Исследование энергетического спектра кристаллов методом цепных дробей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.II

1. Способы расчета уровней Ландау полупроводников и полуметаллов и спектров экситонов анизотропных кристаллов, имеющиеся в литературе .II

2. Эффективные гамильтонианы для энергетических зон, изучаемых в работе полупроводников и полуметаллов.

3. Об определении спектра носителя тока в скрещенных полях.

ГлаваП. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ УРОВНЕЙ ЛАНДАУ В СЛУЧАЕ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ ЗОН И ЕГО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

1. Использование непрерывных дробей в задачах исследования спектров операторов.

2. Вывод основного уравнения

3. Аналитические выражения для собственных значений

4. П р и м е р ы.

Глава Ш. УРОВНИ ЛАНДАУ КРИСТАЛЛОВ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП И СПЕКТР ЭКСИТОНА В АНИЗОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛАХ

I. Кристаллы пространственной группы aUji

2. Зона проводимости теллура /пространственная группа , представление /%/.

3. Спектр электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях полупроводников и полуметаллов со структурой цинковой обманки.".

4. Состояния свободного экситона в анизотропных кристаллах.

Глава1У. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПШ&ЖНТОМ.

1. Валентная зона теллура.

2, Твердые растворы CclHgTe.SI

3; Магнитные подзоны твердых растворов

4. Электронный -фактор в арсениде кадмия /пространственная группа Ctfy t представление /.

ВЫВОДЫ.

П Р И Л О К Е И И Е:

Сводка параметров зонных структур, рассмотренных в работе кристаллов

Основной задачей физики твердого тела является создание материалов с заданными свойствами. Знание энергетического спектра кристаллов является необходимым условием для выяснения возможностей и перспектив применения их в приборостроении. В последнее время акцентируется внимание на вопросах тонкой структуры энергетического спектра кристаллов, которая проявляется при изменении в широких пределах температуры, особенно в области низких температур, магнитного и электрического полей и других внешних воздействий. Практический интерес вызывает исследование полупроводников и полуметаллов,которые особенно чувствительны к внешним воздействиям.

Как известно, в случае материалов со сложными законами дисперсии носителей заряда, когда имеется вырождение и непараболич-ность зон, гофрированность изоэнергетических поверхностей и т.д., задача определения уровней Ландау часто сводится к решению бесконечной зацепляющейся системы разностных уравнений; Очевидно, что решение определителя системы высокого порядка, который обеспечивал бы необходимую точность, возможно только с помощью ЭВМ. Попытка упростить задачу путем ограничений,накладываемых на параметры, что позволило бы бесконечный определитель свести к определителям малых порядков, не всегда бывает успешной. Так, для полупроводников и полуметаллов со структурой цинковой обманки приближение точной части гамильтониана Пиджина и Брауна соответствует случаю ky =0 / кц - волновой вектор вдоль поля/ и неучету некоторых членов гофрировки [i]. Но даже при таких предположениях собственные значения гамильтониана Пиджина и Брауна находятся из решения уравнения четвертой степени, что возможно только с помощью ЭВМ.

Имеющиеся аналитические выражения для энергии в этом случае [2] в виде разложения по степеням параметра 5 = cH/c^i / в первом порядке для тяжелых дырок /g и во втором порядке всех остальных зон/ совсем не учитывают гофрированность изоэнергетической поверхности и, кроме того, не могут объяснить экспериментальный факт отсутствия непараболичности и инвариантность уровней Ландау зоны тяжелых дырок для разных величин X твердых растворов к\У.

Также в случае твердых растворов /%-Х Sit )< Те имеющиеся в литературе [4] аналитические решения для уровней Ландау получены при ограничении Л//=0. С помощью модели Боднара [б] для арсенида кадмия достигнуто самое лучшее совпадение для коэффициентов анизотропии и циклотронной эффективной массы, полученных из данных по эффектам Щубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена. В то же время имеющие место значительные расхождения между значениями ^-фактора, полученного экспериментально [б^ и вычисленного с помощью формулы Уоллеса [7], указывают на необходимость учета удаленных зон. Но в случае тетрагонального кристалла, такого как » вычисление ^-фактора с учетом удаленных зон представляет значительные трудности.

