Определение параметров стратификации жидкости по спектральным характеристикам ее свободных колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД

*■ 5 ¡{ЮЛ 7ПРП

На правах рукописи

Щербак Елена Николаевна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРАТИФИКАЦИИ ЖИДКОСТИ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ЕЕ СВОБОДНЫХ

КОЛЕБАНИЙ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 01.02.05 - МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2000 г.

Работа выполнена в Ростовском государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Потетюнко Э.Н. доктор физико-математических наук, профессор Лежнев В.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Трепачев В.В. Институт проблем механики Российской Академии наук, г. Москва

Защита состоится « Ъс » 2000 г. в 1650 часов на заседании

диссертационного совета К 063.52.19 по физико-математическим наукам в Ростовском Государственном Университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, механико-математический факультет РГУ, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского Государственного Университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 348.

Автореферат разослан < » ¿ыу гЛю-ч 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.19, кандидат физико-математических наук доцент

г®22 У, 322

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В настоящее время исследования Мирового океана поставлены в ряд важнейших проблем науки и техники, что связано с возросшим его значением в жизни человека. Однако, несмотря на все возрастающую интенсивность изучения океана, уровень сегодняшних знаний о закономерностях протекающих в нем процессов далеко не соответствуют практическим потребностям людей.

В последнее время возникла возможность дистанционного зондирования толщи океана с искусственных спутников Земли (ИСЗ). На свободной поверхности океана внутренние волны проявляются в виде световых бликов, перемещающихся с фазовой скоростью внутренних волн. С ИСЗ удается фиксировать эти блики и измерять скорость их перемещения по свободной поверхности океана. Определяя по фотографиям из космоса фазовую скорость распространения внутренних волн и их длину, можно рассчитывать распределение плотности по глубине и тем самым определять местонахождение аномальной плотности (каких-либо объектов в глубине океана). Такими объектами могут быть косяки рыб, подлодки, батискафы, аквалангисты, затонувшие суда и так далее.

Такого же рода задачи возникают при неразрушающем контроле строительных конструкций и сооружений, когда по резонансным частотам колебаний отдельных элементов строительных конструкций необходимо сделать заключение о плотности и структуре материала во всей конструкции. В геофизике такие проблемы возникают при поиске природных залежей полезных ископаемых. В этом случае приводят в колебательное движение почву, горные породы, водные массы, и, по измеренным вибрациям на поверхности, расшифровывают природу неоднородности в толще пород или под дном водоемов.

Математически весь круг таких задач относится к обратным задачам механики сплошной среды. Обратные задачи можно условно разделить на два вида: обратные спектральные задачи и обратные задачи вынужденных колебаний. Предметом изучения обратных спектральных задач являются резонансные частоты или частоты свободных колебаний механической среды, по которым восстанавливается структура неоднородности этой среды. В обратных задачах вынужденных колебаний измеряют деформацию или скорость доступной части среды и по этой информации определяется структура неоднородности изучаемой среды.

Диссертация посвящена обратным спектральным задачам механики сплошной среды. Теория обратных спектральных задач получила свое развитие в работах Амбарцумяна (1929 г.), Крейна (1946 г.), Тихонова (1946 г.), Марченко (1959 г.), Левитана (1950 г.), Гасымова (1960 г.) и др. Первыми известными нам работами в области обратных задач волновых движений неоднородной жидкости были работы Гродского С.А., Кудрявцева В.Н. (1982-1983 гг.), Черкесова Л.В. (1992 г.), Селезова И.Т. (1991 г.). В дальнейшем этим вопросом в

Ростовском Государственном Университете занимались Чупраков Ю.А., Говорухина A.A., Рындина В.В., Потетюнко Э.Н., Чекулаева A.A., Шубин Д.С.

Цель работы. Разработать численные и асимптотические алгоритмы определения волновых характеристик свободных колебаний вертикально неоднородной жидкости. По дисперсионным кривым свободных колебаний неоднородной жидкости определить распределение плотности по глубине. Найти доверительные интервалы для дисперсионных кривых на основе натурных данных и определить требования на точность измерения входной информации для необходимой точности восстановления характера неоднородности жидкости по глубине.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

— статистической обработки натурных измерений;

— асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр при переменном коэффициенте;

— асимптотического анализа двупараметрических интегралов;

— численного определения собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля;

— гармонического баланса;

— компьютерной алгебры.

Научная новизна работы. В задаче о свободных колебаниях неоднородной жидкости предложен численный алгоритм построения доверительных интервалов дисперсионных кривых по доверительным интервалам входной информации, получаемой на основе обработки натурных измерений.

В случае наличия одного пикноклина в распределении квадрата частоты Вяйсяля-Брента выведена асимптотика решения обратной задачи Штурма-Лиувилля для задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости при малых глубинах залегания пикноклина.

Проведена численная реализация построения решения обратной спектральной задачи Штурма-Лиувилля по различным алгоритмам. В рассмотренных обратных задачах данного класса сформулированы требования к измеряемой точности входной информации.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими оценками, решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение и сопоставлением полученных в диссертации результатов с результатами других исследователей.

Практическая значимость работы. Предложенные алгоритмы определения параметров неоднородности могут быть использованы в следующих сферах народного хозяйства: при определении распределения плотности в толще

океана по проявлению на его поверхности внутренних волн, при неразрушаю-щем контроле мостов, зданий, взлётно-посадочных полос, при дистанционном зондировании толщи земли. Также эти результаты могут быть использованы в дефектоскопии при обнаружении трещин и других ослаблений несущих строительных конструкций.

Структура работы. Диссертация объемом 135 стр., состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 81 наименования. Диссертация содержит 31 график, 21 таблицу.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

— II Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 1996 г.

— V научной конференции ученых России, Белоруссии, Украины «Прикладные проблемы механики жидкости и газа», г. Севастополь, 1996 г.

— Международной научно-практической конференции «Строительство-97», г. Ростов-на-Дону, РГСУ, 1997 г.

— Международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства», г. Таганрог, 1997 г.

— IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 1998 г.

— Международной конференции «Строительство 98», г. Ростов-на-Дону, РГСУ, 1998 г.

— V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 1999 г.

Публикации По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ [1-13].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, формулируются цели работы и методы исследования.

Первая глава диссертации посвящена получению распределения по глубине квадрата частоты Вяйсяля-Врента, на основе обработки экспериментальных данных.

Частота Вяйсяля-Врента вводится для устойчивой стратификации (плотность жидкости возрастает с увеличением глубины) и характеризует собой частоту малых свободных колебаний частиц воды вблизи уровня

, ч а ¿Ро

рй <1г

Здесь pa = po(z) — плотность невозмущенного океана, д — ускорение свободного падения, ось Oz направлена по направлению силы тяжести.

Знать распределение функции ¡i{z) необходимо для решения задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости, которая, в пренебрежении диссипативными эффектами (вязкостью, теплопроводностью, диффузией), сводится к задаче Штурма-Лиувилля относительно амплитудной функции вертикальной компоненты скорости частиц жидкости.

' W"(z) + ^W'(z) + "if '¿k2W(z) = О,

i*2 ^ ~ (2) W'{ 0) + /2w(o) = О, 1У(Я) = 0.

Здесь Я — глубина бассейна, ¡i(z) — квадрат частоты Вяйсяля-Брента, и> — частота свободных колебаний по времени, к — волновое число, / = 2fisin ip = const — параметр Кориолиса, fi — угловая скорость вращения Земли, <р — широта местности, в которой исследуются внутренние волны, W(z) — амплитудная функция вертикальной компоненты скорости частиц жидкости, z — координата по направлению глубины бассейна (начало координат расположено на невозмущенной поверхности океана).-

Рассматривалась также задача в приближении Буссинеска, когда в уравне-— нии краевой задачи (2) опускалось слагаемое ¡i{z)/gW'{z), а также задача (2) в приближении «твердой крышки», когда граничное условие на свободной поверхности заменялось условием W(0) = 0. Рассматривалась также задача в приближении Буссинеска и «твердой крышки» одновременно.

