Использование методов голономной механики для определения собственных частот и форм колебаний системы упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ООЗ169123

На правах рукописи

АЛМАЗОВА СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ УПРУГИХ ТЕЛ

01.02.01. - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фишко-матсчатичсских наук

1 5 МДМ 2С00

Санкт-ГГет ербу рг 2008

003169123

СЛНКГ-ПЕТЬРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИГЕГ

На правах рукописи

ЛЛМЛЗОВА СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИИ СИСТЕМЫ УПРУГИХ ТЕЛ

01 02 01 -1 еоре I ическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-мехапического факутьтета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор ЮШКОВ Михаил Петрович

Официальные оппонент ы доктор физико-математических наук, профессор МЕЛЬНИКОВ Геннадий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент ЕРШОВА Зинаида Георгиевна

Ведущая организация Балтийский государственный технический университет («Военмех»), г Санкт-Петербург

Защита состоится «22» мая 2008 г в 14 часов на заседании днсеортцношюго совета Д 212 232 30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санк1-Пегерб>ргском государственном универсшеге по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф Университетский проспект, 28, математик-механический факультет Санкт-Петерб>ргского государственною университета, ^Л/Р

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ич М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу г Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9

Автореферат разослан « » <2* 200 (Гг

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор

С А Зегжда

1. Общаи хардктсрнсшкд рабо«ы.

Актуальность 1смы диссертационном работы

Уравнения движения системы упругих тел, особенно при наличии большого количества тел, являются настолько сложными, что оказывается достаточно затруднительно не только их проинтегрировать, но даже записать Сущее [ну гот точные методы решения подобных задач, но во многих случаях их не удается применить, например, в большинстве случаев, когда в задаче Штурма-Лиувилля коэффициенты являются переменными Поэтому актуальным является вопрос о том, как в виде, удобном для использования компьютера, представить уравнения движения системы упругих тел В01 почему особое внимание уделяется приближенным методам (методы Релея, Ритца, Бубнова-Галеркина, метод конечных элементов, метод конечных разностей (метод сеток) и тд) В данной работе рассматриваются новый приближенный метод определения собственных частот и собственных форм колебаний системы упругих тел через собственные частоты и формы ее элементов и новый приближенный метод, основанный на рассмотрении реакций связей как обобщенных лагранжевых координаг, использующие аппарат голономнои механики Для краткости изложения в дальнейшем будем называть первый из них методом сочленения элементов с учетом квазистатикн, а второй — методом сил Применение этих методов позволяет не только получать приближенные значения низших частот и собственных функций системы упру! их гел, что имеет самостоя1елыюс значение, но и использовать их результаты для тестирования громоздких современных программ, создаваемых для расчета сложных механических систем Поэтому исследование и развитие этих методов является акту альным

Цель диссертационном работы

Нахождение собственных частот и построение собственных форм колебаний систем упругих тел новыми приближенными методами, разрабатываемыми на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-ГТстсрбургского государственного университета, сравнение с результатами, полученными другими известными методами, в том числе с помощью пакетов прикладных программ Для достижения данной цели в ходе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи

1 с помощью численного эксперимента показать сходимость и

определить точность метода сочленения элементов с учетом квазистатики на примере задачи о колебаниях упругих сис1ем с распределенными параметрами

• весомого двухопорного вала с диском на консоли,

• системы 3-х стержней, 2 из которых совершают изгибные колебания, а один - продольные,

2 установить связь метода сочленения элементов с учетом квазистатики и метода сил, рассмафивающего реакции связей как обобщенные лагранжевы координаты,

3 исследовать точность метода сил па примере задачи о колебаниях системы 3-х стержней

Методы исследования

В данной работе используются новый приближенный метод определения собственных частот и собственных форм колебаний системы упругих тел через собственные частоты и собственные формы ее элементов и новый приближенный метод определения первой собственной частоты упругой системы, основанный на рассмотрении реакций связей как обобщенных лагранжевых координат Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными методом Релея-Ритца, методом конечных элементов (с помощью пакета прикладных программ АЫБУЗ 8 1), методом разделения переменных

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

1 Два новых приближенных метода определения низших собственных частот и собственных функций колебаний применяются к сложным механическим системам, представленным в виде связанных между собой упрушх тел Указанными методами исследованы колебания весомого дв^хопорного вала с диском на консоли и одной трехстержневои системы

2 Для выяснения точности метода сочленения элементов с учетом квазистатики использовано точное решение котебаний весомою двухопорною вала с диском на консоли, а также расчеты, проведенные с помощью пакета АМБУБ 8 1 для системы 2-х стержней

3 Метод сочленения элементов с учетом квазистатики был использован в качестве точного, наряду с МКЭ (АИЗУБ 8 1), для сравнения с результатами, полученными методом сил для задачи о колебаниях системы 3-х стержней

Научная и практическая ценность

Дается некоторое развитие метода сочленения элементов с учетом квашогатики в виде метода сил и исследуется точность методов В качестве практическою приложения результаты работы могут быть использованы Д1я расчета реальных механических систем, обладающих свойствами исследуемых моделей Определитель частот конечного порядка, квазистатический учет высших форм колебаний, введение кривой статического прогиба в выражение для собственных форм колебаний упругой механической системы, рассмотрение реакций связей как обобщенных лагранжевых координат позволяют

значшелыю упросппь и ускоршь ли расчепл и получить компактные формулы, удобные для качественною исслодонашш колебании сложных механических систем Помимо этого, приближенные результаты, легко пслучаемые этими методами, позволяют оценивать достоверность современных сложных компьютерных программ, создаваемых дтя расчета на колебания различных технических конструкций, состоящих из системы взаимосвязанных упру! их тел

Рсчл.п. 1.ш>1, выносимые на ииншу

1 Полечено представтение кинетической и потенциальной энергий системы упругих тел в виде канонических квадратичных форм от избыточных координат системы и их производных по времени

2 Чистенным экспериментом показана сходимость и определена точность метода сочленения элементов с учетом квазистатики на примере решения 2-х задач о колебаниях систем упру1 их тел

• весомого двухопорного вала с диском на консоли,

• системы 3-х стержней, 2 из которых совершают изгибные колебания, а один - продольные

