Ударно-колебательные движения твердых тел в пространстве между ограничителями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

УДАРНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВЕ МЕЯСДУ ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ

Специальность: 01 02.06 - "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

Ходжаев Александр Камилович

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика" Санкт-Петербургского Государственного Горного института (Технического университета).

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Роберт Фаритович Нагаев

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор

Станкевич Александр Иванович

кандидат физико-математических наук Степанов Алексей Владимирович

Ведущая организация ЦНИИ "Электроприбор"

Защита состоится "28 " Н09&09 1995г. в часов аа

заседании диссертационного Совета Д.200.17.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу:199178, С.-Петербург, В.О., Большой пр. 61.

Автореферат разослан " 2.? " О^Г/уУ<^А?1995г. Ученый секретарь диссертационного Совета,

кандидат химических наук fTf13 . В.П. Глинин

\

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Эффективное решение ряда актуальных задач прикладной механики сиязано с необходимостью исследования ударно-колебательных движений твердых тел в пространстве между ограничителями ограниченного или полуограиичепного объема. Речь прежде всего идет об исследовании переходных режимов движения гироскопа о мапштиом подвесе. Дело в том, что после включения магнитного поля может произойти бесконечноударный процесс конечной продолжительности (кназннластнческий удар), по завершению которого гироскоп сохраняет значительную часть своей кинетической энергии. В ходе последующей обкатки гироскопа по впугреннй поверхности гладкой шероховатой полости возникают инерционные усилия настолько значительные, что они могут принести к выходу соответствующего прибора из строя. Поэтому весьма актуальной является разработка комплекса конструктивных мер, препятствующих возможности возникновения обкатки, а так же изучение динамических последствий, возникающих в результате этого ударно-колсбатслыюго движения переходного типа. Имеющиеся теоретические исследования в данном направлении носили сугубо приближенный характер и , в частности, не учитывали возможность реализации квазппластического удара.

Родственные задачи об установившихся автоколебаниях ударно-фрикционного типа возникают при анализе динамики деталей к элементов конструкций, которые установлены с зазором и контактируют с движущимся основанием. Хорошо разработанные и настоящее время методы исследования фрикционных автоколебаний в данном случае не могут быть нснользованы

непосредственно вследствие существенно разрывного характера соответствующих задач и возможности реализации бесконсчноударпых процессов конечной продолжительности.

Недостаточность теоретической проработки подобных задач непосредственным образом сказывается на уровне конструкторских решений н , в конечном счете, заметно снижает качество соответствующих устройств и ухудшает прочностные условия их работы.

Цель работы. Целью работы является построение адекватной математической модели, соответствующей переходным ударно-колебательным движениям гироскопа в магнитном подвесе, а также разработка эффективных способов определения областей существования и устойчивости установившихся автоколебаний ударио-фрикциониого типа.

Задачц исследования.

- исследование ударно-колебательных движений твердого тела между шероховатыми плоскими ограничителями, сходящимися под углом;

- разработка эффективного алгоритма расчета переходных автоколебательных движений твердых тел в замкнутом пространстве с ограничителем, имеющим форму ромба;

- анализ результатов численного счета и разработка рекомендаций по наиболее эффективному конструкторскому оформлению внутренней поверхности ограничителя;

разработка эффективных методов построения количественных характеристик ударно-фрикционных

автоколебаний, областей их существования И устойчивости в пространстве параметров и начальных условий задачи.

Методы исследований основаны на современной стерео.механичсской теории соударения абсолютно твердых тел,

включая теорию квазипластичсского улара. При решении задач широко используется аналитическая теория уравнений в конечных разностях, методы малого параметра и теория устоичиности Ляпунова-Пуанкаре. Применяется математическое моделирование и численное исследование но ранее разработанным алгоритмам.

Научная новнзна. К настоящему времени достаточно подробно изучены закономерности квазипластичсского удара иод действием переменной силы, способствующей сближению соударяющихся тел. В рассматриваемой работе, видимо, »первые показано, что бесконечноударный процесс конечной продолжительности возможен и вероятен в пространстве между ограничителями, сходящимися под углом. Это позволило о последующем построите эффективный алгоритм расчета переходных ударно-колебательных движений твердого тела с двумя и с тремя степенями свободы в замкнутом пространстве с ограничителем ромбической формы. Реализация данного алгоритма дала возможность впоследствии классифицировать ударно-колебательные движения различных типов и осуществить их сравнительный анализ с точки зрения эффективности и надежности соответствующего прибора.

