Функциональный интеграл в режиме сильной связи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-92-447

ГАНБОЛД Гуржавын

УДК 530.145

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ В РЕЖИМЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1992

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Г.В. Ефимов

Л.В. Прохоров В.К. Федянин

Ведущая организация:

Институт теоретической физики Академии наук Украины

Защита диссертации состоится декабря 1992 г. в часов на заседании специализированного совета К047.01.01 при Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований по адресу: Московская обл. г.Дубна.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан ноября 1992 г. Ученый секретарь

специализированного совета К047.01.01 кандидат физико-математических наук

(ЮЗ. Дорохов)

Общая характеристика работы Актуальность темы

В современной теоретической физике обширный круг актуальных задач может быть сформулирован на языке функциональных штегралов. В качестве примеров таких проблем можно привести следующие:

исследование распространения волн в стохастических средах; исследование диссипативных процессов в квантовохг механике; фазовые переходы ;

нестабильность в динамических системах различной природы ( на-фпмер, неустойчивость вакуума в моделях КТП ) и т.д.

Характерным для всех этих задач является то, что их решены могут быть представлены в форме функциональных интегралов ФИ) с некоторой заданной гауссовой мерой.

Для вычисления подобных интегралов предлагались различные теоретические схемы, но математически хорошо обоснованными яв-[яются только пертурбативные разложения, пригодные лишь при .халой константе связи. Однако многие проблемы в КТП, например 1сследование спонтанного нарушения симметрии и фазовой структуры вакуума, требуют рассмотрения ситуации, когда интенсивность }заимодействия возрастает, достигая больших значений.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы вычислить соот-;твующие ФИ вне области пертурбативного разложения.

Традиционно такого рода задачи исследуются вариационными методами, популярность которых связана с их наглядностью и относительной простотой вычислений. Однако вариационный подход не Ц1ст единого рецепта выбора пробных волновых функций и не по-шоляет контролировать точность аппроксимации. Кроме того, имеется класс задач (неэрмитовы комплексные функционалы, полевые

модели с расходныестями в высших порядках теории возмущениг где вариационные методы неприменимы.

Прямое использование численного моделирования для этих о дач сопряжено с известными трудностями перехода к непрерывное пределу и ограниченной возможностью компьютерных ресурсов.

В связи с этим представляется актуальной разработка регуля] ного метода вычисления функциональных интегралов в области сил ной связи, когда традиционный аппарат теории возмущений стан вится неэффективным.

Актуальность исследования связана также и с возможностью ир менения разработанного метода к задачам современной квантовс физики: в квантовой механике, статистической физике и квантовс теории поля.

Цель исследования

Основной целью диссертации является построение регулярно] метода вычисления функциональных интегралов в области сильнс связи, определенных на заданной гауссовой мере

ад = / б<рехр + дЩч>]} ■ (

Такие интегралы встречаются во многих разделах современной г еретической физики:

- исследование рассеяния и поглощения волн в средах со случайные примесями;

- изучение характера фазовых переходов в моделях квантовой ф зики;

- оценки характеристических функционалов квантовых систем в о пасти, где велики критические параметры;

- анализ появления нестабильности в моделях КТП.

В диссертации также ставилась задача применения разработа ного метода к конкретным проблемам современной квантовой ф зики (статистическая физика и теория поля).

Научная новизна

1. Разработан новый, регулярный метод гауссово -эквивалентного )едставлсния для широкого класса функциональных интегралов вне >ласти пертурбативного разложения. От вариационных подходов, про ко используемых; в области сильной связи, предложенный метод ¿годно отличается следующими свойствами:

• регулярностью - метод дает единое предписание для вычисления различных функциональных интегралов (1);

• для эрмитовых функцноналов IV [ф\ нулевое приближение в предлагаемом подходе воспроизводит вариационную оценку;

• возможностью оценить высшие поправкп (как правило, незначительные) к полученному нулевому приближению;

• применимостью п в случае неэрмитовых, комплексных функционалов, встречающихся в случайных и стохастических процессах и в моделях с грассмановыми степенями свободы.

