Фурье находят широкое применение при решении разнообразна. прикладных- задач,- В связи с этим,- проблема сходимости рядов Фурье и интерполяционных процессов.Лаграняа-исследовалась мно-ftfttti авторами. благодаря фундаментальным работам Г.Фабера, С.Н.Еерн-атеяна» .З.Марйинкевича, Г.Грзнвальда, П.Эрдеяа,. Р.Салема, З.й.Крыле за». А.А.Привалова, П.Неваи, П.Вертепи и других математиков, отве-на многие вопросы достигли высокой степени заверсенности, В част-кйСйц был найден ряд достаточных условий,, сбеспепивалчпх раено-ер-нуй или поточйчнуа. сходимость рядов <5урае или интерполяционных провесов,, а таняз установлены критерия их равно мерной сходимости, что тайволилб получить описание класса XJ функций с равномерно схо-Ийгимйя *£йтскс5*0трйчзскик рядом Зурье ..:' класса. фулкцпй, для íaTsptóí равномерно сходится интерполяционная '-процесс Лагрсяжа по

узлам. Е то же -время,, на было получено полного ст-■Síft ка запрос о -соотношении меяду классами я ХГ »а такзее различная? ж подклассами,.не была карела характеристика з ККяийах категории пересечения множеств 5 и XJ • Кроме того, ин-ерэс. получение необходимых и достаточных условий 5лЗДиЧоет;? внтерпояяцйонного процесса в точке» которые использована Си ifr^Kpííarr.s о' функции в минимальном числа уг-.оз.

¡ШсвфЯВ&ййЯаА работа посвящена изучении указанного круга ВОП-^ОШ«

•.ШКйЗгййг* 4í0 класс "дет ^ О функций, удовлзтзоряюакх уело— Зйл? itpxá'sssa- А.А,Привалова равномерной сходимости -интерполяш—

онного процесса не содержится в классе X! ., и, следовательно, класс 5 тагае не содержится в классе и

2. Охарактеризовать в терминах бзровской категории множество функций В П XI для которых-равномерно сходится как рад 5урье, так и интерполяционный-процесс.

3. Показать, что класс непрерывных периодических функций ограниченной гармонической варивши уже, чек класс р^!.

4. Найти условия на функцию из .класса," •обеспечивавшие равномерную сходимость ее ряда Фурье й использующие значения функции на некоторой сетке узлов.

5. Получить необходимые и.достаточные -условия -сходимости в точке интерполяционного процесса'Лагранжа и показать гс-: неулучшаемость. Об -^я м^тог.пкгл исследований. При выводе и обосновании полученных

в диссертационной рабств результатов применяются методы и результаты теории функций действительного переменного, теории интерполирования и функционального анализа.

Научная норкрня. Б диссертационной работе приведены новые результата теории рядов 1урье и теории.интерполирования функций Доказано существование функции ^ б ф ряд Фурье которой расходится на -множестве Етсрэй категории. Найдена характеристика в терминах категории ккокеетза функций, для которых равномерно сходится как ряд £урьг, так и интерполяционный процесс Латраяна по равноотстоящим узла». Псхазано, что класс непрерывных Л3"~ пе-рисдич-зсхих функцай ограниченной гармонической вариации уже., "ем класс . Пслучгнь: условия, обесавчиваюцие равномерную сходимость ряда 5урье функции из класса, которые используют значения функции только на некоторой сетке узлов. Получены необходимые и достаточные условия сходимости з точке интерполяционного процесса Лагранжа а доказана яг. неулучшаемость. -

Теоретическая к практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический, характер. Результаты, полученные .в ней могут быть применены б теории прибдикения функции, в вычислительной математике, а также могут быть использованы в учебном.процессе, в специальных курсах и спецсеминарах для студентов, специализирующихся по теории функций и прикладкой математике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на У к УГСаратовских зимних школах по теории функций и приближений б г.Саратове б 1990 и 1992 гг., на Всесоюзной конференции по теории приближения функций, посвященной 70-летию со дня рождения А.Ф.Ти-мана в г.Днепропетровске, 1991 г., на Всесоюзной конференции по ?ео-

