Проблемы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Горбиков Сергей Павлович Р 1 О Ой

1 7 т Ш

ПРОБЛЕМЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Иванов А.П.

доктор физико-математических наук, профессор Маркеев А.П.

доктор физико-математических наук, профессор Нагаев Р.Ф.

Ведущая организация - Институт машиноведения им. А.А.Благонравова

РАН

Защита диссертации состоится " Срврралд. 2000 г. в 15,00 ча-

сов на заседании диссертационного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, просп. Вернадского, 101-1, ИПМ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН.

Автореферат разослан » $Г " ^иЬ^рЛ. 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.87.01 к.ф.-м.н.

Сысоева Е.Я.

6 V ¿У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, в горной, лесной, пищевой промышленности, в металлургии, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и т.д.

Изучение динамических систем, описывающих функционирование таких устройств, проводилось в значительном числе работ, авторы которых - В.И.Бабицкий, Н.Н.Баутин, И.И.Блехмаи, В.Ф.Журавлев, A.A. и А.Е.Кобринские, М.З.Коловский, Э.Э.Лавендел, Р.Ф.Нагаев, Ю.И.Неймарк, К.М.Рагульсклс, М.И.Фейгин, C.N.Bapat, P.J.Holmes, S.F.Masri, F.Peterka, S.W.Shaw и многие другие.

Однако построение качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями происходило фрагментарно, хотя необходимость такого подхода была осознана после работ А.А.Андронова.

К тому же, изменившиеся представления о возможностях динамики систем (в частности, о наличии у них хаотических движений), бурное развитие вычислительных методов позволяют с иной точки зрения посмотреть на конкретные динамические системы, положенные в основу всей теории виброударных систем. Такой подход в сочетании с исследованиями качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями приводит к новым интересным закономерностям и выводам, имеющим важное значение для практики.

Цель работы состоит в исследовании локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, а также в изучении (с помощью полученных при этом исследовании результатов) установившихся движений ряда конкретных систем, составляющих основу теории виброударных систем.

Методы исследования. Исследования проводились методами теоретической механики и качественной теории дифференциальных уравнений на основе применения метода точечных отображений. При доказательстве утверждений о структуре фазового пространства использовался также ряд результатов функционального анализа. При изучении конкретных систем привлекались численные методы исследований на ЭВМ.

Новые научные результаты. В диссертации впервые:

-выделяются шесть типов локальных особенностей, наиболее часто возникающих в динамических системах с ударными взаимодействиями;

-предлагается описание первых четырех и шестого выделенных типов, достаточное для установления топологической эквивалентности особенностей одного и того же типа, доказывается теорема о структуре фазового пространства в окрестности локальной особенности пятого типа;

. -дается описание бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями с помощью гладких дифференциальных уравнений;

-изучается в целом пространство параметров ряда конкретных виброударных систем на базе введенного понятия основных установившихся движений;

-указываются закономерности поведения (при изменении параметров системы) средней скорости виброперемещения, оптимальной по углу вибраций.

Достоверность полученных результатов основана на строгом и обоснованном применении математических методов, на сравнении результатов компьютерного моделирования с теоретическими выводами.

Практическое значение работы. Полученные в работе теоретические результаты могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании конкретных систем с ударными взаимодействиями.

Рассмотренные в работе конкретные виброударные системы представляют собой модели, принятые для описания процессов виброперемещения, вибротранспортирования, вибробункеризации, вибросепарации, пневмовибротранспорта и т.п., и поэтому полученные при изучении упомянутых систем результаты могут быть использованы при выборе рабочих режимов для этих процессов.

Созданный (на основе полученных теоретических результатов) автором диссертации программный комплекс [13] позволяет численно изучать динамику конкретных виброударных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на: VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), II Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (Одесса, 1982), XXI Всесоюзной летней школе ученых механиков по анализу и синтезу механических колебательных систем (Да-угавпипс, 1991), Международном коллоквиуме механиков Euromech 295 "Wave processes in machinery and structures" (Нижний Новгород, 1992), Всесоюзном семинаре "Автостохастические явления и системы" (Горький, 1980), Расширенных семинарах по теории машин и механизмов на

тему "Динамика виброударных систем" (Москва, 1981, 1984), II конференции молодых ученых факультета Вычислительной математики и кибернетики и НИИ Прикладной математики и кибернетики Горьковского госуниверситета (Горький, 1979), научной конференции молодых ученых Волго-Вятского региона (Горький, 1985), I, II Всесоюзных и III - V конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987, 1990 и Н.Новгород, 1993, 1996, 1999), Всесоюзной научно-технической конференции "Вибрация и вибродиагностика. Проблемы стандартизации" (Горький, 1988), II и III Всесоюзных конференциях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 1989, 1991), IV научно-технической конференции "Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств" (Нижний Новгород, 1992), Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1977, 1978, 1980, 1985, 1986, 1987, 1989), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета (1982), Всесоюзном семинаре "Динамика распределенных систем" (Горький, 1990), семинарах лаборатории мех.-мат. методов исследований института Механобр (Ленинград, 1982, 1990), руководимом А.Ю.Ишлинским и Д.М.Климовым семинаре ИПМ АН СССР (Москва, 1991) и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 23].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 166 наименований. Она содержит 212 страниц: 190 страниц основного текста, напечатанного через 1,5 интервала (с помощью редактора ТЕХ); одну таблицу и 31 рисунок (в качестве приложения). В каждой главе есть: краткое введение (с указанием работ автора диссертации, в которых опубликованы основные результаты главы) и краткие выводы (из полученных в главе результатов).

Примечание к диссертации. В диссертации используются результаты работ [1 - 4], проведенных совместно с профессором Ю.И.Ней-марком. При выполнении работ [1, 3] Ю.И.Неймарком была осуществлена постановка задачи. При проведении работы [2] Ю.И.Неймарком были предложены: идея описания бесконечноударных движений дифференциальными уравнениями и итерационный процесс для отыскания правых частей этих уравнений. При выполнении работы [4] Ю.И.Неймарком была высказана идея сужения пространства параметров системы выбором таких параметров, которые доставляют максимум средней скорости вибротранспортирования.

Соискателем в этих работах были сформулированы утверждения, проведены доказательства и получены численные результаты.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается общая характеристика работы, краткий анализ современного состояния и исторический обзор изучаемых в диссертации проблем, кратко излагается содержание диссертации.

В главе I выделяется шесть типов локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, исследуются первые четыре выделенных типа особенностей. В главе II изучаются локальные особенности пятого и шестого выделенных типов. Дается определение области бесконечноударных движений, которое затем используется для классификации движений конкретных виброударных систем. Формулируется один способ численного исследования таких систем. В главе III изучаются основные установившиеся движения одной задачи из теории виброперемещения. В преамбуле главы предлагается определение таких движений, которое в дальнейшем используется. В главе IV подсчитываете» средняя скорость вибротранспортирования, оптимальная по углу вибраций. Даются практические рекомендации для увеличения средней скорости виброперемещения. В главе V найдены основные установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с неподвижным ограничителем.

В заключении диссертации приводятся основные результаты, выносящиеся на защиту, с указанием тех разделов диссертации, где они получены. Также формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями, примыкающий к изученным в диссертации проблемам.

Ниже подробно излагаются результаты каждой главы.

ГЛАВА I

- В §1 дается описание рассматриваемого в диссертации класса динамических систем с ударными взаимодействиями. Предполагается, что мгновенные ударные взаимодействия происходят на гиперповерхности хп = 0, по достижении которой фазовые переменные гьЖг, • • • >xn-i меняются скачкообразно (переменная хп остается равной нулю) в соответ-

ствии с формулами

■ г,- = = «Г+ ••.«»-!)» (1-1.1)

» = 2, п — 1,

а при ж„ > 0 изменение фазовых переменных подчиняется дифференциальным уравнениям вида

■ ¿х. _

Х{ = г = 1,п — 1,

^ = = ("Л)

= Ж1Фг»1(а51, • • • »»п) "Ь ЖпФпяСж!,. .. , Ж„).

Фазовое пространство системы составляют точки жп > 0). В соотношениях (1.1.1): а^",...,®^! и ®1,...,®я_1 - соответственно доударные и послеударные значения переменных.

На протяжении всей работы предполагается, что всякий раз при использовании уравнений (1.1.1), (1.1.2) выполняются следующие условия: -1 < #ц(о,®2,••• .«п-1) < < 0; .Жп-1,0) >0; I- время. В главе I: функции Нц,] = 1,п-1, определены и являются гладкими класса Ст, то > 3, в малых окрестностях точек (»¡" < ..., х~_г) пространства Лл~\ а функции у — — 1,п-1, Фп1, Фпп определены и являются гладкими класса Сп в малых окрестностях точек (»1,.. •, «я-1»> 0) пространства Д".

Следует отметить, что специфический вид уравнений (1.1.2) и условие типа неравенства на функцию Ф„ 1 означает лишь, что:

1) на гиперповерхности х„ = 0, согласно (1.1.2),

¿п = Я1Ф„1(11,...,гп-1,0); (1.1.3)

2) поэтому фазовые траектории системы (1.1.2) при — 0 касаются гиперповерхности хп = 0, при возрастании времени 4 они выходят из точек (я! > ... = 0) , а при уменьшении * - из точек {х\ < < 0,®2,...,гя_ь0).

Указанный вид (1.1.1) ударных взаимодействий подразумевает лишь, что при достижении гиперповерхности х„ = 0 фазовой траекторией со скоростью изменения последней переменной равной хп = 0 ударные взаимодействия не меняют значений фазовых переменных (т.к. в силу

(1.1.3) условие хл = 0 влечет равенство х\ — 0), а условия в виде неравенств на функцию Ни означают потерю абсолютной величины скорости изменения переменной хп после ударных взаимодействий.

Поэтому к указанному виду (1.1.1) - (1.1.2) приводятся уравнения движения многих механических систем с одной ударной парой, ударные взаимодействия которой описываются в рамках стереомеханической теории удара:

1) прямым соударением, подчиняющимся гипотезе Ньютона;

2) косым соударением, когда изменение касательных составляющих скорости подчиняется так называемой гипотезе "сухого трения".

При этом, естественно, предполагается, что на движение системы не влияют дополнительные нелинейности типа кулонова трения, люфт и т.п., которые приводят к нарушению гладкости правых частей дифференциальных уравнений (1.1.2), описывающих движение в промежутках между ударными взаимодействиями.

Кроме того, вид (1.1.1) ударных взаимодействий обобщает гипотезу Ньютона или "сухого трения" на случай, когда коэффициент восстановления или иные коэффициенты гипотезы не являются постоянными, а зависят от фазовых переменных системы (например, скоростей движения).

Приведенным видом (1.1.1) - (1.1.2) динамической системы с ударными взаимодействиями можно пользоваться и при наличии в системе нескольких ударных пар, когда за интересующий момент времени происходят ударные взаимодействия лишь в одной из них.

Замечание 1. Ниже принимается , что в момент удара * = < о фазовая траектория содержит две точки (я^,..., £"_!,()) и (£],..., £я_1,0).

Далее в диссертации приводятся примеры механических систем, описывающихся динамическими системами данного класса.

В §2 даны принятые в качественной теории дифференциальных уравнений определения: локальных особенностей динамических систем и топологической эквивалентности1 окрестностей таких особенностей. Делаются два предположения о точке М* фазового пространства системы

(1.1.1) - (1.1.2), малая окрестность которой изучается: точка М* принадлежит гиперповерхности хп - 0; все положения равновесия системы

(1.1.2) лежат вне многообразия хЛ = 0.

1 Принимается, что гомеоморфизм, осуществляющий перевод траекторий одной динамической системы в траектории другой динамической системы, сохраняет направление движения по ним.

Вводятся в рассмотрение следующие типы локальных особенностей М* динамических систем вида (1.1.1) - (1.1.2).

Первый тип .В точке М* имеет место хп = 0, ¿„ < 0 (здесь хп — = Фп{хи...,хп)).

Второй тип. В точке М* имеет место х„ = 0, хп > 0.

Третий тип. В точке М' справедливо хп = 0, хп = 0, хп > 0

" дФп (здесь хп = £ -^Фь).

ь.1 дхк

Четвертый тип. В точке М* справедливо хп = 0,хЛ = 0,хЛ < 0.

Пятый тип. В точке М* имеет место хп = 0, х„ = 0, хп — 0,

л Я я Й1б

«Г > 0 (здесь »Г = £ ¿-(Е

Шестой тип. В точке М* имеет место хп = 0,я„ = 0,хп — = 0, х'"п < 0.