2. Метод применен для актуальных задач в различных областях горетической физики:

• вычисление с высокой точностью энергии основного состояния нерелятпвистского электрона, движущегося в ионной решетке, при произвольном значении константы связи (теория полярона в физике твердого тела);

• изучение характера фазового перехода в теории с самодействием (скалярная модель д<р% 3 в двумерном п трехмерном пространстве);

• исследование устойчивости вакуума для бозон-фермнонного взаимодействия (теория Юкавы).

Практическая и научная ценность работы

Предложенный в диссертации метод и результаты, полученш на его основе, могут быть использованы в следующих задачах:

- теоретические исследования физических свойств полярона в м гнитном поле, что имеет важное значение для анализа циклотро ных резонансных экспериментов;

- теория биполярона и модель двумерного полярона;

- исследование распространения и поглощения волн в стохастическ] средах;

- изучение прохождения волн через хаотически распределенные рг сеиватели;

- исследование возникновения хаоса в динамических моделях;

- обобщение предложенного метода на калибровочные теории (к пример, на глюодинамику).

Метод легко алгоритмизуется, что позволяет применять его к а дачам, требующим большого объема численных расчетов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на 9-ой Между народы конференции по проблемам КТП (Дубна, апрель 1989 г.), Междув родной конференции "Точные результаты в квантовой динамик (Либлице, ЧСФР, июнь 1990 г.), Международной школе "Структу вакуума в сильных полях" (Каржез, Франция, август 1990 г.), Ме: дународном совещании по проблемам в квантовой теории (Мадрг Испания, июнь 1991 г.), Международной конференции по фу ни ональным интегралам (Тютзинг, Германия, май 1992 г.), а таю на семинаре в Дублинском институте перспективных исследован] (Дублин, Ирландия, март 1990 г.), в Гейдельбергском университе (Гейдельберг, Германия, апрель 1991 г.), в Международном цент теоретической физики (Триест, Италия, март 1992 г.) и на тематгр ских семинарах Лаборатории теоретической физики Объединение института ядерных исследований (Дубна).

Всего по теме диссертации опубликовало 11 работ, список ко!

эых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация: состоит из введения, четырех глав и заключения. Описок цитируемой литературы составляет 122 наименования. 06-цнй объем диссертации - 110 страниц текста, 9 рисунков и 2 таблицы.

Краткое содержание диссертации

1 Введение

Во введении (Главе 1) дается краткий обзор развития метода функционального интегрирования, современных достижений в этой области и основных проблем, возникающих при применении данного подхода к задачам квантовой физики. Здесь же сформулированы основные цели исследования и кратко изложена структура диссертации.

2 Метод гауссово-эквивалентного представления функциональных интегралов

Во второй главе изложены основные принципы построения и соответствующее математическое описание "альтернативного" (гауссово -эквивалентного) представления широкого класса ФИ типа

ад = ЛГ0/^ехр{-1(<^-М + (2)

вне области пертурбативного разложения д > 1. В основе данногс метода лежит идея о том, что существуют такие преобразовани: исходных полевых переменных и свободной функции Грина:

Л^ : <р(х) —> <р(х) + Ь(х), Ао:В-\х,у) —» В~\х,у),

(3

с помощью которых первоначальные ФИ преобразуются к другом] представлению с сохранением гауссового характера свободной ча сти, но с другой функцией Грина и с новым функционалом взаимо действия.

Показано, что требования отсутствия линейных и квадратичны: полевых конфигураций в новом функционале взаимодействия и егс нормально-упорядоченной формы по отношению к новой функцш Грина приводят к уравнениям

определяющим новую меру ФИ в "альтернативном" представленш и параметр преобразования полевой переменной. В (4) введен фун кционал взаимодействия

являющийся по сути нормально-упорядиченной формой исходногс функционала взаимодействия И7 [<,?]:

где является некоторой мерой.

Найдено, что в новом представлении, в силу преобразований (3) главный вклад в ФИ в режиме сильной связи факторизуется в вид< отдельного множителя:

1¥0 = ^ЫбеЬ ^ _ 1 (6Я-1&) _ 1 ([¿V _ 0-1]0)+дЩЬ]. (7

М\Г\Ъ\ = ехр|г(аЬ) - ^(а£>а)| ,

(О

Доказано, что в случае вещественных функционалов 1¥0 воспро-13В0ДИТ вариационную оценку исходного ФИ. Поправки к ведущему 5кладу записываются в виде нового ФИ

гг(д) = ехр{ IV,} ] Лето ехр { д Щ[<р\ } (8)

; функционалом взаимодействия

\Щ<р} = £|Л/гае,'(а6Н(«0а) : е'><о) _ 1 + ^ (а^)2 :, (9)

который может быть вычислен пертурбативным методом, благодаря жалости эффективной константы связи в новом представлении.

Метод дает единое предписание для вычисления главного вклада з ФИ независимо от конкретного вида интеграла, а также позво-тяет оценить следующие поправки к полученному результату. В от-шчие от вариационных подходов, предложенный метод пригоден и в случае неэрмитовых функционалов, что особенно важно для многих приложении в квантовой физике.

3 Энергия основного состояния полярона

В третьей главе, в рамках предложенного метода в едином подходе исследуется проблема энергии основного состояния оптического полярона в областях слабой, промежуточной и сильной констант электрон-фононного взаимодействия а. Дается обзор различных методов, применяемых для решения этой задачи, и полученных результатов.

Показано, что найденная в диссертации собственная энергия полярона уже в нулевом приближении превосходит по точности известную вариационную оценку Фепнмана в слабом пределе а -> 0 и при промежуточных значеннях п < оо. Для асимптотически большой константы о -* оо воспроизводится фойнманская верхняя граница

Вычисленные значения следующих поправок заметно улучшаю' вариационную оценку во всем интервале изменения константы а.

Построены правила диаграммной техники для расчета высшп: поправок к энергии полярона при а->оо. Найденная в этом предел оценка сверху для энергии основного состояния полярона =

-0.108430а:2 + 0(1) отличается от точной оценки, полученной чи сленно С. Мияке (1975) и подтвержденной позже Дж. Адамовски Б. Герлах и X. Лешке (1989), только на 0.07%. Это несомнеши свидетельствует об эффективности предложенного подхода.

-Полученные результаты для собственной энергии полярона явля ются одними из лучших среди имеющихся в специальной литературе

Обсуждается возможность применения предложенного метода ] теории двумерного полярона и биполярона.

4 Характер фазового перехода в скалярной теории д(рА при й = 2,3

В четвертой главе, на основе предложенного метода исследуется характер фазового перехода (ФП) в квантовой теории скалярного са модействия в дву- и трехмерном пространствах б? = 2;3. Дается краткий обзор современного состояния теоретических исследование в этой области.

Получены нулевое приближение для эффективного потенциал« (ЭП) (в виде "кактусного" потенциала) и эффективная масса скаляр ной частицы, заключающая в себе вклады высших поправок. Найде! конкретный вид уравнений, определяющих функцию Г^эина скаляр ной частицы и параметр полевого преобразования.

Показано, что в двухмерном случае существует пара решенш этих уравнений ("тривиальное" и "нетривиальное"). Определень области существования этих решений. Доказана эквивалентност] "тривиального" решения для "кактусного" потенциала широко из вестному гауссовому эффективному потенциалу (ГЭП).

Отмечено существование "нетривиального" решения для ГЭП, поведение которого указывает на отсутствие ФП первого рода в теории д<р2-

Проведен анализ этого вопроса с учетом вкладов высших поправок от негауссовой части ЭП, который убедительно указывает на существование ФП второго рода в теории д<р\ и на его отсутствие в случае й = 3. Найдено значение безразмерной критической константы (д/2лт2)сгц = 0.533, при достижении которой наступает ФП зторого рода. Полученный результат согласуется с известными теоремами Б. Саймона, Р. Гриффитса и Дж. Розена (1979).

