Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла

Малакеева, Марина Юрьевна

Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Малакеева, Марина Юрьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чита МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла»

Автореферат диссертации на тему "Особенности электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла"

На правах рукописи - ^

Малакеева Марина Юрьевна

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Специальность 01.04.07. - «физика конденсированного состояния»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 2 О ФЕВ 2014

-—1 з С¿.гз-.ен •

Чита-2014

005545327

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Забайкальский государственный университет» и ФГБОУ ВПО «Бурятский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Архинчеев Валерий Ефимович

Официальные оппоненты: Костюченко Владимир Яковлевич, доктор

физико-математических наук, профессор кафедры общей физики ФГБОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет»

Кеслер Валерий Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ФГБУН Институт физики полупроводников СО РАН

Ведущая организация: ФГБО ВПО «Новосибирский национальный

исследовательский государственный

университет»

Защита состоится 5 марта 2014 г. в 11-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.074.04 при ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет» по адресу: 664033, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

Автореферат разослан «31 »января 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.074.04 кандидат физико-математических наук, доцент

В. Мангазеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение низкоразмерных квантовых систем привлекает к себе внимание исследователей всего мира на протяжении нескольких десятилетий. Этот интерес обусловлен, с одной стороны, тем, что низкоразмерные квантовые структуры представляют значительный интерес для фундаментальной науки в силу широкого разнообразия их квантовых свойств, необычности физических процессов протекающих в них. Большой класс таких структур включает в себя двумерные электронные системы, в которых было открыто уникальное явление квантования поперечного холловского сопротивления - квантовый эффект Холла [1]. Открытие этого эффекта привело к интенсивному исследованию электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах. В результате возникла необходимость создания наиболее чувствительных измерительных приборов. Так, на основе эффекта Джозефсона, открытого в 1962 году, был разработан целый класс уникальных по своим свойствам измерительных приборов, чувствительным элементом которых является сверхпроводниковый квантовый интерферометр. Как аналог традиционных оптических интерферометров созданы твердотельные интерферометры, основанные на квантовом эффекте Холла (КЭХ). Принцип работы таких интерферометров основан на явлении интерференции краевых холловских токов [2]. Следовательно, исследование распределения краевых токов в условиях целочисленного квантового эффекта Холла необходимо для разработки и усовершенствования квантовых интерферометров. С другой стороны, интерес также обусловлен и нуждами электронной промышленности, в частности, процессом миниатюризации и переходом на наноразмеры в электронике. Таким образом, исследование особенностей электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах в условиях квантового эффекта Холла, в частности, в средах с границами является актуальным.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является теоретическое исследование особенностей электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ). Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформулировать граничные условия для протекания тока в условиях целочисленного КЭХ в средах с границами;

2. Установить механизм протекания краевых холловских токов через границы гетерогенных сред и вывести формулы для описания холловской проводимости в слоистых неоднородных средах;

3. Найти локальные распределения токов и полей в средах с межфазными границами в режиме КЭХ;

4. Обобщить метод Дыхне на случай бездиссипативных холловских фаз и вычислить эффективную холловскую проводимость многофазных сред.

Методы исследований. Поставленные задачи решались с помощью различных методов, включая общие методы теории функции комплексного переменного и метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне [3]. Для решения задачи нахождения локальных распределений токов (полей) в средах с границами была сформулирована краевая задач Римана в векторно-матричной форме, которая в общем случае не решается. Однако для задачи протекания тока в условиях квантового эффекта Холла возможна диагонализация матрицы граничных условий и сведение к системе уравнений скалярных задач Римана. Для реализации этого алгоритма были использованы методы теории функции комплексного переменного [4]. Исследования проводимости многофазных сред в условиях квантового эффекта Холла осуществлялось с использованием метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне и обобщенного на случай бездиссипативных фаз.

Предметом исследования являются особенности электронного транспорта в средах с границами в режиме КЭХ.

Объектом исследования являются низкоразмерные квантовые

системы, в частности, среды с границами.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые:

1. детально исследовано влияние границ на протекание тока в условиях КЭХ и установлен механизм протекания холловского тока через границы фаз;

2. получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах;

3. выведены соотношения дуальности для холловских проводимостей в ........многофазном случае и вычислены компоненты эффективного тензора

холловской проводимости для многофазных сред;

4. исследованы пределы применимости обобщенного подхода Дыхне.

