Генерация трехмерных периодических внутренних волн и пограничных слоев в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Васильев, Алексей Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
На правах рукописи УДК 551.446.6:532,527
Васильев Алексей Юрьевич
ГЕНЕРАЦИЯ
ТРЕХМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН И ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ В ВЯЗКОЙ НЕПРЕРЫВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ
01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
/•
Москва 2005 год
Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук
Научный руководитель:
Научный консультант
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Ю.Д. Чащечкин (ИПМех РАН)
доктор физико-математических наук, А. В Кистович (ФГУП"ВНИИФТРИ")
доктор физико-магематических наук, профессор В.Н. Зырянов (Институт водных проблем РАН)
докюр физико-математических на>к, профессор К. В. Показеев
(Физический факулвгст МГУ им. М В Ломоносова)
Ведущая организация'
Институт механики МГУ им М. В. Ломоносова
Зашита состоится " 14 " апреля 2005 г. и 15 час.
на заседании диссертационного совета Д 002 240.01 в Институте проблем механнки Российской академии наук по адресу: 117526. Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.
С диа-ерчацией можно ознакомите« в библиотеке ИПМех РАН Автореферат разослан " 14 " марта 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 240.01 при ИПМех РАН £
кандидат физико-математических наук " Е.Я. Сысоева
&OOG-1 ' F2> 1СГ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена аналитическому исследованию периодических движений в непрерывно стратифицированной жидкости.
Актуальность темы.
Первые проявления эффекюв плавучести в динамики жидкостей были замечены в конце 18 и середине 19 веков (Franklin, Jevons). Теоретические исследования течений непрерывно стратифицированных жидкостей начались гораздо позже. Введение тако! о фундаментального понятия, как частота плавучести, потребовало усилий многих ученых (Rayleigh, Т ove, Lamb, Brunt, Väisälä). В начале 20 века была установ-гена связь между стратификацией и явлением "мертвой воды" (Nansen, Ekman) В середине 20 века выявлено орографическое волнообразование в метеорологии, идентифицированы крупные внутренние волны в толще океана и атмосфере Земли (Краусс, Scorer). Изучение зарождения, эволюции и взаимодействия различных форм движения в природных системах стало одной их основных задач геофизической гидродинамики и механики жидкостей.
В настоящее время интерес к теории внутренних волн обусловлен внутренней логикой развития гидродинамики и необходимостью разработки более эффективных меюдов описания состояния и прогноза эволюции окружающей среды. В связи с рос-шм ущерба от катастрофических природных явлений (сильных штормов, ураганов, ¡емлетрясений, цунами), особую актуальность приобрели исследования динамики формирования крупных волн и вихрей. Одной из задач является поиск индикашров локализации областей генерации волн большой амплитуды, их размаха и направления рас-ирос гранения. К числу "маркеров", индицирующих взрывы, землетрясений и цунами, о i носятся внутренние волны в океане и атмосфере
Математические проблемы r теории внутренних волн в значительной степени обусловлены сложностью определяющих уравнений Анизотропия и дисперсия внутренних волн выделяют их из класса основных волновых движений (звуковых или световых волн) Энер| ия такими волнами передается с групповой скоростью не по нормали к поверхностям постоянной фазы - гребням и впадинам волн, а вдоль них.
Большое число работ посвящено изучению внутренних волн в толще идеальной жидкости Учет эффектов вязкости существенно усложняет описание процессов генерации и распространения волн Теория внутренних волн развивается как в нашей стра-
3
1РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ
иццотиа
не (Городцов, Нее i еров, Миропольский, Габов, С гурова, Кистович, Чашечкин), так и за рубежом (Lamb, Lighthill, Görrtler, Turner, Krauss, Phillips, Hurlcy, Voisin) Однако ряд ключевых вопросов, включающих анализ задач возбуждения, распространения, затухания волн, их взаимодействия друг с другом и дру1 ими формами движений, остается открытым.
Особо следует выделить задачи движения свободных гел нейтральной плавучести в голще жидкое 1 и. В большинстве исследований анализируются только собственные колебания свободных тел, в качестве теоретической модели обычно используют модель физического маятника, с учетом присоединенных масс, моментов и обобщенных сил В этих работах не учитывается влияние диссипативных факторов (вязкости, диффузии), с которыми также могут быть связаны особые структурные элементы течения Новые экспериментальные данные требуют более полного рассмотрения задач динамики гел в жидкое 1 и.
В целом более полное решение уравнений внутренних волн необходимы также для улучшения прогноза изменчивости окружающей среды, минимизации антропогенного воздействия, решения фундаментальных и прикладных проблем
Цель работы. Целью работы является -- Разви 1ие меюдики построения точного решения полностью линеаризованной задачи генерации трехмерных периодических внутренних волн частью плоскости с учетом эффектов вязкости, не требующей введения дополнительных эмпирических параметров.
Расчет параметров пучков трехмерных периодических внутренних волн источниками различного типа, сравнение с результатами визуализации и измерений волн в лабораторных условиях,
- Анализ свободных колебаний уравновешенного шара на горизонте ней тральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости;
Методы исследований.
- В аналитических исследованиях использованы методы интегральных преобразований, мпогомерпого анализа Фурье, теории функций комплексного переменного, асимптотических вычислений, а также методы вычислительной математики. Полу-
4
| к. - - ' < ) i i ' *, 1 4"»**» *
чснные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных эксперименте, с применением оптических теневых и контактных методов измерений периодических внутренних волн.
Научная новизна.
В работе впервые получены следующие результаты
- Осушес! плена постановка и построено решение полностью линеаризованной задачи I операции трехмерных периодических внутренних волн в вязкой, непрерывно стра тифицироваппой жидкости, обеспечено точное выполнение всех граничных условий,
- Впервые усыновлено сложная структура периодического пограничного слоя на осциллирующей наклонной плоскости На поверхности формируется периодический (с! иксов) и внутренний пограничные слои с различными собственными масштабами,
- Проведен расчет пучков трехмерных волн и пограничных течений, побуждаемых излучателями различного типа (фрикционный, поршневой и составной) прямоугольной и та эллиптической формы, использующихся в физическом эксперименте, определены условия перестройки структуры волнового поля;
- Носгросно аналитическое решение задачи о колебаниях свободного шара на горизонте ней грапьной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированнои жидкости; Проведена визуализация и измерения структуры конических пучков периодических внугренних волн в лабораторном бассейне;
- Определены границы применимости линейного приближения, идентифицированы наиболее эффективные источники внутренних волн по результатам де1ального сравнения решений с данными лабораторных экспериментов
Достоверность полученных результатов достигается использованием классических математических методов построения полного семейства решений, удовлетворяющих уравнениям и граничным условиям; согласованностью полученных результатов с известными приближенными решениями в областях их применимости и данными лабораторных экспериментов.
Научная и практическая значимость. Работа выполнялась в рамках плановых тем и проектов, входящих в Межсекционную программу ОЭММПУ РАН "Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий", Федеральную целевую программу "Мировой океан" (по контракту с Минпромнауки России), в Федеральную целевую программу "Интеграция" (по контракту с Минобразования России, грант Я0058), РФФИ (грант 02-05-65383).
Методика построения полных точных решений линеаризованных уравнений движения стратифицированных сред позволяет исследовать динамику волн со сложным законом дисперсии и проводить сравнения с независимо выполненными экспериментальными исследованиями в лабораторных и природных условиях
Полученные результаты могут быть использованы для построения аналитических моделей возбуждения и нелинейного взаимодействия коротких внутренних волн в средах со сложным законом распределения плотности, при разработке алгоритмов численного моделирования природных процессов, протекающих в атмосфере и океане, разработке алгоритмов идентификации источников волн и расчета их параметров, в частности, при распространении внутренних волн большой амплитуды и формировании топкой структуры непрерывно с [ратифицированной среды, которая, в свою очередь, существенно влияет на перенос вещества и энергии.
Результаты работы вошли в учебное пособие и методические указания лаборатор-но1 о спецкурса физического факультета МГУ им М В Ломоносова.
