Определение распределения плотности среды по характеристикам ее волнового движения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Общая постановка задачи

1.1 Морская среда. Стратификация

1.2 Математическая постановка задачи

1.3 Приближения."1.

1.3.1 Приближение «твердой крышки» на поверхности океана

1.3.2 Приближение Буссинеска.

1.4 Основная система уравнений.

2 Восстановление характера стратификации жидкости

2.1 Обратная задача определения функции д(^) при ее кусочно-постоянной аппроксимации

2.2 Восстановление распределения функции ¡л(г) при ее кусочно-линейной аппроксимации.

2.3 Обратная задача свободных колебаниях вертикально неоднородной жидкости при наличии тонкой микроструктуры.

2.3.1 Построение ВКБ-асимптотик.

2.3.2 Метод сращиваемых асимптотических разложений

2.3.3 Определение параметров стратификации.

2.3.4 Аппроксимация функции ¡1(х) ¿-функцией.

2.4 Метод интегральных уравнений

3 Гидроупругая аналогия

3.1 Обратная задача антиплоских колебаний упругого слоя.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Тонкая микроструктура.

3.1.2.1 Построение асимптотик решения и их оценка

3.1.2.2 Построение ВКБ-асимптотик.

3.1.2.3 Решение обратной задачи.

3.1.3 Кусочно-постоянная аппроксимация.

3.2 Восстановление параметров неоднородности стержня по частотам его продольных колебаний.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Тонкая микроструктура.

• 3.2.2.1 Построение асимптотик решения и их оценка

3.2.2.2 Построение ВКБ-асимптотик.

3.2.2.3 Решение обратной задачи.

3.2.3 Кусочно-постоянная аппроксимация.

3.2.4 Кусочно-линейная аппроксимация.

Задача управления спектром

Актуальность темы диссертации. Данная диссертационная работа посвящена определению параметров стратификации сплошной среды по известным волновым характеристикам ее свободных колебаний и исследованию точности этого определения. В основном, в диссертации рассматривается задача восстановления плотности вертикально стратифицированной жидкости.

Актуальность решения такой задачи обусловлена тем, что в настоящее время исследование Мирового океана является одной из важнейших проблем науки и техники. Это связано с увеличивающимся значением в жизни человека Мирового океана. Однако, несмотря на все возрастающую интенсивность изучения этих процессов, уровень имеющихся сегодня знаний о их закономерностях не соответствует практическим потребностям человека.

Еще более актуальным является решение задач, в которых по некоторой исходной информации определяются основные характеристики рассматриваемого явления. Такие задачи принято называть обратными. Именно таким задачам посвящена данная диссертация. Следует заметить, что при рассмотрении обратных задач основным является построение такого алгоритма, который позволил бы получить представление о характере протекающего явления. Немаловажным здесь оказывается не только практическая реализуемость предложенного алгоритма решения обратной задачи, но и точность решения, которую этот алгоритм может обеспечить. Обычно исходная информация для решения обратной задачи берется из эксперимента с присущей эксперименту погрешностью измерения, поэтому необходимо выполнить исследование влияния точности входной информации на точность полученного решения обратной задачи.

Имеет смысл сразу отметить, что постановки и методы решения обратных задач не исчерпываются постановками и методами, приведенными в данной диссертации. Многообразие возникающих обратных задач очень трудно обозреть. Обратные задачи решают во многих областях науки. Это не только механика сплошной среды, но и квантовая теория рассеяния, геофизика и т.д. В данной диссертации рассмотрен круг обратных спектральных задач.

Основная, часть диссертации посвящена решению задачи об определении стратификации среды (некоторой функции, связанной с плотностью) по известным волновым числам и частотам ее свободных колебаний. Внимание здесь сконцентрировано на исследовании задачи о распространении внутренних гравитационных волн в океане. При решении этой задачи использовались различные методы современного анализа, которые затем были применены к задачам гидроупругой аналогии. В качестве последних рассматривались задачи о продольных колебаниях стержня и антиплоских колебаниях упругого слоя.

Основным толчком к решению названных задач в последнее время послужило интенсивное развитие методов и аппаратных средств дистанционного зондирования, одной из основных целей которого является получение информации о волновых процессах, происходящих в исследуемой среде. Если рассматривать задачу о распространении внутренних гравитационных волн в океане, то следует отметить возникшую возможность дистанционного зондирования толщи океана с Искусственных Спутников Земли [1,2,5,27,52]. На свободной поверхности океана внутренние волновые процессы (внутренние волны) проявляются в виде световых бликов, перемещающихся с определенной фазовой скоростью. С Искусственных Спутников Земли удается фиксировать эти блики и измерять скорость их перемещения по свободной поверхности океана. Внутренние волны можно также наблюдать радиолокационными средствами измерений, выполненных с борта судна [11,13,17]. Наличие такой возможности наблюдения порождает стремление по измеренным с Искусственных Спутников Земли фазовым скоростям внутренних волн расшифровать структуру толщи океана, поскольку эти фазовые скорости содержат в себе информацию о стратификации океана, т.е. об изменении его плотности с глубиной. Определение поля плотности по глубине позволяет рассчитать местоположение ее аномалий (объектов в глубине океана). Этими объектами могут быть косяки рыб, батискафы и подводные лодки, затонувшие суда и прочие. Такого же рода задачи возникают при неразрушающем контроле строительных конструкций и сооружений, когда по поведению отдельных деталей и наблюдаемым деформациям в каком-либо одном месте необходимо сделать заключение о плотности и структуре материала во всей конструкции и, далее, принять решение о возможности дальнейшей ее эксплуатации. В геофизике такие задачи возникают при поиске природных ископаемых. Приведя в колебательное движение почву и измерив возникшую при этом вибрацию поверхности, выполняют расшифровку распределения неоднородностей в толще пород [20,64].

Математически эти задачи относятся к обратным задачам механики сплошной среды. Обратные задачи условно разделяются на два типа: спектральные обратные задачи и обратные задачи вынужденных колебаний. Объектом рассмотрения обратных спектральных задач являются резонансные частоты свободных колебаний сплошной среды, на основе которых и выполняется восстановление распределения неоднородности среды. В случае обратных задач вынужденных колебаний решение выполняется на основе известных деформаций или скоростей ограниченной части среды. Сами по себе обратные задачи уже достаточно хорошо изучены [10,37,65,66]. Существует много статей и монографий [14,19,26,42,78] по различным постановкам обратных задач, методам их решения и исследованиям единственности и точности решения применительно к различным областям.

Теория обратных спектральных задач, по всей видимости, начавшаяся с работы Амбарцумяна (1929), получила свое развитие в работах Крей-на М.Г. [33-36], Тихонова А.Н. [71, 72], Марченко В.А. [44, 45], Левитана Б.М. [39-42], Гасымова М.Г. [38], Чудова Л.А. [77] и др.

Впервые работы по изучению структуры толщи океана по наблюдаемым с искусственных спутников Земли скоростям перемещения световых бликов на свободной поверхности океана начали проводиться в Морском гидрофизическом институте АН Украины в конце 70-х годов под руководством академика Нелепо Б.А. [52]. Работами Гродского С.А. и Кудрявцева В.Н. в 1982 и 1983 гг. положено начало [23,24] теоретического и численного определения структуры неоднородности жидкости по известному закону дисперсии внутренних волн. Из последних работ экспериментального направления следует отметить монографию [79] Шишкиной О.Д. С 1982 г. по предложению заведующего отделом волновых движений МГИ АН УССР Черкесова Л.В. к решению этих задач [75, 76] был привлечен коллектив сотрудников механико-математического факультета Ростовского государственного университета в рамках хоздоговорных работ. В решении отдельных аспектов обратных задач волновых движений жидкости принимали участие Говорухина A.A. [21], Рындина В.В. [67-70], Моргунова О.В. [50], Чекулаева A.A. [55,74], Чупра-ков Ю.А. [21], Потетюнко Э.Н. [58-63], Щербак E.H. [85-90]. А также Вату-льян А.О. и Соловьев А.Н. [15,16], Сумбатян М.А. [25] и др. Исследование задач неразрушающего контроля строительных сооружений выполняются в Ростовском государственном строительном университете [30-32,53,54,88].

В первой части данной диссертации приведена общая постановка задачи о распространении внутренних гравитационных волн в океане. Показано, что после линеаризации около состояния равновесия рассматриваемая задача сводится к двухточечной краевой задаче типа Штурма-Лиувилля. При этом коэффициенты дифференциального оператора зависят от волновых чисел, частот колебаний и функции квадрата частоты плавучести или частоты Вяйсяля-Брента, которая связана функциональным соотношением с плотностью жидкости. Приводится формулировка двух традиционно используемых приближений: приближение «твердой крышки» и приближение Буссинеска.

