Интерполяция функциями конечного порядка в полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

П о и.ч

НАЦЮНАЛЬНА ШДШЯ НАУКУКРАГКИ /ШСЖЙ'ПРЙСЛАЦШ)! I ИЁХАН1КИ

ОКТ-1996

У Б ОД

' 8 ОКТ ?

На правах рукошсу

ИАЛШ1Н Костянтин Геннад1йович 1НТЕРП0ЛЯЦ1Я ФУЙКЦ1ЯКИ СК1НЧЕННОГО ПОРШШУ У П1ВШ10ЩИН1

01.01.01 - матеиатичний анал1з

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобуття наукозого ступеня доктора ф1зико-математ1ГЧних,наук

Донецьк - 1993'

Роботу виконано у Сумськоиу с1льськогссгодарському 1нстигут1

0фЩ1йн1 опонекти: доктор ф1зико-математичннх наук професор в. 1.-Б13ШЙ

доктор ф1зико-математичних наук професор А; А.Гольдберг

доктор ф!зико-математичних наук професор 1.В.Ковал1шна

ПровШа' орган1зац1я: Харк1вський дераавнийун!верситет

Захист в1дСудеться 1996 р. о год.

на зас1данн1 спец1ал1зовано1 ради Д 06.01.01 для захисту да-сертацИ на здобуття наукового ступеня доктора ф1зкко-математич-них наук при 1нститут1 прикладной математики 1 механ1ки НА! Укра1ш за.адресов:340114. м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

3 дисертан1е» можна ознайоштись у б1бл!отец1 1нституту приклад-но1 математики 1 механ1ки НАНУкра1ни

Автореферат роз1слако "30" ¿¿^иЛд 1996 р.

Вчений секретар

спец1ал1зовано! рада л /

■кандидат ф1зико- ¿а'.хМ*^»*«^'

ыатематичних наук А.I.МарковськиЯ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

|ункц1й пос1дае ваяливе м!сце у сучасн1Й математик!. II народан-:я пов'язаке з 1менами Ньютона та Лаграшса. Гнтерес до uisl тема-ики обумовленнй TI широким застосуванням при роз'язуванн! бага-ъох теоретичних та прикладних проблем. Так, метода теорП 1нтер-:оляц1! застосовуються при вквченн1 широкого кола питань, пов'я-аних з задачами повяоти систем анал1тичяях функц1й в облает! :омллексно1 площшш, теоремами едяост1 для анад1тичних функц!й. проблемою момент1в. при вивченн1 спец1алышх алгебр анал1тичних ункЩй. TecplI 1нтерполяц1Т анал!тичних функц1й повн1стю або астково присвячен1 мснографИ В.Л.Гончарова (1954), М.А.евграфо-а (1954), Б.Я. Лев1на (1956), Дя.Л. Уолша (I960). А.0.Гельфонда 1967, трете Еэдання), I.I. 1браг1м'ова (1971), ILKyclca (1980), .К. Н!кольського (1980), Дк. Гарнетта (1981), А.Ф. Леонт'ева 1976. 1980, 1981, 1983). В. К. Дубового, Б.ФрШае, Б.Мрштейна 1992). Ряд вежлив?« задач теор!Г 1нтерполяц1Т ц!лими функц1ями уло розв'язано С.Н.Беритейном. А. 0. Гелъфондом, В.Л.Гончаровим, .В.Квлдишем, Б.Я. Лев1ним. А. о. Леонт'езйм. Л.Хермандером.

Поряд з задачами 1нтерполяц11 Щлиш функц!я>ш розглядаються адач1 1нтерполяц11 фунхц1ями голоморфнзши у круз1 та п1вплощин1. ера! вежлив 1 результата у цьому напрямку одержали Шур. Незанл1н-а, П1к. Вони знайши подальшиЯ розвиток у роботах М. Г. Крейна, . А.Нудельмапа. В.П.Потапова, I.B.Ксвал1штао1. В.К. Дубового.

Великий вплив на досл!даення по 1нтерполяЩТ кала в 1 дома татгя Л.Карлесона 1962 року "1нтерполяц1я обкекэними фуккц1яки а проблема корони". Досл1дяення у цьому напрямку в1дображен! у ;ке згадуваних книгах ILKyclca 1 Да.Гарнетта. Великий внесок у озрабку Ш1такь в!льноТ 1нтерполяц!Т з класах Н Р . И 1 класах ладких а;к до самоТ мен1 функц!й зробкли пс-тербурзьськ! матената-и. Про деяк1 з цих дослЦяеяь йде мова у огляд1 С. 0. Виноградова а З.П.Хав1на (1974, 1976) 1 КНИ31 Н.К.Н1кольського (1080).. 8as-«вяй вкесок в розробку згаданих вище питань зробили в!рменськ1 атекатики М. М. Джрбашлн. Г. I!. Айрапэтян, В. Н. Мартиросян, З.А.Еа-зян.

1.Ерл та П.Джонс знайшля просто доведения тесреми Л.Карлесо -а. 1деГ П. Джонса щцроко виксрастсзувться У какояу дослхдкенн!.

