Интерполяционный процесс по операторным значениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Цвырко Олег Леонидович УДК 517,53

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -Заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАО, доктор физико-математических наук, профессор ИЖБаврин

Москва, 1999

Г Л А В A L Интерполяционный процесс по операторным значениям для

>1. Вспомогательные понятия и предложения.

бесконечной нижнем плотностью................................,

Шкалы роста функций бесконечного порядка и последовательностей

Г Л А В A IL Интерполирование функций с конечным числом особенностей

значениям с рациональными функциями в терминах порядка и типа......

Г Л А В А III. Интерполяционный процесс по операторным значениям с

>10. Интегральная формула с экспоненциальным ядром специального вида64 ¡11. Построение интерполяционного процесса по операторным значениям

с экспоненциальными многочленами............................................................. 69

§12. Условия сходимости интерполяционного процесса по операторным значениям с экспоненциальными многочленами ......................................... 76

§13. Условия сходимости интерполяционного процесса по операторным значениям в терминах порядка и типа роста функции в полуплоскостях. 85 Литература............................................................................................................ 90

ВВЕДЕНИЕ

Пусть И ж П некоторые классы аналитических функций в области G комплексной плоскости С, {zn} - последовательность из G, а } ■ = последовательность комплексных чисел из некоторого пространства последовательностей 8. Требуется найти условия, налагаемые на классы Д, П, S и последовательность {zn} , при которых для любой функции f(z) из класса Н найдётся функция Pn (z) из класса Ш такая, что

f(z) = Pn(z) + rn(z), (0.1)

где выполняется

lim rn{z) = 0о (0=2)

Предполагается, что интерполирующая функция Pn(z) однозначно определяется заданием функции f{z) и последовательностей {zn} и {w„}, т = 1,2,...

Задачей получения формулы (0.1) и выяснением условий, обеспечивающих выполнение (0.2), занималось много математиков. Основополагающие моменты этих исследований изложены, например, в монографиях [1], [2], [5], [7]. Укажем также работы [8], [9], [10]. При этом необходимо заметить, что, как правило, в качестве класса интерполирующих функций выбирается класс многочленов

7Г(-/)

Свойства интегрального оператора ^аъ 5 введённого И.И.Бавриным в [16], [17], исследованы в [11], [12].

В предлагаемой работе рассмотрены различные случаи

принадлежности функции классам: целых функций, функций

аналитических во всей комплексной плоскости за исключением конечного

числа точек (класс и периодических функций. При этом

соответственно предполагается, что интерполирующая функция Рп{%) из класса П ищется в классе алгебраических многочленов, рациональных функций и экспоненциальных многочленов.

В диссертации используется методология теории интегрирования и теории операторов.

Все основные результаты работы являются новыми и опубликованы. Получены формулы представления (0.1). для всех перечисленных выше случаев принадлежности функции /(г) классам И3 при этом выведены новые интегральные формулы. В каждом случае указаны условия, налагаемые на класс Н и последовательность обеспечивающие

гп(г) к нулю (0.2). неулучшаемость, в смысле выбора констант в теоремах, указанных услови Перейдём к более подробному изложению содержания диссертавд Она состоит из вводной части и трёх глав.

Первая глава посвящена интерполированию целых функций

/ л

значениям оператора ^аъ (по операторным значениям) и исследован! вопроса об условиях осуществления этого.

значениям в узлах интерполяции и получением условий, обеспечивающих его сходимость, занимались В.Л. Гончаров [1], [13], [14], А.О. Гельфонд [2], [15], Б.Я. Левин [4], М.А. Евграфов [9]. Наиболее общая теорема доказана в работе И.И.Ибрагимова и М.В.Келдыша [18]. Можно также отметить

В первом параграфе главы рассматривается ряд вспомогательных предложений и понятий. Доказано одно алгебраическое свойство оператора

¿АЪ на основании которого получается формула, дающая значение голоморфной в некоторой выпуклой области О функции /{¿) через значения интегрального оператора от неё в этой области.

Теорема 1.1. Если функция /(г) голоморфна в выпуклой области О

Е & С и 2 е С/ и:

параметровАшЬ оператора -

Следующий параграф посвящен выводу основного соотношения (0.1) в

'АЪ I

т(-1)

оператора ^аь

к=1

9 9 с

Теорема 2.1. Если функция /(г) голоморфна в С?, то для г еО\

1,2,...,71+ 1, и для {га)}5 у = 1,2,.

г, / ) + г,

1 ^

Г=1

многочлен степени п и

и V ?

И + 1 V 9

у (г)

1+1

г(-0 АЪ

- и+1

(г) г"|.+1

п+1

'1,^2 5 °"2П+1 9

г е

точку 2 и лежит внутри Ги+! (г)

т(~ О

оператора Ьль

9 =

1,2,...,« +1,

С

Далее перечисляется ряд формул, получающихся при различных

К)

ы<

'А+1

>

и

к—* да

^ = 00

равномерно сходиться к функции /{¿) на любом компакте.

При этом отмечается, что величину в{г) нельзя выбрать другой.

Следующие параграфы главы содержат материал по интерполированию целых функций в узлах с бесконечной нижней плотностью

1п п(г) у = Нт—--= оо

г-^оо шг

Получены достаточные условия, обеспечивающие сходимость указанного интерполяционного процесса, причем отмечается, что полученные условия определяют, в случае оператора нулевого порядка, более широкий класс функций, чем указанный в [23], [24], [25].

Далее по аналогии с известными рассуждениями [20], [21], [22] вводятся ступень, порядок и тип функции бесконечного порядка. Для последовательностей с бесконечной нижней плотностью предлагается шкала в терминах ступени, порядка и типа роста последовательности. Доказываются достаточные условия в терминах перечисленных характеристик.

В заключении главы показывается на основе примера, что полученные достаточные условия сходимости интерполяционного процесса улучшить нельзя.

Во второй главе исследуется вопрос о возможности построения

7т(~1)

интерполяционного процесса по значениям оператора ^аь и условиях его

есть рациональная функция и

Что касается последовательности узлов интерполяции, то для её

характеристики около предельных точек вводится порядок и тип сходимости соответственно равенствами

— 1т® -а

п 8

I И—»СО -

5 а.

использованием этих характеристик доказано ряд утверждении.

Следствие 9.1. Последовательность интерполяционных рациональных

1ь \'"2 э ° °°9 ыр / 9

| , Ьудет равномерно сходиться к этой функции во

Интерпол!

меньше, 1)<

Последняя глава диссертации содержит решение задачи построения

АЬ

годом Ш функции

вопросов отражён в [30], [31], [32].

экспоненциального типа

Пусть область О выпуклая, ограниченная кусочно гладкой кривой dG такая, что если точка то все точки г+ 2 жк ^ к = ± 1?±2?.00 не

принадлежат G.

Для класса таких областей верна

Теорема ЮЛ. Если голоморфная в области О функция /{¿) и все её производные до порядка /л = 0Д,2,... включительно непрерывны в

замкнутой области С, то для I = ОД ,2це(? верна формула

Теорема 12.1. Интерполяционная последовательность экспоненциальных многочленов, построенная для функции /(г) из класса р) по

операторным значениям в узлах интерполяции , у= 0,±1,±2,...,±1:5 удовлетворяющих условиям

<

+

V V V V ?

г

V

У

г

V

л

г(-0

Э^АЬ

для нижнем полуплоскостей, в которых положено

\

< <

< тг <

Чтобы доказать условия сходимости в терминах порядка и типа роста

последовательности узлов интерполяции. В параграфе 13 приводятся

постоянное внимание и помощь в исследовании и за ценные указания по

жене и дочке за терпение и доброту, которым они окружили его во врем!