4

рии приближений и дифференциальным уравнениям в г.Еороне*е,1991 на Международной'Конференции, Посвященной памяти академика З.й.Кравчука ;В гЛ\иеве, 1992 г.. В цепом работа докладывалась на научно-ис-следо"а??:."ьском семинаре по теории функций и приближений Саратовского университета, под руководством доктора физико-математических науя пх;о:?-.:;еорг Л.Л.Привалова,, а такте на - объединенном научно-ис-следсвп.-зпьском семинаре кафедр вычислительной математики, катема-ткческог-.- анализа, дифференциальных уравнений и прикладной математики, еории функций и приближений Саратовского госунизерситета под руководством доктора физико-математических наук профессора Н.П.Купцова (1992 г.!. ' . ■ ■

Губл>:::ятд1. По теме диссертации опубликовано \ статьи, список которых праведен в - конце. автореферата.

Си объем работа.1 Диссертационная работа сбъег.ом 67 страниц гжшга-.опксиого текста состоит из введения, .списка обозначений и сг.рэхс-^ений, двух глав и списка литературы, содержащего 25 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРГАЦИОННОл РАБОТЫ

Пусть - пространство, непрерывных 23- периодических- лей-

стгителыь$х функций с нормой Итах-(\-§: 16 Щ}. Обозначим «ерез Я совокупность непрерыяных, неубывающих подуаддитивкьк Функций' Ш таких, что СО{ и) * О , через 5"?, множество функция си & -О. для которых си( — О

:■! через С(ш) - множество функция С ¿7! таких,

- .**)•} ! АДв - модуль непрерывности функции

Пусть, далее., - полином Лагранаа, 'интерполирующий

функция в узлах П.- ой строки мэгр-цы у

' , 3 - та , П, 6 « $ а. (-V >') - ^ -

АЯ.^1 - ; . ... • л

тичная сумка -ряда - Фурье функции £ 6 С^-т • Положим для

и П±'М

!Т1^х I— ~—ггг:-г—

и

П / г Гч о \ Т

)-

ш

алх { / -ирт I *—

т ■п

ЧШ.^р)

Г*'** , если 1р-тиЗ{[|]и),

Ч ¿.1- (р-ГП) .если р-Ш > 3(1

. ¿п-ср-п?) » если р-яг^-3

у знака суммы указывает ка отсутствие слагаемых (не более номерами' К • при которых знаменатель в суг-мах { обращается в нуль; через

КЗ Сдз" для которых' £/т | ) = О- Наконец,

.-змнчим через Д/ множество непрерывных . ДЗГ- периодических -::;тг.;П, ряд Оурье которых равномерно сходится, а через 5 ясс непрерывных' .25Г- периодических .функция для которых равно-эно сходится кнтерполяшокьий процесс _ Лагранка по равноотстоящим 'га.:, 5 настоящей вреия-ках класс £ , так и класс I/ изуче-

р»

Кг?

обозначим класс фун-

дэстагочко подробна. Для рядов 5урье известен

V

интегральный

"р.лер;;,": равномерной сходимости, а также критерий П.П.Кзрзвкина, сотсргге дает- полное описание класса Х7 • Наряду с критерия:.®, больаое число признаков сходимости, дающих те или иные -й&оаач ка функция, обеспечивающие равномерную сходимость1 ее ряда --.»¿е. Среди наиболее универсаза»ннх «окно указать признаки Р.Сале-И' Г:. Вертели.

Клй-зс для которых--равномерно -сходится интерполяционный

ур'песе Латраяка исследован также достаточно полно. Кал: -к для ря-хге ¿¡Фье. для ютерпстляционных процессов .Лагранка-известно .'боль-гоь число различных достаточных условий, обеспечивающих равномер-сходюгость. Кроме того в 1983 году А.А.Приваловым был получен зледуаший критерий равномерной -сходимости -интерполяционного процес-

»уда к только-тогда, когда

Этот критерий дает характзризацию множества 2 п терыэт'.а:: чений функции на некотором счетном множестве и полностью рзог*? проблему описания класса 5 .

