Моделирование динамического нагружения твердых тел с учетом конечных деформаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

084612595 На правах рукописи

Бурцев Андрей Юрьевич

Моделирование динамического нагружения твердых тел с учетом конечных деформаций

Специальность 01.02.04.- Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 но Я 2010

Тула-2010

004612595

Диссертация выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

СОКОЛОВА Марина Юрьевна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

БАРАНОВ Виктор Леопольдович

доктор физико-математических наук, профессор ЗУЕВ Владимир Васильевич

Ведущая организация: ФГУП Государственное научно-

производственное предприятие "Сплав", г. Тула

Защита диссертации состоится « 16 » ноября 2010 г. в 14 — часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»: 300600, Тула, пр. Ленина, 92 (12 - 303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «/■£» октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ../ " Л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вопросы динамического взаимодействия деформируемых твердых тел исследуются на протяжении нескольких столетий, чем объясняется большое количество научных работ в этой области. Наиболее известными из них являются работы Кильчевского Н. А., Гольдсмита В., Рахматуллина Х.А., Деемьянова Ю. А., Тимошенко С. П., Вольмира А. С., Кукуджанова В. Н., Кондаурова В. И., Кийко И. А., Бригадирова Г. В., Баранова В. Л., Зуева В. В.

В известных моделях удара принимается ряд гипотез, приводящих к существенному расхождению с экспериментальными данными. В частности, в большинстве моделей удара деформации полагают бесконечно малыми, что соответствует упругому взаимодействию при относительно небольших (порядка 0,05% от скорости звука) начальных скоростях.

При взаимодействии с преградой упругопластических тел при начальных скоростях, близких к скорости звука, возрастает время удара и происходит значительное изменение формы тела, которое может нарушить геометрию взаимодействующих тел и привести к нежелательным последствиям. В частности при изучении удара оболочки со сложной формой требуется исследовать вопрос о возможности сохранения внутри её свободного пространства, так называемой рабочей зоны. Такая задача может быть решена только в рамках геометрически нелинейной модели, описывающей развитие процесса ударного взаимодействия во времени.

В связи с этим актуальным является построение математической модели процесса взаимодействия упругопластической оболочки с абсолютно жесткой преградой без ограничений на величину деформаций.

Цель работы. Целью работы является создание математической модели взаимодействия тела с преградой, позволяющей на основании универсальных определяющих соотношений рассмотреть различные стадии процесса, начиная со стадии упругого деформирования и заканчивая стадией появления больших пластических деформаций.

Научная новизна работы.

1. Получена замкнутая система уравнений, описывающих процессы динамического взаимодействия упруго-пластических тел с учетом конечных деформаций в вариационной форме.

2. Разработана методика численного решения и решены новые задачи об ударном взаимодействии осесимметричных оболочек с абсолютно жесткой преградой.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

— математическая модель упруго-пластического деформирования, учитывающая конечные деформации в процессе удара;

— анализ полей напряжений, возникающих в процессе удара тел с различными геометрическими параметрами;

— анализ формоизменения тела со сложной нелинейной геометрией на различных стадиях процесса удара.

Методы исследования, использовавшиеся в работе:

— математическое моделирование процессов удара на основании теории упруго-пластического деформирования с применением метода конечных элементов.

Практическая значимость работы.

Предложенная постановка задачи об ударном взаимодействии осесим-метричных оболочек с абсолютно жесткой преградой вместе с используемыми методами численного решения уравнений модели и программными комплексами может использоваться в качестве методики расчетов таких задач в ГУП КБП (г. Тула), ФГУП ГНПП «Сплав» (г. Тула) и других НИИ и КБ, а также в учебном процессе по дисциплинам «Механика сплошной среды», «Теория упругости», «Методы вычислений».

Диссертационная работа выполнялась в рамках гранта РФФИ «Моделирования термомеханических процессов в анизотропных средах» (проект 10-0197501-р_центр_а).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов, совпадением результатов исследований в частных случаях с известными аналитическими решениями, тестированием программного комплекса и исследованием сходимости численных методов. Результаты численного моделирования качественно совпадают с результатами проведенных эксперементов.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались автором на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе на:

— Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2009);

— Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» (Тула, 2009);

— Научно-практической конференции «Молодежные инновации» (Тула, 2009).

— Семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин A.A., Тула, 2010).

— Научно-технических конференциях профессорско-

преподавательского состава ТулГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, приложения на 10 страницах, списка литературы из 117 наименований и включает 102 страниц машинописного текста, 79 рисунков. Общий объем работы 112 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении произведен исторический анализ развития и обзор существующих математических моделей удара. Описаны математические модели, используемые для моделирования процесса удара. Приведены обоснования выбора методов решения.

В первой главе диссертации излагается математическая модель конечного деформирования. Приводятся определяющие соотношения упруго-пластического формоизменения для динамического процесса. Вводятся основные гипотезы модели. Строится конечно-элементная модель процесса взаимодействия оболочки с преградой.

Система уравнений, описывающая поведение упруго-пластических тел при динамическом нагружении с учетом конечности деформации, включает в себя кинематические, определяющие, эволюционные соотношения, а также условия динамического равновесия в вариационной форме.

Для описания возникновения в теле напряжений, порожденных деформацией материальных волокон, осуществлено разделение движения среды на трансляционное и "чисто деформационное" на основе естественного представления градиента скорости Уу в виде симметричной \У и антисимметричной частей со . В этом случае чисто деформационное движение, определяемое тензором деформации скорости:

\У = ^(Уу + (УУ)т).

Асимметричный тензор вихря со характеризует мгновенную угловую скорость вращения материальных волокон, направленных вдоль главных осей тензора деформации скорости \У и определяются выражением

ш=1(Уу-(УУ)т),

где V = э' —— набла-оператор в деформированном состоянии, дх'

Для описания напряженного состояния сплошной среды используется с *V

обобщенный тензор Коши а = ——с , где о - тензор истинных напряжении,

" Ч)

йУ к --относительное изменение объема сплошной среды.

с!У0

Связь между напряжениями и деформациями записывается в рамках обобщенной теории упруго-пластических процессов А. А. Ильюшина, в соответствии с которой имеют место следующие определяющие соотношения:

ву=ЛГ\У, & = 3 К9, (1)

где 5!,\¥ - девиаторы тешоров в и XV, сг, 0 - гидростатическое напряжение

и первый инвариант тензора £!У = 8+ы-8-!3-ш - яумоновская производная тензора в . В соотношении (1) Аг- функционал процесса, определяемый для линейно упрочняющегося упруго-пластического материала соотношениями, N = 2С при активном упругом нагружении и разгрузке: N - 2СУ -при активном нагружении за приделом текучести, 'б, Ьу - модуль сдвига и модуль упрочнения, К- модуль объемной упругости.

Первое из определяющих соотношений (1) описывает процесс формоизменения изотропного тела, второе соотношение - процесс изменения объема, который полагают упругим.

В качестве критерия перехода материала в область пластических деформаций используется критерий Мизеса: 5 > Бт, где - интенсивность напряжений, Бт - начальный предел текучести материала.

Условия динамического равновесия тела, ограниченного поверхностью 2 и занимающего объем V, находящегося под действием поверхностных сил Р^ и массовых сил Р, и распределенных сил инерции - р\, записывается в виде вариационного принципа Журдена:

+ = (2)

V

При бесконечно-малом продолжении процесса по времени получены условия динамически равновесного протекания процесса в виде:

8+80-\>У-Б

••<5уУ

¿V =

= 1

• Г' \

р(")+р(") е-п-^-п

\ Л

(3)

Для динамически равновесного протекания процесса необходимо и достаточно, чтобы распределение напряжений внутри тела и распределение поверхостной нагрузки в каждый момент времени удовретворяли условию (2), а поля скоростей удовретворяли вариационному соотношению (3).

Наряду с вариационным соотношением (3) необходимо задать начальные и граничные условия.

