Вопросы теории нелинейных явлений в анизотропных магнетиках с учетом мультипольных моментов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ЮШСТКРСТВО ОБРАЭЭВАШЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЮШСТАН ' ТАДЦОШСИИа Г0СУДАГСТВЕШ2ЙУШВЕРСИТЕГ

На правах рукописа УДК 537.611, 530.146

Ы У Ы И Н ОВ ШКЫАТ ШИЫОШЧ

ВОПРОСЫ ТЕОШИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ В АШЭОТРОПННХ шшш с гатоы ШЫШИЬНЫХ МОЫЕЕШВ

Спащшльнооть; 01.01.07 - физика твердого тела

Автореферат

диссертации на еояоханве ученой степени доктора фиаяко-матеиаплеових наук

Душанбе 1996

. Работа выполнена на кафедре теоретпаокой физиха фиачвохого факультета Тадхикокого Государственного Университета.

Официальные оппоненты:

чден-корр. АН Реопублики Тадхнкиотан, доктор фиадхо-матвиатичеоких наук,' профессор И.И.Исмоялов

доктор фиаяко-штвиатичвокях наук, профеооор Ю.П.Рыбаков

доктор фиэяко-шиматичеоких наук С.Одинаев

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физит-кя Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна

Защита диссертации состоится " ^п & ^

на заседании Диссертационного Совета Д 065.01.01 со защите докторских диссертаций при Таджикском Государственном Университете по адреоу: 734025, гор.Душанбе, пр.Рудаки, 17

. с диссертацией ыохно ознакомиться в Научной библиотека Тадхикокого Государственного Университета.

Автореферат разослан шЦлЛрЯ, 1996 г.

• Ученый секретарь Ддооертационного Совета, доктор технических наук

В.Г.Гафуров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одних из повых направлений * физике твердого тела и конденсированного состояния, наиболее интенсивно развивающихся в последние годи, являются исследования нелинейных возбуждений • магнитпых средах. В значительной мере это обусловлено возможностью примепения иагнптних кристаллов в микроэлектронике и технике сверхвысоких частот, например, быстродействие, некоторых элементов современных ЭВМ обусловлено динамикой цилиндрических магнитных доменов - существенно нелинейных образований в ферромагнетиках.

Одной из принципиальных задач физики твердого тела является выяснение связи свойств кристалла с его фундаментальными характеристиками. В теории магнетизма весьма плодотворным оказался феноменологический подход, в основу которого положен симметрийный анализ пространственного распределения векторов ферро- н антиферромагнетизма. Динамика намагниченности в магнптоупорялочепных средах в рамках дапного подхода описывается уравнениями типа сннус-Гордона^ пелннеАного уравнения Шреднпгера (НУШ), Ландау-Лифшица и др. Вместе с тем, неоднократно отмечались серьезные затруднения, связанные с применением феноменологического подхода к описанию магнетиков со значениями спина 5 > 1/2, а так же в случаях, когда энергия связи спиновой подсистемы с кристаллической решеткой сравнима с энергией обменного взаимодействия. Существенным моментом при исследовании днпамшш намагниченности реальных магнетиков с произвольным спилом оказывается возбуждение Полей различной природы (магнитодипольных, мультипольных, и т.д.), обусловленных появлением дополнительных степеней свободы спиновой динамики и принципиально отличным устройством энергетической структуры этих магнетиков. В то же время, на микроскопическом уровне основой теоретического описания большинства магнетиков являются гейзенберго-' вскис модели. Таким образом, возникает вопрос об отношении коллективных нелинейных эффектов в классических и квантовых моделях, то есть проблема формулирования достаточно аккуратной, последовательной "процедуры сведения" моделей квантовой статистической механики, в частности. квантовых решеточных моделей Гейзенберга к классическим континуальным теоретико-полевым моделям, и учитывающие возбуждение полей мультипольпой природы.

Наличие мультипольных магнитных полей, в частности квадрупольного (т.н. поля Дзялошнвского), в магнетиках показано в экспериментальных исследованиях последних лет. Особенно сильно данное поле проявляет себя в автиферромагветике Сг20з, в основном состоянии которого вектора "классического спина * составляющих подрешеток взаимно компенсируют

3

друг яруг».