У

1

9

Г Л А В А Но Иштершолищшгошшыш шргощее© пп© ©ткерапгоршым зшжчкшшшм длм щ©лых фушикщшш

§1о Шсм€>м<вгшмелъмые ттпжтш ш преёлФжешшя Пусть область С? комплексной плоскости С выпукла и ограничена, причём граница этой области замкнутая кусочно гладкая кривая . Пусть далее Ь- {г0^}, } = 1525о„о фиксированные по произволу точки из области О„ Тогда для голоморфной в С? функции /(г) определён введённый

И.И.Бавриным в [16], [17] оператор где А = , Д», „. „), Ау =

, 8} - положительные числа, ] = 1,2, „„„,/, / е N. В развёрнутом виде данный оператор может быть записан для (+/)

Ф 2 верна формула

Теорема 1.Если функция /{г) голоморфна в выпуклой области С комплексной плоскости С, то для ^ еО имеет место представление

многочлен степени не выше п и

и охватывающему точки а контур Т(2) е ^ охватывает

только точку 2 и лежит внутри Ги+! (¿) „ Доказательство.

На основании (1 Л), (1.2) и формулы Коти запишем

Заметим, что второй интеграл </2 есть ни что иное, как ^(г,/). Вычислим теперь чему равен первый интеграл «//. Поскольку контур

Ги_|_|(¿г) охватывает точки ^ = + 1 и точкуто внутренний

интеграл в (2.4) легко вычисляется по формуле вычетов, ведь в этих точках подынтегральная функция будет иметь только простые полюса. Учитывая это.

Полученное равенство и доказывает теорему.

Тем самым показано, что многочлен, стоящий в фигурных скобках, степени не выше п и имеет (п+1) нуль. Следовательно это тождественный нуль. Что тоже

>т

т \ 3

т={

и остаточный член сохраняет свою форму (2.2).

столько разэ какова его кратность и руководствуясь [6, стр.115]. :.2.

для функции по ее значениям в узлах интерполяции

к р 1 °°° 5

совпадают соответственно с многочленами Лагранжа и Ньютона, е 2.1. Положив §¿ = 1, ^ = %

Л.,

' т ?

л-1 И-/)

/гэ^ ™П + \ V ?

Г=2

т

IV

1=2 '

ы <.

с

плотности "V } такова, что

1

>

00

Если /{г) - целая функция для которой выполняется

где положено

. г(-0 э^АЪ

\2\ = Г

-1)

<с0 <

< мг <

п \ Э

Для доказательства теоремы оценим остаточный член данного

= 0< <

к->.<х>

1

>

' + Г

\Ы=Гу

\ и+1

"и+1

очевидные неравенства (первое из которых суть простое следствие из замечания к Лемме 1. 1.)

<

<

<

у, Я I ) 5

Г

Р + Гг + гп+\

г — 2п+\

п+1

/ , \ л+1

"л+1

1

<

■+1)

"и+1

'и+1

И+1 5 ИЭ

гя(г,/)<(/1 + 1)

■ +

г

1 -

V

+ С, + С2 +

' +

Так как

1

п—>00

и

Замечание 3Л. Доказанная теорема в случае оператора нулевого порядка /=0 совпадает с теоремой, доказанной в работе [18], и,

следовательно, для нее верны утверждения, касающиеся точности параметра &(г) „ В частности уже нельзя взять, например в{г) =1/2.

равномерно сходится к функции /{г) на любом компакте.

процесса, записанный в интегральной форме, имеет вид

И \ 9

И+1 \ 9

г (г)

\1+1

г(-0

И Г"'.

и+1

Ы = о <

"и+1

такого маленького радиуса гу, что она охватит только точку

<

\/+1

п+.

У

к=1

7

l+l

\t—z\—rv

IV?'

Y з

<

A-l) Ab

+ rr +

\ n+1

"п+Ц

"n+1

J

<

)+rr + F«+i

V

"n+l

+ <u +

J

f , >+-

V

7

"n+1

1 1 14- exiD—r~r > 2 + -

>

(r)J 1 + /i(r

<n +

+ + \

r - Zn+1 J

1+

'л+1

<

z.

л+1

L

> + .

"n+1

p> +

<

+

1

<

+ I +

! + к,

Jn+l

1 + ¡u(r)j

(w +1) + C5 + o(l) <

<

-n+1

> + rr-C6

*n+\

+ q +.

