Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний

Сафина, Гульнара Фриловна

Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Сафина, Гульнара Фриловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нефтекамск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний»

Автореферат диссертации на тему "Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний"

На правах рукописи

САФИНА ГУЛЬНАРА ФРИЛОВНА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА С ЖИДКОСТЬЮ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ЕГО КОЛЕБАНИЙ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа — 2006

Работа выполнена в Нефтекамском филиале Башкирского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Ахтямов Азамат Мухтарович

доктор физико-математических наук, профессор Житников Владимир Павлович;

доктор физико-математических наук, доцент Урманчеев Сайд Федорович

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита диссертации состоится ^ октября 2006 г. в/-^ "часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, физический факультет, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан 2. сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Ковалева Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний является актуальным в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики трубопроводов и виброзащиты топливных систем.

Поставленная проблема непосредственно связана с исследованиями колебательных процессов упругих систем, зависящих от изменения параметров потока жидкости. Задачи акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Быстрыми темпами развивается и электронная диагностика технических систем. Ученые создают все новые и новые методы диагностики в целях обеспечения большей безопасности людей и быстрого обнаружения неисправности. Однако задачи по акустической диагностике состояния закреплений трубопроводов еще не разработаны. Ранее решались лишь задачи акустического диагностирования струн, мембран, стержней и пластин.

Другое важное использование задачи определения закреплений трубопровода— виброзащита топливных систем. Действительно, трубопроводы являются важнейшими элементами топливных конструкций автомобилей, тракторов, судов, самолетов и т.п. Их колебания приводят порой к дребезжанию, вызывающему неприятные ощущения экипажа и пассажиров. Связано это с тем, что спектры колебаний трубопроводов иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний трубопровода не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому для создания комфортных условий пассажирам возникает задача определения таких закреплений трубопровода, которые обеспечивали бы нужный (безопасный) диапазон частот его колебаний. Эта проблема связана с научными задачами колебательных процессов систем (оболочка — жидкость), шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Именно этой важной теме — разработке методов определения параметров закреплений трубопроводов, соответствующих изменяемым параметрам жидкости и обеспечивающих нужный диапазон частот его колебаний, — и посвящена настоящая диссертация.

Црль работы — теоретическое есслсдоеени6 влияния скорости потока жидкости и ее плотности на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода и определение закреплений трубопровода по собственным частотам колебаний в зависимости от изменений параметров жидкости.

Основными задачами работы являются: 1) исследование зависимостей собственных частот колебаний трубопровода от скорости потока жидкости и ее плотности; разработка метода определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости течения и плотности жидкости; построение алгоритма решения задачи, позволяющего при изменении параметров жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний; 2) определение параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости; доказательство единственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; 3) определение закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости; доказательство двойственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; исследование возможности применения найденного метода при диагностировании относительной жесткости упругих закреплений полого трубопровода; 4) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач пакетов программ для пользователей.

Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически на основе спектральной теории дифференциальных уравнений, обратных задач математической физики с применением вычислений на ЭВМ.

Научная новизна. Впервые исследована и решена задача определения вида и параметров закреплений трубопровода, содержащего жидкость, по собственным частотам его изгибных колебаний.

параметрам жидкости. Показано применение методов решения задачи к определению любых (не только упругих) закреплений трубопровода с жидкостью, а также полого трубопровода по собственным частотам его колебаний.

Построены алгоритмы и разработаны пакеты программ для решения задачи акустической диагностики закреплений трубопровода с жидкостью.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные методы решения задачи позволяют обеспечивать заданный диапазон частот колебаний трубопровода при изменении параметров потока жидкости. Построенные алгоритмы решения задачи могут быть применены для диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций, составляющими которых являются трубопроводы.

С помощью предложенных методов можно также судить о виброзащитных закреплениях трубопровода с жидкостью. Найденные методы учитывают случаи протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, случаи изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Они позволяют также определять не только упругие закрепления, но и жесткие защемления, шарнирные опирания, свободные концы и т.п. Предложенные алгоритмы решения применимы и к определению упругих закреплений полых трубопроводов по собственным частотам их колебаний.

О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах: 1) № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005г; 2) № 05-02 (НФ БашГУ) "Прямые и обратные спектральные задачи второго и четвертого порядков", 2005, 2006гг.

Достоверность результатов и предложенных в диссертации методов обоснованы математическими доказательствами, совпадением в частных случаях с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: "IV Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (БГУ, Уфа, 2004г.); Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, СамГТУ, 2005г.); V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Саратов, авг. 2005г.); П Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и

краевые задачи"(Самара, СамГТУ, 2005г.); V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (май 2005г., Санкт-Петербург; окт. 2005 г., Сочи-Дагомыс; май 2006г., Кисловодск); Всероссийская научно-практическая конференция "Наука и образование", посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном Суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ (25-27 окт.2005г., Нефтекамск); "V Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БГУ, 27-29 окт. 2005г., Уфа); "Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых" ( 30 нояб.-б дек. 2005г., Уфа).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 120 страниц текста, в том числе 16 рисунков, 7 таблиц. Список литературы состоит из 87 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту, а также кратко изложена структура диссертации.

В первой гл:аве выполнен обзор литературы, связанной с темой исследования. Приведена и решена прямая задача по определению собственных частот изгибных колебаний трубопровода с жидкостью при известных его закреплениях. Исследовано влияние на значения собственных частот колебаний трубопровода таких параметров жидкости, как скорость и плотность, а также параметров краевых условий. Приведена постановка обратной задачи определения закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний в зависимости от изменений скорости потока жидкости и ее плотности.