Научная и практическая значимость диссертационного исследования состоит в том, что полученные результаты существенно дополняют известные результаты по изучению КЭХ в области исследования влияния границ, в том числе межфазных границ, на протекание тока. Установленные механизмы распределения краевых холловских токов и условия их протекания в гетерогенных материалах могут быть использованы как для интерпретации экспериментальных данных, так и для постановки новых экспериментов в режиме КЭХ. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы и при разработке и усовершенствовании квантовых твердотельных интерферометров нового типа, в которых переходы между фазами и интерференция краевых холловских токов определяются свойствами угловых контактов и могут управляться приложением электрического поля.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Механизм протекания холловского тока через границы фаз. Согласно этому механизму протекание тока в условиях КЭХ через границы фаз возможно только через сингулярные точки, в качестве которых могут выступать или угловые контакты на стыке фаз, или бесконечность.

2. Выражения для распределения локальных электрических токов и полей в условиях КЭХ в слоистых средах, которые имеют степенные особенности и отражают концентрацию токов вблизи межфазных контактов:

у, ю =1 с, I ехр^'= ; ]2 (О =1 С2 I ехр^— /^Х"' (£") = С2Л"' Ю ,

где Х(0 = ' значения константы |С, |,|С2| определяются

условиями на бесконечности.

3. Соотношения дуальности и выражение для эффективной холловской проводимости многофазных (четырехфазных) сред, полученное методом Дыхне, обобщенньм на случай квантового эффекта Холла:

(в^з-о";^) х 1( (сг,а3-а2а4) о-2сг4(о-, + а,)-+а>) (сг,+ст3-о-2-сг4) \ (ег, +ег3-<т2-сг4) с, + ст3 - ст, - ст4

где ег, - проводимости /-фазы; 5- отклонение от порога протекания.

Апробации работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XXXIII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка» ,22 - 28 февраля 2010 г., Екатеринбург; на 17-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ - 17), 25 марта-1 апреля 2011г., Екатеринбург; на IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование" (МПМО'11) 2011г., Улан-Удэ; VI Международной научно-практической конференции

«Информационные технологии в технике и образовании»-ЗабГТПУ, Чита (2011), а также на научных семинарах кафедры «ФТиМОФ» ЗабГГГТУ им. Н.Г. Чернышевского, кафедры «ФиТС» ЗабГУ и кафедры космической физики БГУ.

Личный вклад автора. Автором проведен обзор и анализ литературы, выполнены все вычисления и проанализированы точность результатов и использованных приближений. Все результаты получены автором лично или совместно с соавтором при его непосредственном участии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, 4 из которых изданы в журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций, и 3 - в сборниках трудов конференций, в том числе международных. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страниц, включая 24 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, сформулированы цели, задачи, основные защищаемые положения работы, обоснована актуальность исследования, новизна полученных результатов, научная и практическая значимость работы.

В первой главе сделан обзор литературы по теме исследования, введены основные необходимые для дальнейшего изложения понятия, рассмотрена теория и изложены основные эксперименты по исследованию квантового эффекта Холла. Рассмотрены подходы, предложенные для описания транспорта между краевыми состояниями в режиме целочисленного квантового эффекта Холла.

Вторая глава посвящена исследованию особенностей протекания тока в средах с границами в условиях КЭХ. Дело в том, что в условиях КЭХ наличие

границы приводит к парадоксальному на первый взгляд результату -невозможности протекания тока через границу раздела фаз. На самом деле протекание тока возможно и изучению этого вопроса посвящена вторая глава.

В разделе 2.1 описаны особенности протекания тока в слоистых средах в режиме КЭХ и определены граничные условия для тока в условиях КЭХ. В условиях квантового эффекта Холла электрический ток всегда перпендикулярен электрическому полю:

J = <rv[n,e\

здесь " - единичный вектор, направленный перпендикулярно двумерной плоскости по магнитному полю, поэтому джоулево тепло при протекании тока в режиме КЭХ всегда равно нулю, т.е. холловские фазы являются бездиссипативными. Протекание тока в режиме квантового эффекта Холла также характеризуется еще одной дополнительной особенностью, а именно из обычных граничных условий непрерывности тангенциальных компонент электрического поля еь = е21 и нормальных компонент электрического тока J\n=j\„ вытекают новые граничные условия для тока в условиях КЭХ:

Jin = Jin = 0 (2)

Другими словами, холловский ток не может пересекать границу раздела фаз и всегда обтекает неоднородности, быть может, за исключением конечного числа особых точек. Соответственно, на первый взгляд, кажется, что холловская проводимость в средах с границами всегда должна обращаться в ноль, но на самом деле это не так.