У 1948 рощ А.Ф.Леонт'ев вперше розглянув задачу, яка Шзн1 одержала назву задач! в!льно! !нтерполяц11: визначити, як! умо повинна задовольнята посл1довн1сть вузл1в 1Л ком

лексно! площани, для того, щоб для будь-якоТ посл1довност! с^ що задовольняе нер!вн1сть ¿т. (■¿и* ¿я* \с¡2 , молена п

К со

будувати ц!лу функций £ порядку В (клас таких Фуккц!й познан еться С§>0£ЭЛ ) таку,, що ^(г^) а . ВШ дов1в, що такою умовою

¿или ~——— Ьл? {ц —-—--« £ }

де £("«) - канон1чндй добузок Вейергтрасса, побудований за вузл ми !нгерпол.Ш1 £ . Ран1ше деяк! достатн! умови Юнування ро в'язку тако! задач! знай&ш Мурзл та УЮТ, Мак!нтайр.та У1лсо П1зк1ше А.Ф.Леонт'ев задачу просто! в1льно! 1нтерполяц11 розв' зав у клас1 ) Шлих функц!й-порядку § 1 нормального тип

У Схльш загальному клас1 КЧг),«»® ) , де£? (И - уточнений Вал1роном порядок, розв'язала у 1950 роц! О.С.Ф1рсакова. Дал1 е на за додатковою утювою правильного розпод1лу вузл1в 1нтерполяа розв'язала задачу 1нтерполяи11 у клас1 [§(г), Д.(6)] ц!лих функц1й 1ндакатором,- що не .перевернув заданий индикатор Я (б). Критер 0.с.Ф1рсаково! мали, форму, аналог1чну тШ. яку запропонун А.Ф.Леонт'ев.-.

Виходячи з результатов А.Ф. Леонт'ева 1 О.С.Ф1рсаково1. не були запродонован! нов! критерП Юнування розв'язку 1нтерпол Шйних задач у клас1 ц1лих функц1й ск!кченного порядку (ц1 г зультати не ув1йшли до дисертацИ). Ц1 критерП мали б1льш геоь тричний характер 1 форму лизались у терминах М1ри £ - ). породауеться вузлами 1нтерполяц11, 1'мають деяку схок1сть з к^ тер1ем Л.Карлесона. _ ..

Важлив! питания теорН 1нтерполяц11 у класах функц1Й ск1нче ного порядку рогглянут! у роботах Ю.Ф.Коробейн1ка, О.В.Врат1щеЕ О.М. Руссаковського, С.Беренстейна, Б.Тейлора. •

Зрештош, б 1984 р. А. Д.Гришин, використовуючи розвинуту ? •геарХс мнояин регулярного зростання Шлих функц1й. остаточно рс

з'язаз задачу в 1льно1 1нтерполяц11 -у-адасГ зв1лыш-

2'сь в1д доггтхсво! у:-:о&п про праЕялъккй розпод1л вузл1в 1нтерпс-прцЦ, яка була у роботах попзре-а1х автор13.

У залач! кратно! 1нтергкляц11 залазться числа Сл ,, 1 в1л2у-■сугтъсл фуг:кц1я £ така, ёо '

олп-1 1з" пер-дгсс задачу '(3 ) у клас1 С?',ем9' ] роз'язаз Нурел ярз спгц1альЕЗС умопгх на дуглз 1нтерполяЦ1. Г.П.Лап1н

розповсзлпз результату - А. 9. Лбонт' еза у клас1 [5. о-0 ) на задачу кратно! 1иторполлц11. ~Теор1я'кратно! 1нтерполяц11 у просторах ц1-!Ш ФзнкзШ. со• Бтзкаяшогься уточкеккг! порядком $ (г) 1 в охм.'як т?:спс простсрХв,, о^эргдла Еодалк-гЗ.розвкгой у роботах Ю.Ф.Коро-Се?н1ка, о. Е.БратДкзза. -Х-Г-Гргагппа та О.И. Руссакоьського.

• Г.Л.ТРОГ5Й прогорала •гсояХгпвння А,Ф. Леснт'еЕа 1 0. с.Ф1рсако-го1, розгаЕйгеп 1ягЬрпо»щ11яу задачу у клас1 фунххЦй голо:;орф-¡глх у кут1 {е.,<' Я/(23) - В1н розглздаз -випадок, коли зузля 1ятерлолйиП' ззакодяться у кенсому жу?И 2 {<£/(£<?)- 2 . У 1975 роц! в. Я.Лсэ1н та Егугп Тххокт Уен розглянуди задачу просто! 1ктсрпо:..та11 у аглс 1'. [£, «»Л^зна» порял 1з знаком внзна-чзаггл клссу о^нзчаз, а» розглядаеться в 1дпсз1.ггг*пй клас голскорф-кв :/ БбртсЛЙ п1йплс"г,'":1 ёуня&Ю-' У них гзгор1з обмкгетшя «а ву-злз ¿нтерполии! -гкатио г.ееа!, :И:х у Г. Л. Троккга-, зле деяхв э1д-лгпаяяа аузл'з в1д »аг1 п!ьхгсе;"ш пергй?е«адосл. ЯгШ пря ана-лог1'шх об'!б-;2йапх задача ютараоляцИ у класах £ ? . «« )+ була розгяян^а Н.Г.Увйом; Сво! "уазгя згёЛан! вяще аг.торп форкудгшля у тзрм!нах какон'1чсзх добупав НеванлГагд. одержали повкмй. тобто без будь-якгх обигшгь вузди 1нтеряоляц11 позз'язех га-дач! в1льно! 1ктррп.оллцИ у ::ласах 12 (л). )!" [" У у 1980 рощ. При-аьому ' не-эбх1лв1 та лостгтн! умоги юнураннл розн'язку 1нтерполлц1йио! задач! йормугха'Гься же у т:р:йлах какоШчного до-бутку. так 1 у термХнах н1ри. цо вягм'тзтася вугглта* 1нтэрлол~-ц.11. Одночасао Сут розв'язаца задача у клас! 13 {г}, Я \ & )]'' з непегеггн!;« на в!др!зку ГО.2 3 12Ш.гл?г>рсм Ц (В ) при ло;:.:ло-з!й умоз! ьра:;;;лькогэ розпод1."у иттс-рполч::!!.