На защиту выносятся:
- методика расчета 1енерации трехмерных монохроматических внутренних волн и со-иу!сгвуютцих пограничных течений в вязкой, непрерывно стратифицированной жидкости компактными источниками;
— решения линейных задач генерации периодических внутренних волн источниками различного вида, результаты анализа их эффективности;
— моделирование колебаний свободного шара нейтральной плавучест и в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости;
- сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными, оценка границ применимости полученных решений.
Апробация работы:
Основные результаты были представлены на XIX Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, 2002); I Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Ницца, 2004); Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы" (Москва, МГУ, 2002 г); IV Всероссийской научной конференции "Физические проблемы эколотии (экологическая физика) (Москва, МГУ, 2004), Всероссийской конференции приуроченной к 85 - летию академика Л.В. Освяникова "Новые математические модели в механике сплошных сред построение и изучение", (Новосибирск, 2004); на международных конференциях- "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001, Санкт-Петербур), 2003), "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Моск. обл, 2004); на объединенном семинаре "Динамика природных систем" (ИПМех РАН, 2002, 2005).
Публикации: Но результатам работы опубликованы пя!ь статей [1-51, »репринт [6], тезисы докладов на конференциях [7-16], одна статья представлена в печать [17].
Структура и обьем диссертации: Диссертация состоит из введения, ияти 1лав, заключения и списка литературы из 113 наименований Общий объем диссертации 127 страниц, включая иллюстрации.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обзор современного состояния исследований внутренних волн и пограничных течений, данных натурных и лабораторных экспериментов. Обсуждается постановка задачи, обоснована ее актуальность. Сформулирована цель работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, кратко обсуждается содержание и основные результаты работы.
В первой главе приведен обзор ранее выполненных теоретических работ, методики построения приближенных решений, данные наблюдений внутренних волн в ат-
мосфере и океане Дастся классификация основных типов коротких волн малой амплитуды - нестационарных, периодических, присоединенных. Приводятся уравнения движения жидкости.
Наиболее известным действием внутренних волн в стратифицированном океане (в котором плотность меняется не более чем на 1 % от своей величины) является эффективное торможение надводных судов и подводных аппаратов (эффект "мертвой воды"). В атмосфере внутренние волны проявляются в виде системы установившихся облаков над изолированными вершинами или горными хребтами. В последние годы интерес к внутренним волнам поддерживается поиском физических механизмов, формирующих образ топографии дна в структурах поверхности океана. Ьолыной интерес вызывает изучение связи внутренних волн с тонкой структурой океана и атмосферы (тропосферы, стратосферы, ионосферы, где нет механических препятствий) Внуфенние волны распространяю^« достаточно медленно по сравнению с акустическими, их регистрация с помощью спутников (например, системой GPS) позволяет идентифицировать области формирования цунами и оценивать их высоту.
В виду сложного характера дисперсии внутренние волны традиционно анализируются в приближении идеальной жидкости (Городцов, Нестеров, Миропольский, Габон, I ighthill, Krauss, Phillips) Вязкость феноменоло! ически учитывается на конечном )laiie как причина дополнительного (по сравнению с iеометрическим) Ю1/хания движений
Решение уравнений находится двумя способами основанными на преобразованиях Фурье (Миропольский, Lighthill, Phillips), методе функций Грина (Городцов, Voisin) решениях краевых задач (Нестеров). Первые два подхода приводят к сопоставимым результатам, модальная теория удобна для оценок волповых полей в естественных условиях При всех этих рассмотрениях анализируется только волновая компонента движения, конечные результаты вычисляются асимптотическими методами, затрудняющими оценку границ областей применимости. Оценки параметров периодическою пограничного слоя проводятся независимо, вне связи с теорией волн, методами теорий возмущений (Redekop, Давыдова) При лом области применимоеiи асимптотических подходов не перекрываются, что не позволяет построить полное решение задачи излучения волн, удовлетворяющее граничным условиям
Алгоритм построения полных рсшеиий линеаризованных двумерных задач излучения периодических внутренних волн разработан Ю В Кистовичем и Ю Д. Чашечки-ным Полученные решения удовлетворительно согласуются с экспериментами.
Из анализа публикаций вытекает необходимость разработки метода построения полного решения линеаризованной задачи генерации трехмерных периодических волн, с учетом регулярных по вязкости (волны), и сингулярных по вязкости (пограничные слои), элементов движений.
Наряду с изучением генерации волн при вынужденных колебаниях представляет интерес изучения свободных колебаний тел в толще стратифицированной жидкости. Обычно расчеты проводится для идеальной двухслойной жидкости. Задача о колебаниях поплавков сводиIоя к ишегро-дифференциальному уравнению, которое решается с помошью преобразования Лапласа. При анализе колебаний шара в толще идеальной непрерывно стратифицированной жидкости впервые получены простые выражения для смещений, согласующиеся с результатами небольшого числа экспериментов, где анапи-!ирои<ишсь только два первых колебания. Присоединенная масса шара, осциллирующс-ю в идеальной жидкости имеет особенности на частоте плавучести Поскольку основным инструментом регистрации полей скорости в толще Мировою океана являются буи нейтральной плавучести, представляет интерес более полное изучение влияния вязкости на динамику их движений.
Во второй главе приводятся уравнения движения стратифицированных сред Неоднородность плотности учитывается юлько при расчете сил плавучести, влиянием сжимаемости, изменчивости температуры и концентрации растворенных веществ, пре-небрегастся. С целью упрощения выкладок зависимость плотности от высоты считается
экспоненциальной р0(г) = Рооехр(-г/Л), где масштаб - Л = |£/1пр0(г)/сЬ|-1, частота N = ^/Л и период плавучести 7), -2п1 N - постоянные (известен алгоритм пересчета при распространении волн в жидкости с произвольным распределением плотности) Система уравнений движений в приближении Буссинеска включает уравнения Навье - Стокса, неразрывности и условие несжимаемости
Ро~- + = + — + сЦу(ру)=0, <31уу = 0 (1)
9? 9/
Граничными условиями являются условия прилипания на твердых поверхностях, нспротекания для соли и затухания всех возмущений на бесконечности
Компоненты скорости выражаются через две скалярные функции Ф, 4', обеспечивающих выполнения условия несжимаемости v = V х е^ + V х (V х е7Ф) (Kimura, Holm). Система (1) преобразуется в два уравнения для функций Ф, Ч
(ш2Д jV2A± - /соуД2)ф = 0, (со - ;vA) Ч' = 0. (2)
Источником воли является часть плоскости, наклоненная под углом ф к горизонту (рис. 1), осциллирующая вдоль прямой с постоянной частотой ш. Расчеты проводятся в следующих системах координат' лабораторной - (x,y,z) ; локальной -(с, т|, С), сопутствующей - (q, р, а), ось q, ориентирована в направлении распространения волн под углом 9 = arcsin(w/ К) к горизонту, ось р -поперек, а угловая переметшая, цилиндрической - (г, a, z)
И
Рис. 1. Системы координат задачи
^ == X COSф + 2 Sin ф, У\ = У , (^-ХЯШф + гСОЗф,
x = rcosa, y = rsina z = z, р = rsin0-zcos0, q = rcos0 + zsin0. Граничные условия прилипания на всей плоскости излучателя Octj имеют вид
i + [- sin ф (зл2 + д^ )+ cos ф д^ £ ] Ф I = fe, ti)
(3)
cos ф <
l?=0
- (cos ф9^ - sin ф9п) + 9^ (sin <рд^ + cos ф9^) Ф ^ = иц fe ti)
(4)
-эшфЗ-^Р + [-соеср (ал2 + | о
Па бесконечности все возмущения затухают. Невозмущенная жидкость покоится. Решения системы (2) находится в виде разложений в интегралы Фурье
+00
-H3Q
dkfdk.
(5)
показатели экспонент корпи дисперсионного уравнения
sin2 0 (t1>22 + £j_2)- [(^cosф-¿12sinф)2 + k2]+ isin 0 (kl¡22 + k±2 j
(6)
xföjy^+Äj^j-jsinO ]=0 где 6N = -Jy/N - универсальный микромасштаб, sin9 = a>/N, k±2 = к 2 + к 2
В уравнение (6), помимо волновых чисел, входит универсальный микромасштаб 5д/, характеризующий пограничные слои Отношение длины волны к масштабу bN
определяет условие кс » -JvTn , которое используется в дальнейших вычислениях Решения дисперсионно! о уравнения (6), разделяются на две группы: регулярные (пропорциональные вязкости) Л, = kf) +1 v ¿W (7)
so/ 2ц
^ к^ sin 2ф + 2 eos О^к^2 sin2 0 -11 к^2
tan 9
кi sinфcos0 + cossin2 0-ц k^
2N ц4 sin2 G - ц к^2 и сингулярные (обратно пропорциональные вязкости)
к _i + signц ^sin2<р ^ =L±1
2 ~ К 2р ' 3 " 5V '
2 2 здесь Ц = 81П <р-вт 9.
Толщина внутреннего пограничного слоя 8ф = ^2узт0/ЛГ|ц|, толщина периодического пограничного слоя (аналог слоя Стокса) - 5У = л/2у/ш .
При переходе к однородной жидкости N О, V - конечное, теряется различие
сингулярных корней 3 ~ --у---кц , описывающих внутренний и периодический пограничные слои. Трехмерное периодическое течение в однородной жидкое!и вырождается.
Асимптотические выражения расходятся на критических углах <р = ±9, однако точное решение дисперсионного уравнения остается регулярным и здесь
\4
, , 1 . -.а *Ц2С'820 0/81110 '
к1 =к{.\с1е29+—--+-
с 2 к$% М$\8ш2в
к2=Жт, к(\>О,
2к(\
, к^Х> О
+ ' /
(- Ку , Хк^ < 0, где К =
Х.^со89
1 + 1 ¿ + 1
Общее решение, представленное в матричной форме, имеет вид
В \
~ д
с. \
(А, £>12 £>31
°22 °32
\
У
+оо
и = -Ц- Ги(5, , (9)
4я J
значения коэффициентов приведены в диссертации.
В третьей главе приводятся результаты аналитических вычислений волновых полей и пограничных слоев для различных излучателей
В сопутствующей системе координат излучатель фрикционного типа, осциллирующий в своей плоскости с амплитудой скорости «о, формирует следующее поле скоростей в волновой компоненте движения
(у?, V", <)« /^(-яп 29 соя <х, 2сое2 всова, 25ш2 (10)
амплитудный множитель А™ = . , определяется параметрами излучателя и
(2пу'2р\ц\
масштабом . Пространственная структура конуса определяется тригонометрическими множителями. Аксиальная симметрия фазовых характеристик волны сохраняется при любых наклонах излучающей поверхности 9 > ср, амплитуда изменяется вдоль луча и в азимутальном направлении (множитель 8ш(я/4-а)) В волновую функцию Я] (р, <?) входит свертка С(п, ррешения для точечного излучателя с показательной функцией
Р\{р>ч) = (ео8ф8т0-8т(7[/4-а)8тфсо80) 6(3/2, р, д), (11)
■мо
G{n,p,q)= , 1 \dkp кпр ехр
ylpsmQ+qcosQ J
ikpp
2 cos 9
(12)
Показатель п не является целым и определяется типом излучателя. Источник малого размера а, Ь «1У порождает одномодальный пучок, Ь^ вязкий волновой масштаб.
Распределения скоростей в пограничных слоях наиболее наглядный вид имеют в локальной системе координат (4, г), С,)
vi*V2«0 ехр
v5<p 5<р;
COS ф,
ь i-l»o6^2sin3/29 у я2 Hsin<P
v5v 5v
w.
(13)
M(jexp
К с
8<J> 8ф
вШф
m
+ 2 Ck^ со8ф + <
= J
/tea
2 sin sin—— / ( _ J
5--^Jl-^ + 5 \dkidk
a = —^ совф sin2 6 + cos 0sin (p-Jk^2 sin2 0 - A:^2^ j,
Затухание скорости в пограничных слоях определяются множителями
^ 5ф Оу]
Линейное приближение выполняется при условиях: «1, = — - для
V ч
ЩЬ X! л
волнового пучка, " «1 - для пограничных слоев, имеющих смысл числа Рей-
V
нольдса.
Табл. 1.
Волновые компоненты скорости и плотности для различных излучателей в приближении малой вязкости.
I'\{p,q) = /(ф, 9, а)G(n, p,q), f - costpsin9-sin(n/4-а)sinфсоэЭ
Тип источника АГ /(ф, 9, a) и
Прямоугольник (фрикционный источник) i щ abbN 4 Л / 3/2
Прямоугольник (поршневой источник) l-i u0ab (271 У2 Vsmfi 1 1/2
Прямоугольник (составной источник) l-i щ ab2ylsin0 {2n)V7 2 cos(rc/4-a) 3/2
Диск (фрикционный источник) i u0nR2 4 ^И " / 3/2
Диск (поршневой источник) l-i u0nR2 (2nf'2 V2sin9 1 1/2
Детальные расчеты волновых полей и пограничных слоев выполнены для источников различного типа (фрикционный, поршневой, составной), имеющих форму прямоугольника и круга. Для сравнения в табл. 1 приведены волновые функции для различных излучателей
(v?, Vy, v")» /i;w(-sin 20 cos a, 2cos2 0cosa, 2sin2 e)F,(p,q), i = 1..5
Значения вертикальных смещений на оси пучка, которые обычно измеряются в лабораторных и природных условиях, приведены в табл. 2.
Табл. 2.
Смещения на оси пучка для малых источников (а, £ «, д» а,Ь, Х0 = и0 / N)
Тип источника Полоса (2Э) Прямоугольник (30) Диск (ЗО)
Фрикционный Х0 а 1 XI" „2/3 Ч Х0 аЬ 1 й2/3 „4/3 Ч Х0 Я2 1 «¡2/3 „4/3 О* Ч
Поршневой Х0 а 1 Т2Тз"~Т/з Ч Х0 аЬ 1 Ч
Составной (30) Дипольный (20) Х0 а а «4/3 2/3 Ч Хп аЬ Ь с5/3 „4/3 Ч -
На больших удалениях эффективным является поршневой источник. В небольших устновках для получения воли большой амплитуды более удобен составной источник.
Па горизонтальном диске, осциллирующем в вертикальном направлении, формируется следующие распределения давления
00
^ к^ — к О
Вариации плотности в среде имеют вид
оэ
соЛ J
О
Вертикальная компоненты силы , действующая на поверхность диска {г = 0) в приближении малой вязкости
^2=0 = |О + ОС'80 р0"0ш к2+^[к2 Р0»0*2^>
согласуется, с точностью до констант, с известными выражениями для сичы сопротивления осциллирующего шара [Ландау].
В четверной главе проводится сопоставление расчетов и лабораторных исследований пучков трехмерных периодических внутренних волн.
Лабораторные опыты выполнены на установках ЛГТБ и ЛВК. отличающихся размерами бассейна Лабораторный бассейн заполняется линейно стратифицированным водным раствором поваренной соли №С1 методом непрерывного вытеснения. Наблюдения волн проводятся через боковые иллюминаторы теневым прибором ИАБ 458 и регистрируются фото- или видеокамерой. Измерения амплитуд волп осуществляются "одноэлектродным" датчиком электропроводности Тарировка датчика проводится перед каждым опытом методом "подъем - погружение" или "свип - колебаний".
Волны возбуждаются механическим генератором, которой включает кривошин-но-шатуннмй механизм и приводится в действие синхронным двигателем. Амплитуда колебаний регулируется величиной плеча кривошипно-шатупного механизма Контроль однородности стратификации в бассейне ведется теневым методом и регистрацией профиля удельной электропроводности.
