Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе

Оганесян, Хачатур Вачаганович

Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Оганесян, Хачатур Вачаганович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе»

Автореферат диссертации на тему "Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе"

РГБ ОД

:П А9Г 2000

Министерство образования Российской Федерации Московский педагогический университет

На правах рукописи

Оганесян Хачатур Вачаганович

УДК 532.592

Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе

Специальность 01.02.05 -Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Тер-Крикоров A.M.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тирский Г. А.

кандидат физико-математических наук Азарова О. А.

Ведущая организация: Институт автоматизации

проектирования РАН

Защита состоится мог 2000 г. в Ш часов на заседании Специализированного совета К 063.91.05 при Московском физико-техническом институте по адресу: г. Долгопрудный Московской области, Институтский переулок 9, МФТИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан С2-0Ь_2000г.

Председатель диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор, /н ~ /И.В.Ширко/

Я 2, 6~3. 33& ^ о ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Стратифицированные среды стали предметом интенсивных исследований, начиная с конца девятнадцатого века. Это связано с тем, что естественными природными стратифицированными средами являются мировой океан и земная атмосфера. Развитие техники сделало возможным проникновение человека в глубины мирового океана и в высокие слои атмосферы, что делает актуальным расчет волнового сопротивления подводных аппаратов, прогнозов погоды, изучения механизмов образования циклонов и т.д. Особенностью стратифицированных сред в поле силы тяжести и сил Кориолиса являются колебания плавучести (внутренние волны), возникающие под воздействием силы тяжести, сил Архимеда и силы Кориолиса. Хотя физическая природа этих колебаний весьма простая, точное математическое исследование возникающих граничных и смешанных задач для соответствующей системы уравнений является делом чрезвычайно трудным. Поэтому в многочисленных научных работах интенсивно развивались разнообразные приближенные и численные методы решения таких задач. Исторически начало исследованию феномена внутренних волн было положено в работах классиков конца девятнадцатого века: Гельмгольца, Рэлея, Стокса, Буссинеска. Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, го огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линейной постановке. Начало исследованию сравнительно нового класса задач было положено в работах *) ,**). Известно, что в консервативном поле сил в идеальной несжимаемой жидкости или в идеальном газе сохраняется так называемый «потенциальный вихрь», являющийся проекцией вектора вихря скорости на нормаль к поверхности постоянной плотности (для несжимаемой жидкости) или постоянной энтропии (для идеального газа). При малой стратификации в однородном поле сил тяжести эта проекция мало отличается от проекции вихря на вертикальное направление. Если оставаться в рамках классической линейной теории внутренних волн, когда в уравнениях отбрасываются все инерционные члены, то уравнение вертикальных колебаний может быть изучено отдельно от уравнений движения для горизонтальных компонент вектора скорости. Если в начальный момент вертикальные возмущения были равны нулю, то они в дальнейшем и не будут возбуждаться. В работах *),**) было сделано предположение, что в потенциальном вихре квадраты окружных скоростей имеют тот же порядок, что и первые степени вертикальных скоростей. Это позволило свести задачу к решению неоднородного уравнения внутренних волн с правой частью, зависящей от интенсивности потенциального вихря.

*) Тер-Крикоров A.M. Вихри и внутренние волны в стратифицированной жид-кости//Прикладная математика и механика. - 1995. -Т.59. - Вып.4 - С. 599-606.

**) Секоян А.Х., Тер-Крикоров A.M. Внутренние волны от потенциальных вихрей//Известия РАН - Механика жидкости и газа. - 1998. - №1. - С. 118-123.

