Исследование интегралов, представляющих юкавские константы связи в многообразиях Калаби-Яу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧЕШЕЛЬ АНД АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЕДСТАВ Л Я ЮЩИХ ЮКАВСКИЕ КОНСТАНТЫ СВЯЗИ В МНОГООБРАЗИЯХ КАЛАБИ-ЯУ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ <

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук >

/

Красноярск-1997

Работа выполнена в Красноярском государственном универсам

Научные руководители доктор физико-математических нау

профессор ЦИХ А.К. кандидат физико-математических на; доцент РАБОТИН В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических на}

профессор КАПЦОВ О.В. кандидат физико-математических на; доцент САФОНОВ К.В.

Ведущая организация Институт экспериментальной

и теоретической физики РАН, г. Москва

Зашита состоится nt)0' 1997 г. в ^^

часс

заседании диссертационного совета К 064.61.01 в Красноярском i дарственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свс нмй, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярс rocударстценного университета.

Автореферат разослан " 1997 г.

Ученый секр'чарь диссертационного совета

доцент, к. физ.-мат., наук L [II л . Лейнартас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблемы, рассматриваемые в диссертации, происходят из теории многомерных вычетов [1] и теории пересечений в алгебраической геометрии и относятся к исследованию интегралов специального вида, а именно представляющих юкавские константы связи в теории суперструн [4]. При этом многообразия, по которым происходит интегрирование, также весьма специфичны. Это трёхмерные комплексные кэлле-ровы многообразия с нулевым первым классом Чсцша и с ещё одним дополнительным условием - единственной ненулевой голоморфной формой объёма. Такие многообразия с учётом гипотезы Е.Калаби [9], подтверждённой С.-Т.Яу [18], стали называться многообразиями Калаби-Яу.

Как оказалось юкавские константы связи между полями материн в суперструнной теорий представляют собой интегралы по многообрази-

I

ям Калаби-Яу К вида (с.570, [2]):

<ш,с = /41Д)а41Д)А4м). (1)

к

где гармонические (1,1)- формы. Иными словами юкавская

константа сопоставляется набору трёх гармонических форм на К.

Также существует другой тип юкавских констант связи, сопоставляемый набору трёх (2,1)- форм на К. Для таких юкавских констант существует другое интегральное представление [10], [11]. Его можно получить, стартуя с голоморфной формы П на К максимальной степени,

рассмотрением периодов:

щ = / ад> (2)

и

где -ц базисные 3- циклы на К. При этом юкавские константы связи определяются формулой:

9 лвс — <тдАвС&], (3)

где а = штЕш, т - матрица монодромии многообразия, а £ - блочная матрица вида д).

В (3) участвует матрица монодромии многообразия. Для изучения этой матрицы очень важную информацию можно получить, зная аналитическое продолжение одного из периодов, называемого фундаментальным [12].

Изучение интегралов, представляющих юкавские константы связи, как интегралов от внешнего произведения трёх (1,1)-форм достаточно полно проведено в многообразии Калабп-Яу, реализованном в виде полного пересечения двух кубик и одной квадрики в произведении Р3 х Р3 Ж.Дистлером, Б.Грином, К.Кирклиным и Р.Мироном [13]. При этом вычисление интегралов было сведено по двойственности Лефшица к вычислению индексов пересечений циклов в одном Р3.

При распространении метода [13] для вычисления интегралов в многообразии Калаби-Яу, реализованном в виде полного пересечения пяти квадрик в произведении ¡Р4 х Р* возникает необходимость в редукции трехмерной задачи вычисления интегралов к двумерной. Такая

редукция для данной реализации многообразия Калаби-Яу существует и доказывается теоремой 1.1 настоящей диссертации на основании двойственности Пуанкаре. В связи с этим актуальным является исследование условий редукции, а также явное вычисление интегралов (1) через индексы пересечений специальных циклов. Рассмотрение специальных циклов обусловлено тем, что именно они соответствуют по своим трансформационным свойствам физическим полям материи п отражают требования к результатам вычислений данных интегралов.