В параграфе 1.1 проведен обзор литературы, связанной с задачами колебаний систем (оболочка— жидкость), диагностирования, обратными задачами математической физики, указаны отличительные характе-

ристики диссертационной работы,

В параграфе 1.2 рассмотрена прямая задача определения собственных частот изгибных колебаний трубопровода с жидкостью при известных его закреплениях.

Уравнение малых свободных колебаний трубопровода с протекающей по нему жидкостью (с учетом несжимаемости жидкости) известно и имеет вид:

д4ы , д2мз . „ _ ,„ д3ш . (ро . д2го

Здесь

_,_д4го , _,Э2го „ д3ш ( ро „Л д2го

д/;йГ + (га + га)_+2т%_+Л^ + ^_а= о. (1)

т = п(г2-г1)р, т = -кг\ ро,

где / — момент инерции трубчатого сечения, Е1 — жесткость трубы, ро — критическое внутреннее давление, тп и т — массы трубы и жидкости, приходящиеся на единицу длины I трубы, г и п — радиусы внешнего и внутреннего поперечного сечения, Ро — скорость движения жидкости, р — плотность материала трубы, ро — плотность жидкости.

Решение задачи, удовлетворяющее условиям на концах трубки в виде ги = д2и)/дх2 — 0 найдено приближенно по методу Вубнова-Галеркина. Эта задача хорошо изучена. Однако, обратная задача — задача определения закреплений трубопровода с жидкостью но собственным частотам его колебаний при изменении параметров потока жидкости — не исследована.

В данном параграфе рассмотрен другой подход к решению прямой задачи. После введения безразмерных переменных х — х/1, -ш = ги/г, < = (/ги выражения прогиба к задаче в виде Ш(х,7) — Х(х) егшЬ, уравнение (1) представлено в виде обыкновенного линейного дифференциального уравнения 4 порядка с постоянными коэффициентами:

Х^+аХ" + 2ЫшХ' -ш2Х ~0, (2)

в котором

тР/ро ., гпУ01

Е1\р0 (Е1(т + т))1/2'

Линейно независимыми решениями уравнения (2) являются функции X, — Х^(х,ш) — ех'х, (у = 1,2,3,4), где Xj = — различные корни

соответствующего характеристического уравнения.

В общем случае, который учитывает заделку, свободное опирание, свободный конец, плавающую заделку, различные виды упругого закрепления трубопровода, краевые условия рассмотрены в виде:

и^Х) = (цХ(0) + а4Х"'(0) = 0, и2{Х) = а2Х'(0) + а3Х"(0) = О, и3{Х) = ьхщ + Ъ4Х"'( 1) = о, Щ{Х) = ь2х'{1) + ь3х"( 1) = о.

(3)

Уравнение частот получено стандартными способами из условия равенства нулю характеристического определителя А(шк)- При известных параметрах системы (оболочка — жидкость) и краевых условиях собственные частоты колебаний трубопровода находятся как корни уравнения Л (и/к) = 0.

В параграфе 1.3 исследовано влияние на значения собственных частот колебаний трубопровода таких параметров жидкости, как скорость и плотность, а также параметров закреплений трубы.

По результатам решения прямой задачи (2), (3) при различных параметрах рассматриваемой системы установлено, что увеличение скорости потока жидкости ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний трубопровода.

Например, для параметров системы г^ — 0,01м, г = 1,08гх, I = 1м, р = 7,8- 103кг/м3, ро = 0,85- 103кг/м3, Е = 2 • 1011 Н/м2, ро = 176 ■ 105 Н/м2 и краевых условий

Х(0) - Х"'(0) = 0, Х"(0) = 0, Х(1) + Х'"(1) = 0, Х"(1) = 0, (4)

означающих упругие закрепления обоих концов трубопровода пружинами с относительными жесткостями на изгиб, равными единице, на рисунке 1 (а) рассмотрен график зависимости значений первой собственной частоты их колебаний трубопровода от скорости Т^о потока жидкости. Из графика видно, что увеличение скорости течения жидкости по трубопроводу ведет к уменьшению значений первой собственной частоты его колебаний. Показано, что такая зависимость справедлива и при других параметрах системы. На рисунке 1 (б), например, даны графики изменения значений первых трех собственных частот Шк колебаний трубопровода для задачи (2), (4) при значениях параметров системы

Гх = 0,0095м, г = 0,01м, / — 5м, р = 2,7 • 103 кг/м3, , . ро — 103 кг/м3, Е = 6,9 • 109 Н/м2, ро = 0,5-1О3Н/м2,

Рис. 1: Зависимость первой собственной частоты колебаний трубопровода от скорости потока жидкости (а) и изменение значений первых трех собственных частот колебаний трубопровода при различных скоростях потока жидкости (б)

соответствующие скоростям Уо = 0,05 м/с (ряд 1) и Уо = 5 м/с (ряд 2) течения жидкости.

Установлено, что изменение касается не только первых собственных частот, во и всего спектра частот колебаний трубопровода. В таблице 1 приведены 5 значений из спектра частот колебаний для последней задачи при различных значениях скорости потока жидкости.

Исследовано также влияние на значения собственных частот колебаний трубопровода плотности жидкости. Показано, что при увеличении плотности жидкости собственные частоты колебаний трубопровода уменьшаются. Например, для задачи (2), (4) при параметрах системы П= 0,0095 м, г = 0,01м, 1 = 5 м, р = 7,8-103кг/м3, У0=5м/с, Е =

Таблица 1: Зависимость собственных частот колебаний трубопровода от скорости потока жидкости

изг ш2 о»3 ш4

Уо = 0 м/с У0 = 0,05 м/с У0 = 0,5 м/с У0 = 5 м/с 22,10 22,08 21,99 14,76 61,47 61,46 61,35 55,79 121,72 121,31 120,87 115,57 199,99 199,97 199,63 198,29 298,77 298,75 298,46 295,23

2 • 10иН/м2, ро = 1,78 • 10®Н/м2 на рисунке 2 (а) показан график зависимости значений первой собственной частоты о>1 от плотности ро жидкости. На рисунке 2 (б) рассмотрены для этой же задачи графики изменения значений первых трех собственных частот колебаний трубопровода, соответствующие значениям ро = 0,71 • 103 кг/м3 (ряд 1) и ро = 13,6 • 103 кг/м3 (ряд 2) плотности жидкости.