Характерные распределения в океане квадрата частоты Вяйсяля-Брента обусловлены наличием специфических для океана особенностей в формировании поля плотности po{z)- Под величиной po(z) в океане понимают стационарные распределения, осредненные по значительным интервалам времени и по пространству.

В настоящее время известно несколько видов уравнений состояния для определения плотности жидкости по известной температуре и солености. В диссертации рассматривалось следующее уравнение

р = 1 + Ю-5 [2815,2- 7,35Т - 0,469Т2 + (80,2-0,2Г)(5 - 35)]. (3)

Входящие сюда величины температуры Т и солености S замеряются во время экспедиций. К настоящему времени весь Мировой океан разбит на квадраты (квадраты Марсдена) и в каждом из них произведены измерения Т и S по глубине. Результаты этих измерений хранятся в Международных центрах данных, один из которых расположен г. Обнинске. В данной работе обрабатывалась часть результатов натурных измерений для 217 -го квадрата, находящегося в районе Шетландских островов (60°37'с.ш., 4°43'з.д.).

По экспериментальным данным определялись средние значения температуры и солености жидкости. С использованием статистических критериев х2 и Колмогорова показывалось, что для глубин от 30 метров и ниже распределение погрешностей полей температуры и солености подчиняется нормальному закону. Средние значения температуры и солености находились как среднее арифметическое из имеющихся для каждой глубины значений.

Т{ = У^ Тц/щ, ^ = Зц/п,,

где г —счетчик глубин, ] — счетчик количества измерений для I глубины, щ — количество измерений для г -й глубины.

Рассчитывалась дисперсия и определялись доверительные интервалы погрешностей в распределении температуры и солености. Доверительные интервалы вычислялись по формулам

- Т, К сгг„

при этом

_

- 1)

1-1

- 1)

Здесь сгт, сг£ — дисперсии температуры и солености соответственно. Из уравнения состояния (3) определялись средние значения плотности жидкости. Доверительный интервал для плотности находится по формуле

I где

Здесь ро — среднее значение плотности, ар — дисперсия оценки плотности.

Значения функции ц(г) найдены при помощи формулы (1), записанной в конечно-разностном виде. Выражение для погрешности квадрата частоты плавучести имеет вид

Полученный на основе экспериментальных данных функция квадрат частоты Вяйсяля-Брента ц{г) сглажен методами наименьших квадратов и интегрирования по периоду осцилляции (по глубине). График получившийся функции ц{г) изображен на Рис. 1.

Отклонения от среднего значения для функции ц(г) оценивались по норме в пространствах С, Ь\, Ь2. Получено, что определяемая на основе обработки экспериментальных данных функция ц(г) имеет погрешность 18%, поэтому при

2 , Н

Рис. 1: График функции ц{г) с доверительными интервалами

Рис. 2: Графики дисперсионных кривых с доверительными интервалами

эешении обратных задач для удовлетворительного ее восстановления нет емьь хна восстанавливать функцию с большей точностью. Поточечно определенная функция аппроксимирована непрерывной функцией

т/ТГ V71"

Составлена функция вида: Ф = (¿и(2,-) - /й(г,))2 и из условий минимизации этой функции по параметрам Д (г = 0,1, 2), с^, г^ (.? = 1,2) найдены их значения, которые имеют следующий вид при Н = 1100 м

^ = 99.0142, ;г2 = 154.1658, Л0 = 0.0000641, А\ = 0.00095, = 0.00098, «1 = 1.3045948171, а2 = 0.58693564.

Во второй главе с использованием найденного распределения квадрата частоты Вяйсяля-Брента ц(г) краевая задача (2) решена конечно-разностным методом на неравномерной сетке. Для получения доверительных интервалов задача (2) решалась конечно-разностным методом на неравномерной сетке для функций ц{г), 1л{г)+(Тц, /л(г)—стц. Дисперсионная кривая для р(х) лежит между дисперсионными кривыми для р.(г) +ом и ц(г) +

Графики дисперсионных кривых приведены на Рис. 2. На графике выделены доверительные области для первой, второй и третьей дисперсионных кривых. Точки, лежащие в областях пересечения доверительных интервалов соседних дисперсионных кривых, могут принадлежать как одной, так и другой дисперсионной кривой и при решении обратных задач необходимо задавать дополнительную информацию о числе узловых точек соответствующей моды.

Вычислено среднеквадратичное отклонение дисперсионных кривых, соответствующих /х(г) + аи от дисперсионной кривой, отвечающей /¿(г), и получено, что погрешности ш и к могут достигать по крайне мере 10% в метрике Ьч. Это необходимо учитывать при решении обратных задач.

Конечно-разностным методом на неравномерной сетке решена задача (2) с граничным условием типа «твердой крышки» и задача в приближении Бусси-неска. Получено, что при использовании приближения «твердой крышки» без приближения Буссинеска погрешность определения и и к больше, чем при использовании приближения Буссинеска без приближения «твердой крышки». С увеличением значений ш и к погрешность в обоих случаях уменьшается. При использовании обоих приближений погрешность определения и> и к не выходит за рамки доверительных интервалов дисперсионных кривых.

Далее, во второй главе решена обратная задача восстановления распределения плотности жидкости при типовом профиле распределения квадрата частоты Вяйсяля-Брента с одним пикноклином, которая задавалась формулой

л/т

Для удобства вычислений задача (2) преобразована к безразмерным величинам. После обезразмеривания получено Н\ = 1, z\ — 0.0900129, Aq = 0.641, Ai = 9.5, а = 1435.0542.

Рассмотрен случай, когда а оо. Предельный случай представляет собой двухслойную жидкость со скачком плотности на величину Ai при z = z\ и экспоненциальным распределением плотности на каждом слое, поскольку

Вт 4=е_а3(2~€)г = ф-6-

а~>оо уJг

Методом сращивания построено частотное уравнение следующего вида

F{k, ш, Л0> Аи г0 = sin(j9(l - zi) - ot2) = 0, (4)

где

t =_jgsin^aü - at)_ t jg

2 sm(/3^i - ai)(Ap -/г)(1 - ei) - ei/3cos(/3üi - ai)' 1 gX — k'

У _e, e 1 7 2g ■

Считая известными параметры Ло, и задавая различные значения и>, из дисперсионного уравнения находим волновые числа к и строим графики дисперсионных кривых.

Для решения обратной задачи — задачи восстановления параметров Aq, z\, £i по заданным значениям а/ и к, построена функция

n 1=1

Здесь N — число частотных уравнений, используемых для вычислений. Значение этого числа, по крайне мере, больше числа отыскиваемых параметров. Минимизацией функции определены параметры Aq, z¡, е\.

В качестве начальных приближений для параметров использовали асимптотические формулы. Для вывода начальных приближений частотное уравнение (4) представлялось в виде

= (6) ф ^-sm(2j0zi) sin(/?) ^Ар - 7 + +

+ sin2(/3z,) (cos(/?) (¿j^ ~ (SA " 7)(1 - ei)) ~ №(/?)) .

и

Таблица 1: Результаты восстановления параметров функции fi(z)

Погрешность входной информации Значение и погрешность восстановления

Л0 21 e¡

1% 5% 10% 15% 0.65412981, 2.000% 0.71084417,10.00% 0.71328577, 11.27% 0.75395642, 17.60% 0.0900332303, 0.02% 0.0900800972,0.07% 0.0751574408, 16.0% 0.0642579028, 52.0% 0.990273179,0.027% 0.989476917, 0.100% 0.984510616, 0.600% 0.978811257, 1.170%

Так как e-j ~ 1 и z\ « 1, то асимптотическое решение уравнения (6) получено по следующей иттерационной формуле

= arcsin |'fa1!\J{g\ - 7)2 + ^ + тт, п = 0,±1,±2,... (7)

Проведенные вычисления показали, что при изменении частоты колебаний ш в пределах /2 < w2 < min ¡i(z) = Ло, погрешность определения Aq из (7) меняется от 35% при lo2 ~ /2 до 1% при а>2 ~ Aq. Следовательно, при определении начального приближения для Ад необходимо брать наибольшую из имеющихся пар (со, к). Причина большой погрешности определения Ао кроется в том, что при ш1 ~ j2 доверительные интервалы дисперсионных кривых пересекаются и требования к точности входной информации повышаются.

Имея приближенное значение для Aq и используя пару (wj, k¡), вычисляем значения /3 и 7. Затем, подставляя в уравнение (6) пары (шг, и ((J3, k¡), получаем систему двух уравнений относительно параметров гг и z\. Её решение имеет следующий вид

= = ¿arccos - l) ,

Фх = Q2cos2(Azi) - /?2sin(2/3,21) sin/3, + Sasin2^«,), fa = 52ñ3 - S3R2,

■02 = i?2 sin2(Azi) cos A - ñ2 sin(2/3i2i) sin А, Ф* = <9г-пз - Q3R2,

Qi = (a sin A - —cos a) , Ri = f-Д- + <Й - 7) , A, = —75»

V i/Ai-7 / VffAi-7 J Ц-/2

S¡ = (pA, - 7) cos A + A sin A (t = 2,3), A = W - 72-

V - J

Найденные приближенные значения параметров уточняем с помощью минимизации функции (5).

Таб. 1 содержит результаты решения обратной задачи с помощью минимизации функции (5). Как видно из приведенной таблицы, хуже всего восстанавливается параметр zj, определяющий место залегания пикноклина. Таким образом, для восстановления параметров стратификации жидкости с точностью

до 18%, которую и можно обеспечить натурными измерениями, необходимо задавать входную информацию с погрешностью 10%.

Третья глава диссертации посвящена применению степенных и тригонометрических полиномов для решения задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости.

Решение задачи (2) найдено с помощью разложения в степенной ряд искомой функции \¥{г) и функции ц{г)

ОС оо

¡=0 ¡=0 Так как полученные уравнения должны выполняться при любых г, то необходимо, чтобы сумма всех коэффициентов при одинаковых степянях г равнялась нулю. Это требование приводит к системе линейных уравнений относительно С{. Из краевого условия на поверхности определяется одна из констант Со или С\. Если использовать условие твердой крышки, то Со = 0, и все коэффициенты (г = 2,3,...) выражаются через С\. Если использовать условие свободной поверхности, то С\ выражается через Со: С\ — —дк2/ (ш2 — /2), и любой коэффициент С; (г = 1,2,...) выражается через Со. Подставив С{ в степенной ряд для и использовав условие на дне, получаем частотное

уравнение, из которого находим к2 как функцию от и2 или наоборот: -—

Рассмотрен случай, когда функция ¡л(г) представлена многочленом второй степени ц(г) = —а2г2 + сцг + ач (а ф 0).

Сделав в (2) замену переменной по формуле

получаем уравнение вида

Р

\¥"(Ь) + а к

Р + 1

\4а4

(А

\4а4

£

4 +

(8)

аг — и) а2

Точные решения последнего уравнения выражаются через функции параболического цилиндра

ИЪ(г) = СХПР (<) + С2Ор Н).

Имея п-й член разложения Юр в ряд, находим практическое условие применимости метода степенных рядов, которое имеет вид

2N

(2ЛГ)!

2 \ • 4а4 у

В обратной задаче по известным парам (о>2, к2) требуется определить параметры функции n{z). Подставляя в частотное уравнение три пары различных значений (а>2, А;2) получаем систему нелинейных уравнений относительно а, а\ и а%, которая решена методом Ньютона. Получено, что, если функция квадрата частоты Вяйсяля-Врента представлена квадратным полиномом, то для ее восстановления с точностью до 4% в метрике С, 13% в метрике L\, 15% в метрике L2 необходимо задавать исходную информацию с двумя значащими цифрами.

В области практической непременимости метода степенных рядов решение задачи (8) построено с помощью асимптотических формул метода ВКВ и асимптотик для функций параболического цилиндра.

На основе интегрального представления функции параболического цилиндра

,— 00

Dp (t) = e-^Vcos (if - f) de, Rep > -1

0

было построено несколько членов асимптотического разложения при |i| —> 00, |р| —»• оо, t2/p = const с помощью метода перевала. Первый член выведенной асимптотики имеет вид

Dp (<) =-,■■„■■ ==— cos<р,

Ч> = + 4р + 2 - Щ- + (р +1/2) arcsin \ *

2у/р+1/2) '

Показано, что асимптотическое решение уравнения (8), построенное с помощью первого члена выведенной асимптотики, совпадает с асимптотическим решением, построенным с помощью первого члена асимптотического решения метода ВКБ. Определена оценка погрешности решения, построенного с помощью метода ВКБ, которая имеет вид

Ъ\С „ „л ч2" &

1МК , ,,л С = const (С > 0), А2 =

b(b\-biY ^ " w2-/2'

• f 2 ii , |-8a2(a2-w2) -2а?| о = min (аг, —а +üi+ü2~ иг} , bj =-i-----1-г-.

min < а2, (-а2 + аг 4- аг - о;2)2 i

Эта формула определяет границы применимости построенных асимптотик по методу ВКБ.

При помощи частотных уравнений, построенных с помощью асимптотик, методом минимизации функции, составленной из суммы квадратов левых частей частотных уравнений при различных значениях и и к, решена обрат-

ная задача восстановления параметров жидкости при параболическом профиле функции (м(г). Получено, что при задании входной информации с 10% погрешностью, восстановление параметров функции /л(г) происходит с точностью 12%.

Следующая часть диссертации посвящена решению обратной задачи методом гармонического баланса с помощью тригонометрических рядов. Решение задачи (2) в приближении Буссинеска и с граничными условиями типа «твердой крышки» построено в виде тригонометрических рядов для функций IV(г) и ц{г)

n n

IV (г) = ^^ вш^тгг:), ц.(г) = ¡ц соз(гттг).

«=1 «=о

Представляя IV(г) в таком виде, тем самым удовлетворяем граничные условия. Подставляя эти ряды в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках зт(г7гг), получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов С{. Вычисляя определитель матрицы этой системы и приравнивая его нулю, находим частотное уравнение Щ, ш?) = 0.

В случае использования тригонометрических рядов, подставляя различные пары (ш?, Щ), лежащие на дисперсионных кривых, в частотное уравнение, получаем систему нелинейных уравнений относительно коэффициентов На основе этой системы строим функцию вида

n 2=1

Минимизацией функции по параметрам щ находим их значения. Восстановление функции (1{г) по известному закону дисперсии для рассматриваемой задачи без дополнительных данных не может быть проведено однозначно. Исследован вопрос о неединственности восстановления параметров /г,-. Получено, что при решении обратной — задачи восстановления параметров функции /¿(г), чтобы избежать неединственности, необходимо использовать пары (ыу, к к), принадлежащие разным дисперсионным кривым. В результате решения обратной задачи получено, что, если функция задана тригонометрическим полиномом с тремя слагаемыми, то для ее восстановления с точностью до 10% необходимо задавать исходную информацию с двумя значащими цифрами.

В конце третьей главы проведены гидроупругие аналогии рассматриваемой задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости. С помощью метода степенных рядов решена задача о свободных продольных колебаниях физически неоднородного стержня. В качестве переменного коэффициента здесь выступает функция распределения плотности в стержне.

Частотное уравнение построено методом степенных рядов и решена обратная задача восстановления параметров неоднородности стержня. Исследовано влияние точности задания входной информации на точность восстановления параметров неоднородности.

Кроме того, решена обратная задача Штурма-Лиувилля для задачи о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя, с использованием метода гармонического баланса. Определено распределение плотности упругого слоя. Получены уравнения общего вида для построения частотного уравнения любой степени точности. Исследованы вопросы о неединственности восстановления параметров задачи и о влиянии точности задания входной информации на точность восстановления.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

— Рассчитаны и построены доверительные интервалы дисперсионных кривых в задаче о свободных колебаниях вертикально стратифицированного океана на основе обработки натурных измерений температуры и солености одного из районов Мирового океана;

— Выведено несколько членов асимптотики функции параболического при одновременно больших значениях индекса и аргумента;

— Для типового профиля распределения плотности жидкости в Мировом океане с одним пикноклином асимптотически и численно определены параметры неоднородности жидкости, а именно: глубина залегания пикно-клина, его интенсивность и ширина;

— Изучены требования, к точности входной информации для достижения необходимой точности восстановления частоты Вяйсяля-Брента, характеризующей распределение плотности по глубине.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

|1] Краснобаев И.А., Погпетюнко Э.Н., Щербак E.H. Определение параметров неоднородности стержня по резонансным частотам его продольных колебаний. //Известия Ростовского государственного строительного университета, 1997, № 2, с. 67-73.

[2| Щербак E.H. Определение характеристик волнового движения стратифицированной жидкости по результатам натурных измерений. //Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1997, № 3 , с. 41-44.

13 j Щербак E.H. Восстановление параметров среды по спектральным характеристикам ее свободных колебаний. //Сб. Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Изд. СКНЦ ВШ, Ростов н/Д, 1999, с. 207-223.

|4) Щербак E.H. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. //Известия Ростовского государственного строительного университета, Ростов н/Д, 1838, № 3, с. 201-202.

[5| Чекулаева A.A., Щербак E.H. Восстановление параметров среды с помощью разложения в степенные ряды. Деп. в ВИНИТИ, 28.11.95, 1995, № 3155-В95, -26 с.

[6| Щербак E.H. Определение свободных колебаний одного из районов Мирового океана. Деп. в ВИНИТИ, 15.C7.S8, № 2203-В98, -39 с.

[7| Щербак E.H. Экспериментальное определение частоты плавучести. //Труды II Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 1996.x 2, с. 196-200.

[8| Щербак E.H. Доверительный интервал спектра собственных частот стратифицированной жидкости.//Труды IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 1998, с. 218-221.

|9) Щербак E.H. Восстановление плотности жидкости посредством дисперсионного закона свободных колебаний. //Тезисы докладов V научной конференции ученых России, Белоруссии, Украины «Прикладные проблемы механики жидкости и газа», Севастополь, 1996, с. 91.

-[ 101 Потегпюихо Э.Н., Щербак E.H. Свободные колебания стратифицированной жидкости.

//Тезисы Международной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства», Изд. Таганр. пед. инст., Таганрог, 1997, с. 75-76.

[11| Щербак E.H. Определение дефектов строительных конструкций по резонансным частотам. //Тезисы докладов Международной научно-практической конференции, Ростов н/Д, РГСУ, 1997, с. 55.

[121 Щербак E.H. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. //Тезисы докладов Международной научно-практической конференции «Строительство 98», Ростов н/Д, 1998, с. 91.

|13) Потетюнко Э.Н., Чекулаева A.A., Щербак E.H. Решение обратных спектральных задач волнового движения вертикально стратифицированной жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 28.02.00, № 543-BQ0, -29 с.

Введение

Глава 1.

Получение функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента на основе обработки экспериментальных данных

1.1 Постановка задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости

1.1.1 Морская среда. Стратификация.

1.1.2 Математическая постановка задачи.

1.1.3 Приближения

1.1.4 Линеаризиция относительно состояния покоя

1.1.5 Приведение исходной задачи к безразмерному виду.

1.2. Обработка экспериментальных данных для одного из районов Мирового океана.

1.3. Получение средних значений параметров жидкости.

1.4. Сглаживание экспериментальных данных.

1.5 Аппроксимация функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента.

Глава 2.

Построение закона дисперсии для вертикально стратифицированной жидкости.

2.1. Конечно-разностная аппроксимация на неравномерной сетке.

2.2 Построение закона дисперсии в случае представления функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента типовой функцией с двумя пикноклинами.

2.3. Решение прямой и обратной задачи в случае представления функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента функцией с одним пикноклином

Глава 3.

Метод степенных рядов для построения закона дисперсии. 3.1 Применение метода степенных рядов для краевой задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости.

3.1.1 Общая схема построения дисперсионных уравнений.

3.1.2 Метод степенных рядов, в случае представления квадрата частоты плавучести, в виде полинома второй сте- 78 пени.

3.1.3. Построение дисперсионных кривых в случае парабо- 80 лического профиля квадрата частоты плавучести

3.1.4. Решение обратной задачи для случая параболического профиля квадрата частоты плавучести

3.1.5. Асимптотическое решение при высоких частотах

3.1.6. Построение решения с помощью метода ВКБ.

3.1.7. Оценка погрешности решения, построенного по методу ВКБ

3.1.8. Построение асимптотического решения при высоких частотах по методу перевала.

3.1.9. Решение обратной задачи для дисперсионных уравнений построенных с помощью асимптотик

3.2. Решение прямой и обратной задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости с помощью тригонометрических рядов.

3.2.1. Использование тригонометрических рядов для по-строени я закона дисперсии.

3.2.2 Построение дисперсионных кривых.

3.2.3 Решение обратной задачи. 112 3.2. Гидроупругая аналогия. Метод степенных рядов для задачи о продольных колебаниях стержня.

3.2.1 Постановка задачи о продольных колебаниях стержня.

3.12, Решение в виде степенных рядов. 115 3.4. Построение закона дисперсии для задачи об антиплоских колебаниях упругого слоя с помощью тригонометрических рядов

Актуальность темы диссертации. В настоящее время исследования Мирового океана поставлены в ряд важнейших проблем науки и техники, что связано с возросшим его значением в жизни человека. Однако, несмотря на все возрастающую интенсивность изучения океана, уровень сегодняшних знаний о закономерностях протекающих в нем процессов, далеко не соответствуют практическим потребностям людей.

Внутренние волны занимают особое место в изучении процессов, происходящих в деятельном слое океана. Визуальные наблюдения, проведенные с орбитальных станций, показали, что внутренние волны "проявляются" на поверхности океана в виде характерных полос светлого и темного цвета, создаваемых контрастом отраженного излучения в видимом диапазоне спектра [39, 40}. Внутренние волны можно наблюдать радиолокационными методами. Свидетельством этому служат многочисленные эксперименты, проведенные с борта судна [9, 12, 14], и данные индикации внутренних волн из космоса [80, 81].

Представление о характере процессов, происходящих в глубинных слоях океана, можно составить по параметрам верхнего слоя океана. Определяя по фотографиям из космоса фазовую скорость распространения внутренних волн и их длину, можно рассчитывать распределение плотности по глубине и тем самым определять местонахождение аномальной плотности (каких-либо объектов в глубине океана). Такими объектами могут быть косяки рыб, подлодки, батискафы, аквалангисты, затонувшие суда и так далее.

Такого же рода задачи возникают при неразрушающем контроле строительных конструкций и сооружений, когда по резонансным частотам колебаний отдельных элементов строительных конструкций необходимо сделать заключение о плотности и структуре материала во всей конструкции. В геофизике такие проблемы возникают при поиске природных залежей полезных ископаемых. В этом случае приводят в колебательное движение почву, горные породы, водные массы, и, по измеренным вибрациям на поверхности, расшифровывают природу неоднородности в толще пород или под дном водоемов [15].

Математически, весь круг этих задач относится к обратным задачам механики сплошной среды. Обратные задачи можно условно разделить на два вида: обратные спектральные задачи и обратные задачи вынужденных колебаний. Предметом изучения обратных спектральных задач являются резонансные частоты механической среды, по которым восстанавливается структура неоднородности этой среды. В обратных задачах вынужденных колебаний измеряются деформации или скорости доступной части среды и по этой информации определяется структура неоднородности изучаемой среды. В данной работе изучаются обратные спектральные задачи Штурма-Лиувилля, а именно задачи определения переменного коэффициента дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его собственным числам.

Цель работы. Разработать численные и асимптотические алгоритмы определения волновых характеристик свободных колебаний вертикально неоднородной жидкости. По дисперсионным кривым свободных колебаний неоднородной жидкости определить распределение плотности по глубине. Найти доверительные интервалы для дисперсионных кривых на основе натурных данных и определить требования на точность измерения входной информации для необходимой точности восстановления распределения неоднородности жидкости по глубине.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы:

- статистической обработки натурных измерений;

- асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом;

- асимптотического анализа двупараметрических интегралов;

- численные для определений собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля;

- метод гармонического баланса;

- компьютерной алгебры;

Научна новизна работы, В задаче о свободных колебаниях неоднородной жидкости предложена вычислительная схема построения доверительных интервалов дисперсионных кривых по доверительным интервалам входной информации, получаемой на основе обработки натурных измерений.

Выведена асимптотика решения задачи Штурма - Лиувилля для задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости.

Произведена численная реализация решения обратной спектральной задачи Штурма-Лиувилля по различным алгоритмам. В рассмотренных обратных задачах данного класса сформулированы требования к измеряемой точности входной информации.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими оценками, решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение и сопоставлением полученных в диссертации результатов с результатами других исследователей.

Практическая значимость работы. Предложенные алгоритмы, позволяющие определять параметры неоднородности, могут быть использованы в следующих сферах народного хозяйства: определения распределения плотности в толще океана по проявлению на его поверхности внутренних волн, при неразрушающем контроле мостов, зданий, взлетно

- посадочных полос, при дистанционном зондировании толщи земли или океана. Также эти результаты могут быть использованы в дефектоскопии при обнаружении трещин и других ослаблений несущих строительных конструкций.

Структура работы. Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена проблеме получения функции квадрата частоты Вяйсяляg

Брента на основе обработки экспериментальных данных.

Проблема обработки и анализа наблюдений в современных экспериментальных исследованиях океана является очень важной. К настоящему времени написано немало монографий и статей, в которых излагаются методы, применяемые для ее решения. В некоторых работах по этому направлению рассматриваются вопросы обработки данных в океанографических исследованиях на научно - исследовательских судах. В них освещаются процессы сбора натурных данных с помощью измерительных приборов и их первичной обработки (6], [11], [61]. На базе современных достижений автоматики, телемеханики и вычислительной техники рассматриваются проблемы исследования океана из космоса [39], [40], [41] и вопросы автоматизации обработки и анализа натурных наблюдений [1], [41].

В других работах излагаются приемы и методы обработки и анализа экспериментальных данных с помощью теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин. Рассматривается проблема получения статистических характеристик по экспериментальным данным, а также оценка достоверности полученных результатов [4], [50].

В работе [8] для одного из регионов Мирового океана на основе натурных наблюдений получены значения температуры, солености, плотности и квадрата частоты Вяйсяля-Брента. При обработке экспериментальных данных в диссертации используются в основном те же методы, что и в работе [8]. Однако, в связи с тем, что любой океанографический эксперимент является ограниченным во времени и пространстве и протекает в условиях не поддающихся полному контролю и учету, не существует определенной модели, позволяющей абсолютно точно и полно описать процессы и явления, происходящие в океане, поэтому для имеющихся данных некоторые методы, примененные в [8] оказались неприемлемыми.

Исследованию внутренних волн в океане посвящены работы [4],

42], [22]. Методика исследования внутренних волн с борта дрейфующего судна описана в [61], на основе полученного экспериментального материала проведено исследование короткопериодных внутренних волн и сопоставление экспериментальных данных с результатами теории. В [42] проведены исследования внутренних волн на основе модели стратифицированного океана с учетом турбулентной вязкости. В указанной работе на основе экспериментальных данных получены характерные для исследуемого региона профили температуры, солености, квадрата частоты плавучести (частоты Вяйсяля - Брента), построены графики дисперсионных кривых. В [22] данные гидрологических измерений на полигоне используются для изучения средних характеристик нелинейных, длинных внутренних волн.

В диссертации, в результате расшифровки экспериментальных данных, взятых в Международном Центре Данных (г. Обнинск), определялись значения температуры и солености для различных глубин. Для обработки выбирались значения, измеренные в течении одного месяца.

С помощью статистических методов проверки гипотез %2 и Колмогорова показано, что изучаемые данные удовлетворяют нормальному распределению случайной величины. Определены средние значения температуры и солености жидкости на каждом слое и доверительные интервалы этих величин. Из уравнения состояния, связывающего температуру, соленость и плотность, найдены средние значения плотности жидкости и определен ее доверительный интервал. Используя средние значения плотности, вычислены значения квадрата частоты Вяйсяля-Брента и определен доверительный интервал этой величины.

Для получения более плавной функции квадрата частоты плавучести были проведены процедуры сглаживания по методу наименьших квадратов и интегрирования по периоду осцилляции. Полученное дискретное распределение квадрата частоты Вяйсяля-Брента было аппроксимировано непрерывной функцией по методу наименьших квадратов.

Первая часть второй главы посвящена проблеме получения доверительных интервалов собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля, в задаче о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости. Цель данной части диссертации состоит в том, чтобы, используя экспериментальные данные о температуре и солености в конкретном регионе Мирового океана, получить дисперсионные кривые и их доверительные интервалы для внутренних волн в стратифицированной жидкости и обратить внимание на тот факт, что в силу погрешности входной информации, описывающей квадрат частоты, плавучести доверительные интервалы каждой дисперсионной кривой могут пересекаться друг с другом. Это может привести к тому, что частоты, принадлежащие одной дисперсионной кривой могут быть приписаны другой (на номер больше или меньше), а это, в свою очередь, при решении обратной задачи восстановления квадрата частоты плавучести по свободным частотам свободных колебаний при фиксированных номерах этих частот, может привести к неправильному определению этих параметров. Поэтому возникает необходимость в определении тех волновых чисел и частот колебаний, для которых однозначно можно гарантировать их принадлежность той или иной дисперсионной кривой.

Оставшаяся часть диссертации посвящена исследованию различных алгоритмов определения параметров дифференциального уравнения задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру. В качестве механической интерпретации обратных задач Штурма-Лиувилля выступали следующие: задача о свободных колебаниях вертикально - стратифицированной жидкости, задача о свободных продольных колебаниях физически неоднородного стержня, задача о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя.

Первый существенный результат в области решения обратных спектральных задач был получен в 1929 г. В.А. Амбарцумяном, который доказал следующую теорему.

Обозначим через к0 < к, < к2 <. собственные значения задачи Штурма - Лиувилля

-y"+q(x)y = Яу; у'(0)=У'(*)> 0^х<*, где q(x) - действительная непрерывная функция. Если Хп = п2, п= 0,1,2., mo q(x)= 0.

В 1946 г. Борг показал, что в общем случае один спектр оператора Штурма - Лиувилля его не определяет, поэтому результат Амбарцумяна является исключением из общего правила. Борг доказал, что два спектра оператора Штурма - Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют.

В дальнейшем обратными спектральными задачами занимались: Крейн М.Г. (1946), Тихонов А.Н. (1946), Чудов А.А. (1949),Марченко В.А. (1950), Левитан БМ. (1950), Гельфанд И.М. (1951), Гасымов М.Г. (1960) и др. Обратные спектральные задачи Штурма-Лиувилля к настоящему времени исследовались достаточно полно [13, 31, 32, 51, 66]. Тем не менее, для вертикально стратифицированного океана они решались лишь в некоторых частных случаях [17,19,20,35,43-45, 47, 53-59,68,69].

Проблеме восстановления частоты Вяйсяля-Брента по известному закону дисперсии посвящены работы [17, 19, 20, 35, 43-45, 47, 53-59, 68, 69]. В [17, 19,20,35, 43-45, 47, 53-59,68,69] предложены алгоритмы приближенного восстановления функции частоты Вяйсяля-Брента по последовательности дисперсионных кривых. В работах [56, 57, 59] исследуется возможность однозначного восстановления функции частоты плавучести по дисперсионным кривым.

Некоторые алгоритмы определения параметров неоднородности стержня по его свободным продольным колебаниям предложены в работах [26-28, 29, 43, 48]. Алгоритмы решения обратной задачи о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя предложены в работах [67,72,73].

Во второй части второй главы рассматривается задача вывода дисперсионного уравнения и определения параметров стратифицированной жидкости в случае типового профиля с двумя пикноклинами. Описан алгоритм построения дисперсионного уравнения и решения обратной задачи. В случае одного пикноклина, решена обратная задача восстановления параметров жидкости.

Третья глава диссертации посвящена методу построения дисперсионных уравнений с помощью степенных рядов. Выведены общие формулы получения частотного уравнения для задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости, когда квадрат частоты Вяй-сяля-Брента является полиномом любой степени.

В случае представления квадрата частоты плавучести в виде полинома, построено точное решение задачи выраженное, через функции параболического цилиндра. Используя метод наискорейшего спуска, получены несколько членов асимптотики функций параболического цилиндра при одновременно больших значениях индекса и аргумента. На основании построенной асимптотики найдено частотное уравнение задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости.

Далее задача о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости решалась методом ВКБ. Было показано, что решение по методу ВКБ эквивалентно решению, построенному с использованием первого члена выведенной асимптотики для функций параболического цилиндра.

Обратная задача восстановления параметров жидкости решалась также с помощью тригонометрических рядов. Исследовались вопросы о неединственности решения задачи и влиянии точности входной информации на точность восстановления параметров задачи.

С помощью метода степенных рядов решалась задача о свободных продольных колебаниях физически неоднородного стержня. В качестве полинома второго порядка выбрана функция квадрата скорости звука в стержне. Частотное уравнение для этой задачи строилось методом степенных рядов и решалась обратная задача восстановления параметров неоднородности стержня. Исследовалось влияние точности задания входной информации, на точность восстановления параметров неоднородности стержня.

Последняя часть третьей главы посвящена решению обратной задачи Штурма-Лиувилля для задачи о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя (с использованием метода гармонического баланса). Определено распределение квадрата скорости звука сдвиговых колебаний упругого слоя по частотам колебаний и волновым числам. Были получены общие формулы для построения частного уравнения указанной степени точности. Исследован вопрос о неединственности восстановления параметров задачи, и о влиянии точности задания входной информации на точность восстановления.

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ [29, 46, 49, 65,70-78]. В совместной работе [65] Чекулаевой А.А. принадлежат постановка задачи, предложение метода решения, обсуждение результатов исследования; Щербак Е.Н. - получение общих формул построения дисперсионного уравнения для полинома любой степени, численная реализация алгоритма. В работе [28] Краснобаеву И.А. принадлежит постановка задачи исследования; Потетеюнко Э.Н. - предложение метода исследования, обсуждение алгоритма решения, обсуждение результатов; Щербак Е.Н. обсуждение метода решения, численная реализация, обсуждение полученных результатов. В работе [43] Потетеюнко Э.Н. принадлежит постановка задачи и предложение метода исследования, обсуждение результатов; Щербак Е.Н. - обсуждение метода решения, численная реализация, обсуждение полученных результатов. В работе [46] Потетеюнко Э.Н. , Чекулаевой А.А. принадлежат постановка задачи, предложение метода решения, обсуждение результатов; Щербак Е.Н. - обсуждение метода решения, численная реализация, обсуждение полученных результатов.

выводим

W^+XgWg )| - MWV.+AgW,)! , (2.6) Poi где в!

Z=2t " • « "12=2, к2 e s , Я:

Z=Zj

02-f2

P02

Условие равенства давлений на втором и третьем слоях получаем аналогично. Учитывая (2.5) и (1.14), выводим p3=p., + gjPB(t)dt+p»(ffi' V л мок i *

Р.3 = g J Poi(t)dt + g J Р02 (0е*t - внешнее давление на третьем слое.

О гх

Приравняем давления при z-z2 ч ч z2h2 P(!J (со2 -f2) g J Poi(t)dt + g| Рог(tMt + g | Pn№ +-^Vi-LWI =

0 zt z2 ,™t zi z5ic3 pezi r (®2-f2) = g|poi(t)dt+g J p02(t)dt +-^^--W,

Раскладывая интегралы в ряды Тейлора по £2, получаем p»3L W® ~t )„„ ifok'

Pin gCi +-*■ ,-W г

Р02!™, (®2"f2) pj — *2+Сг .-W' . r«Z|z=z2 icflk2

Отсюда, учитывая равенства выводим

W'3+XgW3)| = e2(W'2+*gW2)l , (2.7)

2 2 M где 8, = P« е i=zj

Pes

Из граничного условия на свободной поверхности находим: tgtl=-J. (2.8) gA.-y

Из равенства Wi|z=z^ = W2|Z=Z1 определяем с, =(2.9) sinq>2

Далее из (2.6) выводим

1C1e TZ4pcos(pz1 - ф1)+ sin(pz1 - ф,)[дЛ - у)) = = C2(ysin92 + pcosф2)- XgC2 sin<p2

Учитывая (2.9), из последнего равенства вычисляем выражение для <р2 tg9l =P*»№i-»i)(2 10) sin(Pz! - ф! )(Xg - у)(1 -£!)-£tpcoscpzj - фг ) Из условия W2! = W31 определяем

• Z- 2 ^ z z^

C3 = -C2e"r(Zg"2l) si"CP(z2-*i)-<P2> (2>11) sin93

Далее из (2.7). учитывая (2.11), вычисляем выражение для а3 tgq>3 =

P siit(f}(z2 - *i)- Ф2) sin(P(z2 - z!> ~)(4 - r)( 1 - «2) - cos( p(z2 -z 1) -ф2)

Используя граничное условие на дне, выводим:

W3(1) = C3e~7(1Z2) sin(p(1 - z2) - ф3) = 0.

Выполняя граничное условие при z = 1, окончательно получаем дисперсионное уравнение: siitO(l-z2)-<p3) = 0

2.3. Решение прямой и обратной задачи в случае представления квадрата частоты Вяйсяля-Брента функцией с одним пикноклином.

Рассмотрим решение задачи (1.27) в случае одного пикноклина при А2 = 0. В этом случае дисперсионное уравнение запишется следующим образом:

F(k,<AA0,A1,z1)=sin(P(1-z1)-92)=0, где <р2 вычисляется по формуле (2.10).

2.12) ю3 Ж

0,6-/ к 0

200

400 s00

800

1000

1200

1400

Рис. 2.7. Графики дисперсионных кривых

Считая известными параметры А0, 21, гл и задавая различные значения <s из дисперсионного уравнения (2.12) находим волновые числа к. На рис. 2.7. приведены графики полученных дисперсионных кривых. Для решения обратной задачи, восстановления параметров А0, z1) е1 по заданным значениям <» и к строили функцию вида N

Ф=2Р (ki.^.Ao.z^e,) i=i

2.13)

Минимизацией этой функции определялись искомые параметры.

Рассмотрим вопрос о начальном приближении для параметров. Подставляя в дисперсионное уравнение (2.12) выражения (2.8-2.10) получаем cos2(pz1) psin(p) е2 дЯ-у cos(p)

1 - £

Ч* =--sin(2pz3)sin(p)

Ag-y + W

P2

2-14) gk-Y f sin2(0z1) cos(p) gl-y

-(Ч-уШ-ч) J-Psin(p))

Преобразуем (2.14) следующим образом: cos2(pz1/-rJi^—sinp-^ P cosp W

М-У ? + f?

2.15)

Так как g ~ 1 и гл « 1, то асимптотическое решение для уравнения (2.15) имеет вид: г sm р~ arcsin Р w lW-yf + Э*

Так как правая часть последнего уравнения мала, то в качестве начального приближения для А0 брали решение уравнения Р i) arcsin К

0-1)

2.16)

Проведенные вычисления показали, что при изменении частоты колебаний т в пределах f2 < т2 < miny(z) = А0, погрешность определения Z

А0 из (2.16) меняется от 35% при со2 ~f2, до 1% при ш2 ~ А0. Следовательно, для определения начального приближения для А0, необходимо брать наибольшую из имеющихся пар {щк}. Причина большой погрешности определения А0 кроется в том, что при ю2 ~f2 доверительные интервалы дисперсионных кривых пересекаются и требования к точности входной информации повышаются.

Имея приближенное значение для А0 и используя пару {©^kj вычисляем значения р и у. Затем, подставляя в уравнение (2.14) пары и {о^,к3}, получаем систему двух уравнений относительно параметров е1 и z1. Ее решение имеет следующий вид. iPi /у

2 > arcsm 1 Щ з + Ч>4 1

0<

4>з з +¥4 1 цг1 = Q2 cosz(p1z1)- - R2 sin(2p1z1)sinp1 + S2 sirr(p1z1),

- 1 4>2 = R2 sirr (p^,,) cosp1 - -R2 sin(2p1z1)sinp1, 2

Q, Pi strip.

Pi g kt - у

S, =cosp1(Xig-y)+p1sinp1 cos p.,, R, = g^t (i = 2,3)

2 — f2 ю

1 «,2 v-i-f

K-Y

Найденные приближенные значения параметров уточняем с помощью минимизации функции (2.13).

Заключение

В заключении кратко сформулируем основные результаты и выводы проведенного исследования:

- проведена обработка натурных измерений температуры и солености одного из районов Мирового океана;

- из реально изменчивой по времени плотности океана выделено стационарное распределение плотности жидкости и указаны доверительные интервалы погрешности обработки результатов натурных измерений;

- для задачи Штурма-Лиувилля, соответствующей свободным внутренним волнам вертикально стратифицированного океана на основе доверительных интервалов плотности жидкости рассчитаны и построены доверительные интервалы дисперсионных кривых;

- проведена численная реализация предложенных в диссертации алгоритмов определения параметров дифференциального уравнения задачи Штурма - Лиувилля по ее спектру;

- для типового профиля распределения плотности жидкости в Мировом океане с одним пикноклином, определены параметры неоднородности жидкости, а именно: глубина залегания пикноклина, интенсивность и параметр, описывающий степень нарастания плотности по глубине;

- методом степенных рядов построены дисперсионные уравнения в случае, когда переменный инвариант задачи Штурма - Лиувилля представляет собой полином произвольной степени;

- в случае, когда инвариант задачи Штурма - Лиувилля представляет собой полином второго порядка , восстановление параметров среды проведено следующими методами: методом степенных рядов, методом ВКБ, методом гармонического баланса, численным методом решения системы нелинейных уравнений, а так же методом минимизации функционала, полученного на основе дисперсионных уравнений;

- в случае параболического профиля неоднородности установлен критерий применимости метода степенных рядов с помощью функций параболического цилиндра;

- выведено несколько членов асимптотики функции параболического цилиндра при одновременно больших значениях индекса и аргумента;

- показано, что решение, построенное с помощью первого члена выведенной асимптотики, совпадает с решением, построенным по методу ВКБ;

- по предложенному в работе алгоритмам проведено определение параметров физической неоднородности стержня по резонансным частотам его продольных колебаний и физических параметров неоднородности упругого слоя по резонансным частотам его антиплоских колебаний;

- изучены требования, предъявляемые к точности входной информации для достижения необходимой точности восстановления параметров неоднородности среды;

- исследован вопрос о неединственности восстановления параметров среды по дисперсионным кривым и показано, что для решения обратной задачи восстановления параметров неоднородности среды необходимо использовать данные с разных дисперсионных кривых.

1. Алексеенко Е.А., Никитин А.И., Платонов Б.А. Автоматизация обработки данных в океанографических исследованиях. Киев, Наукова думка, 1989,-136 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:, Наука, 1975, -632 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А., " Высшие трансцендентные функции", том 2, М.: Наука, 1966 , 295 с.

4. Беляев Б.Н. Численные методы обработки и анализа океанологической информации с применением ЭВМ. Ленинград, Изд-во Л ПИ им. М.И. Калинина, 1978,-146 с.

5. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний, Москва, Высшая школа, 1972, -416 с.

6. Богуславский С.Г., Ефимов В.В., Черкесов Л.В. и др. Комплексные океанографические исследования Черного моря. Киев, Наукова думка, 1980,-240 с.

7. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. М., Недра, 1983, -223 с.

8. Браво-Животовский Д.М., Володина Н.И., Гордеев Л.Б. и др. Исследование воздействия внутренних волн на поверхностное волнение дистанционными методами .//Докл. АН СССР, 1982, т.265, №2, с.457-460.

9. Бронштейн И.И., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. -М.:, Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1986,-544 с.

10. Булгаков Н.П., Доценко С.Ф., Кушнир В.М. и др. Гидрофизические исследования Карибского моря. Киев, Наукова думка, 1991, -192 с.

11. Бурдюгов В.М., Верещак А.И., Гродский С.А., Кудрявцев В.И., Малиновский В. В. Оценки параметров внутренних волн радиолокационному сигналу.// Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1987, т.23, №8 с.877-892.

12. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1988, -184 с.

13. Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. //Сб. научных трудов. Горький, 1982, -251 с.

14. Гласко В.Б., Мартанус Г.И., Панкова Н.И. и др. Определение параметров земной коры Русской платформы по дисперсии поверхностных волн.//Изв. АН СССР, Физика Земли, 1974, №5, с. 86-95.

15. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для BGex. -М.:, Мир, 1997, -208 с.

16. Говорухина А.А., Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В., Чупраков Ю.А. Восстановление частоты Вяйсяля-Брента по дисперсионным характеристикам. // Волновые движения жидкости, Ростов-на-Дону, 1989, с. 29-41.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений , М.: Наука, 1971,1108 с.

18. Гродский С.А., Кудрявцев В.Н. Восстановление профиля плотности по натурным дисперсионным соотношениям короткопериодных внутренних волн // Методы обработки океанологической информации. Севастополь, 1983, с. 59-66.

19. Гродский С.А., Кудрявцев В.Н. Описание гидрологической структуры океана по дисперсионному соотношению внутренних волн. // Дистанционное зондирование океана. Севастополь, МГИ АН УССР, 1982, с.97-108.

20. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсикдля персональной ЭВМ. -М.;, Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1989, -240 с.

21. Иванов В.А., Пелиновский Е.Н. и др. Статистические оценки параметров нелинейных длинных внутренних волн при полигонных измерениях //Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 1992, т.28 № 10-11, с.1062-1070.

22. Каменкович В.М. Основы динамики океана. -Л.:, Гидрометеоиздат, 1973,-240 с.

23. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.:, Высшая школа, 1976,-151 с.

24. Копсон Э.Г." Асимптотические разложения М.: Мир , 1966, 159 с.

25. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н. Обратная задача продольных колебаний стержня. //Сб. Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, Рост. инж.-строит. ин-т, 1991, с. 148-157.

26. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н. Прямые и обратные задачи продольных колебаний стержней. //Сб. Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, Рост, инж.-строит. ин-т, 1989, с. 3-16.

27. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н., Шумейко В.И. Прямые и обратные задачи продольных колебаний стержней. Ростов н/Д, РГАС, 1996, -49 с.

28. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н., Щербак Е.Н. Определение параметров неоднородности стержня по резонансным частотам его продольных колебаний. // Известия Ростовского государственного строительного университета, 1997, №2, с. 67-73.

29. Лавреньтьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987, -688 с.

30. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. -М.: Наука, 1984, -240 с.

31. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам. //УМН, 1964, т. 19, № 2 (116), с. 3-63.

32. Ляшко И.И., Макаров В.А., Скоробогатько А.А. Методы вычислений. Киев, Вища школа, 1977, -408 с.

33. Мамаев О.И. Термохалинный анализ вод Мирового океана. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1987, -296 с.

34. Мачулина Л.А, Рындина В.В., Черкесов Л.В. Восстановление частоты Вяйсяля-Брента по спектральным характеристикам свободных колебаний стратифицированной жидкости // Волновые движения жидкости и смежные вопросы. Краснодар, 1991, с. 92-98.

35. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1981, -301 с.

36. Моисеев Н.Н. ; Асимптотические методы нелинейной механики , М.: Наука, 1969,380 с.

37. Монин А.С., Каменкович В.М., Корт В.Г. Изменчивость Мирового океана. -Л.:, Гидрометеоиздат, 1974, -301 с.

38. Нелепо Б.А., Коротаев Г.К., Суетин B.C., Терехин Ю.В. Исследования океана из космоса. Киев, Наукова думка, 1985, -168 с.

39. Нелепо Б.А., Терехин Ю.В., Коснырев В.К., Хмыров Б.Е. Спутниковая гидрофизика. М., Наука, 1983, -254 с.

40. Нелепо Б.А, Тимченко И.Е. Системные принципы анализа наблюдений в океане. Киев, Наукова думка, 1973, -247 с.

41. Пантелеев Н.А., Слепышев А.А. и др. Распространение внутренних волн в модели стратифицированного океана с учетом турбулентной вязкости. //Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 1993, т.29 № 4, с.553-558.

42. Потетюнко З.Н. Волновые движения жидкости со свободными границами. Ростов-на-Дону, изд. Ростовскоко отделения Всесоюзного общества информатики и вычислительной техники, 1993, -318 с.

43. Потетюнко Э.Н. Волновые движения неоднородной жидкости // Вопросы волновых движений жидкости, Ростов-на-Дону, 1989, с. 86-163.

44. Потетюнко Э.Н. Обратные спектральные задачи волновых движений жидкости. // Сб. Проблемы гидромеханики в освоении океана. Киев, изд-во института гидромеханики АН УССР, 1992, с. 112-113.

45. Потетюнко Э.Н., Чекулаева А.А., Щербак Е.Н. Решение обратных спектральных задач волнового движения вертикально стратифицированной жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 28.02.00, № 543-В)), -26 с.

46. Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В. Определение параметров стратифицированного океана по спектральным характеристикам внутренних волн. //Док. Нац. АН Укршни, 1996, -№3, с. 113-115.

47. Потетюнко Э.Н., Шубин Д.С. Восстановление параметров неоднородности стержня по частотам его свободных колебаний.// Известия Ростовского государственного строительного университета, 1998, №3, с. 65-72.

48. Потетюнко Э.Н., Щербак Е.Н. Свободные колебания стратифицированной жидкости. //Тезисы международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства", Таганрог, 1997, с.75-76.

49. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений; М., Наука, 1968, -288 с.

50. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. -М.:, Наука, 1984,-264 с.

51. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. -М.:, Наука, 1971,-192 с.

52. Рындина В. В. Алгоритм восстановления частично известной частоты Брента-Вяйсяля стратифицированного океана по частично известным дисперсионным кривым. Деп. в ВИНИТИ. № 476-890, 1990, -24 с.

53. Рындина В. В. О возможности восстановления частично известой частоты Брента-Вяйсяля стратифицированного океана по известным дисперсионным кривым. Деп. в ВИНИТИ № 2571-В83,1989, -14 с.

54. Рындина В.В. О единственности восстановления частоты Брента-Вяйсяля по последовательности дисперсионных кривых. Деп. в ВИНИТИ № 1806- В96, 1986, -14 с.

55. Рындина В.В. Параметрическое представление дисперсионных кривых внутренних гравитационных волн стратифицированной жидкости. Деп. в ВИНИТИ № 7531-В84, -16 с.

56. Рындина В.В., Лагойда Л.П. О единственности восстановления частоты Брента Вяйсяля по дисперсионным кривым в некоторых параметрических классах. Деп. в ВИНИТИ № 3400-В97, 1997, -10 с.

57. Свешников А.А. Основы теории ошибок. Ленинград, Изд-во ЛГУ, 1972, -126 с.

58. Смирнов Г.В. Экспериментальные исследования внутренних волн в океане. Владивосток, ДВО АН СССР, 1989, -116 с.

59. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Физматгиз, 1958,-467 с.

60. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, т.1, 1965, -608 с.

61. Фреман Н., Фреман П.У. ВКБ приближение. М.:, Мир, 1967, -168 с.

62. Чекулаева А.А., Щербак Е.Н. Восстановление параметров среды с помощью разложения в степенные ряды. Деп. в ВИНИТИ, 28.11.95, № 3155-В95, -26 с.

63. Численные методы решения обратных задач математической физики. //Сб. под редакцией Тихонова А.Н., Самарского А.А. -М.:, Изд-во МГУ, 1988, -259 с.

64. Шубин Д.С. Задача об антиплоских колебаниях слоя.// Известия Ростовского государственного строительного университета, 1998, №3, с. 200-201.

65. Шубин Д.С. Определение параметров стратификации океана на основе асимптотического закона дисперсии внутренних волн.// Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1999, №1, с.61-64.

66. Шубин Д.С. Определение стратификации среды по ее свободным колебаниям. Деп. в ВИНИТИ, № 2204-В98, -29 с.

67. Щербак Е.Н. Восстановление плотности жидкости посредством дисперсионного закона свободных колебаний. /Яезисы докладов V научной конференции ученых России, Белоруссии, Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа", Севастополь, 1996, с. 91.

68. Щербак Е.Н. Доверительный интервал спектра собственных частот стратифицированной жидкости //Труды IV международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", Ростов н/Д, Изд. СКНЦВШ, 1998, с. 218-221.

69. Щербак Е.Н. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. // Известия Ростовского государственного строительного университета, 1998, №3, с. 201-202.

70. Щербак Е.Н. Определение дефектов строительных конструкций по резонансным частотам. /Яезисы докладов международной научно-практической конференции, Ростов н/Д, РГСУ, 1997, с. 55.

71. Щербак Е.Н. Определение свободных колебаний одного из районов Мирового океана. Деп. в ВИНИТИ, 15.07.98, № 2203-В98, -39 с.

72. Щербак Е.Н. Определение характеристик волнового движения стратифицированной жидкости по результатам натурных измерений.//Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Ростов н/Д ,1997, №3 , с.41-44.135

73. Щербак Е.Н. Экспериментальное определение частоты плавучести. //Труды II международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", МП «Книга», Ростов н/Д, 1996, т.2, с. 196200.

74. Щербак Е.Н. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. /Яезисы докладов Международной научнопрактической конференции "Строительство 98", Изд. РГСУ, Ростов$н/Д, 1998, с.91.

75. Щербак Е.Н. Восстановление параметров среды по спектральным характеристикам ее свободных колебаний. //Сб. Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Изд. СКНЦВШ, Ростов н/Д, 1999, с.207-223.

76. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.:, Гос. Изд-во физ. -мат. Литературы., 1962, -127 с.

77. Аре! J.R., Byrne Н.М., Proni J.R., et.ai. Observations of oceanic Internal and surface waves from the Earth resources technology satellite. //J. Geo-phys. Res., 1975, v. 80, №6, p. 865-881.

78. Apel J.R., Gonzaler F.I. Nonlinear features of internal waves off baja California as observed from the Seasat imaging radar.//J. Geop. Res., 1983, v.88, №7, p. 4459-4469.