Использование моделей контакта для математического описания механических и биомеханических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА"

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531 005533515

Влахова Анастасия Владимировна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ КОНТАКТА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ И БИОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2013

16 СЕН 2013

005533515

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

Бутузов Валентин Федорович, доктор физико-математических наук, профессор

Копылов Игорь Анатольевич, доктор технических наук, с.н.с.

Сидоренко Владислав Викторович, доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 11 октября 2013 года в 16.30 час. на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, 1, Главное здание МГУ, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций Фундаментальной библиотеки, сектор А - 8 этаж, к. 812 (Ломоносовский проспект, д. 27).

Автореферат разослан 11 сентября 2013 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22 кандидат физико-математических наук, доцент

Прошкин В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, связанные с моделированием перекатывания тел и описанием контакта составляющих биомеханических систем, постановка которых учитывает деформируемость взаимодействующих тел.

Первая часть работы посвящена построению и исследованию математических моделей систем, содержащих перекатывающиеся тела (систем с качением). Это направление актуально в связи с широким использованием таких систем в технике. Развитие возможностей наблюдения и моделирования перекатывания тел позволяет обсудить пределы применимости результатов, полученных при помощи формально-аксиоматических методов теоретической и прикладной механики.

Описание систем с качением часто проводится с использованием неголо-номной модели, базирующейся на пренебрежении относительными проскальзываниями поверхностей перекатывающихся тел. Пределы применимости этой модели определяются условиями, при которых реакции связей не выходят из конусов трения, построенных в точках контакта тел. Вообще говоря, эти условия являются всего лишь необходимыми для реализации движения без проскальзывания. В работе с использованием конструктивного подхода1 изучаются достаточные условия применимости формально-аксиоматического метода динамики неголономных систем. При выборе свободной от связей системы предполагается, что угловая скорость относительного верчения тел мала, а размеры областей контакта тел малы по сравнению с их характерными размерами. Это позволяет использовать результаты теории качения и в задачах, не связанных с изучением окрестностей областей контакта, считать взаимодействие тел точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент этих усилий считать равным нулю). Свойство деформируемости тел учитывается моделью касательной составляющей контакт-

1 В рамках конструктивного подхода, идеи которого были намечены в первой четверти XX века в работах Лекоршо, Клейна и Прандтля, система со связями заменяется свободной системой под действием тех или иных сил, определяемых физическими свойствами исследуемого механического объекта. Система, получаемая путем перехода в свободной (доопределенной) системе к пределу, называется системой со связями, а условия существования предела -условиями реализации связей в рамках принятого доопределения. Преимущество конструктивного подхода состоит в том, что с его помощью могут быть получены новые неклассг скис системы.

ной силы, которая действует по направлению малого относительного смещения (проскальзывания) их поверхностей и непрерывно зависит от скорости этого проскальзывания2.

Распространено мнение, что в предположении абсолютной твердости перекатывающихся тел движение системы следует описывать неголономной моделью. Однако предельный переход к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может приводить как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам. Ранее конструктивный подход использовался для обоснования классических неголономных, а также неклассических вакономных и "промежуточных" моделей (A.B. Карапетян, В.Н. Бренделев, И.В. Новожилов, В.В. Козлов, М.В. Дерябин).

В настоящей работе показано, что в случаях, когда при движении системы величины части обобщенных скоростей соизмеримы с величинами скоростей проскальзывания поверхностей тел, при переходе к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил в системе могут реализовываться первичные связи Дирака. Эти связи представляют собой соотношения между обобщенными координатами и импульсами системы, которые возникают при отбрасывании кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям. Проводится разделение ситуаций, когда система переходит в классическую неголономную модель или в неклассическую модель с первичными связями, в рамках которой проскальзывания тел сохраняются. В обоих случаях порядок системы понижается. С использованием полученных результатов проводится построение и исследование математических моделей движения колесных аппаратов и железнодорожных экипажей. Рассмотрены задачи, когда в системе совместно реализуются неголономные и первичные или голономные и первичные связи. Подобное систематическое исследование предельных систем ранее не проводилось.

Вторая часть работы служит введением в круг проблем, связанных с созданием искусственного тактильного механорецептора (ИТМ) - системы искусственного осязания, функции которой близки к осязательным функциям человека. Такой медицинский прибор для диагностики заболеваний мягких биоло-

2 В системах с большими областями контакта соприкасающихся тел и (или) большими угло-

выми скоростями их относительного верчения пренебрежение верчением может приводить к некорректному описанию движения. Изучению задач с учетом верчения посвящены работы В.Ф. Журавлева, A.B. Карапетяна, A.A. Киреенкова, В.А. Самсонова и др.

4

гических тканей путем пальпации (ощупывания), разрабатываемый НИИ механики и Институтом математических исследований сложных систем МГУ имени М.В. Ломоносова в рамках тем "Медицинские приборы с тактильным очувствлением" и "Организация производства медицинских и биологических устройств с тактильными возможностями", представляет интерес, поскольку он действует, не нарушая целостности тканей, без проникновения в них (неипва-зивно). В наше время неинвазивные методы диагностики заболеваний имеют приоритет и широко используются в медико-биологических исследованиях и лечебной практике. Механорецептор позволит уменьшить врачебную ошибку при обследованиях и хирургических операциях, дистанционно проводить профилактические осмотры пациентов и повысить эффективность диагностики патологии мягких тканей в ситуациях, когда при эндоскопических вмешательствах поле зрения датчика оказывается ограниченным, либо участок ткани пациента труднодоступен или недоступен для руки врача из-за малости разреза. Поскольку конкурентный метод обследования пациентов при помощи ультразвуковых или ЯМР-приборов3 является дорогостоящим, связан с использованием громоздкой аппаратуры и не всегда позволяет получить полную информацию о состоянии исследуемого участка ткани, ИТМ может применяться как альтернатива этим приборам или совместно с ними. Разработка ИТМ требует решения фундаментальных и прикладных задач на стыке математических, технических, биологических и медицинских наук.

Диагностика патологии путем пальпации базируется на том, что механические свойства (упругие, вязкие, реологические и проч.) здоровых и больных тканей отличаются друг от друга (А.П. Сарвазян, А.Р. Сковорода, Е.М. Тиманин, C.R. Hill, C.R. Gentle и др.). Аналогия пальпации и метода ин-дентирования в механике деформируемого твердого тела дает основание рассматривать взаимодействие тканей и механорецептора, находить и оценивать различия между откликами здоровой и больной тканей на механическое воздействие в рамках механики контактных взаимодействий, занимающейся изучением соприкасающихся тел вблизи области контакта. Патология мягких тканей может быть идентифицирована по изменениям параметров их математических моделей, определяемых путем решения обратных задач механики деформируемого твердого тела. Для обоснования конструкции ИТМ и разработки ме-

3 Приборы, в основе работы которых лежит явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

5

тодов диагностики патологии необходим ответ на вопрос, какую информацию можно получить при контактировании чувствительного элемента механорецеп-тора с мягкими биологическими тканями, каковы возможные диапазоны измеряемых датчиками величин и как эти величины зависят от механических свойств тканей, в частности, тканей со структурными неоднородностями.

Цель работы состоит в развитии подходов к моделированию систем с качением и описанию контакта составляющих биомеханических систем, совершенствовании методов исследования таких систем и применении этих методов для решения классических и новых задач механики и биомеханики.

Основные результаты. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором с использованием классических подходов теоретической и прикладной механики, фракционного анализа, теории возмущений, биомеханики, механики контактных взаимодействий.

Предложен подход, позволяющий расширить возможности математического моделирования систем с качением, и получить достаточные условия реализации в таких системах неголономных связей или первичных связей Дирака.

Разработана методика моделирования качения колесных аппаратов по горизонтальной однородной плоскости, позволяющая указать случаи, когда него-лономная модель качения теряет обоснование, и обеспечить возможность упрощения системы в ситуациях, когда пренебрежение боковым уводом колес может привести к некорректному описанию движения.

Получены модели движения колесных аппаратов при блокировке или пробуксовке колес одной оси. Приведены примеры ситуаций, когда такое движение вызывает занос аппарата.

Предложена методика математического моделирования качения железнодорожного экипажа в эксплуатационных условиях, позволяющая расширить возможности аналитической оценки опасности его схода при вкатывании гребня колеса на рельс по сравнению с неголономной моделью.

Разработаны методы, позволяющие провести аналитическую оценку влияния жесткости подвешивания железнодорожного вагона на амплитуду его поперечных колебаний в зоне свободного хода.

Исследована возможность отыскания локальных включений в модели мягкой биологической ткани с использованием измерений жесткости контакта и распределений контактного давления и нормальных контактных перемещений.