В разделе 2.2 исследована холловская проводимость слоистых сред. На примере простой модели, состоящей из двух слоистых сред с различными холловскими проводимостями, рассмотрены два случая протекания тока: поперек и вдоль слоев. При протекании тока поперек слоев значение эффективной холловской проводимости

+ О)

соответствует решению с постоянным электрическим полем '2* = Ех12 ■ На первый взгляд полученное решение (3) для холловской

<е >,.=<е >

проводимости не совсем соответствует новым граничным условиям (2). Согласно этим условиям холловский ток не может пересекать границы раздела фаз, и соответственно, холловская проводимость должна обращаться в ноль. На самом деле, холловские токи носят краевой характер, текут вдоль границ раздела фаз и пересекаются в бесконечности, благодаря чему и осуществляется электронный транспорт. Следовательно, протекание через бесконечность и определяет ненулевое значение холловской проводимости. При протекании тока вдоль слоев выражение эффективной холловской проводимости

(4)

соответствует решению с постоянным электрическим током. Таким образом, холловская проводимость в слоистых средах носит тензорный характер

(5)

причем компоненты тензора холловской проводимости не равны друг другу:

В разделе 2.3 двумерная задача проводимости переформулирована в терминах теории функции комплексных переменных[4,5]; введены комплексные выражения для двумерных электрических токов и электрических полей:

здесь к = 1,2-номера фаз. Такое представление величин возможно для функций, удовлетворяющих условиям Коши-Римана. Одно из условий Коши-Римана дает уравнение неразрывности тока:

дх ду (/)

а второе условие следует из уравнения rote = 0, равносильного для сред с кусочно-непрерывной проводимостью уравнению rot] = 0:

dJiL-dJL т

ду " & W

Аналогично уравнения rot е = 0 ;dive = О, второе из которых следует из уравнения div 7 = 0, приводят к условиям Коши-Римана для компонент электрического поля. Закон Ома в магнитном поле также может быть представлен в комплексной форме:

\-фк

(9)

В разделе 2.4 методами теории функции комплексного переменного исследована модель слоистых сред со смещением слоев в шахматном порядке (см. рис.1) и получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах (10) в условиях квантового эффекта Холла:

с а

L- иии

■■■ ь 'ах

cJ V

Рис. 1. Слоистые среды со смещением слоев в начале координат, Ь,с,с'-сингулярные точки (углы на стыке фаз)

exp^i -J = C.XiQ Л (О =1 С2 | сир(- i (О = С, if"1 (О

Здесь функция Х(£) =

имеет степенные особенности в углах на

стыках фаз. Модули коэффициентов определяются условиями на бесконечности. Также вычислены компоненты эффективного тензора холловской проводимости:

О-« - +С,) с Лт(С,+Сг)

где /=<Х(0>=<Х"'(0>.

Полученные результаты для значений холловской проводимости связаны с необычным характером протекания тока в режиме квантового эффекта Холла. В этом режиме из уравнения ^7 = 0 и потенциальности электрического поля гоге=0 следует: ёхУа^ = 0, т.е. линии тока никогда не пересекают линий постоянных значений величины [6]. Другими словами, холловский ток течет вдоль линий неоднородностей холловской проводимости, не пересекая границ раздела фаз, и «замораживается» в каждой из фаз. Это объясняет и само постоянство (плато) значений холловской фазы при изменении концентраций фаз. Кроме того значения плато определяются проводимостью той перколирующей фазы, которая образует бесконечный перколяционный кластер, т.е. значение плато определяется топологией токовых путей [7,8]. Эта зависимость также была изучена в [9,10]. Формирование ненулевого значения эффективной холловской проводимости обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек - в нашей модели это углы на стыке фаз. Существует две возможности протекания краевых холловских токов. Первая их них - протекание краевого тока последовательно из первой во вторую фазу через угловые контакты. Этот результат соответствует решению с постоянным током на бесконечности. В такой же системе возможно, однако и другое решение, когда задано среднее поле на бесконечности. В этом случае

краевые холловские токи текут отдельно - каждый по своей фазе с проникновением через углы полуполос, расположенных в шахматном порядке.

В третьей главе рассмотрены случайно неоднородные многофазные среды. Для изучения протекания холловского тока в многофазной среде методы ТФКП не могут быть применены из-за невозможности построения конформного отображения многосвязной области, поэтому для этой цели были использованы линейные преобразования Дыхне [3, 6].

В разделе 3.1. продемонстрировано, как симметрия двумерной системы относительно преобразований поворота (преобразования Дыхне) может быть использована для получения соотношений дуальности компонент тензора проводимости. Как впервые было установлено в работах Дыхне, уравнения постоянного тока и закон Ома инвариантны относительно уравнений поворота:

] = = а[п,]'] (12)

здесь ь,а - постоянные коэффициенты уравнений поворота, п - нормаль к плоскости. В силу линейности указанных преобразований сохраняется закон Ома и в новой штрихованной системе / = о-'Г . При этом проводимость штрихованной системы равна:

Ъ_ Аг

= — (13)

В случае магнитного поля используются обобщенные линейные преобразования поворота:

у =о/" + 6[л,ё'], ё = сё' + ^[л,7'] (14)

В штрихованной системе закон Ома также имеет тензорный вид. При этом компоненты тензора новой штрихованной системы связаны с компонентами тензора исходной системы следующими соотношениями:

<т„ (ас + ЪЛ)

<т..

