Расчет и визуализация тонкой структуры внутренних волн в вязкой статифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 551.446.6-532 527

Бардаков Роман Николаевич

РАСЧЕТ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ

ЖИДКОСТИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004 год

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю .Д. Чашечкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

О.Н. Мельникова

доктор физико-математических наук А.В. Кистович

Ведущая организация:

Российский государственный гидрометеорологи-

ческий университет

Защита состоится " 13 " мая 2004 г. в 15 час.

на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 в Институте проблем механики Российской академии наук по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН. Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

EJL Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена аналитико-численному исследованию тонкой структуры периодических и присоединенных внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости.

Актуальность темы.

В естественных условиях - в гидросфере, атмосфере, мантии Земли плотность среды является устойчиво стратифицированной вследствие неоднородности температуры и концентрации растворенных веществ. В таких условиях существуют специфические волны, амплитуда которых в толще жидкости больше чем на свободной поверхности. Задачи генерации внутренних волн представляют общенаучный и прикладной интерес.

Внутренние волны являются индикаторами и предвестниками интенсивных процессов в атмосфере, типа сильных гроз, штормов и смерчей. Их опрокидывание формирует области интенсивного движения, влияющего на безопасность полетов авиации — "турбулентность ясного неба". В океане внутренние волны влияют на распределение и потоки питательных веществ в экосистеме. Внутренние волны являются сложным объектом для изучения в естественных условиях вследствие своей скрытности, относительно большой длины (10 + 20000 м), размаха (5 + 100 м) и малой частоты (10~2 /104 Гц). Уравнения внутренних волн в вязкой жидкости не входят в класс традиционных уравнений математической физики. Апизотропия и дисперсия внутренних волн выделяют их из класса привычных волновых движений типа звуковых или световых волн.

Высокоточные измерения показали, что стратификация, как правило, обладает "тонкой структурой" - высокоградиентными прослойками, разделяющими более однородные слои жидкости. Природа их формирования и причины продолжительного существования остаются недостаточно изученными. Прослойки существуют как в динамически активных районах, так и относительно спокойных водах под ледяным покровом Северного ледовитого океана. В лаборатории тонкоструктурные прослойки ("травмы стратификации'') наблюдались в областях пересечения пучков гладких периодических внутренних волн и уединенных волн [1л-3л]. ___________

РОС НАЦИОНАЛЬНА;! БИБЛИОТЕКА

• О» ТОО Чш*зСЗ{

Несмотря на большое число работ по генерации и распространению внутренних волн, эту задачу нельзя считать завершенной. Моделирование обтекания реальных препятствий сингулярными массовыми или силовыми источниками, параметры которых заимствуют из теории идеальной жидкости или находят эмпирически, ограничено приближением дальнего поля. Асимптотические решения вблизи и вдали от источника волн не согласуются друг с другом, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания препятствия. В этой связи особое значение приобрело лабораторное моделирование стратифицированных течений.

Ввиду неполноты классической теории внутренних волн в последние годы изучаются решения корректно поставленных задач генерации внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости, позволяющие самосогласованно учитывать различные формы движения без введения феноменологических параметров. Техника построения аналитических решений некоторых задач генерации периодических волн предложена в работах [4, 5л]. Свойства точных решений, описывающих волновые пакеты и сопутствующие пограничные слои, которые обычно анализируются только асимптотическими методами, изучены недостаточно полно. Практически не изучены характеристики точных решений, описывающих класс практически важных присоединенных (подветренных) внутренних волн.

Цель работы. Целью данной работы является

— Построение аналитических решений линеаризованных задач генерации присоединенных внутренних волн, позволяющих последовательно проанализировать роль диссипативных факторов;

— численный анализ тонкой структуры двумерных и трехмерных внутренних волн, как периодических, так и присоединенных;

— сравнение свойств точных и асимптотических решений между собой и с данными лабораторных экспериментов.

Практическая значимость.

— Построение точных решений и визуализация структуры внутренних волн, со сложным законом дисперсии, способствует улучшению понимания природы процессов в

окружающей среде, созданию прогностических моделей, адекватно описывающих динамику природных систем.

Методы исследований.

— При выполнении диссертационной работы использовались аналитические методы исследования уравнений движения неоднородной жидкости: теория возмущений, асимптотические методы; применялись численные методы визуализации векторных и скалярных функций. Полученные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных лабораторных экспериментов.

Научная новизна.

В работе впервые получены следующие результаты:

— Методом интегральных преобразований аналитически построено точное решение задач генерации двумерных и трехмерных присоединенных внутренних волн полосой и односвязными двумерными объектами, равномерно движущимися вдоль наклонной плоскости;

— Проведено сравнение свойств точных решений и их асимптотических представлений, определены границы применимости приближенных решений;

— Разработан наглядный метод визуализации скалярных и векторных полей, включающих макро- и микроструктурные элементы;

— В результате проведенного численного анализа точных решений впервые установлено, что в картине полей трехмерных периодических внутренних волн в толще жидкости присутствуют, помимо регулярных, два семейства протяженных тонкоструктурных элементов (аналогов пограничных слоев), контактирующих с внешней кромкой излучающей поверхности.

— Достоверность полученных результатов достигается использованием классических математических методов построения решений с сохранением всех корней дисперсионных уравнений, согласованностью полученных результатов с известными приближенными решениями в областях их применимости и данными экспериментов.

Работа выполнялась в рамках плановых тем и проектов, входящих в Межсекционную программу ОЭММПУ РАН "Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий", Федеральную целевую программу "Мировой океан" (по контракту с Минпромнауки России), в Федеральную целевую программу "Интеграция" (по контракту с Минобразования России, грант Я-0058), РФФИ (грант 02-0565383).

На защиту выносятся;

- Результаты расчета полей присоединенных внутренних волн.

- Визуализация точных и приближенных решений ряда задач генерации присоединенных и периодических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости.

- Идентификация быстро меняющихся тонкоструктурных элементов в пучках трехмерных периодических внутренних волн.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на XIX Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, 2002); I Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Ницца, 2004); ХХШ Генеральной ассамблее международного союза по геофизике и геодезии (Саппоро, 2003); Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы" (Москва, МГУ, 2002 г), на международных конференциях: "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003), "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Моск. обл., 2004); на объединенном семинаре "Динамика природных систем" (ИПМ РАН, 2003,2004).

Публикации: По результатам работы опубликованы статья [3], тезисы докладов на конференциях [1,2,4-8], приняты к печати три статьи [9-11].

Использование результатов:

Полученные результаты могут быть использованы для уточнения аналитических моделей возбуждения и нелинейного взаимодействия коротких внутренних волн, при разработке численных моделей природных процессов, протекающих в атмосфере и океане, в частности, для моделей распространения внутренних волн и формирования тонкой структуры непрерывно стратифицированной среды, которая, в свою очередь, существенно влияет на перенос примесей.

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 85 наименований. Общий объем диссертации 103 страницы, включая иллюстрации. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении- обсуждаются современное состояние и методы исследований изучаемой задачи, обоснована ее актуальность. Здесь же сформулированы цель работы и основные положения, выносимые на защиту, кратко представлены содержание и основные результаты работы.

В первой главе приводятся уравнения движения вязких однокомпонентпых (изотермических) стратифицированных сред, в приближении Буссинеска. Формулируются граничные и начальные условия, основные приближения. Дана классификация основных типов коротких волн малой амплитуды - нестационарных, периодических, присоединенных. Анализируется дисперсионное соотношение и следующие из него общие свойства данных диспергирующих волн.

Во второй главе анализируются решения линеаризованных задач генерации внутренних волн и сопутствующих пограничных течений. В разделе 2.2 приведено построение решения задачи возбуждения трехмерных присоединенных внутренних волн в полупространстве. Источником волн является равномерно движущаяся вдоль ограничивающей жидкость плоскости компактная односвязная область. Условие несжимаемости используется для введения двух вспомогательных скалярных функций определяющих три компоненты вектора скорости

(тороидально-полоидальноя декомпозиция). Система уравнений движения сводится к следующей

где

N -квадрат частоты плавучести.

Условие прилипания на всей подстилающей поверхности ^= ,

Юц,^ д=®» ^ =0 и условие затухания всех возмущений на бесконечности

выбираются в качестве граничных условий (здесь 9(5) - двумерный аналог функции Хевисайда, равный 1 на движущейся части плоскости 5, и нулю вне нее, ^ и С, -координатные оси, лежащие в плоскости 5, Т) —перпендикулярна ей). При этом автоматически выполняется условие равенства нулю потока стратифицирующей компоненты, перенос которой в пренебрежении эффектами диффузии является чисто адвективным.

Решение системы уравнений ищется в виде разложений в интегралы Фурье, подстановка которых приводит к следующим выражениям для вспомогательных функций

где = а к^{к^кц), к^к^к^) и

являются корнями диспер-

сионного уравнения, соответствующего системе в котором произведена подстановка со = к^и

Масштаб характеризует длину присоединенных внутренних волн, масштаб толщину пограничного слоя на препятствии, который в точности соответствует

толщине пограничного течения Стокса 5щ = к ^ = — с учетом вида дисперсионного

соотношения для присоединенных волн в идеальной жидкости

Если источником волн является эллипс с полуосью а вдоль оси Ь вдоль оси тогда спектральное представление для скорости приобретает вид

Дальнейший анализ выражений типа ** целесообразно проводить как аналитическими, так и численными методами, учитывая необходимость одновременного анализа и картины трехмерных Внутренних волн, и структуры 'пограничных слоев на излучающей поверхности. Учитывая, сложный характер нолей диспергирующих волн, в качестве первого шага анализируется решение двумерной задачи.

В разделе 2.3 приведено описание картины двумерных возмущений, излучаемых полосой, движущейся с постоянной скоростью вдоль горизонтальной плоскости. Решение системы уравнений движения приведено для функции тока Ч' (их = &¥;дг,

и_ = -ЗЧУ дх)

Я"

ка

к„(ки,к)~Ь{ки,к)

<Яс,

в котором решения дисперсионного уравнения для волновых чисел, соответствующих волне и пограничному слою имеют вид

Если ширина полосы мала по сравнению с длиной излучаемой волны

а = 2тс/&0, к§=Ы!и - приближение больших чисел Фруда (Рг — 15! N0), фазовый множитель функции тока волнового поля

согласуется с ранее полученными решениями для волн, порождаемых сингулярными источниками. Остальные множители в явном виде определяются свойствами источни-

ка, геометрией задачи и вязкостью жидкости.

ОТТАПАМ/'О /

-¿¿х1 Ло Цсс' г:—

кикх'

В этом приближении опережающие препятствие волны нулевой частоты образуют семейство горизонтальных полос, с шагом которые плавно смыкаются с полуокружностями позади препятствия.

Пограничные слои формируются только на движущейся полосе и неподвижной части плоскости позади препятствия

Их толщина, как и в однородной жидкости, пропорциональна ^Ух'/Ц . Возмущения в

пограничном слое за пластиной убывают с расстоянием пропорционально как

и волновое поле. Внутренние волны и сопутствующие пограничные слои являются взаимообусловленными и самосогласованными.

В разделе 2.5 приводится результаты расчета генерации трехмерных периодических внутренних волн горизонтальным диском, осциллирующим по вертикали, следуя [5л]. Компоненты скорости жидкости описываются выражениями, в которых опущен периодический по времени член

а компонента завихренности

Па =и0Д

аи

I;

где компоненты волнового вектора находятся из решения дисперсионного уравнения к?=-к2

2 /вшв

28% 1 зт3е

2 ( ШпЭ 1 + <

25^ V эш 9

Вдали от диска малого радиуса (по сравнению с вязким волновым

масштабом , ) в сопутствующей системе координат

(я>Р)г с осями, ориентированными вдоль образующей и по нормали к волновому конусу, асимптотическое выражение для вертикальной компоненты скорости принимает канонический вид

Как показано в амплитуда таких волн спадает обратно пропорционально расстоя-

ческое выражение *** описывает только регулярную компоненту скорости. Расчет пограничных слоев более удобно производить методом пограничных функций.

В случае движепия пластины вдоль горизонтальной плоскости для построения картины течения в узлах выбранной сетки вычислялись массивы значений интегралов в выражениях для вертикальной и горизонтальной составляющих скорости

В главе 3 описывается методика расчета полей возмущений и техника компьютерной визуализации картин скалярных и векторных полей с высоким временным и пространственным разрешением. Для построения картин течения и их наборов, позволяющих проследить временную эволюцию, методом Симпсона рассчитывались значения интегралов в узлах прямоугольной сетки, шаг которой определялся в общем случае из условия разрешения пограничных слоев (обычно 0,1 мм). При анализе течений возле источника шаг уменьшался в 10-40 раз. С учетом вида подынтегральных выражений шаг интегрирования шаг выбирается переменным

Оценка значений полученных интегралов стандартными методами требует больших затрат машинного времени, поскольку положение верхней границы интервала численного интегрирования Г{, нелинейно зависит от физических параметров задачи. С целью оптимизации процедуры вычислений составляется функция ошибок и подбирается выражение для при котором точность вычислений сохраняется практически постоянной в заданном диапазоне параметров. С учетом сопоставления с лабораторны-

нию от источника. (~ д и осциллирует поперек пучка, быстро затухая. Асимптоти-

00

ми экспериментами, предел выбран в виде

координата, выраженная в сантиметрах).

Дня большей наглядности картины полей использовались поля яркости и цветности. Здесь приводятся только черно-белые версии полученных изображений. Картины скалярных полей строились двумя взаимодополняющими методами. В одном из них яркость изображения представляла вычисленные значения интеграла в узлах сетки в линейной или логарифмической шкале. По своей структуре такая картина аналогична теневому изображению поля внутренних волн.

Второй метод визуализации скалярных полей представляет собой модифицированную карту изолиний. Для ее построения исходный массив данных нормируется на собственное максимальное значение и домножается на фиксированный мно-

житель М, (в данном случае М" 255 с учетом особенностей воспроизведения изображения на IBM-совместимых компьютерах), и дополнительный множительр, характеризующий выбранное число изолиний. Полученные положительные и отрицательные значения отображаются различными цветами (обычно зеленым и синим) Для построе-пия цветного синтезированного изображения на полученную картину возмущений накладывается модуль значений выводимого параметра, представленный новым цветом (красным) В программу построения изображений заложена процедура автоматического поиска локальных экстремумов поля изображаемого параметра, которая формирует картину изолиний.

Для визуализации двумерпых векторных полей вначале создаются два одинаковых массива, в одном из которых приведены абсциссы, а в другом - ординаты координат векторов, а также опорный массив, заполненный случайными числами из диапазона О - 255. Число элемептов опорного массива равно числу узлов сетки представления исходного поля.

Затем генерируется множество пробных частиц, число и продолжительность существования которых являются параметрами настройки изображения. Пробные частицы случайным образом размещаются в расчетном поле. Далее рассчитываются траектории частиц в ранее полученном векторном поле. Направление смещения частицы определяются элементами массивов, а цвет точки - средневзвешенным значением данных опорного массива вдоль траектории. Поскольку число пробных частиц выбирается достаточно большим, в данном случае 2000-5000, осредненная картина надежно характеризует регулярную часть поля смещений.

В главе 4 представлены результаты визуализации полей присоединенных и периодических внутренних волн.

Рис. 1. Распределение вертикалтных смещений около равномерно движущейся слева направо горизонтальной пластины

Х = 3.5см,Рг= 0 55, й.е = 25).

Картипа вертикальных смещений около горизонтальной пластины, построенная градиционным методом (рис. 1), аналогична теневому изображению волнового поля В ней и в последующих изображениях выделяются нестационарные опережающие волны, которым соответствуют паклонные полосы перед препятствием, и у становившиеся стационарные, фазовые поверхности которых - полуокружности. В силу ограниченности динамического диапазона такого метода тонкие элементы структура вблизи источника и в областях максимальных возмущений неразличимы.

Поле возмущений около движущейся полосы, представленное на рис. 2, иллюстрирует различие в структурах вертикальной компоненты скорости и горизонтальной компоненты завихренности. В распределении вертикальной компоненты скорости (рис. 2, а) выделяются сингулярные особенности на передней и задней кромках препятствия, которые и служат источниками волн. Угловые положения линий максимумов полей вертикальной компоненты скорости и завихренности рис. 2, б не совпадают между собой. В распределении горизонтальной компоненты скорости выделены пограничные слои на подстилающей поверхности.

Рис 2. Поле течений около равномерно движущейся полосы, Т^ =14С, а=1см, и= 0.25 см/с X, = 3.5 см, рг=0.55, К.в = 25: а) — вертикальная компонента скорости частиц жидкости, б) -горизонтальная компонента завихренности £2у. Светлые поля соответствуют положительным значениям величин.

Распределения модуля скорости в пограничном слое, показанное па рис. 3, иллюстрирует его сложную структуру. Первый максимум, расположенный на передней кромке, постепенно трансформируется в гребень ближайшей к телу внутренней волны. Он отделен от пограничного слоя Прандтля, толщина которого мопотонно нарастает, как и в однородной жидкости, вплоть до локального минимума, располагающегося на задней кромке препятствия. Далее внешняя граница пограпичпого слоя продолжает

продвигаться от плоскости, а у неподвижной части плоскости образуется зона покоящейся жидкости, толщина которой так же монотонно растет с удалением от движущейся части препятствия.

