Исследование электромагнитных полей в окрестности цилиндрической неоднородности сложной формы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

136

В настоящей работе исследуется влияние на электромагнитное поле цилиндрической неоднородности сложного сечения. Такого рода задачи относятся к двумерным граничным задачам теории дифракции, описывающим процессы распространения гармонических электромагнитных колебаний в присутствии локальных рассеивателей, обладающих различными электрическими и магнитными свойствами.Они формулируются в виде системы уравнений Максвелла с принципом предельной амплитуды на бесконечности и граничными условиями на поверхностях, где диэлектрическая и магнитная проницаемость среды испытывают скачки. Особенность нашей задачи заключается в том, что поверхность неоднородности не совпадает с координатными поверхностями системы координат, в которой имело бы место разделение переменных. Кроме того, предложенные ниже методы решения не накладывают ограничений не гладкость контура рассеивателя и позволяют рассматривать неоднородности, границы которых содержат угловые точки.

Подходы к решению такого класса задач в высокочастотном случае, т.е. когда характерные размеры тела много больше длины волны в вакууме, сравнительно хорошо изучены, составляют самостоятельную область исследований и основаны на таких ассимптотических методах, как методы геометрической или физической оптики [1 - 3], или комбинации методов, например, физической оптики и интегральных уравнений [4, 5], которые позволяют рассматривать тела, имеющие угловые точки. В частности, в [6 - 8] для решения задач дифракции на многоугольниках произвольной конфигурации используются представления краевых волн в сочетании с методом интегральных уравнений. Значительный интерес представляет исследование геометрической неоднородности в низкочастотной области, когда характерные размеры задачи меньше длины волны в вакууме. Именно в этой области наблюдаются наиболее интересные эффекты, находящие применение в теории антенн. Так, при размещении низкочастотной антенны на рельефных возвышенностях может иметь место значительное усиление полей; например, для холма в виде полуэллипсоида, расположенного на бесконечно проводящей плоскости, это усиление может быть весьма заметным в зависимости от соотношения полуосей [9, 10]. Именно низкочастотному случаю и посвящена данная работа.

Исследование граничных задач электродинамики при наличии угловых, или сингулярных точек, начиналось с рассмотрения дифракции на идеально проводящем клине. Эта проблема имеет особую важность, поскольку позволяет выделить эффекты, непосредственно обусловленные наличием угловых точек на границе неоднородности. В настоящее время она строго решена [11], в том числе и для клина с конечной диэлектрической проницаемостью. Среди обширного списка работ, посвященных данной теме, выделим [12], где рассматривается случай двух состыкованных клиньев и для решения применяется аппарат задачи Римана - Гильберта; в [13] рассмотрен вопрос о пополнении рядов Мейкснера, введенных в [14], логарифмическими членами; [15, 16], где использован аппарат интеграла Зоммерфельда - Малюжинца для построения решения задачи дифракции на импедансном клине. В числе последних исследований отметим работу [17], в которой развиты математические аспекты, расширяющие область применения аппарата интеграла Зоммерфельда - Малюжинца, а также разработана схема регуляризации сингулярных интегральных уравнений, возникающих при решении задач о клиньях.

В основе методов решения граничных задач дифракции при наличии угловых точек лежит идея обращения сингулярной части оператора задачи и сведения уравнения к виду, допускающему приближенные способы решения. В результате приходят либо к интегральному уравнению с вполне непрерывным в 12 либо в L2 оператором и к корректным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений второго рода БСЛАУ-П. Имеется несколько различных вариантов, основанных на обращении сингулярной части матричного оператора, предусматривающих привлечение подходящего для данного случая математического аппарата. Среди них одним из первых, примененных к дифракционным задачам, является метод Винера

- Хопфа [18], который первоначально был разработан для решения интегральных уравнений специального вида. Сущность его состоит в том, что решение системы функциональных уравнений, получаемой после преобразования Фурье исходной задачи, можно свести к построению некоторой аналитической функции во всей плоскости комплексного переменного путем факторизации и методом аналитического продолжения. Метод Винера - Хопфа был использован для исследования дифракции волн на пластинах конечной ширины и толщины, а также в различных волноводах и на периодических структурах; возможности его применения наиболее полно изложены в [19]. Модификацией метода Винера - Хопфа является метод задачи Римана - Гильберта, названный так потому, что основывается на аппарате задачи Римана - Гильберта теории аналитических функций. Если в задаче Винера - Хопфа факторизация проводится на верхней и нижней полуплоскостях, то в задаче Римана - Гильберта - для внутренности и внешности, вообще говоря, произвольного замкнутого контура, в частности