Более вырожденные случаи (когда в точке Л/* первой отличной от нуля производной функции ®п, описывающей многообразие удара, является четвертая или еще более высокая) в диссертации не рассматриваются.

В §3 доказаны следующие утверждения о трех первых типах локальных особенностей.

Утверждение 1. Пусть в точке М* выполняются условия

х» = 0,¿»= Фп(хь•••,«») <0. (1.3.1)

Тогда существует такая достаточно малая окрестность О, этой точки в фазовом пространстве системы (1.1.1) - (1.1.2), через любую точку которой при хп > 0 проходит фазовая траектория, приводящая за достаточно малый промежуток времени фазовую точку на многообразие удара хп — 0. В силу действующих затем ударных взаимодействий фазовая точка покидает выбранную малую окрестность П.

Для любых систем вида (1.1.1) - (1.1.2), (но при одном и том же значениип) локальные особенности вида (1.3.1) имеют достаточно малые окрестности в фазовом пространстве соответствующих систем, топологическая структура которых одинакова.

Утверждение 2. Пусть в точке М* выполняются условия

«» = 0, ¿п= Ф„(хи...,х„)> 0. (1.3.2)

Если отображение (1.1.1), переводящее точку (х^ < О,^,..., ®л-1>0) 6 точку (¿1 > 0,£з,... ,гп_1,0), имеет однозначное обратное отображение для любой точки (21 > 0,22, •••»2Л-ь0), то:

1) существует такая достаточно малая окрестность О точки М* в фазовом пространстве системы (1.1.1) - (1.1.2), что в точки множествами = Г2П{(ж1,... ,хп)\хп = 0} фазовые точки, в силу ударных взаимодействий (1.1.1), попадают из точек множества хя < 0, хп = 0, а из точек множества (1о выходят в область Хп > 0 фазовые траектории системы (1.1.2), составляющие все множество О;

2) для любых систем вида (1.1.1)-(1.1.2), (но при одном и том же значении п) локальные особенности вида (1.3.2) имеют достаточно малые окрестности в фазовом пространстве соответствующих систем, топологическая структура которых одинакова.

Утверждение 3. Пусть в точке М* выполняются условия

п дФ„

Ха = 0, *„ = Фп(хи... ,хп) = 0, хп = £ Фк > 0. (1.3.3)

*=1 дхк

Тогда существует такая достаточно малая окрестность П точки М* в фазовом пространстве системы (1Л.1)-(1.1.2), которая множеством траекторий системы (1.1.2), выходящих при увеличении и уменьшении * из точек множества хл — 0, хп = Фа(х 1,..., хп) = 0, разбивается на две части: фазовые траектории из 1-ой части проходят в области П, не пересекая гиперповерхности удара, а фазовые траектории из 2-ой части представляют собой участки фазовых траекторий системы (1.1.2), которые приводят фазовые точки на гиперповерхность удара при х„ < 0, хл = 0, затем в силу ударных взаимодействий (1.1.1) фазовые точки переходят в точки множества хп = 0, хп > О, после чего фазовые точки выходят в область хл > 0 по траекториям системы (1.1.2).

Любые локальные особенности М*(0,х'2>.. • вида (1.3.3) си-

стем вида (1.1.1) - (1.1.2) (но при одном и том же значении п и • • )а;*_1) <0) имеют достаточно малые окрестности в фазовом пространстве соответствующих систем, топологические структуры которых одинаковы.

В §4 начинается изучение локальной особенности 4-ого типа, когда в точке М* выполняются условия

» дф

*. = 0,я, = Фк(х1,...,®»)=М» = Е 1г±Фк<0. (1.4.1)

ахи

В малой окрестности точки М* = (х* = 0,х5,... ,х*п_{,х^ = 0) может быть задано точечное преобразование Т многообразия хя = 0, «1 > 0 в себя. Отображение Т является композицией двух определенных в точках

многообразия хп = 0 преобразований: Т = Т2Т1, где отображение Т1 множества > 0 в множество х\ < 0 осуществляется траекториями системы (1.1.2), а отображение множества хх < 0 в множество > О происходит в силу формул (1.1.1) ударных взаимодействий.

Его вид:

«1 = Кхх + х\ф\{х\,... ~ ди

г,- = XI + ®х(с{ + <р>(хи • ■ •, ®я-1)) = Яху » = 2,п - 1,

(1.4.2)

где Я = -Яц^хз,...,®;.!), с,- = —Ь,- — га.о"1, Ь,- = Нц{0,х*2,... ,х*л_1),

ак = & = 1,п-1, 01 ^ 0; ^до,= о,

; = 1,п - 1, <£,• € С"1-1 (П(М*)), П(М*)- малая окрестность точки М* на многообразии хп = 0,®! > 0.

Пусть Г обозначает многообразие локальных особенностей четвертого типа.

Лемма 1. Для любой точки М* многообразия Г можно указать при Я = — Яц(0,..,г*_1) ф 0 такую малую окрестность на многообразии хп = 0, из каждой точки которой при х\ > 0 выходит фазовая траектория, соответствующая бесконечноударному движению. Это движение оканчивается в некоторой точке многообразия Г.

Замечания. Под бесконечноударным движением* здесь и далее понимается движение с бесконечным числом ударных взаимодействий за конечное время. Под окончанием бесконечноударного движения понимается первое попадание (после бесконечного числа ударов) фазовой траектории такого движения на многообразие хп = О, Х1 = 0.

В процессе доказательства леммы 1 установлено следующее. Для любой точки М* = (0,• • • )жя-1)0) € Г существует такое малое г* > 0, что если при 0 < г < г* точка М{х\ > 0,^2» ...,хя-1) принадлежит множеству Д., заданному неравенствами (при 0 < Я < 1)

в-1

«1 > о, «1 + Е - I < г,

/я-1 " ч (!-4-3)

\1=2 1 -Я-д ) ,„2

то и точка Т(М) = ... ,¿„-1) принадлежит этому множеству. Здесь = |с,-| + д, I = 2,п - 1, Я < Я + 9 < 1 при некотором значении д.

Первыми их исследователями являются М.И.Фейгин и Р.Ф.Нагаев.

В §5 описывается "след" (на многообразии хп = 0) в виде бесконечного числа точек М, = Т;'(М), ] = 1,2,3,,.., который оставляет траектория бесконечноударного движения, выходящая при хп = 0 из точки М{хх > 0,ж2,...

Теорема 1. Пусть множество Б на многообразии хх > 0, хп = 0 обладает следующими свойствами:

1) для любой точки М множества 5 найдется такая точка М*(0,х^) •■•> С Г, что для любого г > 0 существует конечное число р > 0 такое, что точка ТР(М) лежит внутри множества Д. = Д.(М*), определяемого неравенствами (1.4.3), где

о< д = -яи(о,г;, < 1;

2) в любой точке множества О имеет место неравенство

= ^ = ТТ^^Т);

3) Тф) с 5.

Тогда, если М € В, то все точки М) — Т}(М), ] = 1,2,3,..., лежат на проходящей через М интегральной кривой системы дифференциальных уравнений

¿ = ^-1), » = (1.5.1)

где функции /,• определены при х1 > 0, могут обращаться в бесконечность в точках множества Е вне достаточно малой окрестности каждой точки многообразия Г, /,• е Ст~3 (П\и(Е)), и{Е) - любая достаточно малая окрестность множества Е.

Решения системы (1.5.1) дают представление о "следе" бескоиеч-ноударных движений на многообразии хп = 0 при > 0. Поэтому интегральные кривые системы (1.5.1) в областях определения.указанных движений далее называются вспомогательными скользящими движениями.

Следует отметить, что такие кривые, фактически, использовались ранее3 для нахождения предельных значений бесконечноударных движений.

Доказательство теоремы состоит из двух этапов. На первом этапе доказана справедливость теоремы для точек множества £>г, задаваемого

5 Кремер Е.Б., Нагаев Р.Ф. Околопограничные бесконечноударные процессы// Динамика систем: Межвуэ. сб., ГГУ. - Горький, 1978. - Вып. 13. - С. 113 -123.

неравенствами (1.4.3) при достаточно малом г для любой точки М* € Г. На втором этапе вводится в такой области Dr независимая переменная т соотношением

dr ~ L*

и доказывается, что система dx'

= » = l,n-l, (1.5.2)

где hi G Cn~1(D)) описывает бесконечноударные движения (в указанном в теореме смысле) во всем множестве D.

Следствие 1. Множество D, описанное в теореме 1, включает в

себя:

1) любую точку М* = ((Г,ajj,..., ж*_130) на многообразии хп — 0, в которой выполняются условия (1-4-1), и при достаточно малом г > О точки соответствующего множества Dr = Dr(M*), определяемого неравенствами (1.^.3);

2) все точки множеств T~k(Dr(M*))) к = 1,2,3,..для которых

выполняется неравенство det

Следствие 2.Пусть уравнения движения системы (1-1.1) - (1.1.2) зависят от параметра ц и все функции Ни = Hu{xi,...,xn-i>ii), * = = 1,71- 1, Фщ = Фп1(хи...,хп-иц), Фкп = Фм{х1,...,Хп-иц), Фу = = ФДх1,...,2„_1,/х), j = 1,тг — 1, являются гладкими класса Ст повеем своим аргументам, ц € [р^,/ij]- Тогда при выполнении условий теоремы 1 правые части дифференциальных уравнений (1.5.1)

fi = /К* 1, • • •, *»-ь ' = 2, га - 1,

являются гладкими класса Ст~2 при всех ■ • • ,%n-i) £ D\U(E) и

fi € [мь/^г] (символы U,D и Е обозначают те же множества, что и в теореме 1), D — D(ji), Е = Е{р).

Следствие 3.Если выполняются условия теоремы 1, то правые части /¡,» = 2,п — 1, дифференциальных уравнений (1.5.1), о которых идет речь в теореме, являются единственными в классе C°(D\U(E)). Здесь обозначения теоремы 1 сохраняются.

§6 посвящен примерам использования полученного описания бес-конечноударных движений. Находятся предельные значения бесконеч-ноударных движений. Изучение бифуркаций периодических решений,

включающих участок бесконечноударных движений, которые происходят при изменении от нуля коэффициента восстановления при ударе нормальной составляющей скорости, сведено к изучению бифуркаций неподвижной точки гладкого точечного отображения. Для одной частной задачи из теории виброперемещения численно находятся интегральные кривые вспомогательных скользящих движений. Доказано следующее утверждение.

Утверждение 4. Для любых систем вида (1.1.1) - (1.1.8) (но при одном и том же значении п) локальные особенности АР (О,х^,..., х*_и0) четвертого типа, определяемые условиями (1.4-1), имеют достаточно малые окрестности в фазовом пространстве соответствующих систем, топологическая структура которых одинакова, если только в точке М* имеет место соотношение

Замечание 1 к утверждению 4. Поведение фазовых траекторий после окончания бесконечноударнош движения и достижения многообразия Г(хп — О,XI = 0,г„ < 0), когда в механической системе устанавливается длительный контакт между соударяющимися телами, здесь не рассматривается.

В этой главе рассматриваются пятый и шестой типы локальных особенностей, когда в точке М* = • •>£») выполняются условия

В §1 указаны координаты, в которых: точка М* совпадает с началом координат;

уравнения (1.1.2) имеют вид (для новых координат сохраняются

Глава II

Хя = 0, хл = 0, хп = 0, х1 ф 0,

старые обозначения Хк,к = 1,п):

^ = ¿г = Х\Фп{хи... ,хп) + х2Фц(хх,... ,хп)+

-¡гхпфг^х и...,хп) = Фь ¿л . л ' , . „_т - (2.1.1)

_ = ж; = Ф.^а?!,.. ., Жп), I = '2,п- 1,

= ¿„ = Х1Фп1(хи-'-,Хп) + хпФпп{хи...,хп) = Фл,

здесь Фп(0, «2» • • • >®п-ь 0) > 0 при яг Ф 0;

соотношения (1.1.1) сохраняют свой вид;

многообразие локальных особенностей 5-ого и 6-ого типа (многообразие А) принимает вид

®1=0,в1 = 0,вЛ = 0,»"740. (2.1.2)

В дополнение к требованиям §1 главы 1 далее предполагается, что в уравнениях (2.1.1), описывающих движение динамической системы в области хп > 0, и в уравнениях (1.1.1), описывающих ударные взаимодействия при хп = 0: функции Ф,-, ¡ = 2,п- 1, Фи, Ф12, Фщ, Фя1, Фпп и функции Нц, ] = 1,п- 1, определены и являются гладкими класса Сту т > 5, а функции Я,-, з = 1,гг - 1, - класса Ст+1 в малых окрестностях точек (Х1,Х2,..- ,хп^1,хп > 0) и (х^ <0,2^,.. соответственно; 0 < -Яп(0,2^,.. .,г~_!) < 1.

