Исследование кинетики неравновесного газа и плазмы на основе аппроксимаций интеграла столкновений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

9 ц ФЭД

На правах рукописи

КОНДРАТЕНКО АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ НЕРАВНОВЕСНОГО ГАЗА И ПЛАЗМЫ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИЙ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Институте Высокопроизводительных Вычислений и Баз Данных при Санкт-Петербургском Государственном Техническом

Университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Дубровский Герман Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Либенсои Михаил Наумович

кандидат физико-математических наук

Шмидт Александр Александрович

Ведущая организация:

Институт Механики МГУ

Зашита состоится -Л". 1997 г. час на заседании диссерта-

ционного совета 0063.38.15 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук и Санкт-Петербургском техническом университете по адресу: 195251, г .Санкт-Петербург, Политехническая д. 29.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке С'11ГГУ.

Автореферат разослан "_"__г.

Ученый секретарь диссертационного Совет • кандидат физ.-мат. наук

/•Зайцев Д.К./

л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальноеть проблемы. Решение целого ряда современных задач релаксационной газодинамики и физики плазмы (гиперзвуковые течения, изучение структуры и устойчивости ударных волн, оптимизация газодинамических лазеров, процессы переноса в лазерных мишенях и др.) связаны с получением адекваитной и замкнутой системы уравнений переноса, либо с решением задачи на кинетическом уровне. Классический вывод уравнений газодинамики методом Чепмена-Энскога в применении к многоатомным газам позволяет учесть внутреннюю структуру молекул в поправках к коэффициентам переноса. Системы, • получаемые момеитным методом содержат большое число констант возбуждения (дезактивации), точность вычисления которых невелика. Очевидна необходимость создания таких моделей кинетических уравнений, которые с одной стороны, обладали бы максимальной правдоподобностью, с другой — позволяли бы в кинетическом илн гидродинамическом режимах находить с приемлемой точностью решение поставленной задачи.

Целью диссертации является получение упрошенных кинетических моделей, вычисление замыкающих их скобочных интегралов, вывод уравнений переноса на основе модельных аппроксимаций, получение аналитических решений упрощенных кинетических уравнений.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Практическая значение. Результаты работы могут быть непосредственно использованы для решения конкретных кинетических и газодинамических задач: в исследовании процессов в ударных волнах, течениях полиатомных газов, теории газодинамических лазеров, в изучении управляемых термоядерных реакций, процессах переноса п плазме.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 6 Всесоюзной конференции "Динамика разреженного газа'ЧНовосибирск, 1979), 5 Всесоюзном съезде ко теоретической и прикладной механике, (Алма-Ата, 1981), 6 Всесоюзной конференций "Нерезонансиое взаимодействие лазерного излучения с веществом" (Ленинград. 1984), 8 Международной школе "Взаимодействие мощного лазерного излучения с веществом" (Одесса, 1992).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено г, статкгх и материалах конференций [1-5].

Объем работа. Диссертация состоит из. введения, четырк гпп^, зякшоче- • ння, шести приложений; списка литературы,, включающего 130 наименований, содержит 17 рисунков. Общий обьем работы 125 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, определена ее цель и сформулированы основные ее результаты.

В главе 1 дан краткий обзор кинетических уравнений для многоатомных газов (§1.1), приведен общий метод моделирования интеграла столкни лений (§1.2) и его применение к уравнению Ванг-Чанга-Уленбека (§1.3). Обсуждаются методы вывода уравнений переноса как на основе точного столкновителыюго члена (§1.4), так с использованием его моделей (§1.5). Получены уравнения переноса в случае общей релаксации на основе модели седьмого порядка и указаны замыкающие их соотношения. В главе 2 вычисляются скобочные интегралы. Решается обратная задача кинетической теории — по экспериментальным данным для теплопроводности, вязкости и времени релаксации восстановлены значения скобочных интегралов, используемых при замыкании уравнений переноса. Данные представлены для азота и кислорода. В основе метода лежат апрокси-мационные формулы, обобщающие данные экспериментов по теплопроводности и вязкости (§2.1):

I I

Ч=вг,

где А ,В,з - затабулированные постоянные вплоть до температур диссоциации.