Прп исследовании интегралов, представляющих юкавскне константы связи, через фундаментальный период (3), рассматривается многообразие Калаби-Яу с несколькими модулями, реализованное гиперповерхностью во взвешенном проективном пространстве

Одним из ключевых моментов в исследуемой проблеме является именно наличие нескольких модулей в многообразии Калаби-Яу. В работах Ф. Канделаса, Т. Хюбша, П. Берглунда, С. Моррисона а других [7],[10],[11] было получено выражение для фундаментального периода в случае с несколькими модулями. При этом для аналитического продолжения использовалось интегральное представление Меллина-Барнса, по многомерные интегралы сводились к одномерным с использованием специальных функций, рассчитываемых на компьютере. В представляемой диссертации построек метод явного интегрирования многомерных интегралов посредством вычетов Гротендпка в симплицнальпых полиэдрах п метода разделяющих циклов А.К. Циха [5]. Кроме того непосредственное построение аналитического продолжения фундаменталь-

ного периода в различные зоны пространстра модулей многообразий Калаби-Яу в является необходимым для вычисления интегралов, представляющих юкавскпе константы связи.

Цель диссертации

Целью настоящей диссертации является развитие метода вычисления интегралов, выражающих юкавские константы связи (1), и метода аналитического продолжения фундаментального периода (2), а именно:

— исследование условий редукции трехмерной задачи вычисления интегралов, представляющих юкавские константы связи, к двумерной для многообразий Калаби-Яу, реализованных в виде полного пересечения в произведении проективных пространств]?4 х Р4.

— получение точных значений интегралов, представляющих юкавские константы связи, для многообразий Калаби-Яу, реализованные к виде полного пересечения в произведении проективных пространен Р4 х

— нахождении интегрального представления типа Меллина-Барнс; для фундаментального периода многообразия Калаби-Яу с несколько ми модулями.

— установление теоремы об аналитическом продолжении фундг ментального периода в различные зоны пространства модулей мпогс образий Калаби-Яу, реализованных во взиешешплх проективных про« транствах

Методика исследования

При исследовании интегралов, представляющих юкавские констан-ы связи в многообразиях Калаби-Яу используются двойственность де 'ама [1] и двойственность Пуанкаре [14] в гомологпях и когомологиях. 1рм вычислении топологических инвариантов многообразия Калаби-1у используется техника (т-процессов [3].

При нахождепии интегрального представления типа Меллииа-5арнса для фундаментального периода на многообразия Калаби-Яу с [есколькими модулями используются вычеты Гротендпка, ряды Горна ; метод разделяющих циклов А.К. Циха [5].

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полны-гп доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Обобщение условий редукции трёхмерной задачи вычисления интег-алов, представляющих юкавские константы связи, к двумерной для ногообразий Калаби-Яу, реализованных в виде полного пересечения произведении пространств Р4 х Р4, позволяет получить точные зна-ения интегралов.

С помощью интегрального представления Меллнна-Барнса для 'укдаментального периода многообразия в Калаби-Яу с несколькими одулями, реализованного во взвешенном проективном пространстве

представляется возможным аналитически продолжить фуыламен-альный период в различные зоны пространства модулей многообразия

Калаби-Яу.

Представляет интерес применение полученных результатов в теории суперструн для вычислений юкавских констант связи между по лями материи. ,

Результаты могут быть использованы в физике высоких энергий.

V

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих междуна родных конференциях и семинарах:

- по Квантовой теории поля а гравитации - Киев, 1992;

- по Современным проблемам квантовой теории поля и гравитацш - Алушта, 1993;

- семинаре лаборатории Института теоретической физики Уп '•альского университета (Швеция) - Упсала. 1994;

- семинара лаборатории математической физики Института теоре тичсской экспериментальной физики, ИТЭФ (Москва) - Москва, 1995

Также полученные результаты неоднократно докладывались на го родском семинаре по многомерному комплексному анализу Краснояр ского Государственного Университета (1992 - 1996 гг.) и на семинар теоретического отдела Института Физики им. J1 .В.Киренского СО PAI (1990-1996ГГ.)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах [19]

¡•roi

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения п двух глав основного текста. Спи-литературы содержит 78 наименований. Работа изложена на 69 шицах.

Теперь перейдём непосредственно к краткому изложению основных г'Лътатов диссертации.

Вычислениям непосредственно интегралов, представляющих юкав-е константы связи на многообразии Калаби-Яу, посвящена глава 1, .¡енно §§1.3 —1.-5. Исследуется реализация многообразия Калабп-Яу аде полного пересечения пяти квадрик в произведении двух проек-ных пространств Р4 х Р4 с конфигурационной матрицей следующего

Для вычисления интегралов юкавскйх констант связи на многооб-иях Калаби-Яу, реализованных в виде полопого пересечения, мы ользуем метод, впервые предложенный Ж.Дистлером, Б.Грином, Сирклиным и Р.Мироном [13]. Применение данного метода делает можным доказать в §1.3 теорему 1.1, позволяющую проводить кон-тные вычисления интегралов (1) на основании двойственности Пу-:аре и знании базиса группы гомологнй многообразия. Теорема 1.1 Для многообразий Калаби-Яу Ко реа.\изованных в ви-полного пересечения в произведении двух проективных пространств