В §2 рассматривается пятый тип локальных особенностей, когда в точке Л/% совпадающей с началом координат после проведенной в §1 замены, выполняются условия

г V

хп = 0, аг„ = 0, хп = 0, хп > 0. (2.2.1)

Показано, что Фз(0,... ,0) > 0.

В малой окрестности точки М* фазовые траектории системы (2.1.1) и ударные взаимодействия (1.1.1) могут определять, как в §4 главы I, точечное отображение Т многообразия хп — 0, XI > 0 в себя. В диссертации находится вид отображения Т.

Пусть множество 71 - пересечение гиперповерхности хп — 0 и фазовых траекторий системы (2.1.1), выходящих при уменьшении времени г из точек многообразия хп = 0, х\ = 0, хг > 0. Точки множества 71

удовлетворяют соотношениям

21=х' +• • •)=• • •' Хя~1}'71 е ст~2'12 -

где а2 = Фг(0,...,0) > 0, <ц2 = Ф12(0,...,0) > 0. Многоточие в алгебраических выражениях здесь и далее обозначает члены более высокого порядка малости по а;, , £ = 1,п - 1, относительно рядом стоящих величин.

Пусть множество Ф - часть гиперплоскости хп = 0, заключенная между многообразием XI = 0,х2 < 0 и множеством 71. Множество Ф и есть область определения отображения Т.

Доказана (с помощью вспомогательных лемм 2-8) теорема 2, из которой вытекает следующее. На многообразии хп — 0, »1 > 0 существует множество 7*, инвариантное множество отображения Т. Множество 7» задается соотношениями

XI = хЦа* + ...) = х1%(х3,..., г„_1) = 7*(х2, ..., ¡вЛ_1),

*2 < 0,7* е Ст-3(£>г),

где множество Бт при определенных > 0,;' = 2,п - 1,й2 < 1 и достаточно малом г > 0 задается неравенствами

*2<0, "¿|1,|<Г, Е^-^Н + ЕИО. (2.2.2)

¡=2 ¡=2 1=3

Величина а* = 3((г*)2 - 1)а12Я(8а2)-1 > 0, 0 < Я = -Яп(0,...,0) < 1, г*— единственный корень г* > 1 уравнения

82 = Д(2+1)(Зг-1)2.

Из точек многообразия хл = 0, ®1 > 0, заключенных при х2 < 0 между множеством 7, и многообразием 21 = 0, выходят фазовые траектории, являющиеся бесконечноударными движениями, которые оканчиваются в точках многообразия XI = 0 (¿я = 0), хп = 0, х2 < 0 (хп < 0). Фазовые траектории, выходящие в область хп > 0 из точек множества 7«, - беско-нечноударные движения, оканчивающиеся при «1=0 (хп = 0), х2 = 0 (х„ = 0), ха = 0, х'1> 0. Остальная часть многообразия хп = 0, х\ > 0 разбита4 множествами 74+1 = Т~к{ъ), к = 1,2,3,... (т.е. последовательными образами множества 71 при действии отображения Т~1). Фазовые траектории, выходящие из точек, лежащих между множествами 74+1 и

* Наличие такого разбиения и множества 7, установлено: для одной частной задачи - Г.Г.Денисовым, Ю.И.Неймарком, В.М.Сандаловым, Ю.В.Цветковым, а для неавтономной динамической системы общего вида с прямым ударом, описываемым гипотезой Ньютона, - Ю.С.Федосенко.

7к, после к-то удара попадают в точки, заключенные при х\ > 0 между множеством 71 и многообразием ®i = 0, zj > 0. Из этих точек выходят фазовые траектории, уходящие в область хп > 0.

Кроме того, бесконечноударные движения, о которых идет речь в теореме 2, описываются следующими дифференциальными уравнениями.

Пусть Ет обозначает множество точек множества 7, х\ = у*(хз,..., x„_i), когда точки ... ,xn_i) принадлежат множеству Dr, определяемому неравенствами (2.2.2).

Следствие 4. Для изучаемой точки М* многообразия А, в которой выполняются условия (2.2.1), существует такое г > 0, что :

если точка М принадлежит множеству Ег, то все точки Ni,N2, N3,... лежат на проходящей через N интегральной кривой системы дифференциальных уравнений

-г^ — Л'(Ж2> «3, • • • , «я-l), i = 3,п - 1, аХ2

где М = (af,®* ....а^), N = (х?,...^), М,- = Т'(М) = (x{,xj, ...,xl_1),Nj=(4,...,xi.,), j = 1,2,3,...; fi€ C»-*(Dr), i = S^T.

Замечание. В силу теоремы 2 множество xi = у.(х2,...,xa_i) является инвариантным при действии отображения Т. Поэтому положение точек М, Mi = Г(М), М2 = Т2(М),..., на этом множестве можно характеризовать точками N, ..определенными при формулировке следствия.

Лемма 9. Существует такое г > 0, что в любом замкнутом подмножестве D множества, задаваемого неравенствами 0 < хх < < ъ{х2, • • • >£n-i)> когда точки (х^,... ,zn_i) принадлежат множеству DT, описываемому неравенствами (2.2.2), определена система гладких дифференциальных уравнений (1.5.2), где fi € Cm~i(D), которая описывает в соответствии с теоремой 1 бесконечноударные движения.

В §3 рассматривается шестой тип локальных особенностей, когда в точке М*, совпадающей с началом координат после проведенной в §1 главы II замены, выполняются условия

г» = 0, х„ = 0, хп=0, *"<0. С2-3-1)

Показано, что а2 = Фг(0,...,0) < 0,ai2 = £12(0,... ,0) > 0.

В малой окрестности точки М* фазовые кривые системы (2.1.1) и ударные взаимодействия (1.1.1) определяют, как в §4 главы I, точечное отображение Т многообразия хп = 0, х\ > 0 в себя, вид которого указывается в диссертации.

Область определения Ф отображения Т есть все многообразие хл — = О, XI > 0, лежащее в малой окрестности точки М*. При отображении Г множество Ф преобразуется во множество Г(Ф), заключенное между многообразием хп = 0, а*1 = 0, х^ < 0 и множеством

Здесь множество и\ - образ многообразия х% = 0, хл = 0, х^ > 0 при действии отображения Т. Точки множества и\ удовлетворяют соотношениям

= + • *') = ^^ • • • ,Хя-1) = 1/1' (2.3.2)

»2 < 0,^1 6 Ст~2, О < Я = —Яц(0,...,0) < 1.

С помощью вспомогательных лемм 10-11 доказала следующая теорема.

Теорема 3. Существуют такие достаточно малые числа г и г° (г, г° >0), что из каждой точки множества бг

п-1

£ Ы < г; = 0; ®1 > 0 или ц = 0, х3> 0; (2.3.3)

¿=1

выходит фазовая траектория системы (2.1.1) - (1.1.1), представляющая собой бесконечноударное движение, которое оканчивается в точках многообразия

п-1 п.

Хп = 0, XI = 0, Х2 < 0, £ < г°.

1=2

Бесконечноударные движения, о которых говорится в теореме 3, допускают описание с помощью гладких дифференциальных уравнений. Для этого во множестве <2>, определяемом условиями (2.3.3), можно произвести замену координат

*1 = У1Уг>х1 = У»-» * = 2,п — 1.

Лемма 12. Существует такая величина > 0, что для всех г < г* для любой точки М множества ВТ, задаваемого условиями

0<«ь £1=02:2, Хг < 0,

а—1

£ |«(| < т - а, 0 < а < г, х„ = 0, справедливо следующее:

все точки М) = Т'(М), з = 1,2,3,..., лежат на проходящей через М интегральной кривой системы дифференциальных уравнений

^ = .....2М-0, i = (2.3.4)

где ¡1 = у2/{ £ С,Т1-4(01), В\ - множество, задаваемое неравенствами

Е|у;| <г, У1 >0, у2<0.

¿=1

Пусть Ег обозначает множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям

п-1

Е N < г, «» = 0, 0 < < (ва,..., а, < 0, (2.3.5)

¡=2

где функция х/1 определяется в (2.3.2).

Лемма 13. Существует такая величина > 0, что для любой точки М множества ЕТ= , задаваемого условиями (2.3.5) при г = г\, справедливо следующее:

все точки М) = ] = 1,2,3,..., лежат на проходящей через

М интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (2.3.4), где и £ Ст~4, = у2/{, 1 €

С помощью данных лемм 12, 13 далее доказывается следующее утверждение.

Утверждение 5. Для любых двух систем вида (2.1.1) - (1.1.1) (при одном и том же значении "пп) локальные особенности М* — = (0,ж^,.0) шестого типа, определяемые условиями (2.3.1) и условием

имеют такие достаточно малые окрестности в фазовом пространстве соответствующих систем, которые обладают одинаковой топологической структурой.

В §4 вводится следующее понятие, используемое затем при изучении конкретных виброударных систем.

Определение. Подобластью .О; области бесконечноударных движений называется связное множество на многообразии хп = 0, х^ > > 0(ж

п > 0), для любой точки М которого верно: 1) вся последовательность точек М, Т(М), Т2(М)>... соответствует бесконечноударному движению (отображение Г определено в §4 главы I); 2) Т(М) е Д-.

Областью О бесконечноударных движений называется объединение всех таких подобластей Д, имеющих попарно (каждая из подобластей, входящая в объединение, с каждой из них) непустые пересечения.

Если у изучаемой системы существуют область О бесконечноудар-ных движений и локальные особенности М* 5-ого типа, то последние приобретают замечательные свойства.

1). В силу леммы 1 и теорем 2 и 3, бесконечноударные движения, начинающиеся в точках области О, оканчиваются в точках многообразия хп = 0,^1 = 0(®а = 0), хп < 0. Покинуть последнее фазовые точки могут, только (в силу леммы 1 и теоремы 3) попав в локальные особенности 5-ого типа и двигаясь затем по траекториям уравнений (2.1.1).

2). Локальные особенности 5-ого типа образуют, в силу (2.1.2), многообразие размерности п - 3.

Поэтому, изучая в такой динамической системе поведение фазовых траекторий, начинающихся в точках последнего многообразия (столь малой размерности), можно:

а) исследовать всевозможные установившиеся движения с участками бесконечноударных движений;

б) исследовать предельное поведение фазовых траекторий системы, попадающих рано или поздно в область бесконечноударных движений.

Именно таким способом была получена значительная часть численных результатов последующих глав работы, когда было организовано изучение лишь одной фазовой траектории изучаемых систем, начинающейся в соответствующей локальной особенности 5-ого типа.

Замечание к главам I, II. Локальные особенности различных выделенных выше типов, удовлетворяющие условиям соответствующих утверждений 1-5, принадлежат различным топологическим классам.

ГЛАВА III

Здесь и в последующих главах работы при изучении ограниченного подмножества й фазового пространства системы под основными установившимися движениями динамической системы понимаются такие, области притяжения которых занимают наиболее значительную (по мере) часть множества б по сравнению с существующими при данных значениях параметров в выбранном множестве С? областями притяжения остальных установившихся движений.

Кроме того, при описанных далее в работе (гл. III - V) численных исследованиях использовался программный комплекс [13], созданный ав-

тором с использованием результатов глав I и II и позволяющий значительно сократить при численных экспериментах время счета на ЭВМ.

В §1 приведены уравнения, которым подчиняется изучаемое в этой главе движение с подбрасыванием сосредоточенной массы в пространстве над наклонной плоскостью, совершающей прямолинейные гармонические колебания. Так, в соответствии с одной из широко известных5 моделей движение такой массы в пятимерном фазовом пространстве переменных ¿4 . ¿р

<7,<7 = —= —,< можно при соответствующих предположениях, если

т аА

только д > 0, записать в виде

Здесь и в дальнейшем (гл. Ill - IV): q = Wy(Acos/?)-1; р = Wx{Asmj3)~x\ х, у - координаты частицы в прямоугольной координатной системе, жестко связанной с колеблющейся плоскостью, ось х направлена вдоль плоскости; г = f{tg¡S)~l\ а — (igra)/-1; W — Аи2 cos р(дcos a)-1; / - коэффициент трения скольжения; t — изт - безразмерное время; г - реальное время; Л, о? - амплитуда и круговая частота вибраций; ¡3 - угол вибраций,

7Г

отсчитываемый от нормали к колеблющейся плоскости (0 < /3 < —);

. 7Г 7Г,

а - угол наклона плоскости (- — < а <—); д - ускорение силы тяжести; R - коэффициент восстановления нормальной составляющей скорости (0 < R < 1,0 < W,r <+оо,-оо <<т < +оо).