Дальнейшие исследования в этом направлении представляются актуальными с научной и практической точки зрения, поскольку атмосферные и океанические вихри несут ответственность за разнообразные процессы, а вызываемые этими вихрями колебания плавучести несут информацию о породивших эти колебания вихрях.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы состоит в приложении идей работ *),**). для исследования осесимметричных установившихся состояний идеального газа и изучения проблем устойчивости некоторых из этих состояний в линейной и нелинейной постановке.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе применяются методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики, методы комплексного анализа, методы асимптотических оценок интегралов, зависящих от параметра, методы малого параметра, методы теории специальных функций.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Дана новая удобная форма уравнений, описывающих осесимметрические движения идеальной несжимаемой жидкости или идеального газа, когда на оси симметрии могут быть распределены потенциальные вихри и источники массы. Впервые исследована неустойчивость стационарного режима, порождаемого бесконечной вертикальной вихревой нитью. Показано, что неустойчивость сохраняется и при учете нелинейных членов соответствующих уравнений. Для случая, когда на оси симметрии расположены и источники и стоки, найдены в линейной постановке новые стационарные режимы, выражающиеся через волновые функции Кулона.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Изучение внутренних волн от потенциальных вихрей в стратифицированной среде является сравнительно новым направлением в современной теоретической гидродинамике. Оно требует привлечения довольно сложных математических методов и приводит к интересным выводам с точки зрения механики сплошных сред. Полученные в диссертации результаты существенно продвигают теоретическое осмысление процессов взаимодействия вихрей и внутренних волн в стратифицированных средах. Возможное практическое значение связано с тем, что наблюдаемые характеристики внутренних волн несут информацию о породивших их атмосферных или океанических вихрях.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты докладывались на научном семинаре по нелинейным проблемам при Вычислительном центре РАН, на научном семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета, на теоретическом семинаре кафедры высшей математики Московского физико-технического института.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты опубликованы в работах [1]-[3].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

Работа изложена на 76 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, списка литературы и оглавления.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор, излагаются основные идеи и содержание диссертации. Предполагается, что стратифицированный идеальный газ заполняет трехмерное пространство. Ось г декартовой системы координат хуг направлена противоположно силе тяжести. Рассматривается движение газа, симметричное относительно оси г. Классическая система уравнений газовой динамики в этом случае имеет вид

Л г рдг ' ск р дг ' Ж

— + —+— н— (1п р) = 0 дг г дг Л

где (у,. , Уд , ) - вектор скорости в цилиндрических координатах, р -давление, р - плотность, g - ускорение силы тяжести,

с1 д д д а — =—ьу.—(-V.— , — Л & дг дг Л

= 0 , к — Ср / су

„к

\Р )

поскольку в идеальном газе энтропия сохраняется.

В положении равновесия энтропия постоянная на горизонтальных плоскостях. Если считать, что в положении равновесия энтропия строго возрастает с увеличением высоты, то для жидкой частицы, находящейся в

начальный момент в точке с координатами (г , Э , г) однозначно определено расстояние (^{г, 2, от плоскости Ху в положении равновесия. Очевидно, что функция ¿^{г , 2 , сохраняется в частице и

р = а(£(г,2, 1))рк.

В уравнениях производится такая замена переменных, когда принимается в качестве одной из независимых переменных, а функция

принимается за зависимую переменную.

В том случае, когда частота Брента-Вяйсяля постоянна, а переменная IV

зависит только от V и система уравнений (1) в новых переменных

приводится к виду

9 (г\2 \ аг2 дм 2 N — Ш XV)+Ы —+--Д и = —

дг дг g дг g

^- + —+£>111(1 + —.02м>)'Г~1 =0

( 1

дг

ГУ в =

2 л

< 8 )

д_ дг

(2)

В стационарном случае, когда решение не зависит от времени, система уравнений (2) приводится к виду

* (ы \ лг2^ N4 Г2

—(£>Ч|>)+Лг— +--=—

с/му ' ¿и g du g

1 <1

'м2

16л и 4 ¿и

(3)

М=гу=С

Г 1 ус-*)

Если постоянная С=0 , то уравнение (3) имеет простое решение

г2-г-2

(4)

™ =--~-=--5—у , V =0 , Ув=~

16я 2яг

ЛГ

Это тот случай, когда на оси 7 расположена вихревая нить и в жидкости отсутствуют массовые источники и диполи.

