Метод Энскога в кинетической теории химически неравновесного ионизованного газа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ШСКОЬСЛШ ОРДЕНА Т1;УДОВОГи КРАСНОГО змпш WtiäMü-IEXlUVEQÜtH ПНШПТ

lia правах pyjrou;icj;

Грушина J:-i ;м1(ла Нчыловнч

ЫТОД ЭМЖ'ГА Б îiHIiii'Ы'МЖОИ Tii( I 'ЛЛ ХЛМЛ'МЛ! НьКчБЖМСНОГО ИиШЗОВАйНОГи ГАЗА

Сп'лглальносгь : 01.Щ.02.- Теоретическая Физика

Ab горе (ji ера ï

диссертации на соистце учёней степзни кандидата флзичо-магемэгических наук

МОСКВА - ISÜI ^ Р

и

I J

\у У /

■■ /

Работа выполнена на кафедре физики иоскоьского ордена -Труп« ^вого Красного Знамени института тонкой-химической' технологии'! чип ни Ц.В.^омоносова.

Научнай руководитель¡заслуженный 'деятель1 науки и "техники РСйСР, доктор ¡уизико-иатеыатичеоких наук* Алексеев Б.В.

инициальные оппоненти:доктор ио-шгы'.атичиских наук' Гуров К.П.

доктор ^изико-матеиатических' наук' Яламов и.И.

Веющая организация: Институт Высоких теьгператур АН СССР

За;цига состоится "_"__._li/Ji г\ е_

iiuuúB на заседании СпнциализироьанйОг'О"совета rí' 0o3.Üi>.Oíd Уоскоеского (»лзико-технического иксп.'тути' ПО адресу.-' 141700, Ыоскоьская обл., г.Долгоййуднйй;. йнститутскиО-п.

С диссертацией можнй ознакомиться в научной библиотеке" ül'>i'VU<

Автореферат разослан' "_"_19^1 х>.

Уче11Ый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук,-

доцент С.М.Коршунов

. ОИ.ЛЯ ХАРШЬРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Материалы X ¡Зсесоюзной конференции ( Москва, 19ь9 г.) и ПН Кеждунар<, ного симпозиума ( Аахен, 1990г.) по дингшике разрененных газов свидетельствуют о значительном интересе, проявляемом в настоящее время чсследователя-ми к изучению течений химически реагирующих газовых смесей.Этот интерес стимулируется прежде вссго важным прикладным значением физических систем, в которых протекают неравновесные физико-химические процессы. Достаточно отметить, что к данным системам относятся плазмохимические установки, а также совр менные энергетические устройства .в частности ЫД- генераторы. Позтому разработка методов теоретического расчета переносных свойств рабочих сред подобных систем является весьма актуальной.

Цель работы. Целью диссертационной работы является созд -ние расчетной схемы ' ^общенного метода Чепмена-Энскога и применение этой схемы для реальных нерапювесных плазменных систем.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) вычислены скобочные интегралы, связанные с неупругими столкновениями, рг> всех приближениях по полиномам Сонина ;

2) получены скобочные выражения, отвечающие парным упругим столкновениям заряженных частиц. Впервые для таких расчетов используется сходящийся интеграл столкновений ;

3) скобочные выражения приведены' к гиду, удобно^ для создания пакетов прикладных программ ;

4) проведено численное исследование скорости сходимости разложений по полинсм&ч Сонина ;

5) путем численных расчетов проведена оценка влияния нз-упругих столкновений, а также эффекта от уточнения интеграла парных упругих столкновений заряженных частиц на коэффициенты переноса и скорости реакций в частично ионизованной плазме „та-тия.

Научная и практическая ценность работы.

Результаты диссертации представляют интерес для теории процессов переноса в реагирующих газах и плазме. Предложенная в диссертации расчетная схема обобщенного метода Чепмена-Энскога открывает новые возможности исследования конкретных неравновесных систем, имеющих важное прикладное значение. Численные расчеты, проведенные в работе, дают интересную информацию о влиянии неупругих столкновений и выбора инте!рала парных упругих столкновений заряженных частиц ид кинетические коэффициенты и скорости реакций. Полученные результаты могут быть использованы в Институте еысоких температур АН СССР, в Институте механики МГУ, в Институте нефтехимического синтеза им. Топчиева, в Институте химической физики АН СССР, а также в других институтах и организациях, в сферу интересов которых входит исследование процессов переноса в реагирующих газах и плизме.