В связи с описанной ситуацией актуальны поиски других теоретических методов в исследовании сложного энергетического спектра полупроводников и полуметаллов. Одна из интересных возможностей связана с применением аппарата цепных дробей /см., например,[8,9]/. К моменту начала исследований, которые изложены в настоящей диссертации, в литературе как советской, так и зарубежной отсутствовали результаты по использованию этого аппарата в изучении энергетического спектра полупроводников и полуметаллов, и наши публикации в данной области были первыми.

Первая моя работа [ю], где предложена методика применения непрерывных дробей для расчета энергетического спектра носителей заряда в полупроводниках, была опубликована на четыре года раньше по сравнению с подобной работой за рубежом [п] ; Одновременно с указанной зарубежной публикацией появились работы группы В.Ф; Мае-терова £[2], в которых успешно использовался аппарат непрерывных дробей для расчета глубоких уровней в соединениях А3В5.

При разработке указанного способа с целью его применения к данному типу задач, возникла необходимость ввести новые дроби, которые отличны от тех, что до сих пор встречались в математической литературе. Следует отметить, что возможности применения аппарата непрерывных дробей к теории кристаллов не ограничиваются лишь определением энергетического спектра, но и во многих других задачах, решение которых другими способами может оказаться затруднительным.

В диссертации показано, что решение задал исследования энергетического спектра полупроводников и полуметаллов значительно упрощается, если уравнение для определения энергии представить в виде непрерывной дроби. Преимущество предлагаемого метода состоит в том, что в отличие от случая определителя заданного порядка, когда вычисляются все его собственные значения, использование непрерывной дроби дает возможность вычислить для данного квантового числа одно или несколько собственных значений в зависимости от того, отсутствует или имеется вырождение.

Кроме того, важно иметь аналитические выражения для уровней Ландау зон со сложной структурой, как для удобства интерпретации экспериментальных данных, в которых непосредственно используются величины уровней Ландау / магнитооптические явления/, так и дальнейших расчетов других характеристик рассматриваемых кристаллов магнитной восприимчивости, диэлектрической функции и т.д./.

Целью предлагаемой диссертации являлось: а/ получение простых аналитических выражений душ энергии носителя заряда в магнитном поле полупроводников и полуметаллов со^ сложной структурой зон: /пространственная группа Td , представления Г<Ь % % f% - везде обозначения Костера [13]/, /пространственная группа Су у , представления ,/£"/, Те /пространственная группа *3)з , представления Ну , Hs /» fy ~Je /пространственная группа Т^ , представления (q , пространственная группа СЛ , представления Z-б, /; б/ изучение структуры уровней Ландау носителей заряда в указанных кристаллах с помощью полученных формул и сравнение с экспериментом; в/ исследование оптического спектра экситонов в анизотропных крис -таллах; г/ развитие методики применения аппарата цепных дробей в теории полупроводников и полуметаллов.

Рассмотрение указанных кристаллов объясняется их важностью как объектов для исследований и применений. Детектор на базе ^УьЗё используется в радиоастрономии, для субмиллиметровой диагностики плазмы, для изучения субмиллиметровых лазеров и мазеров и в других областях, требующих чувствительного, надежного и сравнительно быстрого субмиллиметрового детектора.

Диоды на основе твердых растворов CelHfp*- и Pi^H^T^. используются как приемники инфракрасного излучения в области от 8 до 14 мкм, что совпадает с "окном прозрачности" атмосферы. Теллур обладает высокой оптической однородностью в ИК-области спектра, стабильностью физических свойств, устойчивостью к воздействию внешней среды и пригоден для изготовления оптических и структурных элементов ИК-систем.

