Исследование частных решений дважды ограниченной задачи четырех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГОСЩРСТВЕШЩЙ КОЛЛЕГ СССР ПО НАРС^СМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ОРДЕНА ДШШ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДШШ НАРОДОВ имвип ПАТРЛСА ЛУМУНШ

На дровах рукописи

О ВД2ЕВ САЛИИ ГАДШГА огди

УЖ 521.13

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТНЫХ ШЕКИЙ ДВАХДЫ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ

(01.02.01 - теоретическая иехакика)

АВТО РЕ ОБ PAT

дпссэртацяи на сопсяакля ученой ствпзкя кшдадма фязтсо-ЕПгеятятаспкх наук

Москва - 1990

Р&бота выполнена в Шеыахннской острофиэичэскоЯ обсерватории наэни К.Тусн АН Аэерб.ССР.

Научный руководитель -доктор физико-штеиатических каук,профессор Дзшш В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических: наук,профессор Яров-Яровой Н.С., кандидат физико-математических наук Чуркина Н.И.

Ведущая организация - Государственник астрономический институт имзни П.К.Штернберга при Чосковскои государстсэтгоа университете иызнн Ы.В.Ломоносова.

Залргга диссертации состоится " 14* ИЮНЯ 1990 г. с 16 00 ьшн. ш заседании специализированного сооэта К 063.22.03 в Университете дружбы народов июни Пьтриса Дуцуыбы по адресу: 117923, ГСП-1, Иосква, ул.Ордяошппдао,3.

С диссертацией мсшго ознакомиться в научной библиотека УнкЕорсктета дружбы народов 10:0101 Патркса Луыуибы по одрзсу: 117198, Москва, ул.Миклухо-Маклая,6.

Автореферат разослан "13" ЭПреЛЯ 3090 г.

Учзный сокротарь спэцнал из нро вакио го совета доцент

Волков С.О.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении динамических проблем полета космических аппаратов и динамики Солнечной системы кроме задача Т'гех тел (яах неограниченного, так и ограниченного ее вариантов) бодыаой практический интерес представляет задача многих тол, в частности, задача четырех тел, поскольку для ыногих реально су-кествующих систем задача трех тел является лишь некотором исходила приближение«. Но задачу четырех тел невозможно решить в замкнутом виде в квадратурах. Однако сама задача и один из ее вариантов, так называемая дважды ограниченная задача четырех тел,которой посвящена данная диссертационная работа, допускает частные решения, имеющие широкие приложения в астрономии и космодмнсмико. Исследование устойчивости существующих частных решений - весьма актуальная проблема.

Цель работы. Целы) настоящей работы является получение частных ревекий дважды ограниченной зллиптическо-круговой задачи четырех тел, в которой гравитирущес действие возмущающего тела на пассивно-гравитирувцеа тело рассматривается в рамках второй задачи Хилла, и изучение устойчивости этих ревеняй.

Методы исследования. Устойчивость частных решений исследована первым методом А.Ы.Ляпунова. Достаточное условие устойчивости этих решений найдено с помощь» КАМ-теории. Уравнения граничных кривых областей устойчивости построена по методу аналитического продолжения Пуанкаре. Устойчивость круговых орбит исследована при помощи критерия В.Г.Дгмика. Существование условно-периодических движений и их устойчивость доказаны посредством теоремы Колмогорова-Арнольда.

Научная новизна. В диссертации получены частные решеняя. дваз-яы ограниченной эллиптическо-круговой задачи четырех тел. Найдено необходимое к достаточное условие устойчивости лаграняавых репений в круговом случав. В эллиптической задаче построен области устойчивости. Рассмотрена устойчивость лагракжевых реовний а различи« резонансных случаях и установлена формальная устойчивость »тих репений. Доказано существование спутников орбит я неучена их устойчивость.

Теоретическое и практическое значение работы. В теоретическом аспекте результаты диссертации могут быть использованы в исследовании проблемы происхождения к вволюцкя Солнца и планет.

Практическая ценность работы состоит в той, что во результаты могут найти применение в реванш проблемы ыеетианэтной связи в межпланетных транспортшх сообщения, а тагав в реваняи пробде-101 создания базовых искусственна космических объектов, обаспв-«эвдвдих межпланетюе полеты.

Аппробация работы. Результаты работа докладывались и оСсук-дались на. семинарах ¡Нем ахп некой астрофизической обсерватории им. Н.Туси АН Аэерб.ССР и отдела 'физика и динамика тел Солнечной системы" той же организации (руководитель окал.Султанов Г.Ф.), на УП республиканской научной конференции аспирантов вузов Азер-байзлана (Баку, 1984г.), на республиканской научной конференции аспирантов АН Аэерб.ССР (Баку, 19Э4г.), на совещании рабочей группы "Астероида" Астрономического Совета АН СССР (Баку, 1986г. на семинаре кафедры "Теоретическая механика" ИГУ вд.Ц.Б.Ломоносова (руководитель проф.Демин В.Г., 1989г.).