- для единичной окружности. Одним из первых примеров его реализации является [20]; дальнейшее развитие он получил в ряде работ при изучении дифракции на многоэлементных и многослойных решетках, на различных ленточных препятствиях, в волноводах; основные результаты этих работ собраны в [21]. Аппарат задачи Римана - Гильберта со сдвигом использован в [12] для решения задачи дифракции на комбинации двух прямоугольных клиньев, один из которых обладает конечной, а другой бесконечной диэлектрической проницаемостью. При решении задач дифракции в волноводах с угловыми точками в ряде случаев оказывается эффективным решение нерегулярной БСЛАУ модифицированным методом вычетов (ММВ), предложенным в [22] и обобщенным на случай произвольной криволинейной системы координат в [23]. В ММВ регуляризация исходной БСЛАУ - I достигается благодаря учету условия на ребре, в результате задача сводится к определению коэффициентов полинома по известным значениям в дискретных точках. Общей чертой метода Винера - Хопфа и ММВ является их применение только в координатных задачах (т.е. в таких, вде поверхность неоднородности совпадает с координатными поверхностями системы координат, в которой имеет место разделение переменных), сложность решений либо процедуры их построения растут с усложнением геометрии, решение каждой новой задачи требует индивидуального подхода и построения специального алгоритма. Вследствие этого практически отсутствуют примеры их реализации для задач со сложными границами.

В случае исследования областей со сложной структурой, в которой не удается выбрать единое представление для искомого поля, производится разбиение всей области на регулярные смежные подобласти, для каждой из которых можно получить решение в виде разложений в бесконечные ряды по полным системам собственных функций соответствующих краевых задач. Поскольку вид базисных функций известен, задача сводится к определению системы коэффициентов (амплитуд) при этих функциях в разложениях поля в каждой из частичных областей (метод частичных областей - МЧО). Для полного решения задачи необходимо выполнение условий непрерывности полей и их нормальных производных на общих границах частичных областей. Это требование и использование свойств полноты и ортогональности собственных функций обычно приводят к БСЛАУ относительно неизвестных амплитуд собственных волн. В общем случае, поскольку выбор "естественных" (т.е. определяемых соответствующей системой координат) наборов базисных функций, как правило, не обеспечивает правильного поведения искомого решения в окрестности угловых точек, это приводит к получению матричного либо интегрального уравнения первого или второго рода с оператором, не обладающим конечной нормой в классах 12 либо L2 соответственно. Редукция БСЛАУ -1 или II в этом случае некорректна и может привести к явлению относительной сходимости или отсутствию сходимости приближенных решений к точному [22, 24], и даже к заведомо неправильным физическим результатам [25]. Рядом авторов была выработана целая система необходимых (но отнюдь недостаточных) способов проверки решений, построенных в результате формального усечения БСЛАУ: закон сохранения энергии, условия сопряжения решений на границах частичных областей, правильность поведения вблизи угловых точек, приемлемое совпадение полученных различными методами решений и пр. [24, 25, 26]. Однако в большинстве случаев такие методы лишены строгого математического обоснования; так, в [27] показано, что, например, в некоординатных задачах последовательность решений может быть и сходящейся и удовлетворяющей закону сохранения, и в то же время не являться решением БСЛАУ.

В ряде работ предложен такой вариант реализации МЧО, при котором оператор бесконечной системы оказывается нормируемым [28 - 31]. В этом случае в качестве базисных функций выбирается полная система полиномов Чебышева [32], или полиномов Гегенбауера [30, 31,33 - 40] или функций Матье (при этом каждое звено считается вырожденным эллипсом) [41, 42] с весовым множителем, учитывающим характер поведения функций в угловых точках. В результате такой процедуры получается бесконечная регулярная система, приближенное решение которой может быть найдено методом редукции. Таким способом решается задача дифракции плоской волны на многоугольном цилиндре [29], на пересекающихся круговых цилиндрических телах [30, 37], а также на равностороннем уголковом рефлекторе, в волноводном трансформаторе [41].

