Излучение и рассеяние волн неоднородными системами цилиндрического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

(

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи КОЛПАКОВ Андрей Борисович ^^^^

ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ВОЛН НЕОДНОРОДНЫМИ СИСТЕМАМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТИПА

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 1993

/-

Работа выполнена в Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии

на кафедре физики

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор А. И. Саичев

кандидат физико-математических наук, доцент Р. А. Дудник

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

профессор В. А. Зверев

кандидат физико-математических наук, доцент А. И. Мартьянов

Ведущая организация: Институт физики атмосферы

РАН, г. Москва.

Защита состоится « № » ОКТПЗЛ/ТаЯ^ г ча-

сов на заседании диссертационного совета К 063.77.03 по радиофизике при Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н. И. Лобачевского (603600, г. Нижний Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд. -1\Го )

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан __» С.^//1993 г

Уменый секретарь специализированного совета, кандидат

физико-математических наук // / В. В. ЧЕРЕПЕННИКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы с распределенными параметрами типа тонкостенной цилиндрической оболочки (ЦО) кругового сечения представляют довольно широкий класс излучателей и рассеивателей звуковых волн. К настоящему времени относительно подробно изученными являются конструктивно однородные оболочки. Однако реальные оболо-чечные системы, в отличие от идеализированных однородных моделей, как правило, всегда имеют конструктивные неоднородности, которые довольно часто оказываются представленными в виде локальных инерционных масс. Поэтому, наряду с исследованиями особенностей колебаний н излучения однородных упругих тел типа круговой ЦО, проводятся аналогичные исследования для оболочек, на поверхности которых имеются подобные неоднородности.

Установлено, что локальная инерционная масса, жестко закрепленная на поверхности оболочки, изменяя характер поверхностного распределения колебательной скорости, оказывает влияние на ее ближнее и дальнее ноле излучения.

С точки зрения практических мероприятий, цель которых заключается, например, в снижении излучаемого шума, также представляет интерес исследование характера изменения излучения ЦО, вызванного тем или иным распределением локальной неоднородности по ее поверхности. Поэтому одной из актуальных'задач является изучение влияния разделения одиночной инерционной массы на две одинаковые части, устанавливаемые на поверхности оболочки (с учетом сохранения плоскости симметр'ии) на ее излученное и дифрагированное волновое поле.

Настоящий анализ целесообразно проводить для простейшей модели распределенной системы, характеризуемой малым числом параметров. Это облегчает понимание физики рассматриваемых явлений, позволяет без проведения длительных и громоздких расчетов оценить эффективность тех

или иных мероприятий, направленных на снижение излучаемого шума, и в дальнейшем может способствовать построению адекватных расчетных моделей звукоизлучения неоднородных систем типа круговой ЦО.

В настоящей работе рассматриваются именно такие модели неоднородных оболочек, для которых решение задачи об излучении удается получить в аналитическом виде. Наряду с чисто теоретическими исследованиями проводятся -соответствующие эксперименты.

Цель работы:

1. Анализ решения самосогласованной задачи об излучении (с учетом реакции собственного поля) распределенной колебательной системы типа круговой цилиндрической оболочки с дискретными неоднородностями, представленными в виде жестко закрепленных на поверхности (при (р = ±фО локальных инерционных масс, при вынужденных колебаниях, возбуждаемых внешним гармоническим воздействием (локальной силой; падающей плоской звуковой волной).

2. Исследование влияния разделения одиночной инерционной массы (первоначально установленной при ср = л) на две одинаковые части, устанавливаемые при ср — ±ф1, на особенности излученных и дифрагированных волновых полей ЦО.

3. Исследование влияния инерционной неоднородности (при ф = л), а также ее разделения на диаграммы направленности поля, рассеянного оболочкой.

Научная новизна.

1. Проведен анализ решения самосогласованной задачи об излучении круговой цилиндрической оболочки с дискретными неоднородностями (представленными в виде симметрично установленных на ее поверхности локальных инерционных масс), совершающей вынужденные колебания в упругой среде.