От дальше положения диссертации вовли а годовые отчеты отдела "Физика и динамика тел Солнечной системы" ШЛО АН Азерб.ОСР.

Публикация. По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит нэ впадения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий обьем 150 отраниц машинописного текста. Работа содержит 10 рисунков и 10 таблиц. Список литературы включает 90 кашенэваний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении освещена история задачи четырех тел, определена цель задачи и дана краткая характеристика структуры диссертации.

Первая глава посвящена постановке задачи, составлению дифференциальных уравнений движения, нахождение частных ресешй (точек либрации) атих уравнений и определенно типа точек либрац:

Рассматривается ранее № наученный вариант двахды ограничен ной вллкптнческо-круговой задачи четырех материальных точек,гдо граввтирущоо действие возмущаюцей материальной точки кз пассив но-гравнтируввув точку учитывается в рамках второй схемы Холла (^игодов Б.Ц. О промежуточной орбите Хидла в аеддче трех тол //Тр. ГШ. ~ 1У60. • Г. £8. - » 2. - С.91-Ш). О

В сидерической безразмерной системе координат в переменных Нехвила система дифференциальна уравнений движения пассивно-гравитирутацеД точки записывается в виде:

г

где

с(1А -г cl.fr игг - г эп дк • -

Л и & + 2 с1х игг - 2 эп д*' (п

Ы'2 - г эп а2 '

2 2

и ^ Чг г

г-

——— , М---Щ- > х - (-ргУ'

прячем т( и - массы основных материальных точек 21 и Р2 , »г - среднэе движение точек и р2 по их эллиптической орбите с эксцентриситетом е % - среднее движение возмущгющёй точки Р4 по её круговой орбите, 1т - истинная аномалия кеплеро-вых двгохекгй РА и Р2 .

Система (I) допускает кваэииктеграл (кпалиинтеграл Якобп)

гг- г?£1 + 2е. ггЛ , (2)

где

Наряду с этим рассматривается и предельный вариант постав-лэнной задачи, где материальная точка удаляется на достаточно больше расстояние от начала координатной систеш Сот гочхы

Рг ). ■

Дцффарвнциалььше уравшная продельного варианта поаучаютсс кэ (I) в форме:

(3)

% 2Х +

ее»

где •

_ Эта система обладает гшазкиитеграяоа (2\ ь котором фужцгл п оггредоллется формулой

Система (I) шеет пять частная росэкШ-точзи либрации:

/.*(<*», о),

о своз очэргдь коорданми отия *очзы оарздаяяются сцрааенжиэ;

(4Г* 4 аг- ^ ш- а - - ^ • ^

К 4)

' м К 3 .

• 1- ¿2

■ = -

4

36

1-2М

(4)

Применяя способ Ляпунова, подучим харахтеристичесаоо урлз-КЭНЛО осредненной систеыы в виде

Когда сшюлняатся следуйте неравенства

О е< X <5 - 3 « 3

= 0032521-0,1Ч&1Ч6 ег. О, ияббзж.,

■?огда (12) агзет часто шсгае корн» и устойчивость яатра1йЭЕЫЯ рэгз1£1й обеспечена.

В предельном варианта лаграгаесы репзгал устойчиш, когда справедливы неравенства.

2 *

я

ос эг< о, о 1.3 2.3обоз? 2. е3.

Заметки, что для линейных уравнений о периодячесшага коэффициентами с периодом 2 Я грагещей области устойчавоота язля-втся периодические ренегат с периодом V.

В задаче появляется параметрический резонанс 2 Д/ = £ , где и система (II) допускает пвриодичесаиа ресэияд о пв-рнодси . Этоау рвэогансу соответствует величина

^ 2 ^ У 3<х*(Ч-ы'\ )

я0,02г535е9-<*о£бао1

Песйо;и:чесЕио ресакгя с периодом УЯ' появляются 1; при резо-К1_нсе , где н Д^ является репенияыи уравнения (12).

Уравнения граничных кривых областей устойчивости построены методой аналитического продолжения Пуанкаре. Кривые, исходящие ма точки и" при с«о м фиксированном эс , построены с точ-юстьо до с* , с кз точки - с точнэстыз до с* , и имеет вид

где коэффициенты f u.} и и ó , и\ строго определенные функции пирометра jc .