Апробации работы. Полученные г диссертации результаты докладывались на X Всесоюзной конференции ( Москва, 19Ь9 г.) и на ХУП Международном симпозиуме ( Аахен, СР1 , 1990 г.) по динамике разреженных газов.

публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных работах.

Обьем и структура диссертации, диссертациь состоит из введения, четырех глав и двух приложений. Она содержит 121 страницу машинописного текста, включал список литературы из 61 наименования .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываете« актуальность темы диссертации, устанавливается её связь с задачами прикладного характера. Здесь же дается краткий обзор литературы, связанной с содержанием работы, формулируются цели и задачи диссертации, а также-приводится аннотация полученных в главах 1-1У результатов.

Первая глава диссертации посвящена краткому изложению алгоритма решения уравнения Больцмана с неупругими столкновениями обобщенным методом Чепмена-Энскога. Рассмотрение ведётся для случая частично ( или полностью ) ионизованной газовой смеси, в которой помимо парных упругих соударений происходят бимолекулярные реакции и реакции, сопровождащиеся превращением двух частиц в три :

V'^V «a

Кинетические уравнения имеют вид

(20)

(

(3)

где ^ - функция распределения компонента смеси , a f *

сила, девствующая на единицу массы частицы сорта сЧ . Здесь

Л

I

Ише грили парных упругих столкновений

( J-, )

заряд-нейтрал ,

нейтрал-н ;йтрол, а также интегралы, связанные соответственно с неупругиил столкновениями ( (I), (2а) и (26) ) ( J^ >

(I и ^ ^3.? 2 " СеРУтси в больцмановской форые.

В качестве же интеграла столкновений зараженных часпц используется выражение

о J

iivif i,-э / э1-< s - — i (i- ** c/» >

Ы.

X

mc< * « J

1Дв

^•гы+х «аЦ1 ^ -.»)

а и< у^-гу«) ■ э^

диэлектрическая проницаемость плазмы. Сходящийся интеграл (4) был получен в работе [3] Путей нетривиального преобразования интеграла столкновений, построенного Алнмовским ( ЖЭ1Ф, 1971 г.) на основе БЫКИ - цепочки. Заметим, что параметр ь (4)

едукит для устранения расходимостей интегралов и последовательно сокращается во всех конечных результатах.

В £ I главы I приводится уравнение для функции 1-го приближения по числу Кнудсена, полученное обобщенным методом Чепме-на-Знскога, предлоненныы Б.Ь. Алексеевым в 196У г. предполагается, что функции распределения могут быть линеаризованы относительно локального ыаксвеллиина

Г\п (Лк-\ г<*>

ы\Ы6Т/ е .

,.> го

Функция 1-го приближения представляется I виде , где

¿(0

В 4 I выписываются также уравнения для независимых частей я

В § 2 главы I рассматривается процедура построения решений упомянутых уравнений. Эти решения ищутся в виде конечных линейных комбинаций полиномов Сонина £ п ), помноженных на подходящие тензорные функции ( ) безразмерной собст-

венной скорости

' ^ , (V) (1), х

г; . <*>

Здесь - ноивысиая кп степеней полиномов Сониня. Коэффици-

енты удовлетворяют системам линей(шх алгебраических

уравнений обычного для метода Чеш'енп-Энскогп вида ( кроне случи ):

(А,*) ? ^ (М) (!,,*)

а г .

<¡=0 М

(V?

(9)

!'РИ ^ы. " ^ Для коэффициентов £ получены следу-гсщие выражения : '

(10)

* З-гп* «* ^ 7

м >2 (о) - / ^ / \

* хС >

• й

,<? У*

£ = -I

г Ш

р у

2 «л (О А.