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

а (см. §1.1):

4 || 2 2 0 0 1 4 Н 0 0 2 2 1

Р4 х Р4 с конфигурационной матрицей вида :

/4 || 2 2 О О А \4 || О О 2 2

существует ыедующее представление для интегралов, определякн юхавские цонстанты связи :

9авс = jыxaлuxвлu,3c = (anb)■(cnhí,),

ко

где и»д и иув - гармонические (1,1 )-формы на Кг и Кя; А,Ви< цик.ш на Кг и Ку, двойственные по Пуанкаре классам когомом формид, и ¡¿с соответственно, а Ну- гиперплоское сечение на В §1.3 приводится также полный анализ шестнадцати прямы) Кх лежащих в пересечении двух квадрик, приводятся три класса которые они разбиваются, указывается что пять прямых Ei вмес гинерплоским сечением Я многообразия Кх образуют базис гру гомологиП #2(Л'х,2). Из данного рассмотрения вытекают следую соотношения для индексов пересечений прямых Eí, I* = 1, ...,5 и ги плоского сечения Я многообразия Кх:

(£"„£,) = -<5>7, (/Л, Ец) = <5,7 + 6а 1, (£«,//) (Я, Я) = 4.

В §1.4 в рассматриваются вопросы о том, что а теории компа фикацин суиерструи юкавские константы связи рассматривают для произвольных форм (циклов), а лишь для циклов специальной да, соотьетстьую)Щ!х физическим полям материи. Эти циклы дол

преобразоваться определённым образом под действием группы симмет-рий многообразия.

Используя явный вид симметрия н уравнения прямых, мы выделяем специальные, комбинации базисных циклов (соответствующие физическим полям материи) ииварпаптых под действием группы симметрия данного многообразия С? я = Жг(Л) х 2г(В) х 2г(5), и имеющих следующий вид:

Г''* = + ЬЩ'* - 2 £?=1

Н±-Нх±№, (8)

F? = Ft^±Ff, «=1,2,..., 5.

и на основе их трансформационных свойств мы устанавливаем соответствие с физическими полями материн [16] ,[17].

В §1.5 доказывается теорема 1.2, в которой приводится результат вычислений интеграла (1). В доказательстве используется матрица пересечений соответствующих соответствующих прямых в базисе группы

4

гомологий и применяется теорема 1.1.

Теорема 1.2 Производящая функция д.хя нормированных интегралов 9{}к, определяющих юкавские константы связи д.хя специальных циклов, имеет ыедующий вид

-3 [ЕЫ^П2] Я- + б [Е?=1 Я-,

О)

где (¿¡-унифицированные обозначения для циклов, Я±, /^,1"= 1,2, ...,5, о 9>}к- нормированные значения интегралов от формы ы' Л^ Ли1,

(и*-формы, двойственные по де Раму циклам <л), Нормировка производится таким образом, чтобы (#+)3 = 1.

В §1.5 приводится также топологический анализ полученных результатов показывающий, что некоторые юкавские константы, равны нулю, хотя дискретные симметрии их не запрещают. Также мы наблюдаем чисто так называемый непсртурбативный эффект (то есть не описываемый в рамках вычислений данных интегралов по теории возмущений), найденный впервые в пионерских работах (см.[2]) и отмеченный в [13]. Ряд интегралов юкавскнх констант равен нулю в первом приближении, но становится ненулевым при учёте так называемых ин-стантонных поправок - следующих членов в формуле для интеграла (1). Приводится также выражение для данных поправок.

Глава 2 посвящена вычислению интегралов, представляющих юкавские константы связи посредством вычисления фундаментального периода (2) на многообразии Калаби-Яу с несколькими модулями, реализованного гиперповерхностью во взвешенном проективном пространстве Вычисления основаны на исследовании периодов как интегралов от мероморфимх форм по остовам симллицнальных полиэдров с помощью метода А. К.Циха разделяющих циклов [5]. Идея этого метода состоит в том, что плоскость интегрирования является остовом - острием - множества симплтшалышх полиэд[юв и выбор согласованного с формой П'3 полиэдра дает свои собственные локальные вычеты для интеграла - в данном, коикротном случае - Меллина-Барнса (МБ). Применение метода разделяющих циклов для многообразий Калаби-Яу

геляет равенство нулю Д-характеристики для интегралов МБ, и наше специальных условий - баланса весов - на полярные дивизоры гма-функций, присутствующих в МБ-пнтегралах. Тем не менее уда-я выделить разделяющий цикл для рассматриваемых многообразий лаби-Яу - он лежит в плоскости относительно точки 7 в остове сим-1циальных полиэдров. Дальнейшие задачи связаны с вычислением :тем локальных вычетов относительно каждого полиэдра. Техника :их вычислений с помощью абстрактной многомерной леммы Жор-1а была предложена в [15] и предполагает выполнение условий со-«гованности полиэдра с полярными дивизорами формы н условий эрдана стремления к нулю интегралов от форм на бесконечности, тодика исследования интегралов в [15] была разработана для слу-1 А ф 0 и в этом случае интеграл МБ представляется единственной четной формулой. Теорема 2.1 настоящей диссертации говорит о том, ) при нулевой Д-характеристике интёграл МБ выражается несколь-вычетньши формулами, которые представляют собой аналити-:кое продолжение в впде рядов Горна фундаментального периода огобразия Калаби-Яу в разные зоны значений модулей деформаций иплексной структуры многообразия.

Фундаментальный период определяется следующим вычетом [7]:

! контур 7 представляет собой декартово произведение N + 1 окруж-:тсй, а Рц,{х) - многочлен, зависящий от параметров <р, индекси-ющих комплексные структуры (модули) семейства многообразий

Калаби-Яу — {Р#(х) = 0}. Исследование периода (13), про

денное в главе 2, можно отразить в виде следующей 3-шаговой схек

{период} —» {Ряд Горна} {интеграл МБ} —> {новый ряд Горна

где МБ - интегралы Меллппа-Барнса от нескольких комплексных ременных, вычисляемые с помощью вычетов Гротеидика [1],[6] и тода А.К.Циха [5] разделяющих циклов. Первый шаг указанной схе был реализован в работах Ф.Канделаса и соавторов [7],[10],[11]. А им но они показали, что фундаментальный период представляется ряд Лорана гипергеоыетрического типа с суммированием по некоторой п решётке. Как правило такие ряды сводятся к степенным рядам Гор которые характерзуются тем, что их коэффициенты представляют бой отношение произведений гамма-функций с линейными аргумек ми по переменным суммирования. Более точно, для рассматриваем здесь гиперповерхностей Калаби-Яу во взвешенных проективных с странствах такие ряды" имеют вид:

где п размерность пространства модулей (т.е. число коэффициен векторы а,а1 € К" определяются по показателям а',/? переменные мономиально зависят от <ро,<Р}- При этом выполняв соотношение (баланс весов)

4=1

При реализации второго и третьего шагов доказывается следующая теорема 2.2. (§2.3).

Теорема 2.2 Если в ряде (11) вектор а имеет положительные компоненты, то этот ряд допускает представление в виде интеграла Меллина- Барнса

1 { Щ=1 — г7)Г(1— < а, г >)

(13)

где у- любая точка из многоганника

{г 6 Е" : 0 < < 1, ; = 1,п, < а, п >< 1},

* Н)~* =Н1Г"-Нп)-*-.

В §2.4 доказывается основное утверждение главы 2 об аналитическом продолжении периодов многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями. Результаты §2.3 позволяют осуществить третий заключительный шаг схемы - интеграл Меллпна-Барпса вычислить различными способами и, тем самым, построить аналитическое продолжение фундаментального периода.

Предположим, что в ряде (11) вектор а имеет положительные компоненты aj, а в знаменателе коэффициентов ряда имеется набор всех множителей вида Г(т, +1) = пг^-?, ] = 1,п. Пусть это будут множители Г(1+ < ак, т >)» к■ = 5 + 1, ...,д, где я = д — п. Нетрудно увидеть, что в таком случае интегральное представление (13) для такого ряда примет вид ; ; • •

(^'Г Л+'В" 11*=1 и1-< а >2 >) *

причем выполнено условие баланса весов:

г

а-£а1 = (1,...,1). (15)

к= 1

Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 2.3 Для каждого ] от 1 до п интеграл (Ц) представляется рядом

д.- ¿-~> т,п< р.о,—,П»>Ч '

где аj, а*-компоненты векторов а и а*, вектор А7 равен (а^,1,..., ап) с единицей на 2 -ом месте, - это векторы

(аза1 ~ ага}• -> , ••> <4<г* - а„а*),

| т 7пх + .,, + Шя, и т! = т!,т„ !. Каждый из рядов аналитически продолжает фундаментальный период в?о(<) в свою область сходимости.