Арсенид кадмия используется в приемниках теплового излучения, в датчиках Холла и магниторезисторах. При этом, чувствитель**

Научная новизна -работы

До настоящего времени отсутствовала последовательная аналитическая теория уровней Ландау в полупроводниках и полуметаллах со сложной структурой зон, когда учитывается их вырождение и непара-боличность, наличие гофрированно сти изоэнергетической поверхности, отличие от нуля проекции квазиимпульса вдоль магнитного поля и т.д. При интерпретации оптических и магнитооптических экспериментов рассматривались переходы между зонами с упрощенной структурой. Между тем, такой подход существенно искажает спектр уровней Ландау и экситонов по сравнению с тем, который должен бы следовать из реальной структуры зон.

Научная новизна настоящей работы состоит в следующем: а/ разработке общего метода расчета спектров анизотропного эксито-на и уровней Ландау носителей заряда полупроводников и полуметаллов со сложной структурой зон; б/ применении метода для конкретных кристаллов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Вывод основного уравнения для уровней Ландау в случае сложной структуры зон.

2. Эффективность используемого метода непрерывных дробей в задачах определения спектров операторов.

3. Метод определения уровней Ландау в скрещенных электрическом и магнитном полях. ность датчиков Холла на основе выше, чем на основе

4. Аналитические выражения для энергии носителя заряда в магнитном поле в случае сложной структуры зон ряда полупроводников и полуметаллов.

5/ Методика определения набора параметров зон из спектров уровней Ландау.

6. Объяснение отсутствия непараболичности и инвариантности уровней Ландау тяжелых дырок зоны /% узкозонных полупроводников и полуметаллов со структурой цинковой обманки в приближении Пиджина и Брауна.

7. Метод определения спектра экситона в анизотропных кристаллах.

Практическая значимость работы состоит в следующем: а/ определены, а также уточнены параметры зонной структуры ряда полупроводников и полуметаллов; б/ результаты работы могут быть использованы для получения зонных параметров полупроводников и полуметаллов со сложными законами дисперсии носителей заряда, а также при разработке устройств управляемых магнитным полем /лазеров с перестраеваемой частотой, высокочувствительных датчиков магнитного поля и т.д./.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзной конференции "Физика соединений АзВ5" /г. Ленинград, октябрь, 1978г./, на II Всесоюзном совещании "Методы расчета энергетической структуры и физических свойств кристаллов" /г. Киев, ноябрь, 1979г./, на Всесоюзной конференции "Материалы для опто-электроники" /г. Ужгород* октябрь, 1980г./, ва I Всесоюзной конференции и Ш Республиканском симпозиуме по физике и технологии тонких пленок / г. Ивано-Франковск, май, 1981г./, на ХУ Всесоюзном семинаре "Экситоны в кристаллах" /г. Черновцы, май, 1981г./, на У1 Всесоюзном симпозиуме по полупроводникам с узкой запрещенной зоной и полуметаллам /г. Львов, сентябрь, 1983г./,, на XI Совещании по теории полупроводников /г. Ужгород, октябрь, 1983т;/, а также: на научных семинарах кафедры полупроводниковой микроэлектроники Черновицкого госуниверситета /1978-1983 г.г»Д

Публикации. По теме диссертации опубликовано пятнадцать печатных работ.

ВЫВОДЫ

I; Предложен способ приведения задачи на нахождение уровней Ландау полупроводников и полуметаллов со сложной структурой зон к решению алгебраических уравнений в виде непрерывных дробей;

Новизна метода состоит в том, что в отличие от случая решения определителя заданного порядка, когда находятся все собственные значения, использование непрерывных дробей дает возможность вычислять для данного квантового числа одно или несколько собственных значений в зависимости от того, отсутствует или имеется вырождение.