Теневая картина внутренних волн, визуализированных методом вертикальной щели - вертикального ножа Фуко приведена на рис 3
Рис 3 Теневая картина бимодального пучка периодических внутренних волн возбуждаемых горизонтальным диском радиусом Я = 4 см (т = 0.63 с'1, и0 = 0 09 см/с, N = 09 с ',) и распределение вертикальных смещений на расстоянии га = 7 0 см от источника (подгоночный коэффициент К = 1.22)
г„= 6.5 см со = 0.57с4 , N = 1.05 с"1 , г0 = 6.8 см, ш = 1.11с' , N = 1.26с 1 , и0 = 0 25 см/с К = 0.9. «0=0.25 см/с, Х" = 1
Уме ^ распределение вертикальных смещений на расстоянии г() = 7 0 см от источника одно- и бимодального пучках периодических внутренних волн возбуждаемых горизонтальным диском радиусом Л- 4 см.
Я = 2 см Я = 4 см
Рис 5. Синтезированное изображение картины периодических внутренних волн в жидкости с триодом плавучести Ть =6.98 с Верхняя половина - расчет, метод попихромной карты изолиний, нижняя полотна - жсперимент (и^- 0 09 см/сек, N = 0.9с"1, ш = 063с"';
Картина волн согласуется с расчетами Распределения амплитуд поперек пучка являются подобными и отличаются подгоночным коэффициентом, который меняется н диапазоне от 0.6 до 1 2. Отличие коэффициентом от единицы характеризует степень влияния на характеристики волнового поля других элементов течений (в частности, течений, индуцированных диффузией и краевых кольцевых вихрей).
Рис 6 Центральное сечение волнового конуса над осциллирующем диском Д = 4 см, со = 0 63 с', и0 = 009 см/с, N^0.9 с'
Переход структуры пучка от бимодальной к одномодальной приведен на рис. 6
Результаты экспериментов и расчетов волновых пучков согласуются в области дальних волновых полей с работми (Hurley, Sutherland). Асимптотические методы не позволяют авторам вычислять параметры пограничных слоев
В пятой главе приведены результаты расчетов затухания смещений шара на горизонте нейтральной плавучести в вязкой, экспоненциально стратифицированной жид-кос 1 и В силу своей сложности, задачи о самосогласованном движении тела и излучаемых им волн изучаются в приближении идеальной жидкости (Сре1еиский, Нестеров, Разумеенко, Larsen, Lay) В эксперименте наряду с волнами пограничным слоем и спут-ным следом наблюдаются специфические автокумулятивные струи (Чатечкин, Левицкий), что указывает на влияние вязкости не только вблизи гела.
С учетом цилиндрической симметрии возмущений уравнения движения (1) приводятся к системе интегро-дифференциальных уравнений и граничных условий
■Ни-Ню
v,(r,z,/)= J J/(*. к, 0в*7-0(кг>йс <ifc, r0=JVi,
-х> 0
д2(Г ёТ2
цг+ у + е
X
1 9Г
^Л^сц/'х)2
Ц> = 0
= 0
Чг,о=0' Иг=0=0
для безразмерных переменных
уД
. Р"
Ш
б -
у =—, т-м, ? = /ог, г| = к/?,
/
ЛЖ •
Основное приближенное решение системы (14) отыскивается методом многих масштабов и представляется в виде
)
-МГ,)^]!^, Г1, Г,) А&л) СО5(2М ^ *
(15)
а) эксперимент N = 0.63 с"',
Л = 2.25 см, теория: Л^ = 0.7с', а = 0.12.
б) эксперимент • N 0.47 г ,
Л = 1.55 СМ) теория Ы = 0А6с'[, о = 0 136.
Рис 7 Сравнение теории (сплошная линия) и эксперимента (точки) для свободных колебаний шара на горизонте нейтральной плавучести
В (15) функции Бесселя Jг|í(T()) описывают колебательные части смешения сферы, а функции - затухание гармоники /гИ^о)- Степени вязкою затухания отдельных гармопик в общем случае не совпадают, т.к. определяются результатом интегрирования при различных значениях индекса к .
Коэффициенты аи при таком подходе остаются свободными и определяются из опытов Экспериментальные кривые, приведенные на рис 7 достаточно хорошо описываются первым членом ряда (16), при этом коэффициент а лежит в диапазоне от О 09 до 0 12 при всех значениях диамехра шара (3 1,4 5, 6.7 см), частоты плавучести и высоты начального положения .
В заключении приведены основные ре*ультаты
1 Развита методика построения полного решения линеаризованной задачи излучения фехмерных периодических внутреппих волн в вязкой, экспоненциально стратифицированной жидкости осциллирующей частью плоскости. При расчете возмущений учитываются все корни дисперсионного уравнения, как регулярные по вязкости, так и сингулярные Построенные решения точно удовлетворяют граничным условиям и не содержат эмпирических параметров.
2 Впервые установлено сложная структура периодического пограничного слоя на осциллирующей наклонной плоскости. На поверхности формируется периодический (стоксов) и внутренний пограничные слои с различными собственными масштабами
3 Асимптотическими методами выполнен анализ структуры полей трехмерных периодических внутренних воле, излучаемых источниками различною типа (фрикционным. поршневым и составным) Определены энергетическая эффективность излучателей, закономерности пространственного затухания поля внутренних волн, условие перестройки его модальной структуры
4. Построено точное решение линеаризованной задачи генерации волн горизонтальным диском, осциллирующим в вертикальном направлении Рассчитаны поля скоростей и силы, действующие на излучатель
(16)
5 Проведены лабораюрные измерения пространственно - временной структуры волновых пучков, возбуждаемых горизонтальным диском, осциллирующем в вертикальном направлении в непрерывно стратифицированной жидкости.
6 Проведенные эксперименты показывают, что теория правильно описывает картину возмущений Количественно согласие измеренных и рассчитанных распределений смещений поперек пучка достигается введением одного коэффициента, значения которого лежат в диапазоне от 0.6 до 1 2 Отличие коэффициента от единицы связано с влиянием вихревого движения на кромках излучателя, присутствующего в экспериментах
7 Получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания шара, уравновешенного на горизонте нейтральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной. В линейном приближении рассчитаны параметры движения шара Результаты проведенных опытов удовлетворительпо согласуются с расчетами
Публикации по теме диссерчании
1 Чашечкин Ю. Д.,. Васильев А. Ю, Бардаков Р.Н Тонкая структура пучков трехмерных периодических внутренних волн//Доклады АН, 2004 Т 3 № 397. С 404 - 407
2 Чашечкип Ю Д , Васильев А.Ю. Генерация трехмерных периодических внутренних волн компактными источниками // Доклады АН 2004. Том 394. № 5. С 1-5
3 Vasiliev A.Yu. The Comparative Analysis of Relative Efficiency of Different 3D Periodic Internal Waves Sources // Selected Papers of the International conference "Fluxes and Structures in Fluids" St. Petersburg. Russia June 23 - 26 2003 Moscow IPM RAS 2004 P 200 - 205
4 Васильев А.Ю, Чашечкин Ю.Д Генерация пучков трехмерных периодических внутренних воли в экспоненциально стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика Том 67. Вып. 3. 2003. С. 442 - 452.
5 Kistovich Yu.V , Vasiliev A.Yu. Linear Generation Theory of 3D Periodic Internal Waves in a Viscous Stratified Fluid // International conference "Fluxes and Structures in Fluids" Selected papers. Moscow: IPM RAS. 2002. P. 113 - 118.
6 Чашечкин Ю.Д., Васильев А.Ю., Ильиных Ю.С. Структура периодических движений в непрерывно с [ратифицированной жидкости // Преприш № 712 ИПМех РАН 2002 50 с.
7 Васильев А Ю Периодические внутренние волны и семейства пограничных слоев: точные решения и лабораторный эксперимент // IV Всероссийская научая конференция "Физические проблемы «ологии (эколо! ическая физика)" 22-24 июня 2004 1езисы. С. 140.