2. Найдены аналитические выражения для собственных функций и собственных частот неоднородной НО- Построена и проанализирована полная ортонормнрованная система собственных функций.

3. Проведено экспериментальное и теоретическое исследование перераспределения колебательной скорости .по азимуту.оболочки и изменения характера ее излучения в диапазонах частот, соответствующих деформированным формам колебания, вызванного влиянием разделения одиночной инерционной неоднородности (первоначально установленной при

ф = л) на две одинаковые части, устанавливаемые с учетом сохранения плоскости симметрии рассматриваемой колебательной системы (т. е. при гр =+ф1).

-1. Экспериментально исследована структура ближнего и дальнего полей излучения неоднородно!) ЦО. Проведено сравнение с однородной колебательной системой.

Исследован характер поведения полей излучения пространственных гармоник (в зависимости от номера)—составляющих деформированных форм, неоднородной оболочки, с изменением расстояния от излучающей поверхности.

5. Проведено исследование влияния локальной неоднородности (при ср = л) и ее разделения на поле, рассеянное оболочкой, а также диаграммы направленности полей отдельных деформированных форм колебания при падении звуковой волны вдоль плоскости симметрии.

6. Проведено исследование электромагнитного излучения распределенной системы типа неоднородной рамми кольцевой антенны, возбуждаемой заданной э. д. с. (с неоднородностью, представленной в виде индуктивности (емкости), подключенной при ср = л), осуществляемое с учетом особенностей излучения неоднородных оболочек и известных методов электромеханических аналогий.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные в ней результаты позволяют:

— разработать практические мероприятия для снижения (в определенных частотных диапазонах) уровня акустического излучения распределенных колебательных систем типа круговой цилиндрической оболочки с дискретными неодно-родностями;

— управлять уровнем волнового поля, излучаемого неоднородной системой, а также его диаграммами направленности, за счет варьирования азимутального расстояния между неоднородностя-ми;

— управлять амплитудно-частотной характеристикой и диаграммой направленности дифрагированного волнового поля оболочки;

— разработать практические мероприятия, направленные на повышение эффективности использования электромагнитных излучателей типа рамок кольцевых антенн, при работе последних в передающем режиме.

Полученные результаты могут быть использованы, а соответствующие исследования продолжены в таких научных кол-

лективах, как Акустический институт РАН (г. Москва), Центральный научно-исследовательский институт РАН (г. Санкт-Петербург), Институт прикладной физики "РАН (г. Н.-Новгород), Научно-исследовательский радиофизический институт РАН (г. Н.-Новгород) и в других организациях, занимающихся исследованием аналогичных проблем.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертации докладывались н обсуждались на 2 Всесоюзной научно-технической конференции «Вибрация и вибродиагностика. Проблемы стандартизации» (Горький, 1988), 1 Научно-технической конференции молодых ученых и специалистов Акустического института им. акад. Н. Н. Андреева (Москва, 1988), Всесоюзной конференции «Волновые и вибрационные процессы в машиностроении» (Горький, 1988), 11 Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1991) и 3 Всесоюзной научно-технической'конференции «Вибрация и впброднагностнка. Проблемы стандартизации» (Нижний Новгород, 1991). По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего основные положения, выносимые на защиту, четырех глав, основных результатов и списка литературы. Объем диссертации составляет 162 страницы машинописного текста (включая 21 иллюстрацию и 1 таблицу). Список литературы составляют 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ содержится обоснование актуальности темы диссертации, кратко изложено ее содержание по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ сформулированы методы расчета колебаний рассматриваемых распределенных систем с дискретными неоднородностями, используемые при проведении настоящего анализа.

В первом параграфе осуществляется постановка самосогласованной задачи о вынужденных колебаниях и излучении неоднородной оболочки, подверженной внешнему гармоническому воздействию (локальной силы; падающей плоской звуковой волны), с учетом влияния окружающей упругой среды.

Во втором параграфе осуществляется вывод уравнений поставленной задачи с помощью принципа наименьшего действия Остроградского-Гамильтона, позволяющего также кор-

ректпо сформулировать граничные условия для точек закрепления неоднородностей.