2» Показана эффективность метода на ряде приводимых в литературе примерах, применение которого дает более точное с указанием границ решение, по сравнению с теорией возмущений и, кроме того, показана его экономичность в затратах расчетного времени по сравнению с использованием определителей.

3. Аналитически решена задача о движении носителя в скрещенных электрическом и магнитном полях в трехзонном приближении. Показано, что учет влияния зоны, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием, приводит к значению электрического поля, необходимого для захлопывания зазора запрещенной зоны, меньшим по сравнению с двухзонным приближением в случае полуметалла и к большему значению электрического поля в случае полупроводника.

4. Использование непрерывных дробей дает возможность оценить вклад всех слагаемых последующих звеньев, что позволяет в значительной степени упростить исходное уравнение для уровней Ландау. Таким путем были получены довольно простые формулы для уровней Ландау твердых растворов Pi^Tt , CdH^T^ и соединения Ccl$ A$£ . Тот же подход позволяет определить спектр электрона в скрещенных полях для полупроводников и полуметаллов со структурой цинковой обманки.

5. Предложена методика определения набора зонных параметров из спектров уровней Ландау. Довольно простые, полученные в работе, аналитические выражения позволяют путем сопоставления с экспериментальными результатами определить зонные параметры, что и было сделано в случае валентной зоны теллура, зоны проводимости арсенида кадмия и экстремальных зон твердых растворов реъ* г*. , анрк.

6. В приближении точной части гамильтониана Пиджина и Брауна показано, что вклад слагаемых, обуславливающих непараболич-ность и инвариантность уровней Ландау тяжелых дырок зоны узкозонных полупроводников и полуметаллов со структурой цинковой обманки, составляет величину, которая соответствует тепловому движению порядка I К и поэтому может не учитываться при более высоких температурах»

7» Предложен метод определения спектра экситона в анизотропных кристаллах, который упрощает процесс вычислений и обеспечивает получение удобных и в то же время достаточно точных аналитических выражений.

1. Weiler M.H., Aggarwal R.L., Lax B. Warping- and inversion -asymmetry-induced cyclotron-harmonic transitions in 1.Sb.-Phys.Rev., 1978, v.17, N 8, pp.3269-3283.

2. Aggarwal R.L. Modulated interband magnetooptics.- In the book: Semiconductors and semimetals, Dallas, 1975, v.9, pp.151-255.

3. Kim R.S., Narita S. Par-inrared interband magneto absorption and band structure of Hg- „CdTe alloys.- Phys.stat.sol.(b),1."A £1976, v.73, pp.741-752.

4. Dimmock J.O. kp-theory for the conduction and valence bandsof Pb- vSn le and Pb. Sn Se alloys.- J.Phys.Chem.Sol.(Suppl.)1.a X I "™X л1971, U 32, pp.319-330.

5. Bodnar J. Energy band structure of Cd^ASg near k=0 on the basis of Shubnikov-de Haas and de Haas-van Alphen effects.-In the book: Proc.III Intern.Conf. on the Physics of narrow-gap semicond., Warsaw, 1977, pp.311-314.

6. Blom P.A., Gremers J.W., Neve J.J., Gelten M.J. Anisotropyжof electronic g -factor in cadmium-arsenide.- Solid state commun., 1980, v.33, pp.69-73.

7. Wallace P.R. Electronic g-factor in Gd^ASg.- Phys.stat.sol. (b), 1979, v.92, pp.49-55.

8. Хованский A.H. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа, М: Гостехиздат, 1956.

9. Боднарчук Л.1., Скоробагатько В.Й. Г1лляст1 ланцюгов1 дроби та 1х застосування, Ки1в, "Наукова думка", 1974, с. 1-267.

10. Прудиус А.Г. Применение цепных дробей к нахождению энергии носителей заряда в магнитном поле. ФТТ, 1972, т.14,с. 2682 2685.

