Исследование динамики твердых тел, соударяющихся с двусторонним ограничителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Метод негладких замен переменных в системах с зазором

§ 1. Описание механической системы.

§ 2. Метод негладких замен переменных в системах с одной односторонней связью.

§ 3. Случай постоянного зазора.

§ 4. Случай переменного зазора.

§ 5. Выводы.

Глава 2. Периодические движения пластины, соударяющейся со стенками

§ 1. Уравнения движения.• • • \.

§ 2. Условия существования периодических двузвенных траекторий.

§ 3. Устойчивость периодических двузвенных траекторий.

§ 4. Выводы.

Глава 3. Периодические движения тела вращения, соударяющегося со стенками

§ 1. Виды периодических движений.

§ 2. Условия устойчивости.

§3. Выводы.

Диссертация посвящена исследованию движения в некоторых системах твердых тел, движущихся в отсутствие внешних сил и сталкивающихся с параллельными массивными стенками по законам абсолютно упругого удара.

Актуальность данной проблемы обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, системы с упругими соударениями распространены в природе: к их числу относится идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме. Поскольку число молекул, из которых состоит газ, чрезвычайно велико, (число Авогадро, равное количеству молекул в одном моле, равно 6.023 • 1023), определение движения каждой из молекул в такой системе невозможно. Поэтому в кинетической теории изучают некоторые средние значения физических величин, характеризующих движение частиц: средняя энергия, средняя длина свободного пробега и т.п. Для этого принимают некоторые дополнительные гипотезы о виде функции распределения (распределения Максвелла, Больцмана, Гиббса), что позволяет провести усреднение по статистическому ансамблю [8]. Наряду с этим может оказаться полезной и исследование простых механических моделей, состоящих из одного-двух тел, соударяющихся друг с другом и со стенками, неподвижными или движущимися по заданному закону. В таких моделях можно учесть различные факторы: отличие формы молекул от сферической, относительное движение частиц, составляющих стенки сосуда, собственное движение стенок и т.д. Получаемая в итоге система дифференциальных уравнений имеет сравнительно невысокую размерность, что позволяет надеяться на успешное применение тех или иных аналитических или качественных методов, известных в теоретической механике. В качестве примера аналогичного подхода к сложной физической проблеме можно привести модель Улама ускорения Ферми космических лучей [29].

Во вторых, исследование систем с упругими соударениями представляет собой самостоятельный естественнонаучный интерес, так как они могут рассматриваться как обобщение биллирда Биркгофа [6, 27, 41], или математического биллиарда, связанное с переходом от материальных точек к твердым телам. Подобный переход в задачах с упругими ударами может привести к получению новых интересных результатов, как было показано в работах А.П.Маркеева [33-35], А.П.Иванова [16], А.А.Маркеева [32] и других.

Научная новизна работы состоит в развитии методов исследования консервативных механических систем с двумя идеальными не-удерживающими связями, выражаемыми двойным неравенством. При этом применяется подход, основанный на негладких заменах переменных, идея которого принадлежит В.Ф.Журавлеву [9-13]. Используя редукцию к полугеодезическим координатам, предложенную в [14] для случая единственной неуд&рживакяцей связи, удалось получить уравнения движения таких систем в канонической гамильтоно-вой форме. Достоинства такого представления обусловлены возможностью применения к исследованию современных методов гамильто-новой механики, что и показано на примере исследования двух модельных виброударных систем.

Кроме того, получен ряд новых результатов о существовании, устойчивости и бифуркациях периодических движений для биллиарда на цилиндре, тела вращения, движущегося по инерции в зазоре между параллельными стенками, и двухмассовой системы с упругой связью.

Достоверность результатов и выводов диссертации подтверждается использованием современных качественных и аналитических методов. Расчеты подкрепляются подробными выкладками и строгими математическими доказательствами.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования ее результатов для решения ряда задач механики, в первую очередь: 1) исследование динамики твердых тел, соударяющихся со стенками и движущихся в некотором потенциальном силовом поле; 2) исследование эргодических свойств систем с ударами. Системы, расмотренные в диссертации могут рассматриваться как простейшие модели идеального газа, позволяющие учесть несимметричность его молекул и собственное движение молекул стенок сосуда.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава посвящена разработке метода исследования систем с соударениями, обусловленными наличием переменного зазора. Здесь за основу берется метод негладких замен переменных [9], а также редукция к полугеодезическим координатам, предложенная в [14]. В первом параграфе дается общее описание рассматриваемой системы. Она имеет конечное число степеней свободы и две идеальные неудерживающие связи, которые одновременно не могут быть включены. Такие связи при подходящем выборе координат можно записать одним двойным неравенством вида

0</(t,q)<a, (0.1) где а - некоторая постоянная. Удар о связь описывается при помощи ньютоновского коэффициента восстановления е, который в последующем будет считаться равным единице (абсолютно упругий удар).

