Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5

ОСКОЛКОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЯМИ ИХ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

01.01.01 - математический анхтиз

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матекаткческих наук

Москва - 1995

■ Работа выполнена на. кафедре высшей математики Московского института коммунального хозяйства и строительства.

Официальные оппонентъодоктор физико-математических наук, профессор, Ю.Ф. Коробейник, доктор физико-математических наук, профессор Г.И. Архипов, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Баскаков.

Ведущая организация - Институт математики с ВЦ УНЦ РАН.

Защита состоится 1995 г.

в 16 час 05 мин на заседании диссертационного совета по математике №1 (Д.053.05.04) при Московском государственном университете имени М-В. Ломоносова по адресу. 119899 Москва, Ленинские горы,. МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией "можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан м-а^гл. 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.ПЛухашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы .Значительная часть теории аналитических функций посвящена изучению свойств функций, заданных зчениями их линейных функционалов. Начало этим исследованиям положили работы Коши, Вейерщтрасса, Адамара, Лагранжа и др. На первом этапе изучались лишь свойства функций /(г), заданных простейшими 0,1,— •

и их комбинация?.?!?.

Второй этап связан с накоплением фактического материала и оформлением этих задач в самостоятельный раздел теории функций, который называется теорией интерполяции аналитических функций. Этот этап связан с именами С.Н.Берниггейна, А-О.Гельфовда, ВЛ.Гончарова, Г.Пойа, Р.П.Боаса, Э. Т.Уитгекера и др.

Изучаемые в диссертации вопросы относятся как к первому, так и ко второму этапам. В диссертации продолжаются, а тогда и завершаются, исследования предыдущих авторов. Это позволяет получить результаты, описывающие довольно тонкие свойства как отдельных функций, так и классов аналитических функций.

Цель работы. Являясь в течение двадцати лет участником семинара Ю.А.Казьмина по классической теорий функций комплексного переменного, автор стремился дать ответы на ряд конкретных проблем,некоторые из которых являются классическими, такими, например, как проблема Адамара об эффективном описании связи максимума модуля целой трансцендентной функции с модулями ее коэффициентов Тейлора. Кроме того, в диссертации большое место занимают класические интерполяционные задачи Гельфонда, Абеля-Гончарова и Ньютона, решение которых позволяет изучить структуру значений соответствующих систем линейных функционалов и свойства тех или иных классов целых функций.

Научнгя новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора.

Отметим наиболее важные задачи, решенные в диссертации.

1. Решение проблемы Адамара о связи -роста

.величины М(Г,г)= тах|Дг)| (г-н-«>), где /(г)= 2Х'гя

произвольная делая трансцендентная функция, .с убванием (и -н-оо).

.2. Получение оценок для интерполяционной постоянной Уиттекера сколь угодно близких к V/. Опровержение гипотезы Боаса-Уитгекера.

3. Доказательство совпадения интерполяционных постоянных Гельфонда и Уиттекера.

4. Полное решение проблемы Харди-Литлвуда о равномерном распределении дробных частей арифметических прогрессий.

Методика исследования. Большинство результатов диссертации получены новыми методами, которые специально разработаны автором для этих целей. В главе I при исследовании роста целых функций, представленных интерполяционными рядами, вместо известного метода Вимана-Валирона используется новый технически более простой способ получения оценки сверху для модуля, суммы интерполяционного ряда через модули коэффициентов этого "ряда; В главах П-1У для доказательства теорем о квазистепенной базистности систем аналитических функций используются методы построения и оценок сверху для модулей биортогональных систем. В главе IV для решения проблемы Харди-Литвуда о равномерном респределении дробных частей арифметических прогрессий используется новый метод, основанный на получении формул, описывающих в явяГом виде дробные части арифметических прогрессий.

-Приложения. Диссертация имеет теоретический харакгер.Ее результаты могут быть использованы в функциональном анализе, в теории бесконечных систем линейных уравнений, в теории линейных операторов, действующих в пространствах аналитических функций, в теории чисел и в теории дифференциальных уравнений конечного и бесконечного . порядков. Результаты

диссертации могут наити применение в исследованиях, проводимых в МИРАН, Московском, Ростовском, Воронежском, Львовском и других университетах и математических институтах.