Во второй части ставится задача об определении частоты Вяйсяля-Брента по известным волновым числам и частотам колебаний (дисперсионным кривым). Эта задача характеризуется как обратная. Ее решение тесно связано с решением так называемой «прямой задачи», т.е. задачи определения волновых чисел и частот колебаний по известному (заданному) распределению частоты Вяйсяля-Брента. Следует отметить, что каждому конкретному водоему соответствует свое распределение функции квадрата частоты плавучести. А поскольку на данный момент для рассматриваемой задачи не предложено никакого общего метода решения обратной задачи для произвольной функции квадрата частоты плавучести, то усилия исследователей направлены на решение поставленной задачи для частных, фиксированных представлений частоты Вяйсяля-Брента [21,23,24,55,58,61,62,67-70,74,89,90]. В данной диссертации рассматриваются кусочно-постоянная и кусочно-линейная аппроксимации функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента, а также представление в виде функции, содержащей так называемую «тонкую микроструктуру»1.

1 Таким термином характеризуется функция, которая непрерывна на всей области определения и в некоторой точке имеет ярковыраженный всплеск в своих значениях.

Кусочно-постоянная аппроксимация функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента исследовалась в [21,23,24,52,62]. В [52] выполнено восстановление семислойного распределения частоты Вяйсяля-Брента путем многократного решения прямой задачи (подбор параметров). Данный способ крайне неэффективен и в диссертации не использовался. В [62] предложен алгоритм решения рассматриваемой задачи, который в данной диссертации впервые реализован. Также, параллельно в диссертации предложен иной способ построения решения как прямой, так и обратной задач, который основан на базисных функциях и более удобен с вычислительной точки зрения для практической реализации чем предыдущий. В [21] рассмотрены только дву- и трехслойные модели, тогда как в диссертации приведена общая схема решения, без каких-либо ограничений на количество слоев. В качестве метода решения в [21] использовались следы интегрального уравнения. Издержками этого метода явилось то обстоятельство, что для «удовлетворительного восстановления частоты Вяйсяля-Брента требуется знание собственных частот большого количества мод» (см. стр. 41 в [21]). В работах [23,24] считались известными точки разрыва функции квадрата частоты плавучести. В данной диссертации это ограничение снято.

Кусочно-линейная аппроксимация функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента исследовалась в [62]. В диссертации предложен метод построения решения исходной задачи в приближении Буссинеска, для которой впервые построены дисперсионные кривые при наличии точек поворота. Обратная задача решена для одно- и трехслойных представлений квадрата частоты Вяйсяля-Брента. В случае линейного профиля квадрата частоты Вяйсяля-Брента получены аналитические формулы решения обратной задачи и выполнено исследование чувствительности эти формул к исходным значениям волновых характеристик.

В случае наличия тонкой микроструктуры (ярковыраженного всплеска) в распределении функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента в диссертации впервые построены асимптотические представления решения при отсутствии приближения Буссинеска и приближения «твердой крышки». В [21, 62, 63] решена задача только при их наличии. Также исследовано влияние приближения Буссинеска и приближения «твердой крышки» на волновые характеристики внутренних волн.

В конце второй главы приведена схема сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению с учетом обоих традиционно используемых приближений. Подобная задача решалась в [21,62,67-70]. В основном, интегральные уравнения оказываются предпочтительными при выводе и формулировке общих свойств исходной задачи. Практическое решение интегральных уравнений выполняется либо путем сведения к конечно-разностной схеме, либо ограничено возможностью аналитического вычисления интегралов. Выведенные в диссертации интегральные уравнения отличает от уравнений, полученных другими исследователями, общность их формулировки для различных приближений, учет наличия точек поворота и простота перехода к наиболее часто используемому методу их решения — методу последовательных приближений.

Следует отметить, что для рассматриваемой задачи построение квадрата частоты Вяйсяля-Брента по натурным данным выполнено в [50,85,87], применение тригонометрических и полиномиальных рядов — в [55,62,74,90], а конечно-разностных схем — в [21,62,86,89]. В работах [67-70] выполняется теоретическое исследование задачи однозначного восстановления квадрата частоты Вяйсяля-Брента по различным набором волновых характеристик.

В третьей части диссертации продемонстрировано применение разработанных методов решения обратной задачи к двум задачам теории упругости: задача о продольных колебаниях стержней и задача об антиплоских колебаниях упругого слоя. Из работ, посвященных этой же тематике, стоит отметить [30-32,53,54,88].

В конце диссертации впервые приведена интерпретация рассматриваемых обратных задач как задач управления спектром и кратко сформулированы основные выводы.

Цель работы. Разработать асимптотические и численные алгоритмы решения обратных спектральных задач (линейной гидромеханики и строитель. ной механики) на примерах: задачи о восстановлении характера стратификации жидкости на основе известных характеристик ее волнового движения, задачах о продольных колебаниях стержня и антиплоских колебаниях упругого слоя. При решении обратной задачи — исследовать влияние точности входной информации на точность и возможность восстановления неоднородности среды.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались следующие методы: интегрирования дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами; численные для определений собственных чисел краевой задачи; теории интегральных уравнений; теории специальных функций; минимизации функции многих переменных; компьютерной алгебры.

Научная новизна работы. В задаче о свободных колебаниях вертикально неоднородной жидкости построено решение в случае кусочно-постоянной, кусочно-линейной и дельтообразной (тонкая микроструктура) аппроксимаций характеристики стратификации жидкости — функции квадрата частоты плавучести. Исследовано влияние двух традиционных приближений Бусси-неска и «твердой крышки». Показано, что существует область значений волновых характеристик, в которой влияние этих приближений ничтожно, и, напротив, существует область, в которой использование приближения Бусси-неска и приближения «твердой крышки» вносит существенное искажение в значения волновых характеристик движения. Выполнено решение обратной спектральной задачи для каждой из перечисленных аппроксимаций и оценена точность ее решения. Исследовано влияние точности задания исходной информации на точность восстановления. В случае кусочных аппроксимаций функции квадрата частоты плавучести приведена, основанная на базисных функциях, общая схема построения как самого решения, так и дисперсионных уравнений, а при наличии тонкой микроструктуры впервые построены асимптотики решения и дисперсионные уравнения для случая отсутствия приближения Буссинеска и твердой крышки. Выполнена оценка полученных асимптотических решений. Выведены в общей форме интегральные уравнения, учитывающие наличие точек поворота. Для линейного профиля функции квадрата частоты плавучести получены в явном, аналитическом виде формулы для решения обратной задачи и исследована чувствительность полученных выражений к исходным значениям спектральных характеристик.

В задачах гидроупругой аналогии осуществлено применение разработанных методов решения обратных задач определения наличия дефектов в строительных конструкциях. Исследовано влияние точности задания спектральных характеристик на точности восстановления структуры дефекта.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими оценками, решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение и сопоставлением полученных в диссертации результатов с результатами других исследователей.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации алгоритмы могут быть использованы в следующих сферах: определение стратификации среды на основе волновых характеристик ее движения; при нераз-рушающем контроле различных строений (зданий, арок, взлетно-посадочных полос и т.д.); в дефектоскопии при обнаружении трещин и внутренних сколов; при дистанционном зондировании земли или океана.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех основных глав, заключения и приложения. В основном в данной диссертационной работе рассматривается задача об определении коэффициента в дифференциальном уравнении второго порядка по известному его спектру. В качестве механической иллюстрации методов решения обратных задач выбраны следующие задачи: а) задача о распространении внутренних гравитационных волн в океане, б) задача о продольных колебаниях стержней и в) задача об антиплоских колебаниях упругого слоя. В первой главе выписывается гидромеханическая модель, на основе которой формулируется задача о распространении внутренних гравитационных волн, выполняется ее обезразмеривание. Отмечается, что при принятых исходных положениях стратификация жидкости характеризуется только функцией квадрата частоты плавучести (частоты Вяйсяля-Брента). Во второй главе выполняется построение решения и дисперсионного уравнения исходной краевой задачи при различных аппроксимациях квадрата частоты плавучести (кусочно-постоянная, кусочно-линейная, дельтообразная), оценивается влияние двух традиционных приближений (Буссинеска и «твердой крышки») на характеристики волнового движения, осуществляется решение обратной задачи с оценкой близости исходной функции и восстановленной. В конце второй главы приводится общая схема сведения исходной краевой задачи к интегральному уравнению, учитывающим наличие точек

Заключение

В диссертации исследован некоторый круг обратных задач. Продемонстрированы как их постановки, так и решения. При этом, следует отметить многообразие самих постановок обратных задач и методов их решения. В диссертации рассмотрены так называемые обратные спектральные задачи, основной характерной чертой которых является стремление получить информацию о структуре исследуемого явления на основе его спектральных характеристик, получаемых обычно из эксперимента. Причем, речь идет о таких исходных данных, получение которых не сопровождается разрушением исследуемого объекта. Нет необходимости подчеркивать важность решения такого рода задач. Поскольку на данный момент не существует никакого общего метода решения обратной задачи, то исследователям приходится сосредоточивать свои усилия на решение каждой конкретной задачи, объединяя подобные в группы. Такой же подход использован в данной диссертации. В заключении сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы.