Таблица 2 также подтверждает уменьшение значений собственных частот колебаний трубопровода при увеличении плотности жидкости для рассматриваемой задачи.

23,8 ■ I 20,75 ■

£ Я».7 '

| 20,65 ■

I ЭЭ,6 ■

I 20155 '

20.5 ■

500 1000 1500 2000

Пжлность жидкости, хгАя5 ^^

12 3 4

Номер собственной частоты ^^

Рпс. 2: Зависимость первой собственной частоты колебаний трубопровода от плотности жидкости (а) и изменение значений первых трех собственных частот колебаний трубопровода при различных значениях плотности жидкости (б)

Таблица 2: Зависимость собственных частот колебаний трубопровода от плотности жидкости

Ы1 шз

Ро = 0,71 • 103 кг/ма 20,75 59,76 118,87 193,37 296,21

Ро = 103 кг/м3 20,66 59,69 118,81 192,96 296,03

Ро = 1,59- 103 кг/м3 20,53 59,60 118,71 192,58 295,93

Ро = 13,6 • 103 кг/м3 17,30 57,22 116,39 192,96 290,12

Аналогичная зависимость собственных частот от плотности жидкости наблюдается и при непротекании жидкости. Показано, что одновременное увеличение скорости потока жидкости и ее плотности ведет к более резкому падению частот колебаний трубопровода.

В параграфе исследованы также зависимости собственных частот колебаний трубопровода от параметров краевых условий. По результатам решения прямой задачи с дифференциальным уравнением (2) и краевыми условиями

Х(0) + сгХ'"(0) = О, Х"(0) = О, Х(1) + с2Х"'( 1) = О, Х"(1) = 0 (6)

установлено, что при увеличении коэффициентов С1, сг относительной жесткости на изгиб пружин, с которыми упруго закреплены соответственно левый и правый концы трубопровода, значения собственных частот его колебаний также увеличиваются.

Например, на рисунке 3 для задачи (2), (6) при параметрах системы (5) и скорости потока жидкости Уо — 1м/с рассмотрены зависимости значений первой собственной частоты шх колебаний трубопровода от коэффициентов С1, с? (а) и от коэффициента съ при = 1 (б) краевых условий.

Рис. 3: Зависимость первой собственной частоты колебаний трубопровода от коэффициентов Сх и с2 (а), от коэффициента сг (при Сх = 1) (б) краевых условий

Тккое изменение снова касается всего спектра частот колебаний трубопровода с жидкостью.

Исследование влияния параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода важно для сохранения заданного

диапазона частот его колебаний. Последняя же проблема разрешима при решении обратной задачи к данной прямой задаче.

В параграфе 1.4 сформулирована обратная задача — задача определения закреплений трубопровода по собственным частотам его изгиб-ных колебаний. Итак, задан диапазон частот колебаний трубопровода, известны также параметры системы (оболочка — жидкость). Обратная задача состоит в определении таких закреплений трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний в зависимости от изменения скорости потока жидкости и ее плотности.

Для математической постановки обратной задачи введена в рассмот-

порядка 4x8, составленная из нулевых

рение матрица С = матриц 0, а также матриц

А 0

0 В

а 1 О О Ü4 О 02 оз О

В =

Ьг 0 0 ь4

0 Ь2 Ьз 0

элементы которых являются коэффициентами краевых условий (3). Элементы матрицы С обозначены через Су, а миноры матрицы С, образованные из столбцов с номерами к\, к%, кз, к4, — через Ми3 к3 Краевые условия (3) в новых обозначениях переписаны в виде:

ЩХт) = £ L-xW-^o) + ciA+j, i=iL J

¿=1,2,3,4. (7)

В этих обозначениях обратная задача сформулирована следующим образом: коэффициенты Cij задачи (2), (7) неизвестны; ранг матрицы С, составленной из этих коэффициентов, равен четырем; известны параметры системы (оболочка — жидкость) и собственные значения задачи (2), (7); требуется восстановить краевые условия, сохраняющие диапазон частот колебаний и соответствующие параметрам системы, т.е. найти линейную оболочку (cj., сг, сз, С4), построенную на векторах с* — (сц, ci2, ci3, ci4, cis, ci6, ci7, ci8)T (i = 1, 2, 3, 4).

Отыскание линейной оболочки (ci, C2, c3, C4) эквивалентно нахождению матрицы С с точностью до линейной эквивалентности.

Во второй главе исследована и решена задача по определению закреплений трубопровода по спектру частот его изгибных колебаний в

случае протекания жидкости по трубе. Доказаны теоремы о единственности решения обратной задачи и устойчивости решения. Исследованы случаи восстановления четырех, двух краевых условий. Установлено, что для определения упругих закреплений трубопровода необходимо использование 14 значений из спектра частот колебаний.

В параграфе 2.1 доказала теорема о единственности решения поставленной обратной задачи. Наряду с формами (7) рассмотрены следующие линейные однородные формы:

Ui(Xm) = ]Г + ciA+j X&-i>(i)j, i = 1, 2, 3, 4.

