Исследование моделей реальных магнетиков методами численного эксперимента

Хизриев, Камал Шахбанович

Исследование моделей реальных магнетиков методами численного эксперимента тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Хизриев, Камал Шахбанович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование моделей реальных магнетиков методами численного эксперимента»

Автореферат диссертации на тему "Исследование моделей реальных магнетиков методами численного эксперимента"

На правах рукописи

Р ОД

2 ^ тпп 2,ж

ХИЗРИЕВ Камал Шахбанович

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНЫХ МАГНЕТИКОВ МЕТОДАМИ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

01.04.07. — Физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МАХАЧКАЛА 2000

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Алиев Х.К.

доктор физико-математических наук, доцент Муртазаев А.К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шавров В.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Мусаев Г.М.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится « ^ » _2000 г. в ^^ на заседании

диссертационного совета ООО.62.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Дагестанском научном центре РАН по адресу: 367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39а

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94,

Институт физики ДНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДНЦ РАН

Автореферат разослан « '({ » И^НД, 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, О

кандидат физико-математических наук БатдаловА.Б.

еЗ/, оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Такие фундаментальные явления как фазовые переходы, сверхпроводимость и др., представляют собой результат коллективных взаимодействий частиц, находящихся в тесном контакте друг с другом. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании этих явлений в твердых телах. Наиболее плодотворными в построении теории фазовых переходов оказались методы ренормализационной группы и ¿•-разложения, а также применение гипотезы подобия (скейлинга) [1,2]. При помощи этих методов удалось выявить многие общие принципы фазовых переходов, а также вычислить значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними. Идеи лежащие в основе этих методов значительно обогатили наше понимание природы фазовых переходов и критических явлений.

Тем не менее, разработка последовательной, строгой микроскопической теории фазовых переходов и критических явлений является одной из наиболее трудных и незавершенных задач теории конденсированного состояния.

В последнее время фазовые переходы и критические явления интенсивно исследуются методами численного эксперимента: метод Монте-Карло (МК), метод молекулярной динамики (МД). Эти методы оказались весьма эффективными в статистической физике, физике фазовых переходов и в ряде других областей науки и техники.

Методы численного эксперимента позволяют на основе единого методологического подхода исследовать статические и динамические свойства конденсированных систем со сложными реалистичными потенциалами в широком интервале температур и других внешних параметров.

До последнего времени исследование критической области методами численного эксперимента было проблематичным, и в основном такого рода исследования носили качественный характер. Но с появлением более мощных ЭВМ и эффективных алгоритмов МК, стало возможным исследования и в критической области с вычислением критических индексов и критических амплитуд. В настоящее время точность определения значений критических параметров методом МК не уступает точности определения этих же параметров аналитическими методами, а иногда и превосходит их [3].

Методами численного эксперимента изучено большое количество модельных систем. Но в основном до сих пор изучались простые ферромагнитные модели с взаимодействием между ближайшими соседями. Значительно менее полно изучены реальные системы с учетом всех кристаллографических особенностей, слабых релятивистских взаимодействий различного типа и при наличии внешних магнитных полей.

Поэтому, исследование моделей реальных магнитных материалов является важной и актуальной задачей статистической физики и теории фазовых переходов и критических явлений.

Целью работы является исследование методами численного эксперимента статических критических и динамических свойств моделей сложных реальных магнитных материалов. В процессе выполнения работы решались следующие задачи:

1. Исследование методом Монте-Карло критического поведения малых магнитных частиц реального многоподрешеточного антиферромагнетика Сг2Оэ. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности ¡3 и восприимчивости у для частиц, содержащих различное число спинов.

2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств модели реального антиферромагнетика Сг203. Определение значений статических критических индексов а, Д у.

3. Применение теории конечно-размерного скейлинга к исследованию критических свойств моделей реального антиферромагнетика Сг203.

4. Исследование спиновой динамики модели малой магнитной частицы антиферромагнетика У2Оэ в широком диапазоне изменения температур, внешних магнитных полей, типа анизотропии.

5. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать равновесные и динамические, а также статические критические свойства моделей реальных гейзенберговских магнетиков.

Прастическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических и динамических свойств сложных реальных магнитных систем представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. При этом основой для дальнейших исследований является комплекс программ для ЭВМ, разработанный при выполнении данной работы.

Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Компьютерное моделирование в физике», «Новые высокоэффективные методы вычислительной физики», «Модели современной статистической физики» в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Расчет методом Монте-Карло значений статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности Р и восприимчивости у для малых магнитных частиц Сг2Оэ.

Определение характера критического поведения малых частиц и степени влияния на критические свойства свободной поверхности частиц. Установление независимости значений критических индексов а, /от размеров частиц. Обнаружение в малых магнитных частицах возможности кроссоверных эффектов.

2. Определение характера критического поведения для модели реального антиферромагнетика Сг203 и расчет критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /3 и восприимчивости / аппроксимацией Монте-Карло данных на основе традиционных степенных функций.

3. Анализ результатов Монте-Карло данных для модели реального антиферромагнетика Сг2Оэ на основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга и определение статических критических индексов а, Р и у.

4. Установление лучшего согласия значений критических индексов, рассчитанных на основе соотношений конечно-размерного скейлинга, с теоретическими предсказаниями, чем значения критических индексов, полученных аппроксимацией Монте-Карло данных традиционными степенными функциями.

5. Изучение методом молекулярной динамики динамических свойств малой магнитной частицы У203. Исследование динамических свойств частицы в зависимости от температуры, внешнего магнитного поля, направления внешнего магнитного поля, от типа анизотропии и типа магнитного упорядочения в элементарной ячейке У2Оэ. Расчет характерных времен релаксаций для некоторых автокорреляционных функций.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий исследовать все вышеперечисленные модельные системы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Всероссийской школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 1996, 1998); Республиканской научно-методической конференции «Преподавание химии в высшей школе» (Махачкала, 1996); Межгосударственной конференции «Компьютерные технологии в науке, экономике и образовании», СТ-ВЕЕ'97 (Махачкала, 1997); Международной научно-практической конференции «Новые информационные технологии и их региональное развитие», ЕЬВ1Ш8-97 (Нальчик, 1997); V Азиатской конференции по теплофизическим свойствам (Сеул, Корея, 1998); Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах» (Махачкала, 1998); Всероссийской конференции «Физическая электроника» (Махачкала, 1999); Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН (Махачкала, 1999); Международной конференции по магнитным и высокотемпературным

материалам (Иран, 1999); ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Дагестанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 18 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы (149), изложенных на 156 страницах, содержит 44 рисунка и 17 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

Глава I посвящена описанию стандартного метода МК.

В разделе 1.1 дается изложение стандартного метода МК применительно к каноническому ансамблю.

В разделе 1.2 рассматривается алгоритм метода МК (алгоритм Метрополиса)

В разделе 1.3 обсуждаются различные виды граничных условий применяемых при изучении систем содержащих конечное число частиц.

Раздел 1.4 посвящен вопросам, связанным с погрешностями метода МК и анализом ошибок.

В главе II методом МК исследуются критические свойства малых магнитных частиц Сг203.

В разделе 2.1 рассматриваются специфические особенности малых магнитных частиц.

В разделе 2.2 дается описание моделей, используемых при изучении решеточных систем. При таких исследованиях наиболее часто используется модель Изинга (для систем с дискретным состоянием спинов) и модель Гейзенберга (с непрерывным распределением состояний). Проведен краткий обзор некоторых работ, посвященных исследованиям критических свойств модельных систем методом МК.

Раздел 2.3 посвящен обсуждению литературных результатов экспериментального исследования статических критических свойств макрообразцов антиферромагнетика Сг203.

В разделе 2.4 представлены результаты исследования критических явлений в моделях малых магнитных частиц Сг203. Сформулирована микроскопическая модель этих частиц. В основе модели лежат литературные данные для Сг203.

По этим данным наиболее существенными в Сг203 являются взаимодействия каждого иона Сг с первыми и вторыми ближайшими соседями. С учетом этого гамильтониан системы может быть представлен в виде:

, |А| = 1. (1)

1 I,] £ к,1

Здесь первая сумма учитывает взаимодействие каждого спина с одним

ближайшим соседом на расстоянии r,j=2.65 А с параметром взаимодействия

J¡<0, вторая — с тремя следующими соседями на расстоянии га=2.89 А с параметром взаимодействия J¡<0 (J2=0.45J¡). Соотношение между анизотропией DA>0 и обменом DA/\J,\ полагалось равным 0.025.

Расчеты проводились для частиц сферической формы с диаметром D =

24.0; 28.4; 32.8; 34.8; 41.82; 46.4; 48.64 А. Число спинов в частицах равнялось соответственно 286; 508; 760; 908; 1602; 2170; 2502. При этом на ЭВМ генерировались марковские цепи длиной до 1.2x105 МКшаг/спин. Для вывода системы в равновесное состояние отсекался неравновесный участок, состоящий из 2.0хЮ4 МКшаг/спин. Рассматриваемые частицы имели открытые поверхности, и доля поверхностных спинов менялось от 46,8% для самой маленькой частицы до 22.8% для частицы N = 2502. Поскольку, общее количество поверхностных спинов в частицах достаточно большое, то их влияние на различные термодинамические параметры должно быть существенным.

Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости и восприимчивости использовались выражения

С = {ш>1(иг)-(и)г), (2)

Ж = М{т2)-{т)2), (3) где К = Щ/квТ, N - число частиц, U - внутренняя энергия, m — подрешеточная намагниченность. При этом температурные зависимости С и % имеют хорошо выраженные

максимумы в критической области (рис.1). Из рисунка видно, что критическая температура TN смещается в сторону низких температур с уменьшением числа спинов в частицах, что является характерным для МК исследований [4].

Для аппроксимации критического поведения

1.8 С/кв 1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

9* »

8Ъ * '9 i

О п -N=508 • ■ -N=2170

0.2

40 X 36

0.0

0.2

0.8

0.4 0.6 квТА111

Рис.1. Температурные зависимости теплоемкости С/кв и восприимчивости х для малых магнитных частиц с различным числом спинов N.

теплоемкости использовались выражения

С = -{л-а -\)+Щ' + В+Е1 , (4)

где ( = (Т-Тц)/Т^ — приведенная температура. Значение х полагалось равным 0.55. Обработка МК данных проводилось нелинейным методом наименьших квадратов, при этом параметры а, А, Д В, Е рассматривались как подгоночные. В качестве оптимальных значений а, А, Д В, Е принимались значения, минимизирующие среднеквадратичное отклонение. В качестве брались значения соответствующие максимумам теплоемкости. Полученные значения для а и А представлены в таблице 1. Все значения а имеют отрицательный знак характерный для гейзенберговского критического поведения и практически не зависят от размера частиц. Абсолютные значения а несколько меньше, чем теоретическое значение а = -0.126(28), полученное для изотропной модели Гейзенберга с короткодействующими силами [3]. Значения А' для Т<ТК получены из предположения а = а\ согласно предсказаниям статического скейлинга. Соотношения между критическими амплитудами А а А' для всех частиц лежат в пределах: 0.95 < А/А' < 1.10. Большинство лабораторных исследований теплоемкости Сг203 показывают, что а< 0, но абсолютное значение меняется от -0.03 до -0.12 в зависимости от интервала изменения /, выбора Тц и некоторых других параметров. Имеются также для очень узкого интервала температур положительные значения а, которые связаны с кроссоверными явлениями.

Таблица 1.

Эффективные значения критического индекса а и критические амплитуды А и А' для малых магнитных частиц Сг2Оз■ а'= а.

5x10" <7.5x10"' 2.5х10"2 <¿<7.5x10'

N а А А' а А А'

286 -0.20(3) 0.61 0.61 -0.19(3) 0.60 0.59

508 -0.18 0.57 0.55 -0.17 0.56 0.56

760 -0.20 0.67 0.67 -0.20 0.65 0.66

908 -0.17 0.57 0.58 -0.16 0.55 0.57

1602 -0.19 0.66 0.60 -0.19 0.64 0.59

2170 -0.17 0.61 0.64 -0.17 0.60 0.63

2502 -0.21 0.63 0.68 -0.20 0.62 0.67

Следует отметить, что, исходя из данных гамильтониана (1), в критическом поведении Сг2Оэ должен наблюдаться кроссовер от гейзенберговского (¿/=3, п=3) критического поведения к изинговскому (с/= 3,

и=1). При наших расчетных данных температура кроссовера составляет /„. и 0.052. Но значения а, полученные нами в диапазоне температур 5х10'3 < / < 7.5x10"', не показывает наличие кроссовера. Возможно, это связано с тем, что поверхностные спины в частицах Сг203 даже при температурах значительно меньших Г* свободно переориентируются. Такое их поведение расширяет область с гейзенберговским критическим поведением и приводит к смещению температуры кроссовера 1СГ к точке Нееля. Следовательно, рассматриваемая нами область приведенных температур может целиком соответствовать гейзенберговскому критическому поведению.

Полученные нами значения а несколько меньшие, чем предсказывает теория и лабораторные эксперименты, что по-видимому, также связано с наличием значительной доли (22.8% -ь 46.8%) слабо закрепленных поверхностных спинов.

Та же самая процедура была использована и при аппроксимации данных по теплоемкости формулой (5). Следует отметить, что результаты обработки формулой (4) более точно описывают поведение теплоемкости, нежели формулой (5), а критерием точности служило среднеквадратичное отклонение при подгонке параметров а, А, Д В, Е.

Чтобы проверить влияние выбора Тц на значения критического индекса а, мы варьировали 7дг в пределах ±1.5+2.5% от выбранного в качестве Тн значения. При этом значения критического индекса а практически не менялись, но среднеквадратичное отклонение оказывается больше, чем когда в качестве Тк выбирались температуры, на которые приходят максимумы теплоемкости. Тем самым, поведение теплоемкости показывает как независимость критического индекса а от N, так и независимость а от выбора

Для аппроксимации критического поведения подрешеточной намагниченности использовалось выражение

т = В\г\'(1+атЩх), (6)

где Р — критический индекс намагниченности, В и ат — критическая амплитуда и амплитуда коррекции к скейлингу. Значения Д найденные на основе выражения (6), достаточно сильно меняются в зависимости от интервала

'2^3-

Тм в пределах погрешности ее определения.

Рис. 2. Двойная логарифмическая зависимость

подрешеточной намагниченности т от приведенной температуры / для малых частиц

приведенных температур и от числа спинов в частице. Эти особенности мы связываем с характерными для МК экспериментов эффектами ближнего порядка выше Тц.

В зависимости ш от /, представленном в двойном логарифмическом масштабе, наблюдается некоторый излом при 0.08, который характерен для кроссовера. На рис.2 показана соответствующая картина с двумя значениями Р = 0.27 при / <1К и Р = 0.38 при I > 1в для частицы с N = 1602. Возможно, что эти данные свидетельствуют о наличии кроссовера от гейзенберговского поведения с Р = 0.38 (для модели Гейзенберга /?= 0.367) к изинговскому с Р = 0.27 (для модели Изинга /?= 0.326).

Для аппроксимации критического поведения восприимчивости использовалась простая степенная зависимость % от Г:

где у, Г- критический индекс и критическая амплитуда восприимчивости. Для значений критических индексов у (при Т > Ты) и у' (при Т < Ты) также как и для а не наблюдалось зависимость от числа спинов N в частице. При этом у и у' проявляют зависимость от интервала 1т1„ < / < /ша1. В зависимости от интервала приведенных температур у принимает значения от 0.94 до 1.22 и у' — от 0.9 до 1.33. Отметим, что по абсолютным значениям у и у' трудно говорить о характере критического поведения восприимчивости как об изинговском (для модели Изинга у= 1.24) или гейзенберговском (для модели Гейзенберга у

В главе III приводятся результаты исследований критических свойств моделей реального антиферромагнетика Сг203.

В разделе 3.1 рассмотрены основные положения теории конечно-размерного скейлинга (КРС). Конечные системы хорошо воспроизводят свойства бесконечных систем до тех пор, пока корреляционна длина Е, не превышает линейный размер системы L. Когда вблизи критической точки £ > L, свойства систем в значительной мере зависят от типа периодических граничных условий (ПГУ), следствием этого является появление эффектов "округления", например, появление дальнего порядка выше Тс, сглаживание пиков теплоемкости и восприимчивости, смещение их по температуре и т.д.

Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, полученные для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно этой теории, соотношения для теплоемкости, спонтанной намагниченности и восприимчивости, приходящих на один спин, имеют вид:

(7)

= 1.39).

(8) (9) (10)

□ -N-864 ■ -N=4000

о в

где ¿-приведенная температура, а, Д /я V- статические критические индексы для систем с Ь = °о, которые связаны соотношениями гиперскейлинга 2 - а = ¿у =2Р+ у. Выражения (8)-(10) хорошо воспроизводят критическое поведение бесконечных систем при выполнении условий / « 1 и Ь °о. Справедливость теории КРС была показана в целом ряде исследований.

Раздел 3.2 посвящен обсуждению результатов исследования модели антиферромагнетика Сг203 с периодическими граничными условиями (ПТУ). В разделе 3.2.1 для модели, представленной гамильтонианом (1), расчет критических параметров производился аппроксимацией МК данных традиционными степенными функциями (4)-{7).

Расчеты проводились для систем, содержащих N = 500; 864; 1372; 2048; 2916; 4000 спинов. Усреднение выполнялось по участку марковской цепи длиной 1.2x105 МКшаг/спин, отсекался неравновесный участок ЗхЮ4 МКшаг/спин.

Наблюдение за температурным ходом теплоемкости и восприимчивости проводилось, используя выражения (2)и(3).

На рис.3 представлены зависимости теплоемкости С/кв и восприимчивости х от температуры. Как видно из этого рисунка, температуры, на которые приходятся максимальные значения теплоемкости СтахОЮ для систем с разным числом спинов совпадают и в пределах погрешности не зависят от числа спинов в системе. С увеличением N наблюдается лишь рост абсолютных значений Стах(Ы). Аналогичные особенности проявляет и

восприимчивость. Все это

свидетельствует о достаточно хорошем снятии граничных эффектов выбранным способом использования 111 У. Тем не менее, температуры, на которые приходятся максимумы теплоемкости Стах и восприимчивости Хтах не совпадают. Поэтому для определения ТК нами использовался так называемый метод кумулянтов Биндера [5].

Определенное этим методом значение критической температуры Ты = 0.480(2) использовалась в дальнейшем при обработке МК данных.

СУкв 2.4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

70 X 60

0.7

0 0.8

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 квТА^ I

Рис.3. Температурные зависимости теплоемкости С/кв и восприимчивости х для систем, содержащих различные числа спинов N.