Рис. 3. Распределение модуля скорости в пограничном слое на пластине (7], = 14 С, а = 2см,II = 1 см/с, 14см, Бг = 1.12, Яе =200)

Качественно эта картина подобна наблюдаемой в экспериментах В.В. Миткина при обтекании пластины, горизонтально буксируемой в непрерывно стратифицированной жидкости.

Рис. 4. Картина вертикальной компоненты скорости около широкой пластины

(= 14 с, а = 40 см, 1Н).25 см/с, Х-3.5 см, рг =0.014, Яе = 1000).

Еще более сложную структуру имеет поле вертикальных скоростей возле протяженного препятствия (Д » %). При этом передняя и задняя кромки являются незави-

симыми источниками волн, центральная часть пластины не излучает. Картина ближнего поля около препятствия, образованная пересечением нестационарных опережающих и стационарных присоединенных внутренних волп (рис. 4), напоминает "шахматную доску".

Поте разностей значений между точным и асимптотическим решениями представлено на рис 5 Темная полоса отмечает области неприменимости использованного метода построения неравномерных асимптотик, в которой расчеты не проводились

Рис 5 Различия точного и асимптотического значений горизонтальной компоненты скорости(7), = 14с,а = 1 см, (/=0 25см/с, "к = 3.5см, Fr= 0 55,

Re = 25)

Различия существенны во всем пространстве, как перед препятствием, где опережающие волны характеризуются конечной частотой (наклонные фазовые поверхности в расчетах и экспериментах), так и позади него.

Количественные характеристики образующихся волн (абсолютное и нормированное на скорость источника значения скорости жидкости, абсолютное и нормированное на масштаб Хдзначепия длины волны, а так же положение первого волнового максимума) приведены в таблице 1. Расчеты показывают, что волны образуются при всех исследованных значениях параметров задачи, даже когда длина волпы мепыпе толщины погранслоя Прандтля 8| = v/t/ и универсального микромасштаба

Определен диапазон максимальной эффективности излучения волц на плоскости число Фруда - число Рейпольдса.

5

Таблица 1

N. Fr Re N^ 0.01 0.1 0.5 1 5 10

0.1 (х, z), см 0.2,0.3 0,1.1 -0.1,2.9 -0.15,4.55 -1,14.7 -2.5,25

Aw, см/с 0.0028 0.013 0.03 0.039 0.064 0.076

AJU 0.28 0.15 0.06 0.03? 0.0128 0.0076

Х/Х0 10.0 5.6 3.4 2.6 1.6 1.3

1 (х, г), см 0.4,0.15 0.05,0.6 -0.1, 1.« -0.3,2.6 -2.7,9.9 -0.5, 1.3

Aw, см/с 0.0027 0.023 0.03 0.074 0.036 0.64

Aw/U 0.27 0.23 0.06 0.074 0.0072 0.064

Х/Х0 7.3 2.6 1.7 1.4 1.0 1.0

10 (х, г), см 0.5,0.05 0.2,0.35 -0.35,1.0 -0.85,1.95 -0.2,0.7 -0.5,0.9

Aw, см/с 0.0028 0.028 0.081 0.08 0.37 0.64

AJU 0.28 0.28 0.162 0.08 0.074 0.064

Х/Х0 2.9 1.3 1.1 1.0 1.0 1.0

100 (х, 2), СМ - 0.15,0.2 -0.5,1.0 -0.9,2.15 -0.3, 0.2 -0.5,0.5

Aw, см/с - 0.032 0.05 0.02 0.31 0.4

4,/и — 0.32 0.1 0.02 0.062 0.04

- 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

В разделе 4.2 приведены картины возмущений в центральном сечении волнового конуса, образованного пучком периодических внутренних волн и сопутствующей системы пограничных слоев.

Структура волнового конуса зависит от относительных размеров излучателя, вязкого волнового масштаба и расстояния от источника до точки наблюдения. Малый источник порождает одномодальный пучок (рис 6, а) протяженный источник (а > ¿у) — бимодальный (рис. 6, б). При этом распределение горизонтальной компоненты скорости в пучке является симметричным, а максимумы вертикальных смещений группируются ближе к центру. Пограпичные слои на плоскости выходят за границу источника.

На внешней границе пучков, приведенных на рис. 6, выделяются тонкие протяженные структурные элементы толщиной порядка контактирующие с внешней кромкой излучателя. Изучение временной эволюции возмущений показывает, что с внешней кромкой связаны две системы неоднородностей, одна из которых располагается на внутренней стороне волнового конуса, а вторая - на внешней. Степень их выраженности быстро меняется во времени - в одни моменты выражена внешняя тонкоструктурная оболочка волнового пучка, в другие - внутренняя

Рис. 6. Модуль вертикальной компоненты скорости в пучке периодических внутренних волн: .

Топкая структура волнового поля наглядно проявляется при использовании "дифференциальных анализаторов" - математических аналогов теневых методов в экспериментальной гидродинамике.

Рис. 7. Распределение тонкоструктурных элементов в пучке периодических внутренних волн: б) - первая

(ди/дг), вторая (Э2£//&2) производные вертикальной компоненты скорости

Тонкоструктурные элементы выражены в полях, как первой, так и второй производных вертикальной компоненты скорости, представленных на рис. 7. Степень их выраженности и поперечные размеры меняются во времени существенно быстрее, чем эволюционирует сама волновая картина. Наблюдаемые в [1л-3л] разрывы стратификации в областях пересечения пучков внутренних волн могут быть сформированы в результате сложений и нелинейного взаимодействия сингулярных компонент волновых полей.

Для уверенной регистрации и измерения параметров сингулярных элементов необходимо использовать быстродействующие приборы с прострапственной разрешающей способностью, характерной для лучших теневых инструментов.

В приложении приведено описание разработанных программ.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы:

Основные результаты работы:

1. Построено точное решение линеаризованной задачи генерации возмущений в непрерывно стратифицированной жидкости горизонтальной полосой, равномерно движущейся вдоль неподвижной плоскости (аналог задачи Стокса для присоединенных внутренних волн), произведена асимптотическая оценка интегралов, описывающих внутренние волны, пограничный слой на пластине и на неподвижной плоскости позади тела.

2. Разработан удобный метод цветной визуализации скалярных и векторных полей, допускающий черно-белое представление. Компьютерная визуализация позволила выявить дополнительные свойства точного решения, включая сингулярные особенности полей вблизи передних и задних кромок пластины.

3. Построенные на основе точного решения линеаризованного уравнения движения картины присоединенных внутренних волн существуют во всем диапазоне чисел Фруда и Рейнольдса, как при условии X « 5,- (Гг« 1), когда их длина меньше толщины пограничного слоя, так и при условии когда их амплитуда ма-

ла. В первом случае практически все волновое поле сосредоточено в пределах пограничного слоя и в небольшой области впереди препятствия.

4. Проведен расчет различных полей присоединенных внутренних волн (смещений частиц, компонент скорости, завихренности) в широком диапазоне параметров. Показано существенное различие свойств точного и асимптотического решений во всем конфигурационном пространстве задачи. Выявлено структурное различие полей компонент скорости на протяженном препятствии.

5. Показано что, при движении пластины большой длины (а» Л) источниками волн являются только ее кромки. Сложная структура волнового поля обусловлена интерференцией между присоединенными волнами от передней кромки и опережающими от задней.

6. Проведен расчет картипы периодических волн, излучаемых горизонтальным диском, осциллирующим в вертикальном направлении, построен видеофильм, иллюстрирующий эволюцию волн и изменчивость тонкоструктурных оболочек на краях пучка.

Публикации по теме диссертации

1. Бардаков Р.Н. Аналитическое, компьютерное и лабораторное моделирование присоединенных внутренних волн. // Юбилейная Всероссийская научпая конференция "фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы". Тезисы докладов. Москва. МГУ. 2002 г, с. 7.

2. Chashechkin Yu.D., Mitkin V.V., Bardakov R.N. Fine structure of stratified flow around uniformly moving 2D obstacles in a continuously stratified fluid // Proceeding of the International Symposium on Shallow Flows, TU Delft, The Netherlands, June 16-18,2003. Ed. G.H. Jirka and W.SJ. Uijttewaal. Part П. P. 21 - 26.

3. Bardakov R.N. A Fine Structure of a Stratified Flow Around a Horizontal Strip Uniformly Moving in a Continuously Stratified Flow // Selected Papers of the International conference "Fluxes and Structures in Fluids". St. Petersburg, Russia, June 23 -26,2003. Moscow. IPM RAS. 2004. P. 16 - 21

4. Bardakov R.N. Numerical and analytical modeling of the attached internal waves // International conference "Fluxes and Structures in Fluids". Abstracts. St. Petersburg, Russia, June 23 - 26,2003. Moscow. IPM RAS. 2003. P. 21.

