Контактное сжатие и соударение двух упруго-пластичных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Общая характеристика работы.

1. Состояние вопроса.

1.1. Основные направления исследований по теории соударения твердых, упругих и упруго-пластичных тел.

1.2. Обзор экспериментальной техники и приборов для исследования процесса удара.

2. Экспериментальные исследования.

2.1. Ударные явления в технике.

2.2. Основные методики проведения экспериментов и обработки их результатов для определения параметров силовой функции.

2.3. Экспериментальные материалы.

2.4. Методика проведения исследования.

2.4.1. Описание материала для экспериментального исследования.

2.4.1.1. Основной материал.

2.4.1.2. Определение твердости и проведение термической обработки.

2.4.1.3. Определение твердости исследуемых образцов.

2.4.2. Подготовка исследуемых образцов для экспериментальной работы.

2.4.3. Описание экспериментальной установки для определения коэффициента пластичности В и показателя нелинейности п.

2.4.4. Описание оптического прибора для проведения замеров контактных деформаций.

2.4.5. Порядок проведения экспериментов.

2.4.5.1. Схема и принцип определения замеров сил и контактных 66 деформаций.

2.4.5.2. Порядок проведения экспериментов.

3. Методика обработки экспериментальных данных.

3.1. Методика № 1.

3.2. Методика №2.

3.2.1. Определение параметров В и п силовой функции на стадии нагрузки.

3.2.2. Анализ экспериментальных материалов.

4. Универсальная теория удара.

4.1. Общие положения.

4.2. Вывод расчетной зависимости.

4.2.1. Расчетная схема.

4.2.2. Расчетные уравнения для классической теории удара.

4.2.3. Расчетные уравнения для универсальной теории удара.

4.2.4. Связь между классической и контактной теориями удара.

4.2.5. Математическая модель.

4.3. Решение интегро-дифференциального уравнения на ЭВМ.

4.3.1. Предпосылки решения.

4.3.2. Решение уравнения (а) с помощью программы Mathcad.

4.3.3. Порядок интегрирования.

4.3.4. Пример численного решения задачи на внецентренное соударение двух свободных тел.

Актуальность темы. Задачи на контактное сжатие и соударение упруго-пластичных тел являются предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований. Количество работ в этой области непрерывно возрастает, так как вопросы современного машиностроения, связанные с конструированием быстроходных машин и механизмов, заставляют исследователей все глубже проникать во внутренние закономерности процесса удара.

Классическая теория соударения твердых тел, созданная рядом исследователей, начиная с Галилея; рассматривала соударяющиеся тела как абсолютно твердые, а процесс соударения — как мгновенный. Эта теория, собственно говоря, позволяла определить лишь результаты удара — изменение скоростей соударяющихся тел. Внутренние закономерности процесса удара — его длительность (время удара), величина контактных сил и деформаций — оставались нераскрытыми.

Существенный вклад в изучение процесса контактного взаимодействия упругих тел был сделан в исследованиях Г. Герца [37, 38]. Герцу удалось установить расчетным путем зависимость величины контактной силы и длительность соударения тел от их масс и скоростей до удара. Контактная задача удара была решена Герцем на основе гипотезы о том, что связь между контактной силой и местной деформацией тел при ударе такова же, как и при статическом их сжатии. В работе «О касании упругих тел» он отмечает, что "упругое состояние тел вблизи поверхности удара за все время удара весьма близко к тому состоянию равновесия, которое возникло бы в обоих телах при их сжатии" [24]. В сущности эта гипотеза равноценна пренебрежению силами инерции частиц тела в их движении относительно центра инерции тела, обусловленном местной деформацией, а также пренебрежению деформациями частей тела, удаленных от площадки контакта. Следовательно, задача об ударе сводится к задаче о сжатии двух тел.

О целесообразности экспериментального исследования процесса динамического взаимодействия механических систем методом контактного сжатия двух тел высказывались в работах А.Н. Динника [24, 25] и других.

Наряду с теорией Герца, которая учитывает только местные деформации и не принимает во внимание деформации тел вдали от площадки контакта, разработана теория удара упругих тел, учитывающая их общие деформации и не учитывающая местных.