Ранее было показано, что задача о фрикционных автоколебаниях допускает точное или приближенное решение в замкнутом виде только в частных случаях, так называемой скачкообразной или кусочпо-линеГшой характеристики сухого трения. В данной диссертации доказано, что задача об ударно-фрикционных автоколебаниях допускает решение в замкнутом виде при произвольной характеристике трения. При этом оказывается возможным не только найти количестпенпые характеристики режима (если он существует), но и определить

конечную область его притяжения в пространстве начальных условии.

Достоверность научных реаультатоа обеспечивается применением классических и современных строгих методов исследования, а также практическим использованием разработанных методик.

Практическая ценность" работы состоит в следующем:

1) Показано, что существуют три различных типа переходных ударно-колебательных движений твердого тела с двумя поступательными степенями свободы (материальной точки) в пространстве с ограничителем ромбической формы. При этом наиболее выгодным с практической точки зрения является движение стохастического типа.

2) Показано, что в случае симметричного твердого тела с тремя степенями свободы (шарик) сохраняется только два типа движения: стохастическое и квазипластический удар. При этом квазнпластичсский удар оказывается возможным при единичных соударениях гесьма близких к абсолютно упругим.

3) Получены замкнутые соотношения, определяющие количественные характеристики, а также области существования и устойчивости установившихся автоколебаний ударно-фрикционного типа при произвольной характеристике сухого трення. Показано, что такие автоколебания наиболее вероятны, если единичное соударение близко к абсолютно упругому, а скорость движения основания не превосходит некоторой критической величины.

Реализация результатов работы. Результаты теоретических исследований и построенные на их основе алгоритмы и программы предназначены к внедрению в институте "Электроприбор".

Лиробапия работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-

практической конференции молодых специалистов Всесоюзного научно-исследовательского аккумуляторного института

(г.Ленинград, 1988), конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (г.Донецк, 1990), ца второй всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (г.Горький, 1990), на семнаарах кафедры теретической механики С.-Петербургского горного института (1992,1995)

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введенйя, трех глав основного текста и заключения, содержит 106 страниц машинописного текста, иллюстрирована 20 рисунками. Список литературы включает 85 наименований.

Основное содержание работы. Введение к диссертации содержит развернутое описание развития и совершенствования стереомехапичемкой теории удара в котором приняли участие такие ученые, как И.Ныотон, С.Д.Пуассон, И.Дж.Раусс, П.Апнель, Т.Левц-Чевитта, Н.Е.Жуковский. Среди современных ученых большой вклад б развитие этой теории внесли: В.И.Бабицкий, В.Л.Бидерман, Н.А.Кильчевскин, Р.Ф.Нагаев, Я.Г.Пановко, ■ Ф.С.Кравфорд, И.Б.Келлер. В этих работах, в частности, был подробно изучен весьма распространенный в действительности бесконсчноударньш процесс, который в конечное время завершается наступлением длительного контакта взаимодействующих тел. Данное явление в отечественных работах получило название "квазипластический удар", а в зарубежных - "ударный коллапс".

Основное содержание работы начинается в первой главе с задачи об ударно-колебательных движениях твердого тела с двумя степенями свободы (материально!! точки) в пространстве между плоскими шероховатыми ограничителями, сходящимися под углом

плоскими шероховатыми ограничителями, сходящимися под углом ...о^г...(рис.1). В соответствии со отсреомеханической теорией' предполагается, что произвольное косое соударение точки с номером /С об ограничитель характеризуется следующими соотношениями:

К-0/,2,...