+ (а хус1 +а)2

_ агас<1 + (са„ -Ъ){йаху -а) (сг^У+^^ + а?

(15)

В разделе 3.2 показано, что в отличие от случая металлических фаз в пределе квантового эффекта Холла решается задача проводимости и для многофазного (4-фазного) случая. Для изучения протекания тока в многофазных средах в условиях КЭХ сделаем предельный переход к режиму квантового эффекта Холла в полученных выше соотношениях (15). Следуя общему методу, установим возможные симметрии перестановок и соответствующие соотношения дуальности:

1) Первая симметрия: перестановка четных и нечетных фаз местами: о-; = ст2, сг2 = сг,, <т3 = сг4, ст\ =<Г3 (1<->2, 3<-+4) (16)

Согласно условиям (16) и формуле для проводимости преобразованной системы это задается коэффициентами

<7, ст2-ег3сг4 ' 1 сг, ст2 -сг,ст4 ^ '

При произвольных концентрациях фаз штрихованная система оказывается дуальной по отношению к исходной: а'е(3) = <г, (-<?). Следовательно, получим следующее соотношение дуальности для эффективных проводимостей четырехфазных неоднородных сред в режиме КЭХ:

¿,о-е(-г)£г, (£) + &, = а1(сге(-<5) + стг(£)) (18)

2) Вторая симметрия: перестановка четных и нечетных фаз:

сг1=о-4, <у'г=аъ, а, =ст2,о-;=ст, (1<->4, 2*->3) (19)

В этом случае коэффициенты а, Ъ, с? принимают значения:

а2 = -с2, й2 ^ _«г,+<г4-<т2

сг,ст4 -о-2ст3 сг.о-, -о\сг,

= (20)

и получается еще одно соотношение дуальности, аналогичное (18), но со своими коэффициентами а2,Ъ2, (12.

3) Третья симметрия: перестановка четных и нечетных фаз между собой:

а'2=а4, 0^=0;, а\ = ст2 (1<->3, 2«-»-4) (21)

В этом случае штрихованная система оказывается макроскопически эквивалентной исходной: а\ (8) = а, {3) и эффективная холловская проводимость определяется уравнением:

агае(8)1+Ъъ-2а2ае{5) = 0 (22)

Здесь коэффициент а3, Ь3, с!3 находятся из условий (21). В результате из уравнения (22) получаем выражение для эффективной холловской проводимости четырехфазной среды в режиме КЭХ:

сг'.(±^)- (<7'СГД"СГ;'Г') 1 /( )2 + )-(°~2 + ) у23)

(с,+ст3-сг2-ст4) \ (а, + ст3-<т2-сг4) <т, + ст3 -<т2 -сг4

Переход к средам с меньшим количеством фаз осуществляется очевидным образом: трехфазная соответствует пределу с2 =о4 и двухфазная - пределу ст, =<т3, и2 = сг4. При условии сг, + <т3 = <т2 + «т4 происходит переход к вырожденному случаю; исследована область существования этого решения.

В разделе 3.3 описан принцип работы электронных интерферометров в режиме КЭХ и дан краткий обзор экспериментальных результатов, полученных к настоящему времени для других типов интерферометров. Транспорт по краевым состояниям позволил реализовать электронные аналоги оптических интерферометров типа Маха-Цендера и Фабри-Перо, см, например, обзор [11]. В этих аналогах локальный контакт между краевыми состояниями играет роль полупрозрачного зеркала, т. к. в области контакта для отдельного электрона есть конечная вероятность, как остаться в исходном краевом состоянии, так и перейти в другое. Фазовый сдвиг между траекториями управляется с помощью эффекта Ааронова-Бома. Указанные интерферометры работают в квантующих магнитных полях - магнитное поле прежде всего задаёт геометрию интерференционного прибора. В данном разделе работы предложена возможность использования установленного механизма протекания краевых холловских токов для усовершенствования твердотельных квантовых интерферометров. Особенностью конструкции таких интерферометров будет являться использование гетерофазного контакта в

качестве квантового точечного контакта, позволяющего управлять интерференцией краевых холловских токов приложением электрического поля.

Заключение: В диссертации проведено теоретическое исследование особенностей электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ), а именно: влияние границ гетерогенных сред на протекания тока в условиях КЭХ. Проведенные исследования показали, что в режиме КЭХ по-новому формулируются граничные условия -вместо непрерывности нормальные компоненты тока обращаются в ноль. Это приводит к необычному протеканию тока через границы, а именно, невозможности протекания холловского тока через границы фаз и его протеканию только через угловые контакты или через бесконечность. Поскольку число угловых контактов конечно, а протекание тока в средах с границами носит макроскопический характер, то это накладывает условия на особое распределение локальных токов, выражающееся в сильной концентрации тока вблизи контактов.

В случае многофазных (четырехфазных) сред протекание холловского тока также зависит от свойств угловых контактов, образованных всеми (четырьмя) фазами. Следует отметить, что согласно нашим исследованиям получается достаточно парадоксальный результат: в выражение для эффективной холловской проводимости многофазных сред входят проводимости всех фаз независимо от их концентрации. На самом деле это связано с необходимостью участия всех фаз в формировании проводящих путей для холловского тока. Независимость же проводимости от концентрации фаз объясняется возникновением перколяционного кластера - совокупности проводящих путей, проходящих через весь образец.

Сформулируем основные полученные результаты работы: 1. Установлен механизм протекания краевых холловских токов через границу фаз, согласно которому протекание холловского тока возможно только через сингулярные точки, в качестве которых мо1уг выступать или углы на стыке фаз, или бесконечность.

2. Решена задача о квантовом эффекте Холла в двухфазной двоякопериодической среде: найдены локальные распределения токов и полей и выведены формулы для холловской проводимости в слоистых неоднородных средах.

3. Обобщен метод Дыхне для бездиссипативных холловских сред. Выведены соотношения дуальности для холловских проводимостей в многофазном случае. Получены выражения для вычисления компонент эффективного тензора холловской проводимости многофазных сред.

4. Показана возможность использования установленного механизма протекания краевых холловских токов для усовершенствования квантовых твердотельных интерферометров, в которых в качестве квантового точечного контакта будет использован гетерофазный контакт.

В приложении 1 дается краткий обзор по математическому аппарату конформных отображений, введены основные определения и свойства, описано построение конформных отображений для случая шахматной доски.

Список публикаций по теме диссертации:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Малакеева М.Ю. Вычисление распределений локальных токов и полей в слоистых средах в условиях квантового эффекта Холла / Малакеева М.Ю., Архинчеев В.ЕЛ Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского. Серия: Физика, математика, техника и технология. -2011.- №3(38).- С. 108-115.

2. Малакеева М.Ю. Механизм протекания и распределения токов и полей в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла / Малакеева М.Ю., Архинчеев В.Е.// Вестник Бурятского государственного университета. Серия: Физика и химия. -2012,-№3.- С.185-191.

3. М.Y.Maiakeeva. Current percolation in the medium with boundaries under Quantum Hall Effect conditions / M.Y.Malakeeva, V. E. Arkhincheev // Advances in Condensed Matter Physics. - 2012. - V. 2012,- Article ID 832925,- P. 6.

4. Малакеева М.Ю. Протекание холловского тока и вычисление эффективной проводимости многофазных сред в режиме КЭХ/ Малакеева М.Ю., Архинчеев В.Е.// Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Физика, математика, техника и технология. - 2013. -№3(50).- С.65-70.

Публикации в других изданиях

5. Малакеева М.Ю. Протекание тока в условиях квантового эффекта Холла в средах с границами/ Малакеева М.Ю., Архинчеев В.Е.// Сборник трудов XXXIII международной зимней школы физиков-теоретиков «Коуровка»( 22-27 февраля 2010 г.).- Екатеринбург, 2010.- С. 47.

6. Архинчеев В.Е. О краевой матричной задаче Римана для вычисления эффективной проводимости / Архинчеев В.Е., Малакеева М.Ю.// Сборник трудов IV Международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование» (МПМО 11, г Улан-Удэ): материалы конференций (27 июня-1 июля), 2011. - С. 98-100.

7. Малакеева М.Ю. Локальные распределения токов и полей в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла/ Малакеева М.Ю., Архинчеев В.Е.// Сборник тезисов, материалы 17 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-17, Екатеринбург): материалы конференции, тезисы докладов,- В1. т.Т.1 -Екатеринбург: Издательство АСФ России, 2011.-С.128-129.

Список цитируемой литературы

[1] Klitzing К.V., Dorda G., and Pepper M. // Phys. Rev. Lett., 45, 494 (1980).

[2] Chung Y. An electronic Mach-Zahnder interferometer / Y. Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu and H. Shtrikman,//Nature. - 2003,- vol.422. - pp. 415-418.

[3] Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы/ A.M. Дыхне // Журнал экспериментальной и теоретической физики .- 1970. -Т.59. -№1,-СЛ10-115.

[4] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М: Издательство «Наука» -1973,- С.716.

[5] Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой/ Киев: Наукова думка. - 1986. - С. 191.

[6] Dykhne A.M. Theoiy of fractional quantum Hall effect: The two phase model / A.M. Dykhne, J.M. Riizin // Physical Revie . - 1994.-vol. 50.- P. 2369 -2379.

[7] Архинчеев B.E. О неподвижных точках, инвариантах преобразований Дыхне и устойчивости решений задач эффективной проводимости/ В.Е. Архинчеев //Письма в ЖЭТФ. -1998.- Т. 67. - В.З. - С.951.

[8] Arkhincheev V.E. То the theory of the Quantum Hall Effect in inhomogeneous medium / V.E. Arkhincheev, E.G. Batiev // Solid State Communications.-1989,-vol.12.- P.1059-1060.

[9] Arkhincheev V.E. Bound values for Hall conductivity of heterogeneous medium under quantum Hall effect conditions/ V.E. Arkhincheev //Pramana (Indian Journal of Physics).-2008.- vol. 70.- no. 2.- P. 271-277.

[10] Alvermann A. Stochastic Green's function approach to disordered systems/ A. Alvermann and H.Fehske // Journal of Physics: Conference Series.-2006.- vol. 35,-P. 145-156.

[11] van Wees B. J. Observation of zero-dimensional states in a one-dimensional electron interferometer/ B. J. van Wees, L. P. Kouwenhoven, C. J. P. M. Harmans, J. G. Williamson., С. E. Timmering., M. E. I. Broekaart, С. T. Foxon and J. J.Harris // Phys. Rev. Lett. - 1989. - vol. 62. -P. 2523-2526.

Подписано в печать 29.01.14. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Способ печати оперативный. Усл. печ. л. 1,3. Уч.-изд. л. 1,3. Заказ № 01814. Тираж 100 экз.

Забайкальский государственный университет 672039, г. Чита, ул. Александро-Заводская, 30

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Малакеева, Марина Юрьевна, Чита

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреяедение высшего профессионального образования «Забайкальский государственный университет»

04201456064 На правах рукописи

МАЛАКЕЕВА МАРИНА ЮРЬЕВНА

ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Специальность: 01.04.07 - физика конденсированного состояния

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, Архинчеев В.Е.

Чита-2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................4

ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКИЙ И КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТЫ ХОЛЛА........16

1.1 .Классический эффект Холла.......................................................................16

1.1.1. Движение электрона в магнитном поле. Случай сильных и слабых полей...................................................................................................16

1.1.2. Обобщение тензора магнитосопротивления на зонный случай......19

1.2. Квантовый эффект Холла...........................................................................23

1.2.1. Двумерный электронный газ..............................................................23

1.2.2. Целочисленный квантовый эффект Холла........................................26

1.2.3. Качественное объяснение квантования холловского сопротивления 31

1.3. Краевые состояния в целочисленном квантовом эффекте Холла.....33

1.4. Основные выводы главы 1........................................................................39

ГЛАВА 2. ПРОТЕКАНИЕ ТОКА В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА........................................40

2.1. Граничные условия для тока в условиях квантового эффекта Холла.. 40

2.2. Холловская проводимость слоистых сред...............................................42

2.2.1. Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока поперек слоев 43

2.2.2. Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока вдоль слоев.... 44

2.3. Методы теории функции комплексного переменного в двумерной задаче проводимости.........................................................................................45

2.4 Локальные распределения токов и холловская проводимость в модели со смещением слоев...........................................................................................46

2.5. Основные выводы главы 2.......................................................................54

ГЛАВА 3. ПРОТЕКАНИЕ ХОЛЛОВСКОГО ТОКА В МНОГОФАЗНОЙ СРЕДЕ.....................................................................................................................55

3.1. Симметрия двумерной системы относительно линейных преобразований поворота (преобразования Дыхне)......................................55

3.1.1. Преобразования симметрии для двумерной системы.......................57

3.1.2. Предельный переход к режиму квантового эффекта Холла............59

3.2. Эффективная холловская проводимость многофазных сред................61

3.3. Электронные интерферометры и интерференция краевых холловских токов....................................................................................................................65

3.3.1. Принцип работы электронных интерферометров в режиме квантового эффекта Холла, реализованных с помощью квантовых точечных контактов........................................................................................65

3.3.2. Принцип работы квантовых интерферометров на основе со-направленных краевых состояний...........................................................68

3.3.3. Способ разделения краевых холловских токов с помощью гетерофазных контактов.................................................................................71

3.4. Выводы к главе 3.........................................................................................74

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................75

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................79

ПРИЛОЖЕНИЕ!. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ..................................91

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Изучение низкоразмерных квантовых систем привлекает к себе внимание исследователей всего мира на протяжении нескольких десятилетий. Этот интерес обусловлен, с одной стороны, тем, что низкоразмерные квантовые структуры представляют значительный интерес для фундаментальной науки в силу широкого разнообразия их квантовых свойств, необычности физических процессов, протекающих в них. Большой класс таких структур включает в себя двумерные электронные системы, в которых было открыто уникальное явление квантования поперечного холловского сопротивления - квантовый эффект Холла [1]. Открытие этого эффекта привело к интенсивному исследованию электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах. В результате возникла необходимость создания наиболее чувствительных измерительных приборов. Так, на основе эффекта Джозефсона, открытого в 1962 году, был разработан целый класс уникальных по своим свойствам измерительных приборов, чувствительным элементом которых является сверхпроводниковый квантовый интерферометр. Как аналог традиционных оптических интерферометров созданы твердотельные интерферометры, основанные на квантовом эффекте Холла (КЭХ). Принцип работы таких интерферометров основан на явлении интерференции краевых холловских токов [2]. Экспериментальное и теоретическое исследование таких интерференционных схем позволяет, как изучать эффекты электрон-электронного взаимодействия в одномерной электронной жидкости, так и выделить проявление анионной (дробной) статистики квазичастиц. Следовательно, исследование распределения краевых токов в условиях целочисленного квантового эффекта Холла

необходимо для разработки и усовершенствования квантовых интерферометров.

С другой стороны, интерес также обусловлен и нуждами электронной промышленности, в частности, процессом миниатюризации и переходом на наноразмеры в электронике. Так, при создании полупроводниковых гетероструктур появляется возможность управления фундаментальными параметрами в полупроводниковых материалах: шириной запрещенной зоны, эффективными массами носителей и их подвижностями, показателем преломления, электронным энергетическим спектром и т.д.

Таким образом, исследование особенностей электронного транспорта в низкоразмерных квантовых системах в условиях квантового эффекта Холла, в частности, в средах с границами является актуальным.

Цель и задачи работы

Целью настоящего диссертационного исследования является теоретическое исследование особенностей электронного транспорта в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ). Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• Сформулировать граничные условия для протекания тока в условиях целочисленного КЭХ в средах с границами;

• Установить механизм протекания краевых холловских токов через границы гетерогенных сред и вывести формулы для описания холловской проводимости в слоистых неоднородных средах;

• Найти локальные распределения токов и полей в средах с межфазными границами в режиме КЭХ;

• Обобщить метод Дыхне на случай бездиссипативных холловских фаз и вычислить эффективную холловскую проводимость многофазных сред.

Методы исследований

Поставленные задачи решались с помощью различных методов, включая общие методы теории функции комплексного переменного и метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне [3,4]. Для решения задачи нахождения локальных распределений токов (полей) в средах с границами была сформулирована краевая задач Римана в векторно-матричной форме, которая в общем случае не решается. Однако для задачи протекания тока в условиях квантового эффекта Холла возможна диагонализация матрицы граничных условий и сведение к системе уравнений скалярных задач Римана. Для реализации этого алгоритма были использованы методы теории функции комплексного переменного [5,6]. Исследования проводимости многофазных сред в условиях квантового эффекта Холла осуществлялось с использованием метода линейных преобразований, разработанного академиком A.M. Дыхне и обобщенного на случай бездиссипативных фаз.

Предметом исследования являются особенности электронного транспорта в средах с границами в режиме КЭХ.

Объектом исследования являются низкоразмерные квантовые системы, в частности, среды с границами.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые:

• детально исследовано влияние границ на протекание тока в условиях КЭХ и установлен механизм протекания холловского тока через границы фаз;

• получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах;

• выведены соотношения дуальности для холловских проводимостей в многофазном случае и вычислены компоненты эффективного тензора холловской проводимости для многофазных сред;

• исследованы пределы применимости обобщенного подхода Дыхне. Научная и практическая значимость диссертационного исследования

состоит в том, что полученные результаты существенно дополняют известные результаты по изучению КЭХ в области исследования влияния границ, в том числе межфазных границ, на протекание тока. Установленные механизмы распределения краевых холловских токов и условия их протекания в гетерогенных материалах могут быть использованы как для интерпретации экспериментальных данных, так и для постановки новых экспериментов в режиме КЭХ. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы и при разработке и усовершенствовании квантовых твердотельных интерферометров нового типа, в которых переходы между фазами и интерференция краевых холловских токов определяются свойствами угловых контактов и могут управляться приложением электрического поля.

Основные положения, выносимые на защиту:

у, (ОН с, |ехр(д)х(0 = СхХ(£)\ Л (О Н С21 ехр^/^х-Чо = с2х-\о,

где = —=. , значения константы | С\ |,| С21 определяются условиями

л/С2-«2

на бесконечности.

3. Соотношения дуальности и выражение для эффективной холловской

проводимости многофазных (четырехфазных) сред, полученное методом

Дыхне, обобщенным на случай квантового эффекта Холла:

(сг,<т3 -ст2сг4) ^ | (а,о-3 -сг2гт4) 2 ^^(сг, + сг3)-<т1а3(о-2 (<т{ + 0-3 - СГ2 - сг4 ) (сг,+сг3-<х2-сг4) сг, + сг3 - сг2 - сг4

где сг/ - проводимости /-фазы; -проводимость по перколяционному

кластеру, образованному 1 и 3 фазами; проводимость по

перколяционному кластеру, образованному 2 и 4 фазами.

Апробации работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XXXIII Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка» ,22 — 28 февраля 2010 г., Екатеринбург; на 17-й Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ - 17), 25 марта-1 апреля 2011г., Екатеринбург; на IV Международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование" (МПМО'11) 2011г., Улан-Удэ, а также на научных семинарах кафедры «ФТиМОФ» ЗабГГПУ им. Н.Г. Чернышевского, кафедры «ФиТС» ЗабГУ и кафедры космической физики БГУ.

Личный вклад автора

Автором проведен обзор и анализ литературы, выполнены все вычисления и проанализированы точность результатов и использованных приближений. Все результаты получены автором лично или совместно с соавтором при его непосредственном участии.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, 4 из которых изданы в журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций, и 3 — в сборниках трудов конференций, в том числе международных. Список публикаций автора приведен в заключении диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая 24 рисунка.

Структура и краткое содержание диссертации

Вторая глава посвящена исследованию особенностей протекания тока в средах с границами в условиях КЭХ.

В разделе 2.1 описаны особенности протекания тока в слоистых средах в режиме КЭХ и определены граничные условия для тока в условиях КЭХ.

В условиях квантового эффекта Холла электрический ток всегда перпендикулярен электрическому полю:

здесь " - единичный вектор, направленный перпендикулярно двумерной плоскости по магнитному полю, поэтому джоулево тепло при протекании тока в режиме КЭХ всегда равно нулю, т.е. холловские фазы являются бездиссипативными. Протекание тока в режиме квантового эффекта Холла также характеризуется еще одной дополнительной особенностью, а именно из обычных граничных условий непрерывности тангенциальных компонент электрического поля еи = e2t и нормальных компонент электрического тока

J\n = hn вытекают новые граничные условия для тока в условиях КЭХ:

соответствует решению с постоянным электрическим полем <е>1х=<е>1х=Ех/2. На первый взгляд полученное решение (3) для холловской проводимости не совсем соответствует новым граничным

(1)

Jm = Jin = 0

(2)

(3)

условиям (2). Согласно этим условиям холловский ток не может пересекать границы раздела фаз, и соответственно, холловская проводимость должна обращаться в ноль. На самом деле, холловские токи носят краевой характер, текут вдоль границ раздела фаз и пересекаются в бесконечности, благодаря чему и осуществляется электронный транспорт. Следовательно, протекание через бесконечность и определяет ненулевое значение холловской проводимости. При протекании тока вдоль слоев выражение эффективной холловской проводимости

. (2)

_ ' V " ХУ /д\

ух о- (l)+a (2) v

ху ху

^ 0

&ху =

ху

у< О

(5)

причем компоненты тензора холловской проводимости не равны друг ДРУГУ- К * <

В разделе 2.3 двумерная задача проводимости переформулирована в терминах теории функции комплексных переменных[5,6]; введены комплексные выражения для двумерных электрических токов и электрических полей:

3 Кг) = Л У у ^ е К2)-ех геу

дЛк)_ д]?

(7)

дх ду

а второе условие следует из уравнения rote = 0, равносильного для сред с кусочно-непрерывной проводимостью уравнению rotj = 0:

д 1(к) д }<к) = (8) ду дх

Аналогично уравнения шё = О ; с/г'у ё = 0, второе из которых следует из уравнения Шг 7 = 0, приводят к условиям Коши-Римана для компонент электрического поля. Закон Ома в магнитном поле также может быть представлен в комплексной форме:

Я*) = 7

(9)

В разделе 2.4 методами теории функции комплексного переменного исследована модель слоистых сред со смещением слоев в шахматном порядке и получены выражения для локального распределения токов и полей в фазах (10) в условиях квантового эффекта Холла:

МО =| Сх | екр^: ^Х(С) = СгХ(0 =1С2 | ехр ^ *-^ЛГ (О = С2Х~\0

(10)

Здесь функция Х(£) =

(С-Ж + 1)

1/2

имеет степенные особенности в углах

на стыках фаз. Модули коэффициентов определяются условиями на

бесконечности. Также вычислены компоненты эффективного тензора

холловской проводимости:

« /Ке(С,+С2) е 1\т(Сх+С2)

°ХУ " 1ш(р?С, + р%Сг) °ух ~ Яе(<С, + р™С2) (11}

где 1=<Х{0>=<Х~\0>.

В третьей главе рассмотрены случайно неоднородные многофазные

среды. Для изучения протекания холловского тока в многофазной среде

методы ТФКП не могут быть применены из-за невозможности построения

конформного отображения многосвязной области, поэтому для этой цели

были использованы линейные преобразования Дыхне [3, 4].

В разделе 3.1. продемонстрировано, как симметрия двумерной системы

относительно преобразований по