Граничные условия задаются на ограничивающей тело поверхности 2 , которую представим как пересечение трех не перекрывающихся частей 2 — 2 1_1 У 2 . На части поверхности £ задаются

условия статического типа

Р(п) = ?\х,0, УхеХр V/ > /0, (4)

кинематического типа

У=У*(*Д Ví>r0 (5)

и смешанного типа, каторые сводятся к заданию различных составляющих векторов Р(п){х,1) и \(х,0, Ух е Еру •

Условия динамически равновесного протекания процесса (3) и определяющие соотношения (1) должны быть дополнены эволюционными соотношениями для перемещений, напряжений:

I

й=и0+ |у(т)Лг, (6)

'о

< I

в = 80 + = 80 + -са • Б + Б • (7)

'о 'о

Интегрирование системы уравнений (2)-(7) должно производиться с учетом начальных условий, характеризующих состояние тела в начальный

момент времени /0:

ИЫ = щ(х), Цх,(0) = ч0(х), Цх,1о) = Ъ0(х), 5(5,/0) = Б0(5) \fxeV (8)

Задание начального поля ускорений необходимо, поскольку условие динамически равновескного протекание процесса (3) является относительно функции дифференциальным уравнением второго порядка по време-

ни.

Запись условий динамического равновесия в вариационной форме позволяет естественным образом перейти к численному решению задачи методом конечных элементов. Рассматриваемая конечно-элементная модель строится на базе осесимметричного симплекс элемента с треугольным сечением.

При переходе к конечно-элементной модели соотношение (3), описывающее условия динамически равновесного протекания процесса, представляется в виде системы дифференциальных уравнений, записанных для каждого элемента:

(9)

/=1 /=1 ¡=1 где V, - скорость узловых точек, К..- матрица жесткости, - матрица

демпфирования, м.. - матрица масс. В правой части соотношения записаны

лишь те матрицы, которые не являются нулевыми в рассматриваемых задачах.

При изучении процесса соударения тела с абсолютно жесткой преградой введено безразмерное время:

/

/

г

где t - физическое время, С - характерное время распространения упругой волны вдоль тела, / - продольный размер тела, Ус ~ скорость распространения упругих волн в материале рассматриваемого тела.

относительным времени и скоростям, система дифференциальных уравнений (10) принимает вид:

Соотношение (10) представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно узловых скоростей, записанную через относительное время и относительные скорости. В качестве метода решения системы дифференциальных уравнений применен метод Рунге-Кутта четвертого порядка с пересчетом коэффициентов системы дифференциальных уравнений на каждом шаге расчета.

Определяя из системы нелинейных уравнений реакцию тела, находят новую его конфигурацию и соответствующее распределение напряжений, которые становятся исходными при формировании новых жесткостных соотношений на следующем шаге нагружения.

Для решения данной задачи был разработан специализированный программный комплекс КЕРго, способный решать три задачи - предоставить результаты, подтверждающие справедливость полученных выкладок, провести расчет тестовых задач для обоснования справедливости построенной модели, обладать возможностью решения различных динамических задач данного класса.

Во второй главе рассмотрена задача о деформировании стержня при ударе о преграду. Проводится сравнительный анализ данных, полученных аналитически, с результатами численного решения задачи методом конечных элементов.

Для проверки предложенной методики расчета ударного взаимодействия, рассмотрен процесс удара однородного стержня длиной /, площадью поперечного сечения А и массой /и об абсолютно жесткую преграду в линейной постановке (Рис. 1.).

V

Введены также безразмерные скорости точек V = —. После перехода к

(10)

I *

I

\ 1

/

Рис. 1. Схема процесса удара стержня о жесткую преграду

Для проверки предложенного алгоритма используется волновая модель продольного удара стержня, об абсолютно жесткую преграду (модель продольного удара Сен-Венана), которая приводит к уравнению относительно функции продольных перемещений Щх,1) вида:

д-( ЕА^

дх \ Эх

, д2и

дГ

(П)

где Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня, р - плотность материала.

Решение уравнения (11) осуществляется при следующих начальных и граничных условиях:

и(х,0) = 0, ди(х,0)

Ы

(12)

и( 0,0 = 0, ди(1,1)

дх

= 0.

где \0(х) распределение начальной скорости стержня по его длине, / - длина стержня.

Функция у0 (х) задается в виде:

У0-, 0<х</0 у0(*) = 1 'о

у0, !0<хй1

где у0 - начальная скорость стержня, I —длина стержня. Известно решение задачи (11) -(13) в рядах.

Постановка краевой динамической задачи, предложенная в первой главе и основанная на вариационном соотношении (3), в рассматриваемой задаче об ударе упругого стержня о преграду приводит к дифференциальному уравнению гиперболического типа:

,д\ д2\

дх2 Р'д12

(14)

записанному относительно скоростей поперечных сечении.

В этом случае начальные условия задаются в виде:

У(х,0) = Уо(Х), У(Х,0) = *0(Х), (15)

а граничные условия задаются на концах стержня

у(0.0 = 0, = (16)

дх

Численный эксперимент показал, что решение уравнения (14) с начальными (15) и граничными (16) условиями приводит к результатам, совпадающим с классическим решением задачи Сен-Венана, если в условиях (16) положить, что функция у0(х) определяется в виде (13), а начальные ускорения отсутствуют У0(х) = 0.

Таким образом, на примере классического решения задачи о продольном ударе стержней доказана адекватность предложенной математической модели и определен вид функций, задающих начальные условия в этой задаче.

Полученное аналитическое (в рядах) решение задачи о продольном ударе упругого стержня использовано для тестирования численного решения задачи об ударе стержня о преграду в трехмерной постановке с учетом осевой симметрии методом конечных элементов.

Моделирование конечных деформаций стержня при взаимодействии с преградой в трехмерной постановке заключается в решении системы уравнений (10) с заданными начальными и граничными условиями.

В начальный момент времени г - считаем

"(*Л)) = б, У(Х,Г0) = У0(Х);

= 8(хЛ) = 0 V* е V.

Граничные условия задаются в соответствии с рис. 2:

(*,!) = 0, У*еГ2,Г3; у(х,г) = б, Ухе Г,, где у0(х) - функция распределения поля скоростей в начальный момент времени, имеющая вид (13).

Для оптимизации количества элементов было построено несколько сеток с различными размерами элементов. Из анализа полученных результатов был сделан вывод, что размерность сетки соответствующая 640 элементам дает приемлемые результаты, и дальнейшее уменьшение сетки не дает существенного уточнения результатов.

На рис. 3 приведены результаты аналитического и численного решений задачи для различных стадий процесса с размерностью сетки в 640 элементов.

На рис. 4-6 приведены распределения напряжений по длине стержня в различные моменты времени.

---- Аналитическое решение - Численное решение

Рис. 3. Распределение поля скоростей по длине стержня в различные моменты времени

-н......../^Г? / < «у»'"'

0.51 I

Рис. 4. Распределение напряжений Б., на различных стадиях процесса

Рис. 5. Распределение напряжений в,., на различных стадиях процесса

стадиях процесса

Как видно из рис. 4-6 максимальные напряжения возникают возле торца стержня, взаимодействующего с преградой, что подтверждается большим количеством экспериментов, а так же другими моделями удара.

Численное моделирование удара стержня методом конечных элементов позволило рассмотреть эту задачу в осесимметричной постановке и выявить наличие радиальных напряжений, максимум которых также наблюдается на торце взаимодействия.

В третьей главе рассмотрены задачи о конечном деформировании осесимметричных цилиндрических тел и тел со сложной геометрией при взаимодействии с преградой. Проводится сравнительный анализ полученных данных с другими исследованиями, в том числе экспериментальными, делаются выводы о пределах применимости модели.

Решена задача о взаимодействии цилиндрической оболочки с абсолютно жесткой преградой. Данная задача рассматривается в динамической и квазистатической постановке. Цель исследования состоит в определении напряженно-деформированного состояния в ходе процесса взаимодействия при квазистатической и динамической постановках задачи. Под квазистати-

ческой постановкой понимается медленное нагружение цилиндра на торце, под динамической - удар цилиндра о жесткую преграду.

На рис. 7 и 8 приведены кривые, характеризующие распределение интенсивности напряжений по длине цилиндра на различных стадиях процесса, соответственно для динамической и квазистатической постановок задачи.

ч I 1 1 1

учи >

1

1 \ V ........... ! ......... \ 1 N I

I '1 V ........................;.................[............._ ч V !

!