3 Установлена связь метода сил, рассматривающего реакции связей как обобщенные лагранжевы координаты, с методом сочленения элементов с учетом квазистатики Показано, что метод сил дает высокую точность за счет учета всех собственных форм ко 1ебании элеменюв системы не юлько в потенциальной, но и в кинетической энергиях

4 Разработана методика применения метода сил к механической системе, состоящей из трех стержней

5 Анализ сравнения приближенных результатов с точными позволяет сдеить чывод о том, что развиваемые два метода с высокой точностью описывают колебания систем упрушх тел с распределенными параметрами

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математическом постановки задачи, сопоставлением авторских решений с резутьтатами, полученными известными, экспериментально подтвержденными методами Решения, полученные для заявленных моделей упругих систем с распределенными параметрами, н\ анализ и сравнение с результатами применения общепринятых приближенных методов позволили сделать вывод о том, что развиваемые подходы адеквашо описывают колебания систем упругих тел

Апробация результатов

Основные положения и результаты, включенные в диссертацию, докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт Петербург, 2004 - 2007), на Международных конференциях «Четвертые» и «Пятые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2004, 2006), на «Пятом Международном Симпозиуме по классической и небесной механике» (Москва-Великие Луки, 2004), на Международной научной конференции но механике «Четвертые Поляховские 4ieinw» (Санкт-Петербург, 2006)

Ilj блика цми

По материалам диссертации опубликовано б научных работ Работа [1] опубликована в журнале, рекомендованном ВАК (Перечень Бюллетень ВАК, 2007, №1, с 3-39) *

В работах [5,6] авгору диссертации принадлежат результаты применения метода сочленения элементов с учетом квазистатики к исследованию колебаний несомого вала с диском на консоли и нелинейных колебании стержня с несменяемыми опорами, соавторам, МП Юшкову - постановка задач, в работе [5j Д Шевалье принадлежит выбор механической модели для исследования

Объем п Сфуклура работы

Диссер1 ационная работа сосюиг из введения, трех глав, заключения, списка основной литературы Содержание работы изложено на 97 листах машинописного текста, включает 13 рисунков, 5 таблиц, 6 трафиков, список основной литературы содержит 64 наименования

2. Содержание диссертации

Во введении проводится обзор литерату ры, посвященной изучению колебаний упругих систем и методов их исследований, обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, опредетяются цели и задачи работы, указаны методы исследования, обсуждаются научная новизна и практическая значимость данных исследований

Глава 1 посвящена изложению общих положений приближенного подхода в определении собственных часют и собственных форм колебаний системы упругих тел через собственные частоты и собственные функции элементов этой системы Существенно, что в рассматриваемом методе соединения тел друг с другом трактуются как голономные связи, кинетическая и потенциальная энериш представлены в простейших квадратичных формах и использую 1ся уравнения Лагранжа второго рода с множителями для построения системы

уравнении, отражающей колебания механической сиыемы Излагаемый метод может быть применен к любой системе соединенных между собой упругих тел о распределенными параметрами Для потноты изложения метода в работе расширяется понятие обобщенных лагранжевых координат упругого тела

Чтобы продемонстрировать применение изложенного метода для исследования поперечных колебаний весомого двухопориого вала с диском на копсош(см рис 1)надо лить собственные частоты а), и собственные функции Xt колебании весомою вала с консолью без диска Помимо лого, для сравнения приближенных значении с истинными точно решалась задача и о колебаниях весомого вала с диском на консоли Решению этих задач посвящен шорой параграф данной тлавы

А О ВI

ПЛТШПЛ

АО = Ь,ОВ = Ь3, /Кв - масса вата Ша -масса диска, Рис 1

7? - радикс инерции диска

Решая методом сочленения элементов с учетом квазистатики задачу о поперечных котебаний весомого двухопорного вала с диском на консоли в первом приближении, вводя коэффициенты влияния, найденные методами сопромата, переходя к безразмерным параметрам, получаем уравнение частот колебаний в виде определителя конечного порядка

det{a}= апа22 -а12а21 =0,

где

ff - -1 | АУ("> , г, f0> *.'(»> г _ АГ,рг)Д(и) хмшп-)

mp1 Mx(Q.¡-p2) 7и м^г 12 'м^-р2) ВД '

УпФ) A/.nf ■ 22 тиГ ÜM-Г) и/ тл л: R1 л/,

/L ni L L1

р2 =—т £," -искомая безразмерная частота, с

£2,' = Л4 - безразмерная частота колебаний свободной консоти

С'

Порядок определителя равен чисту юлономных связей Элементы определителя представляются бесконечными рядами, к которым применяется приближенный способ динамическою учета первых чтецов ряда и квазистатического учета всех остальных (именно этот прием и приводит к сокращенному названию исследуемого метода)

Введение кривой статического прогиба Х"(х) вала под действием обобщенных реакций полеченной методами сопротивления магериалов, позволяет

увеличигь скорость сходимости рядов и приводит к следующему выражению для собственных форм колебаний весомого двухопорпого вала с диском на консоли

Г М-Л" ^+ Л|2 Х^Г,2У (у\ ) УсУтЛ

) Х где

Xкр(х)----1Л11«+Л12] -1 <х<0

о

~ =-ж(1 + 1 _3пх_ 2п) _Л1г(3х + 2)] о ^ ^ ^ и 6

На рис 2 иредсгавлены две собственные функции колебаний двухопорного вала с диском на консоли 0/'(л)-для точного решения и йР(х)-для приближенного решения Для нормирования 1-й и 2-й собственных форм выбраны их единичные отклонения в точках максимального прогиба вала

Численные расчеты были проведены в широком диапазоне изменения безразмерных параметров рассматриваемой системы и привели к результатам, полученным в 1-м приближении для 1-й собственной частоты, отличающимся от точного решения менее, чем на один процент Полученные результаты сравнивались с методом Ритца, в котором за базисные функции принимались собственные функции двухопорного вала с консолью без диска Сравнение результатов приведено в таблицах 1 и 2

Согласно эшм таблицам можно сделать вывод о высокой ючности изучаемого метода Отметим, что приведенные выше формулы показывают, чю ятя двухопорного весомого вала с диском па консоли получены компактные формулы для опредечения низших частот колебании и первых собственных функций Это позволяет jiciко проводить качественны» анализ котебашш изучаемой механической системы