Для определенности проводимого анализа и возможности получения соответствующих решении в аналитическом виде принималась упрощенная модель рассматриваемой колебательной системы, характеризуемая малым числом параметров. Считалось, что оболочка имеет неограниченную длину, а дискретные неоднородности, принимаемые в виде линейных, сосредоточенных по азимуту инерционных масс (жестко закрепленных вдоль образующей при ср = ±гр), обладают двумя степенями свободы: могут перемещаться как вдоль нормали к поверхности ЦО, так и поворачиваться относительно этой нормали. При этом рассматривались исключительно низкочастотные азимутальные формы колебаний оболочки в воздухе (.когда ка<с1, где к — волновое число; а — радиус ЦО).

С целыо учета влияния окружающей упругой среды использовалось известное решение задачи об излучении неограниченного цилиндра с заданным поверхностным распределением нормальной составляющей колебательной скорости.

ВТОРАЯ ГЛАВА в основном посвящена изучению влияния дискретных неоднородностей на характер вынужденных колебаний и излучения круговой ЦО. Также изучались особенности вынужденных электромагнитных колебаний и излучения неоднородной рамки кольцевой антенны.

В первом параграфе определялись собственные формы колебании исследуемой модели ЦО с инерционными массами. Строилась полная ортонормпрованная.система собственных функций, основные характеристики которой в широкой области изменения параметров неоднородности были получены в аналитическом виде. Анализ этой системы позволил дать наглядную физическую интерпретацию влияния рассматриваемого разделения неоднородности на характер колебаний и излучения оболочки.

Во втором параграфе проводилось теоретическое исследование виброакустических характеристик рассматриваемых оболочек, совершающих вынужденные колебания под действием локальной гармонической силы. Наибольшее внимание уделялось изучению влияния разделения одиночной инерционной массы (первоначально установленной при гр = л) на две одинаковые части (устанавливаемые при ср = ±фО, на характер излучения модели ЦО в окружающее пространство.

При этом, для анализа процесса колебании, использовалась система уравнений, описывающих движение неоднородной оболочки, полученная в 1-й главе диссертации. Решение этой системы представлялось в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний рассматриваемой неоднородной распределенной системы в вакууме.

При анализе излучаемого поля использовалось готовое решение задачи об излучении неограниченного цилиндра с заданным поверхностным распределением колебательной скорости.

В результате проведенных исследований были получены соответствующие аналитические выражения, допускающие анализ физической сущности явлений без проведения длительных и громоздких расчетов, требующих применения ЭВМ.

В третьем параграфе исследовались особенности вынужденных (под действием заданной э.д.с) электромагнитных колебаний и излучения распределенной системы типа неоднородной рамки кольцевой антенны. Проводимый анализ (также, как и в случае ЦО) ограничивался рассмотрением модели малых волновых размеров (ка<1; к — волновое число, а — радиус рамки), когда применимы телеграфные уравнения. С целью корректной формулировки граничных условий в точке подключения неоднородности (ср = л) использовался принцип наименьшего действия.

В четвертом параграфе подводятся итоги и представляются основные результаты главы.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ проводилось .экспериментальное исследование особенностей излучения круговых цилиндрических оболочек с дискретными неоднородностями в процессе вынужденных колебаний, возбуждаемых локальной гармонической силой.

В первом параграфе дается описание используемых в эксперименте лабораторных моделей неоднородных колебательных систем.

Во втором параграфе дается описание используемых установок контрольно-измерительных приборов, в состав которых, в основном, входила аппаратура фирмы «Роботрон», применяемых для измерения резонансных частот, а также азимутальных распределений колебательной скорости и звукового давления, излучаемого исследуемыми моделями ЦО в процессе вынужденных колебаний. При этом отмечается, что

непосредственное измерение колебательной скорости осуществлялось как контактным (при помощи виброанализатора (02013)), так и бесконтактным способом при помощи ультразвукового фазового измерителя виброперемещеннн, разработанного Институтом прикладной физики РАН.

Измерение излучаемого поля осуществлялось при помощи шумомера (00025)"

В третьем параграфе проведен анализ результатов экспериментального исследования виброакустнческих характеристик рассматриваемых моделей неоднородных оболочек.

В четвертом параграфе представлены основные результаты главы 3.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена теоретическому исследованию влияния дискретных неоднородностей на дифрагированное волновое поле круговой ЦО, образующееся при нормальном падении на ее поверхность плоской звуковой волны.

В первом параграфе осуществляется постановка задачи, заключающейся в выяснении особенностей влияния локальной неоднородности (установленной п,ри <р = л), а также ее разделения (см. главу 2) на поле, рассеянное оболочкой.

С нелыо проведения настоящего исследования использовались уравнения движения неоднородной системы, полученные в главе 1, а которых, в качестве величины, определяющей интенсивность внешнего гармонического воздействия, использовалась разность давлений внутри Р[ и снаружи Р2 оболочки. Однако для определенности проводимого анализа полагалось, что во внутренней поло;ти ЦО упругая среда отсутствует и Р] = 0, а Р2 определяется известным соотношением

р _р р(г>1 _ р

■ 2 — г над I 1 я "зл- '

где Р..».,— поле падающей волны; Р<.0)— звуковое давление в волне, отраженной абсолютно жестким цилиндром; Рп.чл—давление в излученной волне. Решение этих уравнений искалось в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний неоднородной системы, анализ которых был проведен в первом параграфе главы 2. При проведении соответствующих опенок рассматривалось ( нормированное поле излучения:

Р = Р,т /Р., .

где в качестве эталона (Р^.) использовалась амплитуда

волны (в дальнем поле), возникающей при отражении на абсолютно жестком цилиндре.

Во втором параграфе исследовались особенности рассеяния волны на оболочке с одной неоднородностью (при(р = .тт). Показано, что такая неоднородность приводит, во-первых, к значительному повышению уровня дифрагированного волнового поля ЦО, по сравнению с однородной системой, когда в поле излучения каждой деформированной формы преобладает излучение монопольного и дипольного типа. Во-вторых, диаграммы направленности Р"(гр) могут значительно отличаться от соответствующих диаграмм однородной оболочки.

Показано, что изменение излучения той пли иной формы колебания, вызванное влиянием неоднородности, можно оценить, пользуясь следующим соотношением

где «о = mo/Mo"—параметр неоднородности, равный отношению ее суммарной массы к массе оболочки; Сп—-безразмерная амплитуда колебаний оболочки 'на частоте q-й формы; a<i0 — коэффициент разложения собственной функции q-n формы в ряд Фурье (соответствующий, равномерному распределению колебательной скорости v по азимуту ЦО); к — волновое число; а — радиус оболочки.

В представленном выражении соотношение Сч(ао Ф 0)/Сч(а0 = 0) определяет изменение эффективности возбуждения рассматриваемой колебательной, системы падающей волной за счет влияния неоднородности. Здесь следует отметить, что у исследуемой оболочки малых волновых размеров каждая деформированная симметричная (относительно плоскости ф = 0) форма будет возбуждаться, в основном, как монополь. При этом антисимметричные формы оказываются недеформированными и возбуждаются как у однородной системы.

Соотношение а.!0 (2/ka)/(ка/2)определяет изменение уровня звукового давления, излучаемого q-й формой.

В третьем параграфе исследуются особенности рассеяния водны на круговой ЦО с двумя одинаковыми неоднородностя-

Х =

Р„.».(а,, ¥=0) _ с„ (а„ ф 0) Рн1.1.(в0 = 0) ~ Cq (а0 = 0)

ми. Показано, что разделение инерционной массы (см. главы 2,3), первоначально установленной на поверхности оболочки при <р = л, оказывает влияние на характер се возбуждения под действием падающей звуковой волны, и, соответственно, излучения в окружающее пространство. Так, например, при диаметрально противоположной расстановке масс (т. е. когда (р[=л/2) изменяются объемные скорости форм колебаний, подверженных деформации (т. е. тех форм, для которых \'(гр = ±л/2) =?М)): увеличиваются у симметричных форм с четными и уменьшаются у антисимметричных форм с нечетными номерами. Это приводит, соответственно, к изменению интенсивное™ возбуждения и излучения рассматриваемых моделей ЦО в окружающее пространство.

При этом симметричные с нечетными и антисимметричные формы с четными 'номерами имеют нулевые объемные скорости, а следовательно, возбуждаются н излучают как у однородной системы.

В четвертом параграфе формулируются основные результаты главы 4.

Основные результаты работы

1. Проведен анализ решения самосогласованной (с учетом реакции собственного излучаемого поля) задачи об излучении распределенной механической системы типа круговой цилиндрической оболочки с дискретными инерционными не-однородностямн, при вынужденных колебаниях, возбуждаемых внешним гармоническим воздействием (локальной силой; падающей плоской звуковой волной). Получены соответствующие аналитические выражения, допускающие анализ физической сущности явлений без применения вычислительной техники. Установлена область применимости этих выражений.

2. Исследовано влияние разделения одиночной инерционной массы (первоначально установленной на поверхности ЦО при ср = л) на две одинаковые части (устанавливаемые при rp = ±cpi), на характер колебаний и излучения оболочек. Показано, что такое распределение неоднородности по поверхности рассматриваемой колебательной системы позволяет (в определенных участках частотного диапазона) управлять ее уровнем излучения за счет варьирования величины ср..

3. Экспериментально исследовано влияние разделения неоднородности (при ср = ср'; (\'(<р') =^0)) на две одинаковые

части, устанавливаемые диаметрально противоположно (т.е. при ср = ±л/2), на характер излучения оболочки в диапазонах частот, соответствующих деформированным формам. Показано, что посредством такого распределения неоднородности по поверхности ЦО возможно существенное понижение уровня излучаемого давления в диапазонах частот, соответствующих формам колебаний с нечетными номерами. Исследован характер поведения полей излучения пространственных гармоник (в зависимости от номера)—составляющих деформированных форм, с изменением расстояния от излучающей поверхности: показано, что в дальней области преобладает излучение монопольного типа, а по мере уменьшения расстояния от поверхности оболочки преобладает излучение гармоник с более высоким номером.

4. Исследовано электромагнитное излучение распределенной системы типа неоднородной рамки кольцевой антенны, возбуждаемой заданной э.д.с. (Анализ проведен с учетом особенностей излучения неоднородных оболочек п методов электромеханических -аналогий). Показано, что локальная неоднородность, представленная в виде индуктивности (емкости), подключенной к контуру рамки (при ср = л), приводит к существенному увеличению (приблизительно на 2 порядка) уровня излучаемого ею волнового поля (по сравнению с однородной рамкой) в области резонансных частот.

5. Исследовано влияние инерционной неоднородности па дифрагированное поле оболочки, образующееся при нормальном падении плоской звуковой волны вдоль плоскости симметрии (ср = 0; ср = л). Установлено, что инерционная масса (закрепленная при ср = л) приводит к значительному увеличению эффективности возбуждения симметричных форм колебаний, а также уровня рассеянного поля рассматриваемой колебательной системы (в направлении <р=0), по сравнению с однородной ЦО.

6. Установлено, что разделение одиночной массы (при ср = л) на две одинаковые части (устанавливаемые при <р = ±9>1), позволяет управлять уровнем поля, рассеянного оболочкой за счет варьирования азимутального расстояния между неоднородностями.

7. Исследовано влияние неоднородности, а также се разделения на диаграммы направленности рассеянного поля деформированных форм колебания оболочки. Показано, что у модели ЦО с одной массой, когда на соответствующих ре-

зоиапсных частотах преобладает излучений монопольного и дипольного типа, диаграммы симметричных форм мало (при* близительно на 16%) отличаются от диаграммы монопольного излучения; после разделения неоднородности, диаграммы форм колебаний, имеющих четные номера, когда на соответствующих резонансных частотах преобладает излучение монопольного и квадрупольного типов, отличаются от днаграм1 мы направленности монопольного излучения приблизительно на 4%.

Основные результаты диссертации опубликованы в paбoYax

1. Дудник Р. А., Колпаков А. Б.. Молькова Л. А., Фияк-сель Э. А. О моделировании внброакустпчсских характеристик мембран, пластин, оболочек с локальной неоднород-ностыо//'Гр. 2-й Всссоюз. конф. «Вибрация и виброднагности-ка. Проблемы стандартизации» — Горький.— 1988. С. 86—87.

2. Дудник Р. А., Колпаков А. Б.. Фпяксель Э. А. Экспериментальное исследование вибрационных характеристик неоднородной цилиндрической оболочки//Тр. Всссоюзн. конф. «Волновые н вибрационные процессы в машиностроении»— Горький — 1989. С. 90—91.

3. Дудник Р. А., Колпаков А. Б., Макеева Е. А., Мишанина М. Г., Молькова Л. А. Вибрационные характеристики неоднородных круглых мембран и пластнн//Тр. Всесоюзн. конф. «Волновые и вибрационные процессы в машиностроении» — Горький — 1989. С. 171—172.

4. Дудник Р. А., Колпаков А. Б., Молькова Л. А., Тамон-кин В. В. Излучение мембраны с локальной неоднород-ностыо//Виброакустичеокие поля сложных ■ объектов и пх диагностика. Сб" тр. ИПФ АН СССР. — Горький, 1989. С. 58—80.

5. Дудник Р. А., Колпаков А. Б.. Фпяксель Э. А. Критерии подобия задачи о колебаниях и излучении неоднородной цилиндрической оболочки//Акуст. журн. '1990. Т. 36. Вып. 2. С. 372—375.

6. Дуднпк Р. А., Колпаков А. Б., Фпяксель Э. А. Моделирование внброакустпческих характеристик неоднородной цилиндрической оболоч^//Судостроительная промышленность. Сб. тр. ЦНИИ «РУМБ» Сер.: Акустика. 1990. Вып. 6. С. 96— 98.

7. Дудник Р. А., Колпаков А. Б., Мишанпиа М. Г. Дифракция волн на неоднородной цилиндрической оболочке с двумя закрепленными массамп//Тез. докл. 11-й Всесоюз. Акустической конф. Москва. 1991. С. 11.

8. Дудник Р. А., Колпаков А. Б. Экспериментальное и теоретическое исследование неоднородных цилиндрических оболочек с двумя закрепленными массами/Дам же. — С. 57.

9. Дудннк Р. А., Колпаков А. Б. Виброакустическая диагностика неоднородных цилиндрических оболоче'к//Тез. докл. 3-й Всесоюз. науч.-техн. конф. Вибрация и внбродиагностпка. Проблемы стандартизации». Горький, 1991. С. 100.

10. Дудник Р. А., Колпаков А. Б. Экспериментальное исследование виброакустических характеристик цилиндрических оболочек с локальными неоднородностями//Акуст. журн. 1992. Т. 38. Вып. 4. С. 766—771.

11. Дудннк Р. А., Колпаков А. Б. Излучение звука цилиндрической оболочкой с двумя локальными массами// Акуст. журн. 1992. Т. 38. Вып. 6. С. 1108—1111.

12. Дудник Р. А., Колпаков А. Б. Дифракция плоской волны на цилиндрической оболочке с локальной неоднородностью// Акуст. журн. 1993. Т. 39. Вып. 2. С. 275—281.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Методы решения задачи о колебаниях неоднородных цилиндрических систем с распределенными параметрами.

1.1. Постановка самосогласованной задачи о колебаниях и излучении систем типа круговой оболочки с дискретными неоднородностями.

1.2. Вывод уравнений колебаний с помощью принципа наименьшего действия.

Глава 2. Колебания и излучение круговых систем с дискретными неоднородностями.

2.1. Система типа неоднородной цилиндрической оболочки.'

2.1.1. Определение ортонормированных собственных функций.

2.1.2. Вынужденные колебания и излучение.

2.2. Система типа неоднородной рамки кольцевой антенны.

2.3. Основные результаты главы 2.

12 1