Когда *é Lo,t/6) Ül/ч) , топология областей устойчивости нэ меняется и они имеют такув se форму, как о ограниченной мадаче трех тел, получаеиой при эе-О ( Uanby J.v..A. stability •if the triangular pointu in the elliptic restricted problem of

bodiea.// Aatron.J. - 1964. - v.69.- Ns2. - pp. 165 - 172.]

При имеем критичеокий случай, который сопровождается

резким изменением формы областей устойчивости. Характерно, что при С-о резоиансы ¿X¿st и возникают в одной и той же

точке Ма-,иш = o,C06VL ...

Скучай х-i/<s приводит к тому, что параметрический резонанс возникает при и"-, о м кривая (13) исчезает, а »следствии двухкратного пересечения кривой (15) с кривой (14) появляется новая область устойчивости.

Когда (i//, i/ó) , на оси М не появляется точка и", к при плоскость (С) превращается в область полной не-

устойчивости.

В предельном варианте задачи тоже построеш области устойчивости лагракхевых решений. Установлено, что в результате стабили-•ирущцего действия эксцентриситета £ устойчивость этих репений обеспечивается вплоть до а качения параметра При этом Ь = о, г о ¿о</и..-

Для строгого ревения задачи об устойчивости дагра паевых рв-

}Lt*f> с* A<i ег Vjсл+uvc"+О(е*),

•= -> t4¿ с** О (cs).

(13)

(14)

(15)

вэний требуется анализ нелинейной задачи. Поэтоцу на первом атане проведена линейная нормализация функции Н^ из (ô). Н&йдйнл преобразующая матрица, приводящая Нг и нормальной форме при малых значениях эксцентриситета С . Посла этого на ЭШ численно проведена нормализация членов третьего и четвертого порлдаа в разложении (5). Б процессе нормализации появляется малые ai««^ натали вида = V , где ÎKt( <г Y , У - цело« чис-

ло. Найдены уравнения резонансных кривых с точностью до второй степени эксцентриситета Q. в форме

^«/У'вЧо^»).

Коэффициент yu(î> определяется по форцуле

^ , (t) . ш

(л) KtAi + кж Яг - - »

Ii Ыи>* is

.где

^ \fo v^Fw?

00î » z - корн» уравнения (6), a

'o.^y.JâlÙ^l^U.^.

В предэлыюи варианте задачи

¿">1.2 Z\fz (r-sx)(6 Vi- чгое* эхг > i)

d}X 4 \ft-V2 -3t tax* \J(t-5X)±\Ji-423t + 9X*

Когда 3t - О , получается ограняченная задача трэх тел, а,К1»и известно (Наряеав А.П. Точки лнбрациа в небесной механике п космодииаиике. - П.: Hayna, 1978, - 3lZc.), с этой задаче появляется резонансные кривые: ^

третьего порядка

и четвертого порядка

= i.

Пока l/iz , все названные резонансные кривые существуют г области устойчивости линеаризованной задали. Обнаружено, что при 1/6) из области устойчивости исчезают резонанс-

на кривые z , ¿А, - • J и ^Л = з. Значение XzS/jy

приводит к потере кривых ¿A^t-J и Af-JA^, . А кривая ¿Aj'Aji i отсутствует при i/v . С приближением и к значение I/ 6 мз области устойчивости поочередно вытесняятся кривые ^¿¿•.■i , (At* Аг) = i = , а при л-¿/.4 отсут-

ствует области устойчивости и прекращается существование, всех резонансшх кривых.

Рассматривал устойчивость лагранкевых решений при конкретных значениях параметров и и и при малых значениях параметра С , принадлежащих резонансным кривым, обнаруживаем, что в ре-воканешх случаях и эти репенил устойчивы

пока э«< I/ы и M<S/2i соответственно. На резонанс«« кривых 6 • i и «/l^ 1 при о* t/l*>. устойчивость не установлено. А по всему интервалу Ot.ie-.lfi> в резонансе Ах ♦ i А^ - О лагранжевы реоения неустойчивы.

. Учитывая члены не выше четвертого порядха в нормальной форма гамильтониана, установливаем, что при малых значениях вксцен-триситета <? резонансы м .¿А,-А^. ^ не приводят

к неустойчивости в области С>± I/L1 .В резонансном случае Л' 3 Аг = о лагранжевы решения неустойчивы вплоть до в качения oe-i/л.