п=0 1 m 1-я частота колебаний (безразмерная)

Точное решение (свобод KOHCOTb) Точное решение (вал с массой) Точное решение (вал с диском) Приблия енное решение (ват с диском)

С учетом квазисгатнки Погрешность

0 1 3 136 3 119 3 102 3 101 0 03 %

02 3 136 3 102 3 067 3 066 0 03 %

03 Ч Пб 3 0S5 3 031 3 030 0 03 °о

04 3 136 3 067 2 996 2 995 0 03 %

05 3 136 3 050 2 960 2 960 0 00 %

п=0_3 m 1-я частота колебаний (безразмерная)

Точное решение (свобод консоть) Точное решение (вал с массой) Точное решение (вал с диском) Приближенное решение (ват с диском)

С учетом квазистатикн Погрешность

0 1 2 996 2 807 2 785 2.770 0 53 %

02 2 996 2 645 2 608 2 591 0 65 %

03 2 996 2513 2 468 2 453 0 60 %

04 2 996 2 405 2 356 2 344 0 50 %

05 2 996 2 316 2 264 2.254 0 44 %

n-0 2, Q, = 3 1. Q2 = 5 854, p = Щ- = 10"4 Таблица 2

m Точные значения 1-й частоты (вал с диском) Мет од Ритца Приближенный метод

Приближенные значения 1-й частоты (вал с диском) Относительная погрешность Прнбтиженные значения 1-й частоты (вал с диском) Относитетшная погрешность

0 1 3 022 3 106 2 1 % 3 020 __0 06%____ 0 14%

02 2 944 3 070 4 0 "'о 2 940

03 2 869 3 036 5 8 % 2 865 0 14%

04 2 798 3 005 7 3% 2 795 0 11 %

05 2 732 2 976 8 0 % 2 730 0 07 %

Об 2 672 2 948 10 2% 2 669 0 11 %

07 2 616 2 923 11 6 % 2 613 0 11 %

08 2 564 2 899 13 0% 2 562 0 08 %

09 2 517 2 876 14 0% 2 515 0 08 %

1 0 2 473 2 854 15 0 % 2 471 0 08 %

Гланд 2 является примером применения метода сочленения элементов с учетом квазисыгики к друюй упруIой сис1еме, состоящей из трех однородных прямых стержней и О'ЩОЙ линейной нодатливоии (см рис 3) Предпотагается, что стержни совершают колебания в одной вертикальной плоскости, и при малых колебаниях системы стержень 1 совершает продольные колебания, а стержни 2 и 3 - изгибные

Рис 3

Теоретической основой исследования данной модели является работа С А Зижды и М П Юшкова "A new method of vibration analysis of elastic systems, based on the Lagrange equations of the first kmd" Teclmische Mechamk 1998 Bd 18 II2 S 151-158 Ими найдено представление собственных форм колебаний трехстержневой системы по собственным формам ее отдельных элементов В диссертации была разработана методика определения для ]рехстержнсвои системы минимального числа параметров, от которых зависит спектр собственных частот Но эюи методике были получены приближенная формула расчета собственных частот и выражение для собственных форм

колебании системы 3-х стержней в безразмерном виде s'(Xl) = хм 0"-1

~ г л A'pi+X2a(l2) д%г+х;2ст(1) Л%4

Ург(хг) = 2.-WT?-^-- Х2а(*2% 0 < Х2 < 1,

<7=1 Лег (Лег ~Рр)

Уоз(*з) = У -Г-. У-— *з<т(*э)> 0 < X, < 1,

' £ тъ2А1{кг2^-р;) 3<т 3

Были введены 8 безразмерных параметров

= 1 — = — = z -4 к <5, = ^ А ' А А ' ' Jг

, _ k? , _ kl mi _ »i3

12 ~J~2 5 Л32-7Т' OT12--> 'И32-->

k2 к2 1щ т2

и безразмерная частота Р -

В работе приведен пример численного решения задачи для некоторых конкретных параметров трехстержневой системы

/ = 1, £, = 1, z = 1, тп = 0 5, т12 = 1, тъг = 1, кп = 19200, к22 = 1, къг =1, 8= 72,917

Собственные формы колебаний представлены следующими графиками

Стержень 1

Стержень 2

5Т

3" 2"" 1"

иЦх! О)

-4 0 01 02 03 04 05 0607 0809 1

-6 10

-4 10

-1 10

'6

'5

"б

-з--

Стсржень 3

02-" 016"" 0 12 " 0 0В" "

В третьей главе обосновывается идея рассмотрения реакций связей как обобщенных лагранжевыч координат в задачах об определении низших частот колебаний систем упругих тел и устанавливается связь метода сил с методом сочленения элементов с учетом квазистатики Разработана методика применения мегода сил в задаче об определении первой собственной часготы грехе 1ержневой системы (см рис 3)

Все стержни под действием сил реакций Л,,7=1,4, деформируются

квазист атически При этом заданием сил Л, в момент времени / однозначно определяется ноле перемещении всех трех стержней Именно это позволяет рассматривать реакции связей как обобщенные лагранжевы координаты Метод позволяет значительно упростить расчеты

Для каждого из стержней строится выражение для потенциальной и кинетической энергий с учетом наличия действия сил реакции А^/), А2(7), А,(7), а также момента

Расчеты приводя1 к формулам суммарной потенциальной и кинетической энергии в безразмерном виде

1 4

П = — у^ (0) - безразмерные податливости п квазистатике

-0 08" "

-0 12-" -0 1«"-

т 1 2 1 1 2 1 2

7 = 2°п <?1 + 41 +-«4//4 + «12<М2 + а24<]2дА +

+ «13 Чйъ+^ЧгЧъ+а^Д,, где А, = 9, а коэффициенты имеют следующий вид

«И =(011)1 + («И )2 а21 = ^12)2+{а22\, + {а22)Ъу,

аи = (йзз)зг> «13 = («1з)з у а» =(«44)2 +(«44)3^ + («44)3,-

«12 =Ц2)2-К012)з£ +К)5>. «14 = («14)2 +("Ы)З>» «32 = («32>3 V

«24 =(«21)2 + («2^3^ («24)3,, «34 = («31)3^ где

^ (,А1г; ^ 0 У

т„ Г Р

1

("Л.

