Сходимость интерполяционных процессов по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

вскня 0>дейа"трудового к?аснсг. знане1тй государственнии уияе2рситет кн. в. г. чд'рньенвского

• Иа правах рукописи

Тршшн Александр Ерьевич

сходимость ннтбрполяцйоных процессов яо

собственнш оуцкцада задачи . турнл-ляувйлля ■

01.01.01 - Матецаткчесгий анализ

о

авторнеерат на соисканий ученой степени кандидата сазяко - тваатичз'сках наук

САРАТОВ 1831

Работа выполнена на кафедре. вычислительной ыатеиатпв саратовского ордена Трудового Кр«зс«ого Знаненя государственнол университета ны. Н.Г.Черншввского.

Научный руководитель - догтор фазико - ыатештяческих паут,

профессор А.А.Приватов. ^

Офяцнальвнз оппоненты - доктор физико - иатеаатичесс:« наук,

профессор В.Ф.Бабенго. кандидат физико - математических наук. В.А.Грошв.

Ведущая организация - Институт- математики и механики Урчльск

отделения АН СССР, заазгта состоится " -¡/^Г" Л^ 1992 г. в /^^ас. н

заседания Специализированного совета К 053.74.04. по присуздгни ученой степени кандидата физико-ыатеыатичесхнх наук п

я-

сдепкзльностн 01.01.01 - Математический анализ при Саратовско государственном университете ни.Н.Г.Черншевссого по адресу ■»д. 0601, Саратоа, ул. Астраханская, 83, Саратовский госуняверснтет ыгхагако - математический факультет.

С диссертацией исхно - ознакомиться з научной библиотек Саратовского госушиерситета. /

АйтореФерат разослан "¿э,^-/ г. . • Ученый секретарь • • .-.'". Слгцнаигзарованного ссЕета, кандидат ■фаэшео - математических наук, доцент , у'

■* " ■ ф^^/*^ П.ф. Недорезс

ОЕЩАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ етуальность тенк. В теории- приближений .функций одной из основных вляется проблей? сходкнссти линейных операторов, нитерполируитх ¡гакшш. Наиболее просткни то конструкции п легко реалнзуешпш к а вы, является натерло кятщонныз операторы типа Лагрэкжг-ледсв^тельяо, изучение апроксниатквнкх свойств этих операторов -дна из актуальных задач теораи приблязеная Функций. Проблема ходимости интерполяционных операторов типа Лагранга. явлззтцкхся роектораыи, посещено большое количество работ. В исследованиях Оабера, Г.Гршвальда, ИМарцннкевкча, ИЗрдага, ' П-Турсиа, .Неваг* П-Вертгт. С&Берютейпа, ечккгсльскогг.

ЛЛозвзгксго, длверзана, ЯН. Крылова, В-Я.Крапма, . .'-АТф^ят.с:^

яругах -аатвкаяок-- на - ашогве вопросы згой араДаксг си~Гг ачк полные отпгта

Вивсте с те;г' проблека скодкксстк операторов тана Лагрзяга. не З'дакгихся' проектергии, изучена пгдостаточ-яо .гяубосо.. гак '.Н. Натансон для Фужунй из класса^ига-Лпшпца доказал равиоыгряуя :хс2.',шость внутри актерзада <о.п> операторов пша лагракзз. :оетроснн!К по соестзекшы функцией регу.игрнк: задач йтурла-шув" •'ля. а такте установил, . что равясшриал . сходность эткх ягсраторов на всем отрезке в? лаеет песта. Тем не. г:енее для шератсров Лагранна-Зйтряа-литваяля ие йил получен гратеркй «вноиерной схсдииостн »иутри кг . бызи найдена другие

гряз-.гаси рагнокерно». сходшгости внутри <о,г>, к» Ессяедоаяиа

григодлость йнтерполлцйокнкн акзлогэз кктегравишх признаков т:си

к

5иец сходккости рядов ■ ©урьс в точге, пг ; дака иетрачсскля

-

характеристика иноззетвг хочек расходшляти для непргрзз '¡у^щй, ¡и 1:с:-:а:лпо; что на гаохестне непрерьзккх фушцкй нг п» пзгха. рййцосход:п:о<?ть интерполддиоикш процессов Лагранжа- Пгур '."куваляя н. кллгецчгсхих инхерполяционнюс. «ногочзйнов Лагр»

Днссертаинокаая ройэтг поевлзена кзучеипз ухгсакксго ¡с-аопросоз. цЦель р-^Согя

1. Поручить кр^гермй рэгао^ерноЯ скодииости ааугрн <0,0 грсцесс-

непргрхзкьк Фуккчнй. -- Пакта ковке достаточна условия разкешерной сходлиэстп о предессоз ьаутр,: <о,гс>. По.пучз^ниг признаки к ранее ягесстн прлзнох Г.ИНагаксона срагнихь иеаду собой, а тзпа оцгнн операторов Ла г р.: л-Етурмэ- Ллу в клдя на классах фуг:к1, з.. йссхйдооатг. яригодаостг. пнтер-оллщеннж аналогов инхеграль тнт:а сход^чгсхн рядов Сурьг в тлче^ длл проце!