В § 2.2 вычислено значение р = кТ/г) по известной величине п- Результаты сравниваются с теоретическим расчетом, выполненным методом классических траекторий в работах №у1ап<1. Восстановленное значение Р для азота лежит в пределах ошибки, обусловленной точностью потенциала взаимодействия молекул. Для кислорода совпадение хуже. Отмены, что и получаемое значение сдвиговой вязкости для кислорода но данным расчетов теоретическим методом плохо согласуется с результатами экспериментов. Поэтому следует считать, что предлагаемая в данной работе величина р для кислорода более правдоподобна.

В § 2.3 рассмотрена скобка р , определяющая время релаксации:

3 М|-г

Для вращательных степеней свободы температурная зависимость определилась через время свободного пробен: 1. релаксационное число столкновений: г, = Хнг.7.н вычислялось по формуле Паркера. Время сво-

бодного пробега т определялось на основе модели взаимодействия Са-зерленда. Полученные значения также сравнивались с расчетом методом классических траекторий. Хорошее согласие имеется для азота, для кислорода теоретический расчет дает завышенные значения. В § 2.4 вычислялась скобка Д^ :

В +04В г +£? Л'/(4Г")

В = —-Cíií^-ili»-

04Д/-1

Непосредственных данных по Д^ нет. Поэтому сравнение проведено по слаг аемому этой величины. Имеет место:

и для сг„ имеются расчетные данпные (коэффициенты Д,,/? А i встречающиеся далее, различаются численными множителями).-Для азота получено достаточно хорошее совпадение, для кислорода имеется отличие.

Далее, полученные результаты' обобщаются с учетом колебательных степеней свободы. В этом случае с,„ = l + ¿th и для модели гармонического осциллятора:

СуЛ = —-Л-L, Г=ТгГГ (1-схр(7 )) .

7;=3386К для азота, и 2267К-для кислорода. Для времени колебательной релаксации используется эмпирическая зависимость:

" Г, = exp[l 16-10 У '7?!(Г"3 - 001-13 42]-105 / кт\— j

Все полученные? данные для азота н кислорода сведены в -n<um:r.y снегом 20К.. Точность получаемых величин порядка 5'о. Для численных значений приведены аппроксимирующие форчукн {•> единицах 1 о /sec):

дляА„ - 0231 Г"11

для О,: -Лп = 0193Т™"

Ли.« = V + /)//■' АгГ' + /1,7 + Л

Постоянные А, приведены в диссертации как для ЯТ, так н для VI" процессов в диапазоне температур от 300К до ЗОООК.

Полученные результаты могут использоваться как в численных расчетах на основании модельного уравнения, так и как база для проверки числен-и IX резулыатов расчетов скобочных интегралов по имеющимся вероятностям неупругих переходов.

В главе 3 рассматриваются эффекты врашательной релаксации в газодинамике двухатомных газов (§ 3.1). В § 3.2 получены уравнения переноса на основе модельного столкновителыюго члена, описанного в параграфе 1.3. Получающиеся уравнения - суть уравнения Навье-Стокса, дополненные уравнениями для заселенностей и внутренних температур:

<Э/, „/ Л,- ч,-"'.

п.

I V Р = О

^ + + ,,(•) = »;)*;-1)[л; -25ьи\

+■ У{,ш) - О

1.Т, _ 1

+ ^+ v(;„ ч р Уй \пкьи(11г - /;„)

+^"с,,"'»'.) ,лч',.,. : - - С) . где

г„ = /„/7'-1, 2 5/'- 15/;, • /,„. V, /(1 Н)Лг/(:*//). н° пЦ 'схр( /.',)

¿И

Замыкающие соотношения определяются через скобочные интегралы. Часто используемая модель Крука получается из уравнения для заселенностей при Л„=25Л„ . Для подгоночного параметра предлагается аппроксимация:

К

В § 3.3 рассмотрен случай вращательной релаксации при поступательном равновесии - простейший случай, когда число сумматорных инвариантов и газодинамических переменных не совпадают. При выводе уравнений переноса использовался обобщенный мегод, предложенный Колесничен-

ко. В нулевом приближении получена система уравнении г)йлера и уравнение для заселенное!ей. В этом частном случае неравновесные добавки, связанные с дивергенцией скорости, не появлякися. ')тот результат соответствует выводам, получаемым в пятимоментном приближении.