о 'о

к)3> (у)'' («Д -^(¿"У/.О).

(«и )з, = »Чг ~(С)2]/чСОО - гуь, (а24)г = \)/г(г)Л(*)<&, К)3 = "7«32-

о - о

I 1

(«24 )з , = «32 |/з4 (2)0 - г)ск, "1 О

к)ь =^77-V)2-7- J = \h1(.zYУ-z)dz,

-АЯ2' О Л32 О

А 20 2 4 10 20 12 12 20 ' /2 /3 »'32*32

/п(*>!

, 3 1,

= 1 + - — 2

.если

- < г < 1,

2

— и3 ,еслиО<г<-

Здесь введено безразмерное время

т = к2и

_ ' ^г ^

Рг $2 Ь

Построение уравнений Лагранжа второго рода с множителями приводит к системе уравнений, отражающей движение рассматриваемой механической системы, и к уравнению частот

аеи</„(р2)] = о

Указанный метод применен и к частном}' случаю трсхстержневой системы - к системе из двух стержней (см рис 4) В таблице 3 представлены результаты численных расчетов 1-й частоты колебаний, полученных методом сил, рассмотренным в главе 1 приближенным методом сочленения элементов с учетом квазистатики (по первому приближению) и методом конечных элементов, представленным пакетом прикладных программ АКй У8 8 1 Последний метод выступает в роли точного решения

¿3

¿3

Рис 4

Таблица 3

№ п/н / Значения 1 -Н Ч1СТОТЫ (размерные) АШУЬ Значения 1-й частоты с учетом квазистатики Значения 1 -й частоты по методу сил

безразмерные размерные погрешность безразмерные размерные погрешность

] 10 69 246 2 965 69 362 017% 2 967 69 409 0 20%

2 5 60 653 2 596 60 730 013% 2 600 160 823 0 28%

3 3 333 54 174 2319 54 250 014% 2 320 54 273 0 18%

4 25 48 893 2 093 48 963 014% 2 095 49 010 0 20%

5 2 44 354 1 898 44 401 010% 1 900 1 44 448 0 20%

6 1 667 40 317 1 725 40 354 0 09% 1 726 40 377 0 14%

7 1 429 36 651 1 567 36 658 0 02% 1 569 36 705 015%

8 1 25 33 290 1 421 33 242 014% 1 424 33 312 0 06%

9 1 111 30 205 1 285 30 061 047% 1 287 30 108 0 32%

10 1 27 396 1 160 27 137_ 0 90% 1 164 27230 0 60%

Приближенные значения 1-й частоты колебании системы 2-х стержней отличаются 01 точных менее чем па 1 %

Метод сочленения эюментон с учеюм квазисташки оказывается сходящимся Как было показано в Iлавах 1 и 2, вычисление по этому методу основной частоты колебании двухопорпого весомою вала с диском на консоли и трехстержневой системы с податливостью даже в первом приближении дает высокую ючность Поэтом}' в главе 3 будем исиользоват ь С1 о как точный метод для оценки ючности исследуемою в этой тлаве метода сил

Численные расчеты, представленные в параграфе 7 данной главы, позволяют оценить точность метода сит в задаче о нахождении 1-й частоты колебаний сист емы 3-х стержней (см т абл 4)

2 = 1, ¿=72 917 1 аблица 4

Л'а / С ки Значения 1-й частоты но МС10ДУ сил (безразмерние) Значения 1-й частоты с учетом квазистатики (безразмерш О Погрешность

1 20 0 5 1920000 1601100 3 220 3 208 0 37 %

2 10 05 1920000 10000 2 970 2 965 0 17 %

3 6 667 05 1920000 1975 2 770 2 766 0 14 % 0 11"°* 0 0008 %

4 5 5 4 0 5 "" 05 1920000 1920000 625 П 256 2 6(10 " 2 452 2 597 2 450

б 3 333 0 5 1920000 123 457 2 321 2 320 0 0004 %

7 2 857 05 1920000 66 639 2 202 2 202 0 %

¡5 25 05 1920000 39 0ь2 J 2 094 2 093 0 0005 %

9 2 222 05 1920000 24 387 1 993 1 993 0 »0

10 2 0 5 1920000 16 1 899 1 899 0 %

В заключении приведены основные результаты и выводы, полу ченные в диссертации

3. Основные результаты и выводы

1 Получено представление кинетическом и потенциальной энергии системы упругих тел в виде канонических квадратичных форм от избыточных координа1 системы и их производных по времени

2 Численным экспериментом показана сходимость и определена точность метода сочленения элементов с учеюм квазистатики па примере решения 2-х задач о колебаниях систем упругих тел

• весомого двухопорного вала с диском на консоли,

• системы 3-х стержней, 2 из которых совершают изгибные колебания, а одни - продольные

3 Установлена связь метода сил, рассматривающею реакции связей как обобщенные лагранжевы координаты, с методом сочленения элементов с

учетом квазистатики Показано, что метод сил дает высокую точность за счет учета всех собственных форм колебаний элементов системы не только в потенциальной, но и в кинетической энергиях

4 Разработана методика применения метода сил к механической системе, состоящей из трех стержней

5 Апализ сравнения приближенных результатов с точными позволяет сделать вывод о том, что развиваемые два метода с высокой точностью описывают колебания систем упругих тел с распределенными параметрами

4. Список публикаций

1 СВАлмазова К вопросу о применении метода определения собственных частот и функций системы упругих тел через собственные функции ее элементов // Вестник С -Петербургского ун-та Сер 1 Математика Механика Астрономия 2005 Вып 3 С 74-77

2 СВАлмазова Приближенная формула расчета собственных частот поперечных колебаний двухопорного вала с диском на консоли // Проблемы механики и управления нелинейные динамические системы (Мсжвуз сб научтр) Вып 37 Пермь Перм ун-т 2005 С 8-14

3 СВАлмазова О колебаниях одной трехстержневой системы // Избранные Труды Международной научной конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения» СПб Изд «ВВМ» 2006 С 95-105

4 С В Алмазова Колебания весомого двухопорного вала с диском на консоли // Материалы докладов Международной конференции «Четвертые Окуневские Чтения» Т 1 Теор и прикладная механика СПб Балт гос техн ун-т 2005 С 38-41

5 СВАлмазова, Д Шевалье, МП Юшков О приближенном методе определения частот и собственных форм колебании системы упругих тел // Тезисы докладов «Пятого Международного Симпозиума по классической и небесной механике» Москва - Великие Луки 2004 С 24-25

6 СВАлмазова, MПЮшков О некоторых особенностях вынужденных нелинейных колебаний балки с несмещаемыми опорами // Тезисы докладов Международной конференции «Пятые Окуневские чтения» 26-30 июня 2006 i , С-Петербург, Россия СПб Балт гос техн ун-т 2006 С 35-36

Подписано к печати 27 03 0В Формат 60x90 Vis Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать ризографическая Неч л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 4173

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петерюф, Университетскии пр, 26 Гел (812)428-4043

ВВЕДЕНИЕ.2

ГЛАВА 1. О ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ УПРУГИХ ТЕЛ ЧЕРЕЗ СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ.

