Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.9

На правах рукописи

Якупов Максут Масновиевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Свиридюк

ЧЕЛЯБИНСК - 1998

Содержание

Обозначения и соглашения 3

Введение 5

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 18

1.1 Относительно р-секториальные и относительно а -ограниченные операторы................................18

1.2 Аналитические полугруппы операторов с ядрами . . 25

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля............31

1.4 Интерполяционные пространства и задача К оши . . 34

1.5 Функциональные пространства

и дифференциальные операторы ......................40

2 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДИНАМИКА ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 47

2.1 Постановка задачи........................................47

2.2 Относительная а-ограниченность дифференциальных операторов ........................49

2.3 Квазистационарные траектории........................52

2.4 Морфология фазового пространства....................55

3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ КОНВЕКЦИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 59

3.1 Постановка задачи...............................59

3.2 Задача Коши для сингулярного уравнения............63

3.3 Морфология фазового пространства...............67

Список литературы 72

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ

1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел;

М — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел;

LP(Q) — пространства Лебега;

Wp(Q,) — пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,

Span{</?1, ip2i • • • , фт}

обозначает линейную оболочку векторов (ръ, • • •, Рт-

2. Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозночаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

C(U]T) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве U и действующих в пространство

С1{Ы]Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве U и действующих в пространство Т\

C^iU^T) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на U и действующих в Отметим, что вместо С{Ы]Ы), С1(Ы]Ы) и C°°(U]U) ради краткости будем писать соответственно С{Ы), Cl(U) и C°°(U). Элементы множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и CD мы будем обозначать соответственно "единичный" и "нулевой" one-

раторы, области определения которых ясны из контекста.

dorn А — область определения оператора А. im А — образ оператора А.

3. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ори-

55 " 55

ентированы движением против часовой стрелки и ограничивают область, лежащую "слева" при таком движении.

ВВЕДЕНИЕ

Некоторые уравнения гидродинамики. Система уравнений Навье-Стокса

vt = vV2v - (v • V)v - Vp + f, 0 = V -v,

моделирует динамику вязкой несжимаемой жидкости. Здесь вектор-функции г; = (vhv2,...,vn), vk = vk(x,t) и / = (/i,/2, — ,/я), fk = fk(x) соответствуют векторам скорости и массовых сил, функция р = p(x,t), х = (х\,х2,..., соответствует давлению, а параметр v £ характеризует вязкость жидкости. Если в системе (0.1) положить п = 2 и считать область задания системы О С К2 односвязной, то посредством уравнений

дф дф ОХ 1 ОХ2

можно ввести в рассмотрение функцию тока ф = ф{хi,X2, t), определенную с точностью до аддитивной постоянной. Тогда систему (0.1) можно редуцировать к уравнению

моделирующему плоскопаралелъные течения вязкой несжимаемой жидкости.

К настоящему времени создан хорошо развитый математический аппарат для решения принципиальных вопросов о существовании и единственности начально-краевых задач для уравнений (0.1) и (0.2). Основной вклад в качественную теорию сделали O.A. Ладыженская [20] и Р. Темам [80]. Однако потребности практики, в частности, развитие производства пластмасс и усовершенствование добычи и транспортировки нефти, создали необходимость

модификации уравнений (0.1) и (0.2). Главной задачей стало введение в уравнения членов, которые характеризовали бы упругие свойства жидкости.

Одно из наиболее обоснованных решений этой задачи было предложено А.П. Осколковым. В своих работах ([34]-[44]) он рассмотрел многочисленные модификации системы Навье-Стокса, описывающие разнообразные свойства вязкоупругих жидкостей. Одной из первых им получена система уравнений

(1 - XV2)!* = - (и ■ V)« - V? + / ,

0 = V-V, 1 ' '

моделирующая динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка ([34], [41]). Здесь параметр х € М характеризует упругие свойства жидкости. Ясно, что если параметр х = 0? то система (0.3) превращается в систему (0.1).

Гибрид системы уравнений (0.3) и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска [24] дает систему уравнений

(1 - xV2)г;í = - (у ■ V)« - Ур - д^Т , 0 = V • г;, (0.4)

Г* = 8\72Т -У-ЧТ-у-V,

моделирующую термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта. Здесь функция Т = Т(я,£) соответствует температуре жидкости, параметр 6 Е характеризует температуропроводность, д — ускорение свободного падения, вектор 7 = (0,...,0,1)€КП.