5 Нестабильность вакуума в

суперперенормируемой теории Юкавского типа

В пятой главе диссертации анализируется дестабилизирующая золь фермионов в проблеме устойчивости вакуума в квантово-поле-зых теориях. В рамках развитого метода рассмотрен пример супер-теренормируемой модели юкавского типа в пространстве с размер-юстью (1 — 4:. Дан краткий обзор других подходов, используемых 1;ля изучения этой проблемы.

Исследуется поведение ЭП при различных значениях двух кон-:тант в юкавской теории: константы бозонного самодействия /г и сонстанты фермион-бозонного взаимодействия д. Для регуляризации расходимостей в бозонном секторе использован пропагатор, бы-:тро убывающий в импульсном пространстве в евклидовой области.

Получено выражение для потенциала "кактусного типа", отве-гающего чисто б озонному само действию. Вычисленные поправки : основному вкладу в ЭП указывают на появление фазового пе->ехода второго рода в рассматриваемой системе при достижении :онстанты фермион-бозонного взаимодействия некоторого крити-1еского значения д = дсгц.

Показано, что присутствие фермионов дестабилизирует исходно

устойчивую систему при критических отношениях двух констант связи в теории. Отмечается, что в данном вопросе главную роль играет перенормировочная процедура устранения расходимостей г фермионных петлях.

С цепью сравнения развита вариационная оценка ЭП в данной теории. Показано, что при этом возникает проблема неэрмитовостг действия системы, для преодоления которой предлагается модифицировать фермионный иропагатор. Анализ результатов указывает ш широкую возможность применения метода, предложенного в ГЪав( 2.

6 Заключение

В заключении диссертации сформулированы основные резуль таты, выносимые на защиту:

1. Предложен регулярный метод вычисления в режиме сильно] связи для широкого класса функциональных интегралов, опре деленных на гауссовой мере.

2. Показано, что в области сильной связи существуют такие пре образования исходных полевых переменных и свободной фун кции Грина, посредством которых первоначальные ФИ преоб разуются к новому представлению с сохранением гауссова ха рактера свободной части, но с другой функцией Грина и с не вым функционалом взаимодействия. В предположении об от сутствии линейных и квадратичных полевых конфигураций новом функционале взаимодействия и об его нормально-упор5 доченной форме по отношению к новой функции Грина, полз чена система нелинейных функциональных уравнений, фика рующая новую меру ФИ и параметр преобразования полево переменной.

3. Найдено, что в гауссово-эквивалентном представлении главны вклад в ФИ в режиме сильной связи факторизуется в виде 01 дельного множителя, который включает в себя в замкнуто

форме бесконечную сумму петлевых диаграмм "кактусного" типа. Показано, что в случае вещественных функционалов этот множитель воспроизводит вариационную оценку исходного ФИ. Разработанный метод позволяет получить также следующие поправки к основному вкладу, описываемому фейнмановскими диаграммами "кактусного" типа.

4. Показано, что предложенный метод применим и в случае неэрмитовых функционалов.

5. Полученная в рамках предложенного метода собственная энергия полярона уже в нулевом приближении превосходит по точности известную вариационную оценку Фейнмана в областях слабой, промежуточной и сильной констант связи электрон-фононного взаимодействия а.

6. Показано, что частное двухпараметрнческое решение для энергии полярона, полученное в нулевом приближении предлагаемого метода, в точности воспроизводит известную вариационную оценку Фейнмана, являющуюся одной из лучших в данной проблеме.

7. Исследовано асимптотическое поведенпе энергии полярона для предельных значений константы электрон-фононного взаимодействия. Построена техника графического представления для высших поправок к энергии полярона при о; -+ оо. С хорошей точностью найдена оценка сверху для собственной энергии полярона Е3(а оо) = -0.108430а2 +0(1).