Харьковской школой радиофизиков разработан метод выделения и точного обращения сингулярной части матричного оператора системы, полученной в результате сшивания в МЧО - метод полуобращения (МПО), который подробно описан в монографии [43]. Ключевой момент его - представление оператора исходной БСЛАУ - I в виде суммы двух слагаемых, одно из которых содержит в себе всю сингулярность задачи и допускает обращение. То есть, должен быть известен оператор, обратный к выделенной сингулярной части, применение которого к исходной системе приводит к БСЛАУ-И с оператором фредгольмового типа. В МПО выделяемая и обращаемая часть оператора представляет собой матрицу с разностным ядром. Элементы обратной матрицы выражаются через бесконечные произведения. Это требует обязательного использования ЭВМ и не позволяет получить достаточно точную аналитическую оценку погрешности численных результатов. К достоинствам метода следует отнести прежде всего возможность его применения к некоординатным задачам. В [43, 44] приведены результаты исследования дифракции поля на изломах волновода, в структурах с диэлектрическими вставками различной формы, на периодических структурах типа эшелетт, решетках жалюзи и др.

Метод квазистатической функции Грина (МКФГ) зародился как вариант обобщенного проекционного метода, предложенного Вербицким в [45] и впоследствие развитым в [46]. МКФГ в качестве исходного объекта регуляризации использует не БСЛАУ-I, а систему функциональных уравнений, описывающих непрерывность тангенциальных компонент на границах частичных областей. Ее преобразование осуществляется с помощью квазистатической функции Грина - решения уравнения Лапласа в рассматриваемой структуре с соответствующими граничными условиями. При нахождении явного вида КФГ может использоваться как аппарат конформных отображений [47 - 49], так и некоторые специальные методы [50 - 51]. В результате такой математической переформулировки задачи приходят к БСЛАУ-И, матричные элементы которой есть произведения некоторых величин, пропорциональных квадрату частоты и коэффициентов Фурье функции Грина задачи статики. В терминах МПО, данная операция означает выделение и обращение статической части оператора Гельмгольца - лапласиана, однако здесь иной способ обращения - все операторы (в том числе и обратный) берутся в интегральной, а не в матричной форме. Последующее проектирование по системам гармонических функций в каждой из частичных областей приводит к регулярной БСЛАУ второго рода. Корректность ее следует из того, что функция Грина задачи статики в данной области удовлетворяет условиям Мейкснера в угловых точках, то есть обращенная статическая часть оператора содержит в себе сингулярность задачи, связанную с наличием угловых точек. Следует заметить, что обращение статической части оператора Гельмгольца (лапласиана) не является регуляризирующей процедурой в строгом смысле, так как имеется особенность в бесконечно удаленной точке, где требуется накладывать ограничение на поведение функции. Поэтому выбор базисных функций, удовлетворяющих заданным условиям, жестко определен. МКФГ был применен для решения задачи дифракции плоской волны на разветвлении в волноводе [52], в дальнейшем распространен на случай наличия в одной из подобластей диэлектрического заполнения [53, 54]. В работах [55 - 57] МКФГ впервые был использован для решения некоординатных волноводных задач. Преобразование исходной краевой задачи путем введения новой системы координат (конформного преобразования) означает, что анализ дифракции поля в структуре сложной формы без заполнения сводится к исследованию процесса распространения волн в плоском волноводе постоянного поперечного сечения, но с неоднородным заполнением. Дальнейшая переформулировка проблемы в интегральное уравнение Фредгольма II - рода [57] дает принципиальную возможность получения простых приближенных аналитических формул для поля.

Метод конформного отображения широко используется в работах [58 -65], где с его помощью решаются задачи для случая статики или в квазистатическом приближении для неоднородностей произвольной формы: для выпуклых и вогнутых цилиндрических луночек [58], для плавных горок [59 - 62], для двух холмов, расположенных вблизи [63 - 64]. При этом в низкочастотном случае, т.е. когда характерные размеры тела меньше длины волны в вакууме, для нахождения волновых полей используется их представление в виде ряда по положительным степеням ik [66, 67] и оказывается, что нулевое и первое приближения выражаются через решение уравнения Лапласа.

Как уже было сказано выше, обращение статической части оператора Гельмгольца (лапласиана) не является регуляризирующей процедурой в строгом смысле, так как имеется особенность на бесконечности. В настоящей работе в основе используемого метода лежит обращение сингулярной части оператора Гельмгольца, связанной как с угловыми, так и с бесконечно удаленной точкой, т.е. после применения конформного отображения и сведения задачи к анализу дифракции поля в структуре с неоднородным заполнением обращается оператор Гельмгольца в однородной среде (вакууме). Подобный подход был использован в [68 - 70] при исследовании неоднородностей типа выпуклости или ямы, однако при решении полученного интегрального уравнения МПП автор ограничился нулевым приближением, что значительно уменьшило область применимости данного решения.