Апробация работы. Основные результаты по мере их получения докладывались на научном семинаре по класической теории функций комплексного переменного при МГУ, руководитель' проф. Ю.А.Казьмин, а также на следующих научных семинарах, школах .симпозиумах:

1) семинар по теории функций , МГУ, оуководшслш ■ ттг.-тгорр. РАН ПЛ-Ульяпсп,. проф Б.С.Кашин (1992, 1993, 1994 г.г.); '

2) семинар • по теории приближений и граничным свойствам функций , МГУ, руководители: проф. Е.П.Долженко, проф. Е.А.Севастьянов (1993, 1994 г.г.);

3) семинар по теории чисел МГУ, руководители: проф. Г.И.Архипов, проф. В.НЛубариков (1994 г.г.);

4) семинар кафедры математического анализа МГУ, руководитель чл.-корр. РАН ВА.Садовничий (1994 г.);

5) Всесоюзный симпозиум по аппроксимации функций в комплексной области, Уфа (1976, 1980 г.г.);

6) Всесоюзная школа по теории функций и приближений, Саратов (1982 г.);

7) Всесоюзная школа по теории функций, Карачарово-Черкеск (1986 г.); '

8) Всесоюзная школа по теории функций, Одесса (1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора (одна работа в соавторстве ). Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих, соответственно, 3, 4, 2, 3 параграфов, и списка литературы. В номерах формул, определений, теорем первое число обозначает номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы или предложения. Библиография содержит 73 наименования. Объем диссертации-313 страниц.

Ч. -3— '

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе диссертации изучается рост целых функций, представленных абсолютно и равномерно сходящимися в любом конечном круге интерполяционными рядами.

, .В §1 рассмотрении ряды Тейлора. Решена проблема, восходящая к Адамару, о построении множества Я логарифмически выпуклых функций Л(г)|+оо (г -н-оо), непрерывно дифференцируешь при всех достаточно больших положительных г. Множество Н должно быть достаточно широким для того, чтобы для

каждой целой трансцендентной функции Е(г)=

существовала функция А (г)еЯ такая, что

Йт ЫМ(Р;г)/Цг)= 1, где М(Р;г) = тах|^(г)!-В то же «-» к ,

время, множество Я должно быть столь узким, чтобы величину &п 1п М(Р;г)/к(г) можно было бы выразить

. Я-*»

только через \а„\. В часном случае, когда /(г) - целая функция конечного порядка,эта задача решена •Валйроном, (1923 г.) и Левиным с помощью введения-уточненного порядка. В §1 дано полное решение этой проблемы. Для формулировки результатов обозначим

через 5 множество действительных функций а(х), обладающих свойствами:

Ы{х)> 0 (д:> 1),ха'(х)= о(а1(х)) (х-и-о=). Пусть р(0 -функция, обратная к а(х) е 3. Если целая функция

/Хг)= такова, что

<*>0

в

Э<7 е (0,+оз);1п|а,|5 -|1пД// а)Л (Ул г щ(а)), ТО точную о

нижнюю грань таких чисел с обозначим

Теорёма1.1.2. Пусть а(х) е 3 и -целая

»=0

функция. Тоща

tr„(.F)= lim In M(F;r) /J a(x)d\nx = ra{F).

Будем считать ,что a(x)e 3, если a{x) e 3 и

__x

дополнительно lim xa'(x)ia(t)dlnt/a'(x)<2. Тоща имеет

- - Х-И-Л J

1

место

Теорема 1.1.3. Какова бы ни была целая трансцендентная функция /Хг) найдется функция

а(х) е 3 такая что сг„{Р)= 1.

Поскольку - . зез,'" ■ то, полагая

г

Н = {Л(г):А(г) = | а(х)ёЪ\х, а еЗ} .ВИДНО, ЧТО теоремы 1.1.2 *

и 1.1.3 решают проблему Адамара для всего класса целых трансцендентных функций.

В §2 изучается рост целых функций, представленных рядами по полиномам Ньютона

F(z)=iaMz),тде

«о

^о(г)- 1, П(1-'т). "= 1,2,...,

ы Л

-заданная последовательность комплексных чисел.

' Теорема 1.2.2'. Пусть % > О (* = 1,2'...), (1+ о(1))*' " (к-Н-а>),0< р<+ со. Для того, чтобы функция

<е

Р(г)= Х^Д,(г) была целой функцией порядка р и

«=о

обладала свойствами:

1) МрЬ ¡п\Р(ге»)\/г>$ н,(р,0) (Ы* *);

2) 3<р0(Ы< л-): М?>о) = где 0е (0,1) й

гг , лч^ г У-соъ<р)<И _

_ I

необходимо и достаточно чтобы в е (0,1).

Теорема 1.2.2 существенно уточняет и обобщает известный результат Фабера, касающийся случая К. Аналог теоремы 1.2.2 доказан также для случая, когда

аргументы чисел ^ являются произвольными, а модули

удовлетворяют условию (l+0(l))fcp (к -»os), 0< р< 33.

В §3 главы I изучается рост целых функций экспоненциального типа, т.е. таких функций F(z), для

которых Em lnJI/(jF;r)/r<+oo, представленных рядами

Г-*-«о

Абеля-Гончарова и рядами Тейлора с переменным центром. На примере последних рядов иллюстрируется другой метод изучения поведения, функции.,

F(z)= (г-я)"/я! в терминах расположения особых

я.0

точек функции g(exp,F;z)~ ассоциированной по Борелю с целой функцией F(z). Как известно, функции F{z) и

g(.exp,F\z) связаны соотношениями F{z)~ Л Fw(0)z"/п!,

Л

g(exp,F;z)= Обозначим через suppg(z)

- ' п*0

множество особых точек функции g(z).

Теорема1.3.2. Для того, " чтобы функция

F(z)= л)"/и! являлась целой функцией первого

IFQ

порядка такой, что выполнены условия:

1)suppg(cxp,.F;Oc 2><0)= {й|/ехр(/+ 1)|¿ в е (0,1),|/|< 1};

2) на границе dD{6) имеется хотя бы одна особая точка функции g{exp,F;i),

— - 1 необходимо и достаточно, чтобы Iim|a„l"= в /ее, (О,-).

> »-*> е

В силу известной теоремы Г.Дойа, связывающей расположение выпуклой оболочки особых точек функции g(cxp,F;t) с индикатором целой функции 'F(z)', теорему 1.3.2 можно переформулировать в терминах роста |F(z)|, Z= reh,г -и-ce.

В главе П рассматриваются вопросы о представлении аналитических функций

интерполядаоными рядами.

В §1 глады П изучается связь квазистепенной базисности (КС-базисности) в смысле М.Г.Хапланова с ' интерполяцией в пространствах целых функций. Пусть

Л-односвязаная область (0 е В,со г X)) с односвязаным дополнением СВ до всей расширенной комплексной

плоскости С. Через А(В) обозначим пространство регулярных в В функций /(г), с топологией, заданной равномерной сходимостью на компактах из В. Сопряженным с А(В) является пространство, которое может быть реализовано в виде совокупности А^(СВ) функций g(z), регулярных на СВ и обращающихся в нуль на бесконечности. Топология в 4,(С0) индуцируется топологией Л (В) . Пусть

/т^ (т.* 0,<в] я-0,1,...) - фиксированная

шО

целая функция. Каждой целой функции

. « - _ I

/"(*)= X*«" /т. такой, что ит|г>,|"<+<*> можно

тО ЛЧЯ

поставить в г соответствие функцию

£(*)= .которая называется ф-

«.0

ассоциированной с F(г).Cвязь между Р(1) и &{ф,Р\г) называется обобщенным преобразованием Бореля. Классическое преобразование Бореля получается, если Ф\г)= ехрг.

Обозначим через -А(ф,В) пространство целых функций Р{г) таких, что g{ф,F;z) е ЩСВ), с топологией, индуцированной топологией пространства Д,(С0). Известно, что сопряженное пространство А'(ф,В) можно реализовать в виде А (В). Таким образом, каждая система линейных и непрерывных функционалов, действующих в пространстве А(ф,В), может быть записана в виде

= п = 0,1,...,

где Г-замкнутый простой спрямляемый контур Г а В, ш!Г з хирр <= МВ).

Если Б - еще и конечная область, Ь - замыкание В, то через А(ф,0) будем обозначать пространство целых функций /"(г) таких, что шрр Топология

пространства \Л(ф,В) задается понятием сходимости

(п-хв), которая понимается как равномерная сходимость на произвольных замкнутых множествах

&с.СВ последовательности (я-я»).

