О нелокальных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Гареева Татьяна Мулловна

УДК 517.927.

О НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Лазарев Константин Петрович

Воронеж - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение . ..................... 4

ГЛАВА I. Т-РЕГУЛЯРНЫЕ НАБОРЫ ФУНКЦИОНАЛОВ .... 19

§1. Т-регулярные наборы функционалов. Невырожденность краевой задачи с неосциллирующим оператором и * Т-регулярным набором функционалов ....... 19

§2.' Условия Т-регулярности наборов функционалов . . 25 §3. Условия М-регулярности и Д-регулярности наборов

функционалов ................. 37

ГЛАВА 2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ КРАЕВЫМ

УСЛОВИЯМ С Т-РЕГУЛЯРНЫМ НАБОРОМ ФУНКЦИОНАЛОВ. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ... 49 §4. Распределение нулей функций, удовлетворяющих

Т-регулярным краевым условиям......... 49

§5. Знакорегулярные свойства функции Грина краевой

задачи с Т-регулярными условиями ........ 58

§6. Разрешимость краевой задачи на отрезке

с условиями, локализованными в окрестностях

концов отрезка ................ 68

ГЛАВА 3. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С Т-РЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ. ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ ЗАДАЧАМ 73

§7. Исследование спектральных свойств нелокальной

краевой задачи с Т-регулярными краевыми условиями 73 §8. Приложение к нелинейным задачам.

Свойства интегрального оператора, порожденного нелинейной задачей ......... ....... 83

§9. Существование неотрицательного решения нелинейной

задачи .........................93

ЛИТЕРАТУРА ............ ......... 96

ВВЕДЕНИЕ

Нелокальные краевые задачи впервые начали рассматриваться в начале нашего столетия. В работах М. РLeone. [51] , BMiEß [52], C.B.Wííct^í53] встречаются постановки краевых задач с многоточечными и интегральными краевыми условиями. В простейших ситуациях были построены функции Грина, рассмотрена сопряженная задача,-обсуждались вопросы дискретности и непрерывности спектра. • • Многоточечные задачи позднее изучались Тамаркиным Я.Д.[437, [54], [55], который рассматривал в основном асимптотику спектра.

После известной статьи СИ. JJz 2а. ЛГа££е.а. Poct^Ln. [43] появились шогие работы, посвященные задаче Валле-Пуссена ( отметим некоторые [ I], [37], Г 47], [491). В таких задачах краевые условия задаются на некоторой сетке из данного отрезка, причем каждое условие локализуется в одной из точек0 Для таких задач получен ряд глубоких результатов, связанных с оценками функции Грина, ее знакорегулярностью (см. [ 38],[392, [403), доказана осцилляционность спектра задачи со знакопеременным весом [ 35].

Осцилляционная теория для задачи Валле-Пуссена является развитием результатов, полученных для двухточечных краевых задач. В работах Калафати П.Д., Крейна М.Г., Гантмахера Ш.Р., Левина А.Ю., Степанова Т.Д. (см., например,[10], [291) были получены основные осцилляционные спектральные свойства. В работе Барковского Ю.С. и Юдовича В.И. [41 исследованы спектральные свойства двухточечной краевой задачи с осцилляци-онной функцией Грина и знакопеременным весом.

Многоточечные задачи рассматривались и для. уравнений с частными производными, например, в известной работе Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [3].

В работе Ильина В.А. и Моисеева Е.И. [12] рассматривалась многоточечная задача для уравнения 2-го порядка. Результаты этой статьи имеют глубокую алгебраическую природу, позволившею развить их и перенести их на уравнения л-го порядка с достаточно общими функционалами.

Данная работа посвящена изучению наборов функционалов, позволяющих выделять классы однозначно разрешимых краевых задач с неосциллирующими дифференциальными операторами л, -го порядка, изучению знак©регулярных свойств функции Грина, исследованию осцилляционных спектральных свойств некоторого класса нелокальных краевых задач и исследованию нелинейной задачи.

Перейдем к краткому описанию полученных результатов. Работа состоит из трех глав.

I. Первая глава посвящена изучению так называемых Т-регулярных наборов функционалов.

В §1 вводится понятие Т-регулярного на промежутке У набора функционалов. Впервые это понятие введен© Покорным Ю.В. в [26] .

Пусть 7 -открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток с концами а. и В (-оо < а < В<оа С-О?) пространство непрерывных на 3 функций с нормой 11 =

= р 100&I ; С*С7) - пространство непрерывных

линейных функционалов на С£7) . ^

Напомним, что непрерывные функции {^¿С^)}^ ("¿'€•7) образуют систему Чебышева (Т-еиетему) порядка на , если любой

нетривиальный полином по этой системе ос 60 ^^¿С^) обращается в нуль не более, чем в п~1 точках из у

Под Т^ -пространством на У понимается любое к -мерное подпространство Вп.^ С-О?) , у которого некоторый ( а, следовательно, и любой) базис является Т-системо_й на

- б -

н ^

Определение 1.1, Набор функционалов {ч}^ из С (О) называется Т-регулярным на 7 , если для каждого Тп «пространства Еп. на >7 и любой ос</) ^ ^/г из равенств £¿(3( ) следует, что на .