Да?.-» У-арак-гартстнку кнскестга точак расходкис

крдесссг Лтрг^а со со^сгиогш^и фунхциа» задач:! игурча-Л::ув;

г. йока^ат;., .--¿го на шюгос «еирерывшк Фуикцяй ие пыгчт кг доод?еде;и&>яо-*& :г.ггср2олгдмоп2!йг цроцгосог Лаг1>а:аа-15хп>иа-Ляуз! " .ъдгссапзсйпх штсрпогздяшжк ааогогкеиоз Лзгргизз-Чгбиа оО^&г. ".ч^'.'-т 5;ссл5Дос<-игй. При визоде и обоснования шяуч&гш& ллаигдоцргадо' г--йохе зезуяьхггов крыенжтгея катодк ;; резудь 4?а ••дгСотаь'г.гльнаго пзре:кааого, теерки лаяв!

■зргви»а;1ы?.г'. спгрзтсроз, з • "ч"-' ---л гсгг^го-уг.гсхг',-

тггнщ« ¿■з-тгскЯ ¿згаеСнп- сгт;т.->тар5п, г:

¡и-.стшл'ь^сгс еяалтз. -

аза ксБкзиа. В даезертясгснне;* работе исгх-?

гьтата теснил иктертиларазакгл Супадй. По.тл:с:= кратер:::!

эиерзой сходякостз вяупп пнтерго.5яр:м.к£:: хфсцсссоз

згза по оойстзедаяш Фуншта-- згдзта Сгур'^а-иГ/5.;глл-. Найд::::::

л е>

; дсстатсчпне услови- разко-грнсй сходицостк !;путрл' интер-чя-нл > этих процессов.. Проведено сргзшяиз и показана ' кеуг:!."г.аг:оогь » полу'шшисс празнг^сз. Найден т.гп6огле узкий ххгсс кгпргр^гкп: <вй, для которое „катеркйЗДЯиРШ» . аяалтгг, катаградькпзг ¡актов сходшастп* рлдоз .Фурье з -точка ;:э нлзпг ыста. Полутень ;нтерлэ дяцнонни-с аналога кнтегрз "ь;;ого ттрлзти^ц /Ста и случае полирования да ссбетавншш «йгнпдоа , задач»'- стурх-!-"-;^»--^ юена кепрег^ая на то,тг: фуагкаа, кнтерг.зппц/.:сл-пр-зпг: ига-Ехур^л-Л^ув'и- г которой аеограничегнэ ул.х^д-ггсд пьчг». • аа со,т1." Пэггзг.-го,. что рагпозхолпгюоть. катг^олзцлслжх

' . г

сосз Лаграгса-по с^сдаеьтиа-Фуикцкяа задача етурка-ЛиузЕлгя г. ическ\и кногочдзаоэ '; Лгграага-Чебкзява ' на классе - всея рнэккх фующгЗ не П1£га& кгстз..

41 - ^

тичаскад и практическая данность райота.- Днссергацзкеспт

тиче«:к£ характер. Результаты,, гадученшге . ней ыогут бить'

• ев -. .,

пеки в теорта пргбхззекпя фушсцнй, з кч ка ~гг е лько Г: татзкдтпкс, ее ыогут-бигь использована вй^озвсса.: в: с^йдаадьнкх... с и спецсэшнарах для студехйвЭ, ЕО теоуп

ей., я. пркхяадаоЗ' гатеяаПОв. И^йзййчйбкйе йр,швнекив '

. результатов работы возможно яра вычислении значений непрерывных функций на ЭбЫ. а тагаи в. численнои анализе.

Апробация работы. "Основные результаты работы докладывались на у Саратовской зимней школе по, теория функций и приближений в г. Саратове 1990г. ; на Воесоювой конференции ю теории приблккеная функций, посещенной со дня рсхдрния А.Ф.Тинана в г.

Днепропетровске 19з1г./ Всесотной конференции по теории ггриблихеняй и дифференциальный уравнениям в г. Воронеже 1991 г. Итоговой конференции неханико-иатецатического факультета и ВЦ СГУ в г. Саратове issb\

В целом работа докладывалась в 1990-1991 годах на сенинаре то теории Ф:*нкций и приближений под руководством доктора физико-натеютических нзук профессора А.А.Привалова и на объединенной научно- . исследовательском семинаре кафедр вкчпслительной иэтематвкк, теории Функций и приближений, .дифференциальных уравнений и прикладной ыагемапки, математического анализа СГУ под руководством доктора Физико-матеиатических наук профессора Н.П.Купцова. '

Публикаций. По теиг диссертации опубликовано 3 статьи, список которых примден в конце автореферата

s

Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 121 страница машинописного текста состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, содержащего 42 наименования.

v - 7 - • . СОДЕРЖАНИИ ДИССБРТЛЦЙОННОЙ ГАБОТЫ Пусть -ап>гхл-собстаен1ше функции регулярной задачи Птурш-Лиувклля:

• \-<?сГх->] иСхУ=0.