Обозначим через э О односвязную область с односвязным дополнением СОк, которая отображается функцией г- и(г) (ы(0)= О, «"(0)= 1), регулярной и однолистной в на круг |г|< Я. Пусть г? <гК?) -функция, обратная к /= н(г). Обозначим через Ор образ крута |/|< р< Я при отображении г- Следующее определение принадлежит М.Г.Халланову. Система {/„(г)}о с А(йх) образует квазистепенной базис (КС-базис) в пространстве А(ПХ), если е Афк) можегг быть единственным образом представлена рядом

/(г)=Ес„/л(г), ' (1)

«.о

_ 1 I

сходящимся в топологии таким , что 1ип|с:„[/,< — и,

я-*° к

обратно, любой ряд (1) с коэффициентами,

удовлетворяющими последнему неравенству, сходится в

топологии А(В„).

Существует несколько критериев базиса и КС-

базиса, доказанных А.И.Маркушевичем,М.Г.Хаплановым,.

Ю.Ф.Коробейником и др. В' §1 главы П доказан еще один

из них, который наиболее удобен для применений к

конкретным системам функций.

Теорема2.1.1. Для того, чтобы система

{/„(г)}о с Л(-Оя), 0< Д< +оо образовывала КС-базис в

А(ВЙ), необходимо и достаточно выполнение двух

условий:

_ 1

а) 11т[тах1/„ (<:)!]» < Я, V/- е (о,К); —

б) существует единственная в 4,(С0,) система

функций 5л,с2)Д), биортогональная с

{/»(г)К>> такая, что для каждого фиксированного ре (0,Л)В Л=

__II

1ип[тах|£,(г)Ц" <; - (2)

Я-** «и/д П

Не оговаривая этого специально, будем далее полагать, что система функционалов

{1„}о с А'{ф,й„)~ А(0„) имеет биортоганальную систему функций {£(«))? с Ж*.^). т.е. (я,*= 0,1,.-.).

Будем говорить, что интерполяционный ряд

»-1

где сходится ¿-регулярно в если _ 1

Нт|£„(/■)!"< Я и для \/ре (0,Л)ВЛ= Л(/>)е (В,,К) такое,

что имеет место неравенство (2), гае gя(z)= g(Ф,F.;z)■ Пространство назовем прогпрзпгтпом ¿5-

регулярной сходимости ингерпол5гцтто1тсй задачи, заданной системой функционалов с А'(ф,Оя), если У/(г)е А{ф,Бя) единственным образом представляется ф-регулярно сходящимся в л(+ интерполяционным рядом.

Теорема2.1.3. Пусть «Кг)= Т,*?/я. К" О»00)-

»0

фиксированная целая функция и {!.}; с А'{ф,В„). Для того, чтобы а(4 было пространством ¿-регулярной сходимости данной интерполяционной задачи, необходимо и достаточно, чтобы система {1п(ф(кЩс являлась КС-базисом в /4(/>,). ,

Хорошо известен принцип двойственности Банаха, Маркушевича, Левина, связывающий полноту системы {¿„((¿(С)))о и единственность решения в

интерполяционной задачи, заданной системой функционалов {АХ- Кроме того, известен общий принцип двойственности Драгилева, Захарюты, Коробейника, из которого следует, что А(ф,0) тогда и только тогда является пространством сходимости интерполяционной задачи, заданной функционалами {£„}£, когда система {1„((Ц<г))}£ образует базис в Л(1>).

Теорема 2.1.3 относится к тому же кругу вопросов, но из более сильных условий (КС-базисности) вытекает и более сильное утверждение (о ¿-регулярной сходимости). Сама по себе теорема 2.1.3 не решает ни те, ни другие задачи и для ее эффективного применения к интерполяции

следует сначала получить результаты о КС-базисе в А (В„) различных функциональных систем. В литературе вопросы КС-базиса (и даже обычного базиса) в А(£й) для конкретных систем изучены слабо.

В §2 главы П изучается полнота и КС-базистность систем к*/(Аг)}о, которые играют важную роль в интерполяции.

Будем считать, что /(*)= Т./пг" е Л/(Л), 0< i?< +со, если выполнены

условия:/а = 1;/,* 0; ВЙ|/.|-= 3к* 2: |ЛР> ~

"-"> л л

Пусть /(г)еА^(Л) - фиксированная функция Рассмотрим множество функциональных систем

*</)= < {г*/(4г)}о Шо ^Л),

где

Л= и= Шо : 4, е С, « = 0,1,...}.