8. В квантовой теории скалярного самодействия д<р^ в дву- и трехмерном пространствах (I = 2; 3 найден конкретный вид уравнений, определяющих функцию Грина скалярной частицы ¿1 параметр полевого преобразования. Показано, что в двухмерной теории существует альтернатива между "тривиальным'' и "нетривиальным" решениями этих уравнений. Определены области существования таких решений.

9. Показана эквивалентность "тривиального" решения для "как-тусного" потенциала, полученного в нулевом приближении нашего метода, шпроте известному гауссовому эффективному потенциалу (ГЭП). Отмечено существование "нетривиального" решения для ГЭП, поведение которого указывает на отсутствие ФП первого рода в теории

10. Проведен анализ этой проблемы с учетом вкладов для негауссовой части ЭП, который указывает на существование ФП второго рода в теории ду\ и на его отсутствие в модели й = 3. Найдено значение безразмерной критической константы (д/2ятп2)сгц = 0.533, при достижении которой в теории дц>\ наступает ФП второго рода.

11. В суперперенормируемой модели юкавского типа в пространстве с размерностью й = 4 описан способ регуляризации расхо-димостей в бозонном секторе, использующий пропагатор, быстро убывающий в импульсном пространстве в евклидовой области.

12. Получено выражение для потенциала "кактусного" типа, отвечающего чисто бозонному самодействию в юкавской теории. Вычисленные поправки следующих порядков к основному вкладу ЭП указывают на появление фазового перехода второго рода в рассматриваемой системе при критических отношениях двух констант связи в теории. Указано, что в данном вопросе главную роль играет перенормировочная процедура устранения расходимостей в фермионных петлях.

13. Отмечено, что при применении вариационного метода к юкавской задаче возникает проблема неэрмитовости действия системы, для преодоления которой необходимо модификация фер-мионного пропагатора. Найдена соответствующая вариационная оценка ЭП. Сравнение результатов двух способов оценки ФИ показывает на регулярность и более точный характер предложенного метода по сравнению с вариационным подходом.

Здесь же рассматриваются перспективы дальнейшего использования результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Efimov G.V., Ganbold G., - Functional Integrals in the Strong Coupling Regime and the Ground State Energy of Polaron., phys. stat. sol(b), 1990, 168 pp 165-178.

2. Efimov G.V., Ganbold G. - Vacuum Stability in the Superrenor-malized Yukawa-type Theory., Int. Jour. Mod. Phys., 1990, A5 pp 531-541.

3. Efimov G.V., Ganbold G. - Phase Transition in дф\ Theory., Mod. Phys. Lett., 1992, AT pp 2189-2197.

4. Efimov G.V., Ganbold G. - Path Integrals in Strong Coupling Limit., NATO ASI series, 1991, B255 pp 133-139.

5. Efimov G.V., Ganbold G. - Functional Integrals and Ground State Energy of Polaron., Dublin Institute for Advanced Studies preprint DIAS-STP-90-22, 1990, Dublin.

6. Efimov G.V., Ganbold G. - Intermediate Coupling Polaron Ground State Energy., International Centre for Theoretical Physics preprint ICTP/92/38, 1992, Trieste; phys. stat. sol(b) (to be published).

7. Efimov G.V., Ganbold G. - Effective Potential in дф\ Theory., preprint JINR E2-92-191, 1992, Dubna; Phys. Lett., В (to be published).

8. Efimov G.V., Ganbold G. - On the Nature of Phase Transition in Two-dimensional ф4 Theory., JINR Communications E2-89-729, 1989, Dubna.

9. Efimov G.V., Ganbold G. - Polaron Ground State Energy in the Strong Coupling Limit., JINR Communications E17-91-116, 1991, Dubna.

10. Efimov G.V., Ganbold G. - Character of Phase Transition in Two-and Three-dimensionalTheorycp4., JINR Communications E2-91-43 1991, Dubna.

11. Efimov G.V., Ganbold G. - Polaron Self Energy., Proceedings of the International Workshop "Polaron: Theory and Applications", (Pushchino, 25-31 May, 1992) pp

Рукопись поступила в издательский отдел 5 ноября 1992 года.