Глава 4 посвящена исследованию кинезнкн быстрых часгнц в неравновесной, полностью ионизированной плазме - задаче, представляющий интерес в проблеме лазерного термоядерного синтеза.

В § 4.1 приведены основные параметры плазмы, образующейся при воздействии мощного лазерного излучения на мишень. Показано, что описание эволюции быстрых элекфонов, характерных для таких процессов, должно проводиться на кинетическом уровне.

В § 4.2 проведен анализ кинетических уравнений для дальнодейстуюших потенциалов. Приводится вывод линеаризованного кинешческого уравнения для быстрых электронов из уравнения Ландау п определяется область его применимости. Предлагается дне модели полученного столкновитель-ного члена. Для второй модели найден спектр. На основе полученных моделей рассматривается стационарная задача терма/ппацин быстрых электронов в плоской и сферической геометрии для фоновой плазмы, с заданными профнлями'плотности и температуры.

В § 4.3 рассмотрено решение первой модели с использованием гиперболического профиля плотности фоновой плазмы: н{г) •-нДг,/г)' ,5=1. Решение ищется в виде разложения по полиномам Лежандра с удержанием нулевого п первого членов. Для нулевог о члена найдено решение:

/, г К'у'К,(»), у (у

А., у,\'-постоянные, К - функция Макдона.тьда. Показывается-, что а) для рассма фпнаемой плазмы допустимо двучленное приближение: член мал; б) аснмпюшка мой функции, /. » схр|(-у,)"|, согласуется с жепернментальнымн даниымн, которые дают т г [2.51; в) энергетические потери быстрых электронов при куло'повских столкновениях н фоновой плазме с точностью до членов, обратно пропорциональных квадрату .длины свободного пробега, равномерны по массе плазмы. Следует отмеппь, чю дефекюм эIого подхода являек-я отсутствие в теории такого парамефа. как глубина прогрева, которую приходится вводить исходя из феноменологических соображений.

В §4.4 тем же методом рассматриваем профиль плотности с показателем «> 1. Для пулевого члена найдено:

/, -(Ч)' К, (л,')>' К. (.»■), <-«"//.„

с, -постоянная. В отличие от предыдущего результата здесь получается значение радиуса предпрогрева плазмы: Н„ г, 7/ /.„ , в то время как радиус проникновения Л„ з I / /.„.

В § 4.5 исследовалась вторая модель кинетического уравнения. Сначала рассмотрен случаи однородной плазмы. Функция распределения представляется в виде ряда по собственным функциям модельного интеграла столкновений. Дальнейшее упрощение было связано с возможностью определения собственных функций для конвективного члена. Задача свелась к системе алгебраических уравнений. Рассмотрено двучленное приближение по полиномам, связанными с угловыми переменными. Функция распределения найдена в виде:

/ --- ¿ ехр< -г)£

А Ч & .

/, - функции Макдональда с - приведенная энергия.

В § 4.6 предыдущие результаты обобщены на случай неоднородной плотности, 5>1. Изначально использовалось конечномерная аппроксимация, позволившая получить решение в виде:

/ = «ХР( г, V ■ у 4 ^^-^'.УЛ'К.^У.ГЯН. п - 0 -

В § 4.7 рассмотрен случай плоской геомегрии с произвольными профилем плотности и температуры. Решение определено в двучленном приближении:

/-*схр< ¿) V с,„ « с.,/^'- ехр{;/1'.)/.„"/'.