Постоянную /(/) (если она существует) назовем границей полноты и продолжающейся внуторь КС-базистности множества я(/), если е я-(/)

образует КС-базис в Л(|г|< г) при всех ге (0,К/)1, в то

. время как ЗЛ= {Я*}* е Л такая, что система Д/; Я) е *(/) не является даже полной в Л(]г|< /■), Уг> ?(/)■

Из теоремы 2.1.3 и последнего определения, следует что если /(г)= 1/(1-г), то >(/)= Р -известная постоянная степенных рядов Помье; если же /(*)= ехрг, то Я/)= Иг - постоянная Угатекера, класическое определение которой состоит в следующем. Постоянной Уитгекера Ж называется абсолютная постоянная такая, что - услрвия ^(г) е ^4(ехр,и|< РК),

0 (я= 0,1,...), е л влекут за собой 0, в

то же время, 3£?(г)е Ю, 0» Э{Л.}; е Л

такие, что а0, п= 0,1,...

Для формулировки основного результата §2 главы П положим

.....и,-.

Уо= Гп- mpl^i^.-.'Vi)!» «= 1,2.....

Цг»

ös/sn-l

• --- - - \

'А(Г)= max * = 1,2,...

■ ЙЛ-.ьо

Через г= rt обозначим единственный положительный

корень уравнения rkßt{r)= 1.

Теорема 2.2.1. Пусть /(г) е M(R). Тогда г(/)

существует и для каждого натурального п имеют место .1/ .1/ оценки гп< у{/)< такие, что ümr„ == limуп" =

Таким образом теорема 2.2,1 не только устзттпзяпгасг сущссйЛкйша >Г/>;' но и лает алгоритм ее сколь угодно точного вычисления.

В третьем параграфе главы П предыдущие результаты применяются к получению оценок снизу для интерполяционной постоянной Уиттекера W, которая характеризует распределение нулей последовательных производных целых функций экспоненциального типа. Постоянная W, до сих пор не найдена. Ее оценкам посвящены работы известных математиков: С.Н.Бернштейна, Боаса, Левинсона, Макинтайр и др. Наиболее близкие оценки получены Маюштайр: 0,7259<iK <0.737756 (1947, 1949 гл\). В 1944 г. была высказана гипотеза Боаса-Уиттекера: W- 2/ е.

В §3 главы П из общей теоремы 2.2.1 для функции f(z) = expz получается теорема 2.3.1, которая дает конечный алгоритм для вычисления с произвольной точностью оценки снизу г„ постоянной Уиттекера W .Этот алгоритм реализуется на ЭВМ при п- 20. В результате вычислено гя= 0.736252... Тем самым получена оценка W> гх> 0.736252> 2/е, из которой следует, что гипотеза Боаса-Уиттекера не верна.

Кроме Torö, здесь же изучается вопрос об оценках для тейлоровских коэффициентов экстремальной

функции Q(z)~ 2] qnz" /и!, фигурирующей в класическом

т 0

определении постояннной Уиттекера.

-в- - ■•-

Следствие 2.3.2. Имеют место неравенства 0,43 / г. <!?.!< 1 / Г.f да }в = 7я при /. = 1 / m!, т= 0,1.....

В §4 главы П рассматривается класс А полиномиальных систем {а„(г)}; (<£*(*)■ 1, я= 0,1»—) такой, что каждый полином a„(z), начиная с п= 1, имеет

вместе со всеми производными a™(z).(k= 0,1.....л- 1) хотя

бы один нуль в замкнутом единичном круге. Показано (теорема 2.4.1), что каждая полиномиальная система из А образует КС-базис в пространстве Л(ехр,М< Л), ест только R не превосходит некоторой абсолютной постоянной сг(А), для которой установлены оценки 0,41 < о(А)<. 0,5. При этом доказано существование системы {a*(z)}( е А, которая не является минимальной (и, следовательно, не может являться базисом) в пространствах Л(ехр,|г|< R) при УЛ> а(А).

В третьей главе - диссертации расматриваются итерполяционные задачи Гельфонда, Абеля-Гончарова и Ньютона.

Пусть задана треугольная таблица конечных комплексных, чисел а>= помощью

которой определяется система линейных функционалов

w^i^'w - ш : • « '

тде intr. з 0,1,...,я.

Система функционалов (3) определяет интерполяционную задачу Гельфонда. Если в таблице со числа совпадают по строкам, т.е.

К (*= 0,1,—,л; п- 0,1,...), то задача Гельфонда превращается в задачу Абеля-Гончарова с функционалами 4(f)= ("= 0,1,...). Если же в

таблице а числа совпадают по столбцам, то получается интерполяционная задача Ньютона.