0. М. Руссаковський- аикористав метод Э -проблею! Хермандера та 1де1 згадано! вище робота для розв'язання !нтерполяц1йноХ пробле-т у клас! без будь яких обмежень на !ндикатор £ф),

тобто не Еиключаеться моелив1сть розриву !ндакатора у точках о 1 51 1 необмекенсст! !ндикатора на ( 0,£).

У перй!й глав! дисертацП дано розв'язок задач! в!лько1 кратно! ¡.ктерпсллцП у класах (5 ]+; [,? (л ), оо ^ Окремо ска-асеко, що каш! досл1даення збер!гаютъ силу ! у вкпадку § (г ) н 0. Ми одержуемо критер!й розв'язку задач! в!льно! кратно! !нтерпо-ляцП у клас! Н - Цей результат е новим, незваааючи на велжу к!льк1сть роб!т у цьому напрямку.

При досл1д.1енн! 1нтерполяц1йних задач знаходить сироке засто-сування клас Шлих функЩй Щлком регулярного 'зростання -у сенс! Лез1на-Пфлзгера. Теор1я функц1й Шлком регулярного зростання вн-кладена в йонографП Б.Я.Лев1на "Розяод1л корен!в ц!лих функщй". !•!. В, Говоров побудузаЕ теор1ю функЩй ц!лком регулярного зростання, голоморфних у п1вплоцин1. Ця теория викладена у його книз! '.'Крайова задача Р1мана з нескЛнченюш 1ндексом". А.П.Гришин побу-дував'теор!» множин регулярного зростання ц!лих-функц1й, яка стада головним апарато.м при .досл1'даенн1 !нтерполяц!йно:1 "проблема, у класах ц!лих ФуйкЩй з Щикатором, що. не-перевершуе' заданий Индикатор. Головний сенс цШ. тёорЯ - це введенкя класу фунгацй, що регулярно зростають на множин1 сво1х корен!в: У друПй глав! дисертац11 ми будуемо теор!ю мнсдаш регулярного'зростання для ОункцЩ голоморфних у гЛвплощин!. Зокрека, ми доводимо деяк! вла-стивост! функц!й, що регулярно зростають на тотн! сво!х коре-н1в. Одночасно ми одержуемо деяк! узагальнення тверджень К.В.Говорова.

Побудована у друПй глав! теор!я, на наш погляд, мае сакост!й-не значения. Але для нас головним е те, що ця теор!я дала зиогу нам розв'язати .1нтерлоляЩйну задачу у класах (г ), Я {&)] . Розв"язання цШ задач! мЛститься у трет!й глав! дисерташ'1.

Кета робота. Досл1дгсення задач! кратно! б!льно1 1нтердоляц!1 у класах фуккц!й ск1нченного порядку у гЛвплощнн!. Побудова тео-рП множин регулярного зростаий-для функШй, голоморфних у п1в-авошян!. Бивчення класу фунгаяй, "голоморфних у п!вплошин1, що ре-

гулярно зростаклъ на; мноямн!- своЗх корен!в.

Методика досл!д.тешя. Засгосовуються класичн! метода теорП 5ункц!й комплексного зм!нного. використовупться ряди, як! е уза-гальнэкням !нтерполяц!йкого ряду Лагранка. Ми такон застосовуема загальну .теорШ субгармсн1чних функц!й, 1нтегральн1 зображення субгармон1чних Функц1й, тонну тополог!а Картана, теор1ю граничких '.тоетн В. С. Азар1на.

Наукева новизна. В дисертацИ досл1джен1 1нтерполяц1йн1 задач! у класах [<?. С5 (г- ). 00 ) + . I? (г ). И {в )}* , (ГО, й (б)]Г • Ш досл1днення можна взазкати остаточними. В

г +

роботах попередн1х автор!в го класах , ] , [§.<*=> ) швид-:<1сть наближення вузл!в 1нтерполяц11 до границ! контролювалась, мала м!сЦе деяка р1зниця м1к нэобхШшми -1 достатн!ю1 зовами. Задача для класу (5 (ГО. Я (О)З'1" розглядалась т1льки для правильно розпод!леяих вузл!в !ктерполяц!3. Для вс!х трьох клас!в еипадок 0 < 5 $ 1- ран!ше. взагал! ке розглядався. Побудована те-ор!я шо:-~щ регулярного зростанкя для фунмЦй, голоморфких у п!в-площин!. Розглянуто клас функц!й, голоморфних у п1вплощпн1, що регулярно зроставть на множин! сво!х ксрен!в. Ц1 поняття взеден! зперпё.