Полученные значения критического индекса теплоемкости а для систем разных размеров представлены в таблице 2. Все значения а имеют абсолютные значения и знак, характерные для изинговского критического поведения (теоретическое значение для модели Изинга а = 0.109) и, как для малых частиц, в пределах погрешности наблюдается независимость критического индекса а от числа взаимодействующих спинов N в системе. Соотношение между А/А' удовлетворяет условию 0.75 < Л/А' < 0.90.

Таблица 2.

Эффективные значения критического индекса а и критических амплитуд А и А 'для систем с разным числом спинов N для двух интервалов температур. Значения А 'получены из _предположения а'= а._

N 5х10"3<* <7.5x10"' 2.5х10'2 < ; < 7.5x10"'

а А А' а А А'

500 0.11(3) 0.53(2) 0.57(2) 0.12(3) 0.53(2) 0.55(2)

864 0.12 0.43 0.48 0.12 0.44 0.50

1372 0.10 0.44 0.49 0.13 0.41 0.47

2048 0.13 0.44 0.51 0.15 0.42 0.48

2916 0.10 0.38 0.54 0.09 0.39 0.55

4000 0.15 0.42 0.49 0.17 0.37 0.45

Значения критического индекса ¡5 во всех температурных интервалах не превосходят изинговское значение (для модели Изинга ¡3 = 0.326). Как и для малых частиц, здесь также наблюдается зависимость ¡3 от размеров системы N и от температурного интервала определения критического индекса Д Однако в этом случае не наблюдаются признаки, характерные для кроссовера, которые мы обнаружили для малых частиц.

Критические индексы восприимчивости у и у' в зависимости от интервала изменения { принимают значения от 0.86 до 1.19 и от 0.88 до 1.34 соответственно. Значения этих индексов не зависят от числа спинов в системе N. Однако, по этим данным трудно определить характер критического поведения систем с ПГУ.

Раздел 3.2.2 посвящен анализу тех же МК данных с использованием теории КРС. Применение КРС должно снимать все размерные эффекты и данные для систем разных размеров должны ложиться на одну кривую. Насколько хорошо для наших систем работают соотношения теории КРС можно судить по рис.4, где показаны скейлинговые функции т0(х) для систем разных размеров. Как видно из этого рисунка все точки ложатся на одну кривую.

Величина скейлинговой переменной х0 = tLl/v, ниже которой начинается сказываться на результатах конечность системы, для наших систем равнялась х0 «0.5.

Согласно теории КРС в системе с размерами LxLxL при Г = 7V и достаточно больших значениях L формулы (8)-(10) преобразуются в

следующие выражения:

т~ир,\ (11) (12)

C~La,°. (13) Анализ данных для подрешеточной намагниченности, выполненный на основе выражения (11) позволяет определить критический индекс Р для нашей модели. Определенное из этой зависимости

значение Р = 0.30(2) (при v=0.706).

Значение критического индекса восприимчивости у, определенное из зависимости (12) у= 1.26(3) (при v =0.706). Эти значения ри /характерны для изинговского критического поведения (для 3d модели Изинга р = 0.326, у = 1.239).

Обычно на практике для аппроксимации теплоемкости вместо (13) используется следующее выражение:

= = (и)

где а — некоторый коэффициент. Аппроксимация наших данных на основе этого выражения дает значение критического индекса теплоемкости а -0.16(3), которое неплохо согласуется как с теоретическими предсказаниями для 3d модели Изинга, так и со значениями а, полученными при анализе МК данных на основе степенных функций (см. табл.2).

Глава IV посвящена исследованию равновесных динамических свойств микроскопической модели малой магнитной частицы V203.

В разделе 4.1 приводится описание метода МД применительно к спиновой системе.

Суть метода МД применительно к спиновым системам заключается в том, что необходимо интегрировать систему уравнений движения спинов:

f=MU. оч

B/v

mL 2.8

2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4

0.0

« - N»500

а - N»864

л • - N=1372

"ч • - N»2048

•о • - N=2916

ч в ~ N=4000

^ ..... я

-30

Рис. 4. Конечно-размерное масштабирование подрешеточной намагниченности т.

где йкт определяется видом гамильтониана.

Равновесная конфигурация достигается для заданной температуры и внешнего магнитного поля методом МК. Для решения системы дифференциальных уравнений (15) на ЭВМ был использован метод Рунге-Кутта 4й порядка точности.

В разделе 4.2 дается краткий обзор некоторых работ, в которых методом МД изучались свойства спиновых решеточных систем.

В разделе 4.3. обсуждаются результаты исследования динамических свойств модели малой магнитной частицы У203 методом МД.

Микроскопическая модель У203 учитывает все кристаллографические особенности, характер обменного взаимодействия и слабые релятивистские взаимодействия. Гамильтониан для нашей модели был представлен в виде:

н = 4Е-Ш •АЬА.Ва,)2 -И.Я.5Х; (16)

1 и М 1 I

\и -спи ЯЛ 7

и = ^ „ „ , Ы=1

У/1а „ели Н„ II*

Для проведения расчетов формировалась частица сферической формы с

диаметром £) = 24 А и числом спинов N = 272. Спиновая динамика изучалась в низкотемпературной и высокотемпературной фазах, а также непосредственно вблизи температуры фазового перехода при наличии внешнего магнитного поля и при ее отсутствии, в зависимости от типа магнитной анизотропии. Для описания временного поведения спиновой системы использовался аппарат автокорреляционных функций. Рассматривались автокорреляционные

функции как всего образца (<рМх, срМг, <ри, (р^), так и отдельных спинов , (р/л)- Здесь <рх - автокорреляционная функция некоторой физической величины X, временной ход которой определяется следующим образом:

{хтхт)

Величины <рх(1) определялись на дискретном множестве Г„ с интервалом К ~ 'п-1 = 20 М и прослеживались на протяжении Г = 8.0 = 400 М, где Л1 = 0.02 -шаг интегрирования по времени.

На рис.5 представлены временные зависимости автокорреляционных функций в упорядоченной фазе Т < Тм (квТ^2\ « 0.44(2)). Как видно из рисунка в качественном отношении автокорреляционные функции поверхностных (р®, и внутренних , <р{^) спинов ведут себя

одинаково, но их времена релаксации различаются и выходят они к различным предельным значениям в пределах больших времен. Автокорреляторы поперечных (<р™, и продольных (д>"е', микроскопических величин на

-0.2

Рис.5. Зависимость автокорреляционных функций ф от времени /. (квт2=0.25, Н0=0, Д,<0).

больших временах выходят на свои предельные значения и совершают нерегулярные осцилляции.

Для всех автокорреляторов микроскопических величин можно выделить небольшой начальный участок, описывающий гауссовыми функциями ехр(-А^). Для поперечных спинов обнаруживается выход на плато, где они практически не изменяются. Существование этого

плато означает, что спины после короткой релаксации выходят на более или менее устойчивые ориентации, и можно говорить о существовании дальнего порядка в частице. Очевидно, что одноионная анизотропия влияет на то, что именно у поперечных спинов обнаруживается плато.

В отличие от низкотемпературной, в высокотемпературной фазе все

автокорреляционные функции микроскопических величин ведут себя одинаково на всем промежутке времени наблюдения и в пределах больших времен

стремятся к нулю.

С приложением однородного внешнего магнитного поля вдоль оси Ъ картина становится качественно иной (рис.6). Характерные времена динамических процессов сокращаются.

Поведение отдельных спинов зависит от положения его внутри частицы. Автокорреляторы (рМх и (Рьх хорошо описываются функциями:

Фмх ~ СОБ(о\ 0, о\ = 0.483, (17)

Фьх ~ СОБ^ 0, 0)2 = 1-496, (18)

Рис.6. Зависимость автокорреляционных функций ф от времени / (квТМ2=0.25, Но=2.0,

н0\\г,оА<о).

что соответствует движению

Мх(1)= Мх(10)СО8((1л1/Г,)+в,), Г, = 13.009, (19)

¿х(0 =Ьх(10)СОБ((2л:1/Г2)+в2), 7^=4.306. (20)

Поперечные автокорреляторы и поверхностных Ф^] и внутренних спинов имеют вид слабо затухающего косинуса

<рх = Ьехр(-Мт)сов(а}1$, (21)

тогда как , Ф^, и Ф^ быстро выходят на свои предельные значения (0.84, 0.87 и 0.70 соответственно) и их поведение с течением времени менее интересно.

Увеличение величины внешнего магнитного поля существенно сокращает характерные времена динамических процессов (уменьшаются периоды Г; и Т2 в выражениях (19) и (20)).

Изменение типа анизотропии при наличии внешнего магнитного поля практически не сказывается на поведении всех автокорреляционных функций. Т.е. периоды колебаний всех автокорреляционных функций практически не изменяются с изменением типа анизотропии. Даже предельные значения для автокорреляторов р® и совпадают для серий экспериментов с различными типами анизотропии при одной и той же величине магнитного поля.

Изменение направления внешнего магнитного поля (поле по оси X) меняет характер динамики нашей частицы: поведение автокорреляционных функций качественно повторяет аналогичные рисунки для случая Н0 || но с той лишь разницей, что Ъ и X компоненты автокорреляционных функций для величин Ь, <р'2) и <р(А) меняются местами.

Основные результаты работы.