8 Бардаков Р Н , Васильев А Ю Визуализация тонкой структуры периодических и присоединенных внутренних волн // Всероссийская конференция приуроченная к 85
летию академика Л В. Освяникова "Новые математические модели в механики сплошных сред'построение и изучение" 10-14 мая 2004. Новосибирск Тезисы С 23.
9 Васильев А Ю Генерация трехмерных периодических внутренних волн компакь ными источниками // "Не-За-Те-Ги-Ус" 2004. 15 21 февраля
10 Y D Chashechkin, A Yu Vasihev 3D compact oscillating sources on slopping plane in a continuously stratified incompressible fluid' extension of the classics Stokes' problem // EGU General Assembly 2004. Vol. 6. № LGU-04-A-02753
11 R. N Bardakov, Y. D Chashechkin, A. Yu. Vasiliev Regular and singular components of 3D periodic internal wave beams // EGU General Assembly 2004, Vol 6. № FGU-04-A-03589. 2004.
12 A Yu Vasiliev The comparative analysis of different 3D periodic internal waves sources relative efficiency // International conference "Fluxes and Structures in Fluid" 2003 Abstracts PP. 148 - 149. SPb
13 D A Logvinov, A. Yu Vasihev 3D periodic internal waves experimental and theoretical investigations in continuously stratified fluid // International confcrencc "Fluxes and Structures in Fluid" 2003. Abstracts P 148-149 SPb.
14. Yu D Chashechkin, A Yu Vasiliev Generation of 3D periodic internal wave beams'theory and laboratory experiment // XXVII General Assembly of the European Geophysical Society. 2002. Abstracts. Nice Franco. № 0AQ26
16 17
Генерация трехмерных периодических внутренних волн и пофаничных слое* в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости
Ввсильев Алексей Юрьевич
Подписано в печать 14 марта Заказ 3 - 2005 Тираж 100 экз
Отпечатано на ризографе, ИЛМех РАН 117526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.
А. Ю Васильев Точное решение задачи генерации 3D периодических внутренних волн в экспоненциально - стратифицированной жидкости // Юбилейная Всероссийская научная конференция "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы". 30 октября - 1 ноября 2002. Тезисы. С. 13 - 14. Москва. Yu. V Kistovich, A Yu. Vasiliev Linear Generation Theory of 3D Periodic Internal Waves in a Viscous Stratified Fluid II International conference "Fluxes and Structures in Fluids". Moscow. Abstracts 2001. P. 103.
Васильев А. Ю., Чагаечкин Ю. Д. Излучение пучков трехмерных периодических внутренних г.омт четочниками различного типа // Прикладная математика и техническая физика. 2005. (направлена в печать).
-3535
РНБ Русский фонд
2006z4 5810
Введение.
Глава 1. Расчеты и наблюдения периодических внутренних волн (обзор).
1.1. Наблюдения волн в лабораторных и природных условиях.
1.2. Теоретические и лабораторные исследования периодических внутренних волн.
1.3.Монохроматические внутренние волны.
1.4. Генерация волн свободно осциллирующими телами на горизонтах нейтральной плавучести.
Глава 2. Уравнения движения и методы расчета генерации пучков трехмерных внутренних волн при вынужденных колебаниях источника.
2.1. Приближение несжимаемой жидкости.
2.2. Постановка задачи.
2.3. Построение полного решения.
2.4. Решения дисперсионного уравнения, их поведение в предельных случаях.
2.5. Особенности решения на критических углах.
Глава 3 Анализ свойств решения задачи генерации трехмерных периодических движений источниками различного типа.
3.1. Фрикционный источник
3.1.1. Прямоугольник, совершающей прямолинейные осцилляции в своей плоскости.
3.1.2. Осциллирующие вдоль своей плоскости диск и эллипс.
3.2. Поршневой источник.
3.2.1. Прямоугольник, совершающей прямолинейные осцилляции по нормали к своей плоскости.
3.2.2. Осциллирующие по нормали к поверхности диск и эллипс.
3.3. Составной источник.
3.4. Сравнительный анализ свойств различных источников трехмерных периодических внутренних волн.
3.5. Излучение волн горизонтальным диском, осциллирующим в вертикальном направлении (точное решение).
3.6. Энергетика излучателей.
Глава 4. Сопоставление результатов расчетов и данных лабораторных экспериментов
4.1. Методика лабораторных исследований генерации трехмерных периодических внутренних волн.
4.2. Визуализация и измерения параметров пучков трехмерных периодических внутренних волн.
4.3. Сравнение результатов расчетов и данных лабораторных экспериментов.
4.4. Расчет картины течений и сравнение с данными визуализации.
Глава 5 Свободные колебания уравновешенных тел на горизонте нейтральной плавучести в непрерывно стратифицированной жидкости.
5.1. Расчет траектории движения свободного шара смещенного с горизонта нейтральной плавучести в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости.
Актуальность темы.
Первые проявления эффектов плавучести в динамики жидкостей были замечены в конце 18 и середине 19 веков [1, 2]. Теоретические исследования течений непрерывно стратифицированных жидкостей начались гораздо позже. Введение такого фундаментального понятия, как частота плавучести, потребовало усилий многих ученых [3-8]. В начале 20 века была установлена связь между стратификацией и явлением "мертвой воды" [13]. В середине 20 века выявлено орографическое волнообразование в метеорологии, идентифицированы крупные внутренние волны в толще океана и атмосфере Земли [12, 18]. Изучение зарождения, эволюции и взаимодействия различных форм движения в природных системах стало одной их основных задач геофизической гидродинамики и механики жидкостей.
В настоящее время интерес к теории внутренних волн обусловлен внутренней логикой развития гидродинамики и необходимостью разработки более эффективных методов описания состояния и прогноза эволюции окружающей среды. В связи с ростом ущерба от катастрофических природных явлений (сильных штормов, ураганов, землетрясений, цунами), особую актуальность приобрели исследования динамики формирования крупных волн и вихрей. Одной из задач является поиск индикаторов локализации областей генерации волн большой амплитуды, их размаха и направления распространения. К числу "маркеров", индицирующих взрывы, землетрясений и цунами, относятся внутренние волны в океане и атмосфере.
Математические проблемы в теории внутренних волн в значительной степени обусловлены сложностью определяющих уравнений. Анизотропия и дисперсия внутренних волн выделяют их из класса основных волновых движений (звуковых или световых волн). Энергия такими волнами передается с групповой скоростью не по нормали к поверхностям постоянной фазы - гребням и впадинам волн, а вдоль них.
Большое число работ посвящено изучению внутренних волн в толще идеальной жидкости. Учет эффектов вязкости существенно усложняет описание процессов генерации и распространения волн. Теория внутренних волн развивается как в нашей стране [37-40, 67-72], так и за рубежом [5, 12, 9, 11, 35, 41]. Однако ряд ключевых вопросов, включающих анализ задач возбуждения, распространения, затухания волн, их взаимодействия друг с другом и другими формами движений, остается открытым.
Особо следует выделить задачи движения свободных тел нейтральной плавучести в толще жидкости. В большинстве исследований анализируются только собственные колебания свободных тел, в качестве теоретической модели обычно используют модель физического маятника, с учетом присоединенных масс, моментов и обобщенных сил. В этих работах не учитывается влияние диссипативных факторов (вязкости, диффузии), с которыми также могут быть связаны особые структурные элементы течения. Новые экспериментальные данные требуют более полного рассмотрения задач динамики тел в жидкости.
В целом более полное решение уравнений внутренних волн необходимы также для улучшения прогноза изменчивости окружающей среды, минимизации антропогенного воздействия, решения фундаментальных и прикладных проблем.
Цель работы. Целью работы является:
Развитие методики построения точного решения полностью линеаризованной задачи генерации трехмерных периодических внутренних волн частью плоскости с учетом эффектов вязкости, не требующей введения дополнительных эмпирических параметров;
Расчет параметров пучков трехмерных периодических внутренних волн источниками различного типа, сравнение с результатами визуализации и измерений волн в лабораторных условиях;
Анализ свободных колебаний уравновешенного шара на горизонте нейтральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости;
Методы исследований.
