Общие свойства и тонкая структура течений непрерывно стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

/ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

БАЙДУЛОВ ВАСИЛИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ТОНКАЯ СТРУКТУРА ТЕЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ю.Д. Чашечкин

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение....................................................................................................................................3

Глава 1. Методы теоретико-группового анализа уравнений движения

стратифицированных сред....................................................................................13

1.1. Системы уравнений движения задач многокомпонентной конвекции.....................13

1.2. Общие сведения из теории групп. Использование методов компьютерной алгебры в задачах нахождения групп симметрий

систем дифференциальных уравнений в частных производных................................18

Глава 2. Инвариантные свойства систем уравнений

термогидромеханики неоднородных жидкостей................................................23

2.1. Группы симметрий моделей изотермической непрерывно стратифицированной жидкости.....................................................................................23

2.2. Групповая классификация уравнений многокомпонентнЬй конвекции по виду уравнения состояния с учетом зависимости коэффициентов переноса от термодинамических характеристик.............................37

2.3. Инвариантные решения уравнений изотермической непрерывно стратифицированной жидкости.....................................................................................47

Глава 3. Тонкая структура пограничных течений, индуцированных диффузией на неподвижных препятствиях в линейно стратифицированной жидкости...........................................................................53

3.1. Применение методов теории возмущений к задачам формирования

течений на неподвижных препятствиях.......................................................................53

3.2. Одномерные пограничные течения на наклонной плоскости и в

канале...............................................................................................................................55

3.3. Формирование пограничных течений в окрестности двумерного

(горизонтальный цилиндр) и осесимметричного (сфера) тел....................................65

Глава 4. Динамические и диффузионные эффекты при начале движения тел правильной формы в линейно стратифицированной жидкости.................................................................................................................77

4.1. Использование методов теории возмущений в задачах старта тел............................78

4.2. Установление течения на движущейся плоскости и в наклонном

канале с подвижными стенками....................................................................................80

4.3. Формирование течения при старте горизонтального цилиндра.................................83

4.4. Сопоставление с результатами лабораторного моделирования старта горизонтального цилиндра.............................................................................................88

Заключение............................................................................................................................94

Список литературы..............................................................................................................97

Приложение 1. Программа расчета групп симметрий нестационарных двумерных уравнений движения несжимаемых стратифицированных жидкостей в приближении

Буссинеска.................................................................................................103

Приложение 2. Алгебры Ли и оптимальные подалгебры генераторов групп симметрий уравнений изотермической непрерывно стратифицированной жидкости........................................108

ВВЕДЕНИЕ

Изучение и параметризация процессов переноса и формирования структур океана и атмосферы являются основными задачами гидродинамики окружающей среды. В силу сложности задач надлежащий выбор определяющих физических переменных и математических моделей в значительной степени предопределяет эффективность и адекватность описания природных явлений. В последние 50 лет основные модели динамики окружающей среды базируются на представлении о турбулентном характере течений в стратифицированном океане и атмосфере [31]. Однако, уже в одной из ранних работ Уолтера Манка было показано, что профили вертикальных распределений потенциальной температуры и концентрации некоторых элементов (углерода, радия, кислорода) в Тихом океане не согласуются с рассчитанными по моделям турбулентности, в которые подставляются океанические значения коэффициентов диффузии и скорости подъема вод [76]. Эта работа стимулировала интенсивный поиск дополнительных механизмов переноса в устойчиво стратифицированных океане и атмосфере, результаты которого нашли свое отражение в большом числе статей и книг [31,41,42,47,74]. Важнейшими из дополнительных универсальных механизмов переноса энергии и вещества в океане были признаны специфические пограничные течения, обусловленные диффузией на океанических склонах. Их аналогом в атмосфере служит долинные и горные ветры [38].

Впервые задачу описания течения, индуцируемого диффузией на топографии в устойчиво стратифицированной атмосфере, сформулировал JL Прандтль [35]. Применительно к процессам в океане установившееся течение, возникающее вследствие прерывания естественного потока соли на непроницаемых наклонных границах, рассмотрено в работах [77,85]. В обоих случаях когда задан перепад температуры на наклонной стенке [35] или прерывание потока [77,85] стационарное решение описывает одномас-штабное пограничное течение с подобным распределением всех физических величин. В частности, на наклонной плоскости, погруженной в жидкость с постоянной частотой плавучести N, скорость и и все остальные переменные являются периодическими функциями расстояния от нее г|.

u(r|) = 2ky ctg а ехр(- yr|) sin(yr|), (1)

здесь к - коэффициент диффузии стратифицирующей компоненты (соли), v - коэффи-

•у

циент кинематической вязкости, а - угол наклона плоскости к горизонту, N = g/A -квадрат частоты плавучести, А - масштаб стратификации, у = (N2sin2a/4v k)1/4 - обрат-

ный комбинационный масштаб задачи, который стремится к нулю с уменьшением угла наклона плоскости [77,85]. Объемный поток в этом случае не зависит от стратификации, а скорость при уменьшении утла не стремится тождественно к нулю. В профиле скорости (1) присутствуют противотечения, физическая природа которых не ясна. Эти особенности решений были отмечены авторами, но удовлетворительного объяснения не получили. Качественный эксперимент показал существование течения, индуцируемого диффузией на наклонной боковой стенке в покоящейся жидкости [85].

Стационарные решения задачи о пограничном течении [35,77,85] широко используются для разрешения одного из принципиальных парадоксов прикладной океанографии - несогласованности измеренных значений параметров океанической турбулентности и скорости вертикального (диапикнического) переноса примесей [76]. Пограничные течения на шельфовом склоне (в общем случае турбулентные), эффективно переносят вещество и энергию не только вблизи границ, но, в случае их отрыва, и в толще океана. Аналогия между вращением и стратификацией [83] показывает, что данный тип течений может быть как гравитационного, так и инерционного происхождения [65,78].

На круто падающих склонах (угол наклона которых больше отношения частоты вращения к частоте плавучести) пограничное течение является существенно нестационарным, на что обратили внимание специалисты по физической океанографии [50]. В реальных условиях, помимо течений, индуцированных диффузией, заметную роль в прибрежной океанографии играют взаимодействия с топографией внутренних волн, приливных течений, процессы локального перемешивания и последующего восстановления стратификации [82], а также конвективные течения, возникающие под действием естественных потоков тепла.

В стационарном решении приграничные возмущения плотности генерируют как восходящее (около стенки), так и примыкающее к нему нисходящее течения [66,64]. Детальные аналитические, численные и лабораторные экспериментальные исследования нестационарного пограничного слоя во вращающейся стратифицированной жидкости с учетом диффузии и вязкости выполнены в [73]. Подробный обзор физических механизмов генерации стационарных пограничных течений с учетом эффектов вращения и стратификации, и вытекающие из него океанические приложения содержатся в [67]. Интегральные оценки использующие эффективные значения кинетических коэффициентов (турбулентные вместо молекулярных), дают достаточно большие величины скорости глобального переноса вещества в пограничных океанических течениях, как кон-

вективной, вследствие геотермального нагрева, так и диффузионной природы (на основе моделей [35,77,85] учитывающих прерывание потока вещества в стратифицированной среде на дне океана). Их толщина оценивается в 700 - 900 м, а объемный расход в полосе 15°8 - 10°М составляет от 4 до 8 106м3/с и сопоставим с переносом в глубоководных западных пограничных течениях [81]. Однако, вопросы адекватности стационарного подхода реальным процессам в нестационарном океане остаются открытыми.

Другой механизм дополнительного пограничного переноса предложен в [84]. Он основан на учете неоднородности стратификации или интенсивности турбулентности по глубине. Возникающие дополнительные турбулентные струи обеспечивают достаточно эффективный перенос как в толще жидкости, так и на ее границах. Как и в задаче [35,77,85] рассматривается установившийся режим, эффектами, связанными с вращением Земли пренебрегается.

Нестационарная задача формирования течения около стартующей наклонной плоскости, помещенной в изначально линейно стратифицированную жидкость, рассмотрена в [80]. С помощью преобразования Лапласа построены профили плотности и скорости и проанализировано развитие процесса во времени. Полученные решения описывают одномасштабные квазипериодические по пространству решения, вид которых меняется с удалением от стенки. На больших временах решения [80] согласуются с решением стационарной задачи [35,77,85]. Данные экспериментов по установлению течения около вертикально стартующей пластины удовлетворительно согласуются с асимптотическими расчетами.

Точное аналитическое решение задачи формирования течения, индуцированного диффузией на непроницаемой наклонной плоскости описывает монотонно растущее пограничное течение (без противотечения) с расщепленными масштабами пространственной изменчивости скорости и плотности [18,21,22,]. Решение имеет вид пространственно-временных рядов, для коэффициентов разложения которых приведены рекуррентные соотношения. Данное решение согласуется со всеми известными точными решениями задач теории теплопроводности (у вертикальной и горизонтальной стенки течения не возникают) и является аналитической функцией всех физических параметров задачи. Это решение не имеет стационарного предела и расходится со временем, что указывает на внутреннюю противоречивость задач стратифицированных течений в одномерной постановке.

Таким образом, индуцированное диффузией нестационарное пограничное течение, а также и пограничный слой в непрерывно стратифицированной среде расщепляются на вязкий и диффузионный подслои, отношение квадратов толщин которых пропорционально числу Шмидта - отношению коэффициентов вязкости v и диффузии к (Sc = v/k). Интересно отметить, что в решении [23] расщепляются масштабы изменчивости не только скорости и солености, но и скорости и завихренности (как для барок-линной, так и для динамической компонент).

Многие особенности индуцированных диффузией расщепленных пограничных течений около неоднородностей топографии переносятся при их отрыве в толщу непрерывно стратифицированной жидкости. Эффекты, обусловленные отрывом пограничного течения (расщепление динамического и плотностного следов, формирование высокоградиентных прослоек в ламинарном потоке), наблюдались с помощью цветного теневого метода при обтекании двумерных [44] и трехмерных [39] тел правильной формы. Измерения, выполненные контактными датчиками электропроводности, показали усиление градиентов плотности в спутном течении за цилиндром в 10 -е- 150 раз по сравнению с исходным [12]. Несколько меньшие значения коэффициентов усиления стратификации на прослойках, оконтуривающих плотностной след за сферой, зарегистрированы с помощью узкопольного лазерного теневого прибора [45], пространственное разрешение которого было сравнимо или даже несколько больше толщины высокоградиентной оболочки.

Все эти результаты относятся к однокомпонентной стратифицированной жидкости в поле силы тяжести, когда задача характеризуется только двумя кинетическими коэффициентами (вязкости и диффузии). Реальные среды являются многокомпонентными. В таких средах существенными являются процессы многокомпонентной диффузии (МКД) и термоконцентрационной конвекции (ТКК), которые различаются типом граничных условий (непротекания для МКД и величины потока на границе для ТКК) и, как следствие, типом возникающих структур [24], включающих помимо пограничных течений фронты инжекции.

Нестационарная задача формирования течения около наклонной плоскости в двухкомпонентной среде (сахар/соль), характеризующейся двумя различными коэффициентами диффузии, рассмотрена в [72]. В качестве базиса использована модель многомасштабного одномерного течения вдоль плоскости. При таком рассмотрении задача не имеет стационарного предела. Помимо асимптотических выражений для малых вре-

мен приведены асимптотики больших времен для скорости и возмущений двух стратифицирующих компонент. Приведенная в [72] асимптотика больших времен имеет тот же недостаток, что и решения [35,77,85].

Лабораторные эксперименты показывают, что при наличии двух стратифицирующих компонент с различными коэффициентами диффузии одномерное течение вдоль наклонной плоскости становится неустойчивым и теряет одномерность, в жидкости возникает система конвективных ячеек, которые постепенно продвигаются от границы вглубь невозмущенной жидкости [72]. Аналогичные процессы наблюдаются при распространении теплового фронта (вертикального [32] или наклонного [29]) в непрерывно стратифицированной по солености жидкости. Исследованию этого явления (:термохалинной или термоконцентрационной конвекции) посвящено значительное число экспериментальных, аналитических и численных исследований. Именно с этим процессом во многих случаях связано формирование пространственно упорядоченной тонкой структуры океана - "термохалинной лестницы", состоящей из более толстых однородных слоев, разделенных тонкими высокоградиентными прослойками [41].

Система уравнений термогидромеханики стратифицированных сред сложна для анализа традиционными методами математической физики. Упрощенные модельные системы часто приводят к результатам не согласующимся с данными наблюдений. Одним из эффективных методов анализа систем нелинейных уравнений в частных производных является теоретико-групповой метод [34,33], позволяющий не только изучать общие свойства уравнений, но и находить частные точные решения ряда задач [2], а также получать экспериментально проверяемые результаты [20].

Проведенный обзор показывает, что расчеты процессов формирования стратифицированных течений не всегда согласуются с решением стационарных задач. В частности, свойства стационарных пограничных течений, возникающие в непрерывно стратифицированной среде вследствие прерывания молекулярного потока на топографии [35,77,85] не согласуются с точными решениями задачи установления [21,22,23]. Стационарные одномасштабные решения широко используются в прикладной физической океанографии при анализе процессов глобального и локального переноса энергии и вещества. Однако, эту задачу нельзя считать полностью решенной. Стационарные решения имеют неустранимые особенности и не сшиваются с известными точными решениями примыкающих задач теплопроводности. Нестационарные решения задач установления, которые построены только для самых простых геометрий (наклонная

плоскость, фактически одномерная задача, в которой нелинейные члены в уравнениях движения выпадают в силу геометрического вырождения), не имеют стационарного предела. Сложный вид решений [21-23], имеющих вид бесконечных (точные решения) или асимптотических рядов, не позволяет их непосредственно использовать для сравнения с данными лабораторных экспериментов, в которых препятствия, как правило, имеет конечные размеры.

Полученные решения [21 -23,35,77,84,85] отличаются пространственными особенностями структуры физических полей. Решения для вязких и идеальных сред в предельных случаях не переходят одно в другое, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания реального препятствия.

Сложная физика и геометрия реальных стратифицированных течений требует более детального рассмотрения общих свойств уравнений и оценки характерных определяющих эле