Теоретична та практична Шнн!сть. Робота мае теоретичний характер. У багатьох розд!лах теорП анал!тичшх фуккШй мають м!с-це паралельн1 теорП для функц1й, аяал1тичних у плсдин! 1 у л!в-площин!. Зокрема, це стосуеться,. наприклад, неванл1нн!всько! теорП мероморфних функц!й та теорП 1нтерполяцП голоморфними функ-ц1ями. Задач1 для -йвплощини б1льш ваялшз! ! б!лыд р!знонан1тн!. В дисертацИ . теор!я 1нтерполяц1йних задач у йласах [§ Е5 (Г-), оа )*".. (Л'), Ц (5 )}+ розвиваеться в такому .ж об'ем!, як це було зроблено для в!дпов1дних-клас!в ц!лих функц!й у роботах А. Ф. Леонт'€ва, А. П. Гришина, А. М.'Руссаковського. У монограф1ях А.ф. Леонт'ева/в численних роботах 1ншйх автор!в ¿находиться зв'я-зок *теор11 1нтерполяц!1 ц!лими функц!ями 1' задачами повноти систем анал1тичних функц1й з р!зних областях' комплексно! плошини, питаниями единост!. тоща. Мозкна спод!ватися, що теор1я 1нтерполя-ц11 функц1й, голоморфних у Шзплощш!, такоя знайде широка засто-суваяня. Теор!я М.В. Говорова функШй Шлком регулярного зростанкя

- в -

у п1вплощин1 Bse знайшла р!зн1 застоеуваннк. Сл1д чекат;;. п.о клас фуншцй, голоморфных у п!Влоцин!, що регулярно зростають на мно-шн! сво1х корвн1в, такак буде -викорастаний у науковлх дослхдкен-нях.

Наукова в1рог1дц^сть резудьтат!в. Ус1 результата дисертацП е математичншш твердаенняыи, як! доведено на прийштому у сучас-Hif: магематшЦ р!вн1 строгост!.

Апробац1я ..юобота. Результата 'дисертацП допоэ1дглись на 6-1й конференцп "ДеякГпраблзыи.комплексного ,анаЛ1зу" ( Черноголовка, 1583 р.). на сем1нарах у Донедьку ( кер1вник В.1.Б1лий ), Львов! (кер1вник А.-А.Годьдберг), Моске! ( кер1вшк Ю. А.Казьм!н), Санкт-Петербурз! (кер1вкики В;П. XsaiH i К.К. Школьськкй). Харков1 (ке-piEHiiK Б.Я.Лев1н). Харков! (кер1внкк В. 0.Марченко), Харкоз1 (ке-plBKKK Л.1. POHKlH) .

Публ1каи!Т. Осковызй зм1ст дисертацЦ бпубдшзано в ро'бо.тах [1-15]. . ■ ■

Структура та обсяг тзоботн. Дшертац1я складаеться 1з - вступу та трьох глав 1 щкладена-на 217 стор1нках машинописного тексту, список л!герагури м1стить 105 наймэнувань.

3KICT РОБОТИ

Абсолютно нелерервна фушцЦя $ (л) називаеться уточнении порядком в сенс1 Вал!рона. якщо вцккдоться умови

¿м... 3 ¿'И. r S '(г) 'Ь- Г- = о .

I---- с*= Г" ~> «*=> о ^J

Ми будеио розглядати т1льки в^падок $ > О. Функц1ю г кя по-значасмо4/" (Н •

Уточнений порядок g (г) називавться фор;.;апьнкм порядком фукк-ullt (5). голоморфно! у твплощий :3iMi>o\- якшо 1сну£

стала М така, шо

¿tlf(i)l < MVOiOj 2£<П +

Дал! л!тероэ И -ш будено позначата Сталине обов'язково од-

аков! в р1зпих м1ощ&.' ',■•■.

Уточнений порядок £ (г) кёзизтьсй ' нагйБ^'рмадьнта порядком олсморФпо! в £+ ФУшйХ-р (2-). як5о.-в1к в'.фориальгеш порядком 1 с.тузгь числа =Гб ( 0 ^€(0. 1). И так!, со у хоззЫ обм-

■п - {2: у?- <£-<$"} 1онуе

очка 5е та:а,. цо > ИТ(^¿0 • Нехай 3 ~ £«н, ^ь

¿д„. л +

) - даз1зор у п1впяссин1 <Ь . Бизпачийо

Яру ■ ■ '

'ОЗНОЛПМО Ч';рЕЗ С {5 , /*") В18ХрИТЕЙ КрУ? 3 ЦЗНТрОМ У ТОЧЦ1 2

Цусал- . Глз1зср £5 П!2!гачаг-с1я'э фупкц1й-

Ф' <*■) - —----->-— ,

. . ТОО

¿о ■

зз 2 -ле . а - точка 1з кос1я дшзсра и а-;г ■ кайолил-ч» до - , та:: г;о гавздч Ф' (5 ) -0 для дсстатньо наетс .

!*■<. * Г фЧ^с^Л^

и \ ~~—---—

и -1 (*>. -г з-«.-. ) -

о

Еизкачгк-м ' -ДгоХзор Й) ' :122;г?а"~^сл Иттэдполпц.М«-!;.,' у ::;-;-с.1 С?(Г),с--)", лки;о длл судь-пхз! посл!до2Нсгт1 чо-плгг.г.н^.х т 3» ..... гадгэелъияв умозу

Г",.'-.'. "• ... . ч ; " "" ,.

!*,"•>- ; !< К -У л

ле Л^-т'цц.&а^), 1сйуе ©ункц1я ^ £ )* 1з зласти-

вЗстю (.7).

■Наведено головний результат перио! глави для *б1льш простого вкладку. колк 3 негЦле число.

Теорел-а 1. Наступи! три твердхення екв1валентн1.

1. Див1зор е 1йтертюляц1йкий див1зор у клас!

2. Для канон1чного добутку £• (г-) дквхзора 5) виконуеться нер1в-н!сть

4 1 '4 5 и.р —^----ТТ^Т-. ,,,

3. Вяконукться умовзг: ■ 3.1. Дел будь-якого «Г > и

У- (г Ь ) < с-э .

« / £ л -.--ГЬ------Ъг. ----■<

ЛГП.а ' (\ -А-

Нагадаемо, що кавон!чкйй добуток Неванл1нни див1зора 5) визна-а-еться за формулою:

'и

Еб)* П

. п

г -■«*

к

«ч|>

Ш ; ...„'/

Ь м.....

."«• «"Л.. <!=>

Г. 4 № а-

Зинадок Щлого § , яюгё тйхок розглядаеться в диссртацП, £ «:ладн1шкй. В цьому витадку канон!чшй добуток треба заы!®гси на функаю, яка назилаеться щшеднано» фушйв» д«з!зора Ю 1 яку ще греба будува;л. —

Голоморфна в С фушайя .р назираеться функЩею скаченного порядку, як«о 1сяуе уточнений порядок$ С*), який е форкаль-нам порядком ц1е! ©ункцП. Изхай Ер- кказша чисил виду § =.

- {ivA §(?■). xes(r) - К5п1в0срйа.пьш1й порядок- isSSÜtt £ • Поря л-

кон функцН f в £ назизавться число 2 Eg . це. вязна-

чэння порядку функцН f налить А. П. Гршнзу.. • зазначжо»

що якцо Sj^ - порядок у сенс! еквизалэнтнях mis со боя впаиачень Б.Иттар'ла 1 Ii.В.Говорова, то . Ящз 2>i . то вкзна-

чйеня сгИвпадаэть 1 в иьоау вппаяку будь-яхий' форяаяькйй порядок, g (г) s одночасно кап1вфор.'.;алы2г:. Чэраз [§ .сэ]4" ыи Судеко по-значата клас голомарфннх у гйвплощзв! функц1й, порядок s „ яких не пэревершуз $ . •

Визтчеш.я г. Дивгзор 2} назяваеться 1нгврйсляц1йнкм у ккас1 якщо для будь-яко! поел! дозност! кокплекстах чисел § ( . djo задозольняе унобтг

'ч>|< р I K'i

г" / у +у + ИЧ „

г- , ¿'-Г, 4

f и -*> во t '4 >-и.

1 У ъ/ , , -—-——— «с mv SicJ?---г-——--- < oo }

1снуе фу1-1кц1я fe {f , os. ]+ i3 вяастизютв (3 ).

Teapem 2. Наступи! твердашя егз1вадзнтн1. 1. Ляз!зор £) е 1нтерполц12нка дав!зср у клас! [ g ,<х> ]+. 2. Каяон!чн?!й добуток дав1зора £) задозолъняе умови

-i— i---—-~ 4< £

i у + / * Sf-'J -——-— Ш Zit —--r—■"—--- < oo

|£ (aJiA,

12

5. Для будь якого á~> О -влконувться уаови

<Г

i - i г н

3.1 <Ùmi

Vu

f ~ > сгО

1л I Г-

— in

S«.* & X

S

в

о

ïLd..

3,2 —

Г

• f- »■«> с?» ^ Ci -A-и

<0«з .

3,4 fi"

a.)

< ©43

if

^-ii.

щ§ P43 8азначамо.:шо адо.5 (r)£ 0,.то 1нтерполздШш задача у KJiaci Cg (г- ). W.)+ : передать з,задачу у кл$с1 H ^ .

Георакз 3,- ЕастудаГуыоаи скв1палеш1. 1. Див1зор'© е iHTepnoJüijíñHKa див!зор у клас! H 2.- Добуток Блялк« даь1аора-50 задовадьняе зйюеу

л.'-

3. БйКОНУВТь'СЛ y~'ÍSXÍi

сф ':>

в*

"fi

StLji iî.'.O J

s с p

...... < ,

% . -1 = 1,2 ....ДЛЯ Д8ЯК0ГС5 V, .

Перейдечо до Еиклэдакяя результат!» друго1 глава. 0дя1га 1з величгги. .¡до характеризуете повед1н;су - голскор*но1 Фушй! . в скэл1- нескШеккосП, е иадпсатср Ц1е1 функцИ. який визначг-гться Формулой

. •?¿4

я» 1& ) - Ш. + . Г->со "V»

йснсчеяня з. Кпогнва. £ назхгазться ¿■нозиов регулярного зростання (м.р.зл-) . фунхцИ . у тШнш)Цйн1 ¡С* , як^о 1снуе з1до-

браженнл Т : * тйкэ, що • '. /• -у -

Ьл'Л, ■ ——~ 1 ^ Ггу"< ©О }

а

©О

3 ^

2 => ею

2 еТ(&)

уШ

йзхай. & - довиька пюзгаа. Будвмо иоааачати ~ У }

_ е ■ . ...-■' " 5 С- С.

