Исследование деформации пластин при наличии тонких включений и опор тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ОДЕССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.И.И.МЕЧНИКОВА

■ТВ од

и • На правах рукописи

ГРИША ВИКТОРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

ИССЛЕД ¡АНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПЛАСТИН ПРИ НАЛИЧ Ш ГОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ И ОПОР

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

' АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса - 1994

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре методов математической физики Одесского государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук Гнучий Ю.Б.,

доктор физико-математических наук, профессор О.В.Онищук.

Официальные оппоненты: доктор технических наук« профессор Гришин В.А., кандидат физико-математических наук, доцент Грибияк С.Т.

Ведущая организация: Львовский институт прикладных проблем .механики и математики АН Украины.

Защита диссертации состоится 22 апреля 1994 г. в 16 часов на заседании специализированного совета, иифр К 05.01.02, по физико-математическим наукам /математика/ в Одесском государственном университете /270100, г.Одесса, ул.Петра Великого 2/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /270100, г.Одесса, ул.Советской Армии, 24 /.

Автореферат разослан ¿8 марта 1994 г.

Ученый секретарь V

специализированного совета •.. А.И.Третьяк

слХ ры /со », ог.

06ЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ *

Актуальность' темы диссертации. Широкое использование конструкций а виде пластин и оболочек в машиностроении, кораблестроении, приборостроении и других отраслях народного хозяйства делает актуальным исследование на прочность и жесткость элементов этих конструкций. Наличие в конструкциях подкрепляющих стержней, опор, прямолинейных дефектов типа трещин, и включений или других неоднородностей значительно усложняет их расчет, так как перечисленные элементы в конструкциях являются концентраторами напряжений и линия контакта пластины с опорой либо ребром жесткости является линейным дефектом, при переходе через который наблюдается разрыв непрерывности основных величин, характеризующих напрякенно-деформированное состояние пластины. Этим определяется актуальность тема диссертации, посвященной разработке аффективных методов расчета пластин при наличии в области линейного дефекта и решению на основе этих методов ряда новых задач.

Тема диссертации является составной частью научной тематики "Краевые задачи математической физики с усложненными граничными условиями и дефектами типа разрезов и тонких включений", которой кафедра методов математической физики Одесского госуниверситета занимается в соответствии с планом фундаментальных исследований в области естественных и общественных наук АН Украины, № госрегистрации 01860083955.

Обзор состояния проблемы. Традиционным методом при решении краевых задач для бигзрыонического уравнения, описывающего изгиб пластин, содержащих дефекты типа тонких включений, является метод, основанный на сведении задач к интегральным уравнениям ; относительно контактных усилий с последующим их решением в классе функций с неинтегрируемыми особенностями С привлечением аппарата регуляризации расходящихся интегралов. Исследования в этом направлении были начаты В.Ы.Толкачевым, развиты О.В.Онищуком, Г.Я.Поповым и продолжены в работах С.Т.ГриОняка, Ю.С.Процерова, В.В.Реута, П.Г.Фаршайта и некоторых других авторов. К интегральным уравнениям относительно вспомогательной функции с интегрируемыми особенностями задачи для бесконечных пластин с включениями сводились в работах Д.В.Грилицкого, М.С.Дрзгана, В.К.Опанасовича, И.П.Шацкого и других. Сведение задачи к интегральным уравнениям возможно в тех случах, когда удается построить функцию Грина для заданных областей и граничных условий. Без учета степенных

3

особенностей в р«ШИИ ЭДМ5ЧИ ДЛЯ 1Ш8?ИН С включениями'решались методом конечных элементов Ю.Б,Гнучин, Л.В.Мэслоиокой, А.П.Филипповичем и другими.

Целью работы является; I) дальнейшая разработка и детализация методов решения задач упругого равновесия пластин с линейным включением либо опорой,- один или оба конца которых находятся внутри пластины; 2) реыение ряда новых задач для плаатин с линейными дефектами.

Методика решения краевых задач, используемая в диссертации, состоит в следующем: минуя стадию сведения задачи к интегральному уравнению относительно контактных усилий и решения этого уравнения, прогиба пластины записываются в виде линейной

комбинации решений уравнения А Ш»0 в области А, занимаемой пластиной :

И

(х,у)+) аи(х,у) , (1)

<? 1 £

('I ; •■ ■ 4 •

■ г —

(х,у) - частное решение уравнения к VI * Ц, и (Х,у) (Ы,со) -ц 2 I

полная система решений уравнения Д V) = О в области 0, коэффициенты Д (1=1,11) находятся при удовлетворении граничным условиям.