Экспериментальные работы по контактному сжатию и соударению упруго-пластичных тел до сих пор не выполнялись. Учитывая важность проблемы изучения закономерности упруго-пластичного деформирования материалов при контактном взаимодействии двух тел актуальны различные экспериментальные и теоретические исследования, в том числе и развитие метода анализа силовой функции в процессе контактного взаимодействия двух тел.

Наконец, существует еще волновая теория удара. Применительно к продольному удару по стержню постоянного сечения такая теория была впервые предложена Навье [17]. Неудачная форма решения в тригонометрических рядах не позволила Навье выявить все особенности продольного удара и прежде всего исключала возможность определения напряжений.

Позднее Сен-Венан [76, 77] и Буссинеск нашли решение задачи продольного удара с помощью разрывных функций, что позволило непосредственно проследить распространение волн деформации вдоль стержня. Следовательно, волновая теория продольного удара, не учитывающая местных деформаций, получила законченное выражение. Довольно сложные вычисления, с которыми связан расчет по этой теории, могут быть утрачены, если использовать графический метод характеристик.

Произведенная рядом исследователей экспериментальная проверка волновой теории удара не дала вполне удовлетворительных результатов, что заставило критически отнестись к лежащим в ее основе гипотезам.

Таких гипотез две: это, во-первых, гипотеза плоских сечений и пренебрежение поперечным движением частиц стержня и, во-вторых, предположение, что поверхности соприкосновения является параллельными плоскостями.

Имеющиеся в действительности отступления от гипотезы плоских сечений должны быть особенно заметны вблизи фронта волны; наличие этих отступлений приводит к тому, что фронт волны постепенно размывается, крутизна его уменьшается. Очевидно, что отступления от гипотезы плоских сечений будут сказываться тем сильнее, чем больше отношение диаметра стержня к его длине.

Влияние отклонений от второй гипотезы является, по-видимому, более существенным. Благодаря наличию неизбежных неровностей на торцах соударяющихся стержней контактное усилие возрастает не мгновенно, а в течение времени, которое требуется для того, чтобы сгладить эти неровности. Очевидно, что если это время того же порядка, что и время пробега волны деформации по стержню, то отклонения от волновой теории будут большими. Аналогично местным неровностям влияет и масляный слой между торцами соударяющихся стержней.

Время смятия местных неровностей тем меньше, чем больше скорость соударения: вместе с тем время пробега волны деформации по стержню не зависит от скорости соударения. Поэтому отклонения от волновой теории продольного удара уменьшаются с увеличением скорости удара (если скорость удара не достигает значения, при котором появляются пластические деформации).

Волновую теорию продольного удара можно применить для расчета удара по пружине, заменяя ее эквивалентным брусом. Интересно, что несмотря на приближенность такой замены, совпадение результатов экспериментов с расчетом здесь получается лучше, чем для стержней. По-видимому, это объясняется меньшей относительной ролью местных деформаций.

Сен-Венан [77] развил также теорию изгибающего удара, учитывающую лишь общие деформации балки. Эта теория оказалась неудачной, так как она исходила из неверного предположения, что ударяющий груз остается все время в соприкосновении с балкой.

Недостаточность как тех теорий, которые учитывают только местные деформации, но пренебрегают общими, так и тех, которые учитывают лишь общие и пренебрегают местными деформациями, заставила искать «синтетическую» теорию удара, которая учитывала бы местные и общие деформации.

Для продольного удара такая теория была разработана Сирсом [84]. Рассматривая соударение стержней со сферическими концами, Сире предположил, что гипотеза плоских сечений справедлива для всего стержня, за исключением небольшого прилежащего к концу участка, в пределах которого напряженное состояние является резко неоднородным. Деформации участка, лежащего вблизи конца стержня, подсчитываются по формулам Герца, для расчета остальной части стержня используется волновая теория. Расчеты Сирса были подтверждены экспериментами.

С.П. Тимошенко [91] разработал аналогичную теорию, учитывающую как местные, так и общие деформации при изгибающем ударе [75].

