Исследование колебательных процессов в нелинейных системах управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Институт проблем управления РАН

На правах рукописи НУРОВ Иехокбой Дгкумаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И)ЛЕБАТЕИЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ- УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01,01.11 - Системный анализ и

автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

1 //^Л)

Работа выполнена в Математической институте с.Щ! республик!! Тадашшстан.

Наушшз руководители: Доктор фиэико- математических наук В.И. Опойцзв. , Кандидат физико- ттеиатшесюк наук Н.Г. Юиагуяов.

Официальные оппоненты: Доктор физнко- математических наук И.А. робылев. Кандидат технических наук В.И. Скал ига.

Ведущая организация: Всесоюзный научно- исследователыдай швгтйяу? ошигешшс исследований РАН. . .

Задота состоится "-А" Ы'А'Ь'/: 195-7?. вч.

на заседании специализированного Совета Д. 002.68Ут?ри Институте проблем управления (117606, Ыосква, ул. Профсоазнан,

д. 65).

С диссертацией ьааю оанснокиться в библиотеке ИЛУ. Автореферат разослан " _¿Си. И -_199'Ча; ;

Ученый секретарь епаццаяиэироБшшого совета * ишдэдат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актхальность_работу. При изучении процессов функционировать систем управления, разнообразные яругах механических, физических „ биологических систем ваклуи роль етрает характер зависимости этих процессов от параметров систем. Интерес к исследованию ззвтшгкостп ренинов функционирования систем от параметров определяется многими прочив®.®. В частности, в ряде ситуаций точшо знзчепия параметров шгу? бить неизвестны; параметры могу? кздлешо ценятся при длительном функционировании системы; в ряде ситуаций исследователь выбирает (в определенных границах ) паропетри по своему ускотрзкка; уравнения, описывающие снсгегшс при некоторых сжигшьшх значениях параметров могут оказаться весьма простая? < например, разрзки-о тто'ч заде ) п переход к дрыгай значениям паргчетроп иоге? быть кснользозан для конструирования пркбяинешск процедур и т.п.

Вагнув для разнообразных пркогсппй роль пгравт такие значения параметров,при язмзкеяюг которых происходят "качественная пер9стройка" тзгеиа. Тага» значекня параметров обычно назнзают либо критическая, либо бифуркационнымиг либо точка?® ветвления. Кявссическиш приварами задач, в которых яеблэдгется "качественная перестройка " системы яря . иажх шжштх параметров являются известная задача Эйлера о формах штора устойчивости упругих систем, задачи о возникновении золи, задача Лндроновз-Хопфэ о роздепш» автоколебательная резаков ш состояния равновесия при потере устойчивости этого состояния равновесия. Количество ■ пригаров легко мояео -увеличить.

Одшши из наиболее актуальных являются вопросы приближенного исследования периодических ,решаяй кодшейшх даамйчэсгих систем, з частности» йерсодических реаеяий систем, зависящих от параметров. При реаеиии таких вопросов разработаны раашчзяэ катоде приближенного йссл&довашмг кетолн малого параметра, эквивалентной линеаризации, гарвдвнческого баланса и др. #

Вашизть прйблташого исследования б задаче о- построении бифурцируэдих рэшешй подчеркивается такке тем обстоятельством, что в такой задаче аналитические метода не всегда эффективны

ввиду наличия нелинейностей в соответствующих уравнениях и из-за "критичности" значений параметров. Поэтому вопросы приближенного и численного исследования бифуркации привлекают большое внимание многих авторов.

В задачах приближенного исследования бифуркации Андронова-Хопфа следует выделить два подхода. Один из них связан с прямым численным нахождением бифурцируидих решений; этот подход, конечно, 'не является эффективным и далеко не всегда применим. Другой подход связан с построением так называемых бифуркационных формул, когда решения ищутся в виде рядов по степеням малого параметра. Этот подход развит в исследованиях ряда авторов; в этих исследованиях полученные формула доведены до расчетных к составлены соответствующие алгоритмы и программы.

Следует,отметить, что в задаче приближенного исследования бифуркации Андронова- Хопфа из- за наличия связных континуумов решений существенно затруднено применение итерационных процедур построения решений.