При достижении частицей многообразия q = 0 (плоскости вибротранспортирования) в системе происходят мгновенные ударные взаимодействия по формулам

где д~,р~ и д+,р+ - соответственно доударные и послеударные значения скоростей. Значения остальных фазовых переменных не претерпевают изменений.

5 Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. -М.: Наука, 1978. - 160 с.

(3.1.2)

(3.1.1)

(3.1.3)

(3.1.4)

Как известно, принятые уравнения движения позволяют проводить независимое изучение системы, описывающей движение частицы по нормали к плоскости вибраций (см. уравнения (3.1.1) и (3.1.3) ). Такому изучению посвящены §2 - §6.

В §2 описаны особенности структуры фазового пространства рассматриваемой системы, которое составляют точки (q,q,t), чьи координаты удовлетворяют неравенствам

q > 0, -оо < q < +оо, 0 < t < 2тг,

причем точки (<7,<j,0) и (q,q,2t) предполагаются отождествленными. Отмечается: поведение траекторий вблизи и на поверхности q = 0; качественное поведение траекторий, участвующих в бесконечноударных движениях; кривая 7i на поверхности q = 0,g > 0, из точек которой выходят фазовые траектории системы (3.1.1), касающиеся поверхности q = 0 в точках (0,0,i).

В §3 вводится точечное отображение Т множества Ф = j(go,9o,

*o)|<Zo = 0,9о ^ 0)0 < 'о < 2тг| в себя, изучение которого эквивалентно изучению рассматриваемой системы.

В §4 указаны области, где отображение Т является взаимно однозначным или гладким. В частности, при W > 1 отображение Т взаимно однозначно во всей Ф, за исключением некоторых точек оси t, и является гладким всюду в Ф, за исключением точек кривой 71 и некоторых точек оси t. Доказана следующая лемма.

Лемма 14. Система (Т, Ф) при R < 1 является диссипативной, т.е. любая точка области Ф при действии отображения Т попадает и затем не может выйти из множества, заданного неравенством

q^nn'-Wcjosi, (3.4.1)

где гГ = max{NuN2,N3}', Nx = [W{ 1 + Д)(1 - Д)"1*"1 + (1 - Д)"1] + 1; [х]— целая часть величины х; N2 (или N3) - минимальное из тех п, при которых внутри множества q < яп - Wcast расположена кривая 71 (или соответственно образ кривой 71 при отображении Г2).

В силу диссипативности системы (Т, Ф), поведение траекторий отображения Т достаточно изучить в некотором множестве q < q-тлх-

В §5 указывается на недостаточность изучения лишь периодических точек отображения Т и их областей устойчивости. Установлено существование у отображения Т гомоклинических структур, образованных

сепаратрисами седел отображения Т, поведение которых для двух пар значений параметров (Д = 0,5, IV = 3 и Д = 0,8, Ж = 5) изображено на рисунках, приведенных в диссертации. При значениях параметров Д = 0,1и2,7<И^<3,5с помощью численного счета на ЭВМ рассмотрена при изменении У/ серия бифуркаций появления устойчивых периодических точек отображения Т возрастающей кратности, а при дальнейшем увеличении IV- установившихся движений, периодичность которых заметить не удалось.

§6 посвящен описанию численных экспериментов на ЭВМ и выводов о характере установившихся движений рассматриваемой системы. При значениях параметров 0,1 < Д < 0,9 и 1,1 < ТУ < 50 найдены основные установившиеся движения. Значения параметра Д брались с шагом ДД = 0,1. Величины V/ выбирались при 1,1 < У/ < 10,1 с шагом ДXV = 0,2, а при И7" > 10,1 просчитывались два значения V/ = 15 и 50.

Эти установившиеся движения (их диаграмма изображена на рисунке диссертации) представляют собой: периодические движения, соответствующие периодическим точкам отображения Т, либо периодические движения с участками бесконечноударных движений, либо движения, названные хаотическими (при хаотических движениях фазовая точка перемещались беспорядочно внутри ограниченной области в течении 400 итераций отображения Т). Отмечено, что: при возрастании Л увеличивается в среднем число ударов, которые предшествуют в периодическом движении участку из области бесконечноударных движений, если такое движение в системе (Т, Ф) возникает; при Д > 0,7 в системе реализуются в основном либо хаотические движения, либо периодические с участком бесконечноударных движений и большим числом ударов, предшествующих такому участку. Указываются иные закономерности изменения основных установившихся движений при вариации параметров системы.

В §7 приводятся результаты численного подсчета безразмерной средней скорости вибротранспортирования вдоль вибрирующей наклонной плоскости. Описаны закономерности изменения средней скорости вибротранспортирования в зависимости от изменения параметров системы. Установлена эффективность для процессов вибротранспортирования хаотических режимов движения или периодических режимов с участками бесконечноударных движений и большим числом ударов, предшествующих приходу фазовой точки в область бесконечноударных движений.

Глава IV

В §1 описываются уравнения движения рассматриваемой в главе задачи о виброперемещении с подбрасыванием сосредоточенной массы в пространстве над наклонной плоскостью, совершающей прямолинейные гармонические колебания. В отличие от главы III, в математическую модель задачи внесено следующее изменение: мгновенные ударные взаимодействия, описываемые ранее формулами (3.1.3) - (3.1.4), здесь прея-полагаются происходящими6 по формулам (3.1.3) и

f (1 - A)i~, если |х~| < |/A~4y+ - y~)\t

¿+ = (4.1.1)

[ (¿7) " ?(У+ ~ Г)signесли |х~| > |/А-1(у+ - у")|,

где х~,у~ и х+,у+ - соответственно доударные и послеударные значения dx dy

скоростей х = -г-, у = —; А - коэффициент мгновенного трения (0 < А < ат ат

< 1). Значения переменных qtp,t не претерпевают изменений (формула (3.1.3) эквивалентна соотношению у+ = -Ry~).

Предполагается, что отсутствует сила вязкого сопротивления движению частицы, коэффициент ударного трения /' = / и коэффициент трения покоя также равен /.

В §2 к средней скорости V вибротранспортирования вдоль плоскости

V = ф = £ t^WY1, а, /?, Я, /, А) ат а> г

предъявляется следующее требование, идущее от работы7 Э.Э.Лавенде-ла: угол вибраций должен быть таким (3 = /?о, при котором достигает максимального значения. Поэтому здесь находятся величины

= У^о = max ^ , (4.2.1)

которые при фиксированных Я, А и / зависят от двух параметров а и Величины V^, подсчитывались на основании методов и результатов предыдущих глав.

' Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. - М.: Машиностроение, 1981. - Т. 4. Вибрационные машины и процессы. - С. 15.

7 Лавендел Э.Э. Синтез оптимальных вибромайшн. - Рига: Зинатне, 1970. - 252 с.

Чтобы определить установившийся режим, на котором достигается максимум у'¿у, достаточно знать (гл. III, §б) лишь два параметра: Я и W = Аш2д~х cos /3(cos а)-1. Поэтому далее при исследовании изучались для конкретных значений Л, Я, / и различных а зависимости от одного параметра Аш^д'1 как величин 0а, так и величин W0 = W\ß„ß0.

В .§3 описываются результаты расчетов, которые проводились при разнообразных значениях 0 < Я < 1, 0 < А < 1, 0 < / < 1 и 1 < Аш2д~1 < 15. Предполагалось, что |а| < arctg / (так как для значений а вне этого интервала возникают8 не рассматриваемые здесь ускоренные режимы виброперемещения). На основании полученных результатов сделаны следующие выводы.

а). Сравнительный анализ V^ для разных Я. При а > 0 и фиксированных параметрах АиРд'1,/, А величина V^ при увеличении Я уменьшается. Но существует такая отрицательная величина Ai(f, А) > > - arctg /, что при а < A\(f, А) величина Vq, при увеличении Я увеличивается. Величина Ai(ft Л) уменьшается при увеличении А.

Поэтому при вибротранспортировании по горизонтальной плоскости и вверх по наклонной плоскости выгоднее конструктивно добиваться уменьшения коэффициента Я, а при вибротранспортировании вниз по наклонной плоскости с достаточно большим по абсолютной величине углом наклона - увеличения коэффициента Я.

В силу изложенного, далее рассматриваются только большие либо малые значения Я.

б). Малые значения Я (Я < 0,25). Пусть а > 0. В этом случае величина V/f достигает максимальных значений при увеличении АиРд'1 от 1: сначала на режимах без подбрасывания, затем (при дальнейшем увеличении Аи?д~г) на бесконечноударном периодическом режиме движения типа (1, со, 1) (т.е. периодическом движении периода 2л-/ш с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечно-ударных движений). Однако всегда существует величина A2(X,f, R), не зависящая от а > 0, такая, что при изменении /?, фиксированных остальных параметрах и Аиз2д~1 > Л2 величина V^ становится максимальной тогда, когда частица движется периодически с периодом 2п/и> с непрерывным подбрасыванием и одним ударом за период (режим (1,1)).

В последнем случае приведены: формула для приближенного подсчета значений оптимального коэффициента перегрузки Wo) формулы

9 Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. -М.: Наука, 1978. - 160 с.

для нахождения величин ßo и Vc?.

Пусть теперь а < 0. В этом случае для малых /, близких к 1 значений Л при уменьшении а от нуля до величин, близких к " - arctg /", средняя скорость V'cp принимает максимальное значение тогда, когда частица участвует в движениях без подбрасывания.

Для остальных значений / и Л при уменьшении а от нуля возникает следующая скачкообразная зависимость. При увеличении параметра Аш2д~1 абсолютный максимум величины V'tf достигается сначала на движениях без подбрасывания, затем на бесконечноударном периодическом режиме движения типа (1,оо, 1), после этого на режиме (1,1), затем наступает очередь бесконечноударных периодических режимов, которым соответствует набор возрастающих с увеличением A(jßg~l значений W.

Такая скачкообразная зависимость, возникает при тем меньших значениях о, чем больше А.

Для малых значений R (R< 0,25) при небольших изменениях угла ß вблизи оптимальных величин ßo и фиксированных остальных параметрах средняя скорость V'ef может значительно измениться. Это объясняется тем, что в пространстве параметров малы области существования установившихся режимов, на которых при изменении ß достигается максимум средней скорости.

в). Большие значения R (R > 0,7). В этом случае V'tp достигает максимума в зависимости от Аи*д~х при разнообразных значениях W, и следует, изучать при больших R установившиеся движения частицы при всевозможных значениях W (такие движения в основном являются хаотическими).

При достоянных а < 0,Д,/,А зависимость Vtf от Аи^д'1 можно приближенно представлять как линейную.

Для больших значений й (R > 0,7) при небольших изменениях угла ß вблизи оптимальных значений ßo и фиксированных остальных параметрах средняя скорость V'i? изменяется незначительно, что определяется свойствами хаотических режимов (гл. III), на которых при изменении ß достигается максимум средней скорости. ,

Характерные графики зависимости оптимального угла вибраций ßa и оптимального коэффициента перегрузки Wo от параметра Аи>2д~1 для рассмотренных выше случаев б) и в) показаны на рисунках диссертации.

Глава V

Здесь существенно новым по сравнению с работами других авторов по исследованию осциллятора без вязкого трения с неподвижным ограни-

чителем является концентрация внимания именно на изучении основных установившихся движений. Такой подход позволил методически изучить (в целом) практически все трехмерное пространство параметров указанной системы.

В §1 приведены уравнения, которые описывают движения изучаемой в данной главе системы. Примером ее служит виброударный механизм, когда уравнение движения (под действием синусоидальной и постоянной сил) ударной массы М, подвешенной на пружине, в промежутках между ударами (при х < хо) имеет вид9

М<Рх/с1т2 + кх = Р + р'вшап. (5.1.1)

При х = хо происходит мгновенный удар массы М о неподвижный ограничитель, в результате чего меняется только скорость движения массы

¿х}с1т+ = —Шх(йт-, (5.1.2)

где (¿х/<1т- и йх/йт^ - соответственно доударные и послеударные значения скорости. Ниже предполагается, что 0 < Я < 1.

С помощью соответствующей замены координат уравнения движения записываются в более удобном для дальнейших рассмотрений виде.

Так, для кхо - Р < 0 (осциллятор с предварительным натягом) после замены * = ит - я, А2 = к/(Мш2), № = ^/(Р - кх0), д = [Ми2{х-—хо)]/(кх0 — Р) в трехмерном фазовом пространстве переменных q) ? = = <^¡(И, при д > О (или при ц > 0, 5=0) уравнение (5.1.1) принимает вид

д + А2д = $ = 0 < И^А < +оо. (5.1.3)

Тогда если при достижении поверхности q = 0 значение ¿1 — д = — д. < 0, то в системе происходит мгновенное ударное взаимодействие по формуле

<7+ = -Д<г_, (5.1.4)

где и (¡+ - соответственно доударные и послеударные значения скорости.