Ч-1 ' '

Здесь

(12)

(13)

элемент матрицы, обратной матрице 0- с элементами

(т,п)

Щ , п Г , 11 = ^ • - . <М>

Заметим, что матричные элементы- - представляют собой

суммы, аналогичные по структуре интегралу столкновений уравнения (3):

О ) + (0 д ) + /Й ^ (15)

Они содерзат скобочные выражения, связанные с вэаимодействц..ин некду частицами газа. Например, ,

(Р4) / г (Р) (4)1 г (Р> Л

(О ) $ , и ]

У5 с 6 г ¿V ^ * ы «е

с Г (1) (Р)ЛГ^ , с- Г I

и т.д. И выражениях (16) , (17) для краткости обозначено

(17)

(1Ы

Скобочные , соответствующие парный упругим столкно-

вениям типа нейтрал- нейтрал и нейтрал- заряд, вычисляются по обычный правилам. Столкновениям же заряд- заряд отвечают скобочные [Г, , введенные нами в работе [ З] и построенные на основании сходящегося интеграла столкновений (4). Ь матричные элементы (у ' входят также скобочные интегралы, связанные с парными неУпругими столкновениями (1). Они вычислены в нашей работе [¡1 в общем виде. И наконец, (Ц срзависят от введенных наии скобочных рыралениП пяти типов, соответствующих реакциями (2а) и (26) :

1 ' ) «р •> * "1 ыр ы. у (19)

Упрощение<этих скобочных проводится б главе Ш.

В § 3 главы I содержится сводка необходимых для пониыа-|Шя дальнейшего форы^л, посредством которых коэффициенты переноса и скорости реакций выражаются через вышеупомянутые скобочные .

Во второй главе рассматривается расчет скобочных выражений, отвечающих взаимодействию заряженных частиц, проводимый на основе интеграла столкновений (4). Последний ( если отвлечься от его топкой математической структуры ) является комбинацией трех расходящихся интегралов - Больцмана, Ленарда- Еалес-ку и Ландау -

т г Б Т ЛБ Xл

1=1+1 - I . (20)

СтилккоБительный член Ландау разбивается на две части таким образец, что одна из них компенсирует расходимость интзграла Боливии при больших прицельных параметрах" С , а другая -интеграла Ленарда- Бадеску при больших волновых числах К При втом в теорию входит вспомогательный параметр , кото-

рый и обеспечивает сходимость этот параметр, как уже отмечалось, последовательно сокращается во всех конечных результатах ). Таким образом, интеграл столкновений заряженных частиц представляется суммой двух столкноЕИтельных ( I ' — X л ) и двух еол-новых ( 2>г' - X л ) слагаемых. Аналогичное разбиение имеет место и для скобочных :

[г,6] - и ({'-гл) + 1ип

«Р.* А* ^

А -*ЛаО ^ -Цоо

Насчет последних производится путём предетавленш» полиномов Со-пина^через производящую функцию. Ь результате ^ ' , f * и ^ ' . 1 J оказываются коэффициентами разложений в дьой-пые степенные ряды по вспомогательный переменным "/" и 6 соответственно величин 7,С| , 7" 2 и Т^1 . 7'^, явные выражения для которых приведе»1Ы в данной главе. Отметим, что столк-

новителвнкч част.) екооочных ь итоге ьычиеллсгеи в конечном ьиде, волнован чисть включает лльзПмую гембинацию ин югралоп ,

связанных с учетиМ о Цента динамического зграннрования кулоновс-кого 1)заш.к/,.1,е£.с| ин частиц плазмы.

, Г, -ч* *

V 1 ( I ~ 3

•V Ж* Г»в 3 У«'

(22)

где

У»* И |У'Ь

)

К

(23)

ь о

г

V = 2' Р С,'7Уу>) > - ^Х е" ,

/ >п

•V»-

Эти инч егралы м^гут оит. найд^нь. численно с высокой стелены» точности.

Ьажным обсголтельстьом »ыльетсн го, что использование интеграла (4) позволяет получить соответствующие скобочные в общем виде, т.е. при люо^л степенью полиномов Сош-на. Это весьма удобно или приведении чиеллнм'х расчстос ня ЭЬМ. Следует также отметит.,, о нал'и результаты ( в отличие от результатов, основанных на интеграле отолкноврпий Больц^ана с экранированным потенциалом или на интеграле Ленарда - Налеску с обрезанием сблести интегрирования по К ), справедливы не только при »'.£ > но и при более слабим условии $ I ( $ - плазменный параметр, ¿п - кулоноыкий логарифм ). Ь рзальных системах

как раз нередки реализуется именно атот случай. Кроыо того, как показано в 5 2, вычисленные на базе развитого подхода ыатричные элементы ь классическом пределе полностью согласуются с

ьналогичными^еличниаии, наГденными с помицьв квантового интеграла Гуда и ДеЬитта.