В том случае, когда на оси симметрии есть еще и распределенные источники, решение ищется в виде ряда по обратным степеням И. В результате получается решение вида

И>, Щ Ж И>,

"И> = —М----—

3 4 5

и и и и

М = С

1 +

М, Мл М<

ж = -

=■

Г2+02 16 п2ё

и>3=-

2 С2ж

1 _

С2^2

С2М,

е2

- •>- уЩ 2Ы ти 1

2С\У)

, М5 =-

12С2уу3

IV,-

£2

Далее в главе первой исследуются достаточно медленные нестационарные движения, когда во втором из уравнений (2) можно пренебречь нелинейным членом, задающим отклонение скорости звука от ее значения в состоянии равновесия. Из литературы известно, что это предположение эквивалентно рассмотрению тех диапазонов изменения частоты Брента-Вяйсяля, где колебания плавучести более существенны, чем акустические колебания. Соответствующие уравнения принимает вид

д( д 2 тХтгг*

д } да дсо й)+ — + — ди ди

д 2 д

--уи -

дт ди

£» + N =0

(5)

р=

г2 + е2 2_2

Чп

у =

Г2+02

В главе 2 исследуется устойчивость простейшего стационарного решения (4). В точной постановке возмущения являются решениями задачи Коши для нелинейного уравнения

д(ь/) д2/ д/д2/ п т/. 5 / г

—4г+-—=т = о ,1/ = —4-+/ (6)

дм дг2 ди дт2 дт2

Для линеаризированного уравнения (6) строится фундаментальное решение, имеющее вид

ф(н , т) = -—1тае'т " к

ехр

г _ \ л

и-2-2\

V V

1 +

а = ¡3 =

где С - окружность малого радиуса с центром в точке /. Фундаментальное решение выражается через функции Бесселя и полиномы Лагерра

ф{и,т)=\т^1е1т-и1Аа1х{р))+

+ 1т

г.л (и\\Л

-п-2

ч^/

Справедлива асимптотическая формула при / —► оо

1 '

\7l\UT)

I— и\ ( Г-у/ЫТ--СОБ Т + >1иТ--

из которой следует, что в линейном приближении стационарное решение неустойчиво.

Далее ищется решение нелинейной задачи Коши для уравнения (б) в виде

/ = е" (г , г), а>0= 0=

п=0

(7)

Начальные условия

»(».о )=у, -а11у

4-1 ОТ 4=1

Для определения членов ряда (7) получаем рекуррентную систему уравнений

дг

5/ &

д_ дг

дтдг

+ 2г3®, +22(£,(И, -о,)—(г2й),) = 0

+ (¿««1 -¿у,)

д2со, з Э®,

дг1 — 2 —— дг

£ &

бг & дг

+2о>к) = О

Для функций и выведены явные выражения через их аргументы.

Уравнения последовательно могут быть разрешены, произвольные функции, зависящие от Г, выбираются так, чтобы в решениях не возникали вековые

члены. В результате найдены две первые функции 00^ (1 ^

2с а\г) Ь\г) .

(У, = — + —у^СОЭГ+—у^-БШТ 11 2

Л2 , /и\2 /г.Л2

Й)2

* 7 4г5 12г5 12г5

где

Ь + т = (А + 1В)(Ьег2г + 1Ъеггг) = (Л + Ш) У2 (ге"1,74)

А и В- произвольные постоянные, находящиеся из начальных условий.

Поскольку 2 — л/Т-ЫТ, то учет нелинейности не приводит к устойчивости стационарного решения.

Далее в главе третьей изучается задача Коши-Пуассона о внутренних волнах, возникающих от начальных возмущений в неограниченной стратифицированной жидкости. Предполагается, что источники, стоки и вихри отсутствуют, начальные условия зависят только от радиуса-вектора V. Задача сводится к решению нелинейного уравнения

с начальными условиями.

Уравнение (8) содержит переменную Г как параметр и, следовательно, -это обыкновенное дифференциальное уравнение, содержащее параметр. В качестве малого параметра принимаются начальные возмущения, и для построения решения применяется классический метод Пуанкаре малого параметра, когда решение ищется в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра. Исследуется также качественно фазовый портрет. Решение оказывается периодической функцией I, причем период зависит от Г.

(8)

Например, при величина

в качестве малого параметра принимается

s = N2w0{r)lg

Ряд имеет вид

к=2

При этом первые функции имеют вид

(i) = COST

b2 =1/12

В предыдущих главах диссертации рассматривался тот случай, когда частицы идеального газа, находящиеся на одной вертикальной прямой, колеблются одинаково. В четвертой главе рассматривается более сложный случай, когда смещения частиц могут зависеть от вертикальной координаты.