Боаьшов ивтерес особенно > восдедвве гады проявляется также * кс-следоваввв существенно нелинейных к»ыгщ£ва1 (магнитных солатово») в весихномервых (антн)ферроиагнетнках. Особое ыесто среда иагватвих содатонов занвыают динамические топологические солитоны (вихри), паля намагниченности которых нелъая перевеет! в ашородвое состояние непрерывно! деформацией. ^

В настоящее врсил ваибодее полных методом аналитического описания НУЩ явлтется и стад обратной задача рассеяна*. Однако для некоторых моделей теорнв конденсировач&их сред. тле фшачески реальными валяются ковдевсатные гранвчные условвя. стандартная техввка оораг-аой задача веконструктввва. В последняя годы стала очевадна неоспо-рамостъ алтебро-геометраческого метода состроена« широкого класса ре-шезв* рада фундаментальных велнаеЯвых уравнений математической фаза ки.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Теоретическое всследовавне сидквоанвэотросвих ферромагветако» Гейэенберга с провэвольным значением спав! 5. учитывающей возбуждена« велапеВнцх ыудкгвполкаых взавжщеЗствн! а поле! в магнитных кристаллах. Разработав в праменен едины! подход в квазяьлассаческому опвса-свв> квантовых спиновых мс&глей соспивом 5 ва основе поороенвя обоо-шевоых когерентных состояв!О (ОКС) ва группе 5С(25+1). учвтыааюзив фундаментальные евмметрввные характеристика всходного гашильговиаав ■ осиное число стеаеве! свободы спиново! дяваыака.

2. Изучена« вопросов супествоваввя в устовчавоств дввамвческах топологи ческах солитонов (магнитных авхреЗ) в неодномерных моделях антн-ферромагветика Ге!зспберга (велинс)них евгыа-моделлх) на основе »ари-аововвого подхода (тгхяака пробных функций) а вычислительных экспериментов.

¡). Получеввг ■ всследовавве аових двухсслатовных решена! скалярного в векторного велавеЯаого ураввевая Шредннтера с разлачныма гранач-вымв усдоваяиа. В качестве метода р-аеняд всподьзуется разновидность алгебро-геоыетрвческого металл ввтегрврованва веланеавых дифференциальных уравнена!.

к

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. Предложен в применен гдяви*. общ! подход в вссэедоваввп квазнклассаческогц повелевая магнетиков ГеЪевберга с произвольным эваченвек слана ва освове техники обобщев-■ых когереитвых состоана! соответстьуюае« динамически! группы сам-

^ мстржя, учитывающий »озбуждеяве мультжпольных вале* спиновой лпа* ми кв. На основе построенных обобщенных когерентных состояний предпринято комплексное исследование анизотропных магнетиков со значениями езшва 5 1,3/2 ^гго возводило волучить ряд вывозов н положений, носящих првнпипаальное значение, которые вывоегтея на защиту. Впервые получены уравнения нелинейных воля намагничен а оста, учитывающие возбуждение квадруподьной к октупольной спжновой ¿квамвки магнетиков со спинами 5 = 2,3/2 в вяешние соля в, гакям образок, шихоллшае за рамки классического описания. Найдев ряд качественно нов их нелинейных решений, не имеющих аналогов в райках феномен алогического подхода Ландау- Ли фшица.

Аналитическим; в в численными методами продемонстрирована устойчивость динамических топологических солитонов (вихрей) в веедномерных моделях классического аятв ферромагнетик а Гейзенберга.

Найдев ряд новых решений скалярного я векторного нелинейного уравнения Шредиягера с различными вядами потенциала и граничных уело ваЕ.

НАУЧНОЕ I! ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. Выявлена новые физические закономерности, характерные для широкого круга магнитных материалов, дающие теоретическое сбьясвенве ряду экспериментальных данных в предсказывающие новые эффекты мультипольвоИ природы.

Построеппые когерентные состояния различной реализации являются математическим методом квазиклассического описания широкого.класса реальных магнетиков с различными значениями спина, анизотропна н вве-птнпх полей в могут быть использованы для полукласснческого описания квантовых езивовых моделей.