В §3 главы Ш изучаются интерполяционные задачи Гельфонда и Абеля-Гончарова. Полиномы Гельфонда единственным образом . определяются условиями биортогональности L„(Ft)= S^ (п,к= 0,1,...) Ряд

-iZ-

£ называется интерполяционным рядом

п= О

Геяьфонда.

Сначала рассмотрен случай, когда треугольная таблица а удовлетворяет условиям

I, к= 0,3,...,п, п= 0,1,.... Множество таких таблиц со обозначается через П.

Теорема 3.1.2. Для любой таблицы сое О пространство Л(ехр,|г|< К), \/Д(0,ИП, гДе 1Р-постоянная Уитгекера, является пространством ехр-регулярной

схпггичостк. зэдпл' Гельцлшш. • 71- то же врг?.?я, Зо'ь £2 та1сяя' что П'),УЛ> й-'" не является даже

пространством единственности соответствующей задачи Гельфовда.

Эта теорема существенно уточняет результат А.О.Гельфонда, согласно которому У/Чг)е Л(ехр,|г1< 1п2) разлагается в ряд Гельфовда, сходящийся в топологии пространства А(\г\<

Постоянной Гельфонда (7 называется число такое, ЧТО условия /'(г)е Л(ехр,|г|< <?), 4(Л= («= 0,1...,гае П) влекут за собой = 0. В то же время,

3(?(г) е Л(ехр,|г|':£ в), 0(г) # 0, 3 «и е П такие, что

£„(£?)= о, п= 0,1,..., где функционалы определены

равенствами (3) с помощью треугольной таблицы ш. Следствие 3.1.1. <7= IV.

Далее рассмотрен общий случай задачи Гельфонда, а именно,. когда на комплексные числа таблицы со наложено единственное ограничение,1 состоящее в том, что са -не нулевая таблица. Можно, без уменьшения общности полагать Ац, * 0. Обозначим через ¿„(0) диаметр выпуклой оболочки точек, состоящих из первых т+1 строк таблицы а и точки г= 0.

Теорема 3.1.5. Пусть га-произвольная

фиксированная не нулевая таблица комплексных чисел и --

ь> о

-а-

Тогда Ж^„,|г|< Я), 0< Я<. 1 является пространством ф,-регулярной сходимости интерполяционной задачи Гельфонда, заданной системой функционалов

1«(Л= 4(ЛП^(0), л= 1,2,...,

ьо

где -система функционалов (3).

Показано, что единицу в теореме 3.115 нельзя заменить большим числом.

В данном параграфе расмотрена также задача Абеля-Гончарова для быстро возрастающих узлов интерполяции. В частности имеет место

Следствие 3.1.3. Пусть последовательность {Д,}?

удовлетворяет условиям 0< \ <...,]£ К-х! К< и

-л'-ПЛ

Ь>0

Тогда АуДг),|г|< Л) V« е (0,1] является

пространством ^-регулярной сходимости .

интерполяционной задачи Абеля-Гончарова, заданной

»-I

функционалами 4(Л= ^"'(^Пл. "= 1,2,...,

ь»

1,(Л= В.то же время, 1) не является даже .

пространством единственности этой задачи.

В §2 славы Ш рассматривается интерполяционная задача Ньютона дня быстро возрастающих узлов интерполяции. Эта задача хорошо изучена в случае, когда узлы интерполяции возрастают не быстрее некоторой степенной функции. Мы рассматриваем последовательности узлов интерполяции Х= такие, что 1^,1= л'* (л= 1,2,...), г,^00 (л ->°о). Множество всех таких Я обозначим Л,. С каждой фиксированной последовательностью А е Л, мы связываем целую функцию

-Пл

ы

-/*- - , . ..

Теорема 3.2.1. Пусть Л= {Д,}; s Л,. Пространство

А(ф1,\г\< R), 4R £ (0,1] является пространством регулярной сходимости задачи Ньютона с узлами

интерполяции Д. В то же время, А(фх,1) не является даже пространством единственности этой задачи.

Из теоремы 3.2.1. можно извлечь точную ' информацию о распределении нулей целых функций из

пространств A^x,\z\< R)-

Следствие 3.2.1. Пусть Я е Л,. Если F{z) е А{ф1,\г\< 1) и F{K)= 0 (п = 1.2....). то F(z)~- 0. В то Z3Z ■ Врймя,. =

llQizH 0 и <2(Л)= 0, п= 1,2,... Четвертая глава диссертации посвящена решению проблемы Харди-Литлвуда о равномерном распределении дробных частей арифметических прогрессий, ее обобщениям и применениям. Всюду далее символом {х} будем обозначать дробную часть числа х. Множество всех иррациональных чисел в е (0,1) обозначим I.