- v'COJ-huCOZ^O, . ' . СО

и'Cn2*H\tCii}^0• ^

где hau- произвольные действительные числа, а потенциал -Бедренная Функция ограниченной вариации-

Дг:я любой непрерывной на to.nj функции положим

л ' ■ . п

-г—| . И CXJ • -—,

\ -ту--кКх. ) = > - I?1" /Сх_ ). С2_>

Л—J A=i

гле 0<xi>n<:<£ n<--- ~ нули собственной Функции urt задачи (1).

Первый параграф носит вспомогательный характер. В неы найдены точные по порядку оценки сверху и снизу для функций и кснстант Лебега интерполяционных процессов Лзгрнза по собственный функциям задачи Етурыа-Ляувилдя <1), а именно, показано (теорекы 1.1.1.2) что, если о<с. <ь и ь >с_гГа, то существует такие константы

(1 П П 11 ¿Z . t

ci. с3, саи номер _ что для всех гг>п0спрззедлнвы неравенства

71 П . . ■ "JC) >

У (г^Гх^! = У j-ry-^-—J<Cf tu fx^jlnn,

L/ 1 Ll'W^Vl '' * 1

LSLCiO,-n}^<2C. Inn.

n 1

...... S

I [f С-O |>C Iu ix^flnn -• 1 о' n l

С

, n

h-

LSLtta ,b jyz-^lnn, ' ii n n ' «?

где 1п и >»п - номера наименьшего и наибольшего.из нулей- *

принадлежав отрезку Гап;ьп:.

Во втором параграфе получен критерий равномерной 1 заутра .

<¿.>.o с:<ед»азс;ги процесса

norrprpi-i-iiOM ú, ¿плй ,о.с-тигцеи известна • zsz¡> се гкачепл.« г

¡

l~¿~.z<: глг.ч' полезна 'оценга jxr.c2icir-:.4 07 фу-лгнг.к

оп-г^-йтор-з. Зусть rvct-ci с с.-. Полозам

.. ..-..с.,.. . • „•.. Г.г?-*-'**c-v

Г» ' ! ' _.--,. .. П.1 ■■ , . ---- . , ■

с . с i-р., М—- с-¿Si

' - . ^ • . , . - - »

nrrr>r¿'у отсутствие сл2гссз:сгг> со zzzkzzzzczxz

а р. • н слреде-^лгтз:; га hc^Ltu^r

0 X ' , 7С

Р. , п П

& ,-i , ri , , п^, tt^-т 1 . 7*

ггггл ¿címSJuik« к кюггстзг ayxctf Луггцяв <■• •. <*•

Г. 1 , ГЧ , Г . л • ^

т;":-:; -о п =-л.

О* n íí-^J . n

7-";CIf,r.ü. 2.1. I;ycrv, /^сю.-пз, о<а<ь<п, ver^s

íii-i .■:_.Í-Í.C.Í.^з-э

¿зет&тс-^пи сггр^сел-^гсс-п! ЗГЕ2

■ Iin «1* ¡¿""Г/. j ^c. (D

r¡r*?4i.-: ЛЛП a CSX i'iCa.W

; / < - -14/ -• ?/ r~) •

Cv.^:-.л сгт«*гс--:.«егс pr-caoj'.-i-J«- :;л la^c.b-ct и зз::»г:гг -лпг* ст h.,¡ :i <> ;¡ г „-ла-лс íi>. "лза еб£с.гог„ з это-j xicpr.rp-** a5*-? ло.с-^й

«. : .v ^. . í> - . *..... •.•: • j.u^ossiívrj:; ni.

с : о,-},

-.■"У - - :

: . - ■. п^сзги^ з . /v.:.: " : .

тс, -:"„:ь злгге.чгсз {-:с:з.т}, у^излгугорг.с:^:

Vi-. -v.-г,■ в ; , '«о.¿-'-«л

>" ï : .-"i t.-.?- г cí^-.ÍO.-:^

.г-:::-;:- f:::,v;c:;

rye <, сгггс™ со.—'■

/ тн^гч, '—о ivc^./^^cct-f.-.^ ':rj:s n««. р*« now

i Г.-', то ^ткг'л рзадпа-.зт.!

го

(Г.> " ::•:. "j •lyre.--.:.-': г^¡"-.л-Огултгл^ il).