1. Исследованы методом МК статические критические свойства моделей малых магнитных частиц Сг203. При этом показано, что

- критическая температура у малых частиц Сг203 смещается в сторону более высоких температур с увеличением размеров частиц;

- значения критических индексов теплоемкости а и восприимчивости у не зависят от размера частицы, а критический индекс подрешеточной намагниченности Р проявляет характерную для МК данных зависимость от числа взаимодействующих спинов в частице;

- наблюдается кроссовер от гейзенберговского критического поведения к изинговскому, обусловленный одноионной анизотропией;

- характер критического поведения в значительной мере определяется наличием большой доли поверхностных спинов;

2. Исследованы статические критические явления в моделях реального многоподрешеточного антиферромагнетика Сг2Оэ. Рассчитаны критические индексы теплоемкости а, подрешеточной намагниченности р и

восприимчивости у аппроксимацией МК данных, как на основе традиционных степенных функций, так и на основе соотношений теории КРС. Установлено, что критические индексы, рассчитанные на основе теории КРС, лучше согласуются с теоретическими предсказаниями, чем с использованием традиционных степенных функций, однако анализ МК данных, выполненный на основе традиционных степенных функций, позволяет получить значительный объем дополнительной информации.

3. Показано, что для выявления всех особенностей критического поведения моделей сложных магнитных систем необходим комплексный анализ МК данных, как на основе традиционных степенных функций, так и на основе теории КРС.

4. Методом МД изучена спиновая динамика малой магнитной частицы V203 в зависимости от температуры, внешнего магнитного поля, направления магнитного поля, типа анизотропии и типа магнитного упорядочения в элементарной ячейке V203. При этом:

- проведено детальное сопоставление продольной и поперечной динамики;

- установлено значительное различие в динамическом поведении поверхностных и внутренних спинов;

- показано существенное влияние на динамику типа магнитной анизотропии и направления внешнего магнитного поля;

- рассчитаны характерные времена релаксации для некоторых автокорреляторов макроскопических величин;

5. Разработан комплекс программ для ЭВМ, позволяющий с использованием методов МК и МД исследовать равновесные, динамические, а также статические критические явления в сложных решеточных системах.

Цитированная литература.

1.Ma Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. H.H. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. -М.: Мир, 1980.-298 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. — 380 с.

3. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. — 1991. — V. 43, N 7. - P. 6087 - 6093.

4. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Задкова. - М.: Наука,1995. — 144 с.

5. Binder К. Critical properties from Monte Carlo coarse craining and renormalization // Phys. Rev. Lett. - 1981. - V.47, №9. - P. 693 - 696.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А. К., Хизриев К. Ш. Исследование фазовых переходов в сегнетоэлектрике NaN02 методами вычислительной физики.// Вестник ДГУ. Естественно — технический выпуск. — 1996. - С.51-55.

2. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Спиновая динамика магнитных кластеров Сг203.// Тезисы докладов XV Всероссийской школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники". - Москва: 1996.- С.257.

3. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики частиц V203 методами численного эксперимента // Тезисы докладов республиканской научно-методической конференции: Преподавание химии в высшей и средней школе, Махачкала, 1996. — с. 52.

4. Муртазаев А. К., Алиев X. К., Хизриев К. Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг203. // Вестник ДГУ. Естественно -технический выпуск. - 1997. - С.51-55.

5. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш., Камилов И. К., Алиев Х.К. Моделирование динамических свойств малых магнитных частиц Сг203 методами численного эксперимента. // Математическое моделирование. - 1997. - Т. 9, № 10. - С. 36-42.

6. Гаджиева Л.Г., Хизриев К.Ш., Муртазаев А.К. Спиновая динамика малых магнитных частиц V203 / Тезисы докладов межвузовской региональной конференции, Махачкала, 1997. - с. 120 - 121.

7. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова JI.JL, Магомедов М.А. Исследование реальных магнитных систем методами компьютерного моделирования / Тезисы докладов межгосударственной конференции CT+SEE'97, Махачкала, 1997. - с. 61 - 63.

8. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг203.// Физика низких температур. -1998,- Т.24, № 5. - С. 462-467.

9. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики малых магнитных частиц V203. // Вестник Дагестанского научного центра РАН. — 1998,- Т.1, вып. 1.- С. 23-28.

10.Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критические свойства наночастиц Сг203. //Тезисы докладов XVI международной школы - семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 1998,- Т.З.- С.17-18.

И.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение теплоемкости малых магнитных частиц Сг203 // Физика твердого тела. - 1998. - Т.40, № 9. - С. 1661-1662.

12.Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Aliev Kh.K., Khizriev K.Sh. Research of thermal and critical properties of real antiferromagnet Cr203 by the Monte Carlo method

// Proceedings of 5th Asian Thermophysical Properties Conference, Seul, Korea. —1998. — P.109-112.

И.Муртазаев A.K., Алиев X.K., Хизриев К.Ш. Критические свойства малых магнитных частиц Сг203 // Тезисы докладов Международной конференции "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах». — Махачкала: 1998. - С.79.

И.Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирсланова Л.Л., Мутайламов В.А. Конечно-размерный скейлинг и критические индексы Сг203 // Тезисы докладов Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах». — Махачкала: 1998. - С.64.

15.Муртазаев А.К., Каминов И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критические свойства наночастиц магнитных материалов // Материалы Всероссийской конференции «Физическая электроника». - Махачкала: 1999.— С. 188.

16.Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л. Статические критические свойства моделей гадолиния // Материалы Всероссийской конференции «Физическая электроника». — Махачкала: 1999.-С. 189-192.

17.Муртазаев А.К., Алиев Х.К, Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Мутайламов В.А. Исследование критических явлений в моделях реальных магнетиков методами Монте-Карло // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. - Махачкала: 1999. - С.6.

18.Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Aliev Kh.K., Khizriev K.Sh. Critical properties of the nanoparticles of magnetic materials // Proceedings of First regional conference on magnetic and superconducting materials, Tehran, Iran. - 1999. -P.91.

Подписано в печать 8.06.2000 Тираж 80 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН. 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Хизриев, Камал Шахбанович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

§ 1.1. Стандартный метод Монте-Карло

§ 1.2. Алгоритм метода Монте-Карло

§ 1.3. Граничные условия

§ 1.4. Анализ ошибок в методе Монте-Карло

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛЫХ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ Сг203 МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

§ 2.1. Специфика малых магнитных частиц

§ 2.2. Исследование статических критических свойств моделей магнитных систем методом Монте-Карло.

§ 2.3. Обзор результатов экспериментальных исследований критических свойств макрообразцов антиферромагнетика Сг

§ 2.4. Статические критические свойства малых магнитных частиц Сг203. Исследование методом Монте-Карло

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДЕЛИ РЕАЛЬНОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА Сг2Оэ.

§ 3.1. Основные положения теории конечно-размерного скейлинга .Л.

§ 3.2. Статические критические свойства модели реального антиферромагнетика Сг

3.2.1. Аппроксимация данных традиционными степенными функциями

3.2.2. Анализ данных на основе теории конечноразмерного скейлинга

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛОЙ МАГНИТНОЙ ЧАСТИЦЫ У2Оэ.

§ 4.1. Метод молекулярной динамики для спиновой системы

§ 4.2. Исследование динамических свойств магнитных систем методами численного эксперимента

§ 4.3. Спиновая динамика малой магнитной частицы

У203. Ю

4.3.1. Поведение автокорреляционных функций при

4.3.2. Автокорреляционные функции при наличии однородного внешнего магнитного поля

Введение диссертация по физике, на тему "Исследование моделей реальных магнетиков методами численного эксперимента"

Магнитные материалы являются весьма сложными системами, которые с трудом поддаются теоретическому анализу, но в то же время довольно интересными для исследований. Такие фундаментальные явления как фазовые переходы, сверхпроводимость и др., представляют собой результат коллективных взаимодействий частиц, находящихся в тесном контакте друг с другом. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании этих явлений в твердых телах. Наиболее плодотворными в построении теории фазовых переходов оказались методы ренормализационной группы и ^-разложения [1-4], а также применение гипотезы подобия (скейлинга) [5-8]. При помощи этих методов удалось выявить общие принципы фазовых переходов, а также вычислить значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними. Идеи лежащие в основе этих методов значительно обогатили наше понимание природы фазовых переходов и критических явлений.

Тем не менее, разработка последовательной, строгой микроскопической теории фазовых переходов является одной из наиболее трудных и незавершенных задач теории конденсированного состояния.

Важную роль в построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют точные аналитические решения, которые удалось получить лишь для некоторых решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для одномерной цепочки [9]. Следует отметить ту важную роль, которую исторически сыграло решение Онзагером двухмерной модели Изинга в нулевом внешнем поле [10]. Эта модель, которая рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект математических упражнений, в дальнейшем стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. 5

В 1952 году Берлин и Кац [11] нашли точное решение для сферической модели. Имеют точное решение и некоторые другие модели [12]. Но до сих пор нет решения двумерной модели Изинга в ненулевом магнитном поле. Не поддаются точному решению модель Изинга в трехмерном случае, модели Гейзенберга на решетках с различными размерностями.

Отметим, что строгое исследование трехмерных моделей методами современной теоретической физики задача чрезвычайно сложная, поэтому на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики: метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики. Эти методы оказались весьма эффективными в статистической физике, физике фазовых переходов и в целом ряде других областей науки и техники. Существует глубокое соответствие между физическим экспериментом и численным экспериментом.

Сравнивая, например, метод Монте-Карло с лабораторным экспериментом можно выделать два этапа, характерных для метода Монте-Карло:

- использование случайных процессов для моделирования статистического или физического эксперимента на вычислительных машинах;

- регистрация и обработка получаемых на вычислительных машинах числовых характеристик.