- гонотет!» инкйти & з даятроя у точц1 нуль 1 ксоФОДеятои

л* * '

£ , - (££Л . Введено таку фуакцю щльност! н1ря ц ""

—

: О-^+б ^ ~>ЙО V (Л/

Кагаааеио. «о нсш!шшз1йська шрз ^ субгэрмор!«нй футсцЛ

р в шзкз^артъся за Сор:гу®й'

де - рясс!еська м1ра функцП . Через 2» ьш будемо позна-чати див!зор корен1в функцП £.

Теорет 4. Нехай £-6 [ $ (г).«*»)*. 2) С , - нос1й дшз1-зора Я) - Нехай ¡2)1 - и. р. з. функцП £ в1дносно обмеженого 1н~

0 \ ' дикатора я (^).ус - кеваял!нн1вська м1ра ФункцП Н (Ге ) -

Тод1 для будь^якого компакта й-С С * внконуеться нер1в-

Н1СТЬ

о^Ч^Н<5!

п

Якдо ^ ($) - неперервний 1ндикатор на сегмент! [ О,Я ], то нер1в-нють (5) справдкуеться для будь-якого компакта (? .

М.В.Говоров дов!в,' що явдо' £ - функц1я Шлком регулярного зростання у замкнен1й п1вплощин1, то ынояина 11 корен1в мае аргументу ¡д1льн1сть,яка неперервиа у точках.О 1 Я . Наступне тверд-яення монна розглядати як узагальненяя цього результату на вкпа-док, коли м.р. з. е не вся мнонжна | | , а т1льки '11 час-тина

5). |©|с|%!. • + ■ *

Лет. Нехай ^ б С ? (Г). о® ) , £3 С , |£)| - к.р.з. функцП £ у С*" в!дносно .1ндакатора (5), неперервного на сегмент! I О. Я ]. "Год! верхня аргумента щ!льн!сть див!зора 5Е) неперервна у точках 0 1$..

Б.Я.Лев1н визначив регулярн1 мнозшш у-шго®ш1. Так1 множини заявились корисними при побудов! ц1лих функЩй 1з задании !ндика-тором. при розв'язанн1 р!зних. 1нтерполяа!йних задач, тощо. Для Швалоюши ми даемо аналйПчяе визкачення.

Визначеккя 4. 'Множила £ точок у верхн1й п1вшга!цин1 назква-еться регулярною С Я *-мнозшною), явдо

1) з мноккн! £ в1дсутн! точки з однаковим модулем, зокрема Б на

мгстнть кратких точок,

.::'> якао ? б Е . то 131 > 2 .

3) 1снуе фунШя'), то визначена на ынозан! С2,с«)к[0,1],

яка задоволькя« уксви

(Г,л)~> (оо ; О )

i така, що для будь-яких двох точек . € Е . I3¿l<l?¿l вико-нуеться KepiEHlcTb

/ У-Л1 £ • |?.|> iü.| + eL(lÍ¿l. S>*.(cuy¿¿))--- •

é ■ v0?¿/)

■ Teopern 5. Пехай § (г), $ > 0, - уточнений порядок. (¡9) - не-перерЕнкй 1ндикатор на сегмент! [ 0.51 ]. а див1зор £) такий, що для будъ-якого компакта & виконуеться кер1вн1сть (5). Тод1 1снув функц1я Е (?) ц1лком регулярного зростакня у за!,вшен1й верхнШ п1вплоглн1 така, що £) С £) При цьому виконуються додатков1 уиови:

1) Див1зор не н1стить кратких точок.

2) НехаЯ S (г) - функц1я на промен1 [ О.с») така. цо ¿«-¡«50х)-О

[■ —.> с о

(£ (г) - будь-якз функщя, цо задовольняс иаписгау умову. а функ-

Шя £ (3) залегать в1д вибору Е (г) ). а'А «Ч-г^ ¿- частика ксрен1в .ФункдИ Е . во яе налегать кноеин! ¡íDj . Тод! ■

1 О* ГО--.

JLs ;< - шкшаа i ¿шуга С- (Д .ь (г. ) —--) не ператинаютьоя

"VCQ

hí:x собою 1 не перетинаэтъ шоккну i íO | .

3) Гранична ulpa функцП Е абсолютно непзрервна 1 мае «1льк1сть ■ly{x) =íi(0)(l -*df{x))Ytz)ilx. якшо х>0 1 dy (?) =й (Ш Н •г А, (!:г ¡) )Т (} с/« , якщо £<¿> ¿ Ift о. Причому якде §

неЩле. то (г) s 0.

Випадок, коли яэр!Ен1сть (5) справдаугться Пльки для ко»яак-т1е tí С ¡C'5". а не для будь-лги« компакт1в, такоя розглядаяться с дисертацИ. При цьому на juslsop ¿0 аакладаеться додаткова irosa, ¡го стосуетьсл позвд1нки © 3 окол! иек1 ElBIMOUfíffi!.

У трети глав! розлядешться 1ятерполяц1йн1 засач1 з клгеах грломорфйих Б € * &УИЙ11В з оСчгег.енням на щиквтер. При цьогг/

- 1G -

розгяйдаемо- г&а вилавш • кеяерервкого 1 обмеаваого 1ш£аторЁ.

Нехгй £ (£) нгпсрерызШ. g трягокометрично опуклий ка сегмент! [С Д] шджатср,'<?.'/-•) -'уточнений порядок, . Позначно через & (б)]4 ( через "lS(,r). (S)Jp ) мае функ-

ц!й -Ç нап1вфоркального порядку ■£ (f) ' у пшаягш! С таких, &> {С)4 fi (0) 9 G [-©.il] ( тажк;' г,о 'f - Функц1к щлком регулярно зростакня g С*"' 1 flç .(£)■'0) при û-é £ 0 .51 J ).

Karaïae:«. • до голоморфа! в ¿^'ФункцП ск!кче>.лого порядку «s-ють пряродез покгреюш 'кг д1йсну в1сь 1. тому каютъ секс вещчкни 1(0) ■ ^ Т &лгксненкя 5. Ляа!зор 5) _» % >}; . 101 С£ каз.ива-

• О -i'

вться iHvepnoxr,ii!isau у клас! iSir-h £-(б)3 ■( [<MrMi ЫЗр ). якго да будь-яко1;noojîifîoKîOCTi ко!-шл£:;ск1:х чисел { êtl к\, к » « i.....q. , а ». 1,2____ , то задозоль:з8 уиозу (I) 1 умову

' П K-i

г r_L_ 4 ^ liaaiibz.<(»„)"«»

t-

ichye (йраця .çelsin.t (s)!* с cs(r-) (ê>)j* ) le власг.:-в!ста (J).

В каступн1й теорем! об'едш1 р1зн1 крптерП 1ктерпояад1Р&ос;-т! дгш!зора Ю .

Теорема 6. Наступи! д'ять твердаень екз!вадентн1.

1. &;в1зор £5 в.!нтерпсдяц!3ний дав1зср у кпас! CS<f-),i? (5)]".

2. Дйв1зрр gj е 1ктерЬоляц1йша див1зор у клас1 С?(П,/> (£)1р .

2. Ictr/« Фукхц1я Ее ES(f*);$ (С)34 така, щс 9С ©g-, Еишнусться jKûsa (2) ! укеза

!

ос

•1. Ьнуг Сунк::1я В £ ÏS(r) J (<5)1*. таза £) с х умоЁа.пг~ ¡;ту 3 Епконуктьсп для д::е;:.г.ра ¿0„. , а не г!лькп ,сля c-siaac.i

5. Еиконуйться дгсзи:

5.1 для будь-якого комявктуу О- ше м1сие нершйсть ;5),

5.2 виконувться'умози (3) 1 (4),

5.3 йм,

л

НэхгЯ Я (5) - о'бкеягеняй ка I 0,Л ) 1н~1катор ( моклив1 розри-ви у точках 0 151). Через' [§(М. Д (<9)1+ ( 13<г).А (3)]+ ) ки бу-гемо познзчзта клас голокорфких в С^функШй кап1в$ор;:алъного по-' рядку § (Г-) таких, що(б)«г (0) при £ € (.0,51 ) ( таких, со £ - ФункЩя ц1лком .регулярного зростання у З1дкрят1й п1вплои;ш1 1 мае м1сце р1вн1рть$л (5) - $ {$) при 5 в (• О.Я)). Ззерне-ко узагу. щр у визначенн! клас!в [<?(/*), й (0)]* 1 К(Г), Р\ (0)1р для вищк1в неперервяого 1. обкеазного' 1ядикатор1в с 1стотна В1дм1нн1сть. У випаяку'обнененого 1кдикатора. ка в!дзнаку в!-д ви-падку неперерЕйого Шдаатора. в1д вггагкн $^ (0) , (,<I) не ви-магаеться н!яких умов. окр1м с:с1нчэккост1.

Визначення £. Див1зср Ю , I С £+, нззкваеться 1ктерполя-ШЙНИМ у клас1 [§(Г).И (э)]+ _ £ 1(|9)1р ) . я?ацо для будь-

кко! ппсл1довност1 комплексных чнсзл „ . К ш 1.....'Т,,, , -

= 1,2.....що. задовольняе умсву (1) 1 для будь-якого £ г. (0,~>

У"0ВУ у \б ¡Л*'' /,

г Г< 4 .««с - * «Л 4в>

о/ло. . .

1снуе фуикц1я£ £ [?(Г).Й (<?)] (^е [§(,-).й (0)] р ) 13 власта-в1стю (7).

Наступна теорема е аналогом теорем 6 для випадку о5:;ененого 1к-дикатора. '

Теорема 7. Наступи! п'ять твердгень екв1залеятн1.

1. Див1зор © с 1нтерполяц1йнкй д:в1зор у клас! [£ (г), е? (5)]*.

2. .Диз1зор £) с 1нтерполяц1йний Д1Ш130Р у клас! [2(Г),й .

3. 1снус функция Е € 13(Г), в (¡9)3* така. цо£)С1 виконучтъ-зя умова 2 1 для будь-якого ,3 £ ( 0, ~> умова

cw^ci^eL^si-sJ

4. Icnye функц1я Eei?(i~),ft (в)]р така. що £)с2)£ 1 умози пункту 3 виконуються для див1зора S)^ . а ке т1льки для див1зора Ю .

5. Викокувться укови: ■

5.1 для будь-якого компакту & С £ мае м1сце кер1вн1сть (5),

5.2 виконуються уыовй (3) 1 (4),

5.3 для будь-якого & е ( О,

л. _ ,

^¿VH У ,-?) = <>,

/ о "¿и. Г

Mi.«. - :

^-оо Y(r-J

Голоен! полоаення. но виносяться на захист дисертапП.

1. Крятерп 1снування розз'язку задач! в1льно! кратно"! 1нтерполя-Ц11 у класах ¡+, Г?(Л-),.о*= )+. [§ (Л), $ {0 )]+, [§ С"). $ (б)]р. Форкулюзакня цих критерДв в терм1нах кано-н1чких добутк!в Неванл1нни 1 м!ри. визначено! вузлами !нтерполя-ШТ.

2. Геор1я множа регулярного зростання для функц1й, голоморфних у Шзгглошш!. у

3. 0ц1нг.а щ!льност! инойяни корен1в функцП ск!нченного порядку у

яка е И иноашшр регулярного зростання. л. ":судога функцП ц1лком регулярного зростання у п!вплощин1 С, як:- :•:.£ заданий 1нд!катор при даному уточненому порядку.

Публ1кац11

1. Малют1н К. Г. 1нтерполяц1я правильних множил у верхнШ п!впло-щин1 // Допов. АН УРСР. - 1981. - N 5. - С.16-19.

2. Малютин К.Г. Интерполирование в полуплоскости обобщенными каноническими произведения™ // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - Харьков, 1986. - Вып. 45. - С. 84-96.

3. Малютин К.Г. Кратная интерполяция в полуплоскости в классе аналитических функций конечного порядка // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - Харьков, 1993,- Вып. 58. - С. 69-78.

4. Малют1н К. Г. В!льна 1нтерполяц1я з Кратйими вузлами у вер'хн1й нап1вплощин1 // Допов. Ал Укра1ни. - 1992. - H 6. - С.25-27.

5. Малютин К.Г. Множества регулярного роста в полуплоскости. Приложения и интерполяция // Докл. РАН-.- 1993. - 333. N 3. -С. 520-523.

6. Малютин К.Г.' Задача кратной интерполяции в полуплоскости в классе аналитических функций конечного порядка и нормального типа // Кат. Сб. - 1993- - 184. - К 2. - С. 129-144.

7. Малютин К.Г. О множествах регулярного роста функций, аналити-■ ческих в открытой полуплоскости // Укр. мат. курн. - 1994. -

46. - N 11.- - С. 1486-1501.

8. Малютин К.Г.' Задача кратной интерполяции в классе аналитических функций вполне регулярного роста в открытой полуплоскости // Математическая физика, анализ, геометрия. - Харьков,1994.-1. - К 3/4. - С. 469-478. -

9. Малютин К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. I // Изв. РАН. Математика. - 1995. - 59. - H 4. -С. 125-154.

L0. Малютин К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. II // Изв. РАН. Математика. - 1995.- 5Э. - К 5. -С. 103-126.'

Л. Малютин К.Г. Об интерполяционной задаче в полуплоскости в классе аналитических Функций вполне регулярного роста // Рук. деп, В ВИНИТИ, 1930, N 1033-80, 22 с.

. - 20 - • 12. 11ал-т;э К. Г. Ентёргр.~~-пгоккгав полуплоскости в классе

сзал:-5Т2чеог2Е1 .Сзезсгй хохащогс-пзрддха-и нормального тлпа // Ру/„ ДЗП- В ЕЖЗГГл. .1520, .Н 1-520-80.; 23 С. :з. кг-'-тац К..Г- 'Сб штерполяцыоннсд гздачз . в. полуплоскости и класса буахцлй конечного порядка // Рук.дёп. в ЕШЗГГИ, 1580. II 2219-60, 22 С.

14. Уллгпгк К. Г. Задача кратнгП 2зтерпл.:яц::л б класса скалаягчзс-

еяслнэ. регулярного роста в залукугой верхней по-луслсскосгл // Рук. деп. Е УгхЖГсЛ, 1592. II 8 - Ук92. 28 с.

15. К. Г. О шЬг-зсгеак регулярного / роста в полуплоскости // Рук. деп. В УкрЕПШ. 1552, I? 834 - УК92. 33 с.

Малютин К. Г. Интерполяция функциями конечного порядка в полуплоскости (рукопись).

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.' Специальность 01.01.01 - математический анализ, институт прикладной математики и механики НАН Украины. Донецк.1996.

Защищается 15 научных работ, в которых исследуются интерполяционные задачи в различных классах функций конечного порядка в полуплоскости. Построена теория мноквств регулярного роста, голоморфных в полуплоскости функций. Она применяется для решения различных интерполяционных задач. Условия разрешимости формулируются в терминах канонических произведений Неванлинны. а также мер, определяемых узлами интерполяции.

Malyutln К.G. interpolation by functions of finite order In halfe-plane (manus-crlpt).

Thesis for Doctor.degree In Physics and Mathematics. Speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. Institute of Applied Mathematics and Mechanics. National Acadeffly of sciences of Ukraine. Donetsk, 1996.

There are defended 15 scientific works In which lnvestlgaied interpolation problems In various classes of functions of finite order in halfe-plane. There are constructed theory of seys of regular growth for holomorphlc functions in half-plane. It гррП. for resolving of interpolation problems. Conditions for resolvi;..; of Interpolation problems are formulated In terms canonical products of Nevanlinna and measures defined by Interpolation nodes.

Ключов! слова: 1нтерполяп1йна задача, голоморфна у п1вплощин1 функц1я, функц!я сличенного порядку. 1ндикатор. многкна регуляр-

ного зростання.