— г=0,3 ——г=3,3

Рис. 7. Распределение интенсивности напряжений на различных стадиях процесса для динамической постановки

- Д = 0,0027 / — А= 0,0031 ■ ^ —Д = 0,0065 1

Рис. 8. Распределение интенсивности напряжений по длине цилиндра на различных стадиях процесса для квазистатической постановки

Как видно из этих рисунков характер распределения интенсивности напряжений отличается, что говорит о неверности предположения об одинаковом распределении напряжений при квазистатическом и динамическом нагружении, применяемого в простейших теориях удара. В динамической задаче зона пластичности сосредоточена на торце взаимодействия, что харак-

терно при ударе цилиндра, из-за чего впоследствии происходит некоторое увеличение поперечного сечения цилиндра в этой области.

На рис. 9 приведены результаты проведенных автором опытов по сжатию цилиндров при квазистатической и ударной нагрузках. Для опытов использовались два абсолютно одинаковых цилиндра.

В первом случае (при динамическом нагружении) деформации были вызваны высокой начальной скоростью цилиндра (порядка 50 м/с). Для разгона цилиндра использовалась пневматическая установка, в которой применяются баллончики со сжатым воздухом. На дульной части пневматической установки был закреплен специальный уловитель со стальной крышкой на конце. Цилиндр, вылетая из пневматической установки, двигается по трубе уловителя до соударения с жестко закрепленной стальной крышкой. При квазистатическом нагружении цилиндр подвергался медленному деформированию на гидравлическом прессе.

а) ударное нагружение б) квазистатическое нагружение

Рис. 9. Результаты опытов

Результаты опытов качественно подтверждают расчеты по предложенной методике. Аналогичные результаты были получены в опытах Бригадирова Г. В., а также приведены в монографии Вольмира А. С., посвященной нелинейной динамике пластин и оболочек.

Рассмотрим решение задачи о соударение оболочки с абсолютно жесткой преградой. Целью исследования является определение изменения формы свободной поверхности оболочки в процессе удара. Оболочка (1) движется с постоянной скоростью вдоль оси вращения. В момент времени происходит соударение с преградой (2).

Расчетная схема задачи приведена на рис. 10.

Рис. 10. Расчетная схема Исследование процесса динамического взаимодействия оболочки с преградой производится в рамках математической модели, предложенной в

главе 1. При этом внутренняя и внешняя поверхности оболочек Х4 полагаются свободными от нагрузок. На оси симметрии X) задаются равными нулю радиальные скорости точек. Точки внешней поверхности оболочки, вступающие в контакт с поверхностью Х5, полагаются неподвижными, в них задают уг =0, у2 = 0 . Начальное поле скоростей у0 (х) конкретизируется соотношением (13). Начальное поле ускорений полагают равным нулю на основании решения задачи о продольном ударе стержня.

Достоинство предложенной методики исследования процесса удара оболочки о жесткую преграду состоит в том, что удалось проследить за развитием напряженно-деформированного состояния оболочки на различных стадиях процесса, включая наблюдение за развитием пластических зон.

Для' расчета использовалась конечно-элементная сетка, показанная на рис.11.

Рис. 11. Конечно элементная модель оболочки

На рис. 12а-12д показано распределение интенсивности напряжений в продольном сечении в различные моменты времени, при начальной скорости оболочки у0 = 0,002Ус .

0,15с, 0.3а, 0,5а, »,57; т,

а) х = 0,2 '

Л7Л<т, »..?<7. #,5сг, А 75а,

б) V =1,0

" " Л У Т 1 *Т Г» <

КШ11

<Ш<т, в, 5,7. 0.7.1с

В) Т = 1,8

1,05 а,

1.05 а,

1,05 >7.

0.9с. 1,1с

д) Г = 3,4

Рис. 12. Распределение интенсивности напряжений в различные моменты времени

На рис. 13-14 показаны результаты расчетов распределение интенсивности напряжений при начальных скоростях оболочки у0 = 0,0003Ус, у0 = 0,01 Ус в конечной стадии удара.

О 0.1} <7. 0,¡о. 0,5 а. 0. *сг <?,«сг

Рис. 13. Распределение интенсивности напряжений при у0 =0, ОООЗКс

0 0,1 а, 04 а 1 0," а, 1,02 а, 1,2 а,

Рис. 14. Распределение интенсивности напряжений при у0 = 0,01Рс Расчет при у0 = 0,01 Ус был завершен до того, как скорость свободного торца стала равна нулю. Это связано с тем, что в некоторых конечных элементах вблизи переднего торца интенсивность напряжений достигала предела прочности материала. Дальнейший расчет полагался нецелесообразным, так как разрушение материала в данной модели не учитывалось.

На рис. 15 показана модель оболочки до удара и в момент остановки расчета при у0 =0,01 Ус, построенная по результатам расчета.

а) в начальный момент

Рис. 15.

б) в момент остановки расчета Модель оболочки

На рис. 15 наглядно показано, как удар сложных геометрических тел на больших скоростях об абсолютно жесткую преграду влияет на форму внутренней поверхности.

Появление пластических деформаций материала приводит к увеличению времени удара. Это связано с тем, что пластическая волна в материале распространяется намного медленней упругой волны. В конечном итоге распространение упругопластических волн в теле, испытывающем динамические нагрузки, оказывает ключевое влияние на напряженно-деформированное состояние, а впоследствии и на геометрические параметры исследуемого объекта.

В заключение отметим, что в представленной работе решена важная научно-техническая задача, состоящая в постановке и разработке методики решения краевой задачи конечного деформирования при динамическом взаимодействии упруго-пластического тела с абсолютно жесткой преградой.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построена геометрически нелинейная модель процесса взаимодействия упругопластических тел с абсолютно жесткой преградой, в основу которой положено условие продолжающегося динамического равновесия в вариационной форме.

2. В рамках метода конечных элементов разработан численный метод исследования предложенной модели и создан авторский программный комплекс.

3. Показано совпадение аналитического и численного решений в заданной постановке с известным классическим решением Сен-Венана задачи об ударе упругого однородного стержня об абсолютно жесткую преграду. В отличие от классического решения численная модель позволяет определить не только осевые, но и радиальные напряжения, возникающие во внутренних точках стержня и имеющих наибольшее значение вблизи торца взаимодействия.

4. На основе аналитического решения задачи об ударе стержня проведен анализ устойчивости численного решения, выбраны оптимальные размеры конечных элементов и шага по времени.

5. Исследован процесс взаимодействия упругопластического толстостенного цилиндра с абсолютно жесткой преградой. Показано качественное различие квазистатического и динамического нагружений. При динамическом взаимодействии выявлено образование утолщения стенки цилиндра вблизи переднего торца, что подтверждается данными проведенного эксперимента и известными опытными данными Г. В. Бригадирова.

6. Проведено исследование взаимодействия с преградой тел сложной .формы при различных начальны^ скоростях движения. Показано, что с ростом начальной скорости существенно изменяется характер деформирования передней части тела.

Содержание диссертации полиостью опубликовано в следующих работах:

1. Бурцев АЛО., Соколова М.Ю. Постановка задачи о конечных деформациях оболочки при соударении с преградой // Известия ТулГУ. Серия "Естественные науки", вып. 2,2008 г.- с. 62-66.

2. Бурцев А.Ю. Исследования процесса взаимодействия оболочки с преградой // Известия ТулГУ. Серия " Естественные науки", вып. 3,2009 г.- с. 132-136.

3. Бурцев А.Ю. Задача о конечных деформациях оболочки при соударении с преградой И «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов. Пленарные доклады», Тула, 2009 г.- с. 86-89.

4. Бурцев А.Ю. Решение задачи о конечных деформациях оболочки при соударении с преградой // В сб. «Современные проблемы математики, механики и информатики. Материалы конференции», Тула, 2009 г.- с. 141-142.

5. Бурцев А.Ю. Продольный удар цилиндрического тела о жесткую преграду Н Вестник ТулГУ. Серия "Актуальные вопросы механики", вып. 6, 2010 г.-с. 6-12.

6. Бурцев А.Ю. Реализация метода конечных элементов в объектно-ориентированной среде // «Молодежные инновации. Тезисы докладов», Тула, 2010 г.- с. 207-208.

7. Бурцев А.Ю., Федосов И.М. Продольный удар оболочки о жесткую преграду II Сборник статей Казанская наука, вып. 3,2010г.- с. 6-12.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 06.10.10 Формат бумаги 60x84 1/16 . Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 1,1 .Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №073 Тульский государственный университет 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 Отпечатано в издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, пр. Болдина, 151

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи упруго-пластического деформирования

1.1. Кинематика процессов

1.2. Определяющие соотношения процессов упругопластического конечного деформирования

1.3. Условие динамически равновесного протекания процесса

1.4. Численное моделирование взаимодействия тел с преградой

1.5. Метод интегрирования разрешающих уравнений

1.6. Алгоритм решения динамической задачи

Глава 2. Математическое моделирование продольного удара стержня об абсолютно жесткую преграду

2.1. Моделирование процесса удара упругого стержня об абсолютно жесткую преграду

2.2. Конечно-элементная реализация процесса удара для упругого стержня

2.3. Моделирование процесса удара для упруго-пластического 70 стержня

Глава 3. Результаты численного решения задач взаимодействия оболочек с преградой

3.1. Решение задачи о взаимодействии цилиндрической оболочки с преградой

3.2. Решение задачи о соударении оболочки сложной геометрической формы с преградой

Процесс соударения твердых тел является предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований. Количество работ в этой области непрерывно возрастает, так как вопросы современного машиностроения, связанные с конструированием высокоскоростных механизмов, заставляют исследователей все глубже проникать во внутренние закономерности процесса удара [3, 5, 7, 10,14,15, 25, 30, 34, 46, 47, 50, 57, 65, 79, 113,114].

Трудности, связанные с теоретическим изучением процесса удара, заставляют вводить ряд упрощающих гипотез, в большинстве случаев значительно искажающих действительность. Поэтому весьма часто теоретические результаты не подтверждаются в достаточной степени экспериментами. Следует признать, что ведущая роль в исследовании явлений, связанных с ударом твердых тел, принадлежит в настоящее время экспериментальным работам. Однако не следует совсем исключать теоретические исследования в этом вопросе. Необходимо совершенствовать методы теоретического исследования и стремиться поставить их на уровне требований, предъявляемых современным машиностроением.

В связи с этим актуальными являются задачи построения адекватных математических моделей конечного формоизменения твердых тел в процессе взаимодействия ее с преградой и прогнозирования механических свойств материала, остаточных деформаций и напряжений в модели после взаимодействия с преградой.

Физические процессы, вызываемые соударением твердых тел, весьма сложны и многообразны, например, возникновение необратимых процессов при соударении твердых тел. Хорошо известно, также влияние соударений на механические свойства соударяющихся тел и тепловыделение. Сложность этих явлений, по-видимому, в значительной степени задержала развитие дедуктивной теории, требующей обобщения огромного количества фактов, найденных экспериментально. Следует признать, что современная теория соударения твердых тел еще не может дать ответ на многочисленные вопросы, возникающие в связи с решением проблемы расчета на прочность деталей современных механических систем. Относительно частое несогласование теоретических и экспериментальных результатов, по-видимому, связано в первую очередь с влиянием различных упрощающих предположений, принятых при теоретических исследованиях, в особенности со взаимным отклонением реальных и теоретических краевых условий и отклонением реальных механических свойств материалов соударяющихся тел от абстрактных механических моделей, а также с изменением этих механических свойств, происходящих в процессе соударения. Ввиду недостаточности сведений по этим проблемам необходимо сосредоточить наше внимание на непосредственной модели соударения пластических тел.

Первые работы в области удара относятся к 17 веку, это исследования Мар-ци, Гюйгенса, Валлиса, Ньютона [34, 30, 65]. Данные исследования базировались на модели удара абсолютно твердых тел с использованием гипотез о количественном значении скоростей тел после удара. Значения скоростей тел после удара определялись либо из предположения о сохранении кинетической энергии соударяющихся тел (модель Марци - Гюйгенса), либо из предположения о равенстве скоростей тел после удара (модель Валлиса), либо из предположения о пропорциональности относительных скоростей соударяющихся тел перед ударом и после удара (модель Ньютона). Коэффициент пропорциональности представляет собой величину, называемую коэффициентом восстановления. Его значения находятся в диапазоне от нуля (пластический удар) до единицы (абсолютно упругий удар). Модель удара Ньютона широко используется при описании движения соударяющихся тел на интервале времени, по сравнению с которыми допустимо удар считать мгновенным. Однако при анализе ударных систем важной задачей является определение ударных сил, возникающих в процессе удара. Данная задача не может быть решена без учета деформирования соударяющихся тел в процессе удара.

Задача с наиболее простой постановкой о продольном ударе стержней с учетом их деформирования связана с использованием модели Кокса (1849 г.) [51, 65]. Модель базируется на использовании теоремы об изменении кинетической энергии механической системы и гипотез об аналогии характера распределения деформаций при ударе и при статическом взаимодействии тел. Эта модель позволяет ввести понятие коэффициента динамичности, производить расчет коэффициента динамичности и максимального значения ударной силы. Данный подход и его модификации оказались настолько универсальными и эффективными в смысле простоты, что до сих пор в учебной литературе по сопротивлению материалов, строительной механике излагается как основной метод при расчете ударного на-гружения стержней. Подходы, связанные с использованием модели Кокса, имеют один существенный недостаток - это предположение об аналогии характера распределения деформаций при ударе и при статическом взаимодействии тел. Как будет показано в работе, даже при продольном ударе стержней это предположение не подтверждается. Погрешность расчета ударной силы при продольном ударе по стержню может достигать в ряде случаев 70 - 80 %. Учет части массы стержня как приведенной массы только увеличивает эту погрешность.

Исследования, посвященные проблеме продольного удара [30, 14, 15, 46, 51, 57, 79], показывают, что процесс удара тел сопровождается возбуждением в зоне контакта волн деформаций. Эти волны распространяются с определенной скоростью, осуществляя перенос энергии для воздействия на технологический объект.

Теория соударения упругих тел основывается на предположении о малости отношения начальной скорости соударения к скорости распространения колебаний в соударяющихся телах, так как при больших начальных скоростях соударения возникают остаточные деформации, и решение задачи методами теории упругости может оказаться несостоятельным. В настоящие время наиболее изучены задачи, решаемые приближенно посредством введения коэффициента восстановления методами теоретической механики [65, 35]. Коэффициент восстановления позволяет приближенно описать процессы, связанные с неупругим ударом, однако полученные результаты не всегда согласуются с опытными данными.

Постановка задачи о продольном ударе по стержню с учетом распределенной массы стержня была сформулирована в 19 веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана [17, 34, 51, 65]. Движение поперечных сечений стержня описывалось дифференциальным уравнением в частных производных. Навье для решения этого уравнения применил метод Фурье, а Сен-Венан использовал для решения метод Даламбера. Решение Навье было представлено в виде рядов, имеющих слабую сходимость. Это определило малую эффективность предложенного подхода. Более предпочтительным оказался подход, предложенный Сен-Венаном. Решение уравнения движения стержня представлено в виде двух неизвестных функций, одна из которых описывает прямую волну, а другая - обратную волну. В настоящее время эта теория справедлива и для продольного соударения упругопластиче-ских стержней и стержней, состоящих из вещества со свойствами, зависящими от скорости деформирования. Характерным отличием классической теории продольного соударения упругих стержней, является пренебрежение местными эффектами в области контакта их концевых сечений. По-видимому, это обстоятельство явилось одной из причин неудовлетворительного согласования теоретических и экспериментальных данных.

Особого внимания заслуживают теория Г. Герца и ее обобщения. Эта теория в противоположность классической теории о продольном соударении стержней основана на предположении о доминирующем значении локальных эффектов, возникающих в окрестности точек начального касания поверхностей соударяющихся тел. На достаточно большом расстоянии от области местных эффектов, пользуясь теорией Г. Герца и ее видоизменениями, нельзя непосредственно найти поле напряжений и деформаций. Для полного решения задачи следует сначала найти силы взаимодействия между соударяющимися телами на основании теории Г. Герца, а затем решать краевую упругую задачу динамики для каждого тела в отдельности. Этот естественный подход привел Сирса и С. П. Тимошенко к объединению волновой теории Сен-Венана и теории Г. Герца при решении задачи о продольном соударении стержней, и о поперечном ударе шара о стержень. При этом было достигнуто удовлетворительное согласование теории и экспериментов [51]. Полученное на основании гипотезы плоских сечений уравнение движения элемента стержня при поперечных колебаниях, в отличие от уравнения продольных колебаний, не позволяет установить волновой характер движения, но этот недостаток можно устранить, введя в уравнение движения члены, описывающие влияние сдвига и инерции вращения [51].Теория соударений неупругих тел мало изучена, за исключением теории продольного соударения стержней.