В главе III рассматривается процедура вычисления скобочных интегралов, связанных с тройными неупругими столкновениями (2а)1, (26). Для описания состояния системы из трех частиц после акта рагсеяния (2а) вводятся переменные Якоби, в которых две ''астнцы ¡ir< трех ( и Ау) ) формально образуют подсистему ( § I ) :

V Ч " vf '

, -i -I

^ i'f т.- Vt + /'L, V4,

q r V--i-i-tJL .

? r\'b'nf (24)

& =

mrVY '"Vs mytmg+у

Собственно расчету посвящен § 2 данной глаЕы. Ьновь используя представление полиномов Сочини через производящую функцию, иы разлагаем скобочные в линейные комбинации введенных нами С) -интегралов, отвечаицих превращению двух частиц в три :

" х

..........О / Г. ATJbt/n _ Ч

М ' ^ е * ¿1

Г1 ~f °

У*' „tf'M*™ ^ пц

*/ h а,-*;-*) €f

(25)

Разработанном в [1] методика и здесь позволяет получить результаты в общем Еиде. Итоговые формулы, ка- и в главе П»имеют компасную структуру, весьма удобную для программирования на ЗЬМ.

Ь 5 3 показано, каины образом, располагай результатами' §?. можно без труда рассчитывать скобочны», связанные с бннарннчи столкновениями ( упругими и неупрутми ). В низших приближениях проводится сравнение тих скобочных с известными выражениями ( Б.Ь. Алексеев.Математическая кинетика реагирующих газов.19Ь2 г. X гарантирующее правильность проведенных нами расчетов.

1 лава ТУ содержит описание необходимых для сценки практической пригодности сообщенного метода Энскога числен!»« расчетов ( хотя в ряде случать и удается доказать существование и единственность решений интегргльных уравнений, к которым он приводит, быстрота сходимости полиномиальных разложений мокот быть изучена только на конкретных примерах). Б качестве системы для исследования мы взяли частично ионизованную литиевую плазму, предполагал, что в ней наряду с бинарными столкновениями происходят трехчасти-чноя рекомбинация и ударная ионизация

е 4-Л* + е ¿i

(Xi* = А,, е-Ai ,Xi= Ait u = 3) .

В § I главы 1У делается краткий обзор методов расчета необходимых нам сечений столкновений и приводятся результаты анализа теоретичес-^х и экспериментальных работ пи их определению. Целью такой обработки является получение по возможности более точных значений входящих в теорию ъ2 - интегралов. Так в случае . упругого рассеяния электронов атомами лития в области энергий Е= О т 5,4 эБ оказалось целесообразным использовать данные, полученные методом сильной связи(СС), для энергий Е= 5,4 г ¿0 эВ -экспериментальные данные и результаты расчета методом оптического потенциала (СИ), а при К>60 эВ - далные, полученные методом искаженных волн (/Ji). ^ля. учета вклада столкновений атом-атом мы взяли готовые Я - интегралы, любезно предоставленные В.И Долговым ( КАИ ). При вычислении О - интегралов, связанных с взаимодействием атом-ион, учитывалась лишь резонансная перезарядка, сечение которой значительно превышает сечение упругого рассеяния. Сечение перезарядки гыбиралось исходя из экспериментальных данных и результатов асимптотической теории. При определении О - интегралов, отвечающих тройным неупругим столкновениям, для описания сечений иони зции использовалось приближение Дравина, которое , как показало сопоставление с соответствующими результатами других авторов, вполне удовлетворительно списывает эти сечения.

§ 2 главы 1У посвящен расч. ту волновых интегралов ( констант экранирования ) J и срлвнени» ( при низших Л ) наших результатов с аналогичными знпчегипмк, полученными Ьильямсом и ДеИиттом и A.A. Лучший. При том отмечается хорошее согласие.