где Ы-к - модули нормальной и касательной компонент скорости точки, восстановленной в результате соударения, ^ 1/к - модули ' соответствующих комнопеит доударной скорости,Х'-коэффициент восстановления скорости (0^£< , а ^ так называемый коэффициент ударного трения. Предполагается, что в интервалах между соударениями точка движется равномерно и прямолинейно по инерции. Последующий геометрический анализ рассматриваемого движения позволяет получить следующее нелинейное конечно-разностное уравнение, связывающее углы наклона доударных скоростей при двух последовательных соударениях

ГСъс)

. ' О)

здесь

ки

Р(ос) = Сх. +<о .

Это уравнение допускает частное стационарное решение Х- , где величина ОС определяется из квадратного уравнения .

/у<3>.

Данное уравнение допускает решение, имеющее физический смысл, если выполняются неравснстпа:

где алсЛ.^ ^ - так называемый угол ударного тре,.ия, задающие необходимые условия существования бесконечноударпого процесса, которое за конечное время переводит точку в острие угла. Соответствующие области существования па плоскости (о1 ) Х^) при различных значениях приведены па рис.2. Внутри этих

областей уравнение (3) допускает два положительных корня О^-Х^ЗС* причем меньший корень является устойчивым, а больший \Х. *-неустойчивым. Соответственно,

неравенство ^^ ^ характеризует область притяжения решения ¿С* . Далее определяются все количественные характеристики этого решения. В частности, модули полной восстановленной скорости изменяются согласно закону геометрической последовательности

с«

где ~\[а -первоначальное значение этой величины, а

е(о,1)

(6)

g

Б

0.8 0.6 0.4 0.2

Рис. 1

1

!\

V

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Рис. 2

Суммарный путь, пройденный точкой вплоть до окончания процесса, ранен

L = Z+iv'übr-^x« ' <7)

где So - расстояние от точки до вершины угла в момент первоначального соударения.

В последующем ата задача обобщается на случай, когда в интервалах между соударениями движение точки тормозится силон сопротивления: _

р^гМ^-. <*)

Здесь

V -вектор скорости, а функция

Рассмотренная задача позволила далее построить алгоритм для численного расчета ударно-колебательных движений точки в замкнутом пространстве с ограничителем ромбической формы (рис.3). Реализация этого алгоритма позволила выделить следующие три существенно различных типа затухающих ударно-колебательных движений точки.

1) Движение заканчивается квазипластическим ударом с выходом точки в вершину одного из острых углов ромба.

2) В ходе движения некоторое К -ое соударение имеет нескользящий характер ( = О ). При этом перпендикуляр к соответствующей стороне ромба пересекает его противоположную сторону. Последующее ударно-колебательное движение происходит вдоль данного перпендикуляра, соударения носят прямой характер, а восстановленные нормальные скорости убывают по закону геометрической прогрессий со знаменателем Q '

(UKtJ*O.WL....). (9>

3)' Траектория ударио-колсбатсльиых движений точки носит беспорядочный характер и , по-видимому, всюду плотно покрывает площадь ромба. Затухающие траектории этого типа условно названы стохастическими.

Следует ожидать, что именно при движениях стохастического тиг.а импульсное воздействие точки наиболее равномерно распределяется по периметру ромбического ограничителя. Поэтому, реализация переходных движений такого типа наиболее выгодна в смысле надежности и прочности соответствующего прибора.

Во второй глапе диссертации рассматривается задача о плоских ударно-колебательных движениях круглого тела с двумя поступательными и одной вращательной степенями свободы в интервалах между соударениями. При этом полагается, что в интервалах- между соударениями постоянна поступательная скорость центра масс'шарика и его угловая скорость.

Сначала, как и ранее, исследуется движение такого тела между ограничителями, сходящимися под углом. Косые соударения тела с ограничителем рассматриваются согласно обычной схеме, при этом определяется Послеударное значение как компонент скорости центра масс, так и его угловой скорости. Существенно, что нескользящее соударение в данном случае характеризуется тем, что обращается в нуль касательная составляющая скорости не центра масс шарика, а точки его касания с ограничителем.