: +

"n+l

' + rr-C6

+ C5 + o(l)

+

n—> 00

Jn+1

В работах [23] и [24] получены достаточные условия сходимости

zn=m п и гп=ШрП ,

np+¡n=inp {

rC-0

то доказанная теорема обобщает указанные результаты, во-первых, на оператор произвольного порядка и, во-вторых, на случай произвольных узлов с бесконечной нижней плотностью.

В случае узлов с бесконечной нижней плотностью обобщаются также результаты Б.С.Дворкина [25] и И.И.Ибрашмова, М.В.Келдыша [18]. Действительно, пусть последовательность узлов такова, что \г\ = 1т п. Тогда в указанных работах для сходимости интерполяционного процесса, построенного по значениям целой функции в этих узлах, достаточно, чтобы максимум модуля интерполируемой функции при достаточно больших г

каково бы ни было 0 < в < — 5 получаем, что условие, указанное в Теореме 4.1., определяет более широкий класс целых функций.

Если не все они бесконечны, то наименьшее неотрицательное число котором данный предел будет конечным, обозначим через

максимума модуля оператора (или, где это не вызовет разночтеш

кр+1 э АЬ

Г—3> оо

- т(-1)

1к{ь) 1¥Л \ 9 АЬ

Г—>оо

.рШ

тип а(Ь) целой функции /(г) к{Ь) -й ступе!

9 Ц-'Х-*-/ 5

ступеней роста меньших к\ь) и ступени к\ь), если порядок их меньше Ь) . или, если равен р{1), то тип не

т(-1)

максимума модуля оператора Л-^аъ °

Шкалу роста последовательностей с бесконечной нижней плотностью будем строить, руководствуясь [2], [19]. А именно, если не все пределы вида

Г—> 00

115+1

-, 5 = ид,2,..

бесконечны, то наименьшее натуральное значение 5 , при котором предел будет конечным, обозначим через т и будем считать, что

конечный предел

т+1

Г—>00

В случае а >0 типом А последовательности т-ш ступени определим

да

а

г—>00 и

Класс последовательностей ступеней больших гп и ступени ш, если их порядок больше ос или, если равен а, но тип не меньше А, будем обозначать символом [т,а

В качестве примеров последовательностей, с указанными характеристиками, можно привести следующие:

1= =е\ е[0,0,0], ^ = 0;

( п\а

2. 1п=УЛ[) » с= К) |/=а;

1 1

3. а ЫаПэ С={гп] е[1,а,А], v=оо о

интерполяционного процесса по операторным значениям в терминах

!и и последовательности узлов тем или иным

интерполяционным процесс, построенный по значениям

1 2

>

сходится к этой п>к{1]

С другой стороны, логарифмируя да раз неравенство (4.2)

Замечание 6.1 „ Если последовательность узлов интерполяции будет иметь бесконечную ступень от, то рассматриваемый интерполяционный процесс будет сходящимся для любой целой функции конечной ступени

Л-1)

роста в терминах оператора °

Следствие 62. Интерполяционный процесс, построенный по значениям

оператора для целой функции /{г} к{Ь)-ш ступени роста порядка

р(Ь) в терминах этого оператора на последовательности } , к = ИД,..., к(Ь) =й ступени порядка а , равномерно сходится к этой функции на любом компакте, если выполняется неравенство (2> р{Ь) „

Доказательство. Для любого ^ >0 и всех г~>г£х на основании определения ступени роста для /{г) выполняется неравенство

>{

1к(1)+1

1к{Ь) + 2

% ■^Аь') з

л/ \

т(-1)

1к{1)+2 1ШУ

+1

1к{1)+2

Прологарифмировав теперь &(£)+! раз (3.1), получим

л{:1А<

1к{1)+1

имеет

то рассматриваемый интерполяционный процесс будет сходящимс.

-/)

АЪ

ие 6.3. Интерполяционный процесс, построенный по значениям

оператора 1^аь Ддя целой функции /{г) из класса 9а{ь) ] на

последовательности } из класса [ к{£}, а А>0? такой, что

"к+1

>

для типов а{ь) <А 2

а

Понятно, что правая часть последнего неравенства больше правой части (6.6). Следствие доказано.

Замечание 6.3. Если последовательность имеет нулевой тип ^=0, то сходимость рассматриваемого интерполяционного процесса будет для всех целых функций порядки которых меньше порядка последовательности узлов интерполяции, то есть если р(Ь) <а .