Во втором параграфе излагается суть метода негладких замен переменных в применении к системам с одной односторонней связью Qi > 0. Здесь описаны результаты В.Ф.Журавлева, позволяющие записать уравнения движения вспомогательной системы, свободной от неудерживающей связи, в форме Рауса, а также А.П.Иванова и

А.П.Маркеева, дающие возможность в случае консервативной системы построить уравнения движения вспомогательной системы в канонической гамильтоновой форме.

В третьем параграфе рассматривается система с двумя односторонними связями, задаваемыми одним двойным неравенством

Описана негладкая замена переменных, включающая специальные функции Журавлева и позволяющая представить уравнения движения вспомогательной системы в форме Рауса. Кроме того, в случае консервативной системы предложен алгоритм получения канонических уравнений движений, развивающий метод Иванова и Маркеева.

В четвертом параграфе проведено дальнейшее развитие вышеуказанных методов для случая систем с переменным зазором, т.е. с идеальными односторонними связями

Получаемая в итоге вспомогательная система описывается уравнениями Рауса (в общем случае) или Гамильтона (в случае консервативных систем).

Вторая глава посвящена исследованию периодических плоскопараллельных движений твердого тела, упруго соударяющегося с параллельными неподвижными стенками. Данная система может служить простой моделью движения частицы газа внутри сосуда, в которой учитывается отличие формы частицы от сферической. Первый параграф посвящен формальному описанию данной системы. Она представляет собой консервативную систему с парой неудерживаю-щих связей вида (0.3), поэтому для ее анализа можно применить результаты первой главы.

Ы < 1.

0.2) fl{t,q2,:.,qn) < Я\ < Ы*, • • • , Чп)

0.3)

Второй параграф посвящен построению периодических движений в данной системе. Показана ее динамическая эквивалентность биллиарду на цилиндре. Доказана теорема о существовании бесчисленного множества семейств двузвенных траекторий биллиарда на цилиндре, опоясывающих его ось. Таким траекториям отвечают такие периодические движения тела, для кот о^рых его угловая скорость отлична от нуля.

В третьем параграфе получены условия устойчивости таких движений, обобщающие условия, найденные ранее для частного случая невращающегося тела А.А.Маркеевым. По теореме Арнольда-Мозе-ра, данные условия достаточны в типичном случае отсутствия резо-нансов и невырожденности нормальной формы. На примере проведен строгий нелинейный анализ устойчивости.

В третьей главе рассмотрены периодические движения динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, соударяющегося со стенками. В первом параграфе выведены уравнения движения и построены некоторые периодические движения.

Во втором параграфе исследована в первом приближении устойчивость таких периодических движений тела, для которых его ось остается перпендикулярной стенкам, а угловая скорость постоянна (тело поочередно соударяется со стенками). Показано, что области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров чередуются, сменяя друг друга в бесконечной последовательности. Такое поведение аналогично квантовым свойствам идеального газа.

В четвертой главе изучается двухмассовая система с упругой связью, в которой свободная масса может рассматриваться как молекула газа, а масса, связанная пружиной с массивной стенкой - молекуле стенки сосуда.

В первом параграфе выводятся уравнения движения. В случае неподвижных стенок данная система консервативна, а наложенные на нее связи описываются неравенством (0.3).

Второй параграф посвящен периодическим движениям вышеописанной системы. Здесь построены такие периодические движения, для которых соударения масс происходят в одной и той же фазе колебаний массы с упругой связью. Исследованы устойчивость и бифуркации таких движений.