Доказывается прежде всего, что в данном случае квазипластичсский удар, в отличие от материальной точки, возможен только при нескользящих косых соударениях шарика. Необходимые условия существования квазипластического удара в

и

данной задаче подразумевают совместное выполнение неравенств

г ' (10)

где А" к ,а К я Р - геометрический радиус и цеитралиныг

чГ

радиус инерции шарика. Отметим, что коэффициент Л характеризует сравнительную величину вращательной э"ергии, восстановленной в результате косого нескользящего соударения шарика с ограничителем. Существенно так же, что второе нераь^нство (10) оказывается более сильным при 0<С Я ^ , а первое - при Что же касается промежуточной области

( )> то ПРН более существенным

оказывается второе неравенство (10), а при ^^ ■ <£< 4 -первое неравенство (10). Области существования бесконечноударного процесса на плоскости ( Ы. , ^ ) при ^ = 0,2; 0,6; 0,8 во всех трех вышеописанных характерных случаях приведены на рис.4,5,6. Из рисунков видно, что квазипластический удар с нескользящими соударениями круглого тела возможен при значениях коэффициента восстановления скорости при ударе сколь угодно близких к единице. Эта тенденция проявляется наиболее отчетливо, если параметр наиболее близок к 1 ( ^Р»2. ) н , поэтому круглое тело имеет форму катушки.

При формулировке необходимых и достаточных условий следует кроме неравенств (10) учитывать условия нескользящего характера соударений и определенное ограничение на величину начальных условий. Первое условие позволяет определить минимальное допустимое для этого значение коэффициента

Рас. 3

R

Рис. 4

R

0.8 0.6 0.4 0.2

0.4 0.8 1.2 1.6 Рис. 5

R

3.8 0.6 0.4 ©.2

УУ

У

0.4 0.8 12 1.6 Рис. 6

ударного трения, а второе - максимально допустимый угол наклона к ограничителю скорости центра масс шарика, которая восстанавливается в результате первоначального соударения. Отметим, что в рассматриваемой задаче квазипластический удар, вообще говоря, возможен даже ~огда, когда первоначальная восстановленная скорость направлена в сторону от вершины угла. Отметим наконец, что среди континуума бесконечноударных процессов, которые реализуются при различных начальных условиях (но, обязательно, при выполнении необходимых и достаточных условий существования) в данной задаче так же может быть выделен режим, который обладает с ростом номера определенными притягивающими свойствами и , поэтому может быть назван устойчивым и стационарным.

Далее в главе 2 дается описание алгоритма расчета затухающих ударно-колебательных движений круглого тела в пространстве с ограничителем ромбической формы. Этот алгоритм является, по сути дела, усложненным вариантом вышеописанного (глава 1). Реализация данного алгоритма показала, что в данной задаче оказывается возможным либо движение, завершающееся квазипластическим ударом, либо движение "стохастического" тина. При этом, области существования стохастических движений для круглого тела существенно шире, чем для материальной точки.

Вышесказанное наглядно свидетельствует о том, что круглое тело с тремя степенями свободы в задачах рассматривемого типа всегда существенно отлично с динамической точки зрения от материальной точки.

Последняя глава диссертации посвящена задаче об Ударно-фрикционных автоколебаниях твердого тела на шероховатом основании, движущемся с постоянной скоростью 1Л , при наличии одностороннего неподвижного ограничителя (рис.7). В отличии от

чисто дисспативных систем, рассмотренных ранее, в данную, систему поступает внешняя, энергия, которая не носит характер заданного возмущения колебательного типа. Поэтому в ней оказываются возможными незатухающие виброударные движения или автоколебания. Эти движения, однако, так же могут быть названы стационарными и устойчивыми, как некоторые движения, рассмотренные выше. Кроме того, здесь так же возможны бесконечноударные движения, которые носят переходный характер. Легко видеть, что при произвольных начальных условиях скорость Удара рано или поздно начинает удовлетворять неравенству ХГ^-Ц.

Поэтому, уравнения движения при наличии проскальзывания (1Г>- ЪО будем записывать в виде:

где %Г - скорость относительного проскальзывания, а

(рис.8). Уравнения (1?) следует дополнить условиями неабсолютно упругого удара об ограничитель; ОС- О, Ц+ г ~IX.

В ходе последующего анализа, прежде ьсего, показывается, что существует устойчивое положение равновесия причем

малые возмущения затухают полностью за конечное время в ходе квазипластического удара. Предположим однако, что при ~Ь<0 тело двигалось вместе с основанием (ХГ'-1С ). Если в последующем при Ъ-0 произошло соударение, то сразу после него ОС.-О , 1Т-£и.. Закон последующего движения в параметрической форме легко получить, если наряду с (11) рассматривать следующее, вытекающее из него уравпение:

характеристику сухого трения будем считать произвольной

Таким образом, будем иметь

Ни Ни

ЗЖ- ■ '¿втГ-<Ш- ,1Ч)

4 Р(гс) ' * У Р(ЬУ) (13)

Отметим, что первое равенство (13) задает, по существу, уравнение соответствующей фазовой траектории на плоскости Согласно этому уравнению, в некоторый момент "¿-'Й, 1Т-~ ЬА I, следовательно, ^

(14)

Далее и вплоть до последующего соударения тело движется имеете

с основанием ('1Л=- 1с ) и , таким образом, движение в целом

является периодическим (рис.9).

В диссертации показано, что необходимым и достаточным

условием существования автоколебаний является выполнение

неравенства ОС* > О , и подробно анализируется характер

соответствующей границы в пространстве параметров задачи. В

частности, установлено, что для существования автоколебаний

необходимы достаточная близость коэффициента восстановления к

¡С I

единице, а так же выполнение неравенства ¡¡^

Последнее предполагает наличие падающего участка в характеристике сухого трения (рис.8). Так же устанавливается, что выделенный автоколебательный режим является устойчивым, однако, область его притяжения, вследствие устойчивости положения равновесия, является конечной и сгягивется к нулю при ¿С^ —? О . Границе этой области отвечает неустойчивый периодический режим, для которого всегда 1Г> - 1л. Соответствующая фазовая траектория на рис.9 помечена штрихом.

I

X I

m

u

Рис. 7

Fjwî

w

Fhc. 3

.V -X

Рис. 9

Выводы н заключения.

1) Доказано существование затухающего ударно-колебателыюго режима, при котором материальная точка или шарик, которые д^утся по инерции между шероховатыми плоскими поверхностями, сходящимися под . углом, в результате квазинластического удара за конечное время приходят в вершину угла.

2) Области существования вышеупомянутого бесконечноударного режима применительно к материальной точке и шарику существенно отличаются друг от друга, как бы ни был велик момент инерции последнего.

3) Существуют три существенно различных типа переходных ударцо-колебательных движений материальной точки на плоскости, ограниченной замкнутой шероховатой границей ромбической формы. Среди них наиболее выгодными в прочностном смысле являются движения "стохастического" типа.

4) При движении шарика внутри ромба сохраняются движения только двух типов. Однако вероятность движений "стохастического" типа существенно увеличивается.

5) В результате ударного взаимодействия твердого тела на движущемся шероховатом основании с неподвижным ограничителем может возбудиться периодический автоколебательный режим фрикционного типа, причем это возбуждение носит жесткий характер.

6) Область существования и устойчивости ударно-фрикционных автоколебаний определяется в замкнутом виде при произвольной характеристике сухого трения и реализуется, если величина коэффициента восстановления скорости при ударе достаточно велика, а скорость движения основания не превосходит некоторого критического значения.

Задачи о затухающих ударно-колебательных движениях тел в ограниченном пространстве рассматривались здесь только для плоского случая, поэтому в ходе дальнейшего продолжения работы, следует рассмотреть более общий пространственный случай.

Основные положения диссертагин опубликованы в следующих работах:

1.Нагаев Р.Ф., Ходжаев А..К. Ударно-колебательные движения твердого тела между прямолинейными ограничителями, сходящимися под углом. //Прикладная механика. Киев, 1992, №10, с.68-75.

2. Нагаев Р.Ф., Ходжаев А.К., Холодилин H.A. Ударные движения тела в сферической полости. //Тезисы докладов конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения".-Донецк, Институт прикладной математики и механики АН УССР, 1990.

3. Нагаев Р.Ф., Ходжаев А.К., Холодилин H.A. Ударно-колебательные движения твердых тел в ограниченном пространстве. //Тезисы докладои второй всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Горький, Горьковское областное управление НТО Машпром, 1990.