Наряду с описанием классов;и 1Г представляет интер-* вопрос о соотношении' между этими классами л об. списании • мно«я?ст!?п 2 Л "11 ■ функций,-, для которых равномерно сходите?» ия* •

так и интерполяционный процесс Лагранжа.

Хорошо известно,, что множество £>(/17 не;пусто, и» тггг.

что оно содержит достаточно широкие классы функций, та":«». н^.пг"-мер, как класс -Дини-Липшица или класс непрерывных: .¡¡ункпий ограниченной вариации. В связи с этим, правдоподобны?.? выглядит п-сег/гс;-. -женке, что тожества и ХГ совпадают. Однако, Г.Оабер *> 1910 году построил пример непрерывной, периодической функции а равномерно сходящимся рядом Фурье- для которой интерполяционный процесс по равноотстоящим- узлам расходился на бесконечно.'.« мнсжест* точек. 3 1928 году И.Зрдеш и Г.Грюнвальд усилили этот результат, построив непрерывную функции с равномерно сходящимся рядом $урье и всюду расходящимся интерполяционным процессом. Таким образом, было- показано, что класс ХГ не содержится в классе . Однако,. вопрос о том,, не-язляется ли класс подмножестром Ц" исследован не был. Более того, не была даже найдена характеристика в- терминах бзрсзской категории множества И II з классах и- и ' снабженных подходящей нормой.

Помимо' вышеуказанного вопроса о соотношении между ялаесгяч ^ ■л 1] к об описании класса Л Ц" недостаточно полно *.<гс.:.--~ дован и вопрос 'о. сравнении этих классов с другими известными классами сункций, в частности, с классом Р„1 и классом неппе -рызных функций ограниченной гармонической.вгриади . А.А.Яривало-зым было показано,-что условие 6 оо'еспечияает раьно -

меркув сходимость к £ интерполяционного процесса £■)]■

иными словаки . Всггссс же о том, не будет ли- условие

I» . ■«■ А' " "

'1~>2-'Х гарантировать также и равномерную сходимость ряда Фурье функции, £ остался открытым.

Далее, обозначим через И мнолгство непрерывных

2Ж- • периодических функций ограниченной гармонической вариации, то есть функций " £ е С^ » Д-"^ которых

V /— 1 <,',-(-оа'... --

й.-"« П.

где верхняя грань берется по всем системам£саЯ1hljc Е-ЗГ^]

нен&легащих отрезков. Относительно этого.множества известно, что HBV0C2~<Z S П U - Поэтому возникает вопрос, в каком 'соотношении находятся классы HBV^Cnjr и

Как уже было отмечено, в настоящее время известно большое число условий, обеспечивающих равномерную сходимость ряда Фурье, Все стк условия используют значения функции во всей ее области определение. 3 то же время признак А.А.Привалова равномерной сходимости ггнтерпоякиионното процесса Лагранжа использует значения функции яптпь на счет.:ом по; множестве ее области определения - матрице уэ-ляк интерполирования. В связи с этим представляет интерес найти условие на ''ушсцию (возможно, требуя заранее принадлежность ее некоторому классу) которое обеспечивало бы равномерна,-? сходи -не ряды ¿урье ¡\ использовало бы значения функции .лиль на некоторой сетке узлов.

У указанному крут1;- вопросов примыкает еще один вопрос. Как отмечено, равномерная сходимость интерполяционно го процесса равносильна стремления :: нулю при R. -* «xs некоторых с;*!.;.:, содержа'.".;»: значения функции б JL- ой строке матриаы узлов интерполирован:::; ( R ,.(-) -:• £5 при R, -» еге )„ 5ля случая сходимости г точке необходимь/г я достаточные условия формулируется акало-ГйчНы; образом. Стс&тквается, нельзя ли наГ:ти необходима к достаточнее условия сходимости гатерполяциокного' процесса в точке

Z-g » которые использовали бы значения функции не во всех y:u:nx il - ой - строки матрицы, а лкяь в тех из них, которое р.чспзлокзна в некоторой окрестности (ха- ¿¡ЧП-) , X« * T(fli) хг.зледуемой точки. При положительном ответе на этот вопрос еле -дует в^яски.ть, насколько быстро монет стремиться к нулю последователь кость- •{' при (1.-+ ос ?

Таким образом, не были получены ответы на следующие вопросы.

1, Еыяснить, обеспечивает ли условие -С £ p^L равномерную

сходзюсть ряда Фурье функции £ (иначе говоря, имеет ли место включение Р„1. С U ), а также, выяснить верно ли

соотношение 5 с XJ

2, Охарактеризовать в терминах бэровской категории множестве S? П V функций, для которых рашомерно сходится как ряд Фурье, так и интерполяционный процесс.

В

3. Сравнить класс Р ^. с классом HBVrtCjjj- кепрерьгв:-:.»:::

Z3T- периодических &ткпий .ограниченной 'гармонической ва риации,

4. Найти условия на функции из класса, обеспечивающие равномерную сходимость ее ряда Фурье к использугхцие значена

на некоторой сетке узлов.

5. Подучить необходимые и достаточнее условия сходимости в r:~.:<z интерполяционного процесса Лаграняа и показать е;

мость.

. В диссертационной работе дазтся ответы на выгеукайаглгш алькые вопросы.

р* —

В первой -главе проведено соавчекие классов I и и,

яг и HBVnc,г , получек дискретный критерий сходимости ряда 5урье на классе, найдена категория множества 5ЛL' в пространствах ^ и Первый параграф носит вспомога-

тельный характер: здесь доказывается вспомогательные утвзретзнкя, необходимые для дальнейшего. В параграфе 2 доказывается

ТЕОРЕМ 2Л. Существует функция £ <s такая, что ее ряд

Фурье неограниченно расходится на некотором шскесгвз _Е ^ j второй категории.

Таким образом, даае класс Р^ не содержится б TJ , тс« более это верно для класса5-

Теормга 2.1 дает полный отнзт на первый из вышеперечисленны::

ЕОПрОСОВ.

Параграф 3 содержит годный ответ на вопрос о характеристике з терминах бэпозекой категории множества S П U ' « постаг-ленны" Гий..Ул5ЯЗоаьгм з 1932 гсду на б-ой Саратовской 32п-:ней сходе га теоркг: функций к пркбяикений.

Пусть в множествах ц" з ^ введены кормы

r£iu * sup 1 и e su?]

состЕзтсгвенно.

ТБВРЗ» З.Г. &эжесг» & П U имеет первуи категория квк 2 пространстве 3 » гак и в пространстве U.

В четвертом параграфе показано, что класс Н BV Л непрерывных Д,^- периодических функций ограниченной гармони -

п

р*

ческой вариации является собственным подмножеством класса

Это утверждение дает полный ответ на третий вопрос.

В параграфе 5 приводится критерий равномерной сходности ряда Фурье функции из класса, использующий значения функции на счет -ноу подмножестве ее области определения.

Пусть 1б Сдзг, {^(а)}^, " возрастая по-

следовательность натуральных.чисел, ГП(П.) —

, * 2.Тк/т(г-} , о/тса), Л (г у) - те х Ли П. .

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть-Си&'51\.Й.< и номера {^(П.)}. ;/дов летвотзяпг условия

= О.

г! ■» (Ж * *

к достаточно для разномерной схсдкмости рг-за Фурье лтзбоя .функции ¿^С(сгЗ").