Удается свести систему уравнений к одному нелинейному уравнению в частных производных

'у2 „V-'

Т дС

д_ ди

Г2+{А(о)2) 1 д(Ай>) дгсо 2 (до)

+ N

2 д2со д ди2 ди

(Г

4 и

д2со Л дид£

2и д( = 0

+ -

ди2

-О'

ди

\ди.

о д А д

д1 ди

(9)

А со =

л2 V

О (О

дОС

1 +

О (О

дид£

Постоянная задает распределение источников на оси симметрии, а постоянная у — распределение потенциальных вихрей. Уравнение (9) имеет весьма сложный вид и решение нестационарных граничных задач даже для линеаризированного уравнения представляет значительные трудности. В главе 4 находятся некоторые классы стационарных решений. Уравнение для стационарных решений сводится к виду

д2ж т„ 1 О (д21Г Ы1дц 5у2 У 2т\д£г g д£

-а—

.8 К

( ТГЩ Л

2 2а2\У1+ЪаИ1

+ -

1 + ат

(1 + а^) 2(1 + Ыг2

(10)

) у =

( /

В оставшейся части диссертации исследуются стационарные решения в линейном приближении (при Б = 0). Один класс решений имеет вид

-ню \¥= [

V У

+ (ОД(/7 , , г))ехр(^)

6Я

7 =

4 ТУ

где ,Р0 (77, у) и С0 , у) ~ волновые функции Кулона нулевого индекса.

Построены асимптотические формулы, описывающие поведение найденных решений для малых и больших значений переменной V.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Выведены уравнения осесимметрических движений идеального стратифицированного газа в поле силы тяжести в неограниченном пространстве. На оси симметрии могут быть распределены вихри источники и стоки. В том случае, когда стратификация равномерна и на оси симметрии нет источников и стоков, методами малого параметра найдены стационарные решения, не зависящие от вертикальной координаты. Выведены линейные уравнения в частных производных для малых возмущений стационарных решений.

2. В линейном приближении исследована устойчивость полученного стационарного решения. Для исследования устойчивости построено фундаментальное решение для линейного уравнения возмущений. Исследованы свойства фундаментального решения. Из этого исследования получен вывод о неустойчивости стационарного решения. Исследован характер этой медленно развивающейся неустойчивости.

3. Построено приближенное решение для нелинейного уравнения возмущений. Показано, что учет нелинейности не меняет характера неустойчивости стационарного решения.

4. Для того случая, когда на оси симметрии нет особенностей и начальные возмущения не зависят от вертикальной координаты, построено решение задачи

Коши-Пуассона

5. Для того случая, когда на оси симметрии имеются вихри и источники, задача о колебаниях плавучести в идеальном газе сведена к решению нелинейного уравнения в частных производных четвертого порядка, содержащего только вторые производные по времени. В линейном приближении нахождение стационарных решений сводится к исследованию известного уравнения Кулона. Найдено асимптотическое поведение решения при приближении к оси симметрии и на больших расстояниях от оси симметрии.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. // Прикладная математика и механика. - 1999. - Т. 63. - Вып.З. С. 467-469.

2. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Нелинейная неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. - Прикладная математика и механика - 2000. - Т. 64. - Вып. 2. С. 349-351.

3. Оганесян Х.В. Некоторые классы стационарных осесимметрических движений стратифицированного идеального газа ( Принято к печати).

Тип. МФТИ заказ № ¿2И тир. -jOO экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Оганесян, Хачатур Вачаганович

Введение

Стратифицированные среды стали предметом интенсивных исследований, начиная с конца девятнадцатого века. Это связано с тем, что естественными природнымитифицированными средами являются мировой океан и земная атмосфера. Развитие техники сделало возможным проникновение человека в глубины мирового океана и в высокие слои атмосферы, что, в свою очередь, диктовалось многими практическими потребностями, в частности необходимостью расчета волнового сопротивления подводных аппаратов, прогнозов погоды, изучения механизмов образования циклонов и т.д. Особенностьютифицированных сред в поле силы тяжести и сил Кориолиса являются колебания плавучести (внутренние волны), возникающие под воздействием силы тяжести, сил Архимеда и силы Кориолиса. Хотя физическая природа этих колебаний весьма простая, точное математическое исследование возникающих граничных и смешанных задач для соответствующей системы уравнений является делом чрезвычайно трудным. Поэтому в многочисленных научных работах интенсивно развивались разнообразные приближенные и численные методы решения таких задач.