Предметом нашего интереса станут уравнения

(i _ = , W - ^^ + ^,

(0.6)

dQ = 5V2Q ^Q) <9ж д(х 1,2:2) дх\ '

моделирующие соответственно плоскопараллельные течения и

термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Постановка задачи. Для уравнений (0.5) и (0.6) будут рассмотрены начально-краевые задачи, обеспечивающие корректность решения по Адамару. Затем каждая из этих задач будет редуцирована к задаче Коши

и(0) = щ (0.7)

для полулинейного операторного уравнения вида

Lü = Ми + N(u). (0.8)

Здесь операторы L G C(U\T), М 6 С{Ы\ J7) и N G C°°(UN\T), где U и Т — банаховы пространства, а Un = [ZYo,Wi]a, а € [0,1) — некоторое интерполяционное пространство Uq = Ы, а 1Л\ — это линеал dorn М, снабженный нормой графика 11| • || | = ||М-1| •

А.П. Осколков и его ученики ([34]-[49]), изучая начально-краевые задачи для уравнений вида (0.3), ограничивались случаем невырожденности оператора при производной по времени. Другими словами, они требовали положительность параметра Однако экспериментальные исследования [2] показали, что параметр х может принимать отрицательные значения. Поэтому ограничение X Е существенно снижает эвристическую ценность модели.

При отрицательных же значениях параметра х оператор при производной по времени может вырождаться, т.е. иметь нетривиальное ядро ker L ф {0}. В этом случае, как показали пионерские работы ([89], [94]), задача (0.7), (0.8) разрешима не при любых начальных значениях щ. Поясним это более подробно.

Вообще говоря, задача (0.7) для классического полулинейного

уравнения вида

и = Su + F(u). (0.9)

разрешима не при всех щ, а только при тех, которые лежат в

о

некотором линеале U плотном в пространстве U ([28], [84]). Как

о

правило, в качестве этого линеала U выбирается область определения оператора F, dorn F = \Uo,U\]a (= Un). В случае kerL ф {0} начальные значения щ даже для линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.8) приходится выбирать из некоторого неплотного в U линеала.

Мы будем называть множество допустимых начальных значений щ (т.е. тех, которые обеспечивают корректность задачи (0.7), (0.8)) фазовым пространством уравнения (0.8). Если существует оператор L~l Е то уравнеие (0.8) тривиально редуциру-

ется к уравнению (0.9), и поэтому фазовым пространством уравне-

о

ния (0.8) будет служить уже упомянутый линеал U■ Нашей целью являетя описание морфологии (т.е. структуры, формы, строения) фазового пространства уравнения (0.8) в случае вырожденности оператора L, в частности, когда его ядро kerb ф {0}. Забегая вперед, отметим, что во всех трех случаях фазовые пространства окажутся простыми банаховыми С°°-многообразиями. Отметим еще, что термин "морфология" введен в обиход в [61].

Историография вопроса. Первым начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, неразрешенной относительно старшей производной по времени, начал изучать C.JI. Соболев. В работе [69] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развили ученики C.JI. Соболева P.A. Александрян [1]

и С.А. Гальперн [10]. Их исследования охватывали линейные дифференциальные уравнения вида

Lü = Ми , (0.10)

где L и М — дифференциальные операторы "по пространственным переменным".

Первым, кто начал изучать задачу (0.7) для абстрактного линейного операторного уравнения (0.10), были М.И. Вишик [7] и независимо от него С.Г. Крейн и его ученики ([13], [20]). В последних работах был детально изучен случай (L, <т)-ограниченного оператора L. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.10) служит некоторое подпространство в U коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все работы ([7], [13], [20]) имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений.