НаЛденпые в работе новые решепнв скалярного н векторного НУШ с различными граничными условиями мопт найти примененве не только в фнзтгке твердого тела, во также к » физике плазмы, нелинейной оптвке я в других областях наукв.

Полученные в работе уравнение нелинейных воля вамАГНиченности с учетом мультилолъных взаимодействий, а так*«* нх решена*, могут явиться основой для дальнейших теоретических исследований магнетиков типа Са.\'|Т3. ЯЬЛ' г С . Т ММ С. СоГ:. С 1СО3 я др, Теоретнче-скве результаты, полученные в диссертации стимулируют постановку новых экспериментов в различных областях физвкв конденсированного состояния, магввтоуво рядочеиных твердых тел. и т.д.

5

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Выработав едины! подход к к&азикласснческоиу описанию магкег«-ков с произвольный значением спина 5, при этой учет возбуждена* культа польпых степеней свободы спиновой динамики обеспечивается обобщев-ниии когерентными состояниями (OKС) группы St/(2S+¡), построенными кап в комплексной, так и в физической, наглядной, вещественной параметризации полевых функций. Построенные когерентные состояния учитЫ' алют группы динамической симметрии исходных квантовых гамильтонианов и число независимых параметров полного квазнклассического описаиня, определяемое размерностью пространства спиновых состояний. Классическое првближснце в рамках такой конструкции соответствует первому порядку теории возмущений при наличии малого параметра - отношения мультипольных взаимодействий к обменным и определяет лишь орнеятаця-онную дивамику вектора классического спина. Построены лагранжианы квазиклассвчеекнх аналогов спиновых систем с произвольным значением савна и гамильтоновы уравнения двшкеии^ для параметров спнновой а мультиполыюй динамики в пространстве 5Г'(25 + 1 )/SU('2S) ö f'r( l).

2. Техникой обобщенных когерентных состояний группы SU{3) полу-чеии интег'ро-дифференциальные уравнения линамиьи малоамплитудних сщи-квадруиолышх волн а моделях магнетика Гей.кч<Ор1а со спином 5=1 с обменной и одноконной ЛегкоосноЯ аиюогропней, найдены их стационарные солнтогпше решения, сопровождающиеся изменением длины вектора классического спина. Исследованы квантовые в квашклассические основные состояния (вакуумы) систем.

3. Исследована динлмаьа вектора классического слипа S ~ 1 ферромагнетиков с различными видами анизотропия. Показано, что в случае Именной анизотропии, в отличие от одиоионной. длина классического спина постоянна, т.е. квадрупольнал пелень свободы оказывается "замори жениой". Обнаружена дополнительная высокочастотная вень в мапкшнпц спектре магнетика, обусловленная возбуждением квадруполыюв гииновов динамики. Получены уравнения динамики спиновых квалрунольних воли в магиетвках со спином 5 =yl, сводящиеся, в п|>еделе исчезающего ьвадру-подьвого момента к феномеиологическим уравнениям Ландау-Лнфшица.

4. Получеиы састемы уравнений нелинейной дшымньх волн намагниченности в ферромагитнках Гейзеиберга со значением спина 5 - 1 с об-ыеиноС, а также одчоосниВ а двухосной одоиошюй анизогропнямя, находящихся под воздействием постоянного внешнего магнитного поля. Обнаружено сокрашеиве вектора классического спина, т е. наличие квадруполь-вого магнитного поля даже в основном состоянии одиооснмх и двухосных

б

магпетпкоз с одпоиопной анизотропией. Исследованы основные состояпия, н показано, что дясперсня магпоишх иод имеет две ветви • кроме боголю-бовской легкойлоскостяого магвеТйка появляется вторая ветвь -дисперсия линеаризованного уравнения Клеййа^ГЬрдопа. Обнаружено, при наличии обменной анизотропии доменаал граница имеет тот же вид, что и при классическом описании и дополнительно появляется лишь зависимость квадру-польпой ветви от коордипаты. В случае малых полей и одноионной анизотропии домен пал граница сопровождается изменением длины спина. Найдены новые типы локализованных нелинейных возбуждений в силыюаиизо-трошшх магнетиках при отсутствии полей, сопровоздающиеся возбуждением кв ядру пол ьпого магнитного Поля и сокращением длины классического спина. Показано, что при наличии двухосной одноконной аиизотопии при замороженпой сплловой дипампке намагниченность выступает как существенно квадрупольпая динамическая переменная.