Исследования Х.А. Рахматулина [79] охватывают динамические проблемы различных областей механики. Им получены фундаментальные результаты, имеющие научное и прикладное значения в областях: теории распространения упругих и упругопластических волн, дифракции ударных волн, распространяющихся в газе, теории парашюта и аэродинамики проницаемого тела, динамики грунтов, движения многокомпонентных сред, химической технологии и других. Во всех перечисленных направлениях Х.А. Рахматулину принадлежат основополагающие научные результаты решений динамических проблем механики. Эти результаты находят широкие применения в важнейших областях техники, в научно-исследовательских и конструкторских организациях различных отраслей промышленности.

В области теории упругопластических сред Х.А. Рахматулин открыл особые волны разгрузки, обусловленные необратимостью процессов пластических деформаций. В отечественной и зарубежной литературе эти волны называются «волнами Рахматулина». Он установил закон распространения упругопластиче-ских волн, законы накопления остаточных деформаций при многократных нагрузках, разработал методики получения динамических диаграмм растяжения и сжатия материалов за пределами упругости. Эта теория является основой расчета различных сооружений, расчетов пробивания бетона и других преград. Его монография «Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках» приобрела мировую известность.

Достаточно много работ вышло в нашей стране в 60-70е годы, посвященные экспериментальному и теоретическому подходу к решению задач удара. Работы Кукуджанова и Кондаурова [54, 57, 58] посвящены численному решению неодномерных задач динамики деформируемого твердого тела, а также распространению упругопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформаций. Построена полная система дифференциальных уравнений упругопла-стического течения с конечными деформациями для материалов дифференциального типа. Рассматриваются некоторые вопросы выбора численных схем — сеточных методов, характеристических и сеточно-характеристических методов, метод конечных элементов.

В работах Баранова В. Л. [5-7] были рассмотрены проблемы потери продольной устойчивости длинных стержней при их высокоскоростном ударном сжимающем нагружении. Сформулированы необходимые и достаточные критерии потери устойчивости. Решение проводились с привлечением методов динамики деформируемого твердого тела и численного анализа применительно к моделям упругого и упруговязкопластических материалов. В работе [6] анализировалось поведение тонких осесимметричных оболочек под действием снаружи продуктов детонации до момента схлопывания, а также отклик стержневых конструкций на изгибное и сжимающие ударное воздействие.

Стоит отметить работы И.А. Кийко [50, 73], посвященные влиянию осевой ударной нагрузки на цилиндрическую оболочку. В этих работах исследуются формы прогибов оболочки в зависимости от нагрузки, причем последняя считается больше, чем верхняя критическая. Решение сравнивалось с результатами экспериментов, полученными с помощью высокоскоростной камеры.

Также интересной является работа А. П. Малышева [64], в которой исследуются волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к ее торцу. Для решения была использована безмоментная теория оболочек.

В работах В. В. Зуева [39-41] рассматривается проблема математического моделирования нелинейных динамических процессов в деформируемых твердых телах. В качестве базовых определяющих соотношений используются соотношения теории пластичности, сформулированные в пространстве полных деформаций и позволяющие описывать эффекты упрочнения и разупрочнения, необратимые объемные деформации. Обобщенное соотношение Мизеса-Шлейхера, коэффициенты которого зависят от уровня достигнутых необратимых деформаций, рассматривается как условие текучести.

Много работ, посвященных данной тематике, издаются в США и Европе [94, 100, 103, 107], это прежде всего узкоспециализированные исследования, использующие чаще всего, конечно-элементную постановку процесса взаимодействия и проводимые с использованием классических математических моделей, примененных в конечно-элементных пакетах AnSYS, DYNA 3D, Nastran [111, 115117].

Данное исследование посвящено изучению конечных деформаций осесим-метричной оболочки под воздействием инерциальных силовых факторов с использованием соотношений деформационной теории пластичности при ударе об абсолютно жесткую преграду.

В настоящие время исследования сосредоточены главным образом на теории соударения упругих тел. Этим до известной степени определяется область изменения относительных скоростей соударяющихся тел.-Наиболее важная проблема соударения не вполне упругих и пластических тел теоретически почти не исследована. В данной работе рассматривается некоторое решение частной задачи из указанной области.

Сопротивление деформации и пластичность - основные свойства деформируемого металла, информация о которых необходима для разработки тех или иных элементов конструкции, подвергающихся ударным нагрузкам. Сопротивление деформации материала зависит от температуры, степени и скорости деформации [9, 39, 56, 62, 63, 96]. До сих пор не существует единой модели, способной качественно описать весь процесс взаимодействия с учетом всех этих параметров. Чаще используются методы линий скольжения, метод средних напряжений, метод верхних и нижних оценок [44, 63], которые описывают только установившуюся стадию процесса без учета конечности деформаций и поворотов материальных частиц и не позволяют провести анализ остаточных и текущих, зависящих от времени, эффектов в модели.

Сложность моделирования прежде всего связана с тем, что ударное взаимодействие является сложным процессом, включающим трение, пластическое течение, разрушение металла в таких предельных условиях, которые обычно не встречаются ни при испытаниях материалов, ни в технологических процессах. Процесс ударного взаимодействия может изучаться на идеализированных физических моделях с привлечением математического анализа.

В современной литературе известны следующие модели удара.

Модели продольного удара стержней как абсолютно твердых тел. Модель продольного удара абсолютно твердых тел основывается на том, что тела движущиеся до удара со скоростями У\ и У2 после удара приобретают иные скорости V]' и У2' (рисунок 1). т. а) б)

Рисунок 1. Схема продольного удара твердых тел: а) схема, характеризующая скорости тел перед ударом; б) схема, характеризующая скорости тел после удара.

Так как ударная сила является внутренней силой для рассматриваемой механической системы, а внешние силы отсутствуют, то в соответствии с теоремой об изменении количества движения механической системы имеем т2У2 тХ + т2У2 (1) где т\ и т2 - массы соударяющихся тел.

Уравнение (1) не решает вопроса о состоянии системы после удара, так как содержит две неизвестные величины V]' и У2' (массы тел т\ и т2, а также их предударные скорости У\ и У2 считаем заданными). Задача является неопределенной, если ее не дополнить какими либо условиями. Эти условия определяются из представлений о характере взаимодействия соударяемых тел.

Если удар абсолютно упругий, то используется условие сохранения кинетической энергии при ударе

1 тг2 1 тг2 1 тг'2 1 тг'2 тУ, + —т^ = —тУ, +

2 2 2 2

Если удар абсолютно пластичный, может быть использовано условие, что после удара тела движутся с одинаковыми скоростями РУ = У2

Более универсальной является модель удара Ньютона, которая основывается на предположении о пропорциональной зависимости между относительными скоростями тел до и после удара

-*(г,-г2) = г!-% (3) где Я - коэффициент пропорциональности, характеризующий восстановление относительной скорости после удара.

Вследствие своей простоты ньютоновская модель удара широко используется в теории виброударных систем, когда исследуется движение соударяемых тел на больших интервалах времени, по сравнению с которыми допустимо считать удар мгновенным. Однако в практике конструирования машин важной является и другая задача - определение сил для проведения прочностных расчетов. Для решения этой задачи модель удара абсолютно твердых тел вообще неприемлема, так как предположение о мгновенном ударе приводит к необходимости считать, что при соударении возникает бесконечно большая сила. При расчете на прочность такой результат не может быть принят.

Модель удара Герца. В основе построения модели Герца лежат две гипотезы. Предполагается, что при взаимодействии соударяющихся тел существенными являются местные деформации в зоне контакта. Вторая гипотеза состоит в том, что зависимость контактной силы от контактной деформации при ударе остается такой же, как и при статическом сжатии тел.