Для кх0 — Р > 0 (осциллятор с зазором) после замены I = иг— -тг, А2 = кЦМы2), V = ¥!{кх0 - Р), д = [Ми\х0 - х))/(кх0 - Р) уравнение (5.1.1) можно привести к виду

<? + А2?= + д = 0 < V,А < +оо, (5.1.5)

4 Беспалова Л.В. К теории виброударного механизма//Изв. АН СССР, ОТН. - 1957. - N 5. - С. 3 - 14.

который справедлив в трехмерном фазовом пространстве переменных q, q, t при q > 0 или при q = 0, q > 0.

Условия, при которых действуют в этом случае соотношения (5.1.4), остаются прежними.

В §2 (соответственно в §6) для осциллятора с предварительным натягам (соответственно для осциллятора с зазором) описаны особенности структуры фазового пространства, составленного из точек коор-

динаты которых удовлетворяют неравенствам q > 0, -оо < q < +оо, 0 < Í < 2тг, а точки (q,q,t = 0) и (q,q,t = 2тг) предполагаются отождествленными. Такие особенности связаны с наличием изученных выше (гл. 1 и II) локальных особенностей того или иного типа.

В §3 (соответственно в §7) вводится точечное отображение Т множества Ф = j(go,go,<o)| Яо — 0» ?о > 0,0 < íq < 27г| в себя, изучение которого эквивалентно изучению осциллятора с предварительным натягом (соответственно изучению тех фазовых траекторий осциллятора с зазором, которые содержат хотя бы одно ударное взаимодействие).

В §4 (соответственно в §8) для осциллятора с предварительным натягом (сйответственно с зазором) доказана лемма 15 (соответственно лемма 19) о существовании при W > 1 (соответственно при V > 1) и достаточно больших значениях А > Am — Am(Wi R) (соответственно X > Ат = Am(V,.R) ) периодического движения периода 2тг с одним ударом, после которого фазовая траектория попадает в область бесконечноударных движений (далее такое периодическое движение обозначается как (1,оо,1)). Доказательство основано на вспомогательных леммах 16, 17 (соответственно леммах 20 и 21) и результатах глав I, II.

Далее доказывается следующая лемма, справедливая как для осциллятора с предварительным натягом, так и для осциллятора с зазором.

Лемма 18. Система (Г, Ф) является диссипативной при 0 < R < < 1, т.е. любая точка из области определения Ф отображения Т при действии отображения Т попадает в область q < qm и не может из нее выйти (0 < qm - величина, зависящая от параметров системы).

В §5 (соответственно в §9) описаны результаты численных экспериментов, которые проводились для выяснения структуры пространства параметров и видов основных установившихся движений осциллятора с предварительным натягом (соответственно осциллятора с зазором).

В согласии с леммой 18 в системе (Т, Ф) далее изучается поведение итераций точек из некоторой ограниченной области множества Ф. В силу лемм 15 и 19, структуру пространства параметров можно описать,

рассматривая изменения основных установившихся движений системы при уменьшении Л от значений А = Ат до нуля при постоянных W (или V) и R (при А = О основные установившиеся движения осциллятора с предварительным натягом изучены в главе III).

Для осциллятора с предварительным натягом и с зазором при Л > > Лт установившееся движение (1,оо, 1) является основным.

При уменьшении А от значений Ат эволюция основных установившихся движений осциллятора с предварительным натягом выглядит следующим образом. При 0 < R < 0,6 движение (1, оо, 1) переходит в периодическое движение с» ударами на периоде, равном 2т, где i уменьшается до 1 при уменьшении А. Такие движения с i ударами на периоде далее обозначаются как (¿,1). Движение (1,1) исчезает при уменьшении А через каскад бифуркаций удвоения периода, в результате чего в окрестности исчезнувших кратных точек возникают хаотические движения (под хаотическим движением здесь понимается движение без видимой регулярности в течение 400 итераций отображения Г). Однако область существования их в пространстве параметров невелика. При дальнейшем уменьшении А до 0 реализуются чаще всего установившиеся движения с i ударами (где i - мало), после которых фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений.

При R > 0,6 при уменьшении А от значений А = Хт реализуются в основном или установившиеся движения (i,l), а затем хаотические, или сразу хаотические движения. В фазовом пространстве системы описанные движения происходят в окрестности границы области существования бесконечноударных движений.

При дальнейшем уменьшении А до 0 область, которую занимают в фазовом пространстве хаотические движения, увеличивается. В этой области в фазовом пространстве могут возникать при некоторых значениях А устойчивые движения с i ударами на периоде, равном 2тгп (они обозначаются далее как (», п)), при определенных t и п, и тогда области притяжения установившихся движений (i, п) составляют почти все фазовое пространство системы (переходный процесс, который предшествует установившемуся движению (t, п) в этом случае, сохраняет хаотический характер).

Из регулярных основных установившихся движений наиболее значительные области существования в пространстве параметров при А < < Xm(W, R) имеют движения (1,1) и (2,1).

Для осциллятора с зазором эволюция основных установившихся движений при уменьшении А от значений А = Ат выглядит так же, как

и для осциллятора с предварительным натягом, только:

1) для Я < 0,7 при уменьшении Л и выходе из области существования движения (1,1) в качестве основных установившихся движений могут выступать движения с большим временем между ударами (движения с большим временем между ударными взаимодействиями реализуются при малых начальных значениях переменной д)]

2) для Я > 0,7 при уменьшении А от значений А = Ат опять может возникать движение (1,оо, 1), которое исчезает при уменьшении А описанными выше способами. При дальнейшем уменьшении А опять может возникнуть движение (1, оо, 1) и т.д. Кроме того, из регулярных основных установившихся движений наиболее значительные области существования в пространстве параметров при А < Ат(У,Я) имеют движения (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) и (5,1).

Для всех , рассмотренных выше случаев в диссертации приведены рисунки, отражающие характерное разбиение (областями существования соответствующих основных установившихся движений) пространства параметров № (или соответственно V), А при данном фиксированном Я.

В заключении диссертации делается вывод о том, что в работе сформулирован и обоснован ряд утверждений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного научного направления механики систем: качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями.

Это развитие заключено в следующих выносящихся на защиту основных результатах диссертации (в скобках указаны соответствующие разделы работы).

1. Выделены шесть типов локальных особенностей, наиболее часто возникающих в динамических системах с ударными взаимодействиями (§2, гл. I). Осуществлено изучение таких свойств локальных особенностей первых четырех и шестого выделенных типов, с помощью которых затем установлена (при определенных условиях) топологическая эквивалентность локальных особенностей одного и того же типа (гл. I, II). Доказана теорема о структуре фазового пространства в окрестности локальной особенности пятого выделенного типа (§2, гл. II).

2. Дано описание бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями с помощью гладких дифференциальных уравнений:

на границе и внутри области существования бесконечноударных движений, включая малые окрестности пятого и шестого выделенных типов локальных особенностей (гл. I, II).

3. Дано определение области бесконечноударных движений ^§4, гл.

II), пригодное для классификаций периодических решений с участками бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями.

4. Сформулирован способ численного изучения конкретных динамических систем с ударными взаимодействиями (§4, гл. II), и реализован подход к подобному изучению, состоящий в выделении основных установившихся движений, указании среди них таких движений, чьи области существования в пространстве параметров являются значительными, и, если возможно, таких, на которых достигаются оптимальные режимы функционирования исходных технических объектов (гл. III- V).

5. В исследуемой задаче из теории виброперемещения для системы, описывающей движение частицы по нормали к плоскости вибраций, изучены основные установившиеся движения частицы и их зависимость от параметров системы. Установлено наличие гомоклинических структур в такой системе. Показана эффективность для процессов вибротранспортирования хаотических движений частицы или периодических движений с участками бесконечноударных движений и большим числом ударов, предшествующих приходу в область бесконечноударных движений (гл.

III).

Указали закономерности поведения (при изменении параметров системы) средней скорости Уер виброперемещения, оптимальной по углу вибраций. Найдены соответствующие оптимальные углы вибраций и установившиеся движения, на которых достигается Уер (гл. IV).

6. Для динамических систем, описывающих движение осциллятора (с предварительным натягом или с зазором) без вязкого трения и с неподвижным ограничителем:

доказаны диссипативность и существование при определенных значениях параметров периодического движения периода, равного периоду вынуждающей силы, с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений (§§4,8, гл. V);

описаны закономерности изменения основных установившихся движений при вариации параметров систем, указаны основные установившиеся движения, имеющие значительные области существования в пространстве параметров систем (§§5,9, гл. V).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Основные режимы движения при вибротранспортировании с подбрасыванием// Изв. АН СССР, МТТ.

- 1981. - N 4. - С. 39 - 50.

2. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Вспомогательные скользящие движения динамических систем с ударными взаимодействиями// Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб., ГГУ. -Горький, 1981. - С. 59 - 64.

3. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Динамика вибротранснортировки с подбрасыванием// II Всесоюэ. съезд по теории машин и механизмов: Тез. докл. (Одесса, 14 - 18 сентября 1982). - Киев, 1982. - С. 114.

4. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Результаты расчета средней скорости вибротранспортирования// Машиноведение, АН СССР. - 1987.

- N 4. - С. 39 - 42.

5. Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями// Изв. АН СССР, МТТ. - 1987. - N 3. - С. 23 - 26.

6. Горбиков С.П. Элементы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. Всесоюз. конф., ч.1. (Горький, сентябрь

1987). - Горький, 1987. - С. 62 - 63.

7. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения (с предварительным натягом), ударяющегося о неподвижный ограничитель/ / Вибрация и вибродиагностика. Проблемы стандартизации: Тез. докл. Всесоюз. конф. (Горький, сентябрь

1988). - Горький, 1988. - С. 98.

8. Горбиков С.П. Особенности интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих системы с ударными взаимодействиями// Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. II Всесоюз. конф.(Дрогобыч, 30 мая - 1 июня 1989). -Москва, 1989. - С. 48.

9. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с предварительным натягом и неподвижным ограничителем// Изв. АН СССР, МТТ. - 1990. - N 2. - С. 44 - 50.

10. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения, ударяющегося о неподвижный ограничитель// Нелинейные

колебания механических систем: Тез. докл. II Всесоюз. конф., ч. I. (Горький, сентябрь 1990). - Горький, 1990. - С. 51 - 52.

11. Горбиков С.П. Качественный анализ колебаний механических систем с ударными взаимодействиями// VII Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докл. (Москва, август 1991). - М., 1991. - С. 110 - 111.

12. Горбиков С.П. Новый механизм возникновения хаотических движений кусочно-гладких дифференциальных уравнений// Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. III Всесоюз. конф. (Дрогобыч, 17 - 21 июня 1991). - Москва, 1991. - С. 35.

13. Горбиков С.П. Программный комплекс расчета динамики систем с ударными взаимодействиями// Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств: Тез. докл. IV научно - технической конф. (Н.Новгород, 29 июня - 1 июля 1992). - Н.Новгород, 1992. - С. 22.

14. Gorbikov S.P. A new mechanism of chaos emerging in dynamic systems with impact interactions// Wave processes in machinery and structures: Abstracts. European mechanics colloquim Euromech 295 (Nizhny Novgorod, 1992). - Nighny Novgorod, 1992. - P. 42 - 43.

15. Горбиков С.П. Топологическая эквивалентность локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. III конф. (Н.Новгород, сентябрь 1993). - Н.Новгород, 1993. - С. 57.

16. Горбиков С.П. Основные установившиеся движения осциллятора с зазором и неподвижным ограничителем// XI симпозиум по динамике виброударных систем: Тез. докл. (Москва - Звенигород, октябрь 1995). - М., 1995. - С. 26 - 27.

17. Горбиков С.П. Гладкие дифференциальные уравнения, описывающие движения динамических систем с ударными взаимодействиями// XI симпозиум по динамике виброударных систем: Тез. докл. (Москва - Звенигород, октябрь 1995). - М., 1995. - С. 27 - 28.

18. Горбиков С.П. Гладкие дифференциальные уравнения, определяемые динамическими системами с ударными взаимодействиями на гиперповерхности удара// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. IV конф. (Н.Новгород, сентябрь 1996). -Н.Новгорсд, 1996. - С. 45 - 46.

19. Горбиков С.П. Дифференциальные уравнения, определяемые динамическими системами с ударными взаимодействиями на границе

области существования бесконечноударных движений// Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, N 1. - С. 18 - 23.