Исторически начало исследованию феномена внутренних волн было положено в работах классиков конца девятнадцатого века: Гельмгольца, Рэ-лея, Стокса, Буссинеска [5, 10,13]. На основании этих работ было объяснено явление мертвой зыби в норвежских фиордах, когда суда при входе в фиорд резко теряли скорость при неизменной мощности двигателя. Как оказалось, причина заключалась в том, что мощность двигателя частично тратилась на возбуждение внутренних волн на границе раздела слоя пресной воды, принесенной рекой, впадающей в фиорд, и слоя соленой морской воды. В работах классиков использовалось линейное приближение для динамических уравнений. Точное исследование удается провести только для весьма ограниченного и не самого интересного с практической точки зрения класса задач. В классической работе Н. Е. Кочина [3] была исследована в точной математической постановке плоская нелинейная задача о периодических волнах установившегося типа малой амплитуды на границе раздела двух слоев различной плотности. Для случая непрерывного распределения плотности по высоте соответствующая теорема существования периодических внутренних волн была доказана в работе Дюбрей-Жакотен [16]. Доказательство существования решений типа солитонов и кноидальных волн (длинных волн, вырождающихся в уединенную волну при длине волны, стремящейся к бесконечности) в произвольно стратифицированной жидкости дано в работе [19]. Глобальные теоремы существования, доказательства которых опираются на сложные математические теории, доказаны Л. В. Овсянниковым и его учениками [15].

Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, то огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линеаризированной постановке. Простейшее линейное уравнение внутренних волн в форме Буссинеска имеет вид д2 (д2и д2и д2иЛ дх2 ду2 дг' д2и д2и\ дх2 ду' где n - частота Брента-Вяйсяля. Родственное уравнение д2и д2и д2и\ „о д2и дх2 ду2 дг' описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости, подробно исследовалось в работах С. Л. Соболева [10] и его многочисленных последователей. Некоторые исторические сведения и подробную библиографию можно найти в книге [1]. В этой же книге изложены в строгой математической постановке результаты этих авторов по исследованию задачи Коши и некоторых смешанных задач для уравнения (1) и уравнения (2).

Если в системе координат, движущейся с постоянной скоростью С в направлении оси х, движение представляется независящим от времени, то в подвижной системе координат уравнение (1) принимает вид д2 (д2и д2и д дх1 ду1 дг' дх2 ду'

Большое количество работ посвящено исследованию фундаментального решения уравнения (1). Задачи о внутренних волнах от неподвижных или движущихся источников массы или диполей представляют значительный интерес, поскольку в однородной жидкости движущееся твердое тело иногда удается заменить системой источников и диполей. При слабой стратификации подобной же системой особенностей можно заменять движущееся тело и в неоднородной жидкости. Решение задач о внутренних волнах от движущихся и неподвижных источников и диполей просто выражаются через фундаментальное решение уравнения (1) или уравнения (3). Основные трудности связаны с изучением различных асимптотик фундаментального решения при больших временах или на больших расстояниях от источника. Такие задачи решались в работах Лонга (Long R.R), Лайтхилла (Lighthill M J.), Майлса (Miles J.W.), Яновича (Yanovich M.), Ю (Yiu C.-S), Гудимака (Hudimac A.A.), Келлера (Keller J.B.), Манка (Münk W.H.), Вуазена (Voisin В.), Дородницына A.A. Боровикова В.А., Черкесова Л.В., Санникова В.Ф., Букатова А.Е., Владимирова Ю.В., Городцова В.А., Теодоровича Э.В., Доценко С.Ф., Каменко-вича В.М., Чашечкина Ю.Д., Миропольского Ю.З., Нестерова С.А., Стуро-вой, И.В.,Степанянца Ю.В., Тер-Крикорова A.M., Бежанова К.А., Онуфриева A.A., Яковлева Г.Н., и многих других авторов. Подробную библиографию можно найти в работе Вуазена [20].