то полученные достаточные условия сходимости интерполяционного процесса в Следствии 6.3., а следовательно и в доказанной теореме улучшить нельзя.

Замечание 6.4. Доказанные теоремы 2.1. и 2.2. легко распространяются на более общий случай узлов интерполяции, когда они составляют

треугольную матрицу у = 1,2э.и и =1,2,..., если, следуя [29],

ввести соответствующие характеристики плотностей.

Г Л А В A IL Мштершолшршашш© фушшпщй е вшшкечшым чишеггом ®(£oi©Eii©(ST®i[ ращкгошмльшымш фушикщшммш m© ©шераториым зшютшшшм

§7. Паистржиме шштерттмщштшог<п> трощессш м@ шерашжвриым

Рассмотрим задачу интерполирования функции /{г) в узлах с

1

ГГ" 3

ТН)

ли

узлах

-кп , ^ —

5=1

я« Л

5=1

9

Г7.

Имеет место следующая

Теорема 7.1. Если функция принадлежит классу ^ (а,, а2,.. „ , а

с= ¡2

Ч) 5

1,2,..., 6 = {г

^ « (и I 5 Ы-2 э « о о 9 Ь^р

г = 1 9

Л } и Л-э^с,

¡7.21

и+1

■и \ з

к к 9

° Л=1

(7.31

есть рациональная функция, а остаточный член представляется в интегральном виде

На основании Теоремы 1Л„ и формулы Коши последнее выражение можно переписать в виде

/■„(*,/) = /(*)-*„(*,/),

где

т=О

т

IV

т\ 9

т \ ?

т\ы I 9

т

1 т

1 т+1

¥т+1

т+1 9

¥п+1

й Г'8*/

и

-/7Н-1 "да /

м=0 ^да+Н^э^/ ""яА^?1

ормуле (7.4). Для этого домножим обе сторо!

условии теоремы контурам

иг'

г(-/) р АЬ

1+1

- и+1

Замечание 7.1 . Условие двух предыдущих теорем, требующее, чтобы узлы интерполяции с = {гк}, к = 1,2,.„о были попарно различными, можно опустить, считая при этом каждый узел столько раз, какова его кратность, и, руководствуясь соображениями изложенными в [6, стр. 13 2].

Замечание 7.2. Рассматриваемый интерполяционный процесс в случае оператора нулевого порядка /=0 совпадает с интерполяционным процессом, построенным для функции /Сг) с конечным числом особенностей (из

класса по её значениям в узлах интерполяции с={жк}9

к = 1,2,.о., рассмотренным в [26].

Замечание 7.3. Если в рассматриваемой конструкции вместо (7.1)

"ЛЬ

Следствие 7Л. Выбрав в качестве

] 3

} •> ?

и в случае Теоремы 7.2„э соответственно, вида

превосходит степень числителя. Последнее обстоятельство позволяет Г„ совокупностью контувов Г^ „5=1,

п-1

IV 9'

А*

1+1 ^ п

1 „ в 00'

к.

качестве контуров 1 „ вы&

-1

1Т в

И5)

где Лп есть внутренний интеграл в (7.4), взятый соответственно по

5=1

9 9 '"3,

Ы

К«)

> А*) , 5 = 1,2

), а ¡/^$

где Сз ж Св некоторые постоянные, а следовательно

р

интерполировании рациональными функциями, доказанной в [27], и, следовательно, для неё верны утверждения, касающиеся точности

параметров @ХГ) * 5 = •

Замечание 8.2. Если в доказанной теореме положить ар ~' 00 , р>1, то для оператора нулевого порядка 1=0 доказанные условия совпадают с

г—ьа-

иль [28], что

и

и^яХ-^Х^С^)], если она не имеет других особых точек, кроме, быть

5 9

1ем порядка и типа сходимост: А именно, если существует

п—»со

№ "т

,х

А,

м-

п—>00

я ! д*] т

5 °

Класс последовательностей, порядки сходимостей которых больше

или равных о,в, но типы меньше А$ э будем обозначать си