Представляет интерес использовать в задаче численного исследования бифуркации Андронова- Хопфа подходы, основание на предлокешои И. А.Красносельским методе фуннционализации параметра . Указанный метод позволяет переходить от задач с континуумами решюШ к -эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированными решениями и, следовательно, появляется возможность использовать для приближенного их построения такие итерационные процедуры ,как, например, метод' Ньютона.

Наряду с численны?,; исследованием бифуркации Андронова-Хопфа представляет интерес также использовать результаты численного анализа для исследования устойчивости бифурцирующих решений. Здесь актуально выявление соответствующих ¡асимптотик бифурцм-рущих решений, которые позволяют провести анализ устойчивости.

работу. В нсхшейшх автоколебательных системах управления провести численное исследование эффекта Еозшжнавения евтоколебаний, роздакцахся в окрестности стационарной точка! проатрвнотва состояния прй изглзнбник параметров система.

Й25Е®§022232§- Ирздгоазка п обоснована итерациоштя процо-

дура численного исследования бифуркации глалых автоколебания, основашая нз методе функционализации яарамвтра. На основе итерационной процедуры разработай помол, позволяющий для одноконтурных нолинсйгшх ситем управления обнаружиаать бнфурциругщие значения параметров и последовать устойчивость би-■фурцирущих решений. '

0В1^2'Л§£?!ЭЯ^_тедретк1тская_ц§ш?дсть.В работе предложена я обоснована новая итерационная процедура численного исследования роадения малых автоколебаний в келинеЗшх системах управления.Полученные результате доведакн до расчетных, составлены л отлакввк соотвегствуэдяе программ. Предложенная процедура позволяет эффективно строкть бяфурцируагще регсэнкя, а тата позволяет в яовнх условиях обнаруживать возникновение периодических автоколебаний щт изменении параметров. Иред-лаг»9кне процедуры вагви в задачах пряблжзшого ассяедозанпя периодических колебаний яехшейнкх систем управления и s'oryr бить мспользорптг" при составлении адгорядаюв и ярогра?,эш численного ЮСГрОвЯЙЯ КОЛЭбЕШЙ.

' Метода исследования .Использовэти обяяе метода теории управления, метода пряблялетюго решения операторных лраваешй, ?.*это-т общего пэлшеВкого зпаляза я гатода А.М.Лгпупова ясследова гткя устойчивости.

Апробттз работа. Отдельные- честя дасеертекда доиладавалясь на се;.ашараг в Институте проблем управления AH IPocceh (1989-1991 гг.), сеикяарах в Отдало прикладной катематпкк йамкатагаеско-го вкстотута о ВЦ АН Рзспублшж Тадшокзтш (1989 1992 гг.), на РЗОЩ^Л-КССЛСГСТС КОПфЗрЗИЦКЯХ МОЛОДО 'ученых Я СПв1Щ0.5ИСТОВ

(г.г.Летяшбад, Kyprsri-mSe; 1989,1520 гг.), па кок&рскщш "ФК-зршдальянэ -урасгсгги-т к кк щзл<ттящ (г.Куляб, октябрь 1991 !'.).

HfteKCf'/'n. Оскогпто результата сиз?6лекорсш в И- 63.

задач гцтЕгтджжат попш* руководителям. Оскошкэ рззудьтати доссврггщга ноягтокн ввмроа оакостойте.тько.

Обьси и отрукт1фз работа. Лясеэрг^тя издоаона т 133 иаиз-ясшекого текста, состоит из еездозшя, 8 жраграфоз, 3

рисунков, 4 таблиц, приложения и списка литературы, включающего 49 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. §§ 1-2 диссертации носят вспомогательный характер. В них приводятся основные понятия, а такие свойства различных операторов, используемых в дальнейших построениях.

В §3 приводятся постановки изучаемых в работе задач. В диссертации изучается нелинейная одноконтурная система Б(Я), динамика которой описывается дифференциальным уравнением вида

а а

М- , Я )х = М(- , А. ) Г(х,Л) , (1)

<ЗИ; ■ ■ (И

где

Кр.А. )- рР+а^А-ЯрЧ а2(А.)рп_2+. . . + ап(А), (2)

'М(р.Л. ) = Ь0(А)р® + Ь1(Я)рт_1+ . . . -%(Я)- (3)

многочлены с непрернвно зависящими от скалярного параметра Я вещественными коэффициентами, л >ш 0, характеристика- Ш,Я) нелинейного звена системы Б (Л.) предполагается непрерывной по совокупности переменных, причем представимой в виде

Г(х,Я) = с(Я)х + ф(х,Я), (4)

где функции с (Я) и ср(х, Я) непрерывны по своим переменным и равномерно по Я выполнено условие

[ <р(х. Я) | = о( | х {), | х | -->0 (5)

Говорят , что значение Яд параметра Я является точкой бифуркации в задаче о рождении Г0 - периодических решений системы (1),если существуют ЯД~>Я0 и ТП-->Т0 такие,что при Я=ЯП уравнение (1) имеет ненулевое Тп-периодическое решение хп(г), причем 1с_~>0 1! ^ссертационная работа

посвящена вопроса?.! численного исследования указанной бифуркации Е анализу устойчивости рокдаюцихся периодических решений. Пусть выполнено следующее условие

2ickl

M ±---, Л0 ) ï 0 (K=0, 1,2,...). (6)

T0

Положим

2icki

Rk= c(AQ)W (---, Я0 ) - 1 (k= 0, ± 1, ± 2,. . . ), (7)

ъ

где W(.p„A )= M(p,X)/L(p,A) - передаточная функция линейного звена системы (1)„ Основными являются условия

Ht= О, (8)

О (к=0, ± 2, ±3,... ). (9)

Задача о бифуркации периодических решений системы (1 ) эквивалентна задаче о бифуркации малых нонулевнх решний уравнения

у = в (тлшу.а.); (1.0)

здесь

1

B(T,\)y(t) =Т [ Gt (t-s)T; Т; А1у(з )ds, (11)

О

где Gît; Т; А)-икпульсно-частотная характеристика (ИЧХ) линейного звена системы (1). При этом если r( t) -это Т- периодическое уравнения (1), то функция y(t) s y(tT) является' решением периода 1 уравнения (10) и , наоборот, если y(t)~ это решение уравнения (10), то функция x(t) s у (t/T) - это Т-.периодическое решение уравнения (1).

С целью разработки процедуры; чпсявппого исследования бифуркации малых решений уравнения (10) для чисел q > 0 определяются области

Qq = {у(t) * Ср : в у(X) - q 3ln2ict ^ 1/4}; (12)

здесь Ср~ пространство непрерывных на (0,11 функций,ряда Фурье которых сходятся абсолютно. Корма функции y(t)e Ср определяются

равенством | Цс = 2 где ук- коэффициенты Фурье функ-

ции у(г).Ясно8 что 0 ё о^ для любого ч > 0.

В работе бифурцирузсщие решения уравнения (10) ищутся в областях (12). При этом число q указывает степень малости искомого ненулевого периодического решения уравнения (10) и, следовательно „ уравнения (1).

Уравнение (10) содержит два неопределенных параметра Я и Т. Для перехода к уравнениям без параметров в работе используется метод функционализацйк параметра .С этой целью, для чисел Ч > 0 определяются функционалы

1

Я (уа)Ь я0+- q~1 (2[у(т)в1п2тсгйг- д], (13)

О

1

Т !у(г))= Т0 + 2q'"1 [у(г)созгчсг(1т;. (14)

■"о

Подставляя е уравнение (Ю) вместо Я и Т функционала (13) к (14), соответственно, и учитывая равенство (4) получим уравнение

ач(у) + я <у) = о, (15)

где

Сс1(у)= с[А. <у)1В(Т (у); Я (у)]у-у, (16)

^(у) = В[Тч(у);Я (у))<р[у; ^(уЯ. (17)

Уравнение (15) является основным в наших построениях; его решения ищутся в областях (12). По построению, если у("I)— это решение уравнения (15), то функция х(1,) £ у(г/Т^(у))— это ^(У)-периодаческое решение уравнения (1) при Я - Яд(у).

Б §4 приводятся ряд вспомогательных лемм относительно свойств оператороБ (16) и (17),позволяющие применить для построения решений уравнения (15) метод Ньютона- Канторовиче.

В частности, установлен^ слздувцпе утверждения.

Леша 1. Оператора (16) и (17) действуют и непрерывны в пространстве Су 10,11.

Лемма 2„Оператор G (у) при малых q>0 дифференцируем _ ч „ „, . л

по <Jpese

для у с n^ g его производная Gq(y) удовлетворяет-на Г^ условию ЛйЕиада с константой L^q-' , где LQ от q не зависит.

Лемма 3. Оператор G^(qsln2xt): Ср—>Ср от q>0 не зависит и представляется в виде

2xl t 2xklt

G^(qsin2xt)h(t) = e0Re(lie1Beh1+ a^Iml^ )e Rkhke 5 (18)

гдо - коэффициенты Фурье функции h(t) e Cp[0,1],

32, = с

(A^V w0 ; ) + с (AQ)W( cOq ; AQ), (19)

, • 2x1

382= C(A.Q)W ( COQ ; ,\0 ), 0)Q =------(20)

TQ

Хеша 4. Для того, чтобы оператор (18) был непрерывно обратим в Cpi0,1] необходимо и достаточно, чтобы

1ш(ге1 з^) И 0. (21)

Ле?.сла-5. Оператор (17) удовлетворяет условию

Sup | V7q(y) |G = о (q) при q —> 0 .

В §5 приводится основное утвзрзданив и описывается процедура •склонного исследования бифуркации малых автоколебаний системы S(A.).

Пусть' выполнено условие (21 ). Тогда в силу леммы 4

1

определен оператор rQ = [G^(qaln2xt)] : Ср —>Ср. Основное является

Теорема 1. Пусть выполнено условие (21). Тогда при малых q>0 • уравнение (15) имеет в области О^ единственное решение УдШ, которое мокет быть получено как предел последовательных прибли-кекий

Уп+1Ш = упт - Г0ШЧ(уп) + (п = О'1" " (22) '

где ,у0(г) = цз1л21сг0 При этом сходимость |ук(1;)- >0 . . •

является геометрической со знаменателем р(ч)<1 и справедливы соотношения

\(Уд)~>Я0 и ^(Уд)—>Т0 при ч—>0

Для того, чтобы эффективно использовать теорему 1 в задаче численного исследования бифуркацш малнх колебаний системы Б (Я) важно уметь строить оператор Гд, В этой связи установлена Теорема 2„ Пусть ЪШе Ср[0,П . Тогда

г0т) - 2 V

К=-оо

где

Ь<= -

[Re(¿g п,) + ifie(ае1 )],

bt. \ = —5 (k=0,±2,±3,. . .);

\

здесь h^- комплексные коэффициенты Фурье функции h(t), R^- числа (T), sej ж asg- числа (19) и (20).

В §6 приведены примера „ гажетрарущэе сходимость пред-лоеонной процедуры приближенного исследования бифуркации. При этом однш из примеров.является известное уравнение Ван-дер-Поля

. (23)

; . у = х

при Г(х) = Ах + х3«, Система (23) колют быть записана в виде (1) и для нее применима процедура численного исследования

бифуркации„ приведенная в теореме 1. В этом примере осуществлено сравнение результата, полученного по предложенному в настоящей работе алгоритму, с "точными" результатами, полученными методами простой численной пристрелки и приведенными в монографии Б, Хэс-сарда и др. ("Теория и приложения бифуркации рождения цикла " .У.: Мир, 1385)- см. Таблицу 1.

Таблица 1.

А. т Х(у=0) Я Т 2(У=0)

0.0250019 6.283460 0.1822563 0.025 6.28343 0.18257

0.050000! 6.284166 0.2579640 0.05 6.28417 0.25817

0.1000173 6.287109 0.3651145 0.1 6.28711 0.36496

! 0.2000306 6.298851 0.5163732 0.2 6.29888 0.51537

Первые три колонки таблицы относятся к результатам, полученным в работе на основе предложенной процедуры численного исследования бифуркации;следующие три колонки относятся к "точным" результатам. Здесь А, значение параметра, при котором строилось бифурцируадие решение ( при этом в примере значение Л. строилось на основе процедуры, приведенной в теореме .1 ), Т - значение периода этого решения , х( у=0 )- значение решения x(t) системы (23) в момент времени te, когда yd;,) = 0.

В §§7 и 8 исследуется устойчивость бифурцирущих решений системы (1).

Теорема 3. Пусть уравнение

Ь(р,Л0)-с(А.0)М(р,Л.0)= 0 (24)

имеет корень с положительной вещественной частью. Тогда бифурци-рующие решения x^t) системы Б(Я) неустойчивы при всех достаточно больших номерах п.

Пусть теперь уравнение (24) не имеет корней с положительной вещественной частью, причем, за исключением корней ± где

1G

iúq- 2'íc/Tq , остальные корни ямеют отрицательные шщэствонныо части.

Рассмотрим уравнение . ..

L(pAq)- с(А. )M<p,A.q)= 0, (25)

где Aq" это' значения параметров» определению: численной процедурой согласно теореме 1 с

Это уравнение при малых q>0 алеет ровно два резаная ± таких0 что а^—>0С протеза вецосгвэниз•-час-

ти всех остальные решения этого уравнения se превосходят некоторого -<50 <0.

Георема 4- Пусть 0 и, кроме того,

|«р ' (qsln2x), Xq) | = о(| aq |), q—>0 (26)

Тогда существующие в условиях теоремы 1 -бифурцируащэ решения Xq(t) системы S(AQ) орбигалью асимптотически устойчнш при всех малых q > 0. ." .

Теорема 5„ Пусть aQ >0 и, кроме того, пусть, выполнено (26) о Тогда существующие* в условиях теореж 1 бкфурцирущие решения системы являются неустойчивыми при всег.

?лалых q > о.

Основные результаты диссертации:

1). Предложена и обоснована новая итерационная процедура численного исследования роздення малых автоколебаний.в нелинейных системах управления.

2), Разработаны итерационные процедуры, шззволящяэ, для одноконтурных Нблякзйпш: скотом управления оЗнаррзгють бвйурцирую-те значения параметров п исслэдоезть устойчивость зшж рэаэ-

нийо

3). Разработаны алгоритмы и програгс^ численного построения бнфурцирукэдк решений автоколебательных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Нуров И. Д. Об одном признаке роадения автоколебаний в нелинейных системах.- Материалы республиканской научно- практической конференции молодых ученных и специалистов Таджикистана -Леншшбад,1990 г.- С. 84-85.

2. Нуров И, Д. Анализ устойчивости бкфурцирующих режимов в одноконтурных системах управления.- Материалы республиканской научно- практической конференции молодых ученных и специалистов Таджикистана.- Курган- твбе, 1991 г.- С. 59-62.

3 Загулов М. Г., Нуров И. Д. О численном исследовании бпфурцируЕдах решений пелкнйных систем и анализе их устойчивости. - Тезисы докладов республиканской научной конференции " ДфЬаревднальнке уравнения- и га приложения *, Куляб»1991С.191-192.

4. Нуров И. Д. Об одном способе численного ислледования бифуркация малых автоколебаний в нелинейных системах управления.--Депонировано 3 ВИНИТИ в 1990 г., 5734-В90,- 26 с.

5. Нуров И. Д* 0 приближенном исследовании бифуркации малых автоколебаний; в нелинейных системах. Доклады АН. Тада. ССР., 1991 г. -т.34, /64,- 0. 7- 12.

6. Нуров И. Д. О численном исследовании и анализе устойчивости

: бифурцируицих решений уравнения нелинейной системы управления.- Депошфовано в ВИНИТИ 6 декабря 1991 г., //: 4521-В91 .-19 с.

23/'#~1592 г. Заказ 56. Тиргя 100 экз. Гот "принт ТГУ,' Дулан б е, у л. Л аху т и, 2.