С использованием этих гипотез модель продольного удара двух тел может быть представлена моделью удара абсолютно твердых тел, взаимодействующих между собой в общем случае через нелинейный упругий элемент. Схема такого соударения представлена на рисунке 2.

VI

2 V,

1П\ у

Л х т2

Рисунок 2. Схема продольного удара тел с учетом контактного взаимодействия Свойства упругого элемента, моделирующего контактные деформации соударяющихся тел, проявляются лишь при сжатии. Если обозначить через А и сближение центров масс соударяющихся тел во время удара, то контактная сила (ударная сила) определяется выражением г 3 /2

А:(Ди) ,Дн>0,

О, А и < О, 4

Р = к =

4) где Аи =111-112; м/, и2 перемещение центров масс соударяющихся тел в направлении удара; к -коэффициент пропорциональности, зависящий от кривизны поверхностей тел в точке контакта и свойств материала; /?ь - радиусы кривизны поверхностей контакта соударяющихся тел; Ць \х.г - коэффициенты Пуассона материала соударяющихся тел; Е¡, Е2 - модули упругости материала. Если соударяющиеся тела из одного и того же материала, то

2 Е к =

ЯХЯ2

Составляя дифференциальные уравнения движения для каждого из тел, можно перейти после преобразований к дифференциальному уравнению вида с12А и т -Р, т = тхт2 т1 + т2 где т — приведенная масса.

При интегрировании (5) используются начальные условия

Ли)

5)

А и

Г=0 0, Ж

Однократное интегрирование (5) и использование условия преобразования кинетической энергии относительного движения в работу ударной силы позволяет определить максимальное сближение центров масс соударяющихся тел и максимальное значение ударной силы 2

А и

Г С > 2

5 тУ0 4 ~к

1г

Р -к5 1 шах ~ Л У м

Для определения характера изменения ударной силы во времени необходимо интегрировать дифференциальное уравнение вида с!Дм Л 1

К02-— \PdiAu), т *

А и

6) решение которого приближенно может быть описано [34] выражением вида

А и = А мта„ эт шах

1,0 6У0^ V ^"шах у

Сила контактного взаимодействия (ударная сила) приближенно может быть определена как

Р =

Г \3/2 . 1,06Г0г V

Аи

О <t<t тах у

7) о, г > О.

Модель Релея для описания продольного удара стержней. В общем случае при продольном ударе по стержню деформации являются функцией координаты х и времени ?. Рассмотрим схему продольного удара сосредоточенной массы тI по стержню массой т.2 (рисунок За).

Го пи у / г 7

0 •Тс / / 1 а) ф{х) = Л(1-. й х к >

Щ б)

Рисунок 3. Расчетная схема и диаграмма перемещения поперечных сечений при продольном ударе: а) расчетная схема продольного удара массы по стержню; б) функция <р(х), определяющая перемещения поперечных сечений стержня при продольном ударе.

Представим продольное перемещение поперечного сечения стержня в виде произведения двух функций

И(х,0 = ДО (8) где ф(х)~ функция, зависящая только от координаты; f (?) - функция, зависящая только от времени.

Функция ср(х) должна быть задана на основе представлений о характере деформирования стержня и граничных условий, функция ßf) подлежит определению в процессе решения задачи. Предполагается, что в любой момент времени продольные перемещения поперечных сечений (рисунок 36) равны нулю в сечении х = I и пропорциональны разности (1-х) , т. е. д?(х) - А(1 - х), где X — коэффициент пропорциональности. Тогда р \х) = -Я, (р '(0) = -Я, (р( 0) = Я/.

Величина ударной силы равна значению продольной силы в ударном сечении стержня и может быть найдена как

P(0,f) = ЕАди^ = ЕА • /(0 • (рЩ = -ЕА ■ f(t) • Я. дх

Движение ударной массы mj описывается дифференциальным уравнением вида

2>J=P(0,t). (9) где м(0, t) - перемещение ударного сечения стержня, х = 0 — координата ударного сечения стержня. Так как d2u(0,t) dt2 то имеем

FA mj\t) • Я/ + ЕАЛ • /(0 = 0, /"(0 + 7— ДО = 0. (10)

1тх

Учитывая равенство (10), получим

0 + ^/(0 = 0, (11)

2 ЕА где q ~ -— lmx

Решение (11) имеет вид (t) = Сх cos qt + С2 sin qt. (12)

Постоянные интегрирования С/ и Сг определяются из начальных условий дt где — Уо предударная скорость массы Ш]. у уо

Из начальных условий Сх = 0, С2 =——. Тогда из (1,13) У(0 =—— ят^, ударqЛl qлl ная сила

P(0,t) = -EA^-^-smqt. qM

Максимальное по модулю значение ударной силы равно

Модель удара Релея позволяет провести расчет ударной силы, оценить продолжительность удара. Однако для ее использования необходимо вводить гипотезу о распределении перемещений поперечных сечений по стержню в любой момент времени, что вносит определенный произвол в решении и в зависимости от принимаемой гипотезы может привести к различным результатам.

Энергетическая модель удара. Известны довольно простые приемы расчета максимальной ударной силы при соударении тел [3], базирующиеся на использовании теоремы об изменении кинетической энергии механической системы и гипотез о характере деформирования соударяемых тел. Такие модели удара принято называть энергетическими.

Волновая модель продольного удара сосредоточенной массы по стержню, взаимодействующему с абсолютно жесткой преградой (модель продольного удара Сен-Венана). Рассмотрим схему продольного удара сосредоточенной массы по стержню (рисунок 4а). Масса М имеет предударную скорость Кои наносит удар по стержню длиной / , взаимодействующему с абсолютно жесткой преградой. Предполагается, что при продольном ударе справедлива гипотеза плоских сечений. О а) й л* N х б)

Рисунок 4. Схема продольного удара сосредоточенной массы по стержню Выделим в стержне элементарный участок сЬс и изобразим его отдельно (рисунок 4), заменив действие отброшенных частей стержня неизвестными реакциями связей - продольными силами N и N + ¿//V. Учитываем, что сЦу = -—ах. дх

По принципу Даламбера сумма проекций сил, действующих на элементарный участок, с учетом сил инерции на продольную ось равна нулю

Х^О, - N+дхсЬс +N+ —ск = 0, дхсЬс + —сЬс = 0, (13) где дх - проекция интенсивности распределенных сил инерции на ось х, дх сЬс - проекция силы инерции элементарного участка на ось х. Проекция силы инерции элементарного участка на ось х равна дхсЬс = -с1тах, ¿т — рАсЬс, (14) где сЬт - масса элементарного участка, г - плотность материала, А - площадь поперечного сечения стержня, ш - проекция на ось х ускорения центра масс элементарного участка.

Учитывая (18) в (19), имеем dN . Л dN ~рАах н--ах = 0,-дх дх

Продольная сила в поперечном сечении стержня ди рАах = 0.

15)

N = EAдх ди где Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня, ~~~ - относи

С/Л тельная продольная деформация в сечении х, и = и(х,$ - продольное перемещение поперечного сечения, I - время. Тогда, учитывая, что получим из (15) dN дх дх

ЕА— дх г дх

ЕА— fix: ах = д1и dt2

-рА д2и dt2 0.

16)

Дифференциальное уравнение (16) должно быть дополнено соответствующими для каждой задаче начальными и граничными условиями. Для однородного стержня (Е = const, А = const) уравнение (16) преобразуется к виду

О о д и 1 д и п

-г?-— ^2=0, 0 <х<1 (17) дх а где а = л]Е/р - скорость распространения упругой волны в материале стержня (для стали а « 5000 м/с).

Начальные условия при 1 = 0: и(х,0) = 0, ди(х, 0) Ы

У0,х = 0,

0, 10<х<1. г Л ди{0,0

Граничные условия: если * = 0, —-—- < 0, дх мд2и(0,О=К4М0,О др- дх ' от если хм <м(О,?) ди(0Л) , ч ,

--= 0, ум = соШ, хм = хм(и) + и), дх а/ где £ - модуль упругости 1-го рода материала стержня, А — площадь поперечного сечения; л:м - координата, определяющая положение ударной массы М; ум - скорость ударной массы; и - время, когда произойдет отрыв ударной массы М от ударного сечения.