Т-регулярные наборы функционалов позволяют выделять классы однозначно разрешимых краевых задач е неосциллирующимн операторами.

Напомним, что обыкновенный дифференциальный оператор

/п)

¿0+»■ + ЯпС*) 02 (I)

называется неосциллирующим на Г«-,^] , если любое нетривиальное решение уравнения ¿ое=<? имеет на Г<*, не более нулей с учетом кратностей.

Теорема 1,5. Если набор функционалов {-£¿3^ из Т-регулярен на У , то для любого не о сцилл ирующе го на 7 оператора (I) с суммируемыми коэффициентами а[С0 краевая задача

Ь да =. ^

однозначно разрешима при любой ^ е ¿^ и любых

(¿=¿>5.

В §1 приводится критерий Т-ре гул яркости набора функционалов, Приводятся леммы о возможности расширения промежутка С Т-регулярности набора функционалов, о возможности объединения двух Т-регулярных на промежутках и ^ наборов

функционалов в один набор, Т-регулярный на объединении промежутков - и ,

В §2 вводится понятие -чебышевекой системы функций.

Доказываются теоремы о Т-регулярности интегрального набора

функционалов, а также набора многоточечных функционалов. Пусть по-прежнему У обозначает открытый, полуоткрытый или замкнутый промежуток с концами а. та £ . Пусть на 3 задана неубывающая функция « Она стандартным образом порождает меру Лебега-Стилтьеса, которую обозначим также через <о"-. • Обозначим через симплекс в п. вида, _у

"хх- = 1У*Ы Ъ* и*- * и , Ь**, 1-4*5

Через уМ обозначим меру на , порожденную п -ой

степенью линейной меры ©~ .

Определение 2.1. Систему функций

¿¿СО, с^О,-,

оСп(-) » суммируемых на ч7 по мере в~ , назовем (о~+ ) -чебышевской на $ , если на

почти всюду ( относительно меры уи )

и, кроме того,

(з)

Классы + -чебышевских и -чебышевских систем

мы объединим под общим названием -чебышевских систем.

Следующие две теоремы представляют Т-регулярные на промежутке 7 наборы функционалов.

Теорема 2.2. Если функции } && ¿О, Ы.п

образуют -чебышевскую систему на промежутке 7 ,

то набор функционалов

2 /се) = а^60 С^^А) (4)

У

Т-регулярен на у ' . -

Определение 2.2. Прямоугольную матрицу А (/гхлг ) ( К&т) следуя £4] будем называть знакосогласованной, если она имеет ранг н и все ее ненулевые шноры порядка п. имеют одинаковый знак*

Теорема 2.4. Пусть матрица Ыц II ( ¿=4, п. 9 >

тп7, п) является знакосогласованной. Пусть ^ < - произвольные точки из 7 • Тогда функционалы

= (5)

образуют Т-регулярный набор на 7 .

В §3 показывается, что многоточечные и интегральные наборы функционалов, если они Т-р@гулярны, могут быть невырожденным линейным преобразованием переведены в так называемые М-регудярные и Д-регулярные наборы, в которых укороченные под-наборы сами являются Т-регулярными. Такая канонизация краевых условий открывает дорогу качественным методам анализа краевых задач, основанным на факторизации Пойа и теореме Ролл я.

Определение 3.1. Набор функционалов из

назовем М-регулярным на 7 , если £-£¿3^ образуют Т-регулярный набор при каждом 1 ~ п. .

3.1. Пусть матрица ¡¡сС^ II ( , ^ т

1717/^ ) является знакосогласованной. Пусть

ьъ - произвольные точки из 7 Рассмотрим набор функционалов

я

существует невырожденное линейное преобразование

переводящее набор функционалов (6) в М-регулярный набор

Л-

Теорема 3.2. Пусть система функций {¿Л^ образует Т-сиетему на $ ] . Пусть функция строго возрас-

тает и непрерывна. Тогда набор функционалов

в — N

2:0*0 я С1=±^

а

можно линейно преобразовать в набор ^¿ С'^)}^ , который будет М-регулярным по крайней мере на открытом интервале

( а, В ).

Определение 3.2. Набор ^ функционалов из С, (я) назовем Д-регулярным на 7 , если любой его поднабор £/?£1 ? является Т-регулярным набором.

Теорема 3.3. Пусть матрица //о^-// (1-1,!1 ,

т^ п ) знакосоглаеована. Пусть вее ее миноры порядка П-отличны от нуля. Тогда Т-регулярный на У набор функционалов

у

можно линейно преобразовать в Д-регулярный на 3 набор.