Как видно из сказанного выше, трудности связанные с теоретическим изучением процесса удара, заставляют вводить ряд упрощенных гипотез, в большинстве случаев значительно не подтверждающих в достаточной степени экспериментами, а все методы расчета процесса удара являются приближенными. В связи с этим следует признать, что ведущая роль в исследовании явлений, связанных с ударом твердых тел, принадлежит в настоящее время экспериментальным работам. Однако не следует полагать, что теоретические исследования по теории соударения должны быть отодвинуты на второй план. Необходимо совершенствовать методы теоретического исследования и стремиться поставить их на уровне требований, предъявляемых современным машиностроением [46].

В течение последних трех десятилетий ученые и инженеры проявляют повышенный интерес к решению проблем, связанных с процессом удара в твердых телах. Характерные примеры подобного нагружения могут быть найдены в областях, относившихся к проектированию режущих инструментов, литейного и машинного производств, артиллерийских устройств, защитных сооружений, при расчете на действие взрывных нагрузок, при авариях подвижного состава и во многих других случаях. Однако исследования явления удара ограничивались рассмотрением соударения тел, имеющих простую геометрию. Главной причиной этого являются значительные трудности, связанные с теоретическим изучением удара, а также несогласование теоретических и экспериментальных результатов. Это связано, в первую очередь, с влиянием различных упрощений, принятых при теоретических расчетах, в особенности с влиянием отклонений реальных и теоретических краевых условий и отклонений реальных механических свойств веществ соударяющихся тел от их абстрактных механических моделей, а также с изменением этих механических свойств, происходящих в процессе соударения. Соответственно, теория расчета на ударные нагрузки еще не достигла такого состояния, при котором могут быть четко сформулированы нормы расчета, основанные на аналитических рассуждениях, хотя значительное количество собранной информации может служить хорошей базой для окончательного создания подобных условий.

Развитие современных высокоскоростных вычислительных машин, сокращающих процедуру численных методов, и достижения современных способов измерения, увеличивающих широту и надежность экспериментальных результатов, способствуют дальнейшему прогрессу исследований в этой области [24].

Цель диссертационной работы — экспериментальное определение параметров силовой функции F=F(a), которая имеет вид:

- на стадии нагрузки

F = Ban, где В - коэффициент пластичности при нагрузке; п — коэффициент нелинейности при нагрузке; F — осевая сжимающая сила; a - текущая контактная деформация взаимодействующих тел в точке их соприкосновения (текущая контактная деформация тел),

- на стадии разгрузки

F = B1(a-a1)ni, где В, - коэффициент пластичности при разгрузке; п,- коэффициент нелинейности при разгрузке; сц- остаточная контактная деформация взаимодействующих тел в точке их соприкосновения (остаточная контактная деформация тел). Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были решены следующие задачи:

- проектирование конструкции экспериментальной установки, предназначенной для сжатия двух сферических тел и позволяющей определить их контактные деформации а при нагрузке и разгрузке тел осевой силой F;

- разработка методики проведения экспериментальных работ по определению значений контактных деформаций а в зависимости от сил F взаимодействующих тел в точке их соприкосновения;

- разработка и обоснование методики обработки материалов экспериментов по определению параметров В и п для отдельный радиусов сферических тел и их твердости;

- анализ расчетных значений параметров силовой функции для стадии нагрузки и разгрузки и разработка рекомендаций при использовании этих параметров при решении задач;

- теоретический вывод уравнений универсальной теории удара, связывающие основные расчетные параметры классической и контактной теории удара.

Методы исследования. При выполнении экспериментальных и теоретических работ были использованы методики механики деформируемого твердого тела, в том числе и методика, основанная на сжатии двух сферических тел. Для проведения замеров применялись современные оптические приборы. Экспериментальная обработка данных выполнялась, в основном, методом наименьших квадратов. Расчеты и анализ экспериментальных значений выполнены с использованием современной вычислительной техники и программного обеспечения.