Теоретическая и практическая ценность результатов, их достоверность. Работа носит теоретико-прикладной характер. Полученные в ней результаты позволяют обосновать использование тех или иных моделей деформируемых механических и биомеханических систем и оценить их качественное поведение. В главе 1 обсуждаются границы применимости неголономных моделей систем с качением и предлагается подход к описанию этих систем неклассической моделью. Полученные в главах 2-5 результаты могут оказаться полезными для качественного анализа движения колесных аппаратов и рельсовых экипажей, а также для решения задач оценивания и управления в реальном времени. Материал главы 6 может использоваться при разработке специального медицинского оборудования для диагностики патологии мягких биологических тканей. Достоверность полученных результатов подтверждается их сравнением с результатами численного моделирования или данными эксперимента.

Результаты работы используются при чтении спецкурсов по теории колебаний и математическому моделированию механических и биомеханических систем, при написании курсовых, дипломных и диссертационных работ, а также в научно-исследовательской работе сотрудников механико-математического факультета.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах имени акад. РАН А.Ю. Ишлинского кафедры прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ (2009, 2012 годы, Москва, МГУ); научном семинаре по аналитической механике и теории устойчивости имени В.В. Румянцева под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад. РАН В.В. Козлова, проф. C.B. Болотина и чл.-корр. РАН Д.В. Трещева (2012 год, Москва, МГУ); научно-исследовательском семинаре по механике деформируемого твердого тела кафедры теории пластичности под руководством чл.-корр. РАН Е.В.Ломакина и акад. РАН И.Г. Горячевой (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре по механике прочности и разрушения под руководством член-корр. РАН Р. В. Гольдштейна (2013 год, Москва, ИПМех РАН); научном семинаре "Динамика относительного движения" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева,

доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой (2012 год, Москва, МГУ); научном семинаре "Асимптотические методы" под руководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (2006, 2010, 2013 годы, Москва, МГУ); на семинаре отдела № 5 "Механика космического полета и управление движением" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (2012 год, Москва, ИПМ); на Ломоносовских чтениях (2008, 2011 годы, Москва, МГУ); на международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 75-летию В.И. Арнольда (2012 год, Москва, МИ-АН); на международном научном симпозиуме, посвященном 140-летию МГТУ "МАМИ"(2005 год, Москва, МГТУ "МАМИ"); на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2006 год, Нижний Новгород, НГУ им. Н.И. Лобачевского); на международном научно-техническом семинаре "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (2009-2012 годы, Украина, Алушта).

Работы последних лет, вошедшие в диссертацию, выполнялись в рамках финансируемых РФФИ грантов №06-01-00517, 07-01-92167-НЦНИ_а, 09-0100593 и фанта Правительства РФ для господдержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" по договору № 11.G34.31.0054.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, перечисленных в конце автореферата. Все включенные в диссертацию результаты совместных работ получены автором самостоятельно. Случаи, когда во избежание потери целостности изложения приводятся результаты соавторов, оговорены в тексте.

Структура работы. Диссертация изложена на 250 страницах и состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (240 наименований).

Содержание работы

В главе 1 обсуждаются условия реализации связей в системах с качением. Раздел 1.1 носит методический характер: проводится краткий обзор возможных предельных переходов, приводящих к моделям с условиями непроскальзывания4.

В разделе 1.2 в предположении, что качение тел сопровождается малыми относительными проскальзываниями, возникающими из-за их малой деформируемости, проводится разделение ситуаций, когда при стремлении жесткостей касательных составляющих контактных сил к бесконечности (скоростей проскальзывания к нулю) система переходит в классическую неголономную модель или в неклассическую модель с первичными связями Дирака.

Рассматривается механическая система с голономными стационарными идеальными связями, положение которой определяется п независимыми обобщенными координатами я = ..., Чп)т (г- знак транспонирования). Предполагается, что система содержит т подвижно сопряженных пар тел (так называемых кинематических пар) с одной относительной степенью свободы, в каждой из которых допускается проскальзывание. Контакт тел в парах считается точечным. Моделью касательных составляющих контактных сил (сил трения), действующих по направлению относительного проскальзывания соприкасающихся в к-й паре тел, служит

(к = \,...,т). (1)

Точкой обозначено дифференцирование по времени V* - коэффициенты трения; Ык - нормальные реакции;^ - характеристика контактной силы; щ - проекция скорости проскальзывания тел в к-й точке контакта на направление смещения. Далее предполагается

А^>0 (к= I, ...,ш). (2)

Компоненты вектора и = (кь ..., ит)Т связаны с обобщенными скоростями системы соотношением

и = В<ь В=||6И(Ч)| (/ = 1.....я; Аг = 1.....(3)

4 Вопросы построения моделей с условиями непроскальзывания при помощи вариационных методов в работе не рассматриваются.

Предполагается, что уравнения щ = 0 задают в фазовом пространстве системы поверхности, в окрестностях

Ы < £ « 1 (4)

которых fk - гладкие функции, удовлетворяющие условиям

min f, =-1 max /I =1. В частности, при выполнении этих условий величины На-7* ' к|<ЕУ*

касательных составляющих контактных сил (1) не превосходят предельных значений vkNk сил кулонова трения. Параметр г характеризует малую упругую деформируемость тел. Выражения (1) служат обобщением модели вязкого трения, модели Картера, "brush"- модели Фромма, доопределяемых при использовании метода эквивалентного управления разрывных характеристик сил кулонова трения (в том числе при несовпадении значений трения покоя и трения движения) и проч.

Уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движение рассматриваемой системы, имеют вид

A(q)q = g(q,q) + Q"(q,q,') + Brp> (5)

где А - матрица инерционных коэффициентов; g(q,q) - вектор, отвечающий символам Кристоффеля и потенциальным силам; Q4 =(Qf,..., Q*)T - вектор активных сил; Р = (Pi, ..., Рт)Т - вектор касательных составляющих контактных сил (1). Далее qiy ...,q„u t считаются безразмерными величинами, что может быть обеспечено за счет предварительной нормализации.

Нормальные реакции Nk (£ = 1, ..., m) находятся методом освобождения рассматриваемой системы от связей, вызывающих эти реакции. Для описания освобожденной системы, помимо qu ..., qn, вводится m дополнительных обобщенных координат. Они выбираются так, чтобы при наложении связей освобожденная система переходила в рассматриваемую систему. Корректность перехода к модели со связями может быть исследована с использованием подходов, разработанных А.П. Ивановым, В.В. Козловым и А.И. Нейштадтом, И.В. Новожиловым, Ф.Л. Черноусько и др. Полученные выражения для Nk должны удовлетворять условиям (2).

В качестве начальных условий для системы (5) примем

Ч(=о = Чо = (^10 > • • Япо У' (6)

10

Предположим, что в рассматриваемый момент времени изображающая точка системы (5) попала на пересечение е-окрестностей (4) для к = 1, ..., т. В работе рассматриваются два случая движения по указанному пересечению, отвечающие различным предельным моделям системы при г -» 0.

В первом случае движение системы происходит так, что обобщенные скорости по величине существенно превосходят скорости проскальзывания контактирующих тел: \qt\ ~ 1 (i — 1, ..., ri), и порядки слагаемых в правых и левых частях соотношений (3) различаются. Для обоснования перехода к неголо-номной модели со связями

0 = Bq (7)

предложен алгоритм, базирующийся на подходах A.B. Карапстяна, В.Н. Бренделева, И.В. Новожилова к реализации условий непроскальзывания вязким или кулоновым трением.

Идея алгоритма основывается на том, что при движении с малыми проскальзываниями постоянные времени изменения составляющих движения рассматриваемой системы сильно различаются: малые постоянные времени характеризует быстрое изменение скоростей проскальзывания, большие постоянные времени - медленное изменение обобщенных координат и скоростей. Тем самым, систему можно привести к сингулярно возмущенному виду с малыми параметрами при части производных и использовать формализм методов теории возмущений. Для этого часть обобщенных скоростей системы (5) заменяется набором линейно независимых функций ик из (3), и, далее, принимается

и = гг. (8)

Соответствующие ик переменные zk являются быстрыми переменными полученной сингулярно возмущенной системы. Выражение для характеристики контактной силы из (1) может быть приведено к виду [к = fk(q,q,zk), где график функции ft (q, q, zk) получается при q,q = const из соответствующего графика fk(q,q,uk) растяжением в 1/е раз вдоль оси щ. Невозмущенная (вырожденная) система, отвечающая е = 0, совпадает с классической неголоном-ной моделью в форме уравнений Лагранжа с неопределенными множителями (без учета зависимости Рк от zk). Роль множителей играют величины Рк

11

(к = 1, ..., т), которые можно трактовать как реакции связей м* = 0, запрещающих проскальзывание в к-н кинематической паре. При использовании формально-аксиоматического метода динамики неголономных систем, как известно, возможна ситуация, когда все или часть компонент вектора Р не могут быть найдены (кинематически неопределимый случай). В рамках построенной в работе модели реакции отыскиваются с учетом зависимости между Риг, получаемой при помощи соотношений (1), (8). Достаточные условия близости решений исходной и невозмущенной систем при е -> 0 могут быть получены с применением теории, развитой в работах А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова.

Утверждение 1. При выполнении для сингулярно возмущенной и невозмущенной систем условий А.Б. Васильевой для достаточно малых в решение е)( <}(г,£) системы (5) и соответствующие переменные (((/)■ Ч(0> вычисляемые из неголономной системы со связями (7), а также переменные г(/, г) и сингулярно возмущенной и невозмущенной систем удовлетворяют оценкам

|чМ-ч(0| = О(в), |4М-Ч(О| = 0(е), 0^ |г(/,е)-2(*)| = 0(е), А<1<(', А = 0(-е 1пе).

Здесь и далее 0 < £ < ? - конечный интервал времени, на котором рассматривается движение системы.

В соответствии с (1), (8) и последней из оценок (9) полученные в работе выражения для реакций связей справедливы вне пограничного слоя 0 < * < Д.

Во втором случае рассматривается движение, для которого элементы матрицы В, = |К(ч)|| (к= 1, ..., т; / = 1, ..., р) имеют порядок 0(е): В! = еВь

компоненты вектора я, = (дх,..., ¿¡р)Т обобщенных скоростей системы (5) являются конечными величинами: ('= I. •■•> Р).' компоненты вектора Ч2 = (£/Р+р •••> Ч„)Т имеют порядок скоростей проскальзывания: |<7/|~£ (/ = р + 1, ..., п). Тогда величины слагаемых в правых частях соотношений (3) соизмеримы с характерным значением а левых частей этих соотношений, т.е. переход к соотношениям (7), базирующийся на пренебрежении скоростями проскальзывания по сравнению с обобщенными скоростями, теряет обоснова-

12

ние. Примеры реализации этого случая в практических задачах исследовались И.В. Новожиловым, И.А. Копыловым, И.С. Павловым.

Для понижения порядка системы (5) в работе проводится замена

Ч2 = еО, (Ю)

приводящая (5) к сингулярно возмущенной по е форме с быстрыми переменными 8. Невозмущенная (вырожденная) система, отвечающая г = 0, получается из системы (5), разрешенной относительно ц, если заменить уравнения, описывающие изменение переменных q2, квазистатическими соотношениями, принять для всех слагаемых я2 = Я20 = (с/р,,<ь ..., с[м)т и положить ч2 =0, В, = 0 везде, за исключением зависимостей характеристик /к касательных составляющих контактных сил от компонент гк вектора г из (8):

г = В,д1+В,в, В, =||би(я)|| (к = \, / = р + 1,..., „). (И)

Утверждение 2. При выполнении для сингулярно возмущенной и невозмущенной систем условий А.Б. Васильевой для достаточно малых 8 решение Я (А е). системы (5) и соответствующие переменные <](/). вычис-

ляемые из невозмущенной системы, а также переменные в(/, е) и 0(/) сингулярно возмущенной и невозмущенной систем удовлетворяют оценкам

|чМ-?(')| = 0(8), И(''®М(О| = 0(е), 0<(<(';

|е(лг)-ё(?)|| = С(е); Д <1<1\ Д = 0(-е1пв). °2)

Обсудим физический смысл невозмущенной системы. В силу соотношений (11) она не совпадает с моделью, получаемой из (5) наложением связей <12 = 0. Как указывалось ранее, связи (7), запрещающие проскальзывания в кинематических парах, в рассматриваемом случае также не реализуются.

В работе с использованием подхода В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.И. Нейштадта для систем с малыми массами показано, что во втором случае решение системы (5) при г -» 0 описывает движение вблизи многообразия, определяемого первичными связями Дирака

Рг-Аг^г'р, =0, (13)

которые возникают между обобщенными координатами ц и векторами

Р! = А1Л + А12Ч2. Р2 = А21Я, + А22Я2 (14)

13

11,

первых р и последних п - р обобщенных импульсов системы (5) в пренебреже нии компонентами вектора (\2 малых обобщенных скоростей. Здесь А Ап = А21Г, А22 - соответствующие миноры матрицы А. Эквивалентность подходов к системам с малыми массами и малыми обобщенными скоростями обусловлена тем, что после замены (10) в выражениях (14) при слагаемых с множителем 0 появляется малый параметр г. При в = 0 лагранжиан системы вырождается.

В переменных Лагранжа уравнения движения системы, отвечающие связям (13), могут быть приведены к виду

А, ,4, + А|2ч2 = В, (ч,ч) + О? (ч,ч,Г) + вГР, о=-а21 а-1 (ч,ч)+(ч,ч,/)+вГ р)+ё2 (ч,я)+(ч, Ч,/) ■+ в2 Р-

81 > 82=(^р(15)

'дав [ да., да^ ^8де дд, у

Здесь а . - элементы вырожденной матрицы

п п |

«=1 м z

• ■ ди <■ 1 \

А —

í а А л

А А л~1а

11((\) - силовая функция системы (5). При выполнении условий утверждения 2 второе (конечное) уравнение системы (15) разрешимо относительно компонент вектора 0, определенного соотношением (10). Корнем этого уравнения и соответствующим выражением для С|2 служит

6 = 9'(ч,я1,?,г), ч2=ее = ч'(ч,ч„*,8). (16)

Подстановка второго соотношения из (16) в первое уравнение системы (15) позволяет найти решение я = е), Я, =4,0, в) уравнений Дирака. Заметим, что порядок дифференциальных уравнений системы (15) превышает порядок обсуждаемой в утверждении 2 невозмущенной системы из-за того, что переменная не является постоянной, а медленно изменяется в соответствии со вторым соотношением из (16).

Оценка рассогласования между решениями исходной системы (5) и системы (15) при £ У 0 определяется начальными условиями, выбираемыми для системы (15).

Утверждение 3. При выполнении условий утверждения 2 для решения

е). системы (5) и решения q(/,s), системы (15), отвечаю-

щего начальным условиям

q(0,e)=q0, 4,(0, S) = q|0+An'(q0)A12(q0)[q20-q;(qo,qio,0,0)],

гдецо, Чщ = (<710,..., f/p(|)r, q20 ~{qp+w,..., qii0)T определены в (6), а также для

величины q2(q,q,,i,e), вычисляемой из (16), при достаточно малых б справедливы оценки

||q(i,£)-q(i,s)|| = 0(e2), 0</</';

(q,(i,e)I = C?(e2), ||q2 -q'|| = ), (17)

A<t<t\ Д = 0(—elne).

Для решения q(i,e), q,(/,e) системы (l5) с начальными условиями q(0,£) = q0, ^(0,e)=q1Q и соответствующей ему величины q*(q,^|,/,E) верны оценки

К M - Ч. М|| = 0(8), |q, (г,в)-Ч, (/,г)1 = 0(г),

||Ч2(i,e)-q2= С(е2), 0<t<t'- (18)

Цчз(''е)-Ч^1 = С(е2), A<t<t\ А = 0(—г 1пг).

Для доказательства утверждения 3 в работе предложен алгоритм, базирующийся на асимптотических разложениях А.Б. Васильевой, который позволяет формировать приближенные модели сингулярно возмущенных систем без перехода к итерациям при вычислении решений систем нулевого, первого и т.д. приближений по малому параметру. Оценки (17), (18) показывают, что при помощи подхода Дирака может быть построена более точная модель движения по сравнению с невозмущенной системой.

Многообразие, на котором происходит движение без проскальзывания в кинематических парах, и многообразие, определяемое первичными связями (13),

в общем случае не совпадают. Это говорит о том, что при формировании приближенных моделей движения во втором случае проскальзываниями контактирующих тел, несмотря на их малость, пренебрегать нельзя.

В главах 2-5 подход, разработанный в главе 1, применяется для построения и исследования математических моделей движения колесных аппаратов и рельсовых экипажей. Как правило, при движении конкретных механических систем, в зависимости от значений обобщенных скоростей и жесткости элементов конструкции, могут совместно реализовываться соотношения, часть которых отвечает условиям непроскальзывания и условиям недеформируемости конструкции, а часть - первичным связям Дирака.

В главе 2 рассматривается задача о качении двухосного четырехколесного аппарата по горизонтальной однородной плоскости с малыми проскальзываниями колес.

В разделе 2.1, 2.2 обсуждаются постановка задачи и модель сил взаимодействия колес с опорной плоскостью. Используется двухколесная, так называемая "велосипедная" модель аппарата (рис. 1), в рамках которой его передние (управляемые) колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние - одним задним, боковые наклоны корпуса не учитываются. Такая модель описывает движения аппарата с малыми различиями характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с опорной плоскостью.

Рис. 1

Для описания проекций касательных составляющих Рф Рх] контактных сил на продольное и поперечное направления АрС], Ау; к плоскостям колес используется модель вида (1), которая, в отличие от традиционной модели увода, учитывает не только поперечные, но и продольные деформации колес:

Обоснование модели (19) проведено в работах И.В. Новожилова. Здесь иф 1!У] - проекции скорости точки контакта /-го колеса с опорной плоскостью на оси Чту, Уу соответствующие коэффициенты кулонова трения; Ц, — угловые скорости вращения колес вокруг осей Аху/, Л - их радиус; Ц - нормальные реакции в точках контакта колес с опорной плоскостью. Для пневматических шин величина е, характеризующая их упругую деформируемость в касательном направлении (за счет нее возникает так называемое "псевдоскольжение" шин), имеет порядок 10 Предполагается, что колеса не отрываются от опорной плоскости, т.е. Щ > 0 (/' = 1,2).

Модель (19) не учитывает угловые скорости и моменты верчения, возникающие при контакте колес с опорной плоскостью. Поскольку область применимости "велосипедной" модели ограничена движениями с небольшими поперечными и угловыми скоростями корпуса аппарата, то в пренебрежении угловыми скоростями верчения выражения для С1ф II„ определяются с погрешностью, не превосходящей величин порядка отношение характерных значений моментов верчения и моментов касательных составляющих контактных сил относительно центра масс системы можно оценить величиной х/тт(а, Ь), где х - характерный размер областей контакта колес и опорной плоскости; а, Ь - продольные расстояния от центра масс С аппарата до осей А,у,, Ау2 вращения колес. Для рассматриваемой задачи указанные отношения считаются пренебрежимо малыми.

В разделах 2.3, 2.4 показано, что предельный переход е^Ок бесконечному значению жесткости касательных составляющих (19) контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) приводит к разным моделям для

(19)

случаев качения аппарата с малыми (|Д| ~ е) и конечными (|А| ~ 1) углами А поворота переднего колеса относительно корпуса (вокруг оси А1г1 трехгранника ЛрС^гО- Сформулированы достаточные условия, при которых качение с конечными углами Д можно описывать неголономной моделью непроскальзывания колес. Показано, что при |Д| ~ е проскальзываниями в поперечных направлениях А¿у, (боковым уводом колес) пренебрегать нельзя в силу малости поперечной и угловой скоростей корпуса аппарата. В системе могут быть реализованы условия непроскальзывания колес в продольных направлениях А^ (/=1,2) и первичные связи Дирака, возникающие из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к нулевым значениям малых поперечной и угловой скоростей корпуса, малой угловой скорости поворота переднего колеса относительно корпуса и малого отношения масс колес и корпуса. В отличие от неголономной модели, корректность которой обоснована в работе для небольших характерных значений путевой скорости аппарата порядка а + Ь), применение последней модели возможно и для характерных скоростей, превышающих указанное значение в \J-Jz раз.

Корректность использования моделей со связями для типовых значений параметров модели легкового автомобиля подтверждается результатами численных расчетов, приведенными в разделе 2.65. В качестве примера на рис. 2 показаны последовательные положения корпуса "велосипедной" модели переднеприводного автомобиля при разгоне на сухой асфальтовой дороге с малым фиксированным углом поворота переднего колеса (Д = 0.05 рад) (X., У- декартовы координаты точки С в неподвижной системе координат Охцу&о), на рис. 3 - зависимость поперечной компоненты 1/у\ скорости точки контакта переднего колеса с опорной плоскостью от времени Здесь и далее кривая 1 отвечает исходной системе уравнений движения; кривая 2 - неголономной модели, описывающей движение автомобиля с жесткими колесами; кривая 3 - модели, объединяющей модель непроскальзывания колее в продольном направлении и модель Дирака с первичными связями, которая учитывает боковой увод колес.

3 Расчеты проводились И.А. Смирновым.

-О 8 ---«---_—._„_.

0 ' 2 3 4

Рис. 3

Анализ графиков показывает работоспособность использования подхода Дирака для описания движений аппарата с малыми углами поворота переднего колеса относительно корпуса, когда порядки слагаемых в правых и левых час-

тях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания колес и обобщенными скоростями соизмеримы, а лагранжиан системы близок к вырожденному. Кривые на рис. 2 позволяют наблюдать изменение траектории поворота автомобиля, вызванное боковой деформируемостью его шин. Анализ рис. 3 показывает, что при изучении рассматриваемого движения необходимо принимать во внимание увод колес автомобиля: горизонтальная прямая 2, отвечающая движению без проскальзывания, не близка к кривой 1 ни при каких /. Ширина пограничного слоя, вне которого близки кривые 1 и 3, отвечает теоретическим оценкам. Если переднеприводный автомобиль заменить задне- или полноприводным, либо вместо разгона рассматривать задачу о торможении, то результаты расчетов качественно не изменяются.

Г

16

12 8 4 О

Рис. 4

Для движений с конечными углами поворота переднего колеса, когда порядки слагаемых в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания колес и обобщенными скоростями существенно различаются, неголономная модель приближает исходную систему лучше, чем модель, построенная с использованием подхода Дирака. В качестве примера на

20

рис. 4 показаны последовательные положения корпуса "велосипедной" модели полноприводного автомобиля при разгоне на сухой асфальтовой дороге с большим фиксированным углом поворота переднего колеса вокруг вертикальной оси (А = 0.4 рад).

В главе 3 с применением "велосипедной" модели (рис. 1) исследуется движение четырехколесного аппарата при блокировке или пробуксовке колес одной оси. Переднее колесо предполагается фиксированным в плоскости продольной симметрии аппарата (А = 0 рад).

В разделе 3.1 обсуждается постановка задачи. Для колеса, не потерявшего сцепление с опорной плоскостью, используется модель контакта (19), учитывающая малые относительные проскальзывания; потерявшее сцепление колесо взаимодействует с опорной плоскостью посредством кулонова трения. Коэффициенты кулонова трения для простоты выбираются одинаковыми: vt/ = Vyj = v. Если ку-му колесу приложен тормозной момент, величина которого превосходит предельное значение vNjR момента контактной силы, то за конечное время, существенно меньшее характерного времени изменения скорости центра масс аппарата, угловая скорость Г2, вращения этого колеса вокруг оси Ajyj обратится в нуль: колесо блокируется. При действии на колесо разгонного момента, превосходящего vNjR, колесо начинает разгоняться с пробуксовкой до угловой скорости £lj = const, определяемой характеристиками двигателя. В работе исследуется движение аппарата после завершения процессов блокировки или пробуксовки колеса. Как и выше, рассматривается случай Nj>0(J= 1,2), поперечная и угловая скорости корпуса аппарата считаются небольшими.

В разделе 3.2 показано, что при переходе £ —> 0 к бесконечному значению жесткости касательных составляющих (19) контактных сил в системе реализуются условия непроскальзывания колеса, не потерявшего сцепление с опорной плоскостью. С использованием метода фазовой плоскости обсуждаются ситуации, когда блокировка или пробуксовка колес приводит к заносу аппарата6. По-

6 Описание начального этапа заноса автомобиля с использованием "велосипедной" модели проводится в алгоритмах работы современных систем безопасности, которые обеспечивают устойчивость автомобиля против заноса, корректируя его угол курса за счет поворота передних колес на дополнительный угол. Помимо этого, "велосипедная" модель применяется для построения законов управления мобильными роботами, движущимися в режиме заноса.

21

казано, что торможение и разгон передними колесами с точки зрения безопасности движения предпочтительнее заднеприводных вариантов реализации этих режимов. Различия объясняются тем, что для переднеприводного аппарата момент сил инерции относительно непроскальзывающей точки контакта заднего колеса с опорной плоскостью способствует уменьшению отклонения оси корпуса от направления движения, а для заднсприводного варианта момент сил инерции относительно непроскальзывающей точки контакта переднего колеса способствует увеличению этого отклонения.

Предложенные в работе подходы к математическому моделированию движения колесных аппаратов использовались для создания динамической модели переменной структуры, описывающей движение автомобиля при различных сочетаниях возмущающих факторов, приводящих к разгону, торможению, виражу, заносу и проч. Структура модели изменяется в зависимости от числа колес, потерявших сцепление с дорогой. Динамическая модель применялась для разработки программного обеспечения тренажерного комплекса водителя, имитирующего как движения без потери сцепления колес с дорогой (с малыми проскальзываниями), так и движения и в режиме заноса. Программы комплекса позволяют оценить навыки вождения и проводить эффективное обучение водителей. Обеспечение реализовано в обучающе-тренажерной установке ОТКВ-2, разработанной на кафедре теории и методики прикладных и экстремальных видов спорта Российского государственного университета физической культуры, спорта и туризма. Построенная модель может также применяться для формирования средств активной безопасности автомобиля, работающих в реальном времени и способствующих предотвращению заноса или минимизации его отрицательных последствий.

В главе 4 построена математическая модель, позволяющая описывать вкатывание гребня колеса железнодорожного экипажа на головку рельса - один из наиболее опасных режимов движения, чреватый сходом.

В основе большинства методик оценки безопасности движения железнодорожных экипажей лежит критерий Надаля:

Р - V

Ку=——-^>1. (20)

Здесь РупРг- соответственно, величины поперечной и вертикальной составляющих контактной силы в точке взаимодействия гребня и рельса; \у - коэффициент кулонова трения в касательном направлении к их соприкасающимся поверхностям; 8 - максимальное значение угла наклона образующей гребня к горизонтали. Профили колеса и рельса показаны на рис. 5. Выполнение критерия Надаля гарантирует, что в области максимального наклона образующей гребня сумма сил, способствующих опусканию колеса, будет превышать сумму сил, способствующих его вкатыванию на рельс. Величина Ку называется коэффициентом запаса устойчивости колеса против схода с рельса.

Как показывает практика, критерий Надаля не всегда позволяет корректно судить о безопасности движения экипажей, а в ряде случаев является чрезмерно жестким. В связи с этим большое число работ посвящено исследованию пределов применимости критерия Надаля и созданию уточненных критериев безопасности движения. К ним относятся дополнительные ограничения поперечного смещения центра масс экипажа относительно средней линии пути, высоты подъема рабочей поверхности колеса над головкой рельса и проч.

Построенная в работе модель дает возможность проводить аналитическую оценку опасности схода железнодорожных экипажей и рассматривать взаимосвязь ряда критериев безопасности рельсового движения. Работа дополняет исследования, базирующиеся на моделях с условиями непроскальзывания колес относительно рельсов, рассмотрением случая эксплуатационных условий движения экипажа.

В разделах 4.1, 4.2 обсуждаются используемые в железнодорожной литературе критерии безопасного взаимодействия колес с рельсами и постановка задачи. В пренебрежении деформацией подвешивания экипаж моделируется корпусом (его центр масс находится в точке С) и колесной парой с фиксированной внутри корпуса осью вращения (рис. 6). Каждое из колес представляется двумя сопряженными конусами с малым углом конусности (порядка 3°) для рабочей поверхности и большим углом конусности (порядка 60-80°) для гребня. Рельсовый путь предполагается недеформируемым, плоским, горизонтальным, с поворотом вправо (экипаж, показанный на рис. 6, движется "на читателя"); каждое из колес взаимодействует с рельсом в одной точке.

Предполагается, что движение экипажа происходит без отрыва колес от рельсов; касательные составляющие контактных сил задаются моделью вида (19), учитывающей малые проскальзывания колес относительно рельсов (крип). В эксплуатационных условиях движения, когда контактирующие поверхности загрязнены водой и смазочным материалом, в отличие от случая е ~ 10~3 сухих

21

\ К

Рис. 6

и чистых взаимодействующих поверхностей, условия непроскальзывания колес относительно рельсов теряют обоснование. Это связано с тем, что в эксплуатационных условиях 8 ~ 10~2, т.е. скорости проскальзывания колес относительно рельсов увеличиваются, и слагаемые в правых и левых частях соотношений между их компонентами и обобщенными скоростями системы становятся соизмеримыми.

В разделе 4.3 показано, что моделирование движения экипажа в эксплуатационных условиях может проводиться при помощи подхода Дирака. Первичные связи возникают из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к нулевым значениям малых поперечной и вертикальной скоростей центра масс корпуса, угловых скоростей его крена и виляния и малого отношения масс колесной пары и корпуса. Возможности исследования, предоставляемые построенной моделью, состоят в следующем. При использовании классической него-лономной модели движения экипажа значения реакций связей — 0 (/' = 1,2), запрещающих проскальзывание колес в направлениях осей О¿у,, не могут быть найдены (кинематически неопределимый случай). Тем самым, вопрос об области применимости этой модели в рамках формально-аксиоматического метода остается открытым. Асимптотическая модель с условиями непроскальзывания, предложенная в работе И.В. Новожилова и В.Н. Филиппова, дает возможность рассматривать движение экипажа в зависимости от его путевой скорости, формы гребня и радиуса кривизны пути. Построенная в работе модель позволяет скорректировать полученные ранее оценки, и, дополнительно, изучить, как влияют на динамику экипажа высота его центра масс, силы взаимодействия колес и рельсов, коэффициенты трения их контактирующих поверхностей, внешние возмущающие силы и моменты.

В разделе 4.4 с использованием построенной модели обсуждаются критерии безопасности движения экипажа. В предположении пренебрежимо малых внешних сил и моментов продольные составляющие Рх! (/ = 1,2) контактных сил обращаются в нуль, следовательно, входящие в (19) неравенства будут выполнены при условии равновесия контактных сил и силы тяжести, действующих на экипаж в поперечной вертикальной плоскости Оуг. Условие выхода линии действия контактной силы на левом (наезжающем на головку рельса) колесе на границу своего угла трения показывает, что в случае, когда локальный

25

угол конусности образующей гребня в точке контакта меньше своего максимального значения, условие (20) не всегда позволяет оценить безопасность движения экипажа7. Предложенные в работе критерии дают возможность провести такую оценку.

Результаты проведенного исследования отвечают статистике аварий железнодорожного транспорта, в соответствии с которой вкатывание гребня колеса на рельс наиболее вероятно для порожних вагонов с высоким центром масс (цистерн); вагонов с новыми колесами; вагонов, движущихся в кривых малого радиуса. При уменьшении коэффициентов трения колес и рельсов вероятность вкатывания снижается.

В главе 5 проводится построение и исследование математических моделей поперечных колебаний четырехосного грузового вагона в зоне свободного хода . Рассматривается задача о влиянии жесткости подвешивания на амплитуду этих колебаний.

В разделе 5.1 обсуждается постановка задачи. Рассматривается грузовой вагон, движущийся по горизонтальному, прямолинейному, недеформируемому рельсовому пути с постоянной скоростью. При моделировании вагона используется конструктивная схема В. А. Лазаряна, в соответствии с которой кузов вагона 1 через пятники 2 опирается на две двухосные тележки 3 типа ЦНИИ - ХЗ (рис. 7). Упругое устройство (пружинные комплекты) 4 расположено между надрессорными балками 5, на которые жестко опирается кузов, и боковыми рамами 6 тележек, опирающимися на колесные пары 7. Параллельно пружинным комплектам расположены демпферы вязкого трения 8. Полученное вязкоупру-гое устройство образует подвешивание вагона. Кузов, рамы тележек и колесные пары считаются недеформируемыми, вращение кузова вокруг кромки пятника (перевалка кузова) и перемещения колесных пар относительно боковых рам тележек не учитываются. Предполагается, что продольные перемещения кузова и тележек одинаковы; колеса являются одинаковыми, коническими, каждое из них взаимодействует с рельсом в одной точке; движение вагона происходит без отрыва колес от рельсов; внешние возмущения пренебрежимо малы.

7 Такое же заключение было сделано ранее Д.Ю. Погореловым и В.А. Симоновым на оснс вании численных расчетов.

Зона свободного хода - зазор между гребнями колес и боковыми гранями головок рельсов, пределах которого колесная пара может перемещаться в поперечном направлении

26

1

X

^27

/////// ////*/ / ¿ У

21

ъ

Рис. 7

В главе 4 было показано, что при отсутствии внешних возмущений соотношения, определяющие условия непроскальзывания колес, позволяют получить грубую оценку параметров поперечного движения экипажа с одной колесной парой в зоне свободного хода. Для двухосных тележек с одинаковыми коническими колесами и жестко закрепленными осями колесных пар условия непроскальзывания колес приводят к переопределенной системе уравнений, которая имеет лишь тривиальное решение. В связи с этим качение вагона описывается моделью Картера вида (19), учитывающей малые проскальзывания колес относительно рельсов.

В разделе 5.2 путем перехода к бесконечной жесткости подвешивания и касательных составляющих контактных сил показано, что решение системы развивается вблизи многообразия, определяемого условиями недеформируемости подвешивания и первичными связями Дирака, которые возникают в пренебрежении малыми поперечными и угловыми скоростями кузова и тележек. Система со связями описывает незатухающие поперечные колебания тележек вагона в зоне свободного хода ("кинематические виляния"). С применением метода интегральных многообразий проведено уточнение этой системы и построена математическая модель, которая улавливает слабое возрастание амплитуды поперечных колебаний тележек в зависимости от параметра, характеризующего жесткость подвешивания. Справедливость результатов, полученных при помощи асимптотических процедур, подтверждается численными расчетами. Построенная модель может быть использована при выборе рациональных параметров подвешивания вагона и исследовании поперечных колебаний поезда.

В главе 6 обсуждаются задач«, возникающие при создании искусственного тактильного механорецептора - медицинского прибора для пальпации мягких биологических тканей. Этот способ диагностики патологии основан на анализе различий механических свойств исследуемой и здоровой тканей. Взаимодействие тканей и чувствительного элемента механорецептора рассматривается в рамках механики контактных взаимодействий9. Для реализации такого подхода необходимо разработать адекватные математические модели тканей, модели их контактного взаимодействия с ИТМ и методы идентификации параметров этих моделей по результатам измерений контактных характеристик.

Разделы 6.1, 6.2 носят методический характер: приводятся краткие сведения об особенностях строения тканей, обзор современного состояния исследований их механических свойств, обсуждаются возможные постановки контактных задач, позволяющих описывать взаимодействие тканей с механорецепто-ром, а также подходы к решению обратных задач, которые могут возникнуть при определении механических и геометрических характеристик тканей и диагностике включений с использованием экспериментальных данных.

Изучением механических свойств тканей занимались как отечественные, так и зарубежные ученые (А.П. Сарвазян, А.Р. Сковорода, Е.М Тиманин, C.R. Hill, C.R. Gentle и др.). Полученные ими результаты показывают, что ткани как объект исследования механики деформируемого твердого тела представляют собой класс материалов, специфическими особенностями которых является слабая сжимаемость и существенное различие скоростей (с, ~ 1500 м/с и с2~ 1 м/с) распространения внутри них плоских продольных и поперечных ультразвуковых волн. При этом скорость с, распространения продольных волн достаточно слабо зависит от вида и состояния ткани, а скорость с2 распространения поперечных волн обладает высокой чувствительностью к происходящим в ней изменениям. Указанные особенности объясняются тем, что величина С\ и свойство сжимаемости определяются, в основном, молекулярным составом тканей, который практически не изменяется при заболеваниях. Патология мягких тканей, как правило, связана с нарушениями межклеточных контактов10. Поэтому величина с2, достаточно сильно зависящая от вида, строения надмолеку-

' Эту идею сообщил автору Ю.Г. Мартыненко.

Например, при прогрессировании злокачественной опухоли сначала нарушается правильное развитие клеток, затем число пораженных клеток патологически увеличивается вследствие их бесконтрольного деления.

лярных структур ткани и межклеточных взаимодействий, является основной характеристикой ее изменений.

Для описания напряженно-деформированного состояния мягких биологических тканей обычно используются линейные модели идеально-упругих или вязкоупругих изотропных сред или нелинейные модели гиперупругого тела. Неоднородность тканей чаще всего описывается средами, механические характеристики которых зависят только от одной координаты, в частности, многослойными средами.

Обсуждаемые выше особенности мягких тканей позволяют сделать ряд выводов относительно их механических характеристик (А.Р. Сковорода). Например, если в качестве модели ткани выбирается линейно-упругая изотропная среда с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V, то, в соответствии с неравенством с2 « с 1, получим Е ~ ЗрСг, v ~ 0.5, где р ~ const - плотность ткани. Тем самым, модуль Юнга Е (или модуль сдвига р. ~ Е/3), пропорциональный чувствительной к изменениям тканей величине Сг, является "диагностически значимой" характеристикой. Заболевания мягких тканей могут быть корре-лироваиы с видом зависимости Е = Е (х), где вектор X обозначает положение точки в среде.

Постановка задач контактирования ИТМ с мягкими биологическими тканями основывается на известном подходе, используемом в инерциальной навигации. Одной из первых задач теории навигационных систем было установление принципов "идеальной" работы чувствительных элементов, в качестве которых, как правило, использовались гироскопы и пьютонометры (акселерометры). Для ее решения составлялись уравнения, определяющие выходной сигнал прибора при отсутствии каких-либо погрешностей и возмущений. При определении принципов действия ИТМ в диссертации изучается, как должен работать "идеальный" тактильный механорецептор и какие измерения необходимы для того, чтобы он мог диагностировать состояние ткани.

В разделе 6.3 проводится исследование, результаты которого могут быть использованы для количественной оценки характеристик контактного взаимодействия "идеального" механорецептора с мягкими биологическими тканями, в том числе с тканями, которые содержат структурные неоднородности, представляющие собой участки с иными механическими свойствами. Такими неод-

29

нородностями могут быть, в частности, патологические новообразования. Анализируются результаты конечно-элементного моделирования плоской задачи о внедрении упругого индентора в упругое несжимаемое основание (образец ткани), имеющее круговое несжимаемое включение с модулем Юнга, большим модуля Юнга окружающего материала11 (рис. 8).

Изучались жесткие и податливые несжимаемые инденторы прямоугольной формы с различной шириной основания. Варьировались геометрические и механические характеристики включения, а также глубина его расположения. Исследуемыми характеристиками контактного взаимодействия являлись распределения контактного давления и нормальных контактных перемещений, а также жесткость контакта, определяемая отношением К = Р/а, где Р- величина приложенной к индентору силы, а - смещение верхней границы индентора по вертикали.

У

Р

О

х

2 а

а

ь

ь

Рис. 8

11

Показано, что исследуемые характеристики позволяют делать выводы о параметрах включения, формировать требования к конструкции механорецеп-тора, точности тактильных датчиков и проведению безопасных обследований пациента12.

При внедрении индентора в образец с включением жесткость контакта превышает жесткость для однородного (здорового) образца. Патология ткани может быть обнаружена сканированием изучаемого участка ее поверхности и регистрацией жесткости контакта вплоть до обнаружения локального максимума, который достигается при совпадении вертикальных осей симметрии индентора и включения. Эффективность метода возрастает с уменьшением ширины основания индентора или с увеличением его модуля Юнга.

При использовании жесткого индентора для отыскания включения эффективнее рассматривать данные распределения контактного давления; при использовании податливого несжимаемого индентора - данные распределения нормальных контактных перемещений. Предложены интегральные оценки, позволяющие фиксировать различия в этих распределениях, отвечающих однородному образцу и образцу с включением. О присутствии включения можно также судить, исходя из увеличения контактного давления (для жесткого индентора) или уменьшения нормального контактного перемещения (для податливого несжимаемого индентора) по сравнению с однородным образцом в центре области взаимодействия.

Варьирование ширины основания индентора дает возможность определить геометрические характеристики включения.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

1. Предложена методика математического моделирования механических систем, которые содержат тела, взаимодействующие с малыми относительными проскальзываниями, путем предельного перехода к бесконечной жесткости со-

12 Во время пальпации ткани могут подвергаться значительным деформациям. Для патологических участков ткани они небезопасны. Это объясняется хорошо известным в теории упругости фактом - концентрацией напряжений вокруг неоднородности материала. При сильном сжатии патологического участка возможно разрушение окружающей опухоль ткани и стенок малых кровеносных сосудов, что может вызвать попадание раковых клеток в кровеносные сосуды и активацию процессов метастазирования.

31

ставляющих контактных сил, действующих по направлению проскальзывания тел (касательных составляющих контактных сил). Проведено разделение ситуаций, когда предельный переход приводит систему к классической неголо-номной модели или к неклассической модели с первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы. Получена оценка рассогласования между решениями исходной и предельных систем.

2. Предложена методика моделирования качения колесного аппарата, использующая предельный переход к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания колес относительно опорной плоскости). Получены достаточные условия реализации неголономной модели. Показано, что при малых углах поворота передних колес аппарата относительно корпуса (вокруг вертикальной оси) пренебрежение боковым уводом колес некорректно: предельная модель определяется условиями непроскальзывания колес в продольном по ходу движения направлении и первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы.

3. Построены модели движения колесного аппарата при блокировке или пробуксовке колес одной оси. Показано, что при переходе к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил в системе реализуются условия непроскальзывания колес, не потерявших сцепление с опорной плоскостью. Приведены примеры ситуаций, когда блокировка или пробуксовка колес вызывает занос аппарата.

4. Путем предельного перехода к бесконечной жесткости касательных составляющих контактных сил показано, что при моделировании качения железнодорожного экипажа в эксплуатационных условиях необходим учет проскальзываний колес относительно рельсов. Предложена модель, определяемая первичными связями Дирака, которая позволяет расширить возможности аналитической оценки опасности схода при вкатывании гребня колеса на рельс по сравнению с неголономной моделью.

5. Проведено моделирование поперечных колебаний грузового вагона, движущегося в зоне свободного хода с малыми проскальзываниями колес относительно рельсов. Рассмотрена задача о реализации голономпых связей, определяемых условиями недеформируемости подвешивания, и первичных связей

32

Дирака, возникающих из-за вырождения лагранжиана системы. Исследовано влияние жесткости подвешивания на слабое возрастание амплитуды поперечных колебаний тележек вагона.

6. Исследовано влияние локальных включений на напряженно-деформированное состояние модели мягкой биологической ткани при вдавливании в нее жесткого или податливого несжимаемого индентора. Проведена оценка диапазона нагрузок и условий контактного взаимодействия, не приводящих к значительным деформациям и концентрации напряжений вблизи и внутри включения. Показано, что о присутствии включения можно судить, исходя из данных измерения жесткости контакта, а также путем анализа распределений контактного давления и нормальных контактных перемещений.

Автор глубоко признателен И.В. Новожилову, под руководством которого автору посчастливилось сделать первые шаги в науке, и И.Г. Горячевой, открывшей автору мир механики контактных взаимодействий, за внимание к работе, полезные обсуждения и неизменную поддержку.

Публикации по теме диссертации

Издания из официального перечня ВАК РФ

1. Влахова A.B. Математические модели движения железнодорожного вагона конечной жесткости // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 4. С. 30-38.

2. Влахова A.B., Новожилов И.В. Разделение движений разночастотной механической системы, не содержащей явно "малых" или "больших" параметров // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 42-51.

3. Влахова A.B. О безытерационных приближениях по малому параметру // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 5. С. 29-37.

4. Влахова A.B., Новожилов И.В., Смирнов И.А. Математическое моделирование заноса автомобиля // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 6. С. 44-50.

5. Влахова A.B. Моделирование движения железнодорожного экипажа при вкатывании гребня колеса на рельс с использованием подхода Дирака // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. № 2. С. 67-71.

6. Влахова A.B. О реализации связей в динамике систем с качением // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 3. С. 371-385.

7. Влахова A.B. О реализации связей в задачах качения колесного аппарата // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 3. С. 22-39.

8. Влахова A.B. О "неголономных движениях" гироскопических и колесных систем // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2013. №5. С. 66-72.

Издания, не включенные в список ВАК РФ

9. Влахова A.B., Новожилов И.В. Разделение движений в системах с разрывными правыми частями // Проблемы механики. К 90-летию акад. А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 187-195.

10. Влахова A.B., Новожилов И.В. О возмущениях прямолинейного движения колесного экипажа при потере сцепления одного из колес с дорогой // Мобильные роботы и мехатронные системы. М.: Изд-во Моск. ун-та,

2004. С. 110-116.

11. Влахова A.B., Новожилов И.В. О заносе колесного экипажа при "блокировке" и "пробуксовке" одного из колес // Фундамен. и прикл. математика. 2005. Т. 11. Вып. 7. С. 11-20.

12. Влахова A.B., Смирнов И.А. Методы приближенного математического моделирования движения автомобиля // Сб. трудов Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ "МАМИ". М.: Изд-во МАМИ,

2005. С. 37-40.

13. БоушР.Л., Влахова A.B., Денисов С.Г., Кручинин П.А., Лебедев A.B., Новожилов И.В. Математическое моделирование движения автомобиля для тренажерного комплекса водителя // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. С. 26-27.

14 .Новожилов И.В., Кручинин П.А., Лебедев A.B., Влахова A.B., БоушРЛ. Модель движения автомобиля как основа математического обеспечения тренажерного комплекса водителя // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 6. С. 31-36.

15. Горячева И.Г., Мартыненко Ю.Г., Окунев Ю.М., Влахова A.B., Богданович И. Ю. Задачи диагностики патологий мягких биологических тканей

34

при помощи искусственного тактильного механорецептора // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во Московского ун-та, 2008. С. 65.

16. Садовничий В.А., Горячева И.Г., Акаев A.A., Мартыненко Ю.Г., Оку-невЮ.М., ВлаховаА.В., Богданович И.Ю. Применение методов механики контактных взаимодействий при диагностике патологических состояний мягких биологических тканей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. 306 с.

17. ВлаховаA.B. Моделирование качения колесного аппарата// Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации. Сб. XXI Междунар. науч.-техн. семинара. М.: Изд-во ГУП Академиздат центр "Наука" РАН, 2012. С. 198.

18. Влахова A.B. О возникновении неклассических связей в системах с качением // Межд. конференция Анализ и особенности, посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2012. С. 48-50.

Подписано в печать 04.07.2013 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1320 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА" Механико-математический факультет

0520135 1420 На правах рукописи

УДК 531

Влахова Анастасия Владимировна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ КОНТАКТА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ И БИОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2013

Содержание

Введение.......................................................................................................................5

Глава 1. Реализация связей в динамике систем с качением.................................16

1.1. Обзор вариантов предельных переходов, приводящих к модели непроскальзывания..............................................................................................17

1.2. Реализация неголономных связей и первичных связей Дирака контактными силами, зависящими от малых относительных проскальзываний соприкасающихся поверхностей.........................................24

1.2.1. Постановка задачи..............................................................................24

1.2.2. Модель движения без проскальзывания..........................................29

1.2.3. Модель первичных связей Дирака....................................................34

Глава 2. Реализация неголономных и первичных связей в задачах качения колесного аппарата.....................................................................................52

2.1. Постановка задачи. "Велосипедная" модель аппарата............................52

2.2. Уравнения движения, модель контактных сил.........................................55

2.3. Асимптотическая модель качения с конечными углами поворота передних колес. Отсутствие проскальзывания.................................................60

2.3.1. Построение асимптотической модели..............................................61

2.3.2. Достаточные условия корректности модели....................................64

2.3.3. Неголономная модель. Движение аппарата при отсутствии

управляющих и возмущающих сил и моментов.........................................67

2.4. Модель качения с малыми углами поворота передних колес.

Подход Дирака.....................................................................................................71

2.5. Численное исследование упрощенных моделей......................................77

Глава 3. Реализация неголономных связей в задачах о заносе колесного аппарата при блокировке и пробуксовке колес одной оси...................................81

3.1. Постановка задачи и уравнения движения аппарата...............................81

3.2. Моделирование движения при блокировке и пробуксовке колес..........82

Глава 4. Реализация первичных связей в задаче об оценке опасности схода железнодорожного экипажа за счет вкатывания гребня колеса на

рельс............................................................................................................................92

4.1. Введение. Критерии безопасного взаимодействия колес с

рельсами................................................................................................................92

4.2. Постановка задачи и уравнения движения...............................................98

4.3. Асимптотическая модель качения экипажа............................................104

4.3.1. Построение модели...........................................................................104

4.3.2. Модель движения в зоне свободного хода.....................................109

4.3.3. Модель движения с вкатыванием гребня на рельс........................110

4.3.4. Движение экипажа при постоянном угле конусности гребня и отсутствии возмущений. Оценка поперечного отклонения

центра масс...................................................................................................111

4.3.5. Уточнение модели поперечных колебаний экипажа в зоне свободного хода...........................................................................................113

4.4. Условия движения экипажа без потери сцепления колес с

рельсами. Критерии безопасности движения.................................................116

Глава 5. Реализация голономных и первичных связей в задаче о движении железнодорожного вагона конечной жесткости................................120

5.1. Постановка задачи и уравнения движения.............................................120

5.2. Асимптотические модели движения вагона...........................................125

5.2.1. Предельная модель при неограниченном увеличении жесткостей подвешивания и контактных сил...........................................125

5.2.2. Уточнение предельной модели........................................................130

Глава 6. Моделирование контакта искусственного тактильного механорецептора с мягкими биологическими тканями......................................132

6.1. Организация системы осязания человека. Принцип работы ИТМ. Свойства мягких биологических тканей.........................................................133

6.1.1. Общие свойства мягких тканей.......................................................138

6.1.2. Примеры строения мягких тканей и их патологии.......................141

3

6.1.3. Модели сплошной среды, используемые для описания

мягких тканей...............................................................................................148

6.1.4. Особенности проведения экспериментов с мягкими

тканями..........................................................................................................152

6.2. Методы, используемые для формирования требований к конструкции механорецептора, исследования механических свойств мягких тканей и диагностики их неоднородностей.......................................153

6.2.1. Проблема наблюдаемости параметров модели ткани...................154

6.2.2. Идентификация параметров в задаче о вдавливании штампа

в упругое полупространство.......................................................................164

6.2.3. Идентификация параметров в задаче о взаимодействии пневматической камеры с упругим полупространством.........................169

6.3. Конечно-элементное моделирование работы ИТМ...............................171

6.3.1. Постановка задачи и цели исследования........................................172

6.3.2. Ширина индентора 0.5 см................................................................179

6.3.3. Ширина индентора 1 см...................................................................199

6.3.4. Влияние податливости индентора на контактные характеристики.............................................................................................213

6.3.5. Результаты расчетов.........................................................................223

Заключение...............................................................................................................226

Литература...............................................................................................................230

Введение

В работе рассматриваются задачи, связанные с моделированием перекатывания тел и описанием контактирования составляющих биомеханических систем, постановка которых учитывает деформируемость взаимодействующих тел.