В §2.5 приводится выражение найденных периодов через обобщенные ряды Горна в унифицированных обозначениях, которые представляются более удобными.

Во введении обсуждается актуальность проблелш, исследуемой в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— доказана теорема о редукции трёхмерной задачи вычисления 1тегралов, представляющих юкавские константы связи, к двумерной 1Я многообразий Калаби-Яу, реализованных в виде полного пересече-ля в.произведении проективных пространств Р4 х Р4.

— получены точные значения интегралов, представляющих юкав-сие константы связи, для многообразий Калаби-Яу, реализованных виде полного пересечения в произведении проективных пространств * х Р4.

— найдено интегральное представление фундаментального периода ногообразия Калаби-Яу с несколькими модулями в виде интеграла еллина-Барпса.

— доказана теорема об аналитическом продолжении фундаментного периода в различные зоны пространства модулей многообра-[й Калаби-Яу, реализованных во взвешенных проективных простран-

Литература

[1] Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и t четы в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Hayi 1979. '

[2] Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн, т. 2. М.: Mi 1990.

[3] Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометр М.: Мир, 1982.

[4] Морозов А.Ю. Теория суперструн - что это такое? // УФН. 19! t.Í62(8). с. 83 - 175.

[5] Цшс А.К. Методы теории многомерных вычетов /Докторская Д1 сертация/ Новосибирск. ИМ СОРАН. 1990.

[6] Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения Новосибирс Наука, Сиб. отд-ние. 1988. с.240.

[7] Berglund Р., Candelas Р., de la Ossa X., Font A., Hübsch Т., Jan. D., Quevedo F. Periods for Calabi-Yau and Landay-Ginzhurg vacua NucI.Phys. V. B419. 1994. p. 352.

[8] Berglund P., Derrick E., Hübsch Т., Jancic D. On Periods for Sin Compactifications // preprint HUPAPP-93/6, IASSNS-HEP-93/í UTTG-27-93.

| Calabi E. On Kahler manifolds with vanishing canonical class // Algebraic geometry and topology, A symposium in honor of S. Lefschetz. Princeton Univ. Press. 1955. p. 78-89.

] Candelas P., de la Ossa X., Font A:, Katz S. and Morrison S.R. Mirror Symmetry for Two Pammeter Model -I // Nucl.Phys. v. B416. 1994. p. 481.

] Candelas P., Font A., Katz S. and Morrison S.R. Mirror Symmetry for Two Parameter Model ~2 // preprint hep-th /9403187.

!] Candelas P., de !a Ossa X., Greene P. and Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory. // Nuci. Phys. v. B359. 1991.p. 21.

J] Distler J., Greene B., Kirklin K., Miron P. Evaluation ofTf3 Yukawa Couplings in a Three Generation Stiperstring Model // Phys. Lett. 1937. v. B195. p.41.

1] Hubsch T. Calabi-Yau manifolds - a bestiary for physicists. Singapore: Wo eld Scientific. 1992.

5] Passare M., Tsikh A., Zhdanov O. A multidimensional Jordan lemma with an application to Mellin-Barnes integrals // Aspects of Math. 1994. v. E26. p. 233-241.

6] Rtisjau E., Scnjanovic G. Calabi-Yau manifold of four generations super-string model // Phys. Lett. 1988. v. B215. p.669.

[17] Rusjan E., Senjanovic G., Sokorac A. Calabi-Yau manifold of j generations // Phys. Rev. 1989. v. D40(4). p.1166.

[18] Yau S.T. On Calabi's conjecture and some new results in algeb, geometry j j Proc.'Nat. Acad. Sci. USA. 1977. v.74. p.1798-1799.

Работы автора по теме диссертации

[19] Пассаре М., Цих А. К., Чешель А. А.. Кратные интегр< Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с нескс ними модулями И Теор.Мат.Физика, 109(3), 1996. С. 381-394.

[20] Дискоеский В.А., Работин В.В., Чешель А.А. Инстантонные е> ды в юкавские константы связи в супсрструнной модели с тырьмя поколениями //Ядерная физика, 56(12), 1963, С. 254-1

[21] Дпсковский В.А., Работин В.В., Чешель А.А. Зеркальные па нёры многообразий Калаби-Яу /j Сб. "Многомерный комплекс] анализ". Красноярск: КрасГУ. 1994. С. 185-197.

[22] Чешель А. А. Решения системы Тоды на многообразиях Ka.it Яу с несколькими моду.гями // Сб. "Труды международной кои

. ренции по некоторым современным проблемам математики". марканд, 1996.