Таким образом, решение краевых задач распадается на два зтапа :

1) построение функций и^(Х,у) (1*1,»);

2) нахождение коэффициентов (1=1,Н);

В диссертации новые подходы используются для реализации обоих этих этапов.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. .

1. Получена система решений ангармонического уравнения в области с тонким линейный включением на отрезке.

2. Получена система редений бигармонического уравнения в области с рнкой линейной опорой на отрезке, выходящем на защемленную границу.

3. Сформулирован новый метод удовлетворения граничным ,г условиям'для пластин, защепленных по контуру либо с загруженными

- -4

^ями, основанный на идее минимизации погрешности по энергии.

4. На основе подученных результатов решен ряд задач: задача об изгибе прямоугольной пластины с линейным включением, защемленной по внешнему контуру (данная задача решена, по-видимому, впервые), а также, пластины с условиями шарнирного опирэния на внешней границе. Исследовано влияние геометрических параметров пластины и включения на величину проседания пластины.

5. Решен ряд новых задач об изгибе пластин с линейной опорой, одним концом выходящей на защемленную границу. Проведен сравнительный анализ поведения основных физических величин: прогибов, изгибающих моментов, обобщенных перерезывающих сил для пластин с различными граничными условиями и при различных соотношениях геометрических параметров пластины и длины опори.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы в инженерной практике для расчета элементов машиностроительных конструкций, подкрепленных ребрами жесткости.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на республиканской научной конференции Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, Одесса, ОГУ, 198?; на II Республиканской научно-технической конференции Механика машиностроения. Секция мех. деф. тверд, тела. Брежнев,1987, на IV Всесоюзной конференции Смешанные задачи механики деформируемого тела, Одесса,1939; на Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Казань: КГУ.19Э0; на семинаре по методам математической физики ОГУ(руководитель проф! Попов Г.Я.), на семинаре кафедры высшей математики №3 ОГПУ(руководитель проф. Усов A.B.).

По теме диссертации опубликовано восемь научных работ.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения,, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 255 наименований и занимает 120 страниц машинописного текста, 2 таблицы и 14 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во впедения обоснована актуальность проблемы и дан краткий обзор работ, посвященных решению задач, близких к рассмотренным ы диссертации. Сделана краткая аннотация глаи, сформулированы основные научные положения, которые выносятся на защиту.

Б

Первая глава посвящена изложению методов удовлетворения дифференциальному уравнению и граничным условиям краевых задач, рассматриваемых в диссертации. В §1 главы приведены необходимые сведения о полных системах решений дифференциального уравнения, рассматриваемого в некоторой области П, в частности приведены примеры полных систем решений гармонического и бигармонического уравнений в односвязной области П. В §2 описан новый метод удовлетворения граничным условиям краевой задачи, названный методам минимизации погрешности по энергии. Данный метод решения краевых задач может быть применен для уравнения изгиба пластин

Ьгф,у) * ( (И,Ц) « 0 ) (2)

? случае защемления пластины по границе :

©1Г *!0(в) , ~-!р - Г ¿8) ( (х,у) СГ=Ш ) (8)

либо задания на границе изгибающих моментов Ш и обобщенных перерезывающих сил ¥ш !

ы (а), V»! - / (з) ((х,у) с ; «> г г г з

Пусть ®(Х,у). - точное, Ш (Х,у) - приближенное решение

М -

задач (2),(3) или (2),(4). Согласно изложенному в §1 главы X,

до (Х,у) можно представить в виде : Н N

= > си(х,у) + V! (Х,у) (5)

Л? / . м Я

где 0 (Х,у) - частное решение уравнения (2), ■ 9 ■ _

и (Х,у) (Ы,со) - полная система решений бигармонического

уравнения в области П. ___

Неизвестные коэффициенты С (1-7 Д). используются для

наилучшего (в указанном ниже смысле) удовлетворения краевым •условиям (3) или (4).

В основе метода минимизации погрешности по энергии лежит тождеств!

"' - . ■■■-.• ■ " в '..'■■ V.' ■

Е (и,V) *-Е.(и,и) о г

Е (м> п

А и\щ(\-Щ2

2 2 2 2 _3и д ид V

г г

дхдудхду дх ду

2 2

д и сП) ' 2 г - г

ду дх ■

в (и,у; = о

г

г

~ Но - иУи) (¡в +

,дп }

г

ик

п

позволяющее вычислить Е (и,1)) для неизвестного точного решения

О 2

и(Х,у) и известной бигармонической функции У(Х,у) (А V - 0).

При этой

. '•: ''*. Е (и,и) = }У(и]. (7)

' О

)1(и) пропорционально потенциальной энергии изгиба тонкой пластины

2 п п и ?

(От) - 2(1-у)(и и - (и ) ))&

XX уу ху

(в)

п

V, ~ прогиб пластины, V - коэффициент Пуассона.

Неизвестные коэффициенты С найдятоя из условия-

п

минимума функционала энергии погрешности

Р(с ,...,с )=Е(ю-ш ) 1 п НИ

О)

где Ш -неизвестное точное , VI - приближенное решение задач

<2),<3) или (2),(4).

В §3 главы I описан Другой известный метод удовлетворения граничным условиям - метод граничной коллокации, применимый для самых разных областей, занимаемых пластинами и типов граничных условий.

Методы удовлетворения граничным условиям, описанные в I главе, могут быть применены для пластин-с включением. Для этого необходимо построить систему решений бигармонического уравнения, учитывающую особенности контактных усилий на концах включения. Такая система функций построена в главе II на основе интеграль-

7

ного представления прогиба, полученного в работах Попова Г.Я. и Онищука О.В.. Методика, предложенная во II главе, позволяет легко находить прогибы, изгибающие моменты, обобщенные перерезы- • веющие силы по всей области, занимаемой пластиной.

Построения, проведенные в §§1,2 этой главы, могут быть сформулированы в виде следующего утверждения:

Теорема 1. Пусть:

!)•(]- ограниченная двусвязная область с разрезом у=0, -С<Х<С на плоскости (Х,у).

2).Функция и>($,у) удовлетворяет бигармоническому уравнению

А ДО=0 в области П, кроме точек разреза у=0, -С<Х<С .

3).Функция Ь)(х,Ц) ограничена вместе с производными до

третьего порядка включительно в П, кроме окрестностей точек у=0, X ±С, где имеют место оценки

3

д ш

дхду ■

иг

((&С) )

(1*0,3)

Тогда:

ю(х,у) » > V) (х,у) + и>о(х,у)

(10)

= 1>0Не

(ш%)1п Шг -1) ) -

г И г И

* ф Ле

г У? 2 Уг г Уг

+ \jyie- ) - %(г -1) * 21у(г -1) *

^ ф Ие ге=з

м , г „,3/гпМ, , , , 2 '/«,%, ' (г -1) Р (г) - 1у(г -1) Р (2) п-з п-г

*>(х.У) =

г .,'/>

г 'л

-(Пу)(\П Ш(г -1) )-г(г-1) +

(1-ту(гг-1)'/г

V [ 1 ? 3/г % % 2 'Л '/г 'Л

) (Пу)(г-1) Р ' (г) + (1-у)1у(г -1) '

2п

гг-г

и)о(х,у) = ^ | а ПеСя") + Ь Г<е(22П*1) г^гНу,

гг-0

Заменяя многочлены Якоби соответствующими степенями 2, получаем более простое для вычислений представление бигармоничб-ской функции в области с включением на отрезке у = 0,-/<£</:

/V

ш(х,у) * ) аи(х, п п

У)

п - О

(г '/» ? Уг' 1пГг: + (г -I) ) - гСг

I г 'Л

и (х,у) = йеМ/гСя + г)Ыг + (г -1) )

( - г Уг

и (х,у) = йенгг - 1)\п(г + (г -1) ) и (х,у) » Кв(гп''(22-1)7г\ , '(п*1,11)

4П-1 \ 1

(11)

u (х,у) = FefclyiV-i/') , (ri-OJ)

V, >

ti (х,у)=Ш , ' - = f.iij

U (X,t/) « RoZZ , -------

4п*г ' ■

§3 гл.H посвящен решению задачи od изгибе прямоугольной, защемленной по контуру, пластины с тонким линейны^ включением на отрезке </«0 ,-1<Х<1, Данная задача решена, по-видимому, впервые. Прогибы разыскиваются в виде (11). Неизвестные коэффициенты а (к=1,¡1) отыскивались двумя способами: 1) методом минимизации к . . погрешности по энергии; ¿) методом граничнои коллокации.

Расчеты были проведены для квадратных пластин (й*Ь) при относительной длине включения 8=C/û, равной 0,66;0,5;0,2;0,1.

Полученные значения прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил, а также, значение равнодействующей скачка перере-эавадаих сил на включении, вычисленные двумя способами, практически совпали. Вычислены такке коэффициенты интенсивности напряжений ( КИН ) около концов включения.

Но рис.1 приведено распределение прогибов для пластины с размерами а=Ьг2,6=С/й=0,5, Прогибы максимальны на включении, где они равны в 1, и уменьшаются до нуля на контуре пластины, что

свидетельствует о хорошем удовлетворении граничным условиям

задачи обоими методами.

Графики изгибающих моментов M ,М вдоль линии у=+0,0<2ХО

х у

приведены на рис.2. При (2,у) -> (1,0) Ü стремятся к

-Vi „ г 2. Уг * У I бесконечности как Г , Г=({Х-1) +у ) . На рио.З,4 приведены

эпюры КИН К , К . Качественная картина аналогична результатам х у

работы Бережниикого Л.Т.,Делявского Н.В.,Панасюка В.В., где рассматривались бесконечные пластины.

Отметим, что данная задача является новой и не может быть решена методом, использованным в работах Попова Г.Я. .Онищука O.S., поскольку функцию Грина для условий защемления в явном виде построить не удается.

В §4 гл.II решена задача об изгибе прямоугольной, шарнирно-• ' ., Ю-

опертой по внешнему контуру, плэстинн с линейным включением на отрезке J/-0, ~1<Х41 .

Прогибы разыскивались в виде <10) и (11), неизвестные коэффициенты отыскивались методом граничной коллокации.

Расчеты были проведены для квадратных пластин (а=Ъ) при относительной длине включения- &=С/й, равной 0,66;0,5;0,2:0,1. Результаты, полученные с помощью представлений (1.0) и (11) хорошо согласуются между собой.

Распределение прогибов для пластины с размерами 6=0,5 показано на рис.5. Прогибы максимальны на включении, где

они равны 5? = 1, и уменьшаются до нуля на контуре пластины.

О

Как и следовало ожидать,при одинаковой равнодействующей включение в защемленной пластине проседает ка значительно меньшую величину, чем в шарнирно-опертой. Графики изгибающих моментов if ,if вдоль линии у=+0,0<Х<Д приведены на рис.6, КИН - на

XV

рис.7,8. Значения равнодействующей совпали с результатами работы Онищука'.О.В., Попова Г.Я., где методом интегральных преобразований аналогичная задача была сведена к интегральному уравнению.

Глава III посвящена решению задачи об изгибе пластины с тонким включением (опорой), выходящим одним концом на"защемленную границу. На этом конце поведение перерезывающих сил меняется с неинтегрируемой особенности порядка на довольно сложную асимптотику, характерную для задач с пересекающимися Дефектами и дефектами, выходящими на границу области. Решению задач .такого типа посвящено большое число работ. Рассмотренные в диссертации задачи решаются впервые (исключение составляет задача В .которая при некоторых ограничениях на параметры была решена в работё ■ Онищука О.В., Попова Г.Я., Фаршайта П.Г. методом сведения к* интегральному уравнению).

Глава состоит из четырех параграфов.

В §1 дана постчновка рассматриваемых вадач. Рассматриваются задачи об изгибе прямоугольной пластины с линейной опорой, одним концом выходящей на защемленную границу. Второй край пластины, параллельный защемленному, свободен.На'линии продолжения опоры действует сосредоточенная сила Р. Фактически поставлены четыре задачи, различающиеся условиями на сторонах, параллельных опоре и названные задачами 4,B,C,D. Приближенное решение задач разыскивается в виде:

ш(х.у) = ш (х,у) + ш(х.у) + VI (X,у) (12)

м- • . ?