20. Горбиков С.П. Дифференциальные уравнения, определяемые динамическими системами с ударными взаимодействиями на гиперповерхности удара// Вестник Нижегородского государственного университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. - Нижний Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 1998. - Вып. 1(18). - С. 43 - 52.

21. Горбиков С.П. Основные установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с зазором и неподвижным ограничителем // Вестник Нижегородского государственного университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. - Нижний Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 1998. - Вып. 2(19). - С. 63 - 73.

22. Горбиков С.П. Дифференциальные уравнения, определяемые динамическими системами с ударными взаимодействиями на гиперповерхности удара// Международная конф., посвященная девяностолетию со дня рождения Л.С. Понтрягина. Тез. докл. Дифференциальные уравнения (Москва, 31 августа - 6 сентября 1998). - М.: МГУ, 1998. - С. 137 - 138.

23. Горбиков С.П. Локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями// Математические заметки. - 1998. -Т. 64, вып. 4. - С. 531 - 542.

Список основных обозначений

ВВЕДЕНИЕ

§1. Общая характеристика работы

§2. Краткий обзор современного состояния изучаемых в диссертации проблем

§3. Краткое содержание диссертации

Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ОПИСАНИЕ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ

ВНУТРИ ОБЛАСТИ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ

§1. Описание рассматриваемого класса динамических систем с ударными взаимодействиями

§2. Изучаемые типы локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями

§3. Изучение локальных особенностей первых трех типов

§4. Изучение локальной особенности четвертого типа

§5. Дифференциальные уравнения вспомогательных скользящих движений

§6. Некоторые применения полученного описания бесконечноударных движений.

Выводы главы

Глава II. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ. ГРАНИЦА ОБЛАСТИ БЕСКОНЕЧНОУДАРНЫХ

ДВИЖЕНИЙ

§1. Уравнения движения

§2. Изучение локальной особенности пятого типа

§3. Изучение локальной особенности шестою типа.

§4. Область бесконечноударных движений и ее граница. Способ численного изучения динамических систем с ударными взаимодействиями

Выводы главы.

Глава III. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ

ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЯ

§1. Уравнения движения рассматриваемой системы

§2, Описание фазового пространства

§3. Сведение задачи к рассмотрению точечного отображения —

§4. Некоторые особенности точечного отображения

§5. Периодические движения

§6. Структура пространства параметров

§7. Расчет безразмерной средней скорости вибротранспортирования

Выводы главы.

Глава IV. ПОДСЧЕТ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ

ВИБРОТРАНСПОРТИРОВАНИЯ

§1. Уравнения движения

§2. Методика расчета средней скорости вибротранспортирования

§3. Результаты расчетов

Выводы главы.

Глава V. ОСНОВНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА БЕЗ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ

С НЕПОДВИЖНЫМ ОГРАНИЧИТЕЛЕМ

§1. Уравнения движения

§2. Фазовое пространство осциллятора с предварительным натягом

§3. Точечное отображение осциллятора с предварительным натягом

§4. Особенности точечного отображения осциллятора с предварительным натягом

§5. Структура пространства параметров осциллятора с предварительным натягом

§6. Фазовое пространство осциллятора с зазором

§7. Точечное отображение осциллятора с зазором

§8. Особенности точечного отображения осциллятора с зазором

§9. Структура пространства параметров осциллятора с зазором

Выводы главы.

§1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

В различных областях современной техники широко используются устройства с соударяющимися элементами. Они применяются в машиностроении, строительстве, в горной, лесной, пищевой промышленности, в металлургии, при механизации различных работ в сельском хозяйстве и т.д.

Изучение динамических систем, описывающих функционирование таких устройств, проводилось в значительном числе работ, авторы которых - В.И.Бабицкий, Н.Н.Баутин, И.Н.Блехман, В.Ф.Журавлев, A.A. и А.Е.Кобринские, М.З.Коловский, Э.Э.Лавендел, Р.Ф.Нагаев, Ю.И.Неймарк, К.М.Рагульскис, М.И.Фейгин, C.N.Bapat, P.J.Holmes, S.F.Masri, F.Peterka, S.W.Shaw и многие другие.

Однако построение качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями происходило фрагментарно, хотя необходимость такого подхода была осознана после работ А.А.Андронова.

К тому же, изменившиеся представления о возможностях динамики систем (в частности, о наличии у них хаотических движений), бурное развитие вычислительных методов позволяют с иной точки зрения посмотреть на конкретные динамические системы, положенные в основу всей теории виброударных систем. Такой подход в сочетании с исследованиями качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями приводит к новым интересным закономерностям и выводам, имеющим, важное значение для практики.

Цель работы состоит в исследовании локальных качественных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, а также в изучении (с помощью полученных, при этом исследовании результатов) установившихся движений ряда конкретных систем, составляющих основу теории виброударных систем.

Методы исследования.

Исследования проводились методами теоретической механики и качественной теории дифференциальных уравнений на основе применения метода точечных отображений. При доказательстве утверждений о структуре фазового пространства использовался также ряд результатов функционального анализа. При изучении конкретных систем привлекались численные методы исследований на ЭВМ.

Новые научные результаты.

В диссертации впервые:

-выделяются 6 типов локальных особенностей, наиболее часто возникающих в динамических системах с ударными взаимодействиями;

-предлагается описание первых 4-х и 6-ого выделенных типов, достаточное для установления топологической эквивалентности особенностей одного и того же типа, доказывается теорема о структуре фазового пространства в окрестности локальной особенности 5-ого типа;

-дается описание бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями с помощью гладких дифференциальных уравнений;

-изучается в целом пространство параметров ряда конкретных виброударных систем на базе введенного понятия основных установившихся движений;

-указываются закономерности поведения (при изменении параметров системы) средней скорости виброперемещения, оптимальной по углу вибраций.

Достоверность полученных результатов основана на строгом и обоснованом применении математических методов, на сравнении результатов компьютерного моделирования с теоретическими выводами.

Практическое значение работы.

Полученные в работе теоретические результаты могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании конкретных систем с ударными взаимодействиями.

Рассмотренные в работе конкретные виброударные системы представляют собой модели, принятые для описания процессов виброперемещения, вибротранснортирования, вибробункеризации, вибросепарации, пневмовибротранспорта и т.п., и поэтому полученные при изучении упомянутых систем результаты могут быть использованы при выборе рабочих режимов для этих процессов.

Созданный (на основе полученных теоретических результатов) автором диссертации программный комплекс [Г15] позволяет численно изучать динамику конкретных виброударных систем.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались автором на: VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва,

1991), II Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (Одесса, 1982), XXI Всесоюзной летней школе ученых механиков по анализу и синтезу механических колебательных систем (Даугавпилс, 1991), Международном коллоквиуме механиков Euromech 295 "Wave processes in machinery and structures" (Нижний Новгород, 1992), Всесоюзном семинаре "Автостохастические явления и системы" (Горький, 1980), Расширенных семинарах по теории машин и механизмов на тему "Динамика виброударных систем" (Москва, 1981, 1984), II конференции молодых ученых факультета Вычислительной математики и кибернетики и НИИ Прикладной математики и кибернетики Горьковского госуниверситета (Горький, 1979), научной конференции молодых ученых Волго-Вятского региона (Горький, 1985), I, II Всесоюзных и III - V конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987, 1990 и Н.Новгород, 1993,1996,1999), Всесоюзной научно-технической конференции "Вибрация и вибродиагностика. Проблемы стандартизации" (Горький, 1988), II и III Всесоюзных конференциях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 1989, 1991), IV научно-технической конференции "Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств" (Нижний Новгород, 1992), Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1977,1978, 1980, 1985, 1986, 1987, 1989), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета (1982), Всесоюзном семинаре "Динамика распределенных систем" (Горький, 1990), семинарах лаборатории мех.-мат. методов исследований института Механобр (Ленинград, 1982,1990), руководимом В.Ф.Журавлевым и Д.М.Климовым семинаре НПМ АН СССР (Москва, 1991) и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ГЗ

Г25].

Структура и объем работы.

Диссертация занимает 212 страниц. Она состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав, заключения, 31 рисунка, таблицы и списка литературы, включающего 166 наименований.

Примечание к диссертации.

В диссертации используются результаты работ [ГЗ -Г6], проведенных совместно с профессором Ю.И.Неймарком. При выполнении работ [ГЗ, Г5] Ю.И.Неймарком была осуществлена постановка задачи. При проведении работы [Г4] Ю.И.Неймарком были предложены: идея описания бесконечноударных движений дифференциальными уравнениями и итерационный процесс для отыскания правых частей этих уравнений. При выполнении работы [Гб] Ю.И.Неймарком была высказана идея сужения пространства параметров системы выбором таких параметров, которые доставляют максимум средней скорости вибротранспортирования.

Соискателем в этих работах были сформулированы утверждения, проведены доказательства и получены численные результаты.

ВЫВОДЫ ГЛАВЫ

Для динамических систем, описывающих движение осциллятора (с предварительным натягом и с зазором) без вязкого трения и с неподвижным ограничителем: а) доказана диссипативность систем; б) доказано существование (при достаточно больших значениях одного из параметров и при большей 1 величине Ш относительной амплитуды колебаний вынуждающей силы) периодического движения периода, равного периоду вынуждающей силы, с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений; в) с использованием этих результатов для случая > 1 описаны закономерности изменения основных установившихся движений при вариации параметров систем, указаны основные установившиеся движения, имеющие значительные области существования в пространстве параметров систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Здесь приводятся основные результаты диссертации, и формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями, примыкающий к изученным в данном исследовании проблемам.

Полученные выше результаты позволяют сделать вывод о том, что в работе сформулирован и обоснован ряд утверждений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного научного направления механики систем: качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями.

Это развитие заключено в следующих выносящихся на защиту основных результатах диссертации (в скобках указаны соответствующие разделы работы).

1. Выделены шесть типов локальных особенностей, наиболее часто возникающих в динамических системах с ударными взаимодействиями (§2, гл. I). Осуществлено изучение таких свойств локальных особенностей первых четырех и шестого выделенных типов, с помощью которых затем установлена (при определенных условиях) топологическая эквивалентность локальных особенностей одного и того же типа (гл. I, II). Доказана теорема о структуре фазового пространства в окрестности локальной особенности пятого выделенного типа (§2, гл. II).

2. Дано описание бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями с помощью гладких дифференциальных уравнений: на границе и внутри области существования бесконечноударных движений, включая малые окрестности пятого и шестого выделенных типов локальных особенностей (гл. I, II).

3. Дано определение области бесконечноударных движений (§4, гл. II), пригодное для классификации периодических решений с участками бесконечноударных движений динамических систем с ударными взаимодействиями.

4. Сформулирован способ численного изучения конкретных динамических систем с ударными взаимодействиями (§4, гл. II), и реализован подход к подобному изучению, состоящий в выделении основных установившихся движений, указании среди них таких движений, чьи области существования в пространстве параметров являются значительными, и, если возможно, таких, на которых достигаются оптимальные режимы функционирования исходных технических объектов (гл. III- V).

5. В исследуемой задаче из теории виброперемещения для системы, описывающей движение частицы по нормали к плоскости вибраций, изучены основные установившиеся движения частицы и их зависимость от параметров системы. Установлено наличие тмоклинических структур в такой системе. Показана эффективность для процессов вибротранспортирования хаотических движений частицы или периодических движений с участками бесконечноударных движений и большим числом ударов, предшествующих приходу в область бесконечноударных движений (гл. 111).

Указаны закономерности поведения (при изменении параметров системы) средней скорости \-ср виброперемещения, оптимальной по углу вибраций. Найдены соответствующие оптимальные углы вибраций и установившиеся движения, на которых достигается ¥ср (гл. IV).

6, Для динамических систем, описывающих движение осциллятора (с предварительным натягом и с зазором) без вязкого трения и с неподвижным ограничителем: доказаны диссипативность и существование при определенных значениях параметров периодического движения периода, равного периоду вынуждающей силы, с одним ударом, после которого фазовая точка попадает в область бесконечноударных движений $§4,8, гл. V); описаны закономерности изменения основных установившихся движений при вариации параметров систем, указаны основные установившиеся движения, имеющие значительные области существования в пространстве параметров систем $§5,0. гл. V).

Далее формулируется ряд нерешенных задач качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями^ которые непосредственно связаны с решаемыми в диссертации проблемами,

1. Изучение более вырожденных случаев (чем. в §2, гл./) локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями, когда в выделенной точке фазового пространства первой отличной от нуля производной по времени от функции, описывающей многообразие удара, является четвертая или еще более высокая.