Здесь же приводится таблица интегралов J . для литиевой плазмы

rfj

до П »II, рассчитанных на ЬЬМ. Ь конце параграфа обсуждается выбор компонентного состава ( равновесного и неравновесного ), который необходимо сделать дли численного определения коэффициентов переноса.

В 5 3 анализируются результаты расчета переносных характеристик и Kooijij ицнентон ионизации и рекомбинации трех компонентной плазмы лития при двух температурах - '!» 10^ К м '1« 2 "10^ К , а также проводите:; их сравнение с eotv'-етстзукшими значениями, даваемыми другими ме-точами. отмечаются, в частности, весьма значительно иогруснссп:, к которым межет приводить известный интерполяционный метод ¿роста при п-п'ислении олектр,. праведности ( 6 ) и терм )эдс ( f ). ilpn '1 = 10' К отлитии ( f )■ для ё составляет примерно '¿Л 'о, а дл,. <Р - 9 ( см. таб.1 ). Как Ппказчл расчет, влияние тройных столкновений на-кинетические косфНщионты

ö ^ X ( теплопроводность ) и у , догол1Но слабое при Т= 10* К, заметно увеличивается при возрастании темперлуры до 2-10^ К . В то же время эти столкновения могут заметно мзнять коэффициенты ди|фуг>ии ( £) ) и термоди.]Фузии ( т ) ( см.табл.], 2. ; а- расчет без учета -»ройных столкновений, в- с учетом, -

число полиномов Сонина, ui А - кулоновский логарифм ).

'1 абл. 1

Результаты расчета переносных^характеристик при Т=г10^ К tu = 3.49-10"-3 м-3, па «= 3,2b-м~3,)

} 1 i 1 ! 2 ! 1 ! -v Ргсчст { / л i J j по фросту, <-пУ1 |

L 10 — 1 а ! 0ll>2° I 0,621 - rtj r J 0,616 J 0,617 0,621 j 0,499. | | 0,617 1 (fz24i)\ ! ! ! 1

| Д | a j 0,2ЬЗ } 0,246 777 1 Р i 0,202 1 0,24b I I ! ! 0,246 j 0,267 | 2 c6 j 0,215 ! (}~9£ )! 1 f t 1

L ,jVi a 1 °'Ь23 1 4'39ü J^i' с j в I 4,504 j 4,379 4,396 j j j 4,379 1 ! ! I I !

1?.

Табл. 2

Результаты расчета переносных характеристик при •1-2. Ю4 К ( пеш п1 ш 1,Ъа.Ю23 ы"3, па - З.ЬО.К^2 и"3 )

! 1 ! ^ 1 1 I { I ! " ! 3 ( I 1 Расчет 1 ¡по Фросту! СнА !

¡¿У -! а в | 1,0Ь4 ! I,0Ь4 | 1,094 1 1,065 | 1,09В ! 1,067 | 1.03/ | К ¡г 3/6) 1 1 1 1 1

\' бг ! !д> ! а в | 2,26Ь I 2,226 | 2,941 ! 2,ЬЬЬ { 2,042 I 2,ЬЪ5 Г " 1 I 1 1 1 4,37

1 н I®«.* г | а в | 0,0106 I 0,0398 | 0,0107 ! 0,0403 \ 0,0100 1 0,0406 1 1 1 1 ! 1 I 1 1 1 1 1

Эф}ект от уточнения интеграла столкновений заряженных ча- ' стиц, как м следовало ожидать, с ростом температуры уменьшается ( отличие о и ит соответствующих результатов по Фросту

при I» 2-Ю4 К составляет примерно 3 и 2 процента ). Что ве касается скоростей неупругих процессов, то здесь вклад от возыущв-иин максвеллоеской функции распределении оказывается достаточно

больший при обеих температурах. '1ак для коэффициента ионизации

- (27, '

где - коэффициент ионизации, рассчитанный по локально - .

равновесной функции, этот вклад ( у ) составляет 20 процентов в случае I- 10 К ( см. табл. 3 ) и Ь6 процентов в случае '1- 2-Ю4 К .