В модели Сен-Венана и следующих из нее волновых уравнений, описывающих движение стержня при продольном ударе, используется гипотеза плоских сечений. В работе Мясникова А. А. [72] выводится уравнение продольных колебаний для стержней переменного поперечного сечения из общих уравнений теории упругости методом последовательного приближения. Это позволило отказаться от гипотезы плоских поперечных сечений, как в теории продольных колебаний стержней Сен-Венана, но при сохранении структур базовых уравнений одинаковыми.

Анализ перечисленных выше подходов к описанию поведения тела при ударе позволяет выделить следующие характерные особенности:

1. Существующие подходы к описанию процесса удара приемлемы, в основном, для тел простой геометрической формы, и не учитывают различные эффекты, связанные с переходом материала в пластичность.

2. Модель процесса должна быть основана на описании физики процесса взаимодействия с преградой, а не статистических экспериментальных данных.

3. Необходимо использование вместо соотношений линейной теории упругости физически нелинейных соотношений, учитывающих изменение формы и объема тела при больших деформациях.

4. Экспериментальные методы способны однозначно предоставить информацию о механическом поведении оболочки в заданном диапазоне начальных скоростей и ее геометрических параметров.

Исходя из изложенного, основной целью работы является создание математической модели механического поведения тела при ударном взаимодействии с преградой, позволяющей на основании универсальных определяющих соотношений рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого деформирования и заканчивая стадией остановки тела.

В первой главе диссертации излагается математическая модель конечного деформирования. Приводятся определяющие соотношения упругопластического формоизменения для динамического процесса. Вводятся основные гипотезы модели. Строится конечно-элементная модель процесса взаимодействия оболочки с преградой.

Во второй главе рассмотрена задача о деформировании стержня при ударе о преграду. Проводится сравнительный анализ данных, полученных аналитически, с результатами численного решения задачи методом конечных элементов.

В третьей главе рассмотрены задачи о конечном деформировании осе-симметричных цилиндрических тел и тел со сложной геометрией при взаимодействии с преградой. Проводится сравнительный анализ полученных данных с другими исследованиями, в том числе экспериментальными, делаются выводы о пределах применимости модели.

Основные положения и результаты работы доложены на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2009), на Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» (Тула, 2009), на Научно-практической конференции «Молодежные инновации» (Тула, 2009), на Семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А., Тула, 2010) и т.д.

По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Заключение

В заключение хотелось бы отметить основные результаты по работе:

1. Построена геометрически нелинейная модель процесса взаимодействия уп-ругопластических тел с абсолютно жесткой преградой, в основу которой положено условие продолжающегося динамического равновесия в вариационной форме.

2. В рамках метода конечных элементов разработан численный метод исследования предложенной модели и создан авторский программный комплекс.

3. Показано совпадение аналитического и численного решений в заданной постановке с известным классическим решением Сен-Венана задачи об ударе упругого однородного стержня об абсолютно жесткую преграду. В отличие от классического решения численная модель позволяет определить не только осевые, но и радиальные напряжения, возникающие во внутренних точках стержня и имеющих наибольшее значение вблизи торца взаимодействия.

4. На основе аналитического решения задачи об ударе стержня проведен анализ устойчивости численного решения, выбраны оптимальные размеры конечных элементов и шага по времени.

5. Исследован процесс взаимодействия упругопластического толстостенного цилиндра с абсолютно жесткой преградой. Показано качественное различие квазистатического и динамического нагружений. При динамическом взаимодействии выявлено образование утолщения стенки цилиндра вблизи переднего торца, что подтверждается данными проведенного эксперимента и известными опытными данными Г. В. Бригадирова.

6. Проведено исследование взаимодействия с преградой тел сложной формы при различных начальных скоростях движения. Показано, что с ростом начальной скорости существенно изменяется характер деформирования передней части тела.

1. Адамов В.И. Построение конечно-элементной модели процесса конечного упругопластического деформирования /Тульский политехнический институт. Тула, 1986. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 27.08.86, № 6195-8

2. Адамов В.И., Маркин А.А., Фердман Э.Б. Описание процессов осесиммет-ричного конечного деформирования тел вращения /Тульский политехнический институт. Тула, 1986. - 8с. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.86, №828-886-В.

3. Алимов О. Д., Лисовский А. Ф. Влияние параметров ударного импульса на эффективность разрушения горной породы // Физ.-техн. пробл. разраб. полез. ископаемых, 1973. № 5. - с. 62 - 64

4. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Кинематические характеристики конечного формоизменения сплошного цилиндра/ Тул.госуд. ун-т. Тула, 1998. -Деп. в ВИНИТИ 29.05.98, № 1641 -В98.-24 с.

5. Баранов В. Л., Беликов К. Р., Дунаева И. В., Моржов О. В. Отклик элементов конструкций из упруговязкопластического материала на импульсное воздействие Тула -Русе: ТулГУ. - «Дунарит» - ЕАД.- 2000. - 209 с.

6. Баранов В. Л., Лопа И. В., Чивиков 3. Ч., Сименов П. С. Устойчивость ударно нагруженных стержней. Тула : ТулГУ. 1997. - 128с.

7. Баранов В. Л., Тер-Данилов Р. А., Воробьев В. Ю. Напряженно-деформированное состояние цилиндрических элементов при импульсном ударном нагружении //Известия ТулГУ. Серия "Технические науки", вып. 4,2007 г.- с. 35-41

8. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности, и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

9. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач,- М.: Высшая школа, 1974.-200 с.

10. Белевич С. М. Коротких Ю. Г. Некоторые результаты численного исследования процесса соударения стержня с жесткой преградой./ «Методы решения задач упругости и пластичности». Сборник научных трудов, Горький, ГГУ, 1972, №6.

11. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

12. Бирюков Д. Б. Обобщенный метод деформаций в конечно-элементном анализе задач механики твердого тела: Автореф. дис. на соиск. уч. степ, докт. техн. наук. СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2000, 42 с. Библ. 21. Рус.

13. Боресков A.B. Компьютерная графика: первое знакомство. М.: Финансы и статистика, 1996. - 173 с.

14. Бригадиров Г. В., Толоконников JI. А. Поведение при осевом ударе цилиндрической оболочки, несущей массу на неконтактирующем торце // Изв. АН СССР. МТТ. 1984 №5 с. 186-1901

15. Бригадиров Г. В., Толоконников JI. А. Удар составного стержня о жесткую преграду //Изв. АН СССР. МТТ. 1985 №4 с. 188-191

16. Бригадиров Г. В., Толоконников JI. А. Удар цилиндрической оболочки о жесткую преграду // Изв. АН СССР. МТТ. 1983 №3

17. Бриджен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: ил., 1955.-444 с.

18. Бурцев А.Ю. Исследования процесса взаимодействия оболочки с преградой. // Известия ТулГУ. Серия " Естественные науки", вып. 3, 2009 г.- с. 132-136

19. Бурцев А.Ю. Продольный удар цилиндрического тела о жесткую преграду. // Вестник ТулГУ. Серия "Актуальные вопросы механики", вып. 6, 2010 г.-с. 6-12

20. Бурцев А.Ю. Федосов И.М. Продольный удар оболочки о жесткую преграду// Сборник статей Казанская наука, вып. 3, 2010г.- с. 5-9

21. Бурцев А.Ю., Соколова М.Ю. Постановка задачи о конечных деформациях оболочки при соударении с преградой. // Известия ТулГУ. Серия "Естественные науки", вып. 2, 2008 г.- с. 62-66

22. Вальтер А.И., Дорохин Н.Б. Метод, конечных элементов в технологических задачах пластичности. -Тула 1999. 134 с.

23. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: «Мир», 1987. 542 с.

24. Васин Р. А., Ленский В. С., Ленский Э. В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями / «Механика. Новое в зарубежной науки» Сборник научных трудов под ред. Шапиро Г. С. М.: «Мир» 1975. -с.7-38

25. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.-296 с.

26. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

27. Виноградов Ю.В. Оптимизация вычислительного процесса МКЭ в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 150-154

28. Виноградов Ю.В. Подходы к постановке МКЭ приложений в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 148-150

29. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек М.: Наука, 1972.-432 с.