2. В главе 2 исследуются осцилляционные свойства нелекальной краевой задачи с Т-регулярныни краевыми условиями.

В §4 изучается осцилляционные свойства функций, удовлетворяющих Т-регулярным краевым условиям, приводятся оценки на количество и кратность нулей.

Теорема 4.1. Пусть б'С'О ~ возрастающая на и

непрерывная функция. Пусть пространство

- хи -

определяется набором функционалов ~ £ вида

2ХМбО ог^; , (8)

>7

где - <о - чебшевская еистема функций на 7 .

Тогда любая функция ос О ё имеет на (а ,В)

не "менее <4. различных нулевых точек.

Аналогичная теорема справедлива и для функционалов вида т. , , ---л

= С1-'.*;»1*'1)' {9)

<7

где ^

Назовем /г. - индексом нулевого места со функции ^О ^ С- (?) число

^ П ,'если со -неизолированный нуль;

со)— 1 * ' если -изолированный концевой

^ ' \ или узловой нуль;

2 , если со -изолированная нуль-пучность.

Сумму индексов всех нулевых мест функции ос. 6) на промежутке 3 будем обозначать Ю » либо

Теорема 4.3. Пусть пространство (7) определяется набором функционалов вида (9), где матрица II

знакосогласована. Тогда для любой функции о¿6) справедлива оценка (ъ? / ^ . Более того,

В §5 исследуются осцнлляционные свойства функции Грина краевой задачи с Т-регулярными условиями.

Здесь краевые условия задаются функционалами вида

у

или

т.

1 , (П)

локализованными в непересекающихся окрестностях точек СС и

Рассмотрим задачу

С^Ы"'*2) (12)

ЬС^о (^¿Л) > (13)

где краевые условия определяются функционалами вида

(Т

ЧЭ

Здесь , = ( ¿у ) ;

» /- - чебышевские системы

функций на ^ и ^ соответственно. Функция строго возрастает и непрерывна на и

Теорема 5.1. Пусть Ь -неосциллирующий на Г&гб] дифференциальный оператор /г -го порядка с суммируемыми коэффициентами. Тогда функция Грина задачи (12),

(13), (14), (15) при каждом фиксированном (а, £) имеет по ± ровно п. простых узловых нулей на из них к .рулей на ( £ ) и ъ-к нулей на ( с/, £ ).

На множестве со а^тЬ^ 01 ; 4 6}'

функция Грина О-С*,^) удовлетворяет неравенству

Пусть теперь краевые условия задаются функционалами вида (II), локализованными в окрестности точек а ж В . Рассмотрим задачу

и=1 (1б) .

(I?)

где краевые условия определяются функционалами вида /Г?1 _

> (18) ЬСа^'^иХСЪ)} "Ь*"

1 <? (19)

Здесь ; ;

Матрицы II и IIуЗу //' знакосогласованы.

Теорема 5.2. Пусть А -неосциллирующий на дифференциальный оператор /г -го порядка с суммируемыми коэффициентами. Тогда функция Грина £ задачи (16),

(17), (18), (19) при каждом фиксированном имеет по £ изолированные нули ( узловые, нуль-пучности

- ÎO -

или концевые ) суммарной кратности /г на [а.( в] , из них кратность нулей на/~^ ^ ] равна К , кратность нулей на равна /г-/5 и кратность каждого нуля не выше двух. На множестве

с-*** ;

функция Грина &(t,&) задачи (16), (17), (18), (19) удовлетворяет неравенству (~1 *

В §6 приводятся некоторые теоремы об однозначной разрешимости краевой задачи с неосциллирующим оператором и краевыми условиями, локализованными в окрестности концов отрезка.

Пусть L -дифференциальный оператор h, -го порядка с суммируемыми коэффициентами, не осциллирующий на [cLt В} » Как известно, его можно представить в форме Пойа (см., например, Г28])

^ЪС^^ыО-ЪСО^ЪСО* (20)

где ^iC) -достаточно гладкие и положительные функции. Обозначим

Пусть С ! о! & Са/ и (L^cL . Пусть функционалы &П-Х имеют вид

где ~ ^ -чебышевская система на ¿а-, с] ,

СГ^О -строго возрастает и непрерывна, либо кусочно-постоянна и не убывает.

Для определения функционала 2^ » локализуемого на

введем в рассмотрение функционал

где у° 60 - неубывающая функция, а - суммируемая

по мере функция.

Рассмотрим задачу

Теорема 6.1. Задача (23), (24) однозначно разрешима, если оСп ^ О й если <~п

Использование квазипроизводных ¿©¿-К , определяемых согласно (21), приводит к следующим результатам.

Теорема 6.2. Пусть

Тогда краевая задача (23), (24) однозначно разрешима.