¿=i L J

(8)

Матрица, составленная из коэффициентов Cij, обозначена через С, а ее миноры — через М*, к3 к4 • Введены в рассмотрение также векторы

Сt = (cii, Ci2, са, Си, eis, С,в, Ci7, cis)T , (г = 1, 2, 3, 4).

В параграфе доказана теорема 1.1 (о единственности решения обратной задачи). Пусть rank С = rank С — 4. Если собственные значения {wfc} задачи (2), (7) и {£>*} задачи (2), (8) совпадают с учетом их кратностей, то (ci, с2, с3, С4) = (cf, с^, с^", cj) .

Показано, что частотный определитель можно представить в виде A(wjfe) = det(C£)), в котором

Xi(0) Х[(0)

х№

Х["{0) W)

Х{"(1)

D =

*э(0) х№ Х3(0) х4(0) Х№

хт хт

ХЦЩ ХЦ'(0) ХХЩ

Х2(1) Хз(1) Хл(1)

ХЦ1)

-ЯГ5Ч1) ХЦ(1) х№)

Частотное уравнение Л (и к) следующим образом:

1 < к! < к2 < 4 b<k3<kt<8

О в таких обозначениях преобразовано

Л/iti fca к3 fc* fki fc2 кз кЛшк) = 0.

(9)

Здесь /к! кг к3 миноры четвертого порядка матрицы Б, составленные из строк с номерами кч, к^.

В параграфе 2,2 рассмотрен метод восстановления четырех краевых условий при протекании жидкости по трубопроводу. Показано, что в этом случае частотное уравнение (9) примет вид:

= (Л*1257 - Мпьв) /1257(^4) + Л/1268 +

+М2456 /2456 (и к) + м1368 /1368(«*) + М2457 /2457^*) + -ЬМ1278 /1278к) + М3456 /з456(ь>к) + М-1378 /1378 + цдч

+М3457 /з4Б7(^л) + М2478 /2478(^*) + М3468 /з468(шк) + ^ '

+Мхз57 /1357(шк) + М2468 /2468(^Я;) + М1256 /125б(^>*) +

+М3478 /з478(ь>*) = 0.

Если о; ь — 14 собственных частот из всего спектра задачи (2), (7), то равенства (10) образуют систему 14-ти линейных алгебраических уравнений относительно 15-ти неизвестных левых множителей последнего равенства. При этом, если гапкН^^Ьзк^ы^Нихи = 14, то, определяя из системы неизвестные миноры, можно восстановить единственную матрицу С с точностью до линейной эквивалентности. Построены точный и приближенный алгоритмы решения обратной задачи. Показана справедливость теоремы 1.2 о единственности определения краевых условий.

В параграфе 2.3 исследована устойчивость решения обратной задачи. Рассмотрена непрерывность решения задачи определения параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний. Классы матриц С, С обозначены соответственно через [С], [С].

Доказана теорема 1.3 (об устойчивости решения обратной задачи). Пусть {с»^} и {СЗь} (к = 1,..., 14) — собственные частоты задач (2), (7) и (2), (8) соответственно; гапкС = гапкС = 4, С е [С], С £ [С]. Тогда для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для собственных частот, удовлетворяющих неравенству \шк~^к\ < выполняются

£¿=1 \сц ~ < с.

Показана корректность обратной задачи, поскольку ее решение в случае протекания жидкости по трубопроводу существует, единственно и непрерывно зависит от Шк — 1,..., 14).

В параграфе 2.4 рассмотрено на примерах применение алгоритма восстановления четырех краевых условий по 14 значениям собственных частот колебаний трубопровода.

В параграфе 2.5 рассмотрено определение закреплений трубопро-' вода при изменении параметров протекающей по нему жидкости. Пока-

зано, что проблема сохранения нужного спектра частот колебаний трубопровода при изменении, например, скорости потока жидкости разрешима с помощью построенного алгоритма решения обратной задачи. Приведены примеры определения неизвестных коэффициентов краевых условий, которые позволяют оставлять неизменными значения собственных частот колебаний трубопровода при изменениях параметров жидкости.

В параграфах 2.6 и 2.7 рассмотрен частный случай предыдущей общей задачи, а именно отыскание двух краевых условий задачи. Причем, показано восстановление четырех неизвестных коэффициентов двух краевых условий по трем собственным частотам колебаний трубопровода, а двух коэффициентов — по двум собственным частотам.

Доказана теорема 1.4 о единственности решения обратной задачи по трем собственным частотам колебаний трубопровода. Найден метод определения закреплений трубопровода с протекающей жидкостью, позволяющий при необходимых изменениях параметров жидкости сохранять нужные три собственные частоты его колебаний.

В третьей главе исследована и решена задача по определению закреплений трубопровода по спектру частот его изгибных колебаний в случае непротекания жидкости по трубе. Доказаны теоремы о двойственности решения обратной задачи и устойчивости решения. Исследованы случаи восстановления четырех, двух краевых условий. "Установлено, что для восстановления упругих закреплений необходимо использование 9 значений из спектра частот колебаний трубопровода. Показано также применение построенного алгоритма решения задачи к определению закреплений полого трубопровода.

В параграфе 3.1 доказана теорема о двойственности решения обратной задачи в случае непротекания жидкости по трубопроводу. Снова наряду с формами (7) рассмотрены линейные однородные формы (8), матрицы С и С. Кроме рассмотренных ранее векторов с,- и сf введены новые векторы

= (c¿5, cu, —c¡7, -ci8, cu, Ci2, -c¿3, -e¿4)T, (i = li 2, 3, 4). (11)

Доказана теорема 2.1 (о двойственности решения обратной задачи). Пусть rankC = rankC = 4. Если собственные значения {w^} задачи (2), (7) и {w*} задачи (2), (8) совпадают с учетом их кратно-стей, то либо (ci, с2, с3, с4) = (cf, cj, cj), либо (ci, C2, сз, c4) =

(C1 J c2 5 c3 ' c4 )■

В параграфе 3.2 рассмотрен метод определения четырех краевых условий при непротекании жидкости по трубопроводу. Собственные частоты {wfc} снова удовлетворяют частотному уравнению (10). При этом, если Шк — лишь девять собственных частот из всего спектра задачи (2), (7), то равенства (10) образуют систему 9-ти линейных алгебраических уравнений относительно 10-ти неизвестных xi, х2, • • •, Яю:

Л(Ш*) = ®1 /1257(^*) + Х2 /l26s(Wfc) + +Жз fl36s(uk) + %4 /l278(wjfe)+

+zsfms(uk) + a;6 /2478(wfc)-(- '

+Х7 f1357{wк) + xs/24в»(шк) + /l25e(Wfc) + Я10 /3478(wA) = 0,

где

XI ~ М1257 - М1356, х2 — М1268 — М2456,

х3 = Mi368 + М2457, = Ail278 + М345в,

Хъ = Mi378 - М3457, 3=6 = М2478 — Мз468)

£7 = Мхз 57, 18 = М2468, = М1256, ®10 = Л4з478.

Если rank|[fk! k2 k3 k4 (wt) Цюхэ = 9» то система линейных алгебраических уравнений (12) имеет единственное с точностью до постоянного множителя решение х±, х2,Хю. Показано, что по значениям Х\, х2,..., хю находятся (с точностью до эквивалентных) две матрицы С. Построены точный и приближенный алгоритмы решения обратной задачи, показана справедливость теоремы 2.2 о двойственности определения краевых условий.

В параграфе 3.3 исследована устойчивость решения обратной задачи в случае непротекания жидкости по трубопроводу. Кроме матриц С я С рассмотрена также матрица С-, составленная из векторов (11). Элементы матрицы С~ обозначены через c,J, а ее миноры — через Введены в рассмотрение также классы матриц С, С, С~, которые соответственно обозначены через [С], [С], [С~].

Доказана теорема 2.3 (об устойчивости решения обратной задачи). Пусть и {2*} (к = 1,..., 9) — собственные частоты задач (2), (7) и (2), (8) соответственно; rank С = rank С = rank С- = 4; С 6 [С], С е [С], С~ € [С~]. Тогда для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для собственных частот, удовлетворяющих неравенству 52jt=i l^fc ~ < S, выполняются £¡=1 E|=i lcij-c,j| < е, J^Li Ej=1 \cij~cij\ < е. В параграфе 3.4 показано на примерах применение алгоритма определения четырех краевых условий при непротекании жидкости.

Ц ТТ О Г»О Т1ТЛО О V Ч ТЖ Ч А ТЛ1 »ЛтпймО чп ТТЧТТП пттгчл ПЛ ТГЛГТТТГТ ттптгхг Т-»--»-* О

евых условий в случае непротекания жидкости по трубе. Показано выполнение и в этом случае теоремы 1.4 о единственности решения обратной задачи по трем собственным частотам колебаний трубопровода. Обосновано также соответствие между рассмотренными методами решения прямой и обратной задач с приближенным решением прямой задачи по методу Бубнова-Галеркина.

В параграфе 3.7 показано применение построенных алгоритмов определения закреплений трубопровода с жидкостью к решению подобных задач с полой цилиндрической оболочкой. Решены задачи определения закреплений полого трубопровода по двум собственным частотам его осесимметричных и асимметричных колебаний.

В заключении формулируются основные результаты работы, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Выполненная работа и полученные результаты позволяют сделать следующие выводы и заключения:

1) По решению прямой задачи определения собственных частот из-гибных колебаний трубопровода и исследованию влияния на, них параметров жидкости установлено, что при любых краевых условиях увеличение как скорости течения жидкости, так и ее плотности ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний.

2) Решена обратная задача определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости потока жидкости и ее плотности. Разработаны методы восстановления четырех, двух краевых условий задачи. Показано, что построенные алгоритмы решения задачи позволяют при изменении параметров потока жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний.

3) Доказаны теорема о единственности определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и теорема об устойчивости решения обратной задачи. Установлено, что в случае протекания жидкости по трубопроводу, изменения ее скорости необходимо использование из спектра частот колебаний 14 значений для определения четырех краевых условий задачи и 3 значений для определения двух краевых условий.

4) Доказаны теорема о двойственности определения упругих закреплений трубы в случае непротекания жидкости и теорема об устойчивости решения обратной задачи. Установлено, что в случае непротекания жидкости, изменения ее плотности необходимо использование из спектра частот колебаний 9 значений для определения четырех краевых условий задачи и 3 значений для определения двух краевых условий. Показано применение предложенных методов к определению закреплений полого трубопровода по двум собственным частотам его радиальных колебаний.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сафина Г.Ф. Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. 2006. № 3 - С.59-60.

2. Сафина Г. Ф. Определение закреплений трубопровода с протекающей по нему жидкостью // Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12, вып.4. - С. 1079-1080.

3. Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний // Контроль. Диагностика. 2005. №12.— С.55-59.

4. Сафина Г. Ф. Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода, наполненного жидкостью / / Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12, вып.2. - С. 503-504.

5. Ахтямов A.M., Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки // Электронный журнал * Техническая акустика». 2004. №19. - С.1-8.

6. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний // Сборник трудов "Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых" ("International Ufa Winter Mathematical and Physical School-Conference with students, post-graduates and youth scientists"). Уфа: БГУ - 2005. Т.З, Математика. - С.169-182.

7. Ахтямов A.M., Сафина Г.Ф. Двойственность диагностирования упругих закреплений трубопровода, наполненного жидкостью / / Сборник трудов "Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых

ученых" ("International Ufa Winter Mathematical and Physical School-Conference with students, post-graduates and youth scientists"). Уфа: Б ГУ - 2005. T.l, Математика. - C.71-83.

8. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний // Тезисы докладов V Региональной школы - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа: БГУ - 2005. 4.1. - С.11.

9. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний // Тезисы докладов "Международной уфимской зимней школы-конференции по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых" ("International Ufa Winter Mathematical and Physical School-Conference with students, post-graduates and youth scientists"). Уфа: БГУ -2005. - C.30.

10. Ахтямов A.M., Сафина Г.Ф. Задача диагностирования относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки по двум собственным частотам ее осесимметрических колебаний // Труды V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи деформируемого тела"/под ред. акад. Н.Ф.Морозова. Саратов - 2005. - С.45-48.

11. Сафина Г.Ф. Двойственность решения обратной задачи по асимметричным колебаниям подкрепленных цилиндрических оболочек // Труды II Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ - 2005. - С. 205-208.

12. Сафина Г. Ф. Двойственность решения обратной задачи по осе-симметричным колебаниям полой подкрепленной трубки // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара: СамГТУ - 2005. - С.76-77.

13. Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки по двум частотам ее осе-симметричных колебаний / / Труды IV региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа - 2004. - С.173-182.

14. Сафина Г. Ф. Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки по двум частотам ее осе-симметричных колебаний // Тезисы докладов IV региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа - 2004. - С.17.

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№021319 от 05.01.99 г. Подписано в печать 28.08.06. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1,3. Уч.-изд.л 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 69. Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32 Отпечатано на множительном участке Нефтекамского филиала БашГУ 452683, Нефтекамск, ул.Трактовая 1. Телефон: (34713) 2-35-80. Факс:(34713) 2-35-80,5-40-46. E-mail: nfbgu2006(cp,nfbgu. ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сафина, Гульнара Фриловна

Введение

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА С ЖИДКОСТЬЮ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ЕГО ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

1.1 Обзор литературы.

1.2 Прямая задача.

1.3 Влияние параметров жидкости на значения собственных частот колебаний трубопровода.

1.4 Обратная задача.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА

В СЛУЧАЕ ПРОТЕКАНИЯ ПО НЕМУ ЖИДКОСТИ

2.1 Единственность решения обратной задачи

2.2 Метод восстановления четырех краевых условий.

2.3 Устойчивость решения обратной задачи.

2.4 Применение метода определения краевых условий по 14 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью

2.5 Сохранение диапазона частот колебаний трубопровода при изменении скорости жидкости

2.6 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости

2.7 Сохранение первых двух собственных частот колебаний при известных параметрах жидкости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКРЕПЛЕНИЙ ТРУБОПРОВОДА В СЛУЧАЕ НЕПРОТЕКАНИЯ ЖИДКОСТИ

3.1 Двойственность решения обратной задачи.

3.2 Метод восстановления четырех краевых условий.

3.3 Устойчивость решения обратной задачи.

3.4 Применение метода определения краевых условий по 9 собственным частотам колебаний трубопровода с жидкостью

3.5 Сохранение первых трех собственных частот колебаний при известной плотности жидкости

3.6 Сохранение двух собственных частот колебаний трубопровода при заданной плотности жидкости.

3.7 Применение построенного алгоритма решения задач к определению закреплений полого трубопровода.

Введение диссертация по механике, на тему "Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний"

Актуальность темы

Определение параметров закреплений трубопровода с жидкостью по собственным частотам его колебаний является актуальным в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики трубопроводов и виброзащиты топливных систем.

Другое важное использование задачи определения закреплений трубопровода — виброзащита топливных систем. Действительно, трубопроводы являются важнейшими элементами топливных конструкций автомобилей, тракторов, судов, самолетов и т.п. Их колебания приводят порой к дребезжанию, вызывающему неприятные ощущения экипажа и пассажиров. Связано это с тем, что спектры колебаний трубопроводов иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний трубопровода не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому для создания комфортных условий пассажирам возникает задача определения таких закреплений трубопровода, которые обеспечивали бы нужный (безопасный) диапазон частот его колебаний. Эта проблема связана с научными задачами колебательных процессов систем (оболочка — жидкость), шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Именно этой важной теме — разработке методов определения параметров закреплений трубопроводов, соответствующих изменяемым параметрам жидкости и обеспечивающих нужный диапазон частот его колебаний, — и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы — теоретическое исследование влияния скорости потока жидкости и ее плотности на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода и определение закреплений трубопровода по собственным частотам колебаний в зависимости от изменений параметров жидкости.

Основными задачами работы являются:

1) исследование зависимостей собственных частот колебаний трубопровода от скорости потока жидкости и ее плотности; разработка метода определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в зависимости от изменений скорости течения и плотности жидкости; построение алгоритма решения задачи, позволяющего при изменении параметров жидкости определять такие закрепления трубопровода, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний;

2) определение параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости; доказательство единственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий;

3) определение закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости; доказательство двойственности решения задачи и его устойчивости; разработка математических методов восстановления четырех, двух краевых условий; исследование возможности применения найденного метода при диагностировании относительной жесткости упругих закреплений полого трубопровода;

4) разработка на основе построенных алгоритмов решения задач пакетов программ для пользователей.

Научная новизна

Впервые исследована и решена задача определения вида и параметров закреплений трубопровода, содержащего жидкость, по собственным частотам его изгибных колебаний.

Задача исследована в случаях протекания и непротекания жидкости по трубопроводу, а также в зависимости от изменения скорости потока жидкости и ее плотности. Доказаны единственность определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и двойственность решения задачи в случае непротекания жидкости. Разработаны методы восстановления по собственным частотам колебаний трубопровода четырех, двух краевых условий, соответствующих заданным параметрам жидкости. Показано применение методов решения задачи к определению любых (не только упругих) закреплений трубопровода с жидкостью, а также полого трубопровода по собственным частотам его колебаний.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Разработанные методы решения задачи позволяют обеспечивать заданный диапазон частот колебаний трубопровода при изменении параметров потока жидкости. Построенные алгоритмы решения задачи могут быть применены для диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций, составляющими которых являются трубопроводы.

О практической значимости исследований свидетельствует участие в грантах:

1) № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005г;

2) № 05-02 (НФ БашГУ) "Прямые и обратные спектральные задачи второго и четвертого порядков", 2005, 2006гг.

Положения диссертации, выносимые на защиту

1) Результаты исследования по решению прямой задачи влияния на собственные частоты изгибных колебаний трубопровода таких параметров жидкости, как скорость течения и плотность;

2) методы решения обратной задачи определения параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний, позволяющие при изменении скорости потока жидкости, ее плотности определять такие закрепления, которые обеспечивают заданный диапазон частот его колебаний;

3) доказательства теоремы о единственности определения упругих закреплений трубы в случае протекания по ней жидкости и теоремы об устойчивости решения обратной задачи; алгоритмы определения при протекании жидкости четырех и двух краевых условий по собственным частотам изгибных колебаний трубопровода;

4) доказательства теоремы о двойственности определения упругих закреплений трубы в случае непротекания жидкости и теоремы об устойчивости решения обратной задачи; алгоритмы определения при непротекании жидкости четырех и двух краевых условий по собственным частотам изгибных колебаний трубопровода.

Апробация работы

Результаты, приводимые в диссертации, докладывались на конференциях и семинарах: "IV Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (БГУ, Уфа, 2004г.);

Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Самара, СамГТУ, 2005г.);

V Российская конференция с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Саратов, авг.2005г.);

II Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, СамГТУ, 2005г.);

V, VI, VII Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (май 2005г., Санкт-Петербург; окт. 2005 г., Сочи-Дагомыс; май 2006г., Кисловодск);

Всероссийская научно-практическая конференция "Наука и образование", посвященная 15-летию со дня принятия Декларации о государственном Суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ (25-27 окт.2005г., Нефтекамск);

V Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике"(БГУ, 27-29 окт. 2005г., Уфа);

Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых"("International Ufa Winter Mathematical and Physical School-Conference with students, post-graduates and youth scientists") ( 30 нояб.-6. дек. 2005г., Уфа); научный семинар кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БашГУ (2004г., 2005 г.,2006 г., Нефтекамск); научный семинар по обратным задачам под руководством д. ф.-м. н., доцента Ахтямова A.M. ( БГУ, 2005г., Уфа); научный семинар кафедры математического моделирования под руководством д. ф.-м. н., профессора Спивака С.И. (БГУ, 2006 г., Уфа); научный семинар Института механики УНЦ РАН под руководством д. ф.-м. н., доцента Урманчеева С.Ф. (2006 г., Уфа).

В первой главе диссертации проводится обзор литературы, связанной с темой диссертации. Рассматривается прямая задача по определению собственных частот колебаний трубопровода. Исследуются зависимости собственных частот колебаний от таких параметров потока жидкости, как скорость и плотность, а также от параметров краевых условий. Проводится постановка обратной задачи определения закреплений трубопровода с жидкостью, соответствующих измененным параметрам жидкости и сохраняющих заданный диапазон частот его колебаний.

Вторая глава диссертации посвящается определению вида и параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае протекания по нему жидкости. Исследуется задача восстановления всех четырех краевых условий по спектру частот колебаний. Доказываются теорема о единственности решения обратной задачи в случае протекания жидкости по трубопроводу и теорема об устойчивости решения. Исследуется задача в зависимости от изменения скорости потока жидкости в трубе. Показывается применение построенного алгоритма решения задачи не только для определения упругих закреплений. Рассматривается случай восстановления двух краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубы при протекании по ней жидкости.

В третьей главе исследуется задача определения вида и параметров закреплений трубопровода по собственным частотам его изгибных колебаний в случае непротекания по нему жидкости. Доказываются теорема о двойственности решения обратной задачи в случае непротекания жидкости по трубопроводу и теорема об устойчивости решения. Рассматривается метод восстановления всех четырех краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубопровода. Исследуется случай восстановления двух краевых условий задачи по спектру частот колебаний трубы при непротекании по ней жидкости. Показывается применение метода к определению закреплений полого трубопровода по собственным частотам его радиальных колебаний.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Заключение

Выполненная работа и полученные результаты позволяют сделать следующие выводы и заключения:

1) По решению прямой задачи определения собственных частот изгибных колебаний трубопровода и исследованию влияния на них параметров жидкости установлено, что при любых краевых условиях увеличение как скорости течения жидкости, так и ее плотности ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Сафина, Гульнара Фриловна, Нефтекамск

1. Агеносов Л.Г., Саченков А.В. Устойчивость и свободные колебания тонких цилиндрических оболочек кругового сечения при разных краевых условиях //Сб. «Исследования по теории пластин и оболочек». КГУ 1964. Вып. 2.

2. Айнола Л. Я. Обратная задача о собственных колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1971. № 2. С. 358-364.

3. Антоненко Э.В. Свободные колебания и устойчивость оболочек с упругими краевыми ребрами .// Прикладная механика. 1975. Т. И, Вып. 6.