Научная новизна работы:

- использована новая методика проведения экспериментальных работ по определению значений контактных деформаций а и сил F при сжатии двух сферических тел;

- впервые выполнен цикл экспериментальных работ на металлических шариках из стали ШХ15, которые имели пять различных диаметров (от 10,319 мм до 22,225 мм) и шесть различных состояний твердости (от HRC 65 до НВ 163);

- разработана методика обработки экспериментальных данных по определению параметров силовой функции;

- дан вывод уравнений, связывающих основные расчетные параметры классической и контактной теории удара, и разработана математическая модель универсальной теории удара.

На защиту выносятся:

1. Методика проведения экспериментальных работ по определению значений контактных деформаций и результаты данных работ.

2. Методика и результаты обработки экспериментальных данных при определении параметров силовой функции.

3. Результаты теоретического исследования по определению связи между классической и контактной теориями удара (универсальной теории удара).

Практическая значимость. Проведенные экспериментальные работы позволили получить расчетные значения параметров силовой функции, разработать методику расчета экспериментальных данных. Эти данные можно использовать для анализа напряженно-деформируемого состояния при контакте сферических объектов различной твердости.

Анробацня работы. Основные результаты диссертационной работы доложены: на научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов в АГТУ (Архангельск, 2000г.); на 4-й Международной конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и докторантов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2003 г.); на Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы лесного комплекса России в переходный период развития экономики» (Вологда, 2003 г.); на заседании кафедры теоретической механики АГТУ.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ. Эти материалы использованы в учебном процессе при чтении лекций по удару на строительном факультете АГТУ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, где дана общая характеристика диссертационной работы, четырех глав, основных результатов и выводов, списка литературы из 97 наименований, приложений. Основное содержание работы изложено на 169 страницах, включает 40 рисунков, 18 таблиц.

Материалы экспериментальных и теоретических исследований по кон тактному сжатию и соударению двух упруго-пластичных тел позволяют сформулировать следующие результаты.1. В диссертации разработана новая методика проведения эксперимен тальных работ по определению значений контактных деформаций а при осе вом сжатии двух сферических тел силами F. Опыты были выполнены на спроектированной экспериментальной установке «ручной пресс». Значения а измерялись с помощью универсального измерительного микроскопа УИМ-21 с точностью до ± 0,001 мм. Аналогов такой методики проведения экспери ментальных работ нет.2. Впервые выполнен обширный цикл экспериментальных работ на ме таллических (подшипниковых) шариках из стали ШХ15, которые имели пять различных диаметров (от 10,319 мм до 22,225 мм) и шесть состояний твердо сти (от HRC 65 до HRC 0). Учет твердости стальных шариков в опытах А.Н. Динника и Г. Герца не производился.3. Для каждой комбинации шариков, которые отличались диаметрами, твердостью исходных материалов и внешней нагрузкой, опыт повторялся три раза, затем определялось среднее арифметическое значение а, что обеспечи вало достоверность определения экспериментальных данных. Погрешность среднего арифметического значения а в большинстве экспериментов состав ляет 1-КЗ %.4. В диссертации экспериментально обоснован математический метод, предназначенный для определения параметров B u n силовой функции на стадиях нагрузки и разгрузки при сжатии (по Г. Герцу) двух упруго пластичных стальных тел (металлических шариков) для различной их твер дости Т по Роквеллу, которое изменяется от наибольшей величины для закаленной стали (Т = 66-^ -60 HRC) до наименьшей (Т « 0 HRC) для линейно деформируемых тел. 5. Этой же цели, то есть для расширение зоны использования данных результатов экспериментов, преследовала работа по проведению экспери ментов для шариков различных диаметров (от 10 до 25 мм).6. Изменение твердости стальных шариков достигалось за счет прове дения термообработки (отжиг или отпуск), что позволяет использовать результаты опытов не только для стальных, но и для других деформируемых тел, имеющих при нагрузке большую остаточную контактную деформацию (например медь, бронза, алюминий, свинец и другие металлические материа лы или дерево, относящиеся к органическим материалам) и совпадающих по твердости с материалами. Составление методики такого сравнения является предметом дальнейшего исследования.7. Как показал анализ экспериментальных материалов, результатов расчетов и опытов, значения параметров В и В, в общем случае зависят от приведенных радиусов сферических тел р и от прочности материалов взаи модействующих тел (шариков).8. Коэффициент нелинейности п силовой функции F(a) изменяется в диапазоне от п = 1,5 (для закаленных стальных тел), до п = 1 (для линейно деформируемых тел), что следует иметь в виду при обработке эксперимен тальных данных. Значения п зависят в основном от твердости тел Т.

9. Разработка универсальной теории удара показывает, что гипотеза Г. Герца о том, что при контактном сжатии двух тел и при контактном их ударе механические процессы в обоих случаях протекают одинаково, то есть задача об ударе сводится к задаче о сжатии двух тел, достоверна.10. Как показано в разделе «Универсальная теория удара» расчетные уравнения для классической теории удара (4.4), полученные с помощью ки нематического уравнения связи (4.2) и дифференциальные уравнения для универсальной теории удара (4.19), полученные с помощью динамического уравнения связи (4.3), преобразуются к одному и тому же виду.Таким образом, в диссертации разработана и апробирована методика определения, с достаточно высокой точностью, параметров В и п, характери зующих силовую функцию для материалов упруго-пластичных тел при их сжатии и соударении. Так как силовая функция является основной теорети ческой зависимостью для контактного сжатия и соударения упруго пластичных тел, то с ее помощью можно составить выражения для определе ния таких важных характеристик удара, как максимальная ударная сила F максимальная деформация тел а

при ударе, время удара х, остаточная де формация СЦ тел, относительная скорость тел до удара v

и после удара u

1. Allen W. А. Free Surface Motion induced by Shock Waves in Steel, J. Appl.Phys.,24,1953, 1180.

2. Arnold R. N. Impact Stresses in a Freely Supported Beam, Proc. Inst. Mech.Engis, 137,1937,217.

3. Александров В. M., Сытин В. Л. Структуры и термическая обработка углеродистых сталей: Методические указания к выполнению лабораторных работ по материаловедению. Архангельск: РИО АЛТИ, 1989, 21 с.

4. Bell J. F. Determination of Dinamic Plastic Strain through the Use of Diffraction Gratings, J. Appl. Phys., 27, 1956,1109.

5. Betser A. A. and Frocht M. M. A Photoelastic Study of Maximum Tensile Stresses in Simply Supported Short Beams under Central Transverse Impact, J. Appl. Mech., 24.1957,509.

6. Brerman I. N. Bibliography on Shock and Shock Excited Vibrations. V. 1,

7. Editor Eng., Res. Bull., 68, 69,1957 1958.

8. Батуев Г. С Голубко Ю. В., Ефремов А. К., Федосов А. А. Инженерные методы исследования. М.: Машиностроение, 1969, 204 с.

9. Бидерман В. Л., Малюкова Р. П. Усилия и деформации при продольном ударе. В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение. 1960, вып. 10, 261 с.

10. Christie D, G. An Investigation of Cracks and Stress Waves in Glass and Plastics by High-Speed Photography, Trans. Soc. Glass TechnoL, 36, 1952, 74.

11. Christie D. G. Reflection of Elastic Waves from a Free Boundary, Phil. Mag., Ser. 7, 46,1955, 527.

12. Clark A. B. J. Static and Dynamic Calibration of a Photoelastic Model Material, CR-39, Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 14, no. 1, 1956, 195.

13. Clark D. S. and Duwez P.E. The Influence of Strain Rate on some Tensile Properties of Steel, Proc. Amer. Soc. Testing Materials, 50, 1950, 560.

14. Clark D. S. The Behavior of Metals under Dynamic Loading, Trans. Amer. Soc. Metals, 46,1954, 34.

15. Clark D. S. The Influence of Impact Velocity on the Tensile Characteristics of same Aircraft Metals and Alloys, National Advisory Committee for Aeronautics, Tech. Note 868,1942.

16. Crook A. W. A Study of Some Impacts between Metal Bodies by a Piezoelectric Method, Proc. Roy. Soc. Lond., A, 212, 1952, 377.

17. Cunningham D. M. and Goldsmith W. Short-time Impulses produced by Longitudinal Impact, Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 16, №2, 1959, 153.

18. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел. М.: Стройиздат, 1965, 448 с.

19. Davies R. М. А Critical Study of the Hopkinson Pressure Bar. Phil., Trans. Roy. Soc. Lond., A, 240,1948, 375.

20. Davies R. M. Stress Waves in Solids, Surveys in Mechanics. Cambridge University Press, 1956, 64.

21. Durelli A. J. and Riley W. F. Experiments for the Determination of Transient Stress and Strain Distributions in Two-dimensional Problems, J. Appl. Mech., 24, 1957, 69.

22. Duwez P. E. and Clark D. S. An Experimental Study of Propagation of Plastic Deformation under Conditions of Longitudinal Impact, Proc. Amer. Soc. Testing Materials, 47, 1947, 502.

23. Давиденков H. H. Проблемы удара в машиностроении. М.: ОНТИ, 1993,115 с.

24. Дерибас А. А. О некоторых явлениях при высокоскоростных соударениях твердых тел. В кн.: XIII Международный конгресс по теоретической и прикладной механике. Сборник аннотаций. М., УИТАМ, 1972, с. 11-12.

25. Динник А. Н. Удар и сжатие упругих тел. Избр. труды т.1. АН СССР, Киев, 1952, с. 13 155.

26. Динник А. Н. Формула Герца и ее опытная проверка ЖРФХО, т.

27. Физич. отд., 1907 (на обл. 1906), вып. 4, с. 242-249.

28. Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. М.:Наука, 1985. 152 с.

29. Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-240 с.

30. Emschermann Н. К. and Rtihl К. Beanspruchungen eines Biegetragers bei schlagartiger Querbelastung, Verein Deutscher Ingenieure, Forschungsheft. 443, 1954.

31. Журавлев В. Н., Николаев О, И. Машиностроительные стали. Справочник. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное, 1968, 332 с.

32. Feder J. С, Gibbons R. А., Gilbert J. Т. and Offenbacher E. L., The Study of the Propagation of Stress Waves by Photoelasticity, Proc. Soc. Exper. Stress Anal., 14, l, 1956,109.

33. Findley W. N. The Fundamentals of Photoelastic Stress Analysis applied to Dynamic Stresses, Proc. 9th Semi-Aimual Eastern Photoelastic Conference, 1939, 1.

34. Foppl L. Slow-motion Pictures of Impact Tests by means of Photoelasticity, J. Appl. Mech., 16, 1949, 173.

35. Frocht M. M. and Flynn P. D. Studies in Dynamic Photoelasticity, J. Appl.Mech.,23,1956, 116

36. Frocht M. M., Flynn P. D. and Landsberg D. Dynamic Photoelasticity by means of Streak Photography, Proc. Soc. Exper. Stress Anal., 14, 2,1957, 81.

37. Goldsmith W. and Norris G. W. Jr. Stresses in Curved Beams due to Transverse Impact, Proc. 3rd U. S. National Congress of Applied Mechanics, 1958, 153.

38. Goranson R. W., Bancroft D., Burton B. L., Blechar Т., Houston E. E., Gittings E. F. and Landeen S. A. Denamic Determination of the Compressibility of

39. Hertz H. Uber die Beriihung fester elastischer Korper Crelles Joum. 1881. Bd 92.

40. Hertz H. Uber die Beriihung fester elastischer Кбфег und uber die Harte, Gesam. Werke, Bd. I.-Leipzig. 1895.

41. Hopkinson B. A Method of measuring the pressure produced in the Detonation of High Explosives or by the Impact of Bullets, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond.,A,213, 1914,437.

42. Kolsky H. Experimental Wave-propagation in Solids, Proc. Lst Conference on Structural Mechanics, Office of Naval Research and Stanford University Stanford (1958).

43. Kolsky H. The Propagation of Longitudinal Elastic Waves along a Cylindrical Bar, Phil. Mag., Ser. 7, 45, 1954, 712.

44. Kolsky H. The Propagation of Stress Pulses in Viscoelastic Solids, Phil. Mag.,Ser. 8, 1,1956,693.

45. KiflbHCBCbKHii M. O. Про коливальн1 процеси, що виникають при сп1вудар1 пружнихт1л. ПМ, 1961, 7, 1, с. 103 104.

46. Кильчевская Е. Н., Кильчевский Н. А. Термомеханические эффекты, сопровождающие соударение твердых тел. В кн.: Проблемы механики твердого деформированного тела. Л., "Судостроение", 1970, с. 209 -216.

47. Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие двух тел. Удар. Киев: Наукова Думка, 1976, 225 с.

48. Кильчевский Н. А. Теория соударения твердых тел. Киев: Наукова думка, 1969, 245с.

49. Кильчевский Н. А. Теория соударений упругих тел, ГТТИ, 1949.

50. Кильчевский Н. А., Ильчишина Д. И. О поверхностных волнах, возникающих при соударении упругих тел. ПМ, 1969, 5, 7, с. 1 7.

51. Кильчевский Н. А., Шальда Л. М. К теории соударений упругих

52. Landon J. W. and Quinney H. Experiments with the Hopkinson Pressure Bar, Proc. Roy. Soc. Lond., A, 103. 1923, 622.

53. Лаврентьев M. A. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Наука, 1965, 715 с.

54. Лаврентьев М. А. Кумулятивный заряд и принципы его работы. УМН, 1957, 12, 4, с. 41-57.

55. Лесохин А. Ф. Допуски и технические измерения. М.: Гос. научнотехнич. издательство машиностр. лит-ры, Изд-е 2 перераб., 1951, 456 с.

56. Manjoine М. J. and Nadaii А. High Speed Tension Tests at Elevated Temperatures, Parts II and III, Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs, 63, 1941, A-77.

57. Manjoine M. J. and Nadaii A. High Speed Tension Tests at Elevated Temperatures, Proc. Amer. Soc. Testing Materials, 40, 1940, 822.

58. Mark J. W. and Goldsmith W. Barium Titanate Strain Gages, Proc, Soc. Exper. Stress Anal., 13, 1, 1955, 139. 57. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М., ИЛ, 1951, 457 с.

59. Малышев Б. М. О влиянии волн напряжения на процесс соударения трехмерных упругих тел. Изв. АН СССР. МТТ, 1973, 6, с. 74 79.

60. Малышев Б. М. Экспериментальное подтверждение теории СенВенана. Изв. АН СССР. МТТ, 1967, 5, с. 174 180.

61. Марьямова Ф. А. Исследование волнового характера дифференциального уравнения поперечных колебаний балок. В кн.: Сб. трудов Московск. заочн. полиграф. Ин-та, 5. М., 1957г.

62. Марьямова Ф. А. Новый способ исследования явления поперечных колебаний стержня. В кн.: Сб. трудов Московск. заочн, полиграф, ин-та, 5. М., 1957, с. 161-168.

63. Марьямова Ф. А. О поперечном ударе упругого тела о балку. Изв. КИИ, 16. М. К., Машгиз, 1954, с. 6 13.

64. Морозов И. Соударение тел. Классическая теория удара. 4.

65. Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001, 252 с.

66. Морозов И. Экспериментальное определение параметров силовой функции. Лесной журнал 2001 №3 с. 57-63 (Изд-во высш. учебн. заведений).

67. Морозов И., Попов М. В. Контактная теория удара. Конспект лекций по элементарной теории. Архангельск: Изд-во АГТУ, 1999, 42 с.

68. Морозов И., Морозов В. Классическая теория удара: Конспект лекций по соударению плоских тел. Архангельск: Изд-во АГТУ, 1999, 45 с.

69. Морозов И., Попов М. В., Морозов В. Курс лекций по теории удара: Учебное пособие. Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003, 110 с.

70. Морозов И., Шостенко Д. Н. Уравнение связи для решения задач удара. Лесной журнал 2002 №1 с. 56-61 (Изд-во высш. учебн. заведений).

71. Owen J. D. and Davies R. M. High Speed Recording by a Rotating Mirror Method, Nature (Lond.), 164, 1949, 752.

72. Орлов Б. Ф., Александров В. М., Думанский И. О. Измерение твердости металлов и сплавов. Методические указания к выполнению лабораторной работы по материаловедению. Архангельск: РИО АГТУ, 1998. 16 с.

73. Пановко Я. Г. Введение

74. Пэнлеве П. Лекции о трении. М., Гостехиздат, 1954, 316с.

75. Ripperger Е. А. Longitudinal Impact of Cylindrical Bars, Proc. Soc. Exp. Stress Anal, 10, 1, 1952, 209.

76. Ripperger E. A. The Proparagation of Pulses in Cylindrical Bars an Experimental Study, Proc. Lst Midwestern Conference on Solid Mechanics, 1953, 29.

77. Расчет на прочность в машиностроении /С. Д. Понаморев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихачев, В. М. Макушин, Н.Н. Милинин, В. И. Федосеев/ М.: Гос. науч. техн. из-во машиностр. лит-ры, т. III, 1950, 1120 с.

78. Saint-Venant В. et Flamant М. Compte rendus Ac. Sci, 1883, pp. 127, 214,281,353.

79. Saint-Venant B. Theorie de Ielasticite des corps solidesde Clebsch. Traduite par M.M. de Saint-Venant et Flamant, 1883.

80. Schardin H. and Struth W. Hochfrequenz kinematographische Untersuchung der Bruchvorgange im Glas, Glastech. Ber., 16, 1938, 219.

81. Schardin H. Ergebnisse der kinematographischen Untersuchimg des Glasbruchvorganges, Glastech. Ber., 23, 1950,1, 67, and 325.

82. Schwieger H. and Dietz H. Polarisationsoptische Versuche zur elastischen Stosstheorie von St. Venant und Flamant, Ann. Phys., Ser. 6, 16, 1955, 306.

83. Schwieger H. and Reimann V. Spannungsoptische Untersuchung des Balkenquerstoss, Bauplanung Bautechnik, 11,1957, 395.

84. Schwieger H. Spannungsoptische Methoden zur Untersuchung dynamischer Spannungszustande, Exper. Tech. Phys., 4, 1956, 70.

85. Schwieger H. Spannungsoptische Stossuntersuchungen an diinnen Glasstaben, Ann. Phys., Ser. 6, 16, 1955, 119.

86. Sears I. E. Trans. Phil. Soc. Cambridge, 1912, 21.

87. Senior D. A. and Wells A. A. A Photoelastic Study of Stress Waves, Phil. Mag., Ser. 7, 37, 1946, 463.

88. Sutton G. W. A Photoelastic Study of Strain Waves caused by Cavitation, J. Appl. Mech., 24, 1957, 340.

89. Справочник no сталям и методам их испытаний. Перевод с немецкого канд. техн. наук Ароновича М. и канд. техн. наук О. А. Михайлова. Металлургиздат. 1958. 920 с.

90. Tuzi Z, and Nisida M. Photoelastic Study of Stresses due to Impact, Phil. Mag., Ser. 7,21,1936,448.

91. Такэда. О коэффициенте "восстановления". Р.Ж. Механика, 1956, реф. №1282, с. 362 -363

92. Тимошенко П. Колебания в инженерном деле. М.- Л., Физматгиз, 1959,439 с.

93. Тимошенко П. К вопросу о действии удара на балку, «Известия Петербургского Политехнического института», т. XVII, вып. 2,1912.

94. Vigness I. Magnetostrictive Effects in Wire Strain Gages, Proc. Soc. Exper. Stress Anal., 14, 2, 1957, 139.

95. Volterra E. Alcuni risultati di prove dinamiche sui materiali, Nuovo Cimento, 4, 1948.1.

96. Wamock F. V. and Brennan J. B. The Tensile Yield Strength of Certain Steels under Suddenly Applied Loads, Proc. Inst. Mech. Engrs, 159, 1948, 1.

97. Штаерман И. Я. К вопросу о местных деформациях при сжатии упругих тел. ДАН СССР, т. XXXI, 8. 1941. 27 с.

98. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат. 1949.

99. Штаерман И. Я. Обобщение теории Герца местных деформаций при сжатии упругих тел. ДАН СССР, т. XXIX, 3. 1940. 18 с.