В настоящей работе рассматриваются задачи о нахождении электромагнитных полей над цилиндрическими неоднородностями сложной формы. Используемый метод решения позволяет рассматривать широкий класс неоднородностей, включающий в себя также неоднородности, имеющие на границе угловые точки. Такие задачи представляют интерес в плане исследования влияния рельефа местности на характер поведения полей. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений.

Заключение.

В представленной работе была изучена двумерная задача дифракции электромагнитных волн на широком классе цилиндрических неоднородностей сложной формы, включающем в себя также неоднородности, содержащие на границе угловые точки. В качестве источника рассматривалась бесконечная нить электрических диполей, параллельная оси цилиндра.

Основой используемого метода решения является полуобращение оператора Гельмгольца, при котором выделяются и строго обращаются сингулярные части оператора, связанные с наличием угловых точек на границе рассматриваемой области, а также с особенностью в бесконечно удаленной точке. При этом основное внимание уделяется на возможность получения аналитических представлений д ня полей. Получен ряд результатов, которые могут представлять интерес при дальнейших исследованиях в данной области: рассмотрено применение методов решения дифференциальных уравнений с неделящимися переменными - МЗДУ и МПО - и схема их реализации для неоднородностей сложной формы; для метода МПО произведено вычисление нормы интегрального оператора, что обосновывает использование метода последовательных приближений для решения интегрального уравнения.

Найдены аналитические выражения: строгие - для статической и приближенные - для динамической части поля в случае, когда характерные размеры неоднородности малы по сравнению с дайной волны в вакууме. Наблюдается сильная зависимость амплитудной и слабая - фазовой структуры поля от формы неоднородности. Для идеально проводящих неоднородностей типа горок в областях с большой кривизной имеет место заметное увеличение амплитуды поля по сравнению с падающим. Причем, чем меньше радиус кривизны, тем большее увеличение амплитуды имеет место. Для неоднородности, состоящей из бесконечно проводящего ядра и прилегающего к нему слоя с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью s', также наблюдается увеличение амплитуды поля на вершинах слоя, но это увеличение в j^J раз меньше (ц> зависит от толщины слоя и свойств среды): при этом заметное влияние оказывает толщина слоя /амплитуда поля уменьшается с увеличением толщины слоя/ и слабое - свойства среды. Для горок, несимметричных относительно оси у, фаза не зависит от положения точки наблюдения на поверхности неоднородности, причем наличие или отсутствие слоя с г' не влияет на этот результат. Для симметричных неоднородностей имеет место заметная зависимость фазы от конкретного вида формы, например, горка треугольной или прямоугольной формы. Изменение свойств слоя (толщины слоя и свойств среды) для фазы учитывается с помощью постоянного слагаемого.

Для идеально проводящих неоднородностей типа ямы, имеющих на границе угловые точки, происходит резкое увеличение амплитуды поля в окрестности сингулярных точек и уменьшение - при спуске в яму. Было проведено исследование полей для близких форм неоднородностей типа холмов, отличающихся наличием или отсутствием угловых точек на границе. При этом оказывается, что статические части поля при этом на поверхности неоднородности также близки всюду, кроме окрестности особых точек. Динамическая часть поля, в частности фаза, при этом различна, т.е. можно говорить о том, что характер угловых точек на границе в этом случае оказывает существенное влияние.

1. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970 - 520 с.

2. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. М., 1978 247 с.

3. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. /Пер. с нем. под ред. Малюжинца Г. Д. М.: Мир, 1964.

4. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962 243 с.

5. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.: Наука, 1966.

6. Тарасенко О. М., Габриэльян Д. Д. //Изв. вузов. Радиофиз,1989, т.32, №8, с. 1015.

7. Габриэльян Д. Д., Тарасенко О. М., Шацкий В. В. //Радиотехн. и электрон. (Москва), 1990, т.35, №6, с.1159.

8. Габриэльян Д. Д., Звездина М. Ю. //Радиотехн. и электрон. (Москва), 1993, т.38, №3, с.394.

9. Корчагин Ю. А., Разманов И.П. //Радиотехника, 1986, №3, с. 15 .

10. Козина О.Г. //Тезисы докладов XV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Алма Ата, 1987, с. 220.

11. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. /Пер. с англ. под ред. Левина М. Л. Т.2. М.: Мир, 1978 557 с.

12. Созонов А. П. Дифракция электромагнитных волн на клиновидной структуре. Дис. . канд. физ. мат. наук, Л., 1986.