Г-1 _ ' /(

© = > а, Ыт,-2 ) f Ь ИеГг-г Яг-л ) ) ' оз) о. о Л' о о

V 16 -

ы (х,у) =) с V) (г), г = хНу = ге , л=я-{1/, л --а/? <н)

2

^ ~ четное по у мастное решение уравнения Л М(Х,у)=(}(Х,у)

Ц

Слагаемые в (13) являются бйгармоническими многочленами. . Они обычно используются при решении бигармонических задач для областей с гладкими границами

С целью одновременногр учета асимптотики в точке выхода на границу и неинтегрируемф* особенности перерезывающих сил на

конце опоры в §2 строится система функций Ш (х,у) (к=1,<*>) из

к

(14), являющихся решениями задач об изгибе пластин, занимающих полуплоскость с защемленной границей и опорой, одним концом выходящей на защемленную границу.

2

А И) = 0 ( -со < у < оо ,х 0 .кроме у=0,0 <Х <С )

к

г

ш(0,у) = ш (0,у) = 0 С-оо < у < 00 , Ы,2,...) (15) к к,х

к+1 '

ш (х,0) = х ,\1) (х,0) = 0 ( 0 < х < с, к=1,2,...)

к к,у

Задача (15) интегральным преобразованием Меллина сведена к задаче Римана относительно трансформанты Меллина, которая решается методом факторизации. После обращения преобразованием Меллина и применения теоремы о вычетах получаем II) (Х,у):

=

к

и (2) + V (г), г<1, |9И/2 к к

IV (г), Ы, |9Ия¡2

к

(16)

и (г) -к

!*е и , (к=1,3,5,...)

% Ив (Ы)г2к)к'\ (к = 2,4,6,...)

У, (г) - —1— У (»(г,р ,-1) * и(г4 ,1)) к о'ш1^ к п к; п

п = 1

к

С0%)

(4пс+86)(р+к)

2Шу\г'р- Гр|

(18)

(19)

, С = с(р) 3 С083/гЯр

11,(2) к

со

Й1С (40

п=1

(20)

Ап

/

, - -гп „ / 22 л Не -+-

С (2п)(к+2п) 2п+1 2п-1 1-гп

2х

Не

О (2п-1)(к+2п-1) 2п-1 \

р ,Ц (П=1,2,.,.) находятся как корни трансцендентных уравнений:

п п

31"пУ2Яр = р, выу2щ = Щ < О, Щ < 0, 1шр > О, Щ > О

(21)

При Г*/ ряды (18) и (20) сходятся со скоростью геометрической прогрессии и функции 7 и I? являются бесконечно дифференци-, к к руемыми. При Г=/ ряд (20) сходится медленно, ряды из производных

(при вычислении моментов и перерезывающих .сил) будут расходиться. Выделяя медленно сходящиеся части ряда (20), получаем представление для функций if (z): к

к - К (2п)Т(п+уг)(к+2п) Т(п+1) '

n = f

i-гп

( 2(2n+1)T(m1) (2п~1) Т(п+%) \ z

. (к+2п)Т(п+%)К(2а) Т(ш2) ' 2п-1 . М(п-у2) Т(п+уг) \ „ _ /-2ni

/ (2n-1)T(n)(ki2n-i) Г(П+1)

2х Re г

Я

2G+(-k)

Re

, i Г У*

(z-1).z(z+1) +

i (z-DCZJ) - y2z

(22)

из которого вытекает следующее утверждение.

ь\ (г)

■ - -"Теорема 2. Функции - (1=0,3) ведут себя как .

--. 3-«

дх ду .

, г Уг

(г -и при г -> 1.

Таким образом, на конце опоры, расположенном внутри пластины, особенность контактных усилий совпадает о особенностью, полученной для задач об изгибе пластин с тонкими'включениями главы II. ' '

53 посвящен численной реализации поставленных задач. Неизвестные коэффициенты й разыскиваются методом граничной коллокации.

В §4 приведены результаты ^расчета, по задачам А,В,С,д при

И

Риа?