?сг.эвив со £ связано с тем, что если и^ь

тс вывааеюнг на' дапт ни -какой информация- о позеде-

ш частотных еуж ряда Фурье функций ^ * Разумеется,

запрос а налетай, равномерной сводимости з этой случае не возникает, так как ряд 4'урье будет сходиться по ..-признаку -Динм-Липшица. Теорема 5^1 дает достаточно полный ответ на.' четвертый вопрос. Во- второй глава рассматривается условия, необходимые и достаточные для сходимости- в точке интерполяционного'продасса Лаграя- . жа. Пусть . ¿х ■ - каоаество • невэзрасташра последовательностей

положительных чисел СЗчЮ}'^ таких, что

- /. ^ г—

' 1 ' . Пусть, далее, и

ГО :

П- ; Обозначим через р = tcs индекс, для

кеч , .-о , а через Ç(aJ) - отечест-

во индексо». , удовлетзоряшцих условие

fe"-«,* ; »ак.л <ft J)cT-5T,SJ.

Kpoue ïcrv-, будем считать, что

i/(m,ri,p) = (f(m*(iri+<)>

если iI < x (l • Для любых £ e Сд5г . A .

И • Hé: пЧ поковм ' w '

¿7

Нетрудно проверить, что если S"' -стационарная последователь-

ность. то "'слзБйе

Um M») « О

¡.-V ÙB

удет дост-.тотным, а условие

■ t »1 .".fi»

Р

^¿(Ç.r.-X.) =0

(2)

необходима для сходимости интерполяционного процесса в точке

Параграф I второй главы содеииир ответ на вопрос, насколько быстро может стремиться к нулю последовательность ^

при том, условие (I) будет достаточным, а-условие (2) необходимым для сходимости { à£aCîf3l>£ >*)} Б -

Т&СРта 2.1. Цусть eut и .-fe.CiLU") • Если последо-

вательность >Г <с ^ удовлетворяет равенству

ÙmcuCMûtl-^ о. (3>.

то условие (2) будет необходимым, а условие (I) - достаточным для того, чтобы

«. •» ее Л ' '

Заметим, что если Ш £ ^ ¡' , то равенство (4), в силу признака С.Н.Бернштейиа, зерно для всех £ 6 С (и/) равномерно по -ХЙ с: ° Поэтому вопрос об условиях поточечной сходи-

мости з терминах суш ,ЗС9) для таких функций СО'

че имеет смысла.

Во второй параграфе главы 2 доказывается неулучшаемость условия (3».

ТЕ0~Е'-1А 2.2. Условие (3) окончательно 'В том смысле, что для ьсякой функции СО £ найдутся. | £ С(с*>) ' и Д

такие, что

-Сч'п-г. I, ~ ) >0.,'

о»

е^х^с ко.

» СЖ

гзультаты второй главы даст достаточно полный ответ на пятый

г. т • —Г'

.Оельауьсь случаек выразить благодарность доктору физико-мате-наук профессору Андрея Андреевичу Привалову за поста-хевку задач и постоянное внимание к работе...

гг

.Основные результаты диссертаций опубликованы в следующих работах:

Т. Новиков В.З. О двух признаках сходимости интерполяционного процесса Лагранясв //Матем. и ее приложения. Мезпвуз. науч. сб. Саратов. 1988. С. 18-19.

2. Новиков В. В. О расходимости тригонометрических pjffiOB Зурье- .// Теория функций и приближений. Труды ТУ Сарэт. зимн. сколы.

Ч. 3. Саратов. 1990. С. 44-45.

3. Новиков Б*В. 0 расходимости рядов Фурье-Чебыпева //"атем. и ее приложения. Межвуз. науч. сб. Еып. 2. Саратов. 1931.

С. 28-30.

4. Новиков В.В. О сходимости в точке интерполяционного процесса Лагранка //Дел. в ВШИ 1.07.92. }? 32I2-B9I. Сарат. ун-т. IS9I. 16 с.

о

Заказ 5. Подписано к печати I2.0I.S3 г. Сбъем I пэч. лист. Т'-фа~ 100. Типография Издательства CI7.