5. Bardakov R. N. Short internal waves fine structures the visualization.// International conference "Hydrodynamic Instability and Turbulence". Abstracts. Moscow, Russia, February 15-22,2004, Moscow, Russia, Institute of Mechanics MSU. 2004.

6. Chashcchkin Yu.D., Mitkin V.V., Bardakov R.N. A fine structure of a stratified flow around a horizontal strip uniformly moving in a continuously stratified fluid // ХХШ General Assembly ofthe International Union of Geodesy and Geophysics, Abstracts, June 30 - July 11,2003, Sapporo. Japan. B.I 12.

7. Bardakov R. N. Analysis of a flow fine structure around a uniformly moving horizontal strip in a continuously stratified fluid //European Geosciences Union 1st General Assembly, Abstracts, Nice, France, April 25 - 30 2004

8. Bardakov, R.N.; Chashechkin, Yu.D.; Vasiliev, A.Yu. Regular and singular components of3d periodic internal wave beams //European Geosciences Union 1st General Assembly, Abstracts, Nice, France, April 25 - 30 2004

9. Бардаков Р.Н., Чашечкин Ю.Д. Расчет и визуализация двумерных присоединеи-цых внутренних волн в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости // Известия РАН, Физика атмосферы и океана (в печати).

10. Чашечкип Ю. Д.,. Васильев А. Ю, Бардаков Р.Н. Тонкая структура пучков трехмерных периодических внутренних волн // Доклады РАН (в печати).

11. Чашечкин Ю. Д.,. Бардаков Р.Н. Двумерные присоединенные внутренние волны и сопутствующие пограничные слои // Доклады РАН (в печати).

Список цитированной литературы

1л. McEwan A.D. and Plumb P.A. Off-resonant amplification of finite internal wave packets // Dynamics of Atmosphere and Oceans. 1977. V.2. P. 83-105

2л. Teoh S.G., Ivey G.N. and Imberger J. Laboratory study of the interaction be-

tween two internal wave rays // J. Fluid Mechanics, 1997. v. 336. P. 91-121.

Зл. Honji Hiroyuki, Matsunaga Nobuhiro, Sugihara Yuji, Sakai Kazuki. Experi-

mental observation of internal symmetric solitary waves in a two-layer fluid.// Fluid Dynamics Research(1995), VoU5, pp.89-102.

4л. Кистович Ю.В., Чашечкин ЮД Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т.42. Ж 1. С. 52-61.

5л. Васильев А.Ю., Чашечкин Ю.Д. Генерация пучков трехмерных периодических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика." 2003. Т. 67. № 3. С. 442-452.

Расчет и визуализация тонкой структуры внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости

Бардаков Роман Николаевич

Подписано в печать 15 марта 2004 г. Заказ 12 - 2004 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе, ИПМ РАН 117526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

Р- 57 37

Введение:.

1. Теоретические и экспериментальные исследования внутренних волн в непрерывно стратифицированных средах.

1.1. Присоединенные (подветренные) внутренние волны.

1.2. Монохроматические внутренние волны.

2. Линейная теория генерации внутренних волн и сопутствующих пограничных течений.

2.1. Уравнения движения и собственные масштабы стратифицированных течений.

2.2. Течения, индуцированные прерыванием диффузионного потока на топографии в покоящейся жидкости.

2.3. Генерация трехмерных присоединенных внутренних волн и пограничных течений при движении препятствия под углом к горизонту.

2.3.1. Решение задачи генерации трехмерных присоединенных волн в квадратурах.

2.3.2. Асимптотика поля присоединенных волн.

2.3.3. Волновое поле, порождаемое равномерно движущейся областью эллиптической формы.:.

2.4. Расчет двумерных присоединенных внутренних волн.

2.4.1. Волновая компонента движений.

2.4.2. Волновые пограничные слои.

2.5. Расчет поля трехмерных периодических внутренних волн.

3. Методика численного анализа и визуализации картин течения.

3.1. Основные компьютерные методы построения изображений скалярных полей.;.

3.2. Построение полихромной карты изолиний для визуализации скалярных полей.

3.3. Визуализация векторных полей.

3.4. Визуализация векторных полей модифицированным методом экспозиции частиц.

3.5. Методика вычисления полученных интегралов.

4. Визуализация полей внутренних волн и сопутствующих пограничных течений.

4.1. Визуализация полей присоединенных внутренних волн.

4.2. Визуализация сечений пучков периодических внутренних волн.

5. Сравнение результатов визуализации точного решения задач генерации внутренних волн с данными лабораторных экспериментов.

Актуальность проблемы. Плотность жидкости, так же как вектор скорости и давление, является базовой характеристикой среды. В естественных условиях плотность атмосферы, гидросферы, подземных флюидов является неоднородной по пространству и переменной по времени вследствие неравномерности распределения растворенных веществ или взвешенных частиц, газовых пузырьков, температуры, сжимаемости среды и действия внешних нестационарных факторов. Хотя вариации плотности, как правило, невелики, с ними связаны ряд эффектов, отсутствующих в однородной жидкости, в частности, существования специфических видов волн и тонкой структуры среды.

В тех случаях, когда плотность возрастает в направлении действия силы тяжести (среда стратифицированы устойчиво), как структура, так и динамика протекающих процессов зависят от плотности и ее градиента, которые в свою очередь модифицируются внешними воздействиями. Даже малая неоднородность среды качественно меняет характер течений жидкости, структуру вихрей, распределения сил и моментов. Дополнительные силы обусловлены существованием внутренних волн. Их отличительным свойством скрытность, поскольку максимумы смещений частиц располагаются в толще жидкости, а не на ее поверхности. Основной характеристикой стратифицированной среды является масштаб Л = |dlnp/(£|-1, частота N = ^jg\d In pjdz | и период Tfj =2ti/N плавучести. Здесь p(z) - плотность, g- ускорение свободного падения, z— вертикальная координата, направленная вдоль линии действия силы тяжести. В природных условиях период плавучести меняется в диапазоне от нескольких минут до часов, в лабораторных он обычно составляет несколько секунд.

Внутренние волны начали систематически изучаться с конца 19 века после опубликования результатов экспедиции норвежского ученого Ф. Нансена в Северный ледовитый океан [1]. У полуострова Таймыр Ф. Нансен столкнулся с малоприятным явлением "мертвой воды", когда скорость "Фра-ма" падала с 6 до 1,5 узлов и под парусами, и с машиной. При этом свободная поверхность жидкости оставалась практически гладкой везде, за исключением следа от винта. Его мысль о существовании волн на поверхности раздела пресных и соленых вод была подтверждена В. Бьёркнессом. Развитию этих представлений и была посвящена работа [1], которая до настоящего времени сохранила свою актуальность.

Естественные внутренние волны образуются в атмосфере и океане под действием периодических факторов и при обтекании стратифицированным потоком неровностей рельефа. Их размах в океане достигает сотни метров [2]. Внутренние волны играют важную роль в динамике стратифицированного океана, они обеспечивают перенос энергии, импульса и вещества. В атмосфере внутренние волны являются предвестниками сильных гроз, штормов, ураганов [3]. Их обрушение приводит к появлению участков интенсивного турбулентного движения, влияющего на безопасность полетов в горной местности ("турбулентность ясного неба") [4, 5].

В конце 60-х годов прошлого столетия была открыта тонкая структура морской среды [6]. Она проявляется в форме протяженных высокоградиентных прослоек, время существования которых превышает "диффузионное" время на несколько порядков. Впервые высокоградиентные прослойки были замечены в Балтийском море еще в конце 30-х годов прошлого века, однако более сорока лет сам факт их существования подвергался сомнению. Регистрация протяженных прослоек с отношением длины к толщине порядка 10 , идентифицируемых на всем протяжении, несмотря на сглаживающее действие диффузии, стимулировала разработку различных моделей их формирования и изменение представлений о структуре течений.

К числу важнейших механизмов образования тонкой структуры непрерывной стратификации первоначально относили анизотропное вырождение турбулентности (формирование горизонтальных турбулентных пятен блинов" [7]), неустойчивость внутренних волн [8], многокомпонентную конвекцию [9]. Хотя эти модели позволили параметризовать мелкомасштабные процессы и некоторым образом учесть их влияние на эволюцию волновых и струйных течений, в полной мере их не удалось использовать во всем диапазоне природных условий. Вопрос формирования тонкой структуры среды стал еще более актуальным после идентификации слоистого строения стратосферы Земли [10], атмосфер других планет и фотосферы Солнца.