5. Впервые для исследования магнитных систем со значением спина 5 = 3/2 реализована физическая параметризация в вещественных полевых функциях, вводящая в рассмотрение параметры Порядка октупольной спи-повой днпамики. Построены соответствующие лагранжиан к гамильтононы уравнения для мультипольных полей. Исследование магнетиков Гейзгп-берга с одиоиоппоЙ аиизотописЙ и со значением спина 5 = 3/2 показало, что сокращение длины классического спина происходит не только за счет квадрупольного взаимодействия, но также и'вследствие проявления возбуждений октупольной природы, причем характер проявления последних качественно совпадает со свойствами квадруиолышх нолей магнетиков со еппиом 5 = 1. Выявлено наличие двух дополнительных мод м&гионного спектра. Получены уравпення нелинейной динамики намагниченности в магнетиках со спином 5 = 3/2 с учетом одноконной анизотропии при наличии только квадрупольиых спиновых взаимодействий.

6. Показана устойчивость стлционарпых топологических солнтонов Велавииа-Полякова с различными значениями топологического заряда в двуиерпом изотропно»! аптиферромагнетике Гейзеиберга как в варпаци-оппом подходе, так и решением эволюционной задачи в вычислительных экспериментах. Обнаружено, что при'легкоосной анизотропии антиферромагнетика Гейзенберга локализованные "ежовые" топологические солитоны существую? только для единственного значения частоты и. Показано, что в трехмерном легкооспом анпгферромагпетике осесиммегричные топологические солитоны с единичным индексом Хопфа не существуют при любых о>. Устойчивость динамических топологических магнитных солитопов (вихрей) в двумерпом легкооспом анизотропном антиферромагнетике Гейзенберга показала как техникой пробных функций, так и в вычислительных'

7

экспериментах.

7. Построены и исследованы новые двухсолитогшые решении скаляр-вого нелинейного уравнения Шредингера (С11У111) с "притягивающим'' п "отталтшвательным" потенциалами и различными граничными условиями. Найдено двухсолитоиное брпзерное решение СНУШ с конденсатними граничными условиями, обладающее динамикой внутренней степени свободы, характеризумой частотой и/. Численно определена энергия связи составляющих бризера. Найдены двухсолитонние решения двухкомпоненпюго векторного нелинейного уравнения Шрслпигсра г самосогласованными потенциалами вида 2е(\р1\7 — 45) — а также + как при копденсатних так и при убывающих граничных условиях.

АПРОБАЦИЯ РАПОТЬГ. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались па научных семинарах в ЛИТА и Л'1'Ф ОИЯИ (г.Дубпа), ТГУ (г.Дугааибе), ФТИ АН Республики Таджикистан, на IV Международном совещании "Солитоны и приложения" (г.Дубна, 1980), па международных конференциях "Нелинейные -эволюционные уравнения в динамические системы" (г.Дубпа; 1000, 1992). на. международных конференциях "Нелинейность и хаос" (г.Ташкент, 1990), "Соли-топи и хаос" (г.Врюсссль, 1990), "N£100.4-91" (г.Галлиполи, 1091), на Всесоюзной' конференции "Мс;кчастнчпыс' взаимодействия в растворах" (г.Душапбе, 1990), на 26-29-оП научных конференциях факультета физико-математических и естественных паук 1'УДН (г.Москва 19У0-9.1), на ежегодной научной апрельской конференции ТГУ (г.Душанбе, 1993-(.1">)

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит ид введения, семи глав, заключения, списка цитированной литерату ры. По теме ;икчсрагацин опубликовано 33 работ, в том числе монография.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЮ ДИССЕРТАЦИИ. Но введении обсуждается состояние и актуальность проблем, которым погюпцгпа диссертация