II о

В § 4.8 определяются коэффициенты разложения: й../'../•". . В качестве граничного условия для функция распределения использовалось дельта-функция по энергии на фиксированной поверхности Я=1. Далее, по известной функции распределения были определены моменты: мощность потерь быстрых электронов на единицу массы плазмы и тепловой поток, связанный с кулоновским торможением этих часгиц. Показано, что дли больших длин свободно!о пробега /„ справедливо представление:

К

|Г0 - <у«У/

Кг • ».я--1

обобщающее полученное ранее приближение равномерного распределения энерговклада по массе плазмы. Величина теплового потока также может быть аппроксимирована моделью:

х<,1<„

- ■

аш\1 -< I

х-, I

Кокретные выражения приведены ;и1я профиля плотности &=2.

В § 4.9 с целью определения справедливости двучленного приближения найдено решение в трехчленном приближении. Показано, что результаты, получаемые в двучленном приближении, например модель равнораспределения энергии быстрых электронов но массе плазмы, справедливы при Ъ> 11. ' •

Основные результаты работы:

1. На основе кинетической модели интефала столкновений Ванг-Чанга-•Улен^ека получены уравнения переноса для случая вращательно возбужденных молекул.

2. По экспериментальным данным восстановлены численные значения скобочных интегралов, позволяющие замкнуть модель седьмого порядка кинетического уравнения Ванг-Чанга-Уленбека.

3. Получены уравнения переноса с учетом вращательных степеней свободы методом Чепмена-'Знскога, обобщенным Колесииченко.

4.Проведен анализ кинетических уравнений с дальнодействующим потенциалом и обоснованы две модели интефала столкновений Ландау для описания кинетических процессов в полностью ионизированной плазме.

5.Для этих моделей в втором п третьем приближении разложения по полиномам Лсжандра получены аналитические решения кинетического уравнения в плоской и сферической геометриях в случае неоднородной плазмы.

6.На основании полученных решений определены моменты - энерговклад в фоновую плазму и тепловой поток, связанные с кулоновским торможением быстрых электронов.

7.Выявлена область применимости полученных результатов и показана их согласованность с результатами, получаемыми в экспериментах.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Дубровский Г.В., Кондратенко Л. В. Модельные уравнения релаксационной газодинамики.// Аэродинамика разреженных ппоп. ЛГУ. 1980. вып. 10, стр.65-80.

2. Дубровский Г.В.,Кондратенко A.B. Кинетические модели врашательно-колебательной релаксации.// Груды 6 всесоюзной конференции "Дшшмика разреженного газа", Новосибирск, 1980, т.1, стр.61-67.

3. Богданов A.B., Вьюнснко Л.Ф., Дубровский Г.В., Кондратенко A.B. Модели столкновений и релаксации в динамике молекулярных газов. // 5 Всесоюзный сьезд но теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Алма-Ата. 1981. стр.64-65.

4. Дубровский Г.В., Кондракнко A.B. Модели взаимодействия и релаксации вращающихся и колеблющихся молекул //Жур.Тех.Физ,- 1981.Т. 51. N.2.- С.260-269.

5. Дубровский Г.В., Кондрак-нко A.B., Федотов В.А. Кинетическая модель структурной газовзпеси// Из.АН СССР. сер. Мех. жидкости и газа. 1983. NI.-C.53-62.

6. Андреев A.A., Кондратенко A.B. Кинетика замедления быстрых электронов в лазерной илазме.//Физика плазмы. 1989. Т. 15. N.9. с.1097-1100.

7. Кондратенко A.B. Ква зиизофопное решение уравнения Ландау к модель энерговыделения быефых электронов в лазерной плазме.// Физика плазмы. 1990. T.I7. N.8. с. 1033-1035.

8. Кондратенко A.B. К кинетике кулоновского торможения быстрых электронов в неоднородной плазме // Физика плазмы. 1995. Т.21. N.3, с. 271277.

9. Богданов A.B., Кондрак-нко A.B. Восстановление значений скобочных интегралов кинетики Miioroai >мных ппоп но экспериментальным данным.// Пр-т ИМ ИВ 1995. NI. 33 ар.