В аналитических исследованиях использованы методы интегральных преобразований, многомерного анализа Фурье, теории функций комплексного переменного, асимптотических вычислений, а также методы вычислительной математики. Полученные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных экспериментов, с применением оптических теневых и контактных методов измерений периодических внутренних волн.
Научная новизна.
В работе впервые получены следующие результаты:
Осуществлена постановка и построено решение полностью линеаризованной задачи генерации трехмерных периодических внутренних волн в вязкой, непрерывно стратифицированной жидкости, обеспечено точное выполнение всех граничных условий;
Впервые установлено сложная структура периодического пограничного слоя на осциллирующей наклонной плоскости. На поверхности формируется периодический (стоксов) и внутренний пограничные слои с различными собственными масштабами.
Проведен расчет пучков трехмерных волн и пограничных течений, возбуждаемых излучателями различного типа (фрикционный, поршневой и составной) прямоугольной или эллиптической формы, использующихся в физическом эксперименте; определены условия перестройки структуры волнового поля;
Построено аналитическое решение задачи о колебаниях свободного шара на горизонте нейтральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости;
Проведена визуализация и измерения структуры конических пучков периодических внутренних волн в лабораторном бассейне;
Определены границы применимости линейного приближения, идентифицированы наиболее эффективные источники внутренних волн по результатам детального сравнения решений с данными лабораторных экспериментов.
Достоверность полученных результатов достигается использованием классических математических методов построения полного семейства решений, удовлетворяющих уравнениям и граничным условиям; согласованностью полученных результатов с известными приближенными решениями в областях их применимости и данными лабораторных экспериментов.
Научная и практическая значимость. Работа выполнялась в рамках плановых тем и проектов, входящих в Межсекционную программу ОЭММПУ РАН "Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий", Федеральную целевую программу "Мировой океан" (по контракту с Минпромнауки России), в Федеральную целевую программу "Интеграция" (по контракту с Минобразования России, грант Я0058), РФФИ (грант 02-05-65383).
Методика построения полных точных решений линеаризованных уравнений движения стратифицированных сред позволяет исследовать динамику волн со сложным законом дисперсии и проводить сравнения с независимо выполненными экспериментальными исследованиями в лабораторных и природных условиях.
Полученные результаты могут быть использованы для построения аналитических моделей возбуждения и нелинейного взаимодействия коротких внутренних волн в средах со сложным законом распределения плотности, при разработке алгоритмов численного моделирования природных процессов, протекающих в атмосфере и океане, разработке алгоритмов идентификации источников волн и расчета их параметров, в частности, при распространении внутренних волн большой амплитуды и формировании тонкой структуры непрерывно стратифицированной среды, которая, в свою очередь, существенно влияет на перенос вещества и энергии.
Результаты работы вошли в учебное пособие и методические указания лабораторного спецкурса физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
На защиту выносятся: методика расчета генерации трехмерных монохроматических внутренних волн и сопутствующих пограничных течений в вязкой, непрерывно стратифицированной жидкости компактными источниками; решения линейных задач генерации периодических внутренних волн источниками различного вида, результаты анализа их эффективности; моделирование колебаний свободного шара нейтральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости; сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными, оценка границ применимости полученных решений.
Апробация работы:
Основные результаты были представлены на XIX Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, 2002); I Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Ницца, 2004); Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы" (Москва, МГУ, 2002 г); IV Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии (экологическая физика) (Москва, МГУ, 2004); Всероссийской конференции приуроченной к 85 - летию академика JI.B. Освяникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", (Новосибирск, 2004); на международных конференциях: "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001, Санкт-Петербург, 2003); "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Моск. обл., 2004); на объединенном семинаре "Динамика природных систем" (ИПМех РАН, 2002, 2005).
Публикации: По результатам работы опубликованы пять статей, препринт, тезисы одиннадцати докладов на конференциях, одна статья представлена в печать.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты работы:
1. Развита методика построения полного решения линеаризованной задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн в вязкой, экспоненциально стратифицированной жидкости осциллирующей частью плоскости. При расчете возмущений учитываются все корни дисперсионного уравнения, как регулярные по вязкости, так и сингулярные. Построенные решения точно удовлетворяют граничным условиям и не содержат эмпирических параметров.
2. Впервые установлено сложная структура периодического пограничного слоя на осциллирующей наклонной плоскости. На поверхности формируется периодический (стоксов) и внутренний пограничные слои с различными собственными масштабами.
3. Асимптотическими методами выполнен анализ структуры полей трехмерных периодических внутренних волн, излучаемых источниками различного типа (фрикционным, поршневым и составным). Определены энергетическая эффективность излучателей, закономерности пространственного затухания поля внутренних волн, условие перестройки его модальной структуры.
4. Построено точное решение линеаризованной задачи генерации волн горизонтальным диском, осциллирующим в вертикальном направлении. Рассчитаны поля скоростей и силы, действующие на излучатель.
5. Проведены лабораторные измерения пространственно - временной структуры волновых пучков, возбуждаемых горизонтальным диском, осциллирующем в вертикальном направлении в непрерывно стратифицированной жидкости.
6. Проведенные эксперименты показывают, что теория правильно описывает картину возмущений. Количественно согласие измеренных и рассчитанных распределений смещений поперек пучка достигается введением одного коэффициента, значения которого лежат в диапазоне от 0.6 до 1.2. Отличие коэффициента от единицы связано с влиянием вихревого движения на кромках излучателя, присутствующего в экспериментах.
Получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания шара, уравновешенного на горизонте нейтральной плавучести в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости. В линейном приближении рассчитаны параметры движения шара. Результаты проведенных опытов удовлетворительно согласуются с расчетами.
БЛАГОДАРНОСТИ
Автор выражает благодарность своему научному руководителю Ю.Д. Чашечкину, научному консультанту А.В. Кистовичу, сотрудникам лаборатории механики жидкостей ИПМех РАН: с.н.с., к.ф.-м.н. В.Г. Байдулову за многочисленные консультации, с.н.с., к.ф.-м.н. В.В. Левицкому, с.н.с., д.ф.-м.н. В.В. Миткину, м.н.с. Ю.В. Приходько, с.н.с., к.т.н. Ю.С. Ильиных за предоставления результатов и обсуждения экспериментов.
Особо следует отметить огромное влияние и вклад [Ю.В. Кистовича|, внезапная смерть которого прервала плодотворную совместную работу.
1. Franklin В. Behavior of oil on water. Letter to John Pringle // Experimental and observations on electricity. London. 1769. P 142-144.
2. Jevons W. S. On the cirrous form of clouds. // London, Edinburgh Dublin Philos. Mag. Jour. Sci. 1857. 4th.Ser. V. 14. P. 22-35.
3. Rayleigh, Lord. Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density // Proc. Lond. Math. Soc. 1883. V. 14. P 170-177.
4. Love A. E. H. Wave motion in heterogeneous heavy liquid // Proc. Lond. Math. Soc. 1891 V. XXII. P. 307-316.
5. Lamb H. On the theory of waves propagated vertically in the atmosphere // Proc. London Math. Soc. 1909. Part II. V. 7. P. 122-141.
6. Lamb H. On atmospheric oscillations // Proc. Roy. Soc. 1910. V. 84. P. 551-571.
7. Brunt D. The periodic of simple vertical oscillation in the atmosphere // Quart. Jour. Roy. Meteo. Soc. 1927. V. 53 P. 30-32.
8. Vaisala V. Uber die Wirkung der Windschwankunger auf die Pilotbeobah-tungen // Soc. Scient. Fennica. Com. Phys.-Math. 1925. V. II. 19. P. 1-46.
9. Gorrtler Von H. Uber eine Schwingungserscheinung in Fltissigkeiten mit stabiler Dichtcshichtung. // Zeitschrift fur angewandte mathematik und mechanic. 1943 B. 23. H. 2. S. 65-72.