2. Классификация и изучение локальных особенностей динамических систем, с ударными взаимодействиями, которые описываются отличными от рассмотренной в диссертации (§1,зл./) математическими моделями.

177

3. Классификация и изучение бифуркаций периодических движений динамических систем с ударными взаимодействиями, в частности, описанной в §§5,9, гл. V" бифуркации, приводящей к появлению хаотических движений.

4. Изучение конкретных, часто встречающихся динамических систем с ударными взаимодействиями, подразумевающее (как это сделано в глЛ1,1\\У): исследование пространства параметров систем в целом с помощью выделения основных установившихся движения, указание тех из них, которые имеют значительные области существования в пространстве параметров, и тех, на которых достигаются оптимальные режимы функционирования исходных технических устройств.

1. А2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Ма,йер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. - 568 с.

2. A3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. -488 с.

3. A4. Андронов A.A., Леонтович E.Â. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра// Уч. зап. Горьк. ун-та. .1939. - вып. 6. - С. 3 - 24.

4. А5. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра, и от негрубого предельного цикла// Математический сб. 1956. - Т. 40, выи. 2. - С. 179 - 224.

5. А6. Андронов A.A., Баутин H.H. Стабилизация курса нейтрального самолета автопилотом с постоянной скоростью сервомотора и зоной нечувствительности// Докл. АН СССР. 1945. - Т. 46, N 4. - С. 158 - 161.

6. А7. Андронов A.A., Майер А.Г. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования, II// Автоматика и телемеханика. 1953. - Т. 14, N 5. - С. 505 - 530.

7. А8. Андронов A.A., Баутин H.H., Горелик Г.А. Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага,// Докл. АН СССР . 1945. - Т. 47, N 4. - С. 265 - 268.

8. А9. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Бронштейн И.У., Гринес В.З. Гладкие динамические системы. II// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 1 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1985. - С. 151 - 242.

9. А10. Анохин A.B., Шиндяпин А,И. О явлении биения для импульсного дифференциального уравнения// Дифференциальные уравнения. -1992. Т. 28, N 7. - С. 1107 - 1112.

10. АН. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса, и версальныс деформации эквивариантных векторных полей// Функц. анализ и приложения. 1977. - Т. 11, N 2. - С. 1 - 10.

11. А12. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

12. А13. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). -М., 1985. С. '7 - 149.

13. А14. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С, ¡Пильняков Л.П. Теория бифуркаций// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1985. - С. 5 - 218.

14. А15. Асташев В .К. К динамике осциллятора, ударяющегося об ограничитель// Машиноведение. 1971. - N 2. - С. 5 - 9.

15. Б1. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем (приближенные методы). М.: Наука, 1978. - 352 с.

16. Б2. Барсук Л.О., Белослудцев Н.М., Неймарк Ю.И., Салгалс-кая Н.М. Устойчивость неподвижной точки преобразования в критическом случае и некоторые особые бифуркации// Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика. 1968. - Т. П., N И. - С. 1632 - 1641.

17. БЗ. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. -496 с.

18. Б4. Беспалова Л.В., Неймарк Ю.И., Фейгин М.И. Динамические системы с ударными взаимодействиями и теория нелинейных колебаний // Инженерный журнал, МТТ. 1966. - N 1. - С. 151 - 159.

19. Б5. Беспалова Л.В. К теории виброударного механизма//Изв. АН СССР, ОТН. 1957. - N 5. - С. 3 - 14.

20. Б6. Беспалова Л.В., Метрикин B.C. Влияние вязкого трения на устойчивость виброударника// Изв. АН СССР, МТТ. 1969. - N 2. -С. 45 - 50.

21. Б7. Блехман Н.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. -М.: Наука, 1964. 410 с.

22. Б8. Борисов В.Ф., Зеликин М.И. Режимы с учащающимися переключениями в задаче управления роботом// ПММ. 1988. - Т. 52, вып. 6. - С. 939 - 946.

23. Б9. Бояринов B.C., Неймарк Ю.И. О вибрациях вала в шарикоподшипнике// Изв. АН СССР, Механика. 1965. - N 3. - С. 49 - 59.

24. BIO. Брусин В.А., Неймарк Ю.И., Фейгин М.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров// Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика. 1963. - Т. 6, N 4. - С. 785 - 800.

25. ВН. Брусин В.А. К теории вибротранспортировки// Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика. 1960. - Т. 3, N 3. - С. 467 - 477.

26. БГ2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 384 с.

27. В1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

28. В2. Вайнкоф Я.Ф., йносов C.B. Непериодическое движение при вибротранспортировании в режимах с подбрасыванием// Машиноведение, АН СССР. 1976. - N 5. - С. 3 - 6.

29. ВЗ. Вайнкоф Я.Ф. О движении тела на вибрирующей платформе// Изв. АН СССР, МТТ. 1974. - N 2. - С. 53 - 57.

30. В4. Виба Я.А. Оптимизация н синтез виброударных машин. Рига: Зинатне, 1988. - 253 с.

31. В5. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. М.: Машиностроение, 1981. - Т. 4. Вибрационные машины и процессы. - 509 с.

32. П. Гаврилов Н.К. О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур// Математические заметки. -1973. Т. 14, вып. 5. - С. 687 - 697.

33. Г2. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976. - 368 с.

34. ГЗ. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Основные режимы движения при вибротранспортировании с подбрасыванием// Изв. АН СССР, МТТ. -1981. N 4. - С. 39 ~ 50.

35. Г4. Горбиков СЛ., Неймарк Ю.И. Вспомогательные скользящие движения динамических систем с ударными взаимодействиями// Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб., ГГУ. Горький, 1981. - С. 59 - 64.

36. Г5. Горбиков С.П., Неймарк Ю.И. Динамика вибротранспортировки с подбрасыванием// II Всесоюз. съезд по теории машин и механизмов: Тез. докл. (Одесса, 14 18 сентября 1982). - Киев, 1.982. - С. 114.

37. Гб. Горбиков СЛ., Неймарк Ю.И. Результаты расчета средней скорости вибротранспортирования// Машиноведение, АН СССР. 1987. -N 4. - С. 39 - 42.

38. Г7. Горбиков С.II. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями// Изв. АН СССР, МТТ. 1987. - N 3. - С. 23 - 26.

39. Г8. Горбиков С.П. Элементы качественной теории динамических систем с ударными взаимодействиями// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. Всесоюз. конф., ч.1. (Горький, сентябрь 1987).- Горький, 1987. С. 62 - 63.

40. Г11. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с предварительным натягом и неподвижным ограничителем// Изв. АН СССР, МТТ. 1990. - N 2. - С. 44 - 50.

41. Г12. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения, ударяющегося о неподвижный ограничитель// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. II Всесоюз. конф., ч. I. (Горький, сентябрь 1990). Горький, 1990. - С. 51 - 52.

42. ИЗ. Горбиков С.П. Качественный анализ колебаний механических систем с ударными взаимодействиями// VII Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докл. (Москва, август 1991). М., 1991. - С. 110 - 111.

43. Г14. Горбиков С.П. Новый механизм возникновения хаотических движений кусочно-гладких дифференциальных уравнений// Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. III Всесоюз. конф. (Дрошбыч, 17 21 июня 1991). - Москва, 1991. - С. 35.

44. Г17, Горбиков С.П. Топологическая эквивалентность локальных особенностей динамических систем с ударными взаимодействиями// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. III конф. (Н.Нов -город, сентябрь 1993). Н.Новгород, 1993. - С. 57.

45. Г18. Горбиков С.П. Основные установившиеся движения осциллятора с зазором и неподвижным ограни чителем// XI симпозиум по динамике виброударных систем: Тез. докл. (Москва Звенигород» октябрь 1995). -М., 1995. - С. 26 - 27.

46. Г19. Горбиков С.П. Гладкие дифференциальные уравнения, описывающие движения динамических систем с ударными взаимодействиями/ / XI симпозиум по динамике виброударных систем.: Тез. докл. (Москва Звенигород, октябрь 1995). - М., 1995. - С. 27 - 28.

47. Г21. Горбиков СЛ. Дифференциальные уравнения, определяемые динамическими системами с ударными взаимодействиями на границе области существования бесконечноударных движений// Дифференциальные уравнения, 1998. - Т. 34, N 1. - С. 18 - 23.

48. Г25. Горбиков СЛ. Локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями// Математические заметки. 1998. - Т. 64, вып. 4. - С. 531 - 542.

49. Г26. Горбиков СЛ., Неймарк Ю.И. Бифуркации периодических движений кусочно-гладких динамических систем// Динамика систем: Меж-вуз. сб., ГГУ. Горький, 1976. - Вып. 9. - С. 73 - 91.

50. Г27. Горбиков СЛ. Бифуркации неподвижной точки кусочно-гладких точечных отображений// Труды 2-ой конф. молодых ученых факуль-тетата ВМК и НИИ ПМК / Горьк. гос. ун т. - Горький, 1980. - С. 52 -64. Деп. в ВИНИТИ СССР 23.10.80, N 4500-80.

51. Г28. Горюнов В.И., Дондошанская A.B., Метрикин B.C., Нагаев Р.Ф. Периодические движения тела над плоскостью, колеблющейся по негармоническому закону// Прикладная механика. 1974. - Т. X, вып. 9. - С. 65 - 71.

52. Д1. Денисов Г.Г., Неймарк Ю.Й., Сандалов В.М., Цветков Ю.В. Об обкате ротора по жесткому подшипнику// Изв. АН СССР, МТТ. 1973.-N 4. - С. 7 - 13.

53. Д2. Долголенко Ю.В. Скользящий режим в релейных системах регулирования// Тр. 2-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М. - Л.: Изд - во АН СССР. - 1955. - С. 421 - 438.

54. Ж1. Железцов H.A. Метод точечных преобразований и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с комбинированным трением// ПММ. 1949. - Т. 13, вып. 1. - С. 3 - 40.

55. Ж2. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 328 с.

56. ЖЗ. Журавлев В.Ф. Механика систем с односторонними связями// Успехи механики. 1989. - Т. 12, вып. 2. - С. 37 - 69.

57. Ж4. Журавлев В.Ф. Исследование некоторых виброударных систем методом негладких преобразований// Изв. АН СССР, МТТ. 1977. -N 6. - С. 24 - 28.

58. Ж5. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудержива-ющими связями// М.: Наука, 1993. 240 с.

59. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории 2-го порядка,// Математические заметки. 1990. -Т. 47, вып. 1. - С. 62 - 73.

60. И1. Иванов А.П. Аналитические методы в теории виброудариых систем// ПММ. 1993. » Т. 57, вып. 2. - С. 5 - 21.

61. И2. Иванов А.П. О динамике систем в окрестности касательного удара// ПММ. 1994. - Т. 58, вып. 3. - С. 63 - 70.

62. К1. Киняпин С.Д. Об одной релейной неустойчивой системе// Автоматика и телемеханика. 1974. - N 12. - С. 81 - 88.

63. К2. Киняпин С.Д. Об одной бифуркации// Докл. АН СССР. 1978. - 'Г. 240. - N 3. - С. 553 - 555.

64. КЗ. Кобринский A.B., Кобринский A.A. Виброударные системы.1. Мл Наука, 1973. 591 с.

65. К4. Кобринский A.A., Кобринский A.B. Двумерные виброударные системы: Динамика и устойчивость. М.: Наука, 1981. - 336 с.

66. К5. Кобринский A.A., Кобринский A.B. К теории виброперемещения// Докл. АН СССР. 1972. - Т. 205. - N 3. - С. 553 - 555.

67. Кб. Кремер Е.Б., Нагаев Р.Ф. Околопограничные бесконечноударные процессы// Динамика систем: Межвуз. сб., ГТУ. Горький, 1978. -Вып. 13. - С. 113 - 123.

68. К7. Ксендзов A.A., Нагаев Р.Ф. Бесконечноударные периодические режимы в задаче о вибротранспортировке с подбрасыванием// Изв. АН СССР, MIT. 1971. - N 5. - С. 29 - 35.

69. JI1. Лавендел Э.Э. Синтез оптимальных вибромашин. Рига: Зи-натие, 1970. - 252 с.

70. Л2. Леонов H.H. К теории разрывного преобразования прямой в прямую/'/ Изв. высш. учебн. за,вед., Радиофизика. 1960. - Т. 3, N 5. - С. 872 - 886.

71. М1. Мак-Миллан В .Д. Динамика твердого тела: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951. - 467 с.

72. М2. Малкин Д.Д. Режимы виброперемещения с подбр асываиием/ / Вестник машиностроения. 1970. - N 7. - С. 13 - 17.