Пусть fix) действительная функция, определенная на интернате (0,1). Будем полагать, что /(х) е F, если

выполнены условия: 1) /(0+0)= /(1-0)=+«з; 2)

]

несобственный интеграл РИмана' j f{x)dx ' сходится; 3)

о

3/:= h(f) е (0,1 / 2): f(x) не возрастает на (0,/г) и не убывает на (1- Л,1).

Проблема Харди-Литлвуда заключается в решении следующих задач.

1°. Индивидуальная " задача. Найти условие, наложенное на пару (f,0),feF,deI, которое неоходимо и достаточно для справедливости равенства

Кm-£/«*flM/<*)&.' (4)

2°. Метрическая задача: для каждой фиксированной функции f(x) е F найти меру Лебега всех чисел del, для которых имеет место (4).

3°. Задача для всего класса F. Найти множество всех тех чисел Bel, для каждого из которых (4) имеет место одновременно для всех функций / si7.

Проблема Харди-Литлвуда названа так по имени авторов, поставивших эти вопросы в 1946 г. и давших частичные ответы на задачи 2° и 3°.

В §1 главы IV проблема Харди-Лйтлвуда решена полностью. Для формулировки результатов1 обозначим через д, (л= 1,2,...)- натуральные числа, которые являются неполными- частными числа в е / при разложении в непрерывную дробь, а через qn (т= 1,2,...)-знаменатели подходящих дробей числа 6, которые определяются рекуррентными равенствами ?„= О, 1, aKqm+qm_l (т= 1,2,...).

Следующие три теоремы дают полные ответы на поставленные выше задачи.

Теорема 4.1.1. Пусть /(х)е F, ве I .Равенство (4) тогда и только тогда имеет место, ■ когда /(№))= о(9.),

Теорема 4.1.2. - Пусть f(x)-произвольная фиксированная функция из F. Мера Лебега л?ножаства всех тех чисел в е I, для которых имеет место (4), равна единице.

Теорема 4.1.3. Для того, чтобы равенство (4) имело место одновременно для всех функций / е F, необходимо и достаточно, чтобы неполные частные числа 9 были ограничены. ,

В §2 главы IV проблема -Харди-Литлвуда рассмотрена в более общем виде для последовательностей {г,в}, /= 1,2,..., где г„ (/= 1,2,...)- натуральные числа положительной асимтотической плотности. Доказаны аналоги предыдущих теорем для этого более общего случая. Кроме того, вводится новое понятие регулярной последовательности, которое заключается в следующем. Пусть задана последовательность действительных чисел хк, к-1,2,...Обозначим N(n,s)~ количество чисел из множества {xt}, к= 1,2расположенных на промежутке (s- I)/ш х< s/n, где s- натуральное число, s< п. Последовательность х„, к= 1,2,... назовем регулярной по modi, а соответствующую последовательность дробных частей {xt),k= 1,2,...-регулярной, если существует абсолютная постоянная

М е [1,+оо) такая, что М ' для всех

п= 1,2,..., 5= 1,2,...,п.

Отметим, что равномерно распределенная последовательность не обязана быть регулярной и наоборот. Следующая теорема дает ответ на естественный вопрос о том какими свойствами должно обладать число в для того, чтобы последовательность \кв), к- 1,2,... была регулярной.

Теорема 4.2.2. Последовательность {кв}, к- 1,2,..., 0< 9 < 1 топ™ и только тогда регулярной, когдч

О-иооаиионжгьное 'ггг-ло с ограниченными неполными частными.

Что касается проблемы Харди-Литлвуда для равномерно распределенных и регулярных числовых последовательностей, то имеет место следующий результат.

Теорема .4.2.3. Пусть /(х)е-Р и {хк),к= 1,2,...-равномерно распределенная и регулярная числовая последовательность. Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда (х4}> 0, к= 1,2;..: п/({*„})= о(л) (л-*=с).