13. Макаров Г. А., Осипов А. В. //Изв. вузов. Радиофизика, 1986, т.29, с. 714.

14. Mexiner J. The behavior of electomagnetic fields at edges, Tech. Rpt.129

15. ЕМ 72, NY: Inst. Math. Sci., NY University, 1954.

16. Лихачев В. M., Сташкевич А. И. //Радиотехн. и электрон. (Москва), 1990, т.35, №4, с.707.

17. Осипов А. В. //Радиотехн. и электрон. (Москва), 1995, т.40, №6, с.880.

18. Осипов А. В. Новые методы исследования полей в угловых областях. Дис. . док. физ. мат. наук, СПб., 1995.

19. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962 - 279 с.

20. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966 431 с.

21. Агранович 3. С., Марченко В. А., Шестопалов В. П. //Журн. техн. физики, 1962, т.32, №4, с. 381.

22. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд - во Харьк. ун - та, 1971.

23. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974 323 с.

24. Архипенко С. А., Макаров Г. И. Модифицированный метод вычетов в задаче о распространении волн в криволинейном волноводе с разветвлением. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 22, 1989.

25. Дифракция волн на решетках. /В.П. Шестопалов, Л.НЛитвиненко, С.А. Масалов, В.Г. Сологуб., Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973 287 с.

26. Рудь Л. А. //Радиотехника, 1975, вып. 34, с. 17.

27. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Миттры. М.: Мир, 1977 485 с.

28. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А. Матричныеуравнения типа свертки в теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1984 130293 с.

29. Шестопалов В. П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1983 252 с.

30. Велиев Э.И. //Докл. АН СССР, 1985, 282, №2, с. 319 323.

31. Велиев Э.И., Шестопалов В. П. //Докл. АН СССР, 1985, 282, №5, с. 1094.

32. Велиев Э.И., Веремей В. В., Шестопалов В. П. //Радиотехника и электроника, 1988, т.ЗЗ, №3, с. 478.

33. Веселов Г. И., Плллллллатонов Н. И., Сисарев В. С. //Радиотехника, 1980, т.35, №5, с. 27 34.

34. Mei К. К., Van Bladel I. G. /ЛЕЕЕ Trans. Ant. and Propag., 1963, vol. AP 11, №3, p. 185 - 192.

35. Abdelmessih S. Т., Sinclair G. //Canad. J. Phys., 1967, vol. 45, №3, p. 1305 1318.

36. Hunter J. D. //Ibid., 1972, vol. 50, №1, p. 139 -150.

37. Макаров С. В., Фридберг П. Ш., Яковер И. М. //Радиотехника и электроника, 1990, т.35, №1, с. 1 -11.

38. Вавилов В. Н. //Докл. АН УССР, сер. А,1990, №12, с. 33 37.

39. Велиев Э.И., Шестопалов В. П. //Докл. АН СССР, 1988, 300, №2, с. 319 323.

40. Велиев Э.И., Шестопалов В. П. //Докл. АН СССР, 1988, 300, №4, с. 827.

41. Чумаченко В. П. //Радиотехника и электроника, 1986, т.31, №12, с. 2336 -2341.

42. Чумаченко В. П. //Радиотехника и электроника, 1988, т.ЗЗ, №8, с. 1600 1609.

43. Велиев Э. И., Чумаченко В. П. //Докл. АН УССР, сер. А, 1990, №1, с. 55 58.

44. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1984 -296 с.

45. Васильева Т. И., Кириленко А. А., Ткаченко В.И. Радиофизика и электроника миллиметровых и субмиллиметровых диапазонов. Т.Х, 1988, с. 80 -89.

46. Вербицкий И. Л. //Докл. АН СССР, 1987, 294, №1, с. 72 -75.

47. Вербицкий И. Л. Электромагнитные волны в сложных структурах и их взаимодействие с электронными потоками. Дис. . док. физ. мат. наук, Л., 1983.

48. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1988.

49. Фильчаков П. Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев: Наукова думка, 1964.

50. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М: ИЛ, 1963.

51. Волков Е. А. //Докл. АН СССР, 1978, 238, №5, с. 1036 1039.

52. Нуллер Б. М. //Изв. ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 1978, т. 120, с. 36- 42.

53. Коноров Д. П., Макаров Г. И.Дифракция электромагнитных волн в плоских волноводах с границами, содержащими ребра. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 21, 1987.

54. Коноров Д. П., Макаров Г. И. //Вестн. ЛГУ, 1987, вып.4, сер.4, с. 15- 20.