§1. Общие положения.11

§2. Точное решение для диска на консоли.17

§3. Приближенная формула расчета собственных частот поперечных, колебаний двухопорного вала с диском на консоли (метод сочленения элементов с учетом квазистатики).21

§4. Приближенное выражение для собственных форм поперечных колебаний двухопорного вала с диском на консоли (метод сочленения элементов с учетом квазистатики).27

§5. Сравнение результатов, полученных методом сочленения элементов с учетом квазистатики, с точными для двухопорного вала с диском на консоли.34

§6. Сравнение метода сочленения элементов с учетом квазистатики расчета поперечных колебаний двухопорного вала с диском на консоли и метода Ритца.36

Результаты главы 1.41

ГЛАВА 2. О КОЛЕБАНИЯХ ОДНОЙ ТРЕХСТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ.

§1. Приближенные формулы расчета собственных частот и выражение для собственных форм колебаний системы 3-х стержней (метод сочленения элементов с учетом квазистатики).42

§2. Приближенные формулы расчета собственных частот и выражение для собственных форм колебаний системы 3-х стержней в безразмерном виде.49

§3. Численные расчеты собственных частот и собственных форм колебаний системы 3-х стержней в безразмерном виде.65

Результаты главы 2.68

ГЛАВА 3. РАССМОТРЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ КАК ОБОБЩЕННЫХ ЛА-ГРАНЖЕВЫХ КООРДИНАТ В ЗАДАЧЕ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ СИСТЕМЫ ТРЁХ СТЕРЖНЕЙ (МЕТОД СИЛ).69

§1. Алгоритм расчета кинетической и потенциальной энергии системы стержней. Первый стержень.70

§2. Расчет кинетической энергии второго стержня.73

§3. Расчет кинетической энергии третьего стержня.75

§4. Кинетическая энергия трехстержневой системы.80

§5. Уравнения Лагранжа рода с множителями для трехстержневой системы. Частный случай.82

§6. Численные расчеты собственных частот колебаний системы 2-х стержней.84

§7. Численные расчеты собственных частот колебаний системы 3-х стержней.85

§8. Связь метода сил и метода сочленения элементов с учетом квазистатики.85

Изучению колебаний упругих систем всегда уделялось и в настоящее время уделяется большое внимание. Среди первоклассных монографий и учебников, посвященных этим вопросам, можно упомянуть, например, книги И.М.Бабакова [3], Ден-Гартога [35], С.П.Тимошенко [11], Р.Куранта и Д.Гильберта [31], А.П.Филиппова [32], В.Л.Бидермана [33], Я.Г.Пановко [34] I 1 и др. Большое внимание этим вопросам уделено и в ряде книг, посвященных специальным областям техники (например, кораблестроению [36], ракетным двигателям [37], станкостроению [38,39] и т.д.). Наряду со специальными монографиями по теории колебаний большой материал подобного типа содержится и в справочной литературе, например, в [42,], [43], причем в последнем справочнике содержится и богатый теоретический материал. К сожалению, в последние десятилетия количество опубликованных монографий и справочников такого уровня резко сократилось.

При исследовании колебаний упругих систем обычно используется один из двух подходов — либо создается математическая модель с конечным* числом степеней свободы, достаточно точно отражающая движение изучаемой механической системы, либо вся упругая система рассматривается как система с распределенными параметрами. В первом случае приходится работать с системой* обыкновенных дифференциальных уравнений, а во втором — с уравнениями в частных производных. В диссертации рассматриваются два новых приближенных метода определения колебаний системы сочлененных упругих тел, колебания- которых описываются как колебания систем с распределенными параметрами. Поэтому основное внимание уделяется методам, используемым при втором подходе.

При рассмотрении колебаний систем с распределенными параметрами прежде всего интересно попытаться^ найти точное аналитическое решение с помощью метода разделения переменных (метода собственных функций, метода стоячих волн, метода Фурье). Однако, использование этого метода обычно удается довести до конца и построить решение в элементарных функциях лишь для ограниченного количества случаев сравнительно простых тел. Так, даже, например, при изучении колебаний стержней (крутильных, продольных, поперечных) уже при переменности поперечного сечения уравнение Штурма-Лиувилля имеет переменные коэффициенты. Решения подобных уравнений получены лишь для очень небольшого количества уравнений в виде новых неэлементарных функций (высших трансцендентных функций, напр., функций Бесселя), полнота исследования которых во многом зависит от их практической ценности [49].

К аналитическим методам можно отнести и методы интегральных преобразований, в том числе операционное исчисление (см., напр., монографии [50], [51], [52]). Применение к уравнениям в частных производных любого интегрального преобразования сводит их к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на то, что использование этих методов сравнительно легко дает решение задачи в изображениях, тем не менее, дальнейшая необходимость перехода от изображений к оригиналам обычно требует больших усилий и математических исследований.

Для определения частот и форм колебаний при исследовании колебаний оболочек активно применяются асимптотические методы (см., например монографии [53], [54,55], [56]).

Необходимость решения задач на колебания для систем с переменными характеристиками и для сложных систем упругих тел привела к созданию приближенных методов ^ определения (прежде всего низших) частот и собственных форм колебаний. Среди этих методов можно выделить метод последовательных приближений (метод итераций), основанный на применении к исследованию колебаний упругих систем с распределенными параметрами, теории интегральных уравнений [58], [61].