11. Swain S. Continued, fractions solutions to systems of linear equations.- J.Phys.A, 1976, v.9, N 11, pp.1811-1821.

12. Мастеров В.Ф., Саморуков Б.Е. Глубокие центры в соединениях А3В//обзор/, ФТП, 1978, т.12, Ы, с.625-652.

13. Мастеров В.Ф. Глубокие центры в полупроводниках /обзор/, ФТП, 1984, т.18, М, с.3-23.13; Koster G.F. Space groups and their representations.- Solid State Physics, 1960, v. 5, pp.173-256.

14. Копылов А.А. Оптические явления, связанные с"двугорбой" структурой минимума зоны проводимости фосфида галлия,- Материалы Всесоюзной конференции "Технология получения и электрические свойства соединений А3В$- Ленинград, ЛПИ, 1981.

15. Жакао К., Doi Т., Kamimura Н. The valence band structure of tellurium.- J.Phys.Soc.Japan, 1961, v.30, IT 5, pp.1400-1413.

16. Ruvalds J., Mc Clure J.W. Exact solutions for a magnetic breakdown model.- J.Phys.Chem.Solids, 1967, v.28, pp.509-516.

17. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, М: Физматгиз, 1966, т.2, с.188-192.

18. Бреслер М.С., Скал А,С., Сонин Э.Б. Уровни Ландау в валентной зоне теллура. ФТТ, 1972, т.14, в.1, с.206-213.

19. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры, М.: Физматгиз, 1963.

20. Weiler М.Н. Landau levels in the valence band of tellurium.-Solid state commun., 1970, v.8, pp.1017-1020.-11921. Evtuchov V. Valence bands of germanium and silicon in a external magnetic field.- Phys.Rev., ( ,v.125,16,pp.1869-1879.

21. Лифшиц И.М., Косевич A.M.K Теории магнитной восприимчивости металлов при низких температурах. ЖЭТФ, IS55, т.29,с.731-742.

22. Pippard А.В. Quantization of coupled orbits in metals. -Proc.Roy.Soc., 1962, v.270, Ж 1340, pp.1-13.

23. Косичкин Ю.Б., Исследование поверхности Ферми и магнитного пробоя в теллуре в постоянных сверхсильных полях.- В сборнике:

24. Физические исследования в сильных магнитных полях',' Труды ордена Ленина Физического института им. П.Н. Лебедева АН СССР, М.: " Наука", 1973, т.67, с.8-49.

25. Kolychev Ж.Ж,, Tarasov G.G., Yaremko A.M. and Sheka V.I. Electronic spectrum of Wannier excitons in quasi-two-dimensional structures.- Phys.stat.sol.(b), 1980, v.98, pp.527534.

26. Бир Г.Л., Пикус I.E. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Физматгиз, 1972, с.344-351.

27. Кон В. и Латтинжер Дж. Теория донорных состояний в кремнии, В'кн. "Проблемы физики полупроводников", М.: ИЛ, 1957,с.551-566.

28. Бреслер М.С., Веселаго В.Г., Косичкин Ю.В., Пжус Г.Е., Фарбштейн И.И., Шалыт С.С. Структура энергетического спектра валентной зоны теллура.- ЖЭТФ, 1969, т.57, 15, с.14-79-1494.

29. Kane Е.О. Band structure of indium antimonide.- J. Phys. Chem.Solids, 1957, v.1, pp.249-261.

30. Bowers R., Yafet Y. Magnetic susceptibility of InSb.- Phys. Rev., 1959, v.115, Ж 5, pp.1165-1172.

31. Pidgeon C.R., Brown R.U. Inter"band Magnet о-absorption and Faraday rotation in InSb.- Phys.Rev., 1966, v.146, Ы 2, pp.575-583.

32. Roth R.M., Lax В., Zwerdling S. Theory of optical magneto-absorption effects in semiconductors.- Phys.Rev., 1959,v.114, N 1, pp.90-104.

33. Luttinger J.M. Quantum theory of cyclotron resonance in semiconductors: general theory.- Phys.Rev., 1956, v.102, U 4, pp.1030-1041.