10. Лайтхилл Дж. Волны в Жидкости. М: Мир. 1981. 598 с.
11. Ekman, V.W. "On dead water". In: Scientific Results of the Norwegian North Polar expedition 1893-1896. 1904. V. 15, 150 p.
12. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны. M.: Наука. 1985. 152 с.
13. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. СПб.: Гидрометео-изд. 1992. 272 с.
14. Konyaev, K.V., Sabinin, K.D., Serebryany, A.N. Large amplitude internal waves at the Mascaren Ridge in the Indian Ocean. // Deep-Sea Res. 1995. V. 42 (11/12), P. 2075-2091.
15. Скорер P. Аэрогидродинамика окружающей среды. M.: Мир. 1980. 549 с.
16. Кожевников В.Н. Возмущения атмосферы при обтекании гор. М.: Научный мир. 1999. 160 с.
17. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. М.: Мир. 1969. 258 с.
18. Григорьев Г.И. Акустико-гравитационные волны в атмосфере Земли (обзор)//Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т. 17. № 1. С.З -25.
19. Zhang S.D., Yi F. A numerical study of propagation characteristics of gravity wave packets propagating in a dissipative atmosphere // J. Geo-phys. Res. 2002. V. 107. D. 14. P. 1 9.
20. Frits D.C., Alexander M.G. Gravity waves dynamics and effects in the middle atmosphere // Reviews of Geophys. 2003. V. 41. №. 1. P. 1 64.
21. Перцев H.H., Шалимов С.Л. Генерация атмосферных гравитационных волн в сейсмически активным регионе и их влияние на ионосферу // Геомагнетизм и аэрономия. 1996. Т. 36. С. 111 118.
22. Андреева Е.С., Гохберг М.Б., Куницын В.Е., Терещенко Е.Д., Худу-кон Б.З., Шалимов С.Л. Радиотомографическая регистрация возмущений ионосфере от наземных взрывов // Косм. иссл. 2001. Т. 39. № 1. С. 13-17.
23. Gortler Н. Uber eine Schwingungsersheinung in Flussigkeiten mit stabiler Dichteshichtung // Z. angew Math. Mech. 1943. B.23 H.2 S.65-71.
24. Mowbray, D.E., Rarity, B.S.H. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in density stratified liquid // Jour, of Fluid Mech. 1967. V. 28, P. 1-16.
25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Физматлит. 2003. С. 736.
26. Городцов В.А. О слоистых структурах на конечной стадии вырождения турбулентности в стратифицированных жидкостях// Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 4. С. 69 76.
27. Takanori Uchida, Yuji Ohya, Numerical simulation of atmospheric flow over complex terrain// J. of Wind engineering and Industrial Aerodynamics. 1999. V. 81. P. 283-293.
28. Gordon, D., Klement, U.R., Stevenson T.N. A viscous internal wave in a stratified fluid whose buoyancy frequency varies with altitude. // Journal of Fluid Mech. 1975. V. 69(3). P. 615-624.
29. Stevenson, T.N., Bearon, J.N., Thomas, N.H. A internal wave in a viscous heat-conducting isothermal atmosphere. // J. Fluid Mech. 1974. V. 65(2). P. 315-323.
30. Stevenson, T.N., Woodhead, T.J., Kanellopulos, D. Viscous effects in some internal waves. //Appl. Sci. Res. 1983. V. 40. P. 185-197.
31. Hurley, D.G. A general method for solving steady-state internal gravity wave problems. // J. Fluid Mech. 1972. V. 56. P. 721.
32. Hurley, D.G. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 1. Inviscid solution. //J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 105-118.
33. Hurley, D.G., Keady, G. J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 2. Approximate viscous solution. // J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 119-138
34. Appleby, J.C., Crighton, D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere. // J. Fluid Mech. 1987. V. 183. P. 439-450.
35. Габов С.А., Свешников, А.Г. Линейные Задачи Теории Нестационарных Внутренних Волн. М.: Наука, 1990. 343 с.
36. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Линейные внутренние волны в экспоненциально стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости // Препринт ИПМ АН СССР. № 114. 1978. 38 С.
37. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Излучение внутренних волн при периодическом движении источников // Журнал прикладной механики и технической физики. 1983. № 4. С. 81 88.
38. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Энергетика генераторов гармонических внутренних волн // Журнал прикладной механики и технической физики. 1986. № 4. С. 53 60
39. Voisin В. Limit states of internal wave beams // J. Fluid Mech. (2003), vol. 496, pp. 243-293. 2003
40. Maas L.R.M., Lam F.P.A. Geometric focusing of internal waves // J. Fluid. Mech. 1995. V. 300. P. 1-41.
41. Manders A. Internal waves patterns in enclosed density-stratified and rotating fluids // PhD Thesis. 2003. Utrecht University. P. 144
42. Иванов, A.B. Генерация внутренних волн осциллирующим источником. // Изв. АН СССР Физ. атмосферы и океана. 1989. Т. 25. № 1. С. 84-89.
43. Макаров, С.А., Неклюдов, В.И., Чашечкин, Ю.Д. Пространственная структура пучков двумерных монохроматических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости. // Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана 1990. Т. 26. № 7. С. 744-754.
44. Sarma, L.V.K.V., Krishna, D.V. Oscillation of axisymmetric bodies in a stratified fluid. //Zastosow. Matem. 1972. V. 13. P. 109-120.
45. Sarma, L.V.K.V., Naydu K.B. Source in a rotating stratified fluid // Acta Mechanica 1972. V. 13. P. 21 29.
46. Hendershott, M.C. Impulsively started oscillations in a rotating stratified fluid. //J.FluidMech. 1969. V. 36. P. 513-527.
47. Peters F. Schlieren interferometer applied to a gravity wave in a density-stratified liquid // Experiments in Fluids. 1985. V. 3 P. 261-296
48. Sutherland B.R. Finite-amplitude internal wavepacket dispersion and breaking // J. Fluid Mech. 2001. V. 429. P. 343-380
49. Flynn M.R., Kristjan Onu, Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere I I J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 65-93.
50. Sutherland B.R., Dalziel S.B., Hughes G.O., Linden P.F. Visualization and measurement of internal waves by 'synthetic schlieren'. Part 1. Vertically oscillating cylinder// J. Fluid Mechanics. 1999. V. 390. P.93 -126
51. Васильев Теневые методы. M.: Наука. 1968. 400 с.
52. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 576 с.
53. Phillips О.М. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid. Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 435-443.
54. Wunsh C. On oceanic boundary mixing. Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 293-301.
55. Кистович, A.B., Чашечкин, Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде. // Доклады АН. 1992. Т. 325. № 4. С. 833-837.
56. Байдулов, В.Г., Чашечкин, Ю.Д. Пограничное течение, индуцированное диффузией около неподвижного горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 32. № 6. С. 818-823.
57. Chashechkin Yu.D. Schlieren Visualization of a Stratified Flow around a Cylinder// J. Of Visualization. 1999. V.l No. 4. P. 345-354.
58. LeBlond P.H. On the damping of internal gravity waves in a continuously stratified ocean // J. Fluid Mech. 1966. V. 25. Part 1. P. 121-142.
59. Dore B.D. Oscillations in a non-homogeneous viscous fluid // Tellus. 1968. V. 20. №3. P. 514-523
60. Johns B. The damping of gravity waves of shallow water by energy dissipation in a turbulent boundary layer // Tellus. 1968. V. 20. № 2. P 330337.
61. Kelly R.E., Redekop L.G. the development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part I. Non-diffusive flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. Part .3. P. 497-511.
62. Redekop L.G. the development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part II. Diffusive flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. Part 3. P. 513525
63. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Отражение пакетов внутренних волн в вязкой жидкости от плоской жесткой поверхности // Известия АН, Физика Атмосферы и Океана. 1994. Т. 30. № 6. С 752-758.
64. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Отражение пучков внутренних гравитационных волн от плоской жесткой поверхности // Доклады АН. 1994. Т. 337. №3. С. 401-404
65. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Отражение пучков внутренних гравитационных волн от плоской жесткой поверхности // Прикладная математика и механика. 1995. Том 59. Вып. 4. С. 607-613.
66. Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В. Геометрия и энергетика пучков внутренних волн // Доклады АН. 1995. Т. 344. № 5. С. 684-686.
67. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д Линейная теория пучков гармонических внутренних волн в произвольно стратифицированной жидкости с учетом эффектов вязкости и диффузии: Препринт № 570. М.: Ин-т проблем механики РАН. 1996. 44 с.
68. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Геометрия и энергетика пучков внутренних волн // Известия АН, Физика Атмосферы и Океана. 1997. Т. 33. № 1.С. 41-47.
69. Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В. Задача генерации монохроматических внутренних волн: точное решение и модель силовых источников"// Доклады АН. 1997. Т. 355. № 1. С. 54 57.
70. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Локализованные и объемные внутренние волны в стратифицированной жидкости, граничащей с перемешанным слоем // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып.2. С. 257-262.
71. Кистович Ю. В., Чашечкин Ю. Д. Линейная теория распространения пучков внутренних волн в произвольно стратифицированной жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39. № 5. С. 88-98.
72. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Гармонические внутренние волны и внутренние пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости: Препринт № 609. М.: ИПМ РАН. 1998. 112 с
73. Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В. Монохроматические внутренние волны в произвольно стратифицированной вязкой жидкости // Доклады АН. 1998. Т. 359. № 1. С. 112-115.
74. Ильиных Ю.С., Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Сравнение точного решения одной задачи возбуждения периодических внутренних волн с экспериментом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. №5. С. 649-655.
75. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // Прикладная механики и техническая физика. 1999. Т. 40. № 6. С. 31 40.
76. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Нелинейная генерация периодических внутренних волн пограничным течением на вращающемся осе-симметричном теле // Доклады АН. 1999. Т. 367. № 5. С. 636 639.
77. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Точное решение одной линеаризованной задачи излучения монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // Прикладная математика и механика. 1999. Т.63. Вып. 4. С. 611-619.
78. Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В., Ильиных Ю.С. Экспериментальное исследование генерации внутренних волн пограничным течением на вращающемся диске // Доклады РАН. 2000. Т. 375. № 3. С. 338 342.
79. Chashechkin Y. D., Kistovich Yu.V., Smirnov S.A., Linear generation theory of 2D and 3D periodic internal waves in a viscous stratified fluid // Environmetrics. 2000. V. 12. P. 57 80.
80. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Внутренние волны, вязкие пограничные слои и внутренние пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Препринт № 674. М.: ИПМ РАН. 2001. 156 с.
81. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Излучение внутренних волн колеблющейся полосой конечной ширины // Доклады РАН 2001. Т. 380. № 1.С. 51-55.
82. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т.42. №. 1. С. 52 61.
83. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Перенос вещества и силовое воздействие пучка двумерных периодических внутренних волн // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 2. С. 244 250.
84. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Новый механизм нелинейной генерации внутренних волн // Доклады АН. 2002 Т. 382. № 6. С. 772 776.
85. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. New-York.: John Willey and Sons. 1974. 636 p.
86. Стретенский Jl.H. Теория волновых движений. М.: Наука. 1977. 815 с.
87. Алкуленко Л.Д., Михайлов С.А., Нестеров С.В., Чайковский А.А. Внешняя задача гидродинамики двухслойной жидкости и колебания твердого тела // Препринт № 314. М. ИПМех РАН. 1987. 75 с.
88. Пыльнев Ю.В., Разумеенко Ю.В. Исследования затухающих колебаний глубоко погруженного поплавка специальной формы в однородной и стратифицированной жидкости. // Изв. АН СССР. МТТ: 1991. №4. С. 71-79.
89. Larsen L. Н. Oscillations of a neutrally buoyant sphere in a stratified fluid. // Deep Sea Recearch. 1969. V. 16. №6. P. 587 603.
90. Lai R.Y.S., Lee C.-M. Added mass of a spheroid oscillating in a linearly stratified fluid. //Int. J. Engng. Sci. 1981. V. 19. № 11. P. 1411 1420.
91. Summerhayes C.P., Thorpe S.A., Oceanography. An Illustrated Guide. Southhampton: Manson Publ. 1996. 352 p
92. Project "Argo ''lutp://www.argo.ucsd.edu/.
93. Чашечкин Ю.Д., Левицкий B.B. Гидродинамика свободных колебаний сферы на горизонте нейтральной плавучести в непрерывно стратифицированной жидкости // Доклады АН. 1999. Т. 364. № 1. С. 52 -56.
94. В.В. Левицкий, Ю.Д. Чашечкин. Свободные колебания тела нейтральной плавучести в непрерывно стратифицированной жидкости. // Механика жидкости и газа. 1999. №5. С. 39-52.
95. Chashechkin Yu.D., Levitskiy V.V. Pattern of Flow around a Sphere Oscillating on Neutrally Buoyancy Horizon in a Continuously Stratified Fluid //Journal of Visualization. 2003. V. 6. No. 1. P. 59-65.
96. Holm D.D., Kimura Y. Zero-helicity Lagrangian kinematics of three-dimensional advection // Phys. Fluids. 1991. V. A3. № 5. P. 10331038.
97. Nayfeh A. H. Introduction to Perturbation Techniques. N. Y., etc.: Wiley, 1981.
98. McEwan A.D., Interaction between internal gravity waves and their traumatic effect on continuous stratification // Boundary Layer Meteorology. 1973. №5. P. 159-175
99. Чашечкин Ю.Д., Васильев А.Ю., Ильиных Ю.С. Структура периодических движений в непрерывно стратифицированной жидкости // Препринт № 712. ИПМ РАН. 2002. 50 с.
100. Oster G. Density gradients // Sci. American. 1965. V. 217. P. 70 -81.
101. Смирнов С.А., Чашечкин Ю.Д., Ильиных Ю.С. Высокоточный метод измерения профиля периода плавучести // Измерительная техника. 1998. №6. С. 15-18.
102. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Диссипативно-гравитационные волны в докритических режимах многокомпонентной конвекции //Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. № 4. С. 513-519.
103. Давыдова М.А., Чашечкин Ю. Д. Структура трехмерных периодических пограничных слоев в непрерывно стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 437-444
104. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 832 с.
105. Бородай И.К. и др. (5 авторов) Прикладные задачи динамики судов на волнении. 1989. J1. Судостроение. 262 с.
106. Чашечкин Ю.Д., Кистович А.В. Расчет структуры периодических течений в непрерывно стратифицированной жидкости с учетом эффектов диффузии // Доклады АН. 2003. Т. 393. № 6. С. 776-780.
107. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Т. I. II.
108. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука 1977. 832 с.1. Список публикаций автора.
109. Чашечкин Ю. Д.,. Васильев А. Ю, Бардаков Р.Н. Тонкая структура пучков трехмерных периодических внутренних волн // Доклады АН. 2004. Т. 3. № 397. С. 403 407
110. Чашечкин Ю.Д., Васильев А.Ю. Генерация трехмерных периодических внутренних волн компактными источниками // Доклады АН. 2004. Том 394. № 5. С.1 5.
111. Васильев А.Ю., Чашечкин Ю.Д. Генерация пучков трехмерных периодических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости И Прикладная математика и механика Том 67. Вып. 3. 2003 С. 442-452.
112. Kistovich Yu.V., Vasiliev A.Yu. Linear Generation Theory of 3D Periodic Internal Waves in a Viscous Stratified Fluid // International conference "Fluxes and Structures in Fluids" Selected papers. Moscow: IPM RAS, 2002. P. 113-118.
113. Чашечкин Ю.Д., Васильев А.Ю., Ильиных Ю.С. Структура периодических движений в непрерывно стратифицированной жидкости // Препринт № 712. ИПМ РАН. 2002. 50 с