Из общих соображений принято считать, что образование и поддержание тонкой структуры среды связано с диссипативными факторами -вязкостью, температуропроводностью и диффузией. В природных системах и в лабораторных экспериментах замечено, что толщина прослоек прямо коррелирует с величиной соответствующего коэффициента переноса [11], однако замкнутые математические модели этого явления до настоящего времени не построены. Более того, вплоть до самого последнего времени, процессы образования внутренних волн, и формирования тонкой структуры изучались раздельно.

В самые последние годы изучается обрушение внутренних волн и образование вихрей на неоднородностях течения, как сравнительно крупного масштаба (неустойчивость Кельвина-Гельмгольца) [12, 13], так и малой высоты (неустойчивость Холмбё) [14]. Основным безразмерным параметром течения считается градиентное число Ричардсона Ri = N2/(dU/dz) , имеющее смысл обратного числа Фруда Fr = U2/n2H2 . Здесь U - горизонтальная компонента скорости, Н- вертикальный масштаб (размер) явления.

В теории внутренних волн малая вязкость обычно рассматривается только как причина затухания движений [15]. Основные расчеты проводятся для идеальной жидкости, а вязкое затухание вводится феноменологически в конечный результат [15 - 17]. Хотя точное дисперсионное уравнение для поверхностных и внутренних волн в вязких неоднородных жидкостях приведено в ряде монографий и учебников, его анализ ограничивается констатацией сложной структуры решений и анализом свойств части корней в предельных случаях, когда решения могут быть получены с помощью асимптотических методов [18].

Конструктивный аналитический подход к исследованию свойств полной совокупности решений дисперсионных уравнений использован при исследовании задачи генерации двумерных и трехмерных периодических волн [19-28]. С его помощью удалось построить точные решения ряда задач генерации в линейной и нелинейной постановках, которые затем были подтверждены лабораторными экспериментами. Детальный анализ показал, что в вязкой неоднородной жидкости около периодически движущегося тела образуются как волны, так и два типа пограничных слоев. Поперечный размер и модальная структура волнового пучка определяются соотношениями размера источника, расстояния до точки наблюдения и характерного вязкого волнового масштаба Lv = 3fgv/N [29].

Данные работы, представляющие большой методический и общенаучный интерес, не исчерпывают всю полноту картины внутренних волн и сопутствующих пограничных течений для всего диапазона практически важных условий их генерации. В частности, в них не изучен процесс формирования присоединенных (подветренных) внутренних волн, играющих важную роль в динамике атмосферы и океана. При изучении периодических волн полученные в этих работах квадратуры не удалось свести к известным специальным функциям и проанализировать тонкие свойства решений [19-28].

В теории внутренних волн основное внимание традиционно уделяется изучению трех типов волн: нестационарных, порождаемых локализованным короткодействующим источником (волн типа Коши-Пуассона) [30], присоединенных, возникающих при обтекании препятствий стратифицированным потоком [15], и периодических [31]. В силу специфики дисперсии внутренних волн свойства каждого из перечисленных типов волн должны изучаться независимо.

Наибольшее практическое значение имеют результаты анализа динамики нестационарных и присоединенных волн. Нестационарные акустико-гравитационные волны в атмосфере используются для диагностики типов взрывов (ядерный или неядерный) и локализации места испытаний. Присоединенные (подветренные) волны изучаются в связи с проблемами метеорологии (орографическое образование стационарных относительно топографии облачных систем) [5] и обнаружением подводных гор и технических объектов, как установленных стационарно, так и движущихся. Данная проблема сохраняет свою актуальность на протяжении многих лет по ряду причин.

Собственно внутренние волны являются интересным объектом теоретических исследований, поскольку их характеристические уравнения не относятся к числу хорошо изученных методами математической физики. Роль внутренних волн в динамике атмосферы и океане трудно переоценить. Тонкая структура стратифицированных течений, играющая важную роль в процессах переноса примесей и задачах экологии, вплоть до последнего времени оценивалась феноменологически, в отрыве от волновых процессов.

Несмотря на большое число работ по генерации и распространению внутренних волн, эту задачу нельзя считать завершенной. Моделирование обтекания реальных препятствий сингулярными массовыми или силовыми источниками, параметры которых заимствуют из теории идеальной жидкости или находят эмпирически, ограничено приближением дальнего поля. Асимптотические решения вблизи и вдали от источника волн не согласуются друг с другом, значения волновых амплитуд зависят от способа моделирования обтекания препятствия.

Ввиду неполноты классической теории внутренних волн в последние годы изучаются решения корректно поставленных задач генерации внутренних волн в вязкой стратифицированной жидкости, позволяющие самосогласованно учитывать различные формы движения без введения феноменологических параметров. Свойства точных решений, описывающих волновые пакеты и сопутствующие пограничные слои, которые обычно анализируются только асимптотическими методами, изучены недостаточно полно. Практически не изучены характеристики точных решений, описывающих класс практически важных присоединенных (подветренных) внутренних волн.

Цель работы. Целью данной работы является:

Построение аналитических решений линеаризованных задач генерации присоединенных внутренних волн, позволяющих последовательно проанализировать роль диссипативных факторов; численный анализ тонкой структуры двумерных и трехмерных внутренних волн, как периодических, так и присоединенных; сравнение свойств точных и асимптотических решений между собой и с данными лабораторных экспериментов.

Практическая значимость.

Получены точные решения, созданы новые методы компьютерной визуализации структуры внутренних волн со сложным законом дисперсии. Результаты способствуют улучшению понимания природы процессов в окружающей среде, могут быть использованы для улучшения прогностических моделей, адекватно описывающих динамику природных систем. Совокупность аналитических решений уравнений генерации внутренних волн и высокоразрешающих графических представлений позволяет определить границы применимости фундаментальных методов, использующихся в теоретических и прикладных исследованиях, сформулировать конструктивные рекомендации к методике гидродинамических экспериментов.

Методы исследований.

При выполнении диссертационной работы использовались аналитические методы исследования уравнений движения неоднородной жидкости: теория возмущений, асимптотические методы; применялись численные методы визуализации двумерных векторных и скалярных функций. Полученные решения сравниваются с данными известных и специально проведенных лабораторных экспериментов.

Научная новизна.

В работе впервые получены следующие результаты:

Методом интегральных преобразований аналитически построено точное решение задач генерации двумерных и трехмерных присоединенных внутренних волн полосой и односвязными двумерными объектами, равномерно движущимися вдоль наклонной плоскости;

Проведено сравнение свойств точных решений и их асимптотических представлений, определены границы применимости приближенных решений;

Разработан наглядный метод визуализации скалярных и векторных полей, включающих макро- и микроструктурные элементы;

В результате проведенного численного анализа точных решений впервые установлено, что в картине полей трехмерных периодических внутренних волн в толще жидкости присутствуют два семейства протяженных тонкоструктурных элементов (аналогов пограничных слоев), контактирующих с внешней кромкой излучающей поверхности.

Достоверность полученных результатов достигается использованием классических математических методов построения решений с сохранением всех корней дисперсионных уравнений, согласованностью полученных результатов с известными приближенными решениями в областях их применимости и данными независимых экспериментов.

Работа выполнялась в рамках плановых тем и проектов, входящих в Межсекционную программу ОЭММПУ РАН "Динамика и акустика неоднородных жидкостей, газожидкостных систем и суспензий", Федеральную целевую программу "Мировой океан" (по контракту с Минпромнауки России), в Федеральную целевую программу "Интеграция" (по контракту с Минобразования России, грант Я-0058), РФФИ (грант 02-05-65383).

На защиту выносятся:

Результаты расчета двумерных и трехмерных присоединенных внутренних волн, точно удовлетворяющих граничным условиям на плоскости.

Визуализация распределений смещений, возмущений плотности, скоростей, завихренности в полях присоединенных и периодических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости, которые описываются точными и приближенными решениями задач генерации данных движений в широком диапазоне чисел Рейнольде а и Фруда.

Идентификация быстро меняющихся тонкоструктурных элементов на краях пучков трехмерных периодических внутренних волн.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на I Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Ницца, 2004); XXIII Генеральной ассамблее международного союза по геофизике и геодезии (Саппоро, 2003); XIX Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (Ницца, 2002); на международных конференциях: "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Моск. обл., 2004); "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003), Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы" (Москва, МГУ, 2002 г), на объединенном семинаре "Динамика природных систем" (ИПМ РАН, 2003, 2004).

Публикации: По результатам работы опубликованы статья, тезисы семи докладов на конференциях, находятся в печати три статьи.

Использование результатов:

Полученные результаты могут быть использованы для уточнения аналитических моделей возбуждения и нелинейного взаимодействия коротких внутренних волн, при разработке численных моделей природных процессов, протекающих в атмосфере и океане, в частности, для моделей распространения внутренних волн и формирования тонкой структуры непрерывно стратифицированной среды, которая, в свою очередь, существенно влияет на перенос примесей.

Основные результаты анализа структуры решений были представлены на научных конференциях [150-154] и получили одобрение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты.

1. Построено точное решение линеаризованной задачи генерации возмущений в непрерывно стратифицированной жидкости горизонтальной полосой, равномерно движущейся вдоль неподвижной плоскости (аналог задачи Стокса для присоединенных внутренних волн), произведена асимптотическая оценка интегралов, описывающих внутренние волны, пограничный слой на пластине и на неподвижной плоскости позади тела.

2. Разработан удобный метод цветной визуализации скалярных и векторных полей, допускающий черно-белое представление. Компьютерная визуализация позволила выявить дополнительные свойства точного решения, включая сингулярные особенности полей вблизи передних и задних кромок пластины.

3. Построенные на основе точного решения линеаризованного уравнения движения картины присоединенных внутренних волн существуют во всем диапазоне чисел Фруда и Рейнольдса, как при условии X« 6/ (Fr « 1), когда их длина меньше толщины пограничного слоя, так и при условии X» a (Fr » 1), когда их амплитуда мала. В первом случае практически все волновое поле сосредоточено в пределах пограничного слоя и в небольшой области впереди препятствия.

4. Проведен расчет различных полей присоединенных внутренних волн (смещений частиц, компонент скорости, завихренности) в широком диапазоне параметров. Показано существенное различие свойств точного и асимптотического решений во всем конфигурационном пространстве задачи. Выявлено структурное различие полей компонент скорости на протяженном препятствии.

5. Показано что, при движении пластины большой длины (а»Х) источниками волн являются только ее кромки. Сложная структура волнового поля обусловлена интерференцией между присоединенными волнами от передней кромки и опережающими от зад ней.

6. Проведен расчет картины периодических волн, излучаемых горизонтальным диском, осциллирующим в вертикальном направлении, построен видеофильм, иллюстрирующий эволюцию волн и изменчивость тонкоструктурных оболочек на краях пучка.

7. Показано количественное и качественное совпадение расчетов картин присоединенных и периодических внутренних волн в достаточно широком диапазоне определяющих параметров.

БЛАГОДАРНОСТИ Автор выражает свою искреннюю благодарность сотрудникам лаборатории механики жидкостей Института проблем механики РАН: с.н.с., к.ф,-м.н. В.В. Левицкому за помощь в обсуждении результатов экспериментального исследования пучков периодических внутренних волн, с.н.с., к.ф.-м.н. В.В. Миткину за многочисленные стимулирующие обсуждения теоретических и экспериментальных результатов, м.н.с. А.Ю. Васильеву за консультации и помощь в проведении аналитических расчетов, заведующему лабораторией д.ф.-м.н., профессору Ю.Д. Чашечкину за стимулирующие советы и критические замечания, способствующие улучшению качества работы.

Особо следует отметить огромное влияние и вклад [Ю.В. Кистовича|, внезапная смерть которого прервала наше плодотворное сотрудничество.

Ю.В. Кистовича

1. Ekman H.W. On dead water // The Norwegian North Polar Expedition 18931896. Christiania. 1904. V. 5. Ch. XV.

2. Konyaev K.V., Sabinin K.D., Serebryany A.N. Large-amplitude internal waves at the Mascarene Ridge in the Indian Ocean// Deep-sea Research I, Vol. 42, № 11/12, 1995, P. 2075-2091.

3. Романова H.H., Якушин И.Г. Внутренние гравитационные волны в нижней атмосфере и источники их генерации // Изв. РАН Физика Атм. И Океана. 1995. Т. 31. №2. С. 163-186.

4. Smith R.B. Hydrostatic air low over mountains // Adv. Geophys. 1979. V. 31. P. 1-41.

5. Кожевников B.H. Нелинейная многослойная модель обтекания гор произвольного профиля // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. № 6. С. 780-792.

6. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидро-метеоиздат. 1976. 184 С.

7. Филлипс О.М. динамика верхнего слоя океана. М.: Мир. 1969. 268 С.

8. Thorpe S.A. Experiments on instability and turbulence in a stratified shear flow // J. Fluid Mech. 1973. V. 61. P. 731-751.

9. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977. 432 С.

10. Dalaudier F., Sidi С., Crochet М., Vernin J., Direct evidence of "Sheets" in the atmospheric temperature field // J. Atmospheric sciences. 1994. V. 51. №. 2. P. 237-248.

11. Некрасов B.H., Попов В.А., Чашечкин Ю.Д. Формирование периодической структуры конвективного течения при боковом нагреве стратифицированной жидкости // Известия АН СССР, Физика атм. и океана. 1976. Т. 12. № 11. С. 1191-1200.

12. Andreassen О., Hvidsten P.O., Fritts D.C., Arendt S. Vorticity dynamics in a breaking internal gravity wave. Part 1. Initial instability evolution // J. Fluid Mech. 1998. V. 367, P. 27-46.

13. Andreassen О., Hvidsten P.O., Fritts D.C., Arendt S. Vorticity dynamics in a breaking internal gravity wave. Part 2. Vortex interactions and transition to turbulence // J. Fluid Mech. 1998. V. 367, P. 47-65.

14. Smyth W.D., Winters K.B. Turbulence and mixing in Holmboe waves // J. Physical Oceanography. 2003. V. 33. P. 694-711.

15. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 598 С.

16. Hurley D.G.; The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinder. Part 1. Inviscid solution. //J. Fluid Mech., 1997,V. 351, P. 105-118.

17. Hurley D.G., Keady G.; The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinder. Part 1. Approximate viscous solution. // J. Fluid Mech., 1997, V. 351, P. 119-138.

18. Debnath L. Nonlinear water waves // Academic Press. UK. 1994. P. 535 19.Чашечкин Ю.Д., Кистович Ю.В. Задача генерации монохроматическихвнутренних волн: точное решение и модель силовых источников"// Доклады АН. 1997. Т. 355. № 1. С. 54 57.

19. Кистович Ю. В., Чашечкин Ю. Д. Линейная теория распространения пучков внутренних волн в произвольно стратифицированной жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39. № 5. С. 88 -98.

20. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Гармонические внутренние волны и внутренние пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости: Препринт № 609. М.: Ин-т проблем механики РАН, 1998. 112 С.

21. Ильиных Ю.С., Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Сравнение точного решения одной задачи возбуждения периодических внутренних волн с экспериментом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. №5. С. 649-655.

22. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // Прикладная механики и техническая физика. 1999. Т. 40. № 6. С. 31-40.

23. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Нелинейная генерация периодических внутренних волн пограничным течением на вращающемся осесиммет-ричном теле // Доклады АН. 1999. Т. 367. № 5. С. 636-639.

24. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Точное решение одной линеаризованной задачи излучения монохроматических внутренних волн в вязкой жидкости // Прикладная математика и механика. 1999. Т.63. Вып. 4. С. 611-619.

25. Kistovich Yu.V., Chashechkin Yu.D. Generation of periodic internal waves by oscillating strip of finite width // Doklady Physics. 2001. V. 46. No. 9. P. 667-671.

26. Kistovich Yu.V., Chashechkin Yu.D. Some exactly solvable problems of the radiation of three-dimensional periodic internal waves // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2001. V. 42. No. 2. P. 228-236.

27. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Новый механизм нелинейной генерации внутренних волн // Доклады АН. 2002 Т. 382. № 6. С. 772-776.

28. Chashechkin Y. D., Kistovich Yu.V., Smirnov S.A., Linear generation theory of 2D and 3D periodic internal waves in a viscous stratified fluid // Envi-ronmetrics. 2000. V. 12. P. 57-80.

29. Секерж-Зенькович С.Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн // Прикл. Мат. И Мех. 1981. Т. 45. №2. С. 266274.

30. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука. 1990. 343 С.

31. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. М.: ГИФМЛ. 1963. 583 С.

32. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Черенковское излучение внутренних волн равномерно движущимися источниками // Препринт ИПМ АН СССР, № 183, 1981, 66 С.

33. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Линейные внутренние волны в экспоненциально стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости // Препринт ИПМ АН СССР, № 114, 1978, 38 С.

34. Городцов В.А., Теодорович Э.В. О некоторых сингулярных решениях уравнений внутренних волн // Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1980, С. 776 779.

35. Городцов В.А. Излучение внутренних волн при вертикальном движении тел через неоднородную жидкость // Инженерно-физический журнал, № 4, Минск, 1980, 619-623 С.

36. Городцов В.А. Излучение внутренних волн быстро движущимися источниками в экспоненциально стратифицированной жидкости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 256. N6. С. 1375-1378.

37. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Излучение внутренних волн при быстром горизонтальном движении цилиндров и шаров // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1982, № 6, С. 94 100.

38. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Плоская задача для внутренних волн, порождаемых движущимися сингулярными источниками // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1982, № 2, С. 77-83.

39. Городцов В.А. Высокоскоростная асимптотика сопротивления тел в волновом слое неоднородных жидкостей // Прикладная математика и механика. Т. 56, вып. 2, 1992, С. 260-268.

40. Городцов В.А. Влияние однородного сдвигового течения на малые долгоживущие возмущения в стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1988, № 2, С. 94 102.

41. Городцов В.А. Эволюция осесимметричиых распределений завихренности в идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика. Т. 47, вып. 4, 1983, С. 583-590.

42. Городцов В.А. О слоистых структурах на конечной стадии вырождения турбулентности в стратифицированных жидкостях // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1985, № 4, С. 69 76.

43. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Излучение внутренних волн при периодическом движении источников // Журнал прикладной механики и технической физики, Новосибирск: Наука. 1983, № 4, С. 81 — 88.

44. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Энергетика генераторов гармонических внутренних волн // Журнал прикладной механики и технической физики, Новосибирск: Наука. 1986, № 4, С. 53 60

45. Городцов В.А. Коллапс асимметричных возмущений в стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1991, №6, С. 51-58.

46. Макаров С.А., Чашечкин Ю.Д. Присоединенные внутренние волны в жидкости экспоненциальным распределением плотности // Журнал ПМТФ. 1981. № 6. С. 47-54.

47. Макаров С.А., Чашечкин Ю.Д. Присоединенные внутренние волны в • вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана. 1982. Т. 18. № 9. С. 986-994.

48. Смирнов С.А., Чашечкин Ю.Д. Подветренные (присоединенные) внутренние волны при произвольной ориентации набегающего потока // Известия АН, Физика атмосферы и океана. 1998. Том 34. № 4. С. 528536.

49. Voisin В. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part 2. Moving point sources // J. Fluid Mech. 1991. V. 231. P. 439-480.

50. Miloh Т., Tulin M.P., Zilman G. Dead-water effect of a ship moving in stratified seas // J. Offshore Marine and Arctic Eng. 1993. V. 2. P. 105-131.

51. Castro I.P., Snyder W.H.; Upstream motion in stratified flow // J. Fluid Mech., 1988,Vol. 187, P. 487-506.

52. Baines P.G. Mechanisms for upstream effects in two dimensional stratified flow // Stably stratified flow: Flow and dispersion over topography. Oxford: Clarendon Press. 1994. P. 1-14.

53. Taylor P.A. Mesoscale blocking a head of mountain ridges // Stably stratified flow: Flow and dispersion over topography. Oxford: Clarendon Press. 1994. P. 15-37.

54. Debler W.R., Vest C.M.; Observations of a stratified flow by means of holographic interferometry// Proc. R. Soc. Lond. 1997. V. A-358. P. 1-16.

55. Long R.R. Blocking effects in flow over obstacles // Tellus. 1970. No. 5. V. 22. P. 471-480.

56. Pao Y.-Ho. Laminar flow of a stably stratified fluid past a flat plate // J. Fluid Mech. 1968. V. 34. Part 4. P. 795-808.

57. Haussling H.J.; Viscous flows of stably stratified fluids over barriers // J. of the Atmospheric Sciences. 1977. V. 34. P. 589-602.

58. Paisley M.F., Castro I.P., Rockliff N.J. Steady and unsteady computations of strongly stratified flows over a vertical barrier // Stably stratified flow: Flow and dispersion over topography. Oxford: Clarendon Press. 1994. P. 40-59.

59. Kelly R.E., Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in a stratified flow. Part 1. Non-diffusive flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 497-511.

60. Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in a stratified flow. Part 2. Diffusive flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 513-525.

61. Миткин B.B.; Экспериментальное исследование поля скорости перед двумерным препятствием в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН. Физика атмосферы и океана, 2001, № 1, т. 37, С. 85 92.

62. Janowitz G.S. The slow transverse motion of a flat plate through a non-diffusive stratified fluid//J. Fluid Mech. 1971. V. 47. Part 1. P. 171-181.

63. Rasmussen R.M., Smolarkiewicz P.K, Warner J.; On the Dynamics of Hawaiian cloud bands: Comparison of model results with observation and island climatology // J. of the Atmospheric Sciences, 1989, vol. 46, No. 11, P. 1549-1608.

64. Grabowski W.W., Smolarkiewicz P.K; Monotone finete-difference approximation to the advection-condensation problem // Monthly Weather Rew., 1990, Vol. 118. No. 10, P. 2082-2097.

65. Smolarkiewicz P.K, Rotunno R., Low Froude number past three* dimensional obstacles. Part I: Upwind flow reversal zone // J. of the Atmospheric Sciences, 1990, vol. 47, No. 12, P. 1498-1511.

66. Smolarkiewicz P.K, Grabowski W.W.; The multidimensional positive definite advection tranport algoritm: Nonoscillatory option // J. of Computational Physics, 1990, Vol. 86. No. 2, P. 355-375.

67. Smolarkiewicz P.K; On forward-in-time differencing for fluids//Monthly Weather Rew., 1991, Vol. 119. No. 10, P. 2505-2510.

68. Smolarkiewicz P.K, Grell G.A.; A class of monotone interpolation schemes // J. of Computational Physics, 1992, Vol. 101. No. 2, P. 431-440.

69. Белоцерковский C.O., Гущин В.А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости // Препринт. Вычислительный центр АН СССР. М.: 1982. 66 С.

70. Takanori Uchida, Yuji Ohya, Numerical simulation of atmospheric flow ' over complex terrain // J. of Wind engineering and Industrial Aerodynamics,1999, vol. 81, P. 283-293.

71. Takanori Uchida, Yuji Ohya, Stable stratification effect on the separated and reattaching flow behind two-dimensional topography // Reports of Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu University; No. 124(17-24) 2003, P. 17-24.

72. Takanori Uchida, Yuji Ohya, A numerical study of stably stratified flows over a two-dimensional hill Part I. Free slip condition on the ground // J. of Wind engineering and Industrial Aerodynamics, 1997, V. 67&68, P. 493506.

73. Takanori Uchida, Yuji Ohya, Numerical study of stably stratified flows over a two-dimensional hill in a channel of finite depth // Fluid Dynamics Research, 2001, vol. 29, P. 227-250.

74. Castro I.P., Snyder W.H., Marsh G.L. Stratified flow over three-dimensional ridges // J. Fluid Mech., 1983,Vol. 135, P. 261-282.

75. Forestier M.Y., Pasquetti R., Peyret R., Sabbah C. Spartial development of wakes using a spectral multi-domain method // Applied Numerical Math. 2000. V. 33. P. 207-216.

76. Миткин В. В., Чашечкин Ю. Д. Эффект рекурренции и перезамыкания в поле присоединенных двухмерных внутренних волн // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1998. № 5. С. 139-148.

77. Миткин В.В., Прохоров В.Е., Чашечкин Ю.Д. Исследование изменчивости структуры стратифицированного течения за горизонтальным цилиндром оптическим и акустическим методами // Известия АН, Механика жидкости и газа. 1998. № 3. С. 5-17.

78. Чашечкин Ю.Д., Миткин В.В. Высокоградиентные прослойки в непрерывно стратифицированной жидкости в поле двумерных присоединенных внутренних волн // Доклады АН. 1998. Т. 362. № 5. С. 625-629.

79. Байдулов В.Г., Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Формирование течения при начале движения горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН, Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. №. 6. С. 821-828.

80. Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Висящие разрывы в поле двумерных присоединенных внутренних волн // Прикладная механика и техническая физика (ПМТФ). 1999. Т. 40. № 5. С. 40-50.

81. Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Экспериментальное исследование поля скорости около цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 5. С. 20 -30.

82. Чашечкин Ю.Д., Миткин В.В. Макро- и микроструктура спутного стратифицированного течения, за цилиндром // Доклады РАН. 2000. Т. 373. № 6. С. 767-770.

83. Чашечкин Ю.Д., Миткин В.В. Влияние подъемной силы на структуру присоединенных внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости// Доклады АН, 2001. Т. 378. № 4. С. 487-491.

84. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. Санкт-Петербург. Гидрометеоиздат. 1992. 271 С.

85. Краусс В. Внутренние волны. JL: Гидрометеоиздат. 1968. 272 С.

86. Mowbray, D.E., Rarity, B.S.H. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in density stratified liquid. J.Fluid Mech. 1967. V. 28, P. 1-16.

87. Gordon, D., Klement, U.R., Stevenson T.N. A viscous internal wave in a stratified fluid whose buoyancy frequency varies with altitude. J.Fluid Mech. 1975. V. 69(3), P. 615-624.

88. Stevenson, T.N., Woodhead, T.J., Kanellopulos, D. Viscous effects in some internal waves. Appl.Sci.Res. 1983. V. 40, P. 185-197.

89. Stevenson, T.N., Bearon, J.N., Thomas, N.H. A internal wave in a viscous heat-conducting isothermal atmosphere. J. Fluid Mech. 1974. V. 65(2), P. 315-323.

90. Hurley, D.G. A general method for solving steady-state internal gravity wave problems. J. Fluid Mech. 1972. V. 56, P. 721.

91. Макаров, C.A., Неклюдов, В.И., Чашечкин, Ю.Д. Пространственная структура пучков двумерных монохроматических внутренних волн вэкспоненциально стратифицированной жидкости. — Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана 1990. Т. 26. № 7, 744-754.

92. Иванов, А.В. Генерация внутренних волн осциллирующим источником. Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1989. Т. 25. № 1, С. 84-89.

93. Sarma, L.V.K.V., Krishna, D.V. Oscillation of axisymmetric bodies in a stratified fluid. Zastosow. Matem. 1972. V. 13, P. 109.

94. Appleby, J.C., Crighton, D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere. J. Fluid Mech. 1987. V. 183, P. 439-450.

95. Appleby, J.C., Crighton, D.G. Non-boussinesq effects in the diffraction of internal waves from an oscillating cylinder. Q. J. Mech. appl. Math. 1986. V. 39(2), P. 209-231.

96. Hendershott, M.C. Impulsively started oscillations in a rotating stratified fluid. J.Fluid Mech. 1969. V. 36, P. 513-527.

97. Peters, F. Schlieren interferometry applied to a gravity wave in a density-stratified liquid. Experiments in Fluids 1985. V. 3, P. 261-269.

98. Чашечкин Ю.Д., Кистович А.В. Расчет структуры периодических течений в непрерывно стратифицированной жидкости с учетом эффектов диффузии // Доклады АН, 2003. Т. 393. № 6. С. 776-780.

99. Кистович, А.В., Чашечкин, Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде . Доклады АН. 1992. Т. 325. № 4, С. 833-837.

100. Байдулов, В.Г., Чашечкин, Ю.Д. Пограничное течение, индуцированное диффузией около неподвижного горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. — Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 32. № 6. С. 818-823.

101. Кистович, Ю.В., Чашечкин, Ю.Д. Отражение пучков внутренних гравитационных волн от плоской жесткой поверхности. Прикл. мат. и мех. 1995. Т. 59. № 4, с. 607-613.

102. Черноусько, Ф.Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью // Прикл. мат. и мех. 1966. Т. 60. № 6, С. 977-992.

103. Foster, M.R., Saffinan, P.G. The drag a body moving transversely in a confined stratified fluid // J.Fluid Mech. 1970. V. 43, P. 407-418.

104. Maas L. R. M., Lam F.P.A. Geometric focusing of internal waves // J. Fluid Mech. 1995. V. 300. P. 1-41.

105. Manders A. Internal wave patterns in enclosed density stratified and rotating fluids // 2003. Thesis. University of Utrecht. The Netherlands. 144 p.

106. Voisin B. Limit states of internal wave beams // J. Fluid Mech. 2003. V. 496. P. 243-293.

107. Boyer D., Rankin R. 3rd international symposium on environmental hydraulics. December 5-8, 2001. Proceedings of ISEH 2001. 138 p.

108. Staquet C., Sommeria J. Internal waves, turbulence and mixing in stratified flows: a report on Euromech Colloquium 339 // J.Fluid Mech. 1996. V. 314, P. 349-371.

109. Lawarence G.A., Pieters R., Yonemitsu N. Stratified flows. Vancouver, Canada: University of British Columbia. 2000. V. 1, 2. 1272 p.

110. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Т. 4. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 736 с.

111. Океанология. Физика океана. Т 1. Гидрофизика океана, под ред. Монина А.С. М.: Наука, 1978, 455 с.

112. Попов Н.И., Федоров К.Н., Орлов В.М. Морская вода. М.: Наука, 1979, 328 с.

113. Miller W.Jr. Symmetry and separation of variables. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1977.

114. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, ГРФМЛ, 1969, 742 с.

115. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 7-е. М.-Л.: Наука, 1972,440 с.

116. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // ПМТФ. 2001. Т.42. №. 1. С. 52-61.

117. Бардаков Р.Н., Чашечкин Ю.Д. Расчет и визуализация двумерных присоединенных внутренних волн в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости II Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 2004. № 4. (в печати).

118. Bardakov R. N. Short internal waves fine structures the visualization.// International conference "Hydrodynamic Instability and Turbulence". Abstracts. Moscow, Russia, February 15 -22, 2004, Moscow, Russia, Institute of Mechanics MSU. 2004.

119. Bardakov R. N. Analysis of a flow fine structure around a uniformly moving horizontal strip in a continuously stratified fluid //European Geo-sciences Union 1st General Assembly, Abstracts, Nice, France, April 25 30 2004.

120. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Ижевск, 2000, 576 с.

121. Phillips О.М. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid // Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 435 443.

122. Wunsh C. On oceanic boundary mixing // Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 293-301.

123. Linden P.F., Weber J.E. The formation of layers in a double diffusive system with sloping boundary // J. Fluid Mech. 1977. V. 81. P. 757 773.

124. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Влияние диффузионных эффектов на пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. № 4. С. 82 90.

125. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Пограничное течение, индуцированное диффузией около неподвижного горизонтального цилиндра внепрерывно стратифицированной жидкости // Изв. АН. ФАО. 1996. Т. 32. №6. С. 818-823.

126. Holm D.D., Kimura Y. Zero-helicity Lagrangian kinematics of three-dimensional advection//Phys. Fluids. 1991. V. A3. № 5. P. 1033-1038.

127. Найфэ, А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 535 с.

128. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн (обзор) // "Информационное издание ВИНИТИ Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа". 1990. Т. 24. С. 77-144.

129. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. "Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа". 1987.Т 21. с 93-179.

130. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 с.

131. Summerhayes С.Р., Thorpe S.A. Oceanography. An illustrated guide. SOC: Manson Publ., 1996, P. 352.

132. Васильев А.Ю., Чашечкин Ю.Д. Генерация пучков трехмерных периодических внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. № 3. С. 442-452.

133. Чашечкин Ю. Д.,. Васильев А. Ю, Бардаков Р.Н. Тонкая структура пучков трехмерных периодических внутренних волн // Доклады РАН (в печати).

134. Васильев А.Ю., Чашечкин Ю.Д. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. № 3. С. 442-452.139. "Surfer" версии 6.02 производства Golden Software. "http://www.goldensoftware.com/". 1996

135. Forssel L.K. Visualizing flow over curvilinear grid surfaces using Line Integral Convolution // Proceedings of Visualization '94. IEEE. 1994. P. 240-247.

136. Shirayama S., Ohta T. A visualization of a vector field by a homogenized nascent particles tracking // J. Visualization. 2001. V. 4 No. 2 P. 185196.

137. Thrope S.A. Turbulence in stably stratified fluids: a review of laboratory experiments // Boundary Layer Met. 1973. V. 5. P. 95-119.

138. Chashechkin Y.D. Schlieren Visualization of a Stratified Flow around a Cylinder// J. of Visualization. 1999. V. 1 No. 4. P. 345-354.

139. Thorpe S.A. Fronts formed by obliquely reflecting internal waves at a sloping boundary // J. Phys. Oceanogr. 1999. V. 29. P. 2462-2467.

140. Васильев Л.А. Теневые методы. Наука. M.: 1968. 400 с.f

141. Чашечкин Ю. Д.,. Бардаков Р.Н. Двумерные присоединенные внутренние волны и сопутствующие пограничные слои // Доклады РАН (в печати).

142. McEwan A.D. and Plumb P. A. Off-resonant amplification of finite internal wave packets // Dynamics of Atmosphere and Oceans. 1977. V.2. P. 83-105

143. Teoh S.G., Ivey G.N. and Imberger J. Laboratory study of the interaction between two internal wave rays // J. Fluid Mechanics, 1997. v. 336. P. 91-121.

144. Bardakov R.N. Numerical and analytical modeling of the attached internal waves // International conference "Fluxes and Structures in Fluids". Abstracts. St. Petersburg, Russia, June 23 26, 2003. Moscow. IPM RAS.2003. P. 21.

145. Bardakov, R.N.; Chashechkin, Yu.D.; Vasiliev, A.Yu. Regular and singular components of 3d periodic internal wave beams // European Geo-sciences Union 1st General Assembly, Abstracts, Nice, France, April 25 302004.