Первому этапу можно сопоставить методы получения исследуемого объекта в реальном эксперименте, а второму - измерение и методы диагностики. В алгоритмах .(и программах) методов численного эксперимента также можно выделить моделирующие и измерительные части. Отметим, что, с одной стороны данные, получаемые с помощью численного эксперимента, можно рассматривать как экспериментальные и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой -как теоретические и сравнивать их с соответствующими экспериментами.

Весьма значительные достижения получены с помощью численных методов в статистической физике, физике фазовых переходов [13-16].

Первый вариант метода Монте-Карло в статистической физике был разработан в работе [17]. С тех пор интерес к этому методу постоянно возрастает. Основное внимание при этом переместилось с методических вопросов на физические, расширился круг исследуемых систем с различными типами межчастичного взаимодействия. Метод Монте-Карло является основным инструментом для исследования веществ в таких условиях, при которых экспериментальные данные еще не существуют, поскольку машинный эксперимент может оказаться значительно дешевле реального эксперимента, и особенно при исследовании веществ в экстремальных условиях.

Численные методы позволяют на основе единого методологического подхода исследовать статические и динамические свойства конденсированных систем со сложными реалистичными потенциалами в широком интервале температур, магнитных полей и других параметров [13-16].

До последнего времени исследование критической области методами численного эксперимента было проблематичным, и в основном такого рода исследования носили качественный характер. Но с появлением более мощных ЭВМ и эффективных методов Монте-Карло, стало возможным исследования критической области с вычислением критических индексов и критических амплитуд. В настоящее время точность определения значений критических параметров методом Монте-Карло. не уступает точности определения этих же параметров аналитическими методами, а иногда и превосходит их [18, 19]. 7

Методами численного эксперимента изучено большое количество модельных систем, подверженных фазовым переходам. Исследование выполнены на решетках различного типа и пространственной размерности, а также при варьировании большого количества различных параметров. По результатам этих экспериментов имеются обзоры [13,19-21]. Но в основном до сих пор изучались простые ферромагнитные модели с взаимодействием между ближайшими соседями. Значительно менее полно изучены реальные системы с учетом всех кристаллографических особенностей, слабых релятивистских взаимодействий различного типа и при наличии внешних магнитных полей. Одним из важных особенностей численного эксперимента является возможность исследования малых частиц (частицы, кластеры, наноструктуры, мезоскопические системы), экспериментальному и теоретическому изучению которых в настоящее время уделяется большое внимание [22-24].

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории фазовых переходов и критических явлений в решеточных моделях реальных магнитных материалов. Объектом исследования является классическая трехмерная антиферромагнитная модель Гейзенберга на ромбоэдрической решетке. Рассматриваемая модель трудно поддается аналитическому описанию. В рамках этой модели исследуются модели реальцых многоподрешеточных антиферромагнетиков Сг2Оз и У20з. Имеющие в литературе экспериментальные данные для этих магнитных материалов противоречивы и часто не согласуются с теоретическими предсказаниями.

Сг?Оз является классическим антиферромагнетиком с ромбоэдрической структурой. Изучение макрообразцов этого антиферромагнетика проводится довольно интенсивно [25-36]. Экспериментально исследовались и критические свойства Сг20з с расчетом критических индексов [37-39]. Но результаты этих исследований 8 не позволяют однозначно определить характер критического поведения в Сг20з и не согласуются с теоретическими предсказаниями.

Практически обделен вниманием экспериментаторов такой вопрос как исследование малых частиц Сг20з, что объясняется трудностью получения достоверных результатов. Это связано с тем, что малые частицы являются довольно сложными объектами для изучения как аналитическими методами * (необходимость правильного учета межчастичных взаимодействий, невозможность использования перехода к термодинамическому пределу), так экспериментальными исследованиями (часто не удается непосредственно контролировать размеры, число взаимодействующих элементов и форму частиц, наличие примесей и дефектов). Особенно большие трудности возникают при исследовании критических свойств малых частиц. Все эти трудности преодолеваются при изучении таких систем методами численного эксперимента. Но до сих пор при исследовании малых магнитных частиц основное внимание уделялось изучению простых ферромагнитных систем.

Другим объектом исследования является малые частицы антиферромагнетика У?Оя. Среди целого класса антиферромагнетиков с ромбоэдрической структурой выделяется своими необычными свойствами У20з, в котором обнаружены два фазовых перехода [40]. В литературе довольно много противоречивых данных о характере фазовых переходов в У203, о магнитной структуре, о влиянии различных факторов на магнитное упорядочение и т.д. [40-43]. В У20з магнитные свойства очень сильно зависят от чистоты образца [40], вследствие чего многие экспериментальные результаты Сильно зависят от конкретного образца.

Поэтому, исследование этих объектов методами численного эксперимента является важной и актуальной задачей статистической физики и теории фазовых переходов и критических явлений. Следует также отметить, что все исследуемые модели являются моделями реальных магнитных материалов, и учитывают все наиболее существенные особенности кристаллов, в том числе и слабые релятивистские взаимодействия. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами численного эксперимента не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.

Целью работы является исследование методами численного эксперимента статических критических и динамических свойств моделей сложных реальных магнетиков. В процессе выполнения работы решались следующие задачи:

1. Исследование методом Монте-Карло критического поведения малых магнитных частиц реального многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности ¡3 и восприимчивости у для частиц, содержащих различное число спинов.

2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств модели реального антиферромагнетика Сг2Оз. Определение статических критических индексов а, Д / и их зависимость от различных параметров.

4. Исследование спиновой динамики модели малой магнитной частицы антиферромагнетика У20з в широком диапазоне изменения температур, внешних магнитных полей, типа анизотропии.

5. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать равновесные и динамические, а также статические критические свойства реальных магнетиков.

Практическая ценность работы.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту: I. Расчет методом Монте-Карло значений статических критических индексов тейлоемкости а, подрешеточной намагниченности /3 и восприимчивости у для малых магнитных частиц СГ2О3. Определение характера критического поведения малых частиц и степени влияния на критические свойства свободной поверхности частиц. Установление независимости значения критических индексов а, /от размеров частиц. Обнаружение в малых магнитных частицах возможности кроссоверных эффектов.

2. Определение характера критического поведения для модели реального антиферромагнетика СГ2О3 и расчет критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности и восприимчивости у аппроксимацией Монте-Карло данных на основе традиционных степенных функций

3. Анализ результатов Монте-Карло данных для модели реального антиферромагнетика Сг20з на основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга и определение статических критических индексов а, /? и у.

5. Изучение методом молекулярной динамики динамических свойств малой магнитной частицы У2Оз. Исследование динамических свойств частицы в зависимости от температуры, внешнего магнитного поля, направления внешнего магнитного поля, от типа анизотропии и типа магнитного упорядочения в элементарной ячейке. Расчет характерных времен релаксаций для некоторых автокорреляционных функций.

6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий исследовать все вышеперечисленные модельные системы.

1997); Международной научно-практической конференции «Новые информационные технологии и их региональное развитие», ЕЬВБШ8-97 (Нальчик, 1997); V Азиатской конференции по теплофизическим свойствам (Сеул, Корея, 1998); Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах» (Махачкала,

1998);*' Всероссийской конференции «Физическая электроника» (Махачкала, 1999); Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН (Махачкала, 1999); Международной конференции по магнитным и высокотемпературным материалам (Иран,

1999); ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Дагестанского государственного университета.

Публикации.

1. Муртазаев А. К., Хизриев К. Ш. Исследование фазовых переходов в сегнетоэлектрике №N(>2 методами вычислительной физики.// Вестник ДГУ. Естественно - технический выпуск. - 1996. - С.51-55.

2. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Спиновая динамика магнитных кластеров Сг20з.// Тезисы докладов XV Всероссийской школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники". - Москва: 1996.- С251.

3. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики частиц У203 методами численного эксперимента // Тезисы докладов республиканской научно-методической конференции: Преподавание химии в высшей и средней школе, Махачкала, 1996. - С. 52.

4. Муртазаев А. К., Алиев X. К., Хизриев К. Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг20з. // Вестник ДГУ. Естественно -технический выпуск. - 1997. - С.51 -55.

5. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш., Камилов И. К., Алиев Х.К. Моделирование динамическйх свойств малых магнитных частиц Сг2Оэ методами численного эксперимента. // Математическое моделирование. - 1997.-Т. 9,№10.- С. 36-42.

6. Гаджиева Л.Г., Хизриев К.Ш., Муртазаев А.К. Спиновая динамика малых магнитных частиц У203 / Тезисы докладов межвузовской региональной конференции, Махачкала, 1997. - с. 120-121.

7. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Магомедов М.А. Исследование реальных магнитных систем методами компьютерного моделирования / Тезисы докладов межгосударственной конференции СТ+&ЕЕ'97, Махачкала, 1997. - с. 61 -63.

8. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг2Оэ.// Физика низких температур. - 1998. - Т.24, № 5. - С. 462-467.

9. Муртазаев А. К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики малых магнитных частиц У203. // Вестник Дагестанского научного центра РАН. - 1998. - Т.1, вып. 1. - С. 23-28.

Ю.Муртазаев А. К., Камилов И. К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критические свойства наночастиц Сг203. //Тезисы докладов XVI международной шкоды - семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва: 1998. - Т.З. - С. 17-18.

11 .Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение теплоемкости малых магнитных частиц Сг20з // Физика твердого тела. - 1998, - Т.40,*№ 9. - С.1661-1662.

12.Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Aliev Kh.K., Khizriev K.Sh. Research of thermal and critical properties of real antiferromagnet Cr203 by the Monte Carlo method // Proceedings of 5th Asian Thermophysical Properties Conference, Seul, Korea. - 1998. - P. 109-112.

13.Муртазаев A.K., Алиев X.K., Хизриев К.Ш. Критические свойства малых магнитных частиц Сг2Оз // Тезисы докладов Международной конференции "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах». - Махачкала: 1998. - С.79.

14.Муртазаев А.К., Алиев Х!К., Хизриев К.Ш., Эмирсланова Л.Л., Мутайламов В.А. Конечно-размерный скейлинг и критические индексы Сг20з // Тезисы докладов Международной конференции «Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах». - Махачкала: 1998. - С.64.

15.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критические свойства наночастиц магнитных материалов // Материалы Всероссийской конференции «Физическая электроника». - Махачкала: 1999.-С. 188.

16.Муртазаев А.К., Алиев *Х.К., Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л. Статические критические свойства моделей гадолиния // Материалы Всероссийской конференции «Физическая электроника». - Махачкала: 1999. - С. 189-192.

17.Муртазаев А.К., Алиев Х.К, Камилов И.К., Хизриев К.Ш., Эмирасланова Л.Л., Мутайломов В.А. Исследование критических явлений в моделях реальных магнетиков методами Монте-Карло // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. - Махачкала: 1999. - С.6.

18.Murtazaev A.K., Kamilov I.K., Aliev Kh.K., Khizriev K.Sh. Critical properties of the nanoparticles of magnetic materials // Proceedings of First regional conference on magnetic and superconducting materials, Tehran, Iran.- 1999. -P.91.

Диссертация состоит иЗ введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей работе проведено исследование моделей сложных магнитных материалов методами численного эксперимента. С использованием метода Монте-Карло исследованы статические критические свойства малых антиферромагнитных частиц Сг20з. Для трехмерной гейзенберговской модели антиферромагнетика Сг203 рассчитаны статические критические индексы как на основе аппроксимации МК данных традиционными степенными функциями, так и на основе соотношений теории конечно-размерного скейлинга. Методом молекулярной динамики изучены динамические свойства трехмерной гейзенберговской модели малой антиферромагнитной частицы У203.

Все исследованные модели являются моделями реальных магнетиков, аналитическое изучение которых не представляется возможным. Поэтому применение численного эксперимента для исследования этих материалов является целесообразным.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Исследованы методом МК статические критические свойства моделей малых магнитных частиц Сг2Оз. При этом показано, что

- значения критических индексов теплоемкости а и восприимчивости у не зависят от размера частицы, а критический индекс подрешеточной намагниченности ¡5 проявляет характерную для МК данных зависимость от числа взаимодействующих спинов в частице;

141

2. Исследованы статические критические явления в моделях реального многоподрешеточного антиферромагнетика Сг20з. Рассчитаны критические индексы теплоемкости а, подрешеточной намагниченности р и восприимчивости у аппроксимацией МК данных, как на основе традиционных степенных функций, так и на основе соотношений теории КРС. Установлено, что критические индексы, рассчитанные на основе теории КРС, лучше согласуются с теоретическими предсказаниями, чем с использованием традиционных степенных функций, однако анализ МК данных, выполненный на основе традиционных степенных функций, позволяет получить значительный объем дополнительной информации.

4. Методом МД изучена спиновая динамика малой магнитной частицы У20з в зависимости от температуры, внешнего магнитного поля, направления магнитного поля, типа анизотропии и типа магнитного упорядочения в элементарной ячейке У2Оз. При этом:

- проведено детальное сопоставление продольной и поперечной динамики; . .

- установлено значительное различие в динамическом поведении поверхностных и внутренних спинов;

- показано существенное влияние на динамику типа магнитной анизотропии и направления внешнего магнитного поля; *- рассчитаны характерные времена релаксации для некоторых автокорреляторов макроскопических величин;

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность моим научным руководителям профессору Алиеву Хизрикади Курбановичу и доценту Муртазаеву Акаю Курбановичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы. Хотелось бы также выразить благодарность член-корреспонденту РАН Камилову Ибрагимхану Камиловичу за доброжелательное отношение к данной работе.

Автор глубоко признателен всем сотрудникам, принимавшим участие в выполнении данной работы, за оказанную помощь в получении и обработке экспериментальных результатов.

143

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Хизриев, Камал Шахбанович, Махачкала

1. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и е-разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. - М.: Мир, 1975.-256 с.

2. Ма Ш. Современная теория критических явлений / Пер. с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. М.: Мир, 1980. - 298 с.

3. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 380 с.

4. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. -1977.-Т.121, вып. 1. -С.55-96.

5. Паташинский А.З., Покровский В.А. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точек фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. - Т.50, вып.'2 - С.439-447.

6. Widom В. Equation of state in the neighborhood of the critical point // J.Chem. Phys. -1965, V.43, №ll. P.3898-3905.

7. Domb C., Hunter D.L. On the critical behaviour of ferromagnets // Proc. of the Phys. Soc. 1965, - 86, № 553. -P.l 147 -1151.

8. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc // Physica. 1966. -V.2.-P. 263-268.

9. Ising E. Beitrad zur theorie des ferromagnetismus // Z. Physik. 1925. -Bd31, № 3. - S.253-258.

10. Onsager L. Crystal'statistics.* 1: A two-dimensional model with an orderdisorder transitions // Phys. Rev. 1944. - V.65. - P.l 17-149.

11. Berlin Т.Н., Kac M. The spherical model of a ferromagnet // Phys. Rev. -1952. -V.86, № 6. P.821-835.144

12. Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.-488 с.

13. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова. М.: Мир, 1982. - 400 с.

14. Замалин В.М., Норман Э.Г., Филинов B.C. Методы Монте-Карло в статистической термодинамике. М.: Наука, 1977. - 227 с.

15. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Дер. с ант. В.Н. Задкова;Лод. ред. С.А. Ахманова. -М.: Наука, 1990. -175 с. \»

16. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Задкова. М.: Наука, 1995. -144 с.

17. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // J. Chem. Phys. 1953. - V.21, № 6. - P. 1087 -1092.

18. Peczak P., Ferrenbeig A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, N 7. - P. 6087 - 6093.

19. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. -1994. V. 205, N1-3. - P. 41 - 64.

20. Mouritsen O. G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. -Berlin, Springer, 1984. 200 p.

21. Камилов И.К., Муртазаев A.K., Алиев X.K. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // Успехи Физических Наук. -1999. -169, № 7. С. 773-795.

22. Петров Ю.И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982. - 360 с.

23. Петров Ю.И. Кластеры и малые частицы. М.: Наука, 1986. - 368 с.

24. Непийко С.А. Физические свойства малых металлических частиц. Киев: Наукова Думка, 1985. - 245 с.145

25. McGuiere T.R., Scott E.J., Grannis F.H. Antiferromagnetism in a Cr203 ciystall// Phys. Rev. -1956-v. 102, № 4. -P. 1000-1003.

26. Li Y.Y. Superexchange interactions and magnetic lattice of the rombohedral sesquioxides of the transitions dements // Phys. Rev. 1956. - V. 102, N 4. - P. 1015-1020.

27. Tachiki M., Nagamiya T. Origin of the magnetic anisotropy energy of antiferromagneticCr203//Jour.Phys. Soc. Jap.-1958. V.13,№5. -P. 452-455.

28. Newman R.E., Haan Y.M. Refinement of the a-Al203, Ti203, V203 and Cr203 structures // Zeitschrift fur kristallographic. -1962. Bd. 117,2/3. -S. 235 - 237.

29. Foner S. High Field antiferromagnetic resonance in Cr203 // Phys. Rev. -1963 -V.130,№1.-P. 183-197.

30. Altman J.O., Murphy J.C., Foner S. Magnetic anisotropy in antiferromagnetic Corundum-type sesquixides // Phys. Rev. -1965. V.138A, № 3. - P. 912 - 917.

31. Samuelsen EJ. Spin waves in antiferromagnets with corundum structure // Physica. -1969. V.43, № 1- 4. -P.353 -374.

32. Samuelsen E.J., Hutchings M.T., Shirane G. Inelastic neutron scattering investigation of spin waves and magnetic interactions in Cr203 // Physica. 1970. -V.48,№ 1.-P.13-42.

33. Shapira Y., Bacerra C.C. Magnetic phase boundaries near the bicritical and Neel point of Cr203 // Phys. Rev. В. -1977. V. 16, № 11.-P.4920-4935.

34. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. -М.: Изд-во МГУ, 1985. 336 с.

35. Белов Д.В., Воробьев Г.П., Звездин А.К., Кадомцева А.М., Попов Ю.Ф. Магнитоэлектрический эффект в спин-флоп фазе Сг203 и проблема определения магнитной структуры // Письма в ЖЭТФ. 1993. - Т.58, вып.8. - С.603-607.

36. Fiebig М., Fröhlich, H.-J.Thiela. Determination of spin direction in the spin flop phase of Cr203 //Phys. Rev. B. - 1996. -V.54, № 18. -P.R12681-R12684.

37. Bruce R.H., Cannell D.S. Specific heat of Cr203 near the Neel temperature // Phys. Rev. B. -1977. V.15, № 9.-P.4451-4459.146

38. Marinelli M., Mercuri F., Zammit U., Pizzoferrato R., Scudieri F., Dadarlant D. Photopyroelectric study of specific heat, thermal conductivity, and thermal difiusivity of Cr203 at the Neel transition // Phys. Rev. В. 1994-П. - V.499, № 14.-P.9523-9532.

39. Мотт Н.Ф. Переходы металл-изолятор // Пер. с англ. Под ред С.В. Вонсовскою. М.: Наука, 1979. - 342с.

40. Yelon W.B., Werner S.A., Word R.E. Nutron scattering of the spin waves and magnetic structures in pure and metal-defisient V203 // J. Appl. Phys. -1981. V. 52, №3. - P.2237 - 2239.

41. Изюмов Ю. А., Озеров Р.П. Магнитная нейтрография. M.: Наука, 1966. -532с.

42. Вонсовский С.В. Антиферромагнетизм. М.: ИЛ, 1965. - 480 с.

43. Wood W. W., Parker F.R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isotherm at about twice the critical temperature // J. Chem. Phys. -1957. V.27, №3. - P. 720 - 733.

44. Wood W.W., Parker F.R., Jackson J. Recent Monte Carlo calculations of equation of state of Lenard-Jones and hard sphere molecules // Niovo Cimento, suppl. -1958.-№ 9.-P. 133-143.

45. Вуц B.B. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло. В кн.: Физика простых жидкостей. Под ред. Темперин Х.М., Роулинсон Д.С., Рашбрука Т.С.

46. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. 1957. - V. 2, № 4. - P. 239.147

47. Фишер З.И. Применение метода Монте-Карло в статистической физике // Усп. Физ. Наук. -1959. т. 69. Вып. 3. - с. 349 - 369.

48. Фишер М. Теория сингулярностей в критической точке. В кн.: Устойчивость и фазовые переходы / Пер. с англ. С.П. Малышенко, Е.Г. Скроцкой. -М.: Мир, 1973. - 373 с.

49. Браун У. Микромагнетизм / Пер. с ант. А.Г. Гуревича. М.: Наука, 1979. -160 с.

50. Смарг Дж. Эффективное поле в теории магнетизма / Пер. с анга. В.Т. Хозяинова; Под ред. С.В. Тябликова. -М.: Мир, 1968. -272с.

51. Kittel С., Gait J.K. In: Solid State Physics. Ed. by F. Seitz, D. Turnbull. - New York: Acad. Press. -1956. - V 3. - P. 453 - 464.

52. Frenkel Т., Dorfman T. Spontanens and induced magnetization in ferromagnetic bodies //Nature. -1930. -V. 136. -P. 274 275.

53. Kittel C. Theory of the structure of ferromagnetic domains in films and small particles // Phys. Rev. 1946. - V. 70, N 11-12. - P.965 - 971.

54. Amar H. Magnetization mechanism and domain structure of multidomain particles // Phys. Rev. 1958. - V. 111, N 1. - P.149 - 153.

55. Кондорский Е.И. Природа высокой коэрцитивной силы мелкодисперсных ферромагнетиков и теория однодоменной структуры // Изв. АН СССР, Серия: физика. 1952. - т. 16, № 4. - с. 398-411.

56. Кондорский Е.И. Микромагнетизм и перемагничивание квазиоднодоменных частиц // Изв. АН СССР, Серия: физика. 1978. - т. 42. - № 8. - с. 1638 -1645.

57. Гаврилянченко В.Г., Комаров В.Д., Лейдерман А.В., Фесенко Е.Г. Размерный эффект в изотермических кристаллах РЬТЮз. ФТТ. -1998. - т. 40, № 8. - С. 1546-1547.

58. Alebedo C.R., Selwood P. W. Magnetic property of small particles in critical region //J. Appl. Phys. -1961:-V. 32, N2. -P. 229S 230S.148

59. Камзин А.С., Розенбаум B.JI. Мессбауэровские исследования состояния поверхности гексональных ферритов Sr-M в области точки Кюри. Письма в ЖЭТФ. -1998. - т. 67, № 11. - С. 940 - 944.

60. Mfermin D., Wagner Н. Absence of ferromagnetism of antiferromagnetism in one-or two-dimensional isotropic Heisenbeig model // Phys. Rev. Lett. -1966. V. 17, N22.-P. 1133-1136.

61. Stanley H.E., Kaplan T.A. Possibility of a phase transition for the two-dimensional Heisenberg model//Phys. Rev. Lett.-1966.-V. 17,N 17.-P. 913-915.

62. Gerling G., Drager K. The influence of grain size on the magnetic interaction in antiferromagnetic a-Cr203//Surface Sci.-1981.-V.106,№ 1.-P.427-431.

63. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 800с.

64. Landau D.P. Finite-size behavior of the Ising square lattice // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13, N 7. - P. 2997 - 3011.

65. Landau D.P. Finite-size behavior of the simple-cubic Ising lattice // Phys. Rev. B. 1976. - V. 14, N 1. - P. 255 - 262.

66. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. В.-1977.-V. 16, N9.-P. 4164 4170.

67. Binder K. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. Stat. Sol. B. 1971. -V.46, N 2. - P. 567 - 577.

68. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field //

69. Phys. Rev. B. -1977. V. 16, N 9. - P. 4164 - 4170.

70. Bidaux R., Boccara "N: Order of phase transition in a three-dimensional Ising model with three-spin interactions // Phys. Rev. B. -1986. V. 34, N 7. - P. 4881 -4884.

71. Danino M. Ising lattices with four-spin interactions // Sol. Stat. Com. 1984. -V.52,N10.-P. 885-888.

72. Aoyama Y., Chen W., Tanaka M. Monte Carlo studies on phase transitions of the two-dimensional S = 1 Ising model with biquadratic interaction // Jour. Phys. Soc. Jap. 1997. - V. 66, N 1. - P. 272 - 273.

73. Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo study of the random-field Ising model // Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, N 1. - P. 393 - 404.

74. Gavlinski E.T., Kumar S., Grant M., Gunton J.D., Kaski K. Breakdown of self-similar scaling in the two-dimensional random-field Ising model: A Monte Carlo study //?hys. R8v. B. 1985. - V. 32. - P. 1575 - 1580.

75. Nagai O., Yamada Y., Nishino K., Miyatake Y. Monte Carlo studies of Ising ferromagnets and the Villain model in transverse fields // Phys. Rev. B. 1987. - V. 35, N 7. - P. 3425 - 3430.

76. Dekker C., Dikken B.J., Arts A.F.M. Monte Carlo investigation of diluted antiferromagnets in high magnetic fields // Sol. Stat. Com. 1985. - V.54, N10.-P. 887-889.

77. Hua L., Tucker J.W. Monte Carlo study of the anisotropic cubic spin-one Ising ferromagnet. // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. - V.140-144, N 3. - P.1509 -1510. Vv ' %

78. Coppersmith S.N. Low-temperature phase of a stacked triangular Ising antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1985. - V. 32, N 3. - P. 1594 - 1594.

79. Kimel J.D., Black S., Carter P., Wang Y.L. Monte Carlo study of the antiferromagnetic two-dimensional Blume-Capel model // Phys. Rev. B. -1987. V. 35, N 7. - P. 3347 - 3353.

80. Kerler W., Rehberg P. Cluster mechanisms in the fully frustrated Ising model // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, N 14. - P. 9688 - 9696.

81. Binder K., Landau D.P. Phase diagrams and critical behavior in Ising square lattices with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. 1980. - V. 21, N 5. -P. 1941 - 1962.

82. Qitmaa J., Fernandez J.F. Phase transition in type-I fee Ising antiferromagnets // Phys. Ret. B. 1989. - V. 39, N 16B. - P. 11920 -11927.

83. Hernandez L., Ceva H. "2+4" model: A Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, N 1. - P. 698 - 704.

84. Ledue D., Landau D.P., Teillet J. Static critical behavior of the ferromagnetic Ising model on the quasiperiodic octagonal filing // Phys. Rev. B. 1995. -V. 51, N 18. - P. 12523 - 12530.

85. Janke W., Katoot M., Villanova R. Single-cluster Monte Carlo study of the Ising model on two-dimensional random lattices // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, N 14. -P. 9644 - 9657. - v >

86. Fisher M., Barber M.N. Scaling theoiy for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. -1972.-V. 28.-P. 1516-1519.

87. Fernandez J.F., Farach H.A., Poole Ch.P., Puma M. Monte Carlo study of a Heisenberg antiferromagnet on an fee lattice with and without dilution // Phys. Rev. B. 1983. - V. 27, N 7. - P. 4274 - 4280.

88. Gaulin B.D., Collins M.F. Biquadratic exchange from susceptibility data in classical one-dimensional Heisenberg systems // Phys. Rev. B. 1986. - V. 33,N9. -P. 6287-6292.

89. Serena P.A., Garsia N., Levailyuk A. Monte Carlo calculations on the two-dimensional anisotropic Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1993. - V. 47, N9.-P. 5027-5036.

90. Hucht A., Mörschel A., Usadel K.D. Monte Carlo study of the reorientation transition in Heisenberg models with dipole interactions // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. - V. 148, N 1-2. - P. 32 - 33.

91. Nijmeijer M.J.P., Weis J.J. Monte Carlo simulation of the ferromagnetic order-disorder transition in a Heisenberg fluid // Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, N1.-P. 591-600.151

92. Рождественский И.В., Муртазаев А.К., Фаворский И.А. Исследование квантовых моделей магнетиков и сегнетоэлектриков методами численного эксперимента. Препринт ИТФ АН УССР: ИТФ - 87 -158Р (Киев, 1988).

93. Chen К., Ferrenberg А. М., .Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models ferromagnet by Monte Carlo method // J. Apll. Phys. 1993. - V.73, № 10, 2A. - P.5488-5490.

94. Mailhot A., Plumer M.L., Caille A. Monte Carlo simulation of the easy-axis antiferromagnetic Heisenberg model on a stacked triangular lattice //J. Appl. Phys. 1990. - V.67, N 9. -P.5418 - 5420.

95. Alves N.A., Berg B.A., Villanova R. Potts model: Density of states and mass gap from Monte Carlo calculations // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, N./7. - P. 5846-5856. ,

96. Fernandez L.A., Marini B.M.U., Tarancon A. A variational study of the phase diagram of the Potts three state model versus Monte Carlo simulations // Physica A. 1989. - V.161, N 2. - P. 284 - 299.

97. Sweeny M. Monte Carlo study of weighted percolation clusters relevant to the Potts models //Phys. Rev. B. -1983. V. 27, N 7. - P. 4445 - 4455.

98. Peczak P., Landau D.P. Monte Carlo study of the surface special transition in the XY model in three dimensions // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, N 1. -P. 1048-1055.

99. Ramirez-Santiago G., Joso J.V. Critical exponents of the fully frustrated two-dimensional XY model.// Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, N 17. - P. 9567 - 9582.

100. Mon K.K., Nightingale M.P. Critical surface free energies and universal finite-size scaling amplitudes of three-dimensional XY models by direct Monte Carlo sampling // Phys. Rev. B. 1987. - V. 35, N 7. - P. 3560 -3562.152

101. Landau D.P., Pandey R., Binder K. Monte Carlo study of surface critical behavior in the XY model // Phys. Rev. B. 1989. - V. 39, N 16B. - P. 12302-2305.

102. Barkema G.T., Newman M.E.J. Monte Carlo simulation of ice models // Phys. Rev. E. -1998. V. 57, N1. -P. 1155 -1166.

103. Watson R.E., Blueme M., Vineyard G.H. Classical Heisenberg magnet in two dimensions // Phys. Rev. B. -1970. V. 2, N 3. - P. 684 - 690.

104. Binder K., Rouch H., Wildpanefc V. Monte Carlo calculation of the magnetization superparamagnetic particles//Phys. Chem. Sol.- 1970.-V.31.-P. 391-397.

105. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рощиненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. Киев: Препринт ИТФ АН УССР, ИТФ-85-93Р, 1985. - 23 с.

106. Муртазаев А.К., Фаворский И.А., Моделирование малых магнитных частиц Сг203 // Вестник ЛГУ, Сер. Физ. хим. -1987. вып.З, № 18, - С. 12 -17.

107. Муртазаев А.К. Исследование кооперативных явлений в решеточных моделях магнетиков и сегнетотоэлектриков методами численного эксперимента: Дне. канд. физ.-мат. наук ЛГУ им. А.А. Жданова. Л, 1987.-180с.

108. Муртазаев А.К., Фаворский И.А. Моделирование малых магнитных частиц Сг203 и а-БегОз // Физика низких температур. 1993. - т. 19, № 2. - С. 160 — 164.

109. Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Камилов И.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг2Оз // Физика низких температур. -1998. т.24, № 5. - С. 462 - 467.

110. Муртазаев А.К., Камилов, И.К., Алиев Х.К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение теплоемкости малых магнитных частиц Сг203 // Физика твердого тела. -1998. -т.40, № 9. С. 1661 -1662.

111. Муртазаев А.К. Моделирование малых магнитных частиц V203 // Математическое моделирование. -1992. т.4, № 9. - С. 114 -120.153

112. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш., Камилов И.К., Алиев Х.К. Моделирование• .-'Г'динамических свойств мальд магнитных частиц Сг20з // Математическое моделирование. -1997. т.9, № 10. - С. 36 - 42.

113. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш. Исследование спиновой динамики малых магнитных частиц V2O3 // Вестник Дагестанского научного центра РАН. -1998. вып. 1. - С. 23 - 28.

114. Binder К. In: Phase Transitions and critical phenomena. Ed. By CDomb, M.S.Green (Academic, New York, 1976), V.5B. P. 1 -105.

115. Binder K. Critical properties from Monte Carlo coarse craining and renormalization // Phys. Rev. Lett. -1981. V.47, №9. - P. 693 - 696.

116. Barber M.N. Finite-size scaling;In: Phase transitions and critical phenomena. Ed. C. Domb, J.L. Lebowitz. V. 8, p. 1. (New York: Academic Press, 1983).

117. Binder K., Landau D.P. Crossover scaling and critical behavior at the "surfase-bulk" multicritical point//Phys. Rev. Lett.-1984.-V. 52, N5.-P. 318-321.

118. Landau D.P., Binder K. Phase diagrams and critical behavior of Ising square lattices with nearest-, next-nearest-, and third-nearest-neighbor couplings // Phys. Rev. B. -1985. V. 31, N 9. - P. 5946 - 5953.

119. Bhatt R.N., Young A.P. Search for a transition in the three-dimensional ±J Ising spin-glass // Phys. Rev. Lett. -1985. V. 54, N 9. - P. 924 - 927.

120. Swendsen R.H., Jang J.Sh. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations // Phys. Rev. Lett. -1987. V.58, № 2. - P. 86 - 88.

121. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. -1989. V.62, № 4. - P. 361 - 364.

122. Ferrenberg A.M., Swendsen RH. New Monte Carlo technique for studing phase transitions // Phys. Rev. Lett. -1988. V. 61, № 23. - P. 2635 - 2638.

123. Ferrenberg A.M., Swendsen R.H. Optimized Monte Carlo data analysis // Phys. Rev. Lett. -1989, V.63, № 12. -P. 1195 -1198.154

124. Chen К., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. -1993. V. 48, N 5. - P. 3249 - 3256.

125. Holm Ch., Janke W. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993. -V. 48, N2.-P. 936-950.

126. Binder K., Hohenberg P.C. Surface effects on magnetic phase transitions // Phys. Rev. B. -1974. V. 9, N 5. - P. 2194 - 2214.

127. Камилов И.К., Алиев X.K. Статические критические явления в магнитоупорядоченных кристаллах. Махачкала: Изд. ДНЦ РАН, 1993. — 197 с.

128. Le Guillou J.J.C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theoiy // Phys. Rev. B. -1980. V.21, № 9.-P.3976-3998.

129. Le Guillon J.J.C., Zinn-Justin ¿^Accurate critical exponents from the s-expansion // J.Phys.Lett.- 1985.-V.46.-P.L 137-L 142.

130. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Phys. Rev. 1969. - V.185, № 2 -P.832-846.

131. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. В. 1991-П. - V.44, № 10.-P.5081-5091.

132. Hendriksen P.V., Linderoth S., Lindgard P. -A. Finite-size modifications of the magnetic properties of clusters % Phys. Rev. B. 1993. - V.48, № 10. - P.7259-7273.

133. Alder B.J., Wienright H. Phase transition for a hard shere system // J. Chem. Phys. -1957. -V. 27, № 5. -P. 1208 -1209.

134. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Phys. Rev. -1964.-V. 136A,N2.-P. 405-411.л* 155

135. Watson R.E., Blueme M., Vineyard G.H. Spin motions in classical ferromagnet // Phys. Rev. -1969. V. 181, N 2. - P. 811 - 823.

136. Ахиезер A.M., Барьяхтар В.Г. Пелетминский C.B. Спиновые волны. М.: Наука, 1967.-307 с.

137. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. М.: Изд. АНСССР, 1963.-223 с.

138. Kubo R., Toybe Т. Magnetic resonance and relaxation / ed. by Blinc. -Amsterdam, 1967. 810p. . .

139. Knak S.T., Hansen E.K. Dynamics of classical spins with dipolar coupling in a rigid lattice at high temperature // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13, N 5. - P. 1903 -1908.

140. Samuelsen E.T., Shirane G. Inelastic neutron scattering of spin waves and magnetic interactions in a-F^Os //Phys. Stat. Sol. -1970. -V. 42, N1. P. 241 -256.

141. Knak S. J., Platz О. Free indication-decay shapes in a dipolar-coupled rigid lattice of infinite nuclear spins //Phys. Rev. B. -1973. -V.7, № 1. -P. 31-37.

142. Gerling R.W., Landau D.P. Computer simulation study of the classical XY- chain in a magnetic field//XÄppl. Phys.-1982.-V. 53,№ ll.-P. 7999-8001.

143. Steiner M., Villian Y., Windsor G.G. Theoretical and experimental studies on one dimensional magnetic systems // Adv. Phys. -1976. -V. 25, № 2. P. 87-209.

144. Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theoiy of dynamical critical phenomena // Rev. Mod. Phys. -1977. -V. 49, N 3. -P. 435-479.

145. Peczak P., Landau D.P. Monte Carlo study of critical relaxation in the 3D Heisenberg model // J. Appl. Phys. -1990. V. 67, N 9. - P. 5427 - 5429.

146. Wansleben S., Landau D.P. Monte Carlo investigation of critical dynamics in the three-dimensional Ising model7/ Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, N 7. - P. 6006 -6014.

147. Peczak P., Landau D.P. Dynamical critical behavior of the three-dimensional Heisenberg model // Phys. Rev. B. -1993. V. 47, N 21. - P. 14260 -14266.