34. Mitchell D.L., Wallis R.F. Theoretical energy-band parameters for lead salts.- Phys.Rev., 1966, v.151, И 2, pp.581595.

35. Adler M.S., Hewes C.R., Senturia S.D. kp-model for the magnetic energy levels in PbTe and Pb. Sn Те.- Phys.Rev.В,1."™Л A1973, v.7, N 12, pp.5186-5195

36. Cohen M.H. Energy bands in the bismuth structure,- Phys. Rev., 1961, v.121, M 2, pp.387-394.

37. Baraff G.A. Magnetic energy levels in the bismuth conduction band.- Phys.Rev., 1965, v.137, N 3, pp.A842-A853.

38. Аронов А.Г. Осцилляции коэффициента поглощения света в скрещенных электрическом и магнитном полях.- ФТТ, 1963, т.5, в.2, с.552-555.

39. Аронов А.Г., Пикус Г.Е. Туннельный ток в поперечном магнитном поле.- ЖЭТФ, 1966, т.5у в.1/7/, с.281-295.

40. Weiler M.H., Zawadzki W., Lax В. Theory of Tunneling, including photon-assisted tunneling, in semiconductors in crossed and parallel electric and magnetic fields.- Phys. Rev., 1967, m.163, N 3, pp.733-742.

41. Цвдильковский И.М. Зонная структура полупроводников, М.: Физматгиз, 1978, с.312-313.

42. Zawadzki W. Semiconductor electrons in electric and magnetic fields.- Surface scince, 1973, v.37, pp.218-243.

43. Perron 0. Die Lehre von den Kettenbruchen, Leipzig, 1913*

44. Люк Ю.Л. Специальные математические функции и их аппроксимации, М.: Мир, 1980, 608с.

45. Feenberg Е. A note on perturbation theory.- Phys.Rev., 1948 b, vol.74, Iff 2, pp.206-208.

46. Feenberg E. Theory of Scattering processes.- Phys.Rev., 1948 b, vol.74, Ж 6, pp.664-669.

47. Давыдов Л.С. Квантовая механика, М.: Физматгиз, 1963, с.137-142, с.197.

48. Таулес Д. Квантовая механика систем многих частиц, Г/1.: ИЛ, 1963, с.54-55.

49. Морс Ф.М. и Фешбах Г.Ф. Методы теоретической физики, М.: ИЛ, I960, т.2, с.15-22.

50. Абрикосов А.А., Горьков Л,П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике, М.: Физматгиз, 1962.

51. Bowen S.P. The abstract Hilbert space generalization of Feenberg's perturbations theory a new method of quantum field theory.- J.Math.Phys., 1975, v.16, Iff 3, pp.620-623.

52. Scofield D.F. Continued-fraction method for perturbation theory.- Phys.Rev.Lett., 1971, v.29, Iff 12, pp.811-814.

53. Swain S. Continued fractions solutions in degenerate perturbation theory.- J.Phys.A, 1977, v.10, N 2, pp.155-165.

54. Прудиус А.Г. Энергия электрона в магнитном поле кристаллов с решеткой типа теллура, Изв. вузов, Физика, 1972, т.1, ■ с.120-121.

55. Прудиус А.Г. Замечания по поводу статьи А.Г. Прудиуса "Энергия электрона в магнитном поле кристаллов с решеткой типа теллура".- Изв.Вузов, Физика, 1973, т.8, с.159-160.

56. Прудиус А.Г. Расчет уровней Ландау для случая стыкающихся зон.- Деп. в ВИНИТИ от 17 апреля 1974г., MI03-74, 6с.

57. Прудиус А.Г. Спектр электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях полупроводников типа 1пзь .- В кн.: Физика соединений AjBj-, Ленинград, ЛЛИ, 1981, с.74-77.

58. Прудиус А.Г., Раренко И.М., Серкова Л.В. Магнитные подзоны твердых растворов PbSnTe .- В сборнике: Материалы для оп-тоэлектроники, тез. докл. Всесоюз. конф., Ужгород, 1980, с.141-142.

59. Prudius A.G. Landau level structure of Cd^ASg.- In the book; Proc. of the I Intern. Symp. on the Physics and Chemistryof II-V Compounds, Mogyliany, Poland, 1980, pp.73-77.

60. Прудиус А.Г. Квантование энергии электрона в магнитном поле16кристаллов группы D2h .- Изв. вузов, Физика, 1972, т.1, с.28-33.

61. Прудиус А.Г., Раренко И.М. Некоторые особенности энергетического спектра носителей заряда пленки в продольном магнитном поле.- Материалы I Всес. конф. и III Респ. сем. по физике и технологии тонких пленок;- Ив.-Франковск, май, 1981, 1с.

62. Прудиус А.Г., Раренко И.М. Расчет уровней Ландау твердых растворов CdxHglxTe .- ФТП, 1982, т.16, в2, с. 379. Деп. в ЦНИИ "Электроника", Р-3220 от 17.06.81, 13с.

63. Прудиус А.Г., Раренко И.М., Серкова Л.В. Магнитные подзонытвердых растворов pbixSnxTe 1982, т.16, в.2, с.380.

64. Деп. в ЦНИИ "Электроника", P-322I от 17.06.81, 13 с.

65. Wall H.S. Analitic theory of continued, fractions.- N.Y., 1948.

66. Уиттекер Э., Ватсон Г. Курс современного анализа, ГЛ.: Физматгиз, 1962, т.1.

67. Мауг К. Uber die Losung algebraischer Gleichungsysteme durch hypergeometrische Funktionen.- Mh.Math.Phys., 1937, B.45, S.280-313, 435.

68. Bellardinelli. Functions hypergeometriques des plusiers variables et resolution analitique , de equations alg£bri-ques generales. Paris: Gauthier-Villars, 1960.

69. Hensel J.C., Suzuki K. Quantum resonances in the valence bands of germanium.- Phys.Rev.B, 1974, v.9, pp.4184-4257.

70. Сутлкевич Т.Н. Исследование зонного спектра кристаллов1 низкой симметрии.- Диссертация на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Черновцы, 1967.

71. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, М.: . Физматгиз, 1965, т.1, с.183-193.

72. Прудиус А.Г., Раренко И.М., Серкова Л.В. Определение дискретного спектра энергии в случае зацепляющейся системы разностных уравнений.- В сборнике "Методы расчета энерг. структурыи физ. свойств кристаллов", Киев, "Наукова думка", 1982, с.239-248.

73. Фирсов Ю.А. Магнитная восприимчивость в полупроводниках типа теллура.- Ш>, 1957, т.27, с.2212-2228.

74. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Физматгиз, 1968, с.83-88.

75. Zawadzki W., Kowalski J. Anisotropic effects induced by magnetic field in zero-gap semiconductor.- Solid.State Com-mun., 1974, v.15, pp.303-306.

76. Глузглан Ы.Г., Сибирзянова Л.Д., Цидильковский И.М. Об эффекте Шубникова-де Гааза в n-inSb .- ФТП, 1979, т.13, в.З,с.466-477.

77. Пономарев А.И., Потапов Г.А., Харус Г.И., Цидильйовский И.М. Определение g -фактора электронов HgSe из осцилляций Щубникова-де Гааза.- ФТП, 1979, т.13, в.5, с.854-862.

78. Глузман Н.Г., Пономарев Л.И., Потапов Г.А., Сибирзянова Л.Д., Ццдильковский И.М. Влияние уширения уровней на осцилляции Щубникова-де Гааза в HgSe и HgCdSe .- ФТП, 1978, т.12, в.З, с.468-475.

79. Прудиус А.Г. Состояния свободного экситона в анизотропных системах. В сборнике "Материалы XI Совещания по теории полупроводников", Ужгород, октябрь, 1983, с.387-388.

80. Прудиус А.Г. Состояния свободного экситона в анизотропных системах.- ФТП, IS83, т.17, в.12, с.2192-2195.

81. Фок В.А. Начала квантовой механики.- ГЛ.: Физматгиз, 1976, с.169-176.

82. Бронштейн Й.Н. и Семендяев К.А. Справочник по математике.- М.: Физматгиз, 1962, с.158.

83. Мауг К. Integraleigenschaften der Hermitischen und Laguer-reschen Polynome.- Math.Zeitsch., 1935, B.39, Ж 8, S.597-604.

84. Me. Gabe and Murphy G.U. Continjjed fractions with correspond to power series expansions at two points.- J.Inst.

85. Math.Appl., 1976, v.17, pp.233-247.

86. Dreybrodt W., Button K.J., Lax B. Cyclotron resonance and impurity transitions in the valence band of tellurium.-Solid.State Commun., 1970, v.8, pp.1021-1034.

87. Hardy D. , Rigaux C., Vieren J.P., Kguyen Ну Hau. Impurities and intervalence band magneto-optical transitions in tellurium.- Phys.stat.sol.(b), 1971, v.47, pp.643-653.

88. Weiler M.H., Aggarwal R.L., Lax B. Magnetoreflection studies of Hg., Cd Те.- In the book: Proceedings of III Intern.1.""X a

89. Confer., Warszawa, 1977, pp.137-142.

90. Bernick R.L. , Kleinman L. Energy bands, effective masses and g-factors of the lead salts and SnTe.- Solid.State Commun., 1970, v.8, N 7, pp.569-575.

91. Melngailis J., Harman T.C., Kernan W.C. Shubnikov-de Haas measurements in Pb. Sn Se.- Phys.Rev.В, 1972, v.5, И 6,1."л Лpp.2250-2257.

92. Burkhard H., Bauer G., Zawadzki W. Bandpopulation effects and interaband magnetooptical properties of a many-vally semiconductor: PbTe.- Phys.Rev.B, 1979, v.19, N 10, pp.51495159.

93. Vogl P., Fantner E.J., Bauer G., Lopez-Otero A. Par-infrared magnetо-optical studies of Pb1 Sn Те.- J.Magn. and Magn. Mat., 1979, v.11, pp.113-118.

94. Melngailis J., Harman Т.О., Mavroides J.C., Dimmock J.O. Shubnikov-de Haas measurements in Pb^^SnxTe.- Phys.Rev.В, 1971, v.3, pp.370-375.

95. Гуреев Д.М., Засавицкий И.И., Мацонашвили Б.й., Шотов Л.П. Определение зонных параметров твердых растворов Pb^Sn^Te /О <ГХ < 0.23/ из спектров фотолюминесценции в магнитном поле.- ФТП, 1978, т.12, в.4, с.705-712.

96. Гуреев Д.М., Засавицкий И.И., Мацонашвили Б.И., Шотов А.П. Определение зонных параметров твердых растворов ръ1 Sn Se из спектров фотолюминесценции.- ФТП, 1979, т.13,в.II, с.2129-2134;

97. Patel С.К.П., Slucher R.E. Electron spin-flip Raman-scattering in PbTe.- Phys.Rev., 1969, v.177, N 3, pp.1200-1202.

98. Galazka R.R., Dobrovolski W., Thuillier J.C. Anisotropy of spin splitting and the band structure parameters of HgSe from Shubnikov-de Haas Experiments.- Phys.stat.sol.(b), 1980, v.90, pp.97-104.

99. Црудиус А.Г., Хомяк Б.В. Параметры зонной структуры ZnHgSe . В сборнике: "Материалы 71 Всесоюзного симпозиума по полупроводникам с узкой запрещенной зоной и полуметаллам", Львов, сентябрь, 1983, с.23-24.