Для создания приближенных методов эффективно применяется, и теория вариационного исчисления. Одним из первых среди этих методов-был метод Релея [59], в котором квадрат основной частоты колебаний может быть найден как минимум отношения- функционала от потенциальной энергии к функционалу от кинетической энергии. Большой заслугой Релея является предложение искать приближенное значение квадрата основной частоты колебаний как численное значение отношения этих функционалов, вычисленных при выборе функции сравнения в виде статической деформации системы. Именно близостью этой функции к первой собственной форме колебаний объясняется удивительная точность приближенного определения этим методом основной частоты колебаний механических систем, не превышающей обычно 3% отклонения от точного значения.

Дальнейшим усовершенствованием метода Релея явился метод Ритца [3], в котором решение отыскивается в виде линейной комбинации базисных (координатных) функций. Базисные функции должны удовлетворять геометрическим краевым условиям задачи. В'результате исследование движения системы с распределенными параметрами сводится фактически к нахождению собственных частот и собственных форм колебаний некоторой системы с конечным числом степеней свободы, частоты и формы колебаний которой оказываются близкими к низшим собственным частотам и собственным функциям исходной, системы с распределенными параметрами.

Близким в вычислительном плане к методу Ритца оказался метод Бубнова-Рал еркина. [19,20]. В этом методе базисные функции должны удовлетворять и геометрическим и динамическим краевым- условиям задачи. Подстановка приближенного решения задачи, отыскиваемого опять в виде линейной комбинации координатных функций, в уравнения дает невязку. Интересна механическая интерпретация этой невязки Бубновым: он рассматривает ее как реакцию идеальных голономных связей, которые следует наложить на движение системы, чтобы при их наличии система двигалась бы не как свободная, совершающая истинное движение; а как несвободная - при наличии этих воображаемых связей система будет выполнять движение согласно принятому приближенному решению. Введение указанных голономных связей позволяет применить к системе принцип Даламбера-Лагранжа. Далее Бубнов предлагает потребовать выполнения принципа Даламбера-Лагранжа в. среднем, за период одного характерного колебания. Дальнейшая вычислительная процедура эквивалентна отысканию собственных частот и собственных форм колебаний системы с конечным числом степеней свободы. Число этих степеней свободы равно количеству базисных функций, введенных для отыскания приближенного решения задачи с распределенными параметрами.

Необычайно распространенным в настоящее время является метод конечных элементов (МКЭ). Он прекрасно приспособлен к использованию на современных компьютерах. Для его практического применения в настоящее время-создан целый ряд прекрасных пакетов программ, один из них — ANS YS 8.1 - используется в диссертации для проведения расчетов. С механической же точки зрения МКЭ [60], [63] является фактически реализацией методов Ритца-Бубнова-Галеркина. В этой реализации используется весьма эффективный метод выбора базисных функций, которые не равны нулю лишь на элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу. Существенно, что в этом методе компьютер используется не только для решения получаемых уравнений, но и для учета геометрии упругих тел при построении дискретных аппроксимаций.

Несмотря на общее признание метода конечных элементов, определенным конкурентом ему остается метод сеток или метод конечных разностей (МКР) [61], [62], который возник значительно раньше метода конечных элементов. В МКР исследуемую область покрывают достаточно плотной «сеткой» и в узлах этой сетки заменяют определенным образом все дифференциальные соотношения разностными. В результате получают систему алгебраических уравнений для определения приближенных значений собственных частот и значений собственных функций в узлах сетки. Для улучшения точности МКР разрабатывались методы конечных разностей повышенной точности. Методы.сетою делятся на прямые и на непрямые. Если теперь при использовании компьютеров обычно применяют непрямые методы, требующие решения систем алгебраических уравнений весьма высокого порядка,, то прежде до появления электронно-вычислительных машин можно было работать только с прямыми методами, в которых вычисления проводились по готовым формулам без решения систем алгебраических уравнений; Для практического использования этих формул часто применялись специальные шаблоны. Однако- вычисления по прямым методам сеток были очень чувствительны к выбору величины шага сетки, поэтому на первый план выходили исследования по сходимости вычислительного процесса. В свою очередь непрямые методы сеток обладают хорошей сходимостью, именно поэтому они после появления, компьютеров практически полностью вытеснили из вычислительной практики прямые методы сеток.

В.диссертации исследуются« два новых приближенных метода определения низших частот и собственных функций систем из упругих тел, разрабатываемые на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Первыйшз них позволяет приближенно! находить частоты и собственные функции системы соединенных между собой упругих тел через известные частоты и собственные фикции тел, составляющих систему. Второй метод применяется^ля приближенного решения- аналогичных задач и основан на рассмотрении обобщенных реакций, в местах крепления или^ соединения тел: как обобщенных лагранжевых координат. Для краткости изложения в дальнейшем иногда будем называть первый,? метод. МЕТОДОМ СОЧЛЕНЕНИЯ? ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ КВАЗИСТАТИКИ, а второй - МЕТОДОМ СИЛ.

Основываясь на приведенном выше кратком обзоре основных существующих методов .расчета, на колебания упругих систем, дадим: краткую характеристику представленной работы.

Актуальность» темы? диссертационной' работы. Уравнения движения системы упругих тел, особенно при наличии большого количества тел, являются настолько сложными, что оказывается достаточно затруднительно не только их проинтегрировать, но даже записать. Существуют точные методы решения подобных задач, но во многих случаях их не удается применить, например, в большинстве случаев, когда в задаче Штурма-Лиувилля коэффициенты являются переменными. Поэтому актуальным является вопрос о том, как в виде, удобном для использования компьютера, представить уравнения движения системы упругих тел. Вот почему особое внимание уделяется приближенным методам (методы Релея, Ритца, Бубнова-Галеркина, метод конечных элементов, метод конечных разностей (метод сеток) и т.д.). В данной работе рассматриваются новый приближенный метод определения собственных частот и собственных форм колебаний системы упругих тел через собственные частоты и формы ее элементов и новый приближенный метод, основанный на рассмотрении реакций связей как обобщенных лагранжевых координат, использующие аппарат голономной механики. Применение этих методов позволяет не только получать приближенные значения низших частот и собственных функций системы упругих тел, что имеет самостоятельное значение, но и использовать их результаты для тестирования громоздких современных программ, создаваемых для расчета сложных механических систем. Поэтому исследование и развитие этих методов является актуальным.

Цель диссертационной работы. Нахождение собственных частот и построение собственных форм колебаний систем упругих тел новыми приближенными методами, разрабатываемыми на кафедре теоретической и прикладной механики СПбГУ, сравнение с результатами, полученными другими известными методами, в том числе с помощью пакетов прикладных программ. Для достижения данной цели в ходе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи:

1. с помощью численного эксперимента показать сходимость и определить точность метода сочленения элементов с учетом квазистатики на примере задачи о колебаниях упругих систем с распределенными параметрами:

• весомого двухопорного вала с диском на консоли;

• системы трех стержней, 2 из которых совершают изгибные колебания, а один - продольные;

2. установить связь метода сочленения элементов с учетом квазистатики и метода сил, рассматривающего реакции связей как обобщенные ла-гранжевы координаты;

3. исследовать точность метода сил на примере задачи о колебаниях системы 3-х стержней.

Методы исследования. В данной работе используются новый приближенный метод определения собственных частот и собственных форм колебаний системы упругих тел — метод сочленения элементов с учетом квазистатики, и новый приближенный метод определения первой собственной частоты упругой системы, основанный на рассмотрении реакций связей как обобщенных лагранжевых координат, — метод сил. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными методом Релея-Ритца, методом конечных элементов (с помощью пакета прикладных программ ANSYS 8.1), методом разделения переменных.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

Два новых приближенных метода определения низших собственных частот и собственных функций колебаний применяются к сложным механическим системам, представленным в виде связанных между собой упругих тел. Указанными методами исследованы колебания весомого двухопорного вала с диском на консоли и одной трехстержневой системы.

Для выяснения точности метода сочленения элементов с учетом квазистатики было получено точное решение колебаний весомого двухопорного вала с диском на консоли, а также проведены расчеты с помощью пакета ANSYS 8.1 для системы двух стержней.

В дальнейшем метод сочленения элементов с учетом квазистатики был использован в качестве точного, наряду с МКЭ (ANSYS 8.1), для сравнения с результатами, полученными методом сил для задачи о колебаниях системы 3-х стержней.

Научная и практическая ценность. Дается некоторое развитие метода сочленения элементов с учетом квазистатики в виде метода сил и исследуется точность методов. В качестве практического приложения результаты работы могут быть использованы для расчета реальных механических систем, обладающих свойствами исследуемых моделей. Определитель частот конечного порядка, квазистатический учет высших форм колебаний, введение кривой статического прогиба в выражение для собственных форм колебаний упругой механической системы, рассмотрение реакций связей как обобщенных лагранжевых координат позволяют значительно упростить и ускорить эти расчеты и получить компактные формулы, удобные для качественного исследования колебаний сложных механических систем. Помимо этого, приближенные результаты, легко получаемые этими методами, позволяют оценивать достоверность современных сложных компьютерных программ, создаваемых для расчета на колебания различных технических конструкций, состоящих из системы взамосвязанных упругих тел.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математической постановки задачи, сопоставлением авторских решений с результатами, полученными известными, экспериментально подтвержденными методами. Решения, полученные для заявленных моделей упругих систем с распределенными параметрами, их анализ и сравнение с результатами применения общепринятых приближенных методов позволили сделать вывод о том, что развиваемые подходы адекватно описывают колебания систем упругих тел.

Апробация результатов: Основные положения и результаты, включенные в диссертацию, докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт Петербург, 2004 - 2007), на Международных конференциях «Четвертые» и «Пятые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2004, 2006), на «Пятом Международном Симпозиуме по классической и небесной механике» (Москва-Великие Луки, 2004), на Международной научной конференции по механике «Четвертые Поляховские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006).

Публикации по теме диссертации:

1.С.В.Алмазова. К вопросу о применении метода определения собственных частот и функций системы упругих тел через собственные функции ее элементов // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. 2005. Вып.З. С.74-77.

2. С.В.Алмазова. Приближенная формула расчета собственных частот поперечных колебаний двухопорного вала с диском на консоли // Проблемы механики и управления: нелинейные динамические системы (Межвуз.сб. на-уч.тр.). Вып.37. Пермь: Перм. ун-т. 2005. С.8-14.

3. C.B. Алмазова. О колебаниях одной трехстержневой системы // Избранные Труды Международной научной конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения». СПб: Изд. «ВВМ». 2006. С.95-105.

4. C.B. Алмазова. Колебания весомого двухопорного вала1 с диском на консоли. // Материалы докладов Международной конференции «Четвертые Окуневские Чтения». Т.1: Теор. и прикладная механика. СПб: Балт. гос. техн. ун-т. 2005. С.38-41.

5. С.В.Алмазова, Д.Шевалье, М.П.Юшков. О приближенном методе определения частот и собственных форм колебаний системы упругих тел // Тезисы докладов «Пятого Международного Симпозиума по классической и небесной механике». Москва - Великие Луки. 2004. С.24-25.

6. С.В.Алмазова, М.П.Юшков. О некоторых особенностях вынужденных нелинейных колебаний балки с несмещаемыми опорами. // Тезисы докладов Международной конференции «Пятые Окуневские чтения» 26-30 июня 2006 г., С.-Петербург, Россия. СПб: Балт. гос. техн. ун-т. 2006. С. 35-36.

7. С.В.Алмазова. Определение минимального числа параметров, определяющих спектр собственных частот одной механической системы // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. 2008(апрель). Вып. 2.С. 121-126.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Получено представление кинетической и потенциальной энергий системы упругих тел в виде канонических квадратичных форм от избыточных координат системы и их производных по времени.

2. . Численным экспериментом показана сходимость и определена точность метода сочленения элементов с учетом квазистатики на примере решения 2-х задач о колебаниях систем упругих тел:

• весомого двухопорного вала с диском на консоли;

• системы 3-х стержней, 2 из которых совершают изгибные колебания, а один — продольные.

3. Установлена связь метода сил, рассматривающего реакции связей как обобщенные лагранжевы координаты, с методом сочленения элементов с учетом квазистатики. Показано, что метод сил дает высокую точность за счет учета всех собственных форм колебаний элементов системы не только в потенциальной, но и в кинетической энергиях.

4. Разработана методика применения метода сил к механической системе, состоящей из трех стержней.

5. Анализ сравнения приближенных результатов с точными позволяет сделать вывод о том, что развиваемые два метода с высокой точностью описывают колебания систем упругих тел с распределенными параметрами.

1. Зегжда С.А., Юшков М.П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Мех.тверд.тела. 1999. №4. С.31-35.

2. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения не-голономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб.ун-та, 2002.- 276с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. С.548.

4. Гогенемзер К., Прагер В. Динамика сооружений. Госстройиздат. Л.-М., 1936.

5. Вернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податливости // Вестн.Ленинград.ун-та. Сер.1. 1990. Вып.4(№2). С.35-42.

6. Зегжда1 С.А. К задаче о соударении деформируемых тел // Прикл.механика. Вып.4. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та. 1979. С.91-108.

7. Зегжда С.А. Соударение колец // Вестн.Ленинград.ун-та. Сер. 1.1986. Вып.1. С.77-83.

8. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. СПб: Изд-во С.-Петерб.ун-та.1997.-316 с.

9. Yushkov М.Р., Zegzhda S.A. A new method of vibration analysis of elastic systems, based on the Lagrange equations of the first kind // Technische Mechanik.1998. Bd 18. H.2. S.151-158.

10. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. Гостехиздат. М.-Л. 1946.

11. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука. 1967. —444с.

12. Вернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податливости // Вестник Ле-нингр.ун-та.Сер. 1. 1990. Вып.4. №2 С.35-42.

13. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. -М.:Наука. 1988. 326 с.

14. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Основные результаты Поляховской школы по аналитической механике // Третьи Поляховские чтения. Избранные труды.- Спб.: 2003. С. 16-22.

15. Зегжда С.А., Юшков М.П. Линейные преобразования сил. Голоном-ные системы // Вестник С.-Петерб.ун-та. Сер.1. 2000. Вып.З. №17. G.82-92.

16. Зегжда С.А., Юшков М.П. Линейные преобразования сил. Примеры применения // Вестник С.-Петерб.ун-та. Сер.1. 2001. Вып.1. №1. С.77-85.

17. Остроменский П.И., Родионов А.И. Составление и исследование уравнений движения голономных и неголономных систем методом обобщенных сил // Науч.вестн.НГТУ. 1997. №3. С.121-140.

18. Поляхов H.H. Уравнения движения механических систем при нелинейных, неголономных связях в общем виде // Вестник Ленингр.ун-та. 1972*. Вып.1, №1.С.124-132.

19. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Уравнения динамики как необходимые условия минимальности принуждения по Гауссу // Колебания и устойчивость механич.с-м. Прикл.механика. Вып.5. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1981. С.9-16.

20. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. -Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1985. 536 е.; М.: Высшая школа, 2000. - 592с.

21. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М. Л.: Гостехиздат.1946. -655с.t

22. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. -386с.

23. Юшков М.П. Приближенный способ определения основной критической угловой скорости нагруженных весомых валов // Вестник Ленингр.ун-та. 1962. №13. С.99-102.

24. Юшков М.П. Влияние растягивающей силы на критическую скорость вращения двухопорного вала // Вестник Ленингр.ун-та. 1969. №1. С.125-128.

25. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука. 1990.

26. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. // М.: Наука, 1976.-432с.

27. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М.: Лань.2003. 302с.

28. Халфман Р. Динамика. М: Наука. 1972. 568с.

29. Алдошин Г.А. Теория колебаний. Часть 1. Линейные колебания: учебное пособие. Балт.гос.техн.ун-т. СПб.,2006. — 159с.

30. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. В 2-х томах. М.: Изд-во иностран. лит-ры. 1960,1961.

31. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостех-издат. 1951.

32. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970. 736с.

33. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа. 1980-408с.

34. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Политехника. 1990. -277с.

35. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. М.: Физматлит. 1960. — 580с.

36. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение. 1977.-280с.

37. Гуров А.Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигателях. М.: Машиностроение. 1966.

38. Вейц В.Л., Дондошанский В.К., Чиряев В.И. Вынужденные колебания в металлорежущих станках. М. Л.: Машгиз. 1959. - 288с.

39. Карпенко Т.Н. Колебательные процессы в станках. Мариуполь: ПГТУ. 2006. 81с.

40. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.1. Элементарная теория и задачи. М.: Наука, 1965. - 364с.

41. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.2. Более сложные вопросы теории и задачи. М.: Наука, 1965. — 480с.

42. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник в 3-х томах. М.: Машиностроение. 1968.

43. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. М.: Машиностроение. 1978 1995.

44. Бутенин Н.В., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. 1991.-256с.

45. Варданян Г.С., Андреев В.И. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд-во АСВ, 1995. — 568с.

46. Ицкович Г.М., Минин JI.C., Винокуров А.И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: учеб.пособие для Вузов. Под ред. Л.С.Минина.- 3-е изд. М.: Высшая школа, 2001. - 592с.

47. Енохович A.C. Справочник по физике и технике. М.: Просвещение. 1989.-225 с.

48. Бекуа Н.П. Некоториге вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. — М.: Наука. 1991. — 256с.

49. БейтменГ., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука. 1966.-296с.

50. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М. Л.: Изд-во АН СССР. 1948. - 727с.

51. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М. Л.: Физ-матгиз. 1963. - 380с.

52. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: ГИТТЛ. 1951. 432с.

53. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1979. 384с.

54. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение. 1991.-416с.

55. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. Москва — Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. 2007. — 356с.

56. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: СПбГУ. 1995. -184с.

57. Юшков М.П. Построение приближенных решений уравнений нелинейных колебаний на основе принципа Гаусса // Вестник Ленингр.ун-та. 1984. №13. С.121-123.

58. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: Изд-во ЛГУ. 1988.-334с.

59. Стретт Дж.В. (Лорд Релей) Теория звука (в 2-х томах). М.: ГИТТЛ. 1955.

60. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер.с англ. М.: Мир. 1977.-349с.

61. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука. 1968. — 504с.

62. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз. 1960. 324с.

63. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Пер.с англ. М.: Мир. 1979.-392с.

64. Зегжда С.А., Синилыцикова Г.А. Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып.З. -2007.-С. 15-23.