. о

-a. s

Р/Х.9

1— А 1—6

с IvC®

А ^ в -4 -б -с ;

mai

Рис.13

ъ

--■ ------ - !/ • a'0jS

Рис. 10

-j

•

i

У If! II

: с

й

V 1 ■

Рис. Í2

О*0,5 дин i \~T~r w—a.s

é —O.i

«

Рис.14

различных соотношениях размеров пластины и длины опоры; Проведен

сравнительный анализ поведения прогибов, изгибающих моментов,

перерезывающих сил на опора для задач А,В,С,В и для задачи В при

различных соотношениях размеров пластин и длины опоры. На рис.9

для случая 0=1 (квадратная пластинка) приведены графики безраз-

-1- -2

мерной величины а(х) = ш(Х,0JDP» (1 для задач А,В,С,д. Прогибы равны нулю на опоре й растут за ней. Наименьшие прогибы соответствуют задаче А, наибольшие - задаче С. На рис.10 приведены графики <Х(Х), полученные для задачи В при различных соотношениях размеров пластины 0. Наибольшие прогибы соответствуют случаю 0=2 (вытянутая по у пластина), наименьшие - 0=0,5.

На рис.11 для случая 0=2 приведены графики изгибающего момента И , на рис.12 графики обобщенной перерезывающей силы У

X X

вдоль линии J/=0, Oiïïfl для задач А,В,С,J3. Расположение букв

соответствует расположению кривых по вертикали. На. рис.13 приве- '

дены графики изгибающего момента if , на рис.14 графики обобщенной

х '

перерезывающей силы У вдоль линии у=0, О^ХШ для задачи В при х

различных (7. Расположение значений О соответствует расположению кривых по вертикали. При T-*CfO M = 0((Т-С) ), У =

3/ х X -

0((г-с) ) , при f-»diO a =0fln|r-d|; , 7 =0((r~d)~1 ) , при

Г-»О If ->0 , 7 ->0.

х х

Результаты счета сравниваются о результатами, полученными в работе Онищука О.В., Попова Г.Я., Фариайта П.Г.,где методом интегральных преобразований задача, аналогичная задаче В, была сведена к интегральному уравнению с последующим его решением* методом базисных правых частей . Этот метод накладывает существенные ограничения на относительные размеры и форму пластины, а также краевые условия на сторонах пластины. Используемый в диссертации подход снимает эти ограничения и применим для самых разных пластин и краевых условий.

Основные результаты диссертации опубликованы в ^

следующих работах:

1. Грибова В.В..Оншцук О.В. Решение задачи об изгибе пластинки с тонким кестким включением методом граничной коллока-

ции / Одес. ун-т. - Одесса,1983. - 20 с. - Деп.в УкрНЙИНТИ 01.12.83> 1351 Ук 83.

2. Грибова В.В..Онищук О.В. Расчет защемленной пластинки стонким включением методом граничной коллокации //Гидроаэромеханика и теория упругости. - 1985. - Л 33.;-С.71-76.

3. Грибова В.В.,0нищук О.В..Попов Г.Я. Расчет пластин с ... тонкими включениями на основе специальной системы бигармони-ческих функций // II Респ. научи.-техн^конф. Механика.машиностроения. Секция ыех. деф. тверд.тела. Тезисы докл. -Брежнев, 198?. - С. И. .

4. Грибова В.В.,0нищук О.В. Решение задач об изгибе пластин с линейными включениями модифицированным методом Треффца // ÏV Всео. конф. Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докл. 4.1, - Одесса,1989. - С.97.

5. Грибова В.В. Об одном методе решения бигармонических задач для областей о разрезами/ основанном на использовании специальной системы бигармонических функций //Респ. научн. конф. Дифференц. и интегр. уравнения и их приложения: Тез. докл. - Одесса: ОГУ, 1987. - 4.2. -С.74-75.

6. Грибова В.В., Онищук О.В. Решение задач об изгибе пластин модифицированным методом Треффце //Труды XV Всес. конф. по теории оболочек и пластин. -Г.1. - Казань: КГУ.1990. - с.506-510.

7. Грибова В-.В.,Онищук О.В. Задача о контакте прямоугольной пластины с линейной опорой, выходящей одним концом на защемленную границу // Современные проблемы механики контактных взаимодействий. -Днепропетровск: ДГУ,1990. - С. 57-58.

8'. Грибова В.В..Онищук О.В.,Попов Г.Я. Решение задач об изгибе пластин с линейными опорами,"выходящими на защемленную границу // Изв. РАН. МТТ. 1992. Jfô. С. 156-164.