.; ' ~ у'.; " " '„Т 7 * —' г..'».л •

rv

■ . • " - м -непрерывной функции / следует (5).

ТЕОРЕЫА 3.2. КС-Й /*С<ш"£о.п»гуГг>] к

{"(5)1 *' I

а г1- Ш*ж * -1

то верно (Б> г

£ четвергом параграфе проводится сравнение признаков сходимости интерполяционных процессов Лагранха (2) по собственник Функциям задачи Штурма-Лиувилля <1). полученных в параграфе три. А такхе устанавливается неусвляемость некоторых достаточных условий на соответствующих-классах функций, определяемых этими условиями. В частности (теорема 4:2), построено множество Е плотное в отрезке СЕсГс,п-с1„ для каждой ТОЧКИ хо которого найдется фущзщя <л=по> удовдатворящая соотношеншо

т--• «' о п о 1 ,я

ГГт-Т?1^->0-

п<д> , »1 а '■!

.... . . иО.> №1 - ....

г I1 м-х А=т*1

Результаты третьего и четвертого параграфов дают ответ на второй вопрос. - ' • ,

В .пятом параграфе показывается, что интерполяционные аналоги-интегральных признаков сходимости рядов Фурье непрерывных функций Дики, Валлг-Пуссена. Лебега и -Лебега-Гергека в случае интерполирования по собственным функциям задачи Етуриа-Ачувяляя <и не клеит песта. То есть справедливо утвервдеиме ТЕОРЕЫА 5.*. Если функция -«¡л такая, что •

г»171^1- Ыппч» I Нши[- 11пп>о I. " «-с ^ . ^: *

то существует шОткйе в to.ni множество е, Edo.ni, такое, что для лэбого *о«е найдется фушсция /«с*с«.го.(г.1>, £/«сс

удовлетворявшая услоаию признака Дина

Л х^ И—

о

и теи не менее

В эток. параграфе приводятся тзкзсе две иодзгсикациа признака дини, гарантирупцих сходимость в. точке интервала <о,п> интерполяционного процесса Лагранжа-Штуриа-Лнувнлля для Функции,' ии^ёгряруеноа по Риыану на ю,пз стеорены з^г'н 5.з>.

Результаты пятого параграфа дат? достаточно полнкЯ отвзт на третий вопрос.

В вестон параграф® устанавливается сутзествсвзййё кепрерстнсй на го.ил функция, к1 гсрлоляцп'чткй процесс Лагоак1а-Ш,гур!1а-Л:»уйи^тя которой неогргшпеино расходатся почти ;зсюду-на со.и стеорепа

то есть содерзаггся исчерпизакцай ответ на четзсртнй •вопрос.

• - -

Седьмой параграф- посвящен ' проблей . равносходимости интерполяционна« процессов <-.» построенных по собстёешша.функциям произвольной задачи Штурма-Лиувиляя а>, и хласйичёсках кногочагноз Лагранжа по матрице ЧеЗкпева на йлассе всех

непрерывных Функций- А.кце1Ш0, верна " &

ТЕОРЕМА 7.1. _ Существует задача Етуриа-Лнувидла вида . слэ. я плотике в отрезке го.пз вножеетва 2о д тайка, что для лйбых точек, -к^в н .*^' найдутся непрершпшг № фунйц'й / й ¿?; ко»орах вшюлшягся соотнаненна ,1а

- sr. -

|fffttr.f-,-cos. | 0 EUrrjC CO-TJ

TTriCAsties'.[ =o

n-d "

. О Ейутрк -Co.^.

Тсореш ?д wii колкй отес-т на sопрос ¡Cil-Oix^j^osa- -

Пользугвь случаса ■ кцразить благодарность доктору сизюда-уатеитачзгг;:^ ' клуи профессору» Аздрга дрдрееввчу Пр^Еалогу- за костсяс-е:;"/ за^ач к погтоашоа взюаниз к работе.

Осневказ результата paooxu опуСлнЕозагш в след^с^с: работа?;

1. Гранин ¿д о раасодкиостк-'ВЕтераодяццояаах процессе^ Лагракса с -узлами'в нулях орггогоналуазх яаогочязноа s/uazeu. и праяггзкня. Сг> Ун-тет-Кзучк. гСорг. "ipec.

2. Тргши./».ц С рзаяоизрхой сходкиэета кятераоллш:егшье-; гтрсцессог, Лагранг-а-Итурма-Лаувшиа ^Сарат^в. Ун-тет, Дел.-в вшатн -26.04.91.1763-В31. 32 С.'

3. Тркник ВА. Об oii?oit примаке сходниостк -интвЕзол^вдошиа процесс«; iarpaasa-ffiypaa-J!ayBH.nJM ✓✓Саратоа. Ун-те.-. с

ЭЙННТЯ 2Г.С3.91 220!-BSl. 33 С.