Первым абстрактные уравнения вида (0.10) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R.E. Showalter [96]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L. вырождающегося на некотором множестве нулевой меры. R.E. Showalter [97] и независимо от него H.A. Сидоров со своими учениками [67] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.8) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.8) , так и конкретные их интерпретации вида (О.З)-(О.б) уравнениями соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения" ([9], [16], [51], [98]), "уравнения типа Соболева" ([43], [44], [59], [60], [61], [63], [65]-[69], [62], [64], [95]),

"уравнения типа Соболева-Гальперина" ([17], [96]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" ([26], [50]). Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики [8]. Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.8), (0.10) отмечали И.Г. Петровский [26] и Ж.-Л. Лионе [50].

Актуальность темы диссертации. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в самых разнообразных аспектах. Прежде всего следует отметить работы P.A. Александряна [1] и Т.И. Зеленяка [12], а так же работы их учеников, в которых глубоко и основательно исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях соболевского типа. Эти результаты следует считать непосредственным продолжением работы С.Л. Соболева [69].

Все остальные результаты по уравнениям соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных вида (О.З)-(О.б), которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина [10], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [17], В.Н. Врагова [8], А.И. Кожанова [15] и многих других.

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.8), (0.10), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (О.З)-(О.б) служат иллюстративны-

ми примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики ([29]-[31]), Н.А. Сидоров и его ученики ([66]-[68]), R.E. Showalter [97], R.E. Showalter и M.Bohm [88], R.E. Showalter и E. Di Benedetto [90], A. Favini ([91], [92]), A. Favini и A. Yagi [93] и многие другие.

К этому же разделу следует отнести работы Г.А. Свиридюка и его учеников ([51]-[65]). В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.7) для абстрактного операторного уравнения (0.8). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.8). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах ([61], [62]), где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" ([51], [53], [56], [60]).

Перечислим сначалоа работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.8), (0.10) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ Г.А. Свиридюка, в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.10). Отправной точкой послужила работа [52], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной

(А - A)vt = aAv + / ,

моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах ([59], [60]). Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [64]. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.10) в случаях, когда оператор М (L, сг)-ограничен и (Ь,р)~ секториален.

Работа [64] стала основной для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова ([74], [75], [84]) в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.10) при условии (1/,р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты А. Еауни и А. Yagi [93] и служат основой для многочисленных приложений [66].

Что же касается полулинейных уравнений соболевского типа (0.8), то здесь окончательные результаты получены лишь в случае дополнительных ограничений как на оператор Ь, так и на оператор М + N в правой части. Эти ограничения обусловлены видом объекта исследования — обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

(А-ДЦ = Д(Н^) + /,

моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Впервые результаты о локальной структуре фазового пространства этого уравнения анонсированы в [51] (полное изложение см. в [56]). Затем эти результаты были развиты в [70], а окончательный вид приобрели в [70]. Из-за условий на оператор М + N типа условия монотонности все эти результаты лежат в прямом дополнении к результатам данной диссертации.

Из работ Г. А. Свиридюка, непосредственно примыкающих к теме диссертации, следует выделить работы ([52], [57]), в которых начато систематическое изучение фазовых пространств начально-краевой задачи для системы Осколкова (0.3) в зависимости от размерности ядра оператора при производной по времени. В дальнейшем эти результаты были развиты в ([61], [65]). Методом исследования здесь выступает стандартная техника проецирования задачи на подпространство соленоидальных функций ([21], [82]). Полученные здесь результаты носят либо частный (размерность

ядра не превосходит двух), либо локальный характер.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Заметим, что простыми мы будем называть многообразия, атлас которых состоит из единственной карты. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (05), (0.6). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами полнота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (0.8).

Методы исследования. Подражая классическим образцам ([28], [85]), мы исследуем задачу (0.7), (0.8), существенно опираясь на теорию относительно с-ограниченных и относительно р-секториальных операторов и порождаемыми ими аналитическими группами и полугруппами операторов с ядрами. Данная теория у нас служит аналогом классической теории полугрупп операторов в стандартном случае задачи (0.7), (0.9). Результаты этой теории помогут нам редуцировать сингулярное уравнение (0.10) к регулярному (0.9), определенному на фазовом пространстве. Для изучения фазового пространства мы используем классические методы нелинейного функционального анализа такие, как теорема о неявной функции и теория степени непрерывной вектор-функции.

При изучении начально-краевых задач для уравнений (0.4)-(0.6) мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа