Исследование холловского магнитометра тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

1.1. Гальваномагнитные явления

1.2. Магниторезистивные тонкопленочные преобразователи

1.3. Эффект Холла

1.4. Редукция к импульсной характеристике датчика Холла

1.5. Погрешности преобразователей Холла

1.5.1. Температурный дрейф преобразователей Холла

1.5.2. Градиентные погрешности измерения преобразователей Холла

1.6. Конструктивные особенности датчиков Холла

1.7. Выводы

2. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗРЕШЕНИЕ ДАТЧИКА ХОЛЛА

2.1. Аппаратная функция датчика Холла

2.1.1. Модель тонкого датчика

2.1.2. Отклик датчика Холла в неоднородном магнитном поле

2.2. Редукция к идеальному датчику

2.3. Редукция к аппаратной функций в случае искажений

2.3.1. Основные источники искажений двухмерного

1 распределения холловского напряжения

2.3.2. Применение регуляризации Тихонова к восстановлению распределения магнитного поля

2.4. Реализация алгоритма восстановления магнитного поля

2.5. Аппаратная функция объемного датчика

2.6. Выводы 74 » 3. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ СКАНИРОВА

НИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

3.1. Остаточное напряжение датчика Холла

3.2. Метод компенсации остаточного напряжения

3.3. Реализации холловских магнитометров с компенсацией остаточного напряжения

3.3.1. Магнитометр с компьютерным управлением

3.3.2. Поверка магнитометра

3.3.3. Магнитометр с четырехтактным алгоритмом компенсации остаточного напряжения

3.3.4. Поверка магнитометра

3.4. Система позиционирования

3.5. Выводы 112 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 114 Литература

Одним из основных видов физического эксперимента является измерение индукции магнитного поля, а также величин, связанных с магнитным полем, например потока магнитного поля через заданную поверхность. Известно несколько способов построения магнитометров, основанных на магнитодиодном эффекте, гальваномагнитных явлениях, и др.

Магнитнодиодным эффектом называют значительное изменение омического сопротивления полупроводникового диода с длинной базой, включенного в прямом направлении, помещенного в поперечное магнитное поле [1,2]. При построении магнитометров на основе магнитодиодных преобразователей можно добиться относительно высокой чувствительности (5ч-10 В/Тл), при этом необходимо использовать поле подмагничива-ния Вп « 0,3 Тл [3]. Однако, при разных значениях магнитных полей наблюдается изменение нелинейности, крутизны преобразования, магнито-диодов. Также большое влияние на разброс характеристик оказывает изменение температуры. Для повышения чувствительности и уменьшения влияния температуры используется включение магнитодиодов по мостовой схеме, при этом резко возрастают требования к идентичности характеристик кристаллов магнитодиодов, чего трудно добиться в разных технологических циклах. Все это значительно затрудняет применение магнитодиодов.

Использование в магнитометрах полупроводниковых магниторези-сторов основано на магниторезистивном эффекте, или эффекте Гаусса [4]. Различают два вида магниторезистивного эффекта - продольный и поперечный [5, 6]. Продольный эффект заключается в изменении сопротивления, когда вектор магнитной индукции параллелен вектору плотности тока, протекающего внутри магниторезистора. Поперечный эффект возникает при ортогональном расположении векторов индукции магнитного поля и плотности тока. Изменение сопротивления при продольном эффекте незначительно. Увеличение сопротивления при поперечном эффекте Гаусса объясняется искривлением траектории движения электронов под действием магнитного поля. Магниторезистивный эффект проявляется в полупроводниковых материалах [3] и тонкопленочных поликристаллических ферромагнетиках [7].

В основном в полупроводниковых магниторезисторах используют материалы с высокой подвижностью заряда, например 1п8Ь. Датчики на основе этого материала обладают линейной зависимостью от магнитной индукции при значениях, превышающих 0,3 -г- 0,5 Тл. Для меньших значений индукции зависимость сопротивления близка к квадратичной, при этом изменение сопротивления, характеризующее магниточувствитель-ность датчика, резко снижается и составляет приблизительно 1%/мТл. Более высокой крутизной преобразования обладают магниторезисторы на основе ГМР-эффекта (гиро-магнитный резонанс), который проявляется в тонкопленочных поликристаллических ферромагнетиках [7].

При внесении ферромагнетика во внешнее магнитное поле по полю ориентируются не магнитные моменты отдельных атомов, а целые области спонтанного (самопроизвольного) намагничивания (домены). Если индукция магнитного поля ортогональна плотности протекающего тока, то домены также выстраиваются ортогонально плотности тока, что вызывает значительное увеличение омического сопротивления материала. Германиевый магниторезистор с размерами 8x0,6x0,2 мм при токе питания 3 мА и сопротивлении 24 кОм имеет крутизну преобразования 50 В/Тл и температурный коэффициент чувствительности не более 0,5 %/К. К недостаткам магниторезисторов можно также отнести относительно большие размеры и узкий диапазон рабочих частот - 0 ч-103 Гц [3].

Использование магнитотранзисторов в качестве чувствительных элементов в магнитометрах основано на явлении изменения коэффициента передачи транзистора под воздействием магнитного поля. На сегодняшний день наиболее распространенными являются двухколлекторные магнитот-ранзисторы (ДМТ), в которых магнитное поле приводит к дифференциальному изменению коллекторных токов двух одинаковых по характеристикам транзисторов. Максимальной чувствительностью обладают ДМТ с вертикальными коллекторами [8, 9].

Кремниевые ДМТ с вертикальными коллекторами зарубежных производителей обладают магниточувствительностью в 10 раз выше, чем преобразователи Холла, но примерно на два порядка ниже, чем магнитодио-ды. Они характеризуются высокой предельной частотой (до 1000 МГц) и хорошей термостабильностью (до 0,03 %/К). При этом в полосе частот до 500 Гц магнитотранзисторы имеют большой фликкер-шум и, следовательно, не могут быть использованы при измерении постоянных и слабо меняющихся магнитных полей. Чтобы повысить магниточувствительность необходимо увеличивать потребляемую мощность ДМТ. Это обстоятельI ство является одним из недостатков магнитотранзисторов.

Следующим этапом развития магнитотранзисторов является создание многоколлекторных транзисторов на основе МОП-технологии и интегральных КМОП схем [8]. Для повышения крутизны преобразования в магнитотранзисторах применяют пермаллоевые концентраторы, при этом магниточувствительность возрастает в 5 раз до 0,7 мА/Тл. При индукции магнитного поля более 50 мТл пермаллой насыщается, и усиления магнитного поля практически не происходит. Одним из недостатков транзисторов с магнитными концентраторами является большая нелинейность характеристики преобразования и резкое ухудшение линейной разрешающей способности, так как магнитное поле воспринимается концентраторами большой протяженности (20 ч- 30 мм), а не локальной активной зоной транзи

• стора, равной 0,1 -г 0,2 мм.

Существует еще один тип магнитометров - холловский, который основан на одноименном гальваномагнитном явлении. Эффект Холла заключается в следующем: в пластине, вдоль которой протекает ток, во внешнем магнитном поле, вектор которого направлен нормально к плоскости пластины, возникает поперечное электрическое поле [3]. Оно характеризуется

• разностью потенциалов (холловское напряжение), измеряемой между расположенными на продольных гранях пластины электродах.

Для обеспечения высокой магнитной чувствительности необходимо применять пластины с минимально возможной толщиной полупроводника и высокими значениями постоянной Холла. При этом необходимо обеспечивать достаточный теплоотвод в конструкции датчика. С другой стороны, если датчики изготавливаются на основе монокристаллов полупроводни

• ков с высокой подвижностью носителей (ГпБЬ, 1пАб) [10 - 12], то это приводит к малым значениям напряжения питания датчика (доли вольта) и постоянной Холла, к сильным температурным зависимостям холловского напряжения (порядка процента на градус).

Основным источником погрешности при абсолютном измерении магнитного поля датчиком Холла является остаточное напряжение, возникающее на потенциальных контактах. Например, для датчика типа ПХЭ 606117А остаточное напряжение составляет 48 мкВ, что соответствует погрешности по магнитному полю приблизительно 0,1 мТл. При этом остаточное напряжение обладает существенной температурной зависимостью. Это обстоятельство является одним из недостатков, для устранения которое в настоящее время существует эффективное решение [13, 14]. Современные образцы датчиков Холла обладают магнитной чувствительностью * порядка 100 мВ/Тл, нелинейностью характеристики преобразования до 1%, широким диапазоном рабочих температур (от 1,5 до 300 К), полосой рабочих частот до 103 Гц, малыми размерами. В области низких частот у датчика Холла не наблюдается значительного роста фликкер-шума, что позволяет использовать его при измерении постоянных и медленно меняющихся магнитных полей.

Таким образом, наиболее эффективным преобразователем для нахождения распределения магнитного поля на поверхности образца (основание цилиндрического сверхпроводника) является датчик Холла. Кроме того, возникают задачи, когда при сканировании магнитного потока необходимо определить распределение магнитного поля внутри датчика, что эквивалентно повышению пространственного разрешения магнитометра.

Целью диссертации является теоретическое исследование повышения разрешающей способности холловского магнитометра. Разработка эффективных алгоритмов компенсации остаточного напряжения датчика Холла и экспериментальное исследование сигнальных и шумовых характеристик приборов, реализующих предложенные алгоритмы. Для реализации поставленной задачи необходимо решить ряд теоретических и экспериментальных вопросов:

1. Введение и теоретическое обоснование понятия аппартной функции датчика Холла, связывающей холловское напряжение с распределением магнитного поля.

2. Расчет и численное моделирование аппаратной функции датчика с учетом его геометрии. Нахождение отклика датчика Холла (распределение холловского напряжения) на известное магнитное поле.

3. Постановка и численное решение обратной задачи по восстановлению распределения магнитного поля по известной зависимости холловского напряжения от координат центра датчика (с наложенными искажениями).

4. Разработать двух и четырехтактные алгоритмы компенсации остаточного напряжения датчика Холла.

5. Разработать и изготовить холловский магнитометр, реализующий двухтактный алгоритм компенсации остаточного напряжения.

6. Разработать и изготовить холловский магнитометр, реализующий четырехтактный алгоритм компенсации остаточного напряжения.

7. Разработать и изготовить систему позиционирования датчика Холла по поверхности образца.

Предметом теоретического исследования является обоснование нового метода повышения разрешающей способности датчика Холла, основанного на нелокальной связи холловского напряжения с индукцией магнитного поля. Определение аппаратной функции для модели плоского датчика, как основной его паспортной характеристики, учитывающей геометрию кристалла. Построение модели эквивалентного плоского датчика, в которой учитывается погрешность связанная, с трехмерной аппаратной функцией.

Предметом экспериментального исследования является проведение численных экспериментов по восстановлению распределения магнитного поля при известной зависимости холловского напряжения от координат центра датчика в случае идеального датчика, а также с учетом влияния шумов и аппаратных искажений.

Разработка и изготовление холловских магнитометров, реализующих двух и четырехтактные алгоритмы компенсации остаточного напряжения. Проведение серии экспериментов для исследования шумовых и сигнальных характеристик, а также определение степени компенсации остаточного напряжения косвенным методом.

Разработка и изготовление системы позиционирования датчика Холла по поверхности образца. Определение параметров и погрешности системы позиционирования. На защиту выносятся следующие положения:

1. Аппаратная функция плоского датчика Холла. Проведен теоретический и численный анализ повышения разрешающей способности датчика Холла с учетом плоской модели датчика.

2. Модель эквивалентного плоского датчика, учитывающая погрешность, связанную с аппаратной функцией трехмерного датчика Холла.

3. Оригинальные алгоритмы компенсации остаточного напряжения датчика Холла, и действующие модели автоматизированных комплексов, их реализующие.

4. Прижимное устройство датчика Холла и оригинальная система позиционирования, основанная на стандартных узлах шаговых двигателей дисководов.

5. Косвенный метод оценки компенсации остаточного напряжения датчика Холла.

Основные результаты диссертационной работы были представлены на ВНТК «Методы и средства измерения в средствах контроля и управле-ния-2001» (г. Пенза 2001 год), 2-ой Международной Научно-технической конференции «ИКИ-2001» (г. Барнаул 2001 год), 6-ой Региональной конференции молодых исследователей Волгогрдаской области (г. Волгоград

2001), 14-ой Научно-технической конференции «Датчик-2002» (г. Гурзуф

2002).

Основные материалы диссертации опубликованы в 8 научных работах, включая 3 статьи и 5 публикаций в материалах научных конференций. Список публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 111 страниц, 32 рисунка. Список литературы включает в себя 55 наименований.

3.5. Выводы

При измерении магнитного поля в работе [43] компенсация остаточного напряжения производилась при помощи балансировочного резистора, что при повышении динамического диапазона может оказаться недостаточным. Также характерно влияние температурной зависимости остаточного напряжения на показания прибора. Использование алгоритмов компенсации остаточного напряжения позволяет существенно повысить метрологические характеристики холловских магнитометров. Применение двухтактного алгоритма компенсации оправдано при использовании компьютерного управления [13]. Использование компьютера позволяет в нужный момент времени «опросить» магнитометр на изменение остаточного напряжения с последующей компенсацией. Использование аналого-цифрового преобразователя позволяет автоматизировать процесс сбора и обработки экспериментальных данных.

Четырехтактный алгоритм [53] позволяет существенно упростить схемную реализацию магнитометра, а использование аналоговых коммутаторов значительно увеличивает ресурс работы прибора и избавляет от магнитных коммутационных помех, как в случае с герконовыми реле [13], [14].

Описанная выше система позиционирования на основе механических узлов дисковых накопителей обладает относительно небольшим шагом позиционирования по координатам л:, у, однако он не является постоянным, что затрудняет дальнейшую обработку экспериментальных результатов по восстановлению истинной картины распределения магнитного поля. Однако с ее помощью можно определить неоднородности магнитного поля размер которых на менее рабочей области датчика Холла.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрена модель тонкого датчика в приближении слабых полей. Теоретически показана нелокальная связь холловского напряжения с распределением магнитного поля через аппаратную функцию плоского датчика, которая является его основной его паспортной характеристикой и зависит от геометрии датчика. Получено выражение для аппаратной функции в случае квадратного датчика. Численно построен отклик датчика Холла (распределение холловского напряжения) на эталонное магнитное поле.

Проведены серии численных экспериментов по решению обратной задачи. Нахождение распределения магнитного поля по известной зависимости холловского напряжения от координат центра датчика. При численном решении обратной задачи применялся алгоритм регуляризации Тихонова. Решение задачи рассматривалось в случае шумов и аппаратного искажения. Показана устойчивость полученного решения к шумам и аппаратным искажениям.

Предложен метод эквивалентного плоского датчика, учитывающий погрешность, связанную с неоднородностью магнитного поля вдоль высоты датчика. Рассматривается трехмерная модель датчика по которой строится аппаратная функция эквивалентного плоского датчика. При этом трехмерная обратная задача по восстановлению распределения магнитного поля сводится к двухмерной, что существенно сокращает вычислительные затраты.

Разработаны и изготовлены приборы реализующие двух и четырехтактные алгоритмы компенсации остаточного напряжения. Проведены серии экспериментов по определения шумовых и сигнальных характеристик приборов. Показано, что шумы магнитометров определяются входными каскадами усиления. Предложен и применен косвенный метод определения степени компенсации остаточного напряжения без применения магнитных экранов.

Разработана и изготовлена система позиционирования датчика Холла, использующая стандартные узлы дисковых накопителей. Экспериментально определена погрешность позиционирования датчика Холла, которая составила 0,75мм.

К основным результатам проделанной работы можно отнести следующее:

1 .Введено понятие аппаратной функции плоского датчика Холла как основной его паспортной характеристики, учитывающей геометрию. Предложен способ восстановления распределения магнитного поля по известной зависимости холловского напряжения от координат центра датчика и аппаратной функции.

2. Предложен метод эквивалентного плоского датчика, учитывающий погрешность, связанную с неоднородностью магнитного поля вдоль высоты датчика.

3. Предложены двух и четырехтактные алгоритмы компенсации остаточного напряжения для холловского магнитометра. Предложен косвенный метод оценки степени компенсации остаточного напряжения холловского магнитометра без использования магнитных экранов.

4. Разработан и изготовлен автоматизированный комплекс на основе холловского магнитометра реализующего двухтактный алгоритм о компенсации остаточного напряжения и имеющий уровень 4x10 Тл/л/Гц и степень компенсации остаточного напряжение не менее 300.

5. Разработан и изготовлен автоматизированный комплекс на основе холловского магнитометра реализующего четырехтактный алгоритм компенсации остаточного напряжения, имеющий уровень 1 (Г8 Тл/л/Гц и степень компенсации не менее 1200.

6. Разработана и изготовлена система позиционирования, предназначенная для перемещения датчика Холла по образцу. Погрешность перемещения не превосходит 0,75 мм.

1. Стафеев В.И., Каракушан Э.И. Магнитодиоды. М.: Наука, 1975. 216 с.

2. Викулин И.М., Стафеев И.М. Полупроводниковые датчики. М.: Советское радио, 1975.105 с.

3. Викулин И.М., Викулина Л.Ф., Стафеев В.И. Гальваномагнитные приборы. М.: Радио и связь, 1983. 256 с.

4. Восновский С. В., Канцельсон М. И. Квантовая физика твердого тела. М.: Наука, 1983. 336 с.

5. Азимов С.А. Эпитаксиальные датчики Холла. Ташкент: ФАН, 1986. 278 с.

6. Выродов И.П. О сущности гальваномагнитного эффекта в керамике ВаТЮз Физика. 1999, № 4 с.78 79.

7. Aschenbrener Н., Goubeau G., Eine Anordnung zur Registrierung rascher magnetischer Störungen. Hochfrequenz und Electroakustik (Jahrbuch der drahtlosen und Telephonie). 1936. Bd. 47. N 6. S. 177 181.

8. Рекалова Г. И., Козлов Д. М. Магнитные преобразователи на основе кремниевых планарных транзисторов. IEEE Trans. 1981. Vol Mag 17. № 6. p.133- 145

9. Полупроводниковые преобразователи / Под ред. Ю. Пожелы. Вильнюс: Моклас, 1980.253 с.

10. Cohen Е. Recent developmentof Holl effect devices and aplications. Dansy Gudzjucu sogo cankjuce eho, Bull. Electrotech. Lab. 1973. v37, N10, p. 942 -968.

11. Бабаев Р. M., Тихонов В. И., Портной Г. Я. Датчики Холла на основе пленочных эпитоксиальных структур ареснида галия. // Приборы и системы управления, 1976. № 3. с. 42 43.

12. Hall element of high temperature characteristic. Technocrat. 1975. v. 8, N 10, p. 64.

13. Игнатьев В.К., Протопопов А.Г. Цифровой Холловский магнитометр. Измерительная техника, 2001. № 7. с. 46 49.

14. Игнатьев В.К., Якимец A.JI. Холловский магнитометр. ПТЭ, 1997. № 5. с. 104.

15. Афанасьев Ю. В., Студенцов Н. В. Магнитометрические преобразователи, приборы и установки. JL: Энергия, 1972 г. 272 с.

16. Кобус А., Тушинский Я. Датчики Холла и магниторезисторы. М.: Энергия, 1971.352 с.

17. Hunt R. Р. Magnetoresistance readout trunsduser. IEEE Trans. 1971. Vol. MAG-11. № 4. p. 134.

18. Кариенков С. X. Тонкопленочные магнитные преобразователи. М.: Радио и связь, 1985. 285 с.

19. Яковлев Н. И. Бесконтактные измерительные приборы для диагностирования электронной аппаратуры. JL: Энергоатомиздат, 1990. 256 с.

20. Пасынков В. В., Чиркин J1. К. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1987.479 с.

21. Кучис Е.В. Методы исследования эффекта Холла. М.: Сов. Радио, 1974. 388 с.

22. Афанасьев Ю.В., Студенцов Н.В. Средства измерения параметров магнитного поля. JI.: Энергия, 1979. 320 с.

23. Brunner J. Der Halleffekt im inhomogenen Magnetfeld. Solid-State Electronics. 1960. V. 1. pp. 172- 175

24. Файн B.M., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика. М.: Сов. радио, 1965. 608 с.

25. Штафиль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах. M.-JL: Энергия, 1966. 200 с.

26. Игнатьев В.К., Протопопов А.Г. Сканирующий магнитометр. ПТЭ, 2002. №3. с. 163.

27. Аресин В .Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 386 с.

28. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986.340 с.

29. Базаров И.П. и др. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1986. 312 с.

30. Ростами Х.Р., Манторов В.И., Омельченко В.И. Пространственное распределение захваченного магнитного потока в цилиндрических ВТСП. ФНТ, т. 22, № 7, с. 736 741.

31. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач М.: Изд-во МГУ. 1992. 320 с.

32. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике. М.: Сов. радио, 1979. 272 с.

33. В. Каппелини и др. Цифровые фильтры и их применение: Пер. с англ./ В. Каппелини, А. Дж. Константинидис, П. Эмилиани. М.: Энергоатомиз-дат, 1983. 360 с.

34. Шимони К. Теоретические основы электротехники / Пер. с нем. под ред. K.M. Поливанова, М.: Мир, 1964. 339 с.

35. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники /Пер. с англ., М.: Мир, 1983. Т. 1.312 с.

36. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника./Пер. с нем. под ред. А.Г. Алексеенко. М.: Мир, 1982. 345 с.

37. Тимонтеев В.Н., Величко A.M., Ткаченко В.А., Аналоговые перемножители сигналов в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Радио и связь, 1982. 214 с.

38. Баюков A.B. и др. Полупроводниковые приборы: диоды, тиристоры, оптоэлектронные приборы. Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1985. 295 с.

39. Нованченко И.В. и др. Микросхемы для бытовой радиоаппаратуры: Справочник. М.: КУбК-а, 1996. 321 с.

40. Интегральные микросхемы: Операционные усилители. М.: Физматлит, 1993. 240 с.

41. Марпл -мл. С. JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ., М.: Мир, 1990. 412 с.

42. Ростами Х.Р. Установка для исследования эффекта захвата магнитного потока в ВТСП. Измерительная техника. № 1, 1995. с.45 — 47

43. Ростами Х.Р. Чувствительный холловский магнитометр на переменном токе. ПТЭ. № 6, 1993. с. 182 -183

44. Ростами Х.Р. Устройство для исследования физических свойств ВТСП. Измерительная техника № 12, 1995. с. 31 — 33

45. Эдельман B.C. Сканирующая туннельная микроскопия. ПТЭ. 1989. № 5, с. 25

46. Рехвиашвили С.Ш. Современные методы сканирующей зондовой микроскопии и спектроскопии. ПТЭ. 2002. № 5. с. 149 152.

47. Антошкин JI.B., Ботыгина H.H. и др. Пьезоэлектрический привод для двухкоординатного управления угловым положением зеркала. ПТЭ. 2002. № I.e. 144-146.

48. Морозов В.А., Кирсанова H.H., Сысоев А.Ф. Комплекс алгоритмов быстрого преобразования Фурье дискретных рядов //Численный анализ на ФОРТРАНе. М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1989.256 с.

49. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации. ЖВМиМФ. 1968. Т. 8, № 2. с. 295 309.

50. Морозов В.А., Гордонова В.И. Численные алгоритмы выбора параметра в методе регуляризации. ЖВМиМФ. 1973. Т. 13, № 3. с. 539 545.

51. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979. 288 с.

52. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАН СССР. 1963. Т. 151, № 3. с. 501-504.

53. Игнатьев В.К., Протопопов А.Г. Магнитометр на основе преобразователя Холла. ПТЭ. 2003. № 3. с. 116 120.

54. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации. ЖВМиМФ. 1968. Т. 8, № 2. с. 295 309.

55. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 286 с.