4. Антоненко Э.В. Частоты свободных колебаний гладких подкрепленных цилиндрических оболочек с упруго подкрепленными краями // Прикладная механика. 1989. Т 25, Вып.8. С.122-126.

5. Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

6. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.2001.

7. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

8. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. Серия ММ-МИУ. 2001. Т. 5. № 3.- С. 103-110.

9. Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8.-С. 1011-1015.

10. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

11. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. №6.-С. 137-147. . .

12. Биргер И.А. Техническая диагностика. M.: Машиностроение 1978.- 239 с.

13. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука- 1986. 560 с.

14. Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск 1968. Вып. 4. - С. 378-879.

15. Ваньков Ю.В., Казаков Р.Б., Яковлева Э.Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Электронный журнал «Техническая акустика». 2003. № 5. С.1-7.

16. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 3. С. 424-426.

17. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение 1978. 352 с.

18. Власов В. 3. Избранные труды. /Т. 3. М.: Наука. 1964.

19. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / М.: Наука 1979. № .

20. Вольмир А. С., Грач М. С.Колебания оболочки с протекающей жидкостью. // Механика твердого тела. 1973. № 6. С. 162-166.

21. Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ 2000. 317 с.

22. Генкин М.Д., Соколова А.Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение 1987.

23. Глаголевский Б.А., Москаленко И.Б. Низкочастотные акустические методы контроля в машиностроении JL: Машиностроение 1977.

24. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова думка 1964. 288 с.

25. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). Судостроение 1976. 198 с.

26. Григолюк Э. И. Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью. //Труды VII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука 1970. - С. 755-778.

27. Диагностика автотракторных двигателей. Под ред. Н. С. Жданов-ского. Л.: Колос 1977. 264 с.

28. Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение 1968.

29. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М: Наука 1969.

30. Камалов А.З. Колебания цилиндрической оболочки, содержащей жидкость.// Материалы юбилейной конф. Казанского физ.-техн. инта АН СССР. Казань 1966.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука 1976.

32. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение -1966.

33. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука 1968. 503 с.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука 1984. 832 с.

35. Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт -1967. 174 с.

36. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука 1982.

37. Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 2. С. 277-280.

38. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ -1956.

39. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука -1984. 240 с.

40. Липовский Д.Е. Исследование возможных упрощений уравнений напряженного состояния и устойчивости цилиндрических оболочек // Инженерный журнал. 1965. № 3. С.522-530.

41. Маневич Л. И., Стежко А.В. О влиянии краевых условий на частоты колебаний и критические напряжения цилиндрической оболочки // Прикладная механика. 1968. Т. 4. Вып. 3.

42. Марченко В. А., Маслов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Математический сборник. 1960. 52(94). № 2. С. 739-788.

43. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. 1972. 220 с.

44. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 4. Вып. 4. С. 760-762.

45. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука- 1969. 526 с.

46. Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение 1971.

47. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука 1979.

48. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: Справочник в 2 кн. под ред. В.В. Клюева. М.: Машиностроение -1985. 326 с.

49. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение 1968. Т. 1. 831 с.

50. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Спецкурс для студентов НГУ. НГУ 1973.

51. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М. Наука- 1984.

52. Сафина Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний // Контроль. Диагностика. 2005. № 12. С.55-59.

53. Сафина Г.Ф. Двойственность решения обратной задачи по осесим-метричным колебаниям полой подкрепленной трубки // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара 2005. - С.76-77. ;

54. Сафина Г.Ф. Двойственность решения обратной задачи по асимметричным колебаниям подкрепленных цилиндрических оболочек // Труды II Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, Сам ГТУ 2005 - С. 205— 208.

55. Сафина Г.Ф. Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода, наполненного жидкостью // Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12. Вып.2. С. 503-504.

56. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Обозрение прикладной и промышленной математики". 2005. Т.12. Вып.4. С. 1079-1080.

57. Сафина Г.Ф. Определение закреплений трубопровода с жидкостью по двум собственным частотам его колебаний // Тезисы докладов V Региональной школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. БГУ, Уфа - 2005. 4.1. -С.11.

58. Сафина Г.Ф. Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью. // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. 2006. № 3.-С.59-60.

59. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.-Машиностроение 1982. 280 с.

60. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз -1959, 440с.

61. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М., JL: ОГИЗ 1948. 460 с.

62. Тихонов А.Н. и др. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука 1980. 232с.

63. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Пер. с англ. М.: Мир 1985. 254 с.

64. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. № 1. С. 62-67.

65. Тукмаков A. JI., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133/'

66. Феодосьев В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Инж. сб. Т. 10. 1951.

67. Фомичев В. Д. Строительство и расчет трубопроводов. М.: Труды ВНИИСТ 1976. Вып. 34. - С. 75-83. г

68. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М.: ИЛ 1954. Т.1.

69. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов 2001.

70. Akhtyamov A.M., Mouftakhov A.V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // Inverse Problems in Science and Engineering. 2004. Vol. 12. No. 4. P. 393-408.

71. D'Armond R. P., Rouleau W. T. Wave propagation of viscous compressible liquids confined in elastic tubes. N.Y. 1972. 6 p.

72. Paidoussis M. P. Flutter jf conservative systems of pipes conveying incompressible fluid. // Journ. Mech. Eng. Sci 1975. V. 17, №1. -P. 19-24.

73. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly.-1966. V. 73, Ш. P. 1-23.

74. W. U. Qunli, F. Fricke, Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral. 1990. No. 9. P. 329-333.

75. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic stability of papes conveying fluid // J. Sound and Vibr. 1974. P. 267. £