55. Коноров Д. П., Макаров Г. И. Аналитическое решение задачи дифракции в плоском волноводе со скачкообразным изменением импеданса. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 23, 1990, с.34 41.

56. Агапов В.В., Макаров Г.И. О двух методах решения некоординатных задач дифракции в приближении тонкого волновода. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 25, 1995, с.З 17.

57. Агапов В.В., Макаров Г.И. //Вестн. ЛГУ, 1991, вып.1, сер.4, с. 26 -34.

58. Агапов В. В. Некоординатные задачи дифракции электромагнитных волн в тонких волноводах с границами, содержащими сингулярные точки. Дис. . канд. физ. мат. наук, Л., 1991.

59. Козина О. Г., Макаров Г. И. Влияние электрических и геометрических неоднородностей на электромагнитное поле. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 23, 1990, с. 3 20.

60. Козина О. Г., Макаров Г. И. О влиянии плавных геометрических неоднороностей рельефа местности на электромагнитное поле. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 24, 1992, с. 3 22.

61. Козина О. Г., Макаров Г. И. О влиянии рельефа местности сложной формы на электромагнитное поле низкой частоты. В сб.: Проблемы дифракции и распространения волн. Изд. ЛГУ, вып. 26, 1996, с. 3 19.

62. Козина О. Г., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1994, вып.1, сер.4, с. 10 19.

63. Козина О. Г., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1996, вып.З, сер.4, с. 17 24.

64. Козина О. Г., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1996, вып.4, сер.4, с. 96 102.

65. Stevenson A. F. //J. Appl. Phys., 1953, v.14, N.9, р.1134 1142.

66. Stevenson A. F. //J. Appl. Phys., 1953, v.24, N.9, p.1143 1151.

67. Майсон E. С., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1996, вып.З, сер.4, с. 78 82.

68. Майсон Е. С. Самосогласованные и дифракционные задачи для открытых структур при наличии угловых точек. Дис. . канд. физ. мат. наук, С-П., 1997.

69. Майсон Е. С., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1996, вып.2, сер.4, с. И 23.

70. Алехина Т.Ю., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1994, вып.З, сер.4, с. 11 20.

71. Алехина Т.Ю., Макаров Г. И. //Вестн. СПбГУ, 1995, вып.1, сер.4, с. 57 65.

72. Sieger В. //Ann. Phys., 1908, Vol. 27, S. 626 654.

73. Millar R. F. //Can. J. Phys., 1960, Vol. 38, P. 272 281.

74. Goodrich R. F., Kazarinoff N. D. //The Michigan Mayh. J., 1963, Vol.10, P. 105 127.

75. Germey K. //Ann. Phys., 1964, Vol. 13, N. 7, S. 237 251.

76. Burke J. E., Twesky U. //J. Opt. Soc. Amer., 1964, Vol. 54, P. 732 -738.

77. Sebak A., Shafai L. //Comput. Phys. Commun., 1991, Vol. 68, №1 3, p. 315 - 330.

78. Дж. Джексон. Классическая электродинамика. М: Мир, 1965.

79. Ragheb Н. A., Shafai L. //Can. J. Phys., 1988, Vol. 66, P. 1115 1123.

80. Sebak A. //IEEE Trans. Magn., 1991, vol. 27, №5, p. 3886 3889.

81. Chang S., Jeh C. //Radio Sci., 1991, vol. 26, №5, p. 1165 1176.134

82. Sebak A., Shafai L., Ragheb H. A. //Radio Sci., 1991, vol. 26, №1, p. Ill 119.

83. Ragheb H. A., Shafai L., Hamid M. //IEEE Trans. Ant. and Propag., 1991, vol. 39, №3, p. 350 353.

84. Мак Лахлан H. В. Теория и приложения функций Матье. М: ИЛ, 1953.

85. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа М. Л.: Физматгиз, 1962.

86. Справочник по специальным функциям //под ред. Абрамовича М., Стиган И. М: Наука, 1979.

87. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. М: Наука, 1966.

88. Градштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Наука, 1971.

89. Прудников А. П., Брычков Ю. А. Интегралы и ряды: элементарные функции. М: Наука, 1981; специальные функции. М: Наука, 1983.

90. Исследование электромагнитных полей в окрестное: ра с поперечным сечением сложной формы, расположенноно проводящей полуплоскости.ракция электромагнитных полей на неоднородности сложш ледование возможных форм неоднородности.: