Исследование критической динамики моделей магнитных материалов методами вычислительной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

МУТАЙЛАМОВ ВАДИМ АХМЕДБАШИРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ МОДЕЛЕЙ МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала, 2005

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Муртазаев Акай Курбанович

Научный консультант:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,

профессор Камилов Ибрагимхан Камилович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шамсутдинов Миниахат Асгатович

доктор физико-математических наук Каллаев Сулейман Нурисланович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится « 25 » ноября 2005г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д002.095.01 при Институте физики ДагНЦ РАН по адресу: 367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39 а

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

Институт физики ДагНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагНЦ РАН

Автореферат разослан «21» октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Батдалов А.Б.

исб-9 /ГШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование динамических критических свойств спиновых систем является одной из актуальных задач современной статистической физики [1-3]. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в последнее время, проблема все еще далека от своего решения поскольку теоретические и экспериментальные исследования в этой области сталкиваются с огромными и труднопреодолимыми препятствиями.

С использованием современных аналитических методов удалось получить результаты для целого ряда простых моделей, описывающих критическую динамику решеточных систем. Однако теория все еще не дает полной и однозначной картины динамических процессов, происходящих вблизи критической точки. Динамические критические свойства магнитоупорядоченных материалов отличаются большим разнообразием и сложностью, которая обусловлена необходимостью учета вместе с сильными обменными взаимодействиями и слабых релятивистских, таких, например, как анизотропия и диполь-дипольные взаимодействия. Строгое теоретическое исследование этого вопроса в ближайшие годы маловероятно из-за чрезмерных математических трудностей.

Экспериментальная ситуация также пока не ясна из-за противоречивости имеющихся данных. Ситуация осложняется тем, что в реальном материале одновременно могут существовать все факторы, влияющие на критическую динамику. В таком случае, очевидно, что характер критической динамики в значительной мере зависит от соотношения действующих сил - обменных, анизотропных и дипольных. Кроме того характер критического поведения может меняться в зависимости от того, насколько близко удалось приблизиться к критической точке. Влияние совокупности всех этих факторов и является одной из серьезных причин противоречивости экспериментальных данных по исследованию динамических критических свойств магнитоупорядоченных материалов.

В последнее время значительную роль в прояснении таких сложных вопросов стали играть методы вычислительной физики - метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. Количественное изучение критической динамики численными методами началось относительно недавно. В ряде работ эти методы использованы для изучения динамических свойств вблизи точки фазового перехода и расчета динамического критического индекса г. Однако, до сих пор все исследованные численными методами системы являются моделями первого приближения на простых решетках [4-5].

Однако большой интерес представляет исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия присутствуют различные усложняющие факторы, присущие реальным системам, но не учитываемые классическими моделями первого приближения. К ним могут быть отнесены анизотропия и

ЙГЧГЯЙГ;

3

Таким образом исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых слабые релятивистские взаимодействия разного типа выступают одновременно на фоне сильных обменных взаимодействий, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики.

Целью работы является исследование динамических критических свойств моделей сложных реальных магнитных материалов методами вычислительной физики. Объектами исследования являются как хорошо изученные модели (модель Изинга и модель Гейзенберга), так и модели реальных магнитных материалов: модели сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203 и модели ферромагнитного гадолиния. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Разработка методики исследования динамического критического поведения спиновых систем на базе метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики.

2. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать критическую динамику сложных спиновых ' решеточных систем.

3. Исследование динамического критического поведения простых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга).

4. Исследование динамического критического поведения моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг2Оэ.

5. Исследование динамического критического поведения моделей реального ферромагнитного гадолиния.

6. Определение степени влияния на характер динамического критического поведения добавочных релятивистских взаимодействий, таких, как анизотропия и диполь-дипольное взаимодействие.

7. Проверка различия критической динамики вдоль разных направлений в некубических кристаллах.

8. Изучение критической релаксации спиновых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга) и моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты по исследованию динамического критического поведения моделей сложных реальных магнитных материалов, а также их критической релаксации, представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма и физики фазовых переходов. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны эффективные исследования динамического критического поведения моделей сложных реальных магнитных материалов, в которых учитываются слабые добавочные взаимодействия разного типа, действующих одновременно на фоне сильных обменных взаимодействий.

Проведенные исследования критической динамики моделей магнитных материалов показали высокую эффективность и надежность применения методов вычислительной физики к исследованию динамического критического поведения моделей реальных магнитных материалов любой сложности.

Научная новизна и значимость работы. В диссертационной работе методами численного эксперимента исследовано динамическое критическое поведение как классических, так и сложных моделей реальных магнитных материалов с вычислением динамического критического индекса г. Кроме того изучена и критическая релаксация ряда конкретных моделей. Впервые выполнено исследование динамического критического поведения моделей Сг20з и гадолиния. На примере моделей сложных магнитных материалов впервые изучено влияние на характер динамического критического поведения слабых релятивистских взаимодействий различного типа, действующих как независимо, так и на фоне друг друга. Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Возможность применения методов численного эксперимента к изучению динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия учитываются и слабые добавочные релятивистские взаимодействия.

2. Исследование динамического критического поведения моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203. Оценка влияния анизотропии на характер динамического критического поведения моделей Сг203.

3. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния. Оценка влияния одноосной анизотропии и изотропного диполь-дипольного взаимодействия на характер динамического критического поведения моделей гадолиния.

4. Проверка возможности применения метода критической релаксации к исследованию динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов. Исследование критической релаксации моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.

5. Проверка существования различий в критической динамике вдоль разных направлений в некубических кристаллах.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить исследования критической динамики и критической релаксации моделей сложных реальных магнитных материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 1998, 2000, 2002, 2004); ЕвроАзиатский симпозиум "Тенденции в Магнетизме" ЕА8ТМАС-2001 (Екатеринбург, 2001); Международная зимняя школа физиков-теоретиков

"Коуровка-2002" (Екатеринбург, 2002); Московский международный симпозиум по магнетизму "М18М-2002" (Москва, 2002); Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники" НМММ-XVIII и НМММ-Х1Х (Москва, 2002, 2004); Международная конференция по магнетизму 1СМ-2003 (Италия, Рим, 2003); Международный симпозиум "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003 (Сочи, 2003); Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 20 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложенна на 147 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы из 141 наименования, содержит 56 рисунков и 12 таблиц.

В главе I дается описание методов численного эксперимента, теории критической динамики магнетиков и методов ее исследования. (

В параграфе 1.1 рассмотрен классический метод МК применительно к каноническому ансамблю, рассмотрена его практическая реализация в случае магнитных решеточных систем, приводится оценка погрешности метода.

Параграф 1.2 посвящен методу МД. Дается его описание применительно к движению спинов в магнитном поле.

В параграфе 1.3 освещаются теоретические вопросы, связанные с критической динамикой магнетиков. Дано описание теории динамического скейлинга и приводятся теоретические результаты, полученные на ее основе.

В параграфе 1.4 рассмотрены экспериментальные методы исследования критической динамики магнитных материалов.

Параграф 1.5 посвящен исследованию критической динамики магнетиков методами численного эксперимента. Описана методика исследования критической динамики как методом, основанном на совместном использовании метода МД и теории динамического конечно-размерного скейлинга, так и методом критической релаксации. Приводятся литературные результаты, полученные при исследовании критической динамики магнетиков данными методами.

В качестве методики исследования критической динамики моделей магнитных материалов использовался подход, основанный на совместном использовании теории динамического конечно-размерного скейлинга и метода молекулярной динамики. Суть его состоит в следующем [2,4,5]. Используется аппарат пространственно-временных спиновых корреляционных функций для проекции спинов к=х,у,г

СкМ = (Л, (0)}-(5*„ (0)) (1)

где г\2 = - > (О - спин, локализованный на узле г\ в момент времени (0) - спин, локализованный на узле ?2 в начальный момент времени (/=0),

угловые скобки означают усреднение по ансамблю.

Фурье-образ в пространстве и времени корреляционной функции (1) определяет динамический структурный фактор со), который при конечном времени наблюдения за системой /си10# можно представить в виде

•"«ЧГ

= ХехрШ?, ~ ?г)] {ехрО'^ОС*(?Х-Г2,1)Л (2)

где ^ - волновой вектор, со - частота.

Определяется характеристическая частота как частота, делящая пополам всю интегрируемую площадь, ограниченную кривой динамического структурного фактора, рассматриваемого в зависимости от частоты:

(<}, со)с!со = - со)йсо (3)

-"МЛ) 2

Согласно основному утверждению теории динамического скейлинга [2], характеристическая частота является однородной функцией произведения своих аргументов ¿г и ц. Соответственно в точке фазового перехода при конечных линейных размерах системы Ь

Ч-Г'ЩдЬ) (4)

где 2 - динамический критический индекс, П' - функция, зависящая от произведения дЬ, вид которой неизвестен. Находя характеристические частоты для систем с различными размерами, можно определить значение динамического критического индекса по формуле (4). Поскольку вид функции О' неизвестен, а зависит она от произведения цЬ, необходимо выбирать волновой вектор таким образом, чтобы для всех систем сохранялось соотношение цЬ^сотг.

Из-за ограниченных вычислительных ресурсов при исследовании критической динамики данным методом приходится ограничиваться направлением волнового вектора только вдоль трех кристаллографических осей: Спины, лежащие в плоскостях, образованных двумя другими

кристаллографическими осями, усредняются по плоскостям и рассматриваются как один усредненный спин. Корреляции рассматриваются между этими усредненными спинами.

Другой численный метод исследования динамического критического поведения, основанный на стохастическом варианте метода МК, это метод критической релаксации [5]. Временная эволюция спиновой системы при этом моделируется непосредственно методом Монте-Карло. Это обусловлено тем, что стандартный метод Монте-Карло содержит в себе вероятностный аргумент, посредством которого моделируется состояние системы. Считается, что спиновая система находится в контакте с тепловым резервуаром, который

вызывает спонтанные опрокидывания спинов из одного состояния в другое. Такая искусственная динамика является релаксационной, стохастической.

При исследованиях используется аппарат автокорреляционных функций некоторой наблюдаемой величины А:

^(0 =

(/кожо)-(жо)}(жо))

(5)

{Л(0Ж0))-(Л(0))(Л(0)}

В качестве наблюдаемых величин обычно берется параметр порядка (модуль вектора намагниченности, модуль вектора антиферромагнетизма) и полная энергия. В общем случае функция может быть представлена как

^(0 = ехр(~), (6)

где а - неизвестный коэффициент, т - время релаксации наблюдаемой величины А. Согласно динамическому конечно-размерному скейлингу в точке фазового перехода время релаксации

т~П. (7)

Поскольку речь идет об искусственной стохастической динамике, то под г здесь следует понимать критический индекс времени релаксации, который в общем случае может не совпадать с динамическим критическим индексом. Таким образом, находя время релаксации для систем с различными линейным размерами £ можно определить величину критического индекса времени релаксации.

В Главе II рассмотрена критическая динамика классической модели Гейзенберга.

В параграфе 2.1 дается описание классической модели Гейзенберга и ее критических свойств, гамильтониан которой может быть представлен в следующем виде [2]:

Я = -£./<?,(8)

М

где ./ - энергия обменного взаимодействия, |3(| = 1 для всех /', сумма учитывает

обменное взаимодействие между ближайшими соседями.

В параграфе 2.2 приводятся

результаты численного исследования

динамического критического поведения

модели Гейзенберга. На рис.1.

приведена типичная зависимость

пространственно-временной спиновой

корреляционной функции, а на рис2. -

зависимость динамического

структурного фактора от частоты для

систем с различным числом спинов. „ , „

Рис 1 Пространственно-временная спи-Итоговая зависимость новая корреляционная функция дая

характеристической частоты от модели гейзенберга.

30

25 з

1---- N-216

20 2---N=512

3- N«1000

"5 15

ff qL-2«

"" 10 ' 2

05 Af \ ' . 1

00

0 0 02 04 Об 08 10

Рис 2 10 Зависимость динамического

структурного фактора модели

Гейзенберга от частоты для систем с

различным числом спинов N

I.

Рис 3 Зависимость характерис-тической частоты от линейных размеров системы для модели Гейзенберга.

линейных размеров системы, по которой определялось значение индеса г, приведена на рис.3. Полученное в результате значение динамического критического индеса составило z==2.51±0.10, что хорошо согласуется с теоретически предсказанными результатами для изотропных ферромагнетиков z=2.5 (модель J, [3]).

Приведено сравнение полученных результатов как с теоретически предсказанными, так и с результатами, полученными другими авторами при изучении критической динамики этой модели методами численного эксперимента. Показана применимость использованной нами методики для изучения критической динамики магнитных материалов.

В главе III представлены результаты исследования критической динамики моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.

В параграфе 3.1 описываются экспериментальные данные по макрообразцам Сг203. Описаны критические свойства макрообразцов Сг203.

В параграфе 3.2 дается описание моделей антиферромагнетика Сг203, приводятся результаты работ, посвященных изучению статических критических свойств моделей Сг203 методами вычислительной физики. Опираясь на данные лабораторных экспериментов [6], гамильтониан модели Сг203 можно представить следующим образом:

|5(|=I. (9)

ij I.J I

Здесь первая сумма учитывает взаимодействие каждого спина с одним ближайшим соседом, а вторая с тремя последующими. Согласно литературным данным J,<0, J2<0, Ji/Jj=2.2 [6].

С нашей точки зрения необходимо рассмотреть две модели с различным соотношением между эффективной одноионной анизотропией D>0 и обменом

А-

Модель!: £)/|У,| = 2.5x10^, (10)

что соответствует реальным образцам Сг203 [7].

Модель»: £>/|У,| = 2.5х10-2, (11)

что характерно для малых магнитных систем с одноосной анизотропией и размерами в несколько десятков ангстрем [8].

В параграфе 3.3 обсуждаются результаты численного исследования динамического критического поведения моделей Сг20з. Приводится сопоставление полученных результатов с теоретически предсказанными для модельных систем. Дана оценка влияния слабых релятивистских взаимодействий, аппроксимируемых эффективной одноионной анизотропией типа "легкая ось", на характер динамического критического поведения моделей Сг203.

Полученные значения динамического критического индекса г для обеих моделей приведены в табл.1. Как видно из таблицы, все полученные значения динамического критического индекса (за одним исключением) хорошо согласуются как между собой, так и с теоретически предсказанным значением для изотропных антиферромагнетиков г=1.5 (модель <3, [3]). Видно, что "слабая" анизотропия модели I не оказывает существенного влияния на характер динамического критического поведения, и модель проявляет гейзенберговский характер поведения.

Для модели II значение динамического критического индекса, полученное по проекциям спинов г, близко к теоретически предсказанному значению для анизотропных магнетиков 2=2 (модель А, [3]). Однако результаты, полученные по проекциям спинов х и у, значительно отличаются от г проекции и не попадают ни в один класс универсальности динамического критического поведения [3]. Таким образом, "сильная" анизотропия модели II приводит к тому, что поведение модели становится преимущественно изинговским.

Глава IV содержит результаты исследования критической динамики моделей реального сложного ферромагнитного гадолиния.

В параграфе 4.1 представлены экспериментальные данные по макрообразцам гадолиния. Описаны результаты работ по исследованию их критических свойств. Приведен обзор экспериментальных результатов по исследованию критической динамики макрообразцов гадолиния.

В параграфе 4.2 дается описание моделей ферромагнитного гадолиния. Указаны литературные данные по изучению статических критических свойств моделей гадолиния методами вычислительной физики. Гамильтониан модели гадолиния, учитывающий все магнитные и кристаллографические особенности реальных образцов, можно представить в следующем виде [9]:

Таблица 1. Модель Сг20¡. Значения динамического критического индекса г

к=х к=г

Модель I

¡¡->а 1.50±0.26 1.57±0.22 1.50±0.33

1.52±0.28 0.96±0.55 1.52±0.35

Щ —► с 1.52±0.28 1.58±0.23 1.52±0.34

Модель II

0.65±0.03 0.71±0.04 2.13±0.36

N = 1, (12)

tj t i где первый член учитывает обменное взаимодействие каждого из ионов гадолиния с двенадцатью ближайшими соседями с параметром взаимодействия J>О, второй - одноосную анизотропию типа "легкая ось" в направлении гексагональной оси с константой анизотропии D>О, третий - изотропное диполь-дипольное взаимодействие с постоянной взаимодействия Ddlp, (Й} -магнитный момент, приходящийся на один спин.

Для того, чтобы оценить влияние анизотропии и диполь-дипольного взаимодействия на характер динамического критического поведения моделей гадолиния, нами рассмотрены три модели: Модель I, в которой учитывается только обменное взаимодействие и анизотропия, Модель II, в которой дополнительно учитывается и изотропное диполь-дипольное взаимодействие; Модель III, которая учитывает только обменное и диполь-дипольное взаимодействия. Это дает возможность оценить влияние всех факторов как по отдельности, так и одновременно.

В параграфе 4.3 приведены результаты численного исследования динамического критического поведения моделей гадолиния. Полученные результаты сопоставлены с теоретически предсказанными для модельных систем. Произведена оценка влияния изотропного диполь-дипольного взаимодействия, присущего гадолинию, на характер динамического критического поведения его моделей.

Полученные значения динамического критического индекса z для трех моделей гадолиния приведены в табл.2. С точки зрения общепринятой классификации классов универсальности динамического критического поведения часть этих результатов трудно объяснить. Такая же ситуация возникает как с экспериментальными, так и с теоретическими данными,

полученными при изучении критической динамики

гадолиния. Опредление классов универсальности по схеме, предложенной Халпериным и Хоенбергом [3], не учитывает ряд факторов, влияющих на динамику магнетиков, например, наличие дипольных взаимодействий, вследствие чего возможно образование новых классов универсальности.

Ситуация еще более

усложняется, когда добавочных взаимодействий несколько, они

Таблица 2 Модель Гадолиния. Значения динамического критического индекса z.

к

Модель I

h=x 2.07±0.09 2.11±0.10 2.28±0.12

k=V 2.06±0.07 2.08±0.07 2.36±0.10

k^z 2.30±0.11 2.24±0.10 2.37±0.12

Модель II

k=x 2.29±0.11 2.25±0.11 2.47±0.10

*=:и 2.26±0.12 2.27±0.13 2.49±0.13

k=z 2.35±0.12 2.35±0.12 2.54±0.11

Модель III

k=x 2.23±0.08 2.16±0.08 2.34±0.10

к=У 2.02±0.10 2.07±0.10 2.18±0.12

k=z 2.06±0.08 2.04±0.08 2.29±0.08

разных типов и действуют одновременно на фоне сильных обменных взаимодействий. Именно такая ситуация складывается в реальном случае и в нашем случае для модели II.

Кроме того, с нашей точки зрения в некубических кристаллах должно наблюдаться различие в динамических критических свойствах в зависимости от выбранного направления в кристалле. Что и наблюдается в данных, представленных в таблице. Это также подтверждается другими авторами, которые показали, что динамическая скейлинговая функция имеет продольную и поперечную компоненту, и поведение этих компонент совершенно разное [10].

По-видимому, многие особенности наших данных обусловлены и являются результатом суммарного действия всех факторов одновременно. Отметим также, что аномальный характер динамического критического поведения реального гадолиния, который наблюдается во многих экспериментах, возможно, также объясняется именно этим. В связи с этим для классификации динамического критического поведения гадолиния даже предлагался новый класс универсальности J [II].

В главе V приводятся результаты исследования критической релаксации спиновых решеточных систем.

В параграфе 5.1 дано описание классической модели Изинга и приводятся результаты исследования критической релаксации этой модели. Имеется сравнение полученных результатов как с теоретически предсказанными для этой модели, так и с результатами, полученными другими авторами при изучении критической релаксации модели Изинга. Полученное нами значение критического индекса времени релаксации составило г=2.12±0.12, что хорошо согласуется с теоретически предсказанным значением динамического критического индекса для анизотропных магнетиков г=2 (модель А, [3]). Данный результат показывает, что метод критической релаксации можно использовать для изучения критической динамики изинговских систем. На рис.4 для модели Изинга приведен спад автокорреляционных функций

Рис 4 Автокорреляционные функции параметра порядка для модели Изинга.

I.

Рис 5 Зависимость времени релаксации от линейных размеров системы дня модели Изинга.

параметра порядка для систем с различными линейными размерами. Зависимость времени релаксации от линейных размеров для этой модели, по которой определялось значение критического индекса времени релаксации, приведена на рис.5.

Параграф 5.2 посвящен исследованию критической релаксации классической модели Гейзенберга. Приведено сравнение полученных результатов как с теоретически предсказанными результатами для этой модели. Полученное значение критического индекса времени релаксации для модели Гейзенберга составило 1.91 ±0.06. Это значение не согласуется с предсказанием теории динамического скейлинга, которое для изотропных ферромагнетиков дает значение динамического критического индекса г=2.5 (модель У, [3]). Этот результат показывает, что метод критической релаксации не подходит для исследования критической динамики неизинговских систем. Это связано с тем, что эволюция во времени таких систем, моделируемая методом МК, не согласуется с их действительным, физическим развитием во времени.

В параграфе 5.3 освещаются результаты исследования критической релаксации моделей Сг203. Дано сопоставление полученных результатов с теоретически предсказанными для модельных систем. Модель II Сг203 с сильным значением постоянной анизотропии проявляет изинговский характер как статического, так и динамического критического поведения. Поэтому можно было ожидать, что критическую динамику данной модели окажется возможным исследовать методом критической релаксации. Однако полученные результаты показали обратное. Для модели II было полученно значение критического индекса времени релаксации г=2.73±0.07. Данное значение вообще не попадает ни в один класс универсальности динамического критического поведения [3], тогда как для этой модели следовало ожидать значения 2=2, характерное для анизотропных магнетиков (модель А, [3]).

Таким образом, метод критической релаксации не применим к исследованию критической динамики неизинговских систем даже в том случае, когда сильное влияние анизотропии приводит к изинговскому характеру статического критического поведения.

В заключении сделаны обобщающие выводы по результатам диссертационной работы.

Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ с использованием стандартного алгоритма метода Монте-Карло (алгоритма Метрополиса), метода молекулярной динамики и теории динамического конечно-размерного скейлинга, позволяющий исследовать динамическое критическое поведение моделей магнитных материалов любой сложности.

2. Метод молекулярной динамики применен к исследованию критической динамики моделей сложных реальных магнитных материалов, в которых учитываются слабые дополнительные

релятивистские взаимодействия различного типа. Показана возможность и эффективность применения методов вычислительной физики при исследовании динамического критического поведения сложных магнитных моделей.

3. Вычислены динамические критические индексы моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203. При этом показано, что присущая макрообразцам Сг203 эффективная одноионная анизотропия типа "легкая ось", не оказывает существенного влияния на гейзенберговский характер динамического критического поведения данной модели;

4. Вычислены динамические критические индексы моделей ферромагнитного гадолиния, в которых одновременно учитывались два типа релятивистских взаимодействий. При этом показано, что:

• имеются существенные различия в критической динамике вдоль разных направлений в некубических кристаллах;

• изотропные диполь-дипольные взаимодействия оказывают существенное влияние на критическую динамику магнетиков;

• труднообъяснимый с точки зрения теоретических представлений характер критического поведения гадолиния, а также противоречивые результаты экспериментальных исследований обусловлены одновременным действием анизотропных и дипольных сил на фоне сильных обменных взаимодействий.

5. Исследована критическая релаксация классических моделей Изинга и Гейзенберга. Исследована критическая релаксация моделей реального антиферромагнетика Сг203. Вычислены критические индексы времен релаксации этих моделей. При этом показано, что метод критической релаксации применим к изучению критической динамики только изинговских систем.

Цитированная литература

1. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 380 с.

2. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Пер. с англ. А.И. Мицека, Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. - М.: Мир, 1973.-419 с

3. Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamical critical phenomena // Rev. Mod. Phys. - 1977. - v. 49, № 3. - p. 435-479.

4. Landau D.P., Krech M. Spin dynamics simulations of classical ferro- and antiferromagnetic model systems: comparison with theory and experiment // J. Phys.: Condens. Matter. - 1999. - v.l 1. - p.R179-R213.

5. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. - 1994. - V. 205, N 1-3. - P. 41 - 64.

6. Samuelsen E.J., Hutchings M.T., Shirane G. Inelastic neutron scattering investigation of spin waves and magnetic interactions in Cr203 // Physica. - 1970. - V.48, № 1. — P.13 — 42.

7. Marinelli M., Mercuri F., Zammit U., Pizzoferrato R., Scudieri F., Dadarlant D. Photopyroelectric study of specific heat, thermal conductivity, and thermal diffusivity of Cr203 at the Neel transition // Phys. Rev. B. - 1994-11. - V.499, № 14. - P.9523-9532.

8. Камилов И.К., Муртазаев A.K., Алиев X.K. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // Успехи Физических Наук. - 1999. - 169, № 7. - С. 773-795.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Магомедов М.А. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей // ЖЭТФ - 2001. -вып. 120,№6. -с.1535-1543.

10. Henneberger S., Frey Е., Maier P.G., Schwabl F., Kalvius G.M. Critical dynamics of an uniaxial and dipolar ferromagnet // Phys. Rev. В - 1999. -v.60, № 13.-p.9630 -9649.

11. Frey E., Schwabl F., Henneberger S., Hartmann O., Wappling R., KratzerA., Kalvius G.M. Determination of the Universality Class of Gadolinium // Phys. Rev. Lett. - 1997. - v.79, № 25. - p.5142-5145.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей антиферромагнетика Сг203 // ЖЭТФ. - 2000. - т.117,вып.З. - с.559-561.

2. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A., and Abuev Ya.K. Investigation of the Critical Dynamics of Spin Lattice Systems // The Physics of Metals and Metallography. - 2001. - v.92, suppl.l. - p.S106-S109.

3. Murtazaev A.K., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2003. - v.258-259. - p.48-50.

4. Муртазаев A.K., Мутайламов B.A., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг2Оэ // Известия Академии Наук. Серия Физическая. - 2004. - т.68, №5. - с.734-735.

5. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния // ЖЭТФ. - 2005. - т.128, №.2. - с.344-350.

6. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Мутайламов В.А. Конечно-размерный скейлинг и критические индексы Сг203 // Тезисы докладов международной конференции "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах". - Махачкала, 1998. - с.65.

7. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей антиферромагнетика Сг203. Сборник статей конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах". - Уфа, 1999. - с. 167.

8. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики спиновых решетчатых систем // Материалы международной конференции "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2000, с.50.

9. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A. Investigation of Critical Dynamics о Spin Lattice Systems // Abstracts book EASTMAG-2001. - Ekaterinburg,

2001.-p.74.

10. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей магнетиков методами вычислительной физики // Программа и тезисы докладов Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка -2002". - Екатеринбург, 2002. - с.130.

11. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Mutailamov V.A., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods // MISM-2002: Book of Abstracts. -Moscow, 2002. - p.48.

12. Муртазаев A.K., Мутайламов B.A., Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Абуев Я.К. Критическая динамика моделей реальных магнетиков // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII. - Москва,

2002. - с.507-509.

13. Хизриев К.Ш., Муртазаев А.К., Камилов И.К., Мутайламов В.А., Абуев Я.К. Спиновая динамика моделей малой магнитной частицы гадолиния // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII. -Москва, 2002. - с.144-146.

14. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей магнетиков // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2002. - с.8-10.

15. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh. Investigation on the critical dynamics of the real antiferromagnet Cr203 // ICM-2003, International conference on magnetism, Abstract book. -Roma, Italy, 2003. - p.524.

16. Муртазаев A.K., Мутайламов В.А., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг203 // Сборник трудов международного симпозиума "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003. - Сочи, 2003. - с.213-214.

17. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики магнитных материалов численными методами // Труды международного семинара "Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструюурных объектах". - Астрахань, 2003. - с.54-55.

18. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей Сг2Оэ // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых "Физика фазовых переходов". -Махачкала, 2003. - с.174-176.

19. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика модели ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов XIX международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XIX. - Москва, 2004. - с.755-756.

20. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2004. - с.40-43.

Подписано в печать 18 10 2005 Тираж 100 экз Бесплатно Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН 367003, г Махачкала, ул. М. Ярагского, 94

¡520 1 0 9

РНБ Русский фонд

2006-4 18078

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И

КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА МАГНЕТИКОВ.

§ 1.1. Метод Монте-Карло.

§ 1.2. Метод Молекулярной Динамики.

§ 1.3. Критическая динамика магнетиков.

§ 1.4. Экспериментальные исследования критической динамики магнетиков.

§ 1';5. Исследование критической динамики магнетиков численными методами.

ГЛАВА II. КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

§ 2.1. Критические свойства модели Гейзенберга.

§ 2.2. Критическая динамика модели Гейзенберга.

ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ^ МОДЕЛЕЙ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА Сг203.

§ 3.1. Критические свойства макрообразцов Сг20з.

§ 3.2. Статические критические свойства моделей СГ2О3.

§ 3.3. Критическая динамика моделей Сг20з.

ГЛАВА IV. ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ФЕРРОМАГНИТНОГО ГАДОЛИНИЯ.

§ 4.1. Критические свойства макрообразцов Gd.

§ 4.2. Статические критические свойства моделей Gd.

§4.3; Критическая динамика моделей Gd.

ГЛАВА V. КРИТИЧЕСКАЯ РЕЛАКСАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

Щ СПИНОВЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

§5.1. Критическая релаксация модели Изинга.

§ 5.2; Критическая релаксация модели Гейзенберга.

§ 5.3. Критическая релаксация моделей Сг203.

Исследование динамических критических свойств спиновых систем является одной из актуальных задач современной статистической физики [1-6]. Построение последовательной и строгой теории динамических критических явлений на основе микроскопических гамильтонианов остается одной из центральных проблем современной теории фазовых переходов и критических явлений [2] и, несмотря на значительные успехи, достигнутые в последнее время в исследовании критической динамики спиновых систем, все еще далека от своего решения [3]. Теоретические и экспериментальные исследования в этой области сталкиваются с огромными и труднопреодолимыми препятствиями [5-20];

Существующие аналитические теории при исследовании спиновых систем исходят из микроскопических гамильтонианов. Из теоретических подходов можно отметить теорию ренормализационных групп [4], теорию взаимодействующих мод [3], гипотезу динамического скейлинга [3,4]. С применением данных подходов получены результаты для целого ряда простых модельных систем, для которых был рассчитан динамических критический индекс z. Установлены основные факторы, влияющие на его численное значение. Показано, что характер динамического критического поведения зависит не только от размерности пространства, числа степеней свободы параметра порядка, характера упорядочивающего взаимодействия и симметрии гамильтониана, но и от выполнимости законов сохранения характерной энергии и параметра порядка.

Однако теория все же не дает полной и однозначной картины динамического критического поведения вблизи критической точки. Динамические критические свойства магнитоупорядоченных материалов отличаются большим разнообразием и сложностью, которая обусловлена необходимостью учета вместе с сильными обменными взаимодействиями и слабых релятивистских. Наиболее существенными из них являются дипольные взаимодействия, роль которых возрастает при подходе к критической точке. В результате вся критическая область оказывается поделенной на обменную и дипольную. В обменной области, как показывают эксперименты, справедливы предсказания теории взаимодействующих мод и динамического скейлинга. В дипольной же области теория предсказывает два варианта динамики: обычный и жесткий [9-11]. Экспериментальная же ситуация пока еще не ясна из-за противоречивости имеющихся данных [9-12].

В последние десятилетия для исследования фазовых переходов и критических явлений все шире стали применяться методы вычислительной физики (ВФ): такие, как методы Монте-Карло (МК) и молекулярной динамики, (МД). Методы ВФ обладают рядом ценных преимуществ, связанных не только с их строгой математической обоснованностью и возможностью контроля за погрешностью в рамках самих методов, но и с тем, что они позволяют определить степень влияния на результаты того или иного фактора.

Первый вариант применения метода МК в статистической физике был предложен в работе [24], после чего получил дальнейшее развитие в [25-32]. С тех пор интерес к численным методам постоянно возрастает. Разрабатываются новые алгоритмы, исследуются все более сложные физические системы с различными типами межчастичных взаимодействий. Численные методы являются основным инструментом для исследования систем в таких условиях, в которых экспериментальные данные либо еще не существуют, либо их получение связано со значительными трудностями. Методы ВФ позволяют исследовать статические и динамические свойства конденсированных систем со сложными потенциалами взаимодействия, в широком интервале температур, с учетом различных дополнительных факторов (таких, например, как анизотропия, внешнее магнитное поле и других параметров) [32-56]. При этом следует отметить, что точность результатов, получаемая методами ВФ, не только не уступает данным, полученным другими методами, но зачастую и превосходит их [44]., Значительное влияние на развитие исследований критических явлений численными методами оказала и применяемая для расчета критических параметров теория конечно-размерного скейлинга [57-59].

Для реализации на ЭВМ временной эволюции системы частиц согласно классическим уравнениям движения при заданном законе взаимодействия частиц друг с другом был разработан метод МД [60-64], который широко применяется и для исследования спиновых решеточных систем [47,49,52].

В последнее время стало уделяться, значительное внимание применению методов ВФ к исследованию и динамического критического поведения моделей магнитных материалов [37,44]. Исследование критической динамики представляет собой более сложную задачу, чем изучение статического критического поведения. При изучении статических критических явлений методами теоретической физики исследуются свойства различных термодинамических параметров в равновесном состоянии. Статическая задача представляет собой, по сути, задачу статистическую. В случае динамического поведения необходимо знать каким образом конфигурации изменяются со временем, как изменяются физические характеристики при воздействии зависящих от времени внешних возмущений, каким образом по прекращении действия возмущений устанавливается равновесная плотность распределения [4].

Существующие в настоящее время представления о критической динамике были получены в рамках теорий взаимодействующих мод и динамического скейлинга [3-8]. Эти две теории развивались независимо друг от друга и основаны на различных идеях. Однако результаты, полученные ими, согласуются друг с другом. Связь между этими двумя подходами была найдена, когда было показано, что вместо гидродинамических мод можно ввести совокупность динамических переменных, динамика которых имеет характеристический спектр частот, предсказанный динамическим скейлингом [12].

Количественное изучение критической динамики численными методами началось относительно недавно. В ряде работ эти методы использованы для изучения динамических свойств вблизи точки фазового перехода и расчета динамического критического индекса z [44, 65-91]: Однако, до сих пор все исследованные численными методами системы являются моделями первого приближения на простых решетках. Это, как правило, различные варианты модели Изинга и Гейзенберга, XY-модель на простой и объемоцентрированной кубических решетках. В последнее время проводятся численные исследования критической динамики моделей реальных магнитных материалов на простых решетках [76,77,80]. Это модель изотропного антиферромагнетика RbMrrfV на простой кубической решетке, модели анизотропных антиферромагнетиков FeF2 и MnF2 на ОЦК решетке.

Большой интерес представляет исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия присутствуют различные усложняющие факторы, присущие реальным системам, но не учитываемые классическими моделями первого приближения. К ним могут быть отнесены анизотропия и примеси, многоспиновый обмен, диполь-дипольное взаимодействие и ряд других факторов. Отметим, что предложенная в работе [5] традиционная классификация классов универсальности динамического критического поведения вообще не учитывает фактор влияния обусловленный дипольными взаимодействиями. В последующем С.В.Малеев в своих известных работах

9-11] показал, что учет дипольных взаимодействий в теории приводит к двум вариантам динамики - обычной и жесткой, каждая из которых характеризуется своим набором критических параметров.

Экспериментальная ситуация пока не ясна из-за противоречивости имеющихся данных [12]. В действительности ситуация еще более сложная, так как в реальном материале одновременно могут существовать все факторы, влияющие на критическую динамику. В таком случае, очевидно, что характер критической динамики в значительной мере зависит от соотношения действующих сил - обменных, анизотропных и дипольных. Кроме того, не следует забывать, что вблизи критической точки формируется не только то или иное критическое поведение, обусловленное соответствующими силами, но и существуют кроссоверные области. Вследствие чего, характер критического поведения может меняться в зависимости от того, насколько близко удалось приблизиться к критической точке. Очевидно, что реальная ситуация еще более разнообразная, так как релятивистские силы могут быть разных типов. Например, анизотропия может быть одноосной, кубической и т.д., а дипольные взаимодействия могут быть как изотропными, так и анизотропными. По видимому, влияние совокупности всех этих факторов и является одной из серьезных причин противоречивости экспериментальных данных по исследованию динамических критических свойств магнитоупорядоченных материалов.

Очевидно, что экспериментальные исследования вряд ли смогут в ближайшее время прояснить сложившуюся противоречивую ситуацию, когда теория предсказывает одно, а эксперимент дает другое поведение, так как высокоточные исследования в критической области чрезвычайно трудновыполнимы. Кроме того, почти всегда экспериментальные результаты являются суммой действия всех сил одновременно. Вследствие чего, практически невозможно определить вклад и степень влияния того или иного фактора. Строгое теоретическое исследование этого вопроса также маловероятно из-за чрезмерных математических трудностей.

В последнее время значительную роль в прояснении таких сложных вопросов стали играть методы вычислительной физики. По крайней мере, при изучении статических критических явлений методы вычислительной физики; позволяют рассчитать критические параметры'с очень высокой степенью точности и надежности [37]. Основными параметрами, определяющими критическую динамику, являются критический индекс времени релаксации w и динамический критический индекс z: г ~ |/| *,

Ш т ~ , где t = \T— Тс\/Тс и £ = (Т/Тс - l)-v . В середине 90-х годов прошлого столетия появился метод, позволяющий с использованием теории динамического конечно-размерного скейлинга [19] и специальной схемы определения характеристической частоты сос рассчитать динамический критический индекс z [44,70,77]. Кроме того, в ряде работ для исследования критической динамики использовался и метод критической релаксации [44,65-67].

Таким образом исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых слабые ^ релятивистские взаимодействия разного типа выступают одновременно на фоне сильных обменных взаимодействий, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики.

В данной работе методами вычислительной физики исследована критическая динамика моделей магнитных материалов. Объектами исследования являются как хорошо изученные модели (модель Изинга и модель Гейзенберга [32,44,92]), так и модели реальных магнитных материалов. А именно: модели сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203 и модели ферромагнитного гадолиния. При этом основные вопросы, на которые мы хотели получить ответы, можно сформулировать следующим образом:

1. Какое влияние на характер динамического: критического поведения оказывает одноосная анизотропия?

2. Как влияют изотропные диполь-дипольные взаимодействия на характер динамического критического поведения?

3. Отличается ли критическая динамика вдоль разных направлений в некубических кристаллах?

4. Способна ли используемая методика расчета критических параметров выявить влияние на критическую динамику таких факторов, как анизотропия и достаточно слабых диполь-дипольных взаимодействий?

5. Возможно ли исследование критической динамики моделей сложных магнитных материалов методом критической релаксации?

Выбор для исследования моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3 и ферромагнитного гадолиния обусловлен следующими факторами: * 1. Физические свойства этих материалов хорошо изучены методами лабораторного эксперимента. Имеется значительное число работ, посвященных экспериментальному исследованию как Сг203 [93-107], так и гадолиния [108-138].

2. Экспериментально изучено и статическое критическое поведение Сг203 [105-107] и гадолиния [108,117-131], что может служить хорошей базой для изучения и критической динамики.

3. Статическое критическое поведение моделей данных материалов исследовалось и методами численного эксперимента. Результаты

I моделирования статического критического поведения для моделей СГ2О3 приведены в работах [37,48-52], а для гадолиния в [53-56].

4. На характер статического критического поведения в Сг2Оз значительное влияние оказывает эффективная одноионная анизотропия типа "легкая ось" [37,48-50].

5. В гадолинии на характер статического критического поведения существенное влияние оказывают изотропные диполь-дипольные взаимодействия [54; 131].

6. Существует довольно обширный ряд экспериментальных работ по изучению критической динамики ферромагнитного гадолиния [12,132,133,137,138], но результаты этих работ столь противоречивы, что на их основе нельзя сделать какие-либо однозначные выводы.

7. Имеется ряд работ теоретического плана, в которых сделана попытка объяснить сложный характер динамического критического поведения гадолиния [139,140].

8. Динамическое критическое поведение гадолиния представляет серьезный интерес и само по себе, так как оно формируется под действием трех факторов одновременно - обменных взаимодействий, магнитной кристаллографической анизотропии и изотропных диполь-дипольных взаимодействий.

Целью работы являлось исследование динамических критических свойств моделей сложных реальных магнитных материалов. В процессе выполнения работы решались следующие задачи:

1. Разработка методики исследования динамического критического поведения спиновых систем на базе метода МК и метода МД.

2. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать критическую динамику сложных спиновых решеточных систем.

3. Исследование динамического критического поведения простых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга).

4. Исследование динамического критического поведения моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.

5. Исследование динамического критического поведения моделей реального ферромагнитного гадолиния.

6. Определение степени влияния на характер динамического критического поведения добавочных релятивистских взаимодействий, таких, как анизотропия и диполь-дипольное взаимодействие.

7. Проверка различия критической динамики вдоль разных направлений в некубических кристаллах.

8. Изучение критической релаксации спиновых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга) и моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты по исследованию динамического критического поведения моделей сложных реальных магнитных материалов представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма и физики фазовых переходов и критических явлений. При этом основой для дальнейших исследований является комплекс программ для ЭВМ, разработанный при выполнении данной работы.

Сопоставление результатов численного эксперимента по исследованию динамического критического поведения моделей магнитных материалов как с теоретически предсказанными результатами, так и с результатами лабораторных и численных экспериментов, показало применимость методов ВФ к исследованию критической динамики не только простых модельных систем, но и моделей сложных реальных магнитных материалов, в которых помимо обменных взаимодействий присутствуют и добавочные релятивисткие взаимодействия различного вида.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Возможность применение методов численного эксперимента к изучению динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия учитываются и слабые добавочные релятивистские взаимодействия.

2. Исследование динамического критического поведения моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг20з. Оценка влияния анизотропии на характер динамического критического поведения моделей Сг20з.

3. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния. Оценка влияния одноосной анизотропии и изотропного диполь-дипольного взаимодействия на характер динамического критического поведения моделей гадолиния.

4. Проверка возможности применения метода критической релаксации к исследованию динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов.

Исследование критической релаксации моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3.

5. Проверка существования различий в критической динамике вдоль разных направлений в некубических кристаллах.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить исследования критической динамики и критической релаксации моделей сложных реальных магнитных материалов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 1998, 2000, 2002, 2004); Евро-Азиатский симпозиум "Тенденции в Магнетизме" EASTMAG-2001 (Екатеринбург, 2001); Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Екатеринбург, 2002); Московский международный симпозиум по магнетизму "MISM-2002" (Москва, 2002); Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII и HMMM-XIX (Москва, 2002, 2004); Международная конференция по магнетизму ICM-2003 (Италия, Рим, 2003); Международный симпозиум "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003 (Сочи, 2003); Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003).

Основные результаты работы опубликованы:

Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Мутайламов В.А. Конечно-размерный скейлинг и критические индексы Сг20з // Тезисы докладов международной конференции "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах". - Махачкала, 1998. - с.65.

Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей антиферромагнетика Сг20з. Сборник статей конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах". - Уфа, 1999. - с.167. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей антиферромагнетика СГ2О3 // ЖЭТФ. - 2000. - т.117,вып.З. - с.559-561.

Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики спиновых решетчатых систем // Материалы международной конференции "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2000, с.50. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A. Investigation of Critical Dynamics о Spin Lattice Systems // Abstracts, book EASTMAG-2001. - Ekaterinburg, 2001. - p.74;

Муртазаев A.K., Камилов И.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей магнетиков методами вычислительной физики // Программа и тезисы докладов Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка -2002". - Екатеринбург, 2002. - с.130.

7. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Mutailamov V.A., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods // MISM-2002: Book of Abstracts. - Moscow, 2002. - p.48.

8. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A., and Abuev Ya.K. Investigation of the Critical Dynamics of Spin Lattice Systems // The Physics of Metals and Metallography. - 2001. - v.92, supplll. - p.S106-S109.

9. Муртазаев A.K., Мутайламов B.A., Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Абуев Я.К. Критическая динамика моделей реальных магнетиков // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII. - Москва, 2002. - с.507-509.

10. Хизриев К.Ш., Муртазаев А.К., Камилов И.К., Мутайламов В.А., Абуев Я.К. Спиновая динамика моделей малой магнитной частицы гадолиния // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIIL - Москва, 2002. - с.144-146.

11. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Мутайламов В.А., Критическая динамика моделей магнетиков // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". -Махачкала, 2002. - с.8-10.

12. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2003. - v.258-259. - p.48-50.

13. Murtazaev A.K., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh. Investigation on the critical dynamics of the real antiferromagnet Cr203 // ICM-2003, International conference on magnetism, Abstract book. - Roma, Italy, 2003. - p.524.

14. Муртазаев A.K., Мутайламов B.A., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг203 7/ Сборник трудов международного симпозиума "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003. - Сочи, 2003. - с.213-214.

15. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики магнитных материалов численными методами // Труды международного семинара "Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах". - Астрахань, 2003. - с.54-55;

16. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей Сг203 // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых "Физика фазовых переходов". - Махачкала, 2003. - с.174-176.

17. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг203 // Известия Академии Наук. Серия Физическая. - 2004. - т.68, №5. - с;734-735.

18. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика модели ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов XIX международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XIX. - Москва, 2004. - с.755-756.

19. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2004. - с.40-43.

20. Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния // ЖЭТФ. - 2005. - т.128, №.2. - с.344-350.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка цитированной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе методами численного эксперимента исследовано динамическое критическое поведение как классических, так и сложных моделей реальных магнитных материалов с вычислением динамического критического индекса z. Кроме того изучена и критическая релаксация этих моделей. В качестве объектов исследования выбраны классические модельные системы (модели Изинга и Гейзенберга) и модели сложных реальных магнитных материалов (многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3 и ферромагнитного гадолиния). В данном исследовании на примере моделей сложных магнитных материалов впервые изучено влияние на характер динамического критического поведения слабых релятивистских взаимодействий различного типа, действующих как независимо, так и на фоне друг друга.

Исследование критической динамики рассматриваемых моделей методами вычислительной физики представляет значительный интерес, поскольку проведение строгих аналитических расчетов для большинства из рассматриваемых моделей не представляется возможным ввиду их сложности. Отметим, что исследование динамического критического поведения моделей СГ2О3 и гадолиния выполнено впервые.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Разработан сложный комплекс программ для ЭВМ с использованием стандартного алгоритма метода Монте-Карло (алгоритма Метрополиса), метода молекулярной динамики и теории динамического конечно-размерного скейлинга, позволяющий исследовать динамическое критическое поведение моделей магнитных материалов любой сложности.

Метод молекулярной динамики применен к исследованию критической динамики моделей сложных реальных магнитных материалов, в которых учитываются слабые дополнительные релятивистские взаимодействия различного типа. Показана возможность и эффективность применения методов вычислительной физики при исследовании динамического критического поведения сложных магнитных моделей. Вычислены динамические критические индексы моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3. При этом показано, что:

• присущая макрообразцам Сг20з эффективная одноионная анизотропия типа "легкая ось", не оказывает существенного влияния на гейзенберговский характер динамического критического поведения данной модели;

• увеличение в Сг203 константы анизотропии на два порядка, характерное для малых магнитных частиц, приводит к тому, что анизотропия начинает значительно влиять на характер динамического критического поведения модели, делая его изинговским.

Вычислены динамические критические индексы моделей ферромагнитного гадолиния, в которых одновременно учитывались два типа релятивистских взаимодействий. При этом показано, что:

• имеются существенные различия в критической динамике вдоль разных направлений в некубических кристаллах;

• изотропные диполь-дипольные взаимодействия оказывают существенное влияние на критическую динамику магнетиков;

• труднообъяснимый с точки зрения теоретических представлений характер критического поведения гадолиния, а также противоречивые результаты экспериментальных исследований обусловлены одновременным действием анизотропных и дипольных сил на фоне сильных обменных взаимодействий.

5. Исследована критическая релаксация классических моделей Изинга и Гейзенберга. Исследована критическая релаксация моделей реального антиферромагнетика Сг20з. Вычислены критические индексы времен релаксации этих моделей. При этом показано, что метод критической релаксации применим к изучению критической динамики только изинговских систем.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность моим научным руководителям член-корреспонденту РАН, профессору Камилову Ибрагимхану Камиловичу и профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы.

Автор также глубоко признателен всем сотрудникам лаборатории «Вычислительной физики и физики фазовых переходов» Института физики ДагНЦ РАН, принимавшим активное участие в обсуждении результатов работы.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - М.: Наука, 1976.- 584 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 380 с.

3. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления 7 Пер. с англ.

4. A.И. Мицека , Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Мир, 1973.-419 с

5. Ma Ш. Современная теория критических явлений7 Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.),

6. B.К. Федянина. М.: Мир, 1980. - 298 с.

7. Hohenberg Р.С., Halperin B.I. Theory of dynamical critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. - v. 49, № 3. - p. 435-479.

8. Halperin B.I., Hohenberg P.C. Scaling Laws for Dynamic Critical Phenomena // Physical Review. 1968. - v.177, № 2. - p. 952-971.

9. Fixman M. Viscosity of Critical Mixtures // Journ. Chem. Phys. 1962. -v.36, №2. - p.310-318.

10. Kadanoff L.P., Swift J. Transport Coefficients near the Liquid-Gas Critical Point // Phys. Rev. 1968. - v.166, Iss.l. - p.89-101.

11. Малеев С.В. Препринт ЛИЯФ АН СССР №1038. Л.: ЛИЯФ, 1985.

12. Малеев С.В. Препринт ЛИЯФ АН СССР №1039. Л.: ЛИЯФ/1985.

13. Малеев С.В. Препринт ЛИЯФ АН СССР №1040. Л: ЛИЯФ, 1985.

14. Камилов И.К., Алиев Х.К. Исследование критической динамики магнитоупорядоченных кристаллов ультразвуковыми методами // Успехи физических наук. 1998. - т. 168, № 9. - с.953-974.

15. Тейтельбаум Г.Б. Динамика намагниченности в дипольной критической области // Письма в ЖЭТФ. 1975. т.21, вып.6. - с.339-341.

16. Miyashita S., Takano H. Dynamical Nature of the Phase Transition of the Two-Dimensional Kinetic Ising Model // Prog. Theor. Phys. 1985. -v.73, № 5. - p.l 122-1140.

17. Krishnamurthy V.V., Watanabe I., Nagamine K., Kuwahara H., Tokura Y. Critical spin dynamics in Ndi.xSrxMn03 with x~0.5 // Phys. Rev. B. -2000. v.61, № 6, - p. 4060-4069.

18. Furukawa Y., Luban M., Borsa F., Johnston D.C., Mahajan A.V., Miller L.L., Mentrup D., Schnack J., Bino A. Magnetism and spin dynamics in the cluster compound Cr4S(02CCH3)8(H20)4.(N03)2*H20 // Phys. Rev. B. 2000. - 61, № 13. . p. 8635-8638.

19. Christianson R.J., Leheny R.L., Birgeneau R.J. Critical dynamics of a spin -5/2 two-dimensional isotropic antiferromagnet // Phys. Rev. B. 2001. -v.63., № 140401(R). - p. 140401-1-140401-4.

20. Kawasaki K., Gunton J. Renormalization-group and mode coupling theories of critical dynamics // Phys. Rev. B. 1976. - v.13, № 11. -p. 4967-4671.

21. Suzuki M. Static and Dynamic Finite-Size Scaling Theory Based on the Renormalization Group Approach // Progress in Theoretical Physics. -1977. v.58, № 4. - p.l 142-1150.

22. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и е-разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. М.: Мир, 1975. - 256 с.

23. Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. - v.21, № 9. - p.3976-3988.

24. Le Guillou J.J.C., Zinn-Justin J. Accurate critical exponents from the e-expansion // J. Phys. Lett. 1985. -v.46. - p.L137-L142.

25. Antonenko S.A., Sokolov A.I. Critical exponents for a three-dimensional 0(«)-symmetric model with ri>3 // Phys. Rev. E. 1995. - v.51, № 3. -p.1894-1898.

26. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // J. Chem. Phys. 1953. - V.21, № 6. - P. 1087 - 1092.

27. Wood W.W., Parker F.R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isotherm at about twice the critical temperature // J. Chem. Phys. -1957. V.27, №3. -P. 720 - 733.

28. Wood W.W., Parker F.R., Jackson J. Recent Monte Carlo calculations of equation of state of Lenard-Jones and hard sphere molecules //Niovo Cimento, suppl. 1958. - № 9. - P. 133-143.

29. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. 1957. - V. 2, № 4. - P. 239.

30. Фишер З.И. Применение метода Монте-Карло в статистической физике // УФН. 1959. - т. 69. Вып. 3. - с. 349 - 369.

31. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, - 1973. -311с.

32. Вуд В.В. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло // Физика простых жидкостей / Под ред. Х.М. Темперли, Д.С. Роулинсон, Т.С. Рашбрука. -М.: Мир, 1978.

33. Binder К., Luijten Е. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Reports. -2001.-V. 344, P. 179-253.

34. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, F.A. Михайлова. М.: Мир, 1982. - 400 с.

35. Замалин В.М., Норман Э.Г., Филинов B.C. Методы Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977. - 227 с.

36. Mouritsen О. G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. Berlin, Springer, 1984. - 200 p.

37. Камилов И.К., Муртазаев A.K., Алиев X.K. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // Успехи Физических Наук. 1999. - 169, № 7. - С. 773-795.

38. Swendsen R.H., Wang J. Sh. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations //Phys. Rev. Lett. - 1987. - V.58, № 2. - P.86-88.

39. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett.- 1989. V.62, № 4. - P.361-364.

40. Swendsen R.H., Wang J. Sh., Ferrenberg A.M. New Monte-Carlo methods for improved efficiency of computer simulations in statistical mechanics: In the Monte Carlo method in condensed matter physics. Ed. K. Binder (Springer, Berlin, 1992).

41. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study// Phys. Rev. B. 1991.- v.44, № 10. p.5081-5091.

42. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. -1991. v.43, №7. - p.6087-6093.

43. Chen K., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993-1. - v.48, №5. - p.3249-3256.

44. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. 1994. - V. 205, N 1-3. - P. 41-64.

45. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рощиненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. Киев: Препринт ИТФ АН УССР, ИТФ-85-93Р, 1985.-С. 23.

46. Рождественский И.В., Муртазаев А.К., Фаворский И.А. Исследование квантовых моделей магнетиков и сегнетоэлектриков методами численного эксперимента. Препринт ИТФ АН УССР: ИТФ - 87 - 158Р (Киев, 1988).

47. Муртазаев А.К. Моделирование малых магнитных частиц У20з. // Математическое моделирование. 1992. - Т.4, № 9. - с.114-120.

48. Муртазаев А.К., Фаворский И.А., Моделирование малых магнитных частиц Сг20з // Вестник ЛГУ, Сер. Физ. хим. 1987. - вып.З, № 18. -с.12-17.

49. Муртазаев А.К., Фаворский И.А. Моделирование малых магнитных частиц Сг20з и a-Fe203 // Физика низких температур. 1993. - т. 19, №2. - с.160-164.

50. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Камилов И.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг20з // Физика низких температур. 1998. - т.24, № 5. - с.462- 467.

51. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение теплоемкости малых магнитных частиц Сг203 // Физика твердого тела. 1998. - т.40, № 9. - с.1661-1662.

52. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш., Камилов И.К., Алиев Х.К. Моделирование динамических свойств малых магнитных частиц Сг20з // Математическое моделирование. 1997. - т.9, № 10. - с.36-42.

53. Murtazaev A.K., Kamilov I.K., Magomedov M.A., Khizriev K.Sh. Critical properties of model of a real magnetic Gd // Phys. Met. Met. -2001.-v.92,-p.S110-S114.

54. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей // ЖЭТФ 2001.- вып. 120, № 6. с.1535-1543.

55. Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Magomedov M.A. Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers // Сотр. Phys. Commun. 2002. - v. 147. - p.447-450.

56. Муртазаев A.K., Магомедов M.A., Камилов И.К. Критические свойства моделей реального ферромагнитного Gd // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых "Физика фазовых переходов". Махачкала, 2003. - с. 160-162.

57. Ferdinand А.Е., Fisher М.Е. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. 1969. - V.185, № 2 - P.832-846.

58. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28, № 23. - P. 1516-1519.

59. Privman V., Fisher M.E. Universal critical amplitudies in finite-size scaling // Phys. Rev. B. 1984. - V.30, № 1. - P.322-327.

60. Alder В J. , Wienright H. Phase transition for a hard sphere system // J. Chem. Phys. 1957. - V. 27, № 5. - P. 1208 - 1209.

61. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Phys. Rev. 1964.-V. 136A, N 2. - P. 405-411.

62. Ахиезер A.M;, Барьяхтар В.Г. Пелетминский C.B. Спиновые волны. -М.: Наука, 1967. -307с.

63. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов.- М.: Изд. АН СССР, 1963. 223 с.

64. Kubo R., Toybe Т. Magnetic resonance and relaxation / ed. by Blinc. -Amsterdam, 1967. 81 Op.

65. Wansleben S., Landau D.P. Dynamical critical exponent of the 3D Ising model //J. Appl. Phys. 1987. - v.61, Issue 8. - p.3968-3970.

66. Wansleben S., Landau D.P. Monte-Carlo investigation of critical dynamics in the three-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1991. -v.43, № 7. - p.6006-6014.

67. Peczak P., Landau D.P. Dynamical critical behavior of the three-dimensional Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1993. - v.47, № 21. -p.14260-14266.

68. Lacasse M.-D., Vinals J., Grant M. Dinamic Monte Carlo renormalisation-group method // Phys. Rev. B. 1993. - v.47, № 10. -p.5646-5652.

69. Peczak P., Landau D.P. Monte Carlo study of critical relaxation in the 3D Heisenberg model // Journal of Applied Physics. 1990. - v.67, № 9. -p.5427-5429.

70. Chen K., Landau D.P. Spin-dynamics study of the dynamic critical behavior of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1994. - v.49, № 5. - p.3266-3274.

71. Bunker A., Chen K., Landau D.P. Critical dynamics of the body-centered-cubic classical Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1996. - v.54, № 13. - p.9259-9266.

72. Krech M., Landau D.P. Spin-dynamics simulations of the three-dimensional XY model: Structure factor and transport properties // Phys. Rev. B. 1999. - v.60, № 5. - 3375-3387.

73. Rapaport D.C., Landau D.P. Critical dynamics of a dynamical version of the classical Heisenberg model // Phys. Rev. E. 1996. - v.53, № 5. -p.4696-4702.

74. Keren A. Dynamical Simulations of Spins on Kagome and Square Lattices // Phys. Rev. Lett. 1994. - v.72, № 20. - p.3254-3257.

75. Mariz A.M., Nobre F.D., Tsalis C. Generated single-spin-flip dynamics for the Ising model and thermodynamics properties // Phys. Rev. B. -1996. v.49, № 5. p.3567-3569.

76. Landau D.P., Bunker A., Chen K. Critical dynamics of the anisotropic BCC Heisenberg antiferromagnet // J. Magn. Magn. Mater. 1998. -v.177-181. - p.161-162.

77. Landau D.P., Krech M. Spin dynamics simulations of classical ferro- and antiferromagnetic model systems: comparison with theory and experiment //J. Phys.: Condens. Matter. 1999. - v.ll. - p.R179-R213.

78. Hinzke D., Nowak U. Magnetic relaxation in a classical spin chain // Phys. Rev. B. 2000. - v.61, № 10. - p.6734-6740.

79. Florencio J., Sa Barreto F.C., de Alcantara Bonfim O.F. Dynamical behavior of the random-bond transverse Ising model with four-spin interactions // Phys. Rev. B. 2000. - v.61, № 21. - p.14327-14330.

80. Tsai S.-H., Bunker A., Landau D.P. Spin-dynamics simulations of the magnetic dynamics of RbMnF3 and direct comparison with experiment // Phys. Rev. B. 2000. - v.61, № 1. - p.333-342.

81. Nightingale M.P., Bio H.W.J. Monte Carlo computation of correlation times of independent relaxation modes at criticality // Phys. Rev. B. -2000. v.62, № 2. - p.1089-1101.

82. Jensen L.M., Kim B.J., Minnhagen P. Dynamic critical exponent of two-, three-, and four-dimensional XY models with relaxational and resistively shunted junction dynamics // Phys. Rev. B. 2000. - v.61, №22. -p.15412-15428.

83. Bray A.J., Briant A.J., Jervis D.K. Breakdown of Scaling in the Nonequilibrium Critical Dynamics of the Two-Dimensional XY Model // Phys. Rev. Lett. 2000. - v.84, № 7. - p. 1503-1506.

84. Aji V., Goldenfeld N. Critical Dynamics of a Vortex-Loop Model for the Superconducting Transition // Phys. Rev. Lett. 2001. - v.87, № 19. -p.197003-1-197003-4.

85. Shur A., Jasnow D., Lowe I.J. Spin dynamics for the one-dimensional XY model at infinite temperature // Phys. Rev. B. 1975. - v. 12, № 9. -p.3845-3848.

86. Florencio Jr. J., de Alcantara Bonflm O.F., Sa Garreto F.C. Dynamics of a transverse Ising model with four-spin interactions // Physica A. 1997. -v.235. - p.523-533.

87. Вакилов А.Н., Прудников B.B. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 1992. - т.55, вып. 12. - с.709-712.

88. Прудников В.В., Вакилов А.Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. -т.103, № вып. - с.962-969.

89. Марков О.Н., Прудников В.В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. - т.60, №1. - с.24-29.

90. Prudnikov V.V., Markov O.N. Critical dynamics of disordered two-dimensional Ising systems: a Monte Carlo study // J. Phys. A. 1995. -v.28, №6. - p.1549-1556.

91. Марков O.H., Прудников B.B. Компьютерное моделирование критической динамики сильнонеупорядоченных двумерных изинговских систем // ФТТ. 1995. - т.37, № 6. - с.1574-1583.

92. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1958.-486с.

93. McGuiere T.R., Scott E.J., Grannis F.H. Antiferromagnetism in а Сг20з crystall // Phys. Rev. 1956 - v. 102, № 4. - p. 1000-1003.

94. Li Y.Y. Superexchange interactions and magnetic lattice of the rombohedral sesquioxides of the transitions elements // Phys. Rev. — 1956. -V. 102, N4.-P. 1015 -1020.

95. Tachiki M., Nagamiya T. Origin of the magnetic anisotropy energy of antiferromagnetic Cr203 // Jour. Phys. Soc. Jap. 1958. - V.13, № 5. - P. 452-455.

96. Newman R.E., Haan Y.M. Refinement of the а-А120з, Ti203, У20з and Cr203 structures // Zeitschrift fur kristallographic. 1962. - Bd. 117, 2/3. -S. 235-237.

97. Foner S. High Field antiferromagnetic resonance in Сг20з // Phys. Rev.- 1963 V.130, №1.- P. 183 - 197.

98. Altman J.O., Murphy J.C., Foner S. Magnetic anisotropy in antiferromagnetic Corundum-type sesquixides // Phys. Rev. 1965. -V.138A, № 3. - P. 912 -917.

99. Samuelsen E.J. Spin waves in antiferromagnets with corundum structure // Physica. 1969. - V.43, № 1-4;.- P.353 - 374.

100. Samuelsen E.J., Hutchings M.T., Shirane G. Inelastic neutron scattering investigation of spin waves and magnetic interactions in Сг20з //Physica.- 1970. V.48, № 1. - P. 13 - 42.mt

101. Shapira Y., Bacerra C.C. Magnetic phase boundaries near the bicritical and Neel point of Cr203 // Phys. Rev. B. 1977. - V. 16, № 11. - P.4920-4935.

102. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1985. -336 с.

103. Белов Д.В., Воробьев Г.П., Звездин А.К., Кадомцева A.M., Попов Ю.Ф. Магнитоэлектрический эффект в спин-флоп фазе Сг203 и проблема определения магнитной структуры // Письма в ЖЭТФ. -1993. Т.58, вып.8. - С.603-607.

104. Fiebig М-, Frohlich, H.-J.Thiela. Determination of spin direction in the spin flop phase of Cr203 // Phys. Rev. B. - 1996. -V.54, № 18. -P.R12681-R12684.

105. Bruce R.H., Cannell D.S. Specific heat of Сг20з near the Neel temperature // Phys. Rev. B. 1977. - V.15, № 9. - P.4451-4459.

106. Муртазаев A.K., Абдулвагидов Ш.Б., Алиев A.M., Мусаев O.K. Теплоемкость антиферромагнетика Сг2Оз вблизи критической температуры // ФТТ. 2001. - т.43, вып.6. - с.1067-1071.

107. Bednarz G., Geldart D.J.W., Mary Anne White. Heat capacity of gadolinium near the Curie temperature // Phys. Rev. B. 1993-1. - V.47, № 21. - P.14247-14259.

108. Андрианов A.B., Бучельников В.Д., Васильев A.H. и др. Электромагнитное возбуждение ультразвука в гадолинии// ЖЭТФ. -1988. — Т.94, вып. 11. -С.277-288.

109. Белов К.П., Белянчикова М.А., Левитин Р.З., Никитин С.А. Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. М.: Наука, 1965. -319с.

110. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. - 1032 с.

111. Белов К.П., Звездин А.К., Кадомцева A.M., Левитин Р.З. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках. М.: Наука, 1979.-320 с.

112. Gable J.W., Wolkon Е.О. Neutron diffraction study of the magnetic behaviour of Gadolinium//Phys. Rev. 1968. - V.165, № 2. - P.733-734.

113. Кучин В.М., Соменков В.А., Шильштейн С.Ш., Патрикеев Ю.Б. Нейтронографическое исследование монокристалла Gd // ЖЭТФ. -1968. -Т.55, вып. 4(10). -С.1241-1247.

114. Yang Т.Т. Anisotropy constants of gadolinium and cobalt // Jap. Jour. Appl. Phys. 1976. - V.15, № 2. - P.279-282.

115. Child R.H. Magnetic short-range order in Gd // Phys. Rev. B. 1978. -V.18, № 3. - P.1247-1252.

116. Chowdhury A.R., Collins G.S., Hohenemser Ch. Static universality class implied by the critical exponents of Gd // Phys. Rev. B. 1986. -V.33, №9.-P.6231-6234.

117. Geldart D.J.W., Debell K., Cook J., Laubitz M.J. Dipole-dipole interactions and the critical resistivity of gadolinium // Phys. Rev. B. -1987. V.35, №16. - P.8876-8879.

118. Vincentini-Missoni M., Joseph R.I., Green M.S., Sengers J.M.H.L. Scaled equation of state and critical exponents in magnets and fluids // Phys. Rev. B. 1970. - V.l, № 5. - P.2312-2331.

119. Lewis E.A.S. Heat capacity of gadolinium near the Curie point // Phys. Rev. B. 1970. - V.l, №11. - P.4368-4377.

120. Simons D.S., Salamon M.B. Specific heat and resistivity of gadolinium near Curie point in external fields // Phys. Rev. B. 1974 - V.l0, №11. -P.4680-4686.

121. Wantenaar G.H.J., Campbell S.L., Chaplin D.N. et.al. High-temperature critical susceptibility of gadolinium // Phys. Rev. B. 1984. - V.29, № 3. -P.1419-1424.

122. Hargaves P., Dunlap R.A., Geldart D.J.W., Ritcey S.P. Critical magnetic susceptibility of gadolinium // Phys. Rev. B. 1988. - V.38, № 4. -P.2862-2864.

123. Doleisi D.A., Swenson S.A. Experimental thermal expansivities for single-crystal Gadolinium metal near the Curie temperature// Phys. Rev. B. 1981. - V.24, №11.- P.6326-6335.

124. Robinson K., Lanchester P.C. The critical thermal expansion of gadolinium // Phys. Lett. A. 1978. - V.64, №5. - P.467-469.

125. Molho P., Portosseill J.L. Magnetic histeresis near the Curie temperature of Gd // Jour. Magn. Magn. Mater. 1983. - V.31-34. - P1023-1024.

126. Saleh A.J., Saunders N.H. Transport and magnetic properties of gadolinium in the in the critical region // Jour. Magn. Magn. Mater. -1982. — V.29, № 1-3. P.197-202.

127. Heller P. Experimental investigations of critical phenomena// Rep. Prog. Phys. 1967. - V.30. - P.731-826.

128. Grahem C.D. Some magnetic properties of single crystals // Jour. Appl. Phys. 1963. - V.34. - P.1341-1342.

129. Deschizeaux M.N., Develey G. Equation magnetic detat du gadolinium av voisinage du point de Curie // Jour, de Phys. 1971. - V.32, № 2-3. -P.CI-648 - CI-649.

130. Алиев X.K., Камилов И.К., Омаров O.M. Статическое критическое поведение гадолиния // ЖЭТФ. 1988. - Т.94, №11. - С.153-163.

131. Chowdhury A.R., Collins G. S., Hohenemser С. Anomalous critical spin dynamics in Gd: A revision // Phys. Rev. B. 1986. - v.33, № 7. - 50705072.

132. Алиев X.K., Камилов И.К., Магомедгаджиев Х.И., Омаров М-Г.К. Критическая динамика гадолиния // ЖЭТФ. 1989. - т.95., №5. -с.1896-1907.

133. Luthi В., Pollina R.J. Critical Attenuation of Sound in Gadolinium // Phys. Rev. 1968. - v.167, № 2 - p.488-492.

134. Luthi В., Moran T.J., Pollina R.J. Sound Propagation near magnetic phase transitions III. Phys. Chem. Solids. 1970. - v.31, № 8. - p.1741-1758.

135. Long M., Stern R. Magneto-Elastic Dependence of the Propagation of Sound in Gadolinium at the Critical Point // Phys. Rev. B. -1971. v.4, № 11. - p.4094-4099.

136. Chowdhury A.R., Collins G.S., Hohenemser C. Anomalous critical slowing down of spin fluctuations in Gd observed with 16IDy Mossbauer effect // Phys. Rev. B. 1984. - v.30, № 11. - 6277-6284.

137. Collins G.S., Chowdhury A.R., Hohenemser C. Observation of isotropic critical spin fluctuations in Gd // Phys. Rev. B. 1986. - v.33, № 7. -p.4747-4751.ф, 139. Frey E., Schwabl F., Henneberger S., Hartmann O., Wappling R.,

138. Kratzer A., Kalvius G.M. Determination of the Universality Class of Gadolinium// Phys. Rev. Lett. 1997. - v.79, №25. - p.5142-5145.

139. Henneberger S., Frey E., Maier P.G., Schwabl F., Kalvius G.M. Critical dynamics of an uniaxial and dipolar ferromagnet // Phys. Rev. В 1999. -v.60,№ 13.-p.963 0-9649.

140. Камилов И.К., Алиев X.K. Статические критические явления в магнитоупорядоченных кристаллах. Махачкала: Издательство Дагестанского научного центра РАН, -1993. - 197с.