однозначной разрешимости задачи (23), (24) достаточно,

чтобы 1п № $ С®**1) при некотором #

Пусть функционал 2п. допускает представление К? ¿4) ~ $ при некотором 1-01

Теорема 6.3. Если сна , то для

3. Глава 3 посвящена исследованию спектральных свойств нелокальной краевой задачи с Т-регулярными краевыми условиями, а также содержит приложение к нелинейным задачам.

В §7 спектральные свойства исследованы путем сведения краевых условий к условиям теоремы Калафати - Гантмахера -Крейна [29] и применения этой теоремы.

Рассмотрим спектральную задачу

h-ггг I

(-1) __(25)

C^-W (26)

с неосциллирующим на [a, êl дифференциальным оператором

П- -го порядка L и краевыми условиями, определяемыми

функционалами

û . _,

<ot

È

£¿£<0= /, СО °/о-60 + (38)

где - неубывающая на и

( ос ^ а < с/ < £ ) функция ;

и " ^ -чебышевские системы

функций на Г^/ и

соответственно.

В §7 доказана следующая теорема. Теорема 7.1. Пусть коэффициенты дифференциального оператора А и функция ^6) суммируемы на £]

f

Пусть на и [dtil и

почти всюду на (С. td). Тогда оператор, порожденный задачей ( 25), ( 26), с функционалами вида ( 27.) и (28), обладает осцилляционным комплексом спектральных свойств : спектр оператора состоит из неограниченной последовательности вещественных простых положительных собственных значений — и соответствующие

собственные функции {fol побладают

следующими свойствами на (с fo¿) %

а) ^ имеет точно К нулевых точек и все они являются узлами ( К—0,4.,'.. ) ;

б) при каждом К между любыми соседними нулями $ из (С ,o¿) находится точно один нуль tfн

( перемежаемость нулей ) ;

в) последовательность }о образует интерполяционный ряд ( цепь Маркова ) на (С , i), то есть при каящом К

система {^ilfo есть система Чебышева порядка К ( Тк - система ) на (С , ot).

В §8 и §9 рассматривается приложение к нелинейной краевой задаче

С-1)"т'1к{29)

ЬО*)-о ■ - (30)

Здесь и - неосциллирующий на [а., дифференциальный оператор, а краевые условия задаются интегралами Лебега-Стилтьеса вида (27) и (28).

X - множеств© функций С , имеющих непре-

рывные производные до ( П.-2. )-го порядка, абсолютно непрерывную производную («--1 )-го порядка и удовлетворяющих краевым условиям (30).

В §8 исследуются свойства интегрального оператора, порожденного нелинейной задачей, его вполне непрерывность, и0 - ограниченность, - вогнутость.

В §9 доказывается теорема о существовании ненулевого решения нелинейной задачи и возможности найти это решение методом последовательных приближений»

Основные результаты диссертации опубликованы в работах О 7 , 8 , 31 , 32 , 34].

Результаты диссертации докладывались на 4-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 1989г ;

Третьей Северо-кавказской региональной конференции по

/

функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям, Махачкала, 1991г ;

Воронежской зимней математической школе ;

Научных конференциях Воронежского госуниверситета ;

Семинарах Покорного Ю.В. в НИИ математики ВГУ.

Об организации текста диссертации.

Диссертация содержит три главы, девять параграфов. Нумерация параграфов сплошная. Формулы ш утверждения ( теоремы, леммы, следствия, замечания ) имеют двойную нумерацию.

В начале диссертации приведено оглавление. В конце диссертации имеется список литературы.

Автор сердечно благодарен за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов своим научным руководителям профессору Покорному Ю.В. и доценту Лазареву К.П.

Автор благодарен также участникам семинара п© качественной теории краевых задач под руководством Покорного Ю.В. за благотворные замечания и обсуждение результатов.

Глава I. Т-РЕГУЛЯРНЫЕ НАБОРЫ ФУНКЦИОНАЛОВ

В этой главе изучаются Т-регудярные наборы функционалов. Доказывается теорема о невырожденности краевой задачи с неос-циллирующим оператором и краевыми условиями, которые задаются Т-регулярным набором функционалов. Доказываются теоремы о Т-регулярности интегрального набора функционалов, а также набора многоточечных функционалов, о возможности перевода Т-регулярно-го на промежутке 7 набора функционалов в наборы М-регулярные и Д-регулярные, в которых укороченные поднаборы сами являются Т-регулярными.

§1. Т-РЕШЯРНЫЕ НАБОРЫ даКЦИОНАЛОВ. НЕВЫРОВДШНОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕОСЦШШЙРУЩИМ ОПЕРАТОРОМ й Т-РЕГУЛЯРНЫМ НАБОРОМ §УНКЦИ0НАЛ0В

В настоящем пар