Первая часть работы посвящена построению и исследованию математических моделей систем, содержащих перекатывающиеся тела (систем с качением). С использованием "конструктивного подхода" [96, 97] (см. также раздел 1.1) изучаются пределы применимости формально-аксиоматического метода динамики неголономных систем, базирующегося на запрете относительных проскальзываний поверхностей перекатывающихся тел. При выборе свободной от связей (доопределенной) системы предполагается, что угловая скорость относительного верчения тел мала [73, 75], а тела являются достаточно жесткими и имеют несогласованную форму [62], при этом размеры областей контакта тел малы по сравнению с их характерными размерами. Это позволяет использовать результаты теории качения [108] и в задачах, не связанных с изучением окрестности области контакта, считать взаимодействие тел точечным (т.е. рассматривать главный вектор распределенных по области контакта усилий, а главный момент этих усилий считать равным нулю). Свойство деформируемости тел в области взаимодействия учитывается моделью касательной составляющей контактной силы, которая непрерывно зависит от скорости относительного проскальзывания их поверхностей. Распространено мнение [108], что в предположении абсолютной твердости перекатывающихся тел движение системы следует описывать неголономной моделью. Однако предельный переход к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания) может приводить как к классическим неголономным, так и к неклассическим системам. Ранее "конструктивный подход" использовался для обоснования классических неголономных, а также неклассических вако-

номных и "промежуточных" моделей [10, 17, 85, 87, 94 - 97, 132]. В настоящей работе показано [34, 36, 38], что в случаях, когда при движении системы величины части обобщенных скоростей соизмеримы с величинами скоростей проскальзывания поверхностей тел, при переходе к бесконечному значению жесткостей касательных составляющих контактных сил могут реализовы-ваться первичные связи Дирака. Эти связи представляют собой соотношения между обобщенными координатами и импульсами системы, которые возникают при отбрасывании кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям. Проводится разделение ситуаций, когда система переходит в классическую неголономную модель или в неклассическую модель с первичными связями, в рамках которой проскальзывания сохраняются. В обоих случаях порядок системы понижается1. С использованием полученных результатов проводится моделирование движений колесных аппаратов и железнодорожных экипажей [16, 31, 33, 35, 37, 41 -44, 140]. Рассмотрены ситуации, когда в системе совместно реализуются неголономные и первичные или голономные и первичные связи. Подобное систематическое исследование предельных систем ранее не проводилось.

Вторая часть работы служит введением в круг проблем, связанных с созданием искусственного тактильного механорецептора (ИТМ) - системы искусственного осязания, функции которой близки к осязательным функциям человека [51 - 54, 81, 166 - 169, 182, 208, 209, 212]. Такой медицинский прибор для диагностики заболеваний мягких биологических тканей путем пальпации (ощупывания), разрабатываемый НИИ механики и Институтом математических исследований сложных систем МГУ имени М.В. Ломоносова в рамках темы "Медицинские приборы с тактильным очувствлением" и Инсти-

1 Часть уравнений предельных моделей не содержат обобщенных ускорений, т.е. представляет собой дифференциальные уравнения первого порядка. Если начальные условия находятся в области притяжения многообразия, описываемого этими уравнениями, то (с известной степенью приближения) можно говорить о том, что обобщенные скорости системы однозначно определяются ее положением. Как указывалось в [98], в таких случаях от Ньютонианской теории, в рамках которой траектория движения тела определяется его начальным положением и скоростью, можно перейти к теории Декарта, считавшего, что тела переносятся эфиром.

тутом математических исследований сложных систем в рамках темы "Организация производства медицинских и биологических устройств с тактильными возможностями", представляет интерес, поскольку он действует, не нарушая целостности тканей, без проникновения в них (неинвазивно). В наше время неинвазивные методы диагностики заболеваний имеют приоритет и широко используются в медико-биологических исследованиях и лечебной практике. Механорецептор позволит минимизировать врачебную ошибку при обследованиях и хирургических операциях, дистанционно проводить профилактические осмотры пациентов и повысить эффективность диагностики патологии мягких тканей в ситуациях, когда при эндоскопических вмешательствах поле зрения датчика оказывается ограниченным, либо участок ткани пациента труднодоступен или недоступен для руки врача из-за малости разреза. Поскольку конкурентный метод обследования пациентов при помощи

Л

ультразвуковых или ЯМР-приборов является дорогостоящим, связан с использованием громоздкой аппаратуры и не всегда позволяет получить полную информацию о состоянии исследуемого участка ткани [166, 180], ИТМ может применяться как альтернатива этим приборам или совместно с ними. Диагностика патологии путем пальпации базируется на том, что механические свойства (упругие, вязкие, реологические и проч.) здоровых и больных тканей отличаются друг от друга ([166], стр. 16). Аналогия пальпации и метода индентирования в механике деформируемого твердого тела дает основание рассматривать взаимодействие тканей и механорецептора, находить и оценивать различия между откликами здоровой и больной тканей на механическое воздействие с использованием подходов механики контактных взаимодействий, занимающейся рассмотрением соприкасающихся тел вблизи области контакта. Патология мягких тканей может быть идентифицирована по изменениям параметров их математических моделей, определяемых путем решения обратных задач механики деформируемого твердого тела. Для обоснования конструкции ИТМ и разработки методов диагностики патоло-

2 Приборы, в основе работы которых лежит явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

гии необходим ответ на вопрос, какую информацию можно получить при контактировании чувствительного элемента с моделью мягких биологических тканей, каковы возможные диапазоны измеряемых датчиками величин и как эти величины зависят от механических свойств тканей, в частности, тканей со структурными неоднородностями.

Разумеется, решающую роль при выборе модели контакта для конкретных задач определяют результаты эксперимента.

Диссертация состоит из 6 глав.

В главе 1 обсуждаются [34, 36, 38] условия реализации связей в системах с качением. В предположении, что качение сопровождается малыми относительными проскальзываниями соприкасающихся тел, рассматриваются два типа систем. Движение систем первого типа происходит так, что обобщенные скорости по величине существенно превосходят компоненты скоростей проскальзывания, и порядки слагаемых в правых и левых частях связывающих их соотношений различаются. Подходы A.B. Карапетяна, В.Н. Бренделева, И.В. Новожилова [17, 85, 87, 132] к реализации условий непроскальзывания вязким или кулоновым трением обобщаются на случай, когда касательные составляющие контактных сил зависят, в том числе, от нормальных реакций в точках взаимодействия. При движении систем второго типа слагаемые в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания и обобщенными скоростями соизмеримы за счет того, что часть обобщенных скоростей имеет порядок компонент скоростей проскальзывания, а при других обобщенных скоростях стоят малые множители. Здесь модель непроскальзывания теряет обоснование, поскольку предельный переход к бесконечным значениям жесткостей касательных составляющих контактных сил (нулевым значениям скоростей проскальзывания тел) переводит эти соотношения в тождества. С использованием подхода В.И. Арнольда, В.В. Козлова и А.И. Нейштадта для систем с малыми массами [10], показано, что при стремлении скоростей проскальзывания к нулю решения систем второго типа могут развиваться вблизи многообразия, определяемого первичными связями Дирака [63, 127]. Первичные связи - конеч-

8

ные соотношения между обобщенными координатами и импульсами - возникают из-за вырождения лагранжиана предельной системы при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей. Многообразие, определяемое первичными связями, в общем случае не близко к многообразию, задаваемому условиями непроскальзывания тел. Достаточные условия реализации связей находятся с применением "конструктивного подхода" [96, 97], методов теории сингулярно возмущенных уравнений с пограничным слоем [23 - 25, 187] и фракционного анализа [136, 138], развитых в работах В.В.Козлова, А.Н. Тихонова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, И.В. Новожилова.

Математические модели, построение которых проводится без учета кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям, широко распространены в теоретической и прикладной механике. К ним, в частности, относится прецессионная модель гироскопии, в рамках которой в выражении для кинетической энергии пренебрегают угловыми скоростями поворота колец подвесов гироскопов по сравнению с угловыми скоростями вращения их роторов. А.Ю. Ишлинский замечал [82], что уравнения этой модели с отброшенными инерционными членами "имеют такой же вид, как и уравнения не-голономных связей, зависящих в общем случае от времени (реономных)". Эффект сильного разброса характерных значений обобщенных скоростей системы позволяет реализовать схожие нелинейные неголономные связи и при моделировании динамики полета [135, 136]. Эти связи, представляющие собой "балансировочные уравнения" моментов аэродинамических и других сил, пригодны для описания полетов с малым углом атаки, поскольку угловая скорость его изменения существенно меньше угловой скорости тангажа самолета. Можно показать [38], что неклассические связи в задачах качения, которые возникают после пренебрежения кинетической энергией, отвечающей малым обобщенным скоростям, имеют ту же природу, что и нелинейные

л

неголономные связи в [82, 135, 136] .

3 Если матрица гироскопических сил системы вырождена, то для использования подхода Дирака при ее моделировании предварительно следует отделить уравнения колебаний с "маятниковыми" частотами [74].

В главах 2-5 подход, разработанный в главе 1, применяется для построения и исследования математических моделей движения колесных аппаратов и рельсовых экипажей. Рассматриваются также ситуации, когд