Ькшолнкмость условия устойчивости лагранкевых решений на резонанендх кривых УЛ4 • 6, J ( А, ♦ Л*) - i, J At< ^ ■ А, >*>АЛ : -I и Чi проверяется вычислением значения формы

V(K<. */> = CJO tif <■ Си > с*, к/ 4 О

при панзретказс значэкяяз /< я х о точнэетьэ до сояичнкн е.*. Числонгаэ расчогл присолят к слздукдаа еыводш:

Латракзесы рапоная в резонансе Ч)формально устсКчдьы а интервале отк о,1$огзо... поскольку в атом интервале А/(% О) -£0 .В области <?£ х< Г/г V резоиаио : 1

приводит к фориалыпй устойчигости этих разэшй за искдвчвкаеа то что! эг= о,го£2%2 ..., а которой //(2,2) - о. Рэзонанс ч А, - I а точке зг = о1 цоз7±... интервала м< У6 приводи» к неустойчивости, т.п. а/{<Э,Ч)-о. А в точхах м-сагУг . и зг=о, 23 166?-■■ имеет мосто Для резонанс«

+ = в области о £ зе. < с> ¿¿гз i г ■ ■ цулесгл точна ( //{ £, 3) - о) на обнаруживается, а в точная эя = 1/3 эе- 0,2 6*5-3 3 1 ... и X - о, ¿2 2 & г Ч- ■ ■ этой области У(/,Д).л о«,

В четвертой главе рассмотрена спутниковая ограниченная задача четырех иатернальних точек.

В пространствониой осредненной задаче установлено сут^ст-сование круговых орбит. Рассмотрена устойчивость круговых орбат по отноззния я части переменных со внутреннем и внеаизм варка»-, тах. В обоих случаях найдены области устойчивости этих орбит:

а) во внутреннем варианте в виде открытого яруга;

б) со внешней варианте в вида кольца.

В плоской задаче с помощью теоремы Колмогорова-Арнольда доказано, что возмущенное движение спутника является услозно-по-риодичесюш и устойчиво по отношению к переменным "действия" для большинства (по нерв Лебега) начальнах условий.

В заключении сформулированы осшшае результаты диссертация, которые автор выносит на защиту:

1. Найдены частные реиения (точки либрации).

2. Получено необходимое условие устойчивости лаграизоенх рзваний в плоском круговом случае.

3. Проведена нормализация гамильтониана в нерезонансно« случае и с поыощью КАЦ-теории получено достаточное условие устойчивости лаграгасевых реезний.

4. Рассмотрена, устойчивость лаграккевых резаний в резонанс-кп случаях третьего и четвертого порядков.

5. Получет необходимое условие устойчивости лагранзэсах ресзииЯ в осреднзинои вариант«* плоской эллиптической задачи.

6. НаЯдв!!н области устойчнсости и уровнаихл «"раиших краг»«

К

атих областей.

7. Исследован«, устойчивость лагранжевых решений на резонансных кривых третьего и четвертого порядков при малых значениях жсцентриснтета.

6, Рассмотрена спутниковая аадача и найдено условие устойчивости круговых орбит по отношению к части переменных.

9. Установлено существование условно-периодических движений и их устойчивость по отноаенив к переменным "действия" для большинства (по мере Лебега) начальных условий.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Оруджев С.Г. Ограниченная круговая задача четырех тел. //йми.АН Аэерб.ССР. - 190Ь. - т.41. - » 12,- С.31-35.

2. Оруджев С.Г. О существовании частных решений ограниченное зллкптическо-круговой задачи четырех тел.//Тез.докл.респ.научи. к)к$>.аспир.АН Аэерб.ССР. - Баку, 1934. - Кн.1. - С.41-42. . '

3. Оруджев С. Г. Устойчивость ляграюевих решений упроченной ограниченной задачи четырех тел./Дез.докл.УТ1 респ.научн.кои}, аспир.вузов Аэерб.ССР. - Баку, 1964. - т.1. - С.216.

4. Оруджев С.Г. Устойчивость спутниковых орбит в плоской ограниченной задаче четырех тел./ШАО АН Аэерб.ССР. - Баху,1985.-8а. - Дел.в ЬННИТИ, Zb.09.db. - » 7147-Й 85.

5. Оруджев С.Г. Устойчивость круговых движений в ограниченной осредненноЯ задаче четырех тел.//Цирку*.ШАО АН Аэерб.ССР,-19«». - # 82. - С. 7-11.

6. Оруджев С.Г. Устойчивость григональча ресзний плоской ограниченной задачи четырех тел.//Тез.докл.совещ.раб.гр."Астероиды" Астрой.Сов.АН СССР, 31 октября - 6 ноября 1988г.- Баку. - В "фркул.ШАО" АН Ааерб.ССР. - 1989. - » 07. - С.8.

' 7. Орудие» С. Г. Устойчивость движений вблизи треугольной точки либрации дважды ограниченной зллкптическо-круговой задачи четырех тел./Дез.докл.совещ.раб.гр."Астероиды" Астрой.Сов.АН СССР, 31 октября - 6 ноября 1988г. - Баку. - В "1*ркул.ША0" АН Ааерб.ССР, - 1959. - 5 87. - С.9.