В третьем параграфе исследована динамика системы для малых значений параметра /л, равного отношению масс молекул газа и стенки сосуда, при этом используется метод, развитый во второй главе. В результате делается ряд выводов о глобальном поведении системы. Из общей теории следует, что для достаточно малых значений /i большинство траекторий являются условно-периодическими. Этот вывод подтверждается численным анализом, который показывает, что при 11 < 0.001 фазовые траектории с разными начальными значениями скорости свободной частицы с ростом времени не перемешиваются. Если параметр /л растет, то образуются заметные слои хаотических движений, плотно заполняемые отдельной траекторией вне зависимости от ее начальной точки в пределах слоя. Суммарный объем этих слоев возрастает с ростом ц, и для значений /i > 0.1 движение принимает видимо хаотический характер.

В четвертом параграфе рассмотрена динамика в случае, когда стенки движутся со скоростями, намного меньшими средних скоростей частиц. В данном случае можно воспользоваться теорией адиабатических инвариантов. В итоге показано, что полная механическая энергия системы остается примерно пропорциональной расстоянию между стенками в степени 2/3.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации.

Результаты работы обсуждались на семинаре по аналитической механике в МГУ (рук. акад. РАН В.В.Румянцев, чл.-кор. РАН В.В.Белецкий и проф. А.В.Карапетян), на семинаре кафедры теоретической механики МАИ (рук. проф. В.Г.Веретенников), на конференциях "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996), "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997), "Математика в индустрии" (Таганрог, 1998), 3-ей Европейской конференции по динамике твердого тела (Метц, Франция, 2000).

Основные результаты, полученные автором диссертации и выносимые на защиту, таковы.

1. Проведено обобщение метода негладких замен переменных на консервативные системы с двумя неудерживающими связями, одновременное включение которых невозможно. В результате этих замен ударные реакции связей исключаются из уравнений движения. Последние записываются в канонической форме, что дает возможность применять к исследованию систем указанного вида развитый аппарат гамильтоновой механики.

2. Проведено исследование динамики твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение по инерции в зазоре между двумя параллельными стенками и абсолютно упруго соударяющегося со стенками. Показано, что данная система динамически эквивалентна биллиарду на цилиндре. Доказано существование у такого биллиарда бесконечного множества периодических дву-звенных траекторий, что соответствует в исходной системе периодическим движениям с двумя чередующимися угловыми скоростями. Получены необходимые условия устойчивости таких движений. На основе теоремы Арнольда - Мозера для некоторых частных случаев установлены также достаточные условия устойчивости.

3. Проведено исследование динамики тела вращения, движущегося по инерции в зазоре между двумя параллельными стенками. Получены необходимые условия устойчивости таких движений, для которых ось тела остается перпендикулярной стенкам.

Показано своеобразное "квантование" областей устойчивости, которые на плоскости параметров имеют бесконечное число компонент, разделенных областями неустойчивости.

4. Исследована двухмассовая система с упругой связью как модель взаимодействия газа со стенками сосуда. Построены периодические движения и получены условия их устойчивости, а также выяснен характер бифуркаций при изменении констукци-онных параметров. При помощи теории адиабатических инвариантов изучена динамика системы в случае, когда одна из стенок медленно движется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М., Физматгиз, 1960. 487 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1979. 431 с.

3. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск, Ижевская республиканская типография, 1999. 284 с.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. /Совр.пробл.математики. Фундаментальные направления. т.З. М., изд-во ВИНИТИ, 1985. 304 с.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М., Го-стехтеориздат, 1955, 248 с.

6. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.; Л., Гостехздат, 1941. 320 с.

7. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М., Наука, 1979. 253 с.

8. Власов А.А. Статистические функции распределения. М., Наука, 1979. 253 с.

9. Журавлев В.Ф. Метод анализа виброударных систем при помощи специальных функций. Изв. АН СССР, 1976. Сер. МТТ, N 2, с. 43-46.

10. Журавлев В.Ф. Исследование некоторых виброударных систем методом негладких преобразований. Изв. АН СССР, 1977. Сер. МТТ, N 6, с. 24-28.

11. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем сидеальными односторонними связями. ПММ, 1978. Т. 42, вып. 5, с. 781-788.

12. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М., Паука, 1988. 326 с.

13. Журавлев В.Ф., Фуфаев Н.А. Механика систем с неудержи-вающими связями. М., Наука, 1993. 240 с.

14. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями. ПММ, 1984. Т. 48, вып. 4, с. 632-636.

15. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ, 1984. Т. 48, вып. 5, с. 725-732.

16. Иванов А.П. О периодических движениях тяжелого симметричного твердого тела с ударами о горизонтальную плоскость. Изв.АН СССР, 1985. Сер. МТТ, No 2, с. 30-35.

17. Иванов А.П. Качественная теория движения в системах с неудерживающими связями. Дис. . докт. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1990, 236 с.

18. Иванов А.П. Аналитические методы в в теории виброударных систем. ПММ, 1993. Т. 57, вып. 2, с. 5-21.

19. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М. Международная программа образования, 1997. 336 с.

20. Иванов А.П., Переверзев В.В. О периодических движениях твердого тела, упруго соударяющегося с параллельными стенками. Изв. РАН, 2001. Сер. МТТ. bf Z. С. 10~1Ъ.

21. Иванов А.П., Переверзев В.В. Исследование двухмассовой виброударной системы с упругой связью. Изв. РАН, 2001. Сер. МТТ. tfli. С. ЦО-кЬ.

22. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М., Мир, 1983. 300 с.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 5-е изд. М., Наука, 1976. 576 с.

24. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. (Итоги науки и техники. Общая механика. Т.6) М., изд-во ВИНИТИ, 1983. 132 с.

25. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы. М., Наука, 1973. 592 с.

26. Кобринский А.А., Кобринский А.Е. Двумерные виброударные системы. М., Наука, 1981. 335 с.

27. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. Изд-во МГУ, 1991. 168 с.

28. Козлов В.В. Двузвенные биллиардные траектории. Экстремальные свойства и устойчивость. ПММ, 2000. Т.64, вып.6. С.942-946.

29. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М., Мир, 1984. 528 с.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч., т.2. М.;Л., Изд-во АН СССР, 1954, с.7-263.

31. Ляпунов A.M. Лекции по теоретической механике. Киев, Наукова думка, 1982. 632 с.

32. Маркеев А.А. Об устойчивости плоского периодического движения твердого тела между параллельными стенками. //Известия РАН, сер. Механика твердого тела, 1995, N 1, с.22-24.

33. Маркеев А.П. Об устойчивости вращения твердого тела вокруг вертикали при наличии соударений с горизонтальной плоскостью. ПММ, 1984. Т. 48, вып. 3, с. 363-369.

34. Маркеев А.П. О движениии твердого тела с идеальной не-удерживающей связью. ПММ, 1985. Т. 49, вып. 5, с. 707-716.

35. Маркеев А.П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике твердого тела. Изв.РАН, МТТ. 1996. N 2. С. 37-54.

36. Маркеев А.П. Теоретическая механика. 2-е изд. М., ЧеРо,1999. 572 с.

37. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., Мир, 1973. 164 с.

38. Рагульскене В.Л. Виброударные системы. Теория и применение. Вильнюс, Минтис, 1974. 320 с.

39. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. I. М., Наука, 1983. 463 с.

40. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3. М., Наука, 1967. 664 с.

41. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов. УМН, 1970. Т. 25, No 2, с. 141-192.

42. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л., Гостехиздат, 1946. 655 с.

43. Трещев Д.В. К вопросу об устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа. Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механика. 1988. N 2. С.44-50.

44. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Изд.дом "Удмуртский университет", 1999. 588 с.

45. Guckenheimer J., Holmes P.J. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. N.Y. et al., Springer-Verlag, 1983. 453 p.

46. Holmes P.J. The Dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table. J. Sound and Vibrations, 1982. V. 84, N 2. Pp. 173189.

47. Ivanov A.P. Impact Oscillations: Linear Theory of Stability and Bifurcations. J.Sound and Vibrations, 1994. V. 178, N 3. Pp. 361378.

48. Kelvin W.T., Tait P.G. Treatise on Natural Philosophy. V.l, Part 1. Oxford: Clarendon Press, 1867.

49. Ivanov A.P., Pereverzev V.I. Dynamics of rigid body colliding with moving walls. Международная конференция 4-th Euromech Rigid Body Conference, Book of abstracts. Metz, France, 2000.

50. Переверзев В.И. Изменение энергии идеального газа. Международная конференция "Математические модели физических процессов и их свойства". Тезисы докладов. Таганрог, 1997.

51. Переверзев В.И. О изменении энергии идеального газа. Труды международной конференции "Математика в индустрии". Тага-рог, 1998.