73. МЗ. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 391 с.

74. М4. Мищенко A.C., Фоменко А .Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. - 439 с.

75. М5. Мышкис А .Д., Самойленко А.М. Системы с толчками в заданные моменты времени// Математич. сб. 1967. - Т. 74(116), N 2. - С. 202 - 208.

76. Н1. Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. М.: Наука, 1978. - 160 с.

77. Н2. Нага,ев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями, М.: Наука, 1985. - 200 с.

78. НЗ. Нагаев Р.Ф., Нахамкин Л.А. О квазипластическом ударе// Изв. АН СССР, МТТ. 1969. - N 1. - С. 91 - 98.

79. Н4. Нагаев Р.Ф. Об аналитическом описании квазипластического удара// Изв. АН СССР, МТТ. 1970. - N 4. - С. 78 - 86.

80. Н5. Нагаев Р.Ф. Общая задача о квазипластическом ударе// Изв. АН СССР, МТТ. 1971. - N 3. - С. 94 - 103.

81. Н6. Нагаев Р.Ф., Якимова К.С. Об ударном взаимодействии двух-массовой упругой системы с неподвижной плоскостью// Изв. АН СССР,

82. МТТ. 1971. - N 6. - С.14 - 24.

83. Неймарк Ю.й. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Иа,ука, 1972. - 471 с.

84. Н8. Неймарк Ю.й. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Труды между нар. симпозиума по нелинейным колебаниям / Киев: Изд-во АН УССР, 19(53. Т. 2. - С. 268 - 307.

85. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных. колебаний, III// Изв. высш. учебн. завед,, Радиофизика. 1968. -Т. I, N 5 - 6. - С. 146 - 165.

86. НЮ. Неймарк Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров// Докл. АН СССР. 1959. - Т. 129, N 4. -С. 736 - 739.

87. НИ. Неймарк Ю.Н., Киняпин С.Д. О состоянии равновесия, расположенном на поверхности разрыва// Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика. 1960. - Т. 3, N 4. - С. 694 - 705.

88. Н12. Неймарк Ю.И., Киняпин С .Д. О рождении периодического движения из состояния равновесия, расположенного на поверхности разрыва// Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика. 1962. - Т. 5, N 6. - С. 1196- 1205.

89. Н13. Неймарк ЮЛ., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 424 с.

90. Ш4. Неймарк Ю.й. О скользящем режиме и периодических движениях релейной системы// Труды ГЙФТИ и радиофизич. факультета ГГУ. Ученые записки. Сер. физическая. М.: Советское радио. - 1956. -Т. XXX. - С. 159 - 192.

91. Н15. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. - 336 с.1116. Неймарк Ю.И. О движениях, близких к двоякоасимптотиче-скому движению// Докл. АН СССР. 1967. - Т. 172, N 5. - С. 1021 -1024.

92. HI. Петровским И .Г. Лекции по теории обыкновенных, дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 280 с.

93. П2. Понтрягин Д.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970. 332 с.

94. Р1. Русаков Й.Г., Харкевич А.А. Вынужденные колебания системы, ударяющейся об ограничитель// Ж. техн. физики. 1942. - Т. 12, вып. И/12. - С. 715 - 721.

95. Р2. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности// Странные аттракторы: Пер. с: англ. / Под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М»:1. Мир, 1981. С. 117 - 151.

96. СЛ. Самойленко A.M., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием:. Киев: Вшца охк., 1987. - 286 с.

97. С2. Самойленко A.M., Перестюк H.A., Трофимчук С.И. Обобщенные решения импульсных систем и явление биений// Укр. мат. журн. 1991.- Т. 43, N 5. С. 657 - 663.

98. СЗ. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками// Сб. переводов "Математика". 1967. - Т. 11, N 4. - С. 88 - 106.

99. И. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р.А.Нелепина. М.: Машиностроение, 1971.- 323 с.

100. Т2. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В.Емельянова. М.: Наука, 1970. - 592 с.

101. У1. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974. - 272 с.

102. Ф1. Федосенко Ю.С., Фейгин М.й. К теории скользящего режима в динамических системах с соударениями// ПММ. 1972. - Т. 36, вып. 5. -С. 84.0 - 850.

103. Ф2. Федосенко Ю.С., Фейгин М.И. Периодические движения виброударника, включающие участок скользящего режима// ПММ. 1971. -Т. 35, вып. 5. - С. 892 - 898.

104. ФЗ. Федосенко К).С. О структуре фазового пространства и периодических движениях неавтономных динамических систем с ударными взаимодействиями// ПММ. 1976. - Т. 40, вып. 4. - С. 618 - 629.

105. Ф4. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах// ПММ. 1970. - Т. 34, вып. 5. - С. 861- 869.

106. Ф5. Фейгин М.И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе// ПММ. 1974. - Т. 38, вып. 5. - С. 810 -818.

107. Ф6. Фейгин М.И. О структуре ('-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем.// ПММ. 1978. - Т. 42, вып. 5. - С. 820 - 829.

108. Ф7. Фейгин М.й. Скользящий режим в динамических системах с ударными взаимодействиями// ПММ. 1967. - Т. 31, вып. 3. - С. 533 -536.

109. Ф8. Фейгин М.И. О поведении динамических систем вблизи границ области существования периодических движений// IIMM. 1977. ~ Т. 41, вып. 4. - С. 628 - 636.

110. Ф9. Фемгшз M.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. - 2S8 с.

111. Ф10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

112. Ф11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью// Математический сб. I960. - Т. 51, N 1. - С. 99 - 128.

113. ФГ2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1. М.: Наука, 1969. - 608 с.

114. Ф13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального .исчисления, Т. 2. М.: Наука, .1969. - 800 с.

115. Ф14. Фуллер Â.T. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества// Тр. 1-го конгресса ИФАК. М., 1961.- Т. 2. С. 584 - 605.

116. XL Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с а,игл. М.: Мир, 1970. - 720 с.

117. Х2. Хэссард Б., Казарино» Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 280 с.

118. Ц1. Цыпкин Я.3. Релейные автоматические системы. Мл Наука, 1974. - 575 с.

119. Ш1. Марковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя// Укр. мат. журн. 1964. - Т. 16, N 1. - С. 61- 71.

120. Ш2. Шварц Л. Анализ: В 2 т. Пер. с франц. М.: Мир, 1972. - Т. 1.- 824 с.

121. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа// Математический сб. 1967. - Т. 74(1.1.6), N 3. - С. 378 - 397.

122. Ш4. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца// Маро ден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - С. 317 - 335.

123. Bal. Bapat C.N., Popplewell N. Stable periodic motions of an impact-pair// J. of Sound a. Vibration. 1983. - V. 87, No. 1. - P. 19 - 40.

124. ВаЗ. Bapat C.N., Sankar S. Single unit impact damper m free and forced vibration// J. of Sound a. Vibration. 1985. - V. 99, No. 1. - P. 85 - 94.

125. Ba4. Bapat C.N., Sankar S. Repeated .impacts on a sinusoidallyvibrating table reappraised// J. of Sound a. Vibration, 1986, - V. 108, No. I. - P. 99 - 115.

126. Bui. Budd C., Dux P. Intermittency in impact oscillators close to resonance// NonJinearity. 1994. - V. 7, No. 4. - P. 1191 - 1224.

127. Dal. Dalrymple T.O. Numerical solutions to vibro-impact via an initial value problem formulation// J. of Sound a. Vibration. 1989. - V. 132, No. 1. ~ P. 19 - 32.

128. Evl. Everson R.M. Chaotic dynamics of a bouncing ball// Physica 1913.- 1986. No. 3. - P. 355 - 383.

129. Fel. Feigenbaum M.J. Quantitave universality for a class of nonlinear transformatios// J. Stat. Phys. 1978. - V. 19, No. 1. - P. 25 - 52.

130. Hel. Heiman U.S., Bajaj A.K., Sherman P.J. Periodic motions and bifurcations in dynamics of an. inclined impact pair// J. of Sound a. Vibration.- 1988. V. 124, No. 1. - P. 55 - 78.

131. Kol. Kotera T,,Peterka F. Laws of impact motion of mechanical systems with one degree of freedom, part IV. Analytical solution of the 2/n-impact motion and its stability// Acta technica CSAV. 1981. - S. 26, No. 6. - P. 747 - 758.

132. Ko2, Kotera T.,Peterka F. Laws of impact motion of mechanical systems with one degree of freedom, part VI. Analytical and analogue solution of the multi-impact motion and its stability// Acta, technica CSAV. 1984. - S. 29, No. 3. - P. 255 - 279,

133. Mai. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems// Physica ID. 1980. - V. 1, No. 2. - P. 219 -226.

134. Ma2. Masri S.F., Caughey T.K. On the stability of the impact damper// Trans, of ASME, J. of Applied Mechanics, series E. 1966. - V. 33, No. 3. -P. 586 - 592.

135. Ma3. Masri S.F. Stability boundaries of the impact damper// Trans, of ASME, J. of Applied Mechanics, series E. 1968. - V. 35, No. 2. - P. 416 -417.

136. Mol. Moon F.CM Holmes W., Khoury P. Symbol dynamic maps of spatial-temporal chaotic vibrations in a string of impact oscillators// Chaos:an Interdisciplinary J. of Nonlinear Science. 1991. - V. 1» No. 1. - P. 65 - 68.

137. Mq2. Moore D.B., Shaw S.W. The experimental response of an impacting pendulum system// Int. J. Non-Linear Mech. 1990. - V. 25, No. L- P. 1-16.

138. Ngl. Nguyen D.T., Noah S.T., Kettleborough C.F. Impact behaviour of an oscillator with limiting stops, part I: A parametric study// J. of Sound a. Vibration. 1986. - V. 109, No. 2. - P. 293 - 307.

139. Ng2. Nguyen. D.T., Noah S.T., Kettleborough C.F. Impact behaviour of an oscillator with limiting stops, part II: Deminsionless design parameters// J. of Sound a. Vibration. 1986. - V. 109, No. 2. - P. 309 - 325.

140. Nol. Nordmark A. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator// J. of Sound a. Vibration. 1991. - V. 145, No. 2. - P. 279 - 297.

141. Pe3. Peterka F., Vacik J. Laws of impact motion of mechanical systems with one degree of freedom, part III: Statistical characteristics of beat motions// Acta technica CSAV. 1981. - S. 26, No. 2. - P. 161 - 184.

142. Pe5. Peterka F., Vacik J. Transition to chaotical motion in mechanical systems with impacts// J. of Sound a. Vibration. 1992. - V. 154, No. 1. -P. 95 - 115.

143. Pol. Popplewell N., Bapat C.N., Mclachlan K. Stable periodic vibroimpacts of an oscillator// J. of Sound a. Vibration. 1983. - V. 87, No. 1. - P. 4.1 - 59.

144. Shi. Sharif-Bakhtiar M., Shaw S.W. The dynamics response of a centrifugal pendulum vibration absorber with motion-limiting stops// J. of Sound a. Vibration. 1988. - V. 126, No. 2. - P. 221 - 235.

145. Sh2. Shaw S.W., Holmes P.J. A periodically forced piecewise linear oscillator// J. of Sound a. Vibration. 1983. - V. 90, No. 1. - P. 129 - 135.

146. Sh3. Shaw S.W. The dynamics of a harmonically excited sistem having rigid amplitude constrains, part I: Subharmonic motions and local190bifurcations// Trans. A SMB. J. of Applied Mechanics. 1985. - V. 52, No 2.- P. 453 458.

147. SM. Shaw S.W. The dynamics of a harmonically excited sistem having rigid amplitude constrains, part II: Chaotic motions and global bifurcations// Trans. ASME. J. of Applied Mechanics. 1985. - V. 52, No. 2. - P. 459 - 464.

148. Sh5. Shaw J., Shaw S.W. The onset of chaos in a two-degree-of-freedom impacting system// Trans. ASME. J. of Applied Mechanics. 1989. - V. 56, No. 1. - P. 168 - 174.

149. Sml. Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73, No. 6. - P. 747 - 817.

150. Thl. Thompson J.M.T., Ghaffari R. Chaos after periodic-doubling bifurcations in the resonance of an impact oscillators// Physics letters. -1982. V. 91A, No. 1. - P. 5 - 8.

151. Tul. Tufillaro N.B., Albano A.M. Chaotic dynamics of a bouncing ball/'/ Americ. J. of Phys. 1986. - V. 54, No. 9. - P. 939 - 944.

152. Whl. Whiston G.S. The vibro-impact response of a harmonically excited and preloaded one-dimensional linear oscillator// J. of Sound a. Vibration. 1987. - V. 115, No. 2. - P. 303 - 319.