Начало исследованию сравнительно нового класса задач было положено в работах [9] , [12]. Известно, что в консервативном поле сил в идеальной несжимаемой жидкости или в идеальном газе сохраняется так называемый «потенциальный вихрь», являющийся проекцией вектора вихря скорости на нормаль к поверхности постоянной плотности (для несжимаемой жидкости) или постоянной энтропии (для идеального газа). При малой стратификации в однородном поле сил тяжести эта проекция мало отличается от проекции вихря на вертикальное направление. Если оставаться в рамках классической линейной теории внутренних волн, когда в уравнениях отбрасываются все инерционные члены, то уравнение вертикальных колебаний может быть изучено отдельно от уравнений движения для горизонтальных компонент вектора скорости. Если в начальный момент вертикальные возмущения были равны нулю, то они в дальнейшем и не будут возбуждаться. В работах [9] , [12] было сделано предположение, что в потенциальном вихре квадраты окружных скоростей имеют тот же порядок, что и первые степени вертикальных скоростей. Это позволило свести задачу к решению неоднородного уравнения внутренних волн с правой частью, зависящей от интенсивности потенциального вихря. Изучались внутренние волны от неподвижных и подвижных потенциальных вихрей. В настоящей работе продолжается это направление исследований.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование дифференциальных уравнений, описывающих колебания плавучести в идеальном стратифицированном газе"

скими вихрями. Прежде всего нужно отметить работу Эртеля (Ertel Н.) [17], результаты которой изложены в известном курсе гидродинамики [4]. Из теоремы Гельмгольца следует, что в однородной идеальной жидкости в потенциальном силовом поле в жидкой частице сохраняется вектор вихря. Из результатов Эртеля следует, что при отсутствии в неоднородной идеальной жидкости источников и стоков в жидкой частице сохраняется проекция вектора вихря на нормаль к поверхности постоянной плотности(для несжимаемой жидкости) или на нормаль к поверхности постоянной энтропии (для идеального газа). Эта проекция впоследствии была названа потенциальным вихрем. В случае жидкости, стратифицированной по вертикали, и для достаточно малых возмущений потенциальный вихрь с точностью до малых высших порядков совпадает с вертикальной проекцией вектора вихря скорости. Слабые нелинейные взаимодействия потенциальных вихрей и внутренних волн исследовались в работе [18]. Там же содержится и библиография работ по данному вопросу. Новый подход к проблеме внутренних волн, возникающих от потенциальных вихрей, был разработан в работе [9].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в приложении идей работ [9],[12]. для исследования осе симметричных установившихся состояний идеального газа и изу- \/ чения проблем устойчивости некоторых из этих состояний в линейной и нелинейной постановке.

В главе 1 рассматривается стратифицированный идеальный газ, заполняющий в поле силы тяжести все трехмерной пространство. Изучается такой класс осе симметрических движений, когда все частицы, находящиеся на од- л/ ной вертикальной прямой колеблются одинаковым образом. На оси симметрии располагается вихревая нить и распределены источники массы. Выводится уравнение для установившегося движения. Если нет источников массы, то решение этого уравнения находится просто. Если на оси распределены еще и источники, то решение находится в виде ряда по степеням малого параметра (в качестве малого параметра принимается величина обратная квадрату расстояния частица от оси симметрии). Показано, что отклонение ско- V рости звука от ее значения в положении равновесия стремится к нулю при

Г —> оо как Г 6. Для достаточно медленных движений выводится линейное нестационарное уравнение для возмущений стационарного решения.

В главе 2 исследуется устойчивость простого стационарного решения (на оси симметрии имеется вихревая нить и нет источников массы). Находится точное нелинейное уравнение для возмущений. Это уравнение линеаризуется в окрестности стационарного решения. Для исследования устойчивости стационарного решения строится фундаментальное решение полученного линейного уравнения. Исследование фундаментального решения показывает, что сначала развиваются гармонические колебания, но с течением времени амплитуда этих колебаний медленно (в смысле малого параметра) стремится 5 к бесконечности, что свидетельствует о медленно развивающейся неустойчивости стационарного решения. Предпринято также исследование для нахождения приближенного решения нелинейного уравнения возмущений. Оно также оказывается неограниченным.