Табл. 3

Результаты расчета величины ^ при 1»г Ю4 К ( пе ш п1 - 0,"3-1023 «Г3, Па - О.бЬ-1024 м"Э)

I 2 I 3 1 4 ! 1 | 5 16 1 1 1

1 I Г -0,0230 -0,СЬ29 I -0,1702 1-0,199Ь ! 1 -0,2044 1-0,204о

Б целой, подученные результаты указывают на необходимость ь расчетах конкретных газодинамических течений учитывать неупругие процессы, а также применять точный интеграл столкновений заряженных частиц. Поскольку сходимость последовательных приближений по полиномам Сонииа всвду,хорошая ( см. табл. 1- 3 ), сбоб-щеншй метод Энскога ( вместе с представленной в диссертации расчетной схемой ) может послужить эффективным средством определения переносных характеристик реагирующих газовых и плазменных систем.

Ц приложении I приведена Фортран- программа для определения консталт экранирования 3^ , а н приложении 2 сгруппированы скобочные вир .гения, необходимые для расчета коэффициентов диффузии, териодиффузии и теплопроводности, а также скоростей реакции.

ОСНОЫи^ РЬЗУЛЬТнТЫ

1. Введены новые скобочные интегралы, связанные с динамически экранированным взаимодействием заряженных частиц.

2. На осноь-^сходыдегссн интеграла столкновений упомянутые скобочные вычислены в общем виде.

3.Введены ноЕые скобочные выражения, отвечакцие неуиругии столкновениям, сопровождающимся превращением двух частиц в три. Данные скобочные вычислены во всех приближениях по полиномам Со-нини.

4. Результаты для скобочных преобразованы к виду, удобному при создании пакетов приюидных программ, на основе новой методики разложений в кратные степенные ряды.

5. Для столкновений, отвечающих превращениям двух частиц в три, введены новые О - интегралы, структура которых определяется использованием переменных Якоби.

6. Проведено численное исследование скорости сходимости разложений по полиномам Сонина.

7. Проведена численная оценка влияния неупругих столкновений на переносные характеристики частично ионизованной плазмы.

Ь. Исследовано влияние от уточнения интеграла парных упругих столкновений заряженных частиц на кинетические коэффициенты и скорости реакций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуыцих работах :

1. Алексеев L.B., Групин ИЛ., Груаина ЛЛ1. Методика расчета скобочных интегралов, содержащих тройные столкновения, для плазмохимических систем / Моск. ин- т тонн. хим. технолог. М., 19Ь9. дел. в В.'.Ни;И, № 37Ь7 - BÜ9.

2. Алексеев Б.В., Грушин И.Т., Грушина Л.П. Скорость реакций ионизации и рекомбинации в неравновесной плазме // Механика и электродинамика сп' ошных сред. М. : Изд. МГУ , 1990.

С.63- 76.

3. Алексеев Б.В., Груиин Й.Т., Грумина JI.il. Моментные уравнения для плазмохимических систем и методы их решения / коек, ин- т тонН. хим. технолог. К., 1969. Дел. п ЬИНИТИ,

№ 70Ь0 - Bti9.

А. Алексеев Б.В., Грушин ИЛ., Г'рушина Jl.ll. Обобщенный метод Знскога ри наличии тройных не^пругих столкновений / X Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов. Тезисы докладов. К. : 19ь9. С.31.

5. Лучина A.A., Грузина Л.П. Расчет кулоновской составляющей электропроводности многоэлементной слабонеидеальной плазмы // Физические процессы в нейтральных и ионизованных газах. М. : Изд. КАИ, 196I, С.19- 22.

4&xejcV b.V.,GwkiH LT, Grazna LP. Transpott pro

parties Lataiiation. of neutral (inj iontieJ qas<rs with cAc-rnicaC reactions 6y the. c^cnctaßiied Chapman -Ensiaj. me-iho4¡l íl-ih Ы. $ymp. HGZ). &ook of Mdrack Aachen,

то. Р.м-нб.

7. Ал ксеев Б.В.,'Групин И.Т., Груиина Л.П. Применение

' LI)

обобщенного метода Уне лога к расчету процессов подноса в ионизованном газа // 1Ж, 1УУ1. Т.2У. * '¿.

Подписано в печать 605-9! .Л - . Формат 60хУО*/1ь.

Бумага писчая № I. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,0. Уч.-изд.л.1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ¿¡/Яь . Бесплатно.

Ротапринт МИ И 141700, Моск.обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., У