30. Галагер Р. Метод конечных элементов: Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

31. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. -510 с.

32. Голуб Дж., Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. - 548 с.

33. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. - 448 с.

34. Давыдов В. С., Чумаченко Е. Н. Метод реализации модели контактного взаимодействия в МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000, N 4, с.53-63

35. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П. Delphi 4. СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 1999.-c.816, ил.

36. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. -М.: Машиностроение, 1979. -567 с.

37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - с.542

38. Зуев В. В. Определяющие соотношения и динамические задачи для упруго-пластических сред с усложненными свойствами. -М.: ФМ, 2006, 174 с.

39. Зуев В. В. Определяющие соотношения теории пластичности в пространствах деформаций и напряжений. Докл. АН СССР, т. 242, №4, 1978, с. 792-795

40. Зуев В. В., Шмелева А. Г. Продольно-сдвиговое динамическое нагружение уплотняющихся сред с переменным упругим модулем. Вестник МГАПИ №3 -М.: МГАПИ, 2006, с. 124-132

41. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. -232 с.

42. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971. - 248 с.

43. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. -М.: АН СССР, 1963. 272 с.

44. Ильюшин A.A. Пластичность: 4.1, Упругопластические деформации, М. -JL: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

45. Ионов В. Н. Огибалов П. М. Прочность пространственных элементов конструкций М.: Высш. шк., 1980. - 440 с.

46. Ионов В. Н. Прочность боеприпасов при взаимодействии с преградой .— М.: Машиностроение, 1980. 423 с.

47. Кальверт Ч. Программирование в Windows. -Перевод с англ. -М.: БИНОМ, 1995.-c.496: ил.

48. Качанов JIM. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. -420 с.

49. Кийко И. А. Цилиндрическая оболочка под действием осевой ударной нагрузки//Изв. АН СССР. МТТ. 1969 №2 с. 135-138

50. Кильчевский Н. А. Теория соударения твердых тел / Н. А. Кильчевский. -Киев: Наукова думка, 1969. 246 с.

51. Клюшников Д.В. Физико-математические основы прочности и пластичности: Учеб. Пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 189 с.

52. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высш. шк., 1983. -349 с.

53. Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду// ПМТФ 1984 №4 - с. 132-139

54. Корриган Д. Компьютерная графика секреты и решения. М.: Энтроп, 1995.-350 с.

55. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник-М.: Машиностроение, 1980. -157 с.

56. Кукуджанов В. Н., Кондауров В. И. Численное решение неоднородных задач динамики твердого тела / «Механика. Новое в зарубежной науке» Сборник научных трудов под ред. Шапиро Г. С. — М.: «Мир» 1975 с.39-84

57. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965, — 408 с.

58. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. -512 с.

59. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. — 939 с.

60. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. -400 с.

61. Малинин H.H. Технологические задачи пластичности и ползучести. М.: Высшая школа. 1979. - с.119, ил.

62. Малышев А. П. Волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к ее торцу// Изв. АН СССР. МТТ. 1969 №2 с. 139-141

63. Манжосов В. К. Модели продольного удара Ульяновск : УлГТУ, 2006. — 160 с.

64. Маркин А. А., Толоконников Л. А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения.: Всесоюзн. межвуз. сб./ Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - с.32 - 37

65. Маркин A.A. Нелинейная теория упругости. Тула: ТулГу, 2001. - 71 с.

66. Маркин A.A. Об условиях равновесного нагружения и устойчивости в процессах конечного деформирования //Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тезисы докладов П Всесоюз. симп. Калинин: КГУ, 1986. - с.62-63

67. Маркин A.A. Определение соотношения конечного упругопластического деформирования /Тульский политехнический институт. Тула, 1985. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.85, № 2358-85 деп.

68. Маркин A.A., Соколова М. Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования Тула: ТулГу, 2010. - 268 с.

69. Маркин A.A., Толоконников JI.A. Меры процессов конечного деформирования// Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки; 1987. — № 2. - с; 49-53 ,

70. Огибалов П. М., Кийко И. А. Очерки по механике высоких параметров. -М.: Изд-во МГУ, 1966. -272 с.

71. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

72. Очков В.Ф. MathCad 6.0 для студентов и инжененров. М.: Компьютер-Прес, 1996.-238 с.

73. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. Пособие. 2-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1995. -366 с.

74. Поздеев A.A. Трусов П.В. Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. -232 с. .

75. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ил., 1963. - 312 с.

76. Рахматуллин X. А., Шемякин Е.И., Демьянов Ю. А., Звягин A.B. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках — М: Университетская книга; Логос, 2008. — 624 с.

77. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1972. - 492 с.

79. Соколова М. Ю., Христич Д.В. Исследование модели поведения изотропных упругих тел // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2000. - Том 6. - Выпуск 2. Механика. - с. 128-133

80. Соколова М.Ю. Модели необратимого конечного деформирования анизотропных материалов// Современные проблемы математики, механики, информатики/ Тезисы докл. Всероссийской научной конф. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2001.-с. 104-105

81. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. - 374 с.

82. Стивене Р. Delphi готовые алгоритмы. - М.: ДМК, 2001. - 378 с.

83. Тейксера С., Пачеко К. Borland Delphi 4 Руководство разработчика. -М.: Компьютерное издательство "Диалектика". -1999. 910 е., CD

84. Толоконников Л.А. Маркин A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях //Проблемы механики деформируемого тела. Калинин: КГУ. 1986.-е. 49-57

85. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1979. - 318 с.

86. Тутышкин Н.Д., Гвоздев А.Е., Трегубов В.И., Полтавец Ю.В., Селедникн Е.М., Пустовгар A.C. Комплексные задачи теории пластичности ТулГУ, Тула 2001 377 с.

87. Федоров А.Г. Delphi 2.0 для всех. М.: КомпьютерПресс, 1997. - 464 е., ил.

88. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Том 2. -М.: Наука, 1978.-616 с.

89. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

90. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

91. Argyris Т. Н., Chan A. S. Application of finite elements in space and time / Eng. Arch., 41, №4, 1972

92. Askes Harm, Sluys Lambertus J. Стратегия перестройки конечно-элементной сетки для адаптивного лагранжиево-эйлерового анализа локализации деформаций. Remeshing strategies for adaptive ALE analysis of strain localization Eur. J. Mech. A. 2000

93. Constitutive model and finite element formulation for large strain elasto-plastic analysis of shells. Y. Basar, M. Itskov. Computation Mechanics 23 (1999), p.466-481

94. Elasto-plastic finite element analysis of a crack in an infinite plate. Shaliendra K. Sharan. International Journal of Fracture 103: p.163-176, 2000

95. Elasto-plastic Finite-Element Analysis of the Axisymmetric Tube Flaring Process with Conical Punch. Y.-M. Huang and Y.-M. Huang. Int J Adv Manuf Technol (2001) 18:390-398

96. Estimation of Motion through Inverse Finite Element Method swith Triangular Meshes. J.V. Condell, B.W. Scotney, P.J. Morrow. School of Information and Software Engineering, University of Ulster at Coleraine

97. Hartman M., Hutchinson J. R. Nonlinear dynamic of solids by the finits element method. Сотр. and Struct., №1-2,1972

98. Finding solutions to Einstein's equations in terms of invariant objects. M. Bradley and M. Marklund, Class.Quantum Grav. 13, p.3021-3037, 1996 .

99. Large strain elastic-plastic theory and nonlinear finite element analysis based on metric transformation tensors. M. Brunig. Computation Mechanics 24, p.187-196.1999

100. Malone D. W., Connor Jerome J. Finite elements and dynamic viscoclasticity/ J. Eng. Mech., Proc. ASCE, №4, 1971

101. Simulation of a Compressible Flow by the Finite Element Method Using a General Parallel Computing Approach. A.Chambarel. Complex Hydrodynamics Laboratory

102. The Elastic-Plastic Finite Element Alternating Method and the prediction of fracture under WFD conditions in aircraft structures. L. Wang, F.W. Brust, S.N. Atluri. Computation Mechanics 19, p.370-379. 1997

103. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media. R.W. Lewisand, B.A.Schrefler. Meccanica34:231-235, 1999