В главе 3 для осе симметрического случая при отсутствии на оси симметрии вихрей и источников исследуется задача Коши-Пуассона о волнах от начальных возмущений. Предполагается, что частицы, лежащие на вертикальных прямых, возмущаются одинаково. Для описания колебаний этих вертикальных прямых получено обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. Его точное решение находится традиционным методом малого параметра. Исследуются фазовые траектории.

В главе 4 выводится нелинейное уравнение в частных производных четвертого порядка, описывающее осе симметричные движения идеального газа в том случае, когда на оси симметрии распределены вихри и источники. Изучаются стационарные движения. Эти стационарные решения являются решениями нелинейного уравнения второго порядка в частных производных. В линейном приближении это уравнение оказывается неоднородным уравнением Кулона (частного вида). Решение неоднородного уравнения находится просто за счет специальной структуры правой части. Исследуются его особенности и асимптотическое поведение на больших расстояниях от оси симметрии. Методами теории уравнений Кулона исследуется регулярное и иррегулярное решения однородного уравнения, их особенности и асимптотическое поведение.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах [6]-[8]. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Выведены уравнения осесимметрических движений идеального стратифицированного газа в поле силы тяжести в неограниченном пространстве. На оси симметрии могут быть распределены вихри, источники и стоки. В том случае, когда стратификация равномерна и на оси симметрии нет источников и стоков, методами малого параметра найдены стационарные решения, не зависящие от вертикальной координаты. Выведены линейные уравнения в частных производных для малых возмущений стационарных решений.

4. Для того случая, когда на оси симметрии нет особенностей и начальные возмущения не зависят от вертикальной координаты, построено решение задачи Коши-Пуассона.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Оганесян, Хачатур Вачаганович, Москва

1. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн.//М.Наука. - 1990. -342с.

2. Гордейчик Б.Н., Тер-Крикоров A.M. О равномерных аппроксимациях фундаментального решения уравнения внутренних волн//Прикладная математика и механика. 1996. - Т.60. - Вып.З. - С.443-450.

3. Кочин Н.Е. Пространственная задача о волнах на поверхности раздела двух масс жидкостей разной плотности//Труды Главной Геофизической Обсерватории. 1938. - Вып.28. - С.3-30.

4. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., РозеН.В. Теоретическая гидромеханика.- Т.1-М. -ГИТТЛ. -1955. -560 с. Т.2-М-Л.-ГИТТЛ. -1948. 612с.

5. Ламб Г. Гидродинамика. М-Л. - ГИТТЛ. - 1947. - 928 с.

6. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. // Прикладная математика и механика. 1999. - Т. 63. - Вып.З. С. 467-469.

7. Оганесян Х.В., Тер-Крикоров A.M. Нелинейная неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе. Прикладная математика и механика - 2000. - Т. 64. - Вып. 2. С. 349-351.

8. Оганесян Х.В. Некоторые классы стационарных осесимметрических движений стратифицированного идеального газа ( принято к печати).

9. Секоян А.Х., Тер-Крикоров A.M. Внутренние волны от потенциальных вихрей//Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - №1. -С.118-123.

10. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики//Изв. АН СССР.- Сер.мат. 1954. - Т.18. -№1. - С.3-50.

11. Сретенский Л. Н., Теория волновых движений жидкости // М. -Наука. -1977.-830 с.

12. Тер-Крикоров A.M. Вихри и внутренние волны в стратифицированной жидкости//Прикладная математика и механика. 1995. - Т.59. - Вып.4 -С. 599-606.

13. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. - Мир. - 1977. - 622 с. (перевод с английского).

14. Ы.Федорюк М.В. Метод перевала. М. - Наука. - 1977. -386 с.

15. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. -Новосибирск. -Наука. Сибирское отделение. - 1985. - 318 с.

16. Ter-Krikorov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaires dans une liquide heterogens. // J. De Mecanique. 1963. - V.2. - №3. - P. 351 - 376.

17. Voisin B. Internal wave generstion in uniformly stratified fluids // Pt. 1. -Green function and point sources. J. Fluid Mech. -1991. - V. 231. - P. 439480.