Третий параграф главы IV посвящен применению результатов, относящихся к проблеме Харди-Литлвуда, к дифференциальным уравнениям и к теории аналитических функций. _ В последние годы в теоретической физике и в теории специальных функций возникла необходимость решать уравнения, содержащие дифференциальный оператор который. действует в пространствах ЖИ< Л), 0< Л:£ +*> по правилу

дг- г *

где ц- конечное комплексное число. Оператор 2), изучался американскими математиками при \q\pt 1. В §3 главы IV рассмотрен наиболее важный и сложный -случай, когда |?|= 1, точнее, д= ехр(/2ггб), в <= I. Изучается

собственная функция /?(г) оператора которая

единственным образом определяется ' условиями '/,«»= 1, /«<*).

Теорема 4.3 1. Для того, чтобы функция /,(г) была регулярна в круге |г|< \f\q-1|, необходимо и достаточно выполнение условия \та^,т = 1, где ат,дт,соответственно,

неполные частные и знаменатели подходящих дробей числа в, ?= ехр(/2л#). При этом функция /?(г) представляется рддом

П(?*-1)

Изучены свойства функции /,(г). В частности, доказано, что т(/,;г)А/(/,;г)= 1 (Уг е 10,1/|д- 1|)), где /я(/,;г)= тт|/?(г)|, М(/,;г)= тздс|/?(г)|. Кроме того, показано, что функция /,(г) имеет окружность |г|= 1/|д- 1| своей естественной границей.

Теорема 4.3.3. Пусть д= ехр(/2яв) и выполнено условие теоремы 4.3.1. Тогда система функций

. г"9»1/(д"г), д= 0,1,..., где «>,,.(0= ЛД-^-г), образует КСГ /« /» л 1

базис в каждом пространстве Л()г|< Ю> °< Я<. 1.

Ошетим, что единица в последней теореме не

может быть заменена большим числом, поскольку ?„(()

я

имеет единичную окружность своей естественной границей.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Осколков В А О росте целых функций, представленных регулярно сходящимися рядами. - Мат. сб., 1976, 100, № 2, с. 312-334.

2.0сколков ВА Абеля-Гончарова проблема.-Мат. энциклопедия, 1977,1, 29-31.

3. Осколков В.А. О представлении целых функций некоторыми интерполяционными рядами.- Тез. докл. Всесоюзн. симпоз. по теории агахрокс:„функций в компл. обл., Уфа, 1976, с. 65-66.

4. Осколков В.А., Абдраигадова СА. Рост целых функций, представленных рядами Ньютона. Теорема о базисе некоторой системы функций,- Сиб. мат. жур., 1978, 15, №1, с. 122-141.

5. Осколков В.А. Некоторые базисы в пространствах регулярных функций и их применения к интерполяции.-Мат сб., 1978, 105, №2, с. 238-260.

С Г\--------- Г» А /------) . . ... - ,

- -Í-- '-W »4 W W«ÍMÍÍMÍ»/Wtu iíwjuiávi/iáA W1W¿WII

.r.. ■ .--y. "a g______ _ , .., , % ntft 1Й.Л ллл

7. Осколков В .А. О полноте и базисности некоторых классов систем функций.- Тез. докл. Всесоюзн. симпоз. по теории аптгрохс. функций в комл. обл., Уфа, 1980, с. 109-110.

8. Осколков В.А. О необходимых и достаточных условиях квазистепенной базисности некоторых систем _> регулярных функций.-Мат. заметки, 1981, 29, №2, с.235-242. '

9. Осколков В.А. К вопросу об опенке, снизу ттосто'янйой Уиттексра. Актуальные вопросы теории-функций, Рост. гос. ун-т, 1987, с. 34-39.

10. Осколков В.А. О полноте и квазистепенной базистности систем {z"/(\z)}.- Мат. сб., 1989, 180, №3, с. 375-384.

11. Осколков В.А. Задача Харди-Литлвуда о равномерном распределении арифметических прогоессий,- Изв. АН СССР (сер. мат.), 1990, 54, №1, с. 159-172.

12. Осколков В.А. Об одном критерии квазистепенного базиса и его применении.- Мат. заметки, 1990, 48, №6, с. 72-78.

13. Осколков В А. О некоторых вопросах теории целых функций.- Мат. сб.,1993, 184, №1, с. 129-148.

14. Осколков В. А. О базисности некоторых полиномиальных систем в пространствах целых функций

экспоненциального типа.- Изв. РАН (сер. мат), 1993, 57, №3, с. 179-191.

15. Осколков В А. Проблема Харди-Литлвуда для регулярных и равномерно распределенных числовых последовательностей.- Изв. РАН (сер. мат.), 1994, 58, №2, с.153-166.