В диссертации рассмотрены алгоритмы решения обратной задачи на примере задачи о распространении внутренних гравитационных волн в океане, задач об продольных колебаниях стержня и антиплоских колебаний упругого слоя. Рассмотренный круг задач относится к обратным спектральным задачам, допускающим также интерпретацию как задач управления волновым спектром.

Для рассмотренных задач метод решения обратной задачи заключается в следующем. Аппроксимируется та функция в дифференциальном уравнении, которая характеризует свойства (плотность) среды (жидкость, упругий стержень или слой) и ставится задача: по волновым характеристикам свободных колебаний восстановить параметры аппроксимации, определив тем самым и свойства среды.

В задаче о распространении внутренних гравитационных волн использовались кусочно-постоянная, кусочно-линейная аппроксимации частоты плавучести, а также ее представление в виде функции, содержащей так называемую тонкую микроструктуру. Для всех этих представлений решена обратная задача и показано, что, в основном, для трех и более значащих цифрах в значениях волновых характеристик восстановление методом минимизации специальным образом построенных функций возможно с указанной точностью. Результаты решения обратной задачи продемонстрированы в виде таблиц и графиков. Для линейного профиля частоты плавучести построены асимптотики решения обратной задачи и исследована чувствительность этих формул относительно исходных данных. В случае кусочно-линейной аппроксимации решение построено в достаточно общем виде с учетом наличия точек поворота. Для тонкой микроструктуры методами медленных фаз и ВКБ указаны области на плоскости параметров задачи, в которых справедливы построенные асимптотики. Во всех рассмотренных вариантах аппроксимации частоты плавучести построены в аналитическом виде дисперсионные уравнения, на основе которых и выполняется решение обратной задачи. Это возможно благодаря тому, что дисперсионные уравнения содержат в себе не только волновые характеристики, но и параметры аппроксимации частоты плавучести. Также исследовано влияние двух традиционно используемых приближении (приближение Буссинеска и приближение «твердой крышки») и показано, что, в основном, при возрастании волновых чисел и частот колебаний, а также номеров дисперсионных кривых, влияние приближения Буссинеска и приближения твердой крышки незначительно. Соответствующие графики демонстрируют эти результаты. Приведена общая схема сведения исходных краевых задач к интегральном уравнениям, учитывающим наличие точек поворота.

В задачах о продольных колебаниях стержня и антиплоских колебаниях упругого слоя рассмотрены как кусочные аппроксимации, так и случай наличия тонкой микроструктуры. Данные две задачи характеризуются в качестве гидроупругой аналогией. Для всех случаев аппроксимаций выполнено решение обратной спектральной задачи восстановления структуры неоднородности упругой среды. Результаты решения обратной задачи продемонстрированы в виде соответствующих графиков и таблиц.

Новыми результатами являются:

Исследовано влияние приближений Буссинеска и «твердой крышки» на волновые характеристики при кусочных аппроксимациях функции ¡¿(г) и в случае наличия тонкой микроструктуры. Показано, что по одной дисперсионной кривой обратная спектральная задача внутренних волн не имеет единственного решения;

Для линейного профиля функции ^(г) асимптотически и численно решена обратная спектральная задача и введено понятие чувствительности восстановления параметров функции /¿(л) к заданным частотам и волновым числам внутренних волн;

Для кусочно-постоянного и кусочно-линейного представления функции [¿(г) численно решена обратная спектральная задача и исследовано влияние точности задания спектральных характеристик на точность восстановления характера стратификации. Для кусочно-линейного профиля функции построены дисперсионные кривые при наличии точек поворота;

Впервые для случая отсутствия приближения Буссинеска и приближения «твердой крышки» построены асимптотические представления собственных функций и выведены в явном виде асимптотические представления соответствующих дисперсионных уравнений для ярко выраженного пик-ноклина (тонкая микроструктура). При этом получен результат и чисто математического плана. А именно, предложен алгоритм построения решения дифференциального уравнения второго порядка с почти импульсными* коэффициентами и малым параметром при старшей производной и на плоскости параметров задачи выделен сектор, в котором построенное решение асимптотично. Для получения асимптотик решения в другом секторе применен метод ВКБ, для которого получены не только явная оценка близости между точным решением и ВКБ-асимптотикой, но и соответствующие дисперсионные уравнения. Решена обратная спектральная задача и исследовано влияние точности задания частот колебаний и волновых чисел на точность восстановления как параметров стратификации, так и самой функции ^(г);

1. Apel J.R., Byrne H.M., Proni J.R., et.al. Observations of oceanic internal and surface waves from the Earth resources technology satellite. //J. Geo-phys. Res., v. 80, m, 1975. p. 865-881.

2. Apel J.R., Gonzaler F.I. Nonlinear features of internal waves of baja California as observed from the Seasat imaging radar. //J. Geop. Res., v.88, №7, 1983. p. 4459-4469.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. M.: Высшая школа, 1976 г. 272 с.

4. Андрэ Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964 г. 772 с.

5. Баландина Г.Н., Иванов А.Ю., Каневский М.Б., Титов В.И. Оценка гидродинамического контраста, создаваемого на поверхности океана внутренними волнами, по РСА-изображению океана из космоса. Нижний Новгород, 1997 г. 11с.

6. Беленькая JI.X., Юдович В.И. Устойчивость вязкоупругого стержня под действием периодической нагрузки. // Изв. АН СССР, с. Мех. тв. тела, №6, 1978 г. 146 с.

7. Беленькая JI.X., Юдович В.И. О возникновении колебаний вязкоупругого стержня нагруженного периодической силой. // Изв. Сев.-Кавк. Н.Ц. высш. шк., с. Естественные науки, №1, 1979 г. 11 с.

8. Бидерман B.J1. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972 г. 416 с.

9. Болыненко В.П., Шубин Д.С. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. // Вестник ДГТУ, Серия: Вопросы машиностроения и конструирования машин, Ростов-на-Дону, 1999 г. с. 112-116.

10. Прямые и обратные краевые задачи математической физики. // Сб. науч. тр. под ред. Б.А. Бондаренко. Ташкент: Изд. ФАН, 1986 г. 120 с.

11. И. Браво-Животовский Д.М., Володина Н.И., Гордеев Л.Б. и др. Исследование воздействия внутренних волн на поверхностное волнение дистанционными методами. // Докл. АН СССР, т.265, №2, 1982 г. 457-460 с.

12. Букатов А.Е., Черкесов Л.В. Волны в неоднородном море. Киев: Наукова Думка, 1983 г. 224 с.

13. Бурдюгов В.М., Верещак А.И., Гродский С.А., Кудрявцев В.И., Мали- новский В.В. Оценки параметров внутренних волн радиолокационномусигналу. // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т.23, №8, 1987 г. 877-892 с.

14. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988 г. 184 с.

15. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одной одной обратной задаче в теории электроупругости при неоднородной поляризации. // Тез. докл. межд. конф. «Математические модели физических процессов и их свойства», Таганрог, 1997 г. с. 20-21.

16. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном способе определения пъезомоду-ля при неоднородной поляризации стержня. // ПМТФ, Т.40 №3, 1999 г. с. 204-210.

17. Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. // Сб. научных трудов, Горький, 1982 г. 251 с.

18. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967 г. 365 с.

19. Галиуллин A.A. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986 г. 224 с.

20. Гласко В.В., Мартанус Г.И., Панкова Н.И. и др. Определение параметров земной коры Русской платформы по дисперсии поверхностных волн. // ИЭв. АН СССР, Физика Земли, №5, 1974 г. 86-95 с.

21. Говорухина A.A., Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В., Чупраков Ю.А. Восстановление частоты Вяйсяля-Брента по дисперсионным характеристикам. // Сб. науч. тр.: Волновые движения жидкости. Рост. обл. прав. СНИО СССР, Ростов-на-Дону, 1989 г. 29-41 с.V

22. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 г. 1108 с.

23. Гродский С.А., Кудрявцев В.Н. Описание гидрологической структуры океана по дисперсионному соотношению внутренних волн. // Дистанционное зондирование океана, Севастополь, МГИ АН УССР, 1982 г. с. 97108.

24. Гродский С.А., Кудрявцев В.Н. Восстановление профиля плотности по натурным дисперсионным соотношениям короткопериодных внутренних волн. // Методы обработки океанологической информации, Севастополь, 1983 г. с. 59-66.

25. Дружинина И.Д., Сумбатян М.А. // Акустический журнал, Т.38, №3, 1992 г. с. 470-476.

26. Захарьев Б.Н., Сузько A.A. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. М.:Энергоатомиздат, 1985 г. 224 с.

27. Зуев В.Е., Наац И.Э. Обратная задача лазерного зондирования атмосферы. Новосибирск: Наука, 1982 г. 242 с.

28. Камшкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1973 г. 240 с.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968 г. 720 с.

30. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н., Щербак E.H. Определение параметров неоднородности стержня по резонансным частотам его продольных колебаний. // Известия РГСУ, №2, 1997 г. с. 67-73.

31. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н. Прямые и обратные задачи продольных колебаний стержней. // Сб. науч. тр.:Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости, РИ-СИ, 1989 г. 3-16 с.

32. Краснобаев И.А., Потетюнко Э.Н. Обратная задача продольных колебаний стержня. // Сб. науч. тр.-.Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости, РИСИ, 1991 г. 148-157 с.

33. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны. // ДАН, т. 82, №5, 1951 г. 669-672 с.

34. Крейн М.Г. Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру её частот. // ДАН, т. 76, №3, 1951 г. 345-348 с.

35. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля. // ДАН, т. 76, №, 1951 г. 21-24 с.

36. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи. // ДАН, т. 95, №6, 1954 г. 767-770 с.

37. Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. // Сб. науч. тр. под ред. М.М. Лаврентьева. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1978 г. 162 с.

38. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального уравнения по двум спектрам. // УМН, т. 19, №2(116), 1964 г. 3-63 с.

39. Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектрам. // Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, №1, 1964 г. 63-78 с.

40. ЛевЕ-тан Б.М. К решению обратной задачи квантовой теории рассеяния. // Мат. заметки, т. 17, №4, 1975 г. 611-624 с.

41. Левитан Б.М. О разрешимости обратной задачи Штурма-Лиувилля на всей прямой. // ДАН, т. 234, №1, 1977 г. 34-76 с.

42. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984 г. 240 с.

43. Маркман Г.С., Юдович В.И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил. // Изв. АН СССР, с. МЖГ, №3, 1972 г.

44. Марченко В.А. Спектральная теория оператора Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова думка, 1972 г. 234 с.

45. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977 г. 167 с.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973 г. 351 с.

47. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981 г. 301 с.

48. Моисеев Н.И. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 г. 380 с.

49. Монин A.C., Каменкович В.М., Корт В.Г. Изменчивость Мирового океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974 г. 301 с.

50. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976 г. 456 с.

51. Нелепо В.А., Коротаев Г.К., Суетин B.C. Исследования океана из космоса. Киев: Наукова Думка, 1985 г. 168 с.

52. Потетюнко Э.Н., Краснобаев И.А., Шумейко В.И. Прямые и обратные задачи продольных колебаний стержней (учебное пособие). Ростов-на-Дону, РГАС, 1996 г. 48 с.

53. Потетюнко Э.Н., Чекулаева A.A., Щербак E.H. Решение обратных спектральных задач волнового движения вертикально стратифицированной жидкости. // Деп. в ВИНИТИ, 28.02.00, №543-В00, Ростов-на-Дону, РГУ, 2000 г. 26 с.

54. Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В., Шубин Д.С., Щербак E.H. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ОБРАТНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. Волновые движения неоднородной жидкости. М.: «Вузовская книга», 2001 г. 288 с.

55. Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В., Шубин Д.С. Восстановление распределения плотности океана по его волновому спектру. / Прикладная гидромеханика, Т. 2 (74), №4, 2000 г. 73-81 с.

56. Потетюнко Э.Н., Черкесов Л.В. Определение параметров стратифицированного океана по спектральным характеристикам внутренних волн. // ДАН Украины, №3, 1996 г. 113-117 с.

57. Потетюнко Э.Н., Шубин Д.С. Восстановление параметров неоднородности стержня по частотам его продольных колебаний. // Известия РГСУ, Ростов-на-Дону, №3, 1998 г. с. 65-72.

58. Потетюнко Э.Н., Шубин Д.С. Постановка граничных условий на поверхности раздела двух сплошных сред. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки, М, 2001 г. с. 73-77.

59. Потетюнко Э.Н. Обратные спектральные задачи волновых движений жидкости. // В сб.: «Проблемы гидромеханики в освоении океана», Киев, Изд-во института гидромеханики АН УССР, 1992 г. 112-113 с.

60. Проскурякова Г.А., Новотны О., Воронина Е.В. Изучение строения Земли методом поверхностных волн (Центральная Европа). -М.:, Наука, 1981 г. 92 с.

61. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд. НГУ, 1973 г. 252 с.

62. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984 г. 264 с.

63. Рындина В.В. Зависимость дисперсионных кривых внутренних волн стратифицированного океана от частоты Брента-Вяйсяля. // ПММ, т.50, №5, 1986 г. 741-748 с.

64. Рындина В.В. О единственности восстановления частоты Вяйсяля-Брента по последовательности дисперсионных кривых. // Деп. в ВИНИТИ, №18068, Ростов-на-Дону, РГУ, 1987 г. 33 с.

65. Рындина В.В. О возможности восстановления частично известной частоты Вяйсяля-Брента стратифицированного океана по известным 'дисперсионным кривым. // Деп. в ВИНИТИ, 19.04.89, №2571-В89, Ростов-на-Дону, РГУ, 1989 г. 45 с.

66. Рындина В.В. Алгоритм восстановления частично известной частоты Вяйсяля-Брента стратифицированного океана по частично известным дисперсионным кривым. // Деп. в ВИНИТИ, 23.04.90, JM76-B90, Ростов-на-Дону, РГУ, 1990 г. 40 с.

67. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки. // ДАН, т. 69, №6, 1949 г. 797-800 с.

68. Численные методы решения обратных задач математической физики. // Сб. науч. тр. под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самарского. М.: Изд. МГУ, 1988 г. 259 с.

69. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983 г. 352 с.

70. Чекулаева A.A., Щербак E.H. Восстановление параметров среды с помощью разложения в степенные ряды. 11 Деп. в ВИНИТИ, 28.11.95, ДО3155-В95, Ростов-на-Дону, РГУ, 1995 г. 26 с.

71. Черкесов JI.B. Поверхностные и внутренние волны. Киев: Наукова Думка, 1973 г. 248 с.

72. Черкесов JI.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наукова Думка, 1976 г. 364 с.

73. Чудов J1.A. Обратная задача Штурма-Лиувилля. // Мат. сб., т. 25(67), №3, 4949 г. 451-454 с.

74. Шабан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980 г. 408 с.

75. Шишкина О.Д. Экспериментальное моделирование генерации внутренних волн при дрейфе айсберга в приповерхностном пикноклине. Нижний Новгород, 2000 г. 23 с.

76. Шубин Д.С. Задача об антиплоских колебаниях слоя. // Изв. РГСУ, №, 1998 г. 200-201 с.

77. Шубин Д.С. Определение параметров неоднородности стержня. // Тезисы докладов международной научно-практическая конференции «Строительство-98», РГСУ, 1998 г. 60-63 с.

78. Шубин Д.С. Определение стратификации среды по её свободным колебаниям. // Деп. в ВИНИТИ, 15.07.98, №2204-В98, Ростов-на-Дону, РГУ, 1998 г. 33 с.

79. Шубин Д.С. Определение параметров стратификации океана на основе асимптотического закона дисперсии внутренних волн. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки, №1, 1999 г. с. 61-64.

80. Шубйн Д.С. Определение функции квадрата частоты плавучести при её кусочной аппроксимации. // Деп. в ВИНИТИ, 21.11.2000, ДО3406-В00, Ростов-на-Дону, РГУ, 2000 г. 60 с.

81. Щербак E.H. Экспериментальное определение частоты плавучести. // Сб. тр. II международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», т. 2, 1996 г. 196-200 с.

82. Щербак E.H. Определение характеристик волнового движения стратифицированной жидкости по результатам натурных измерений. II Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №3, 1997 г. 41-44 с.

83. Щербак E.H. Доверительный интервал спектра собственных частот стратифицированной жидкости. // Сб. тр. IV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», т. 2, 1998 г. 218-221 с.

84. Щербак E.H. Обратная спектральная задача антиплоских колебаний упругого слоя. // Известия РГСУ, Ростов-на-Дону, №3, 1998 г. 201-202 с.

85. Щербак E.H. Определение свободных колебаний одного из районов Мирового океана. // Деп. в ВИНИТИ, 15.07.98, ДО2203-В98, Ростов-на-Дону, РГУ, 1998 г. 39 с.

86. Щербак E.H. Восстановление параметров среды по спектральным характеристикам её свободных колебаний. // Сб. Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Изд. СКНЦ ВШ, Ростов-на-Дону, 1999 г. 207-223 с.

87. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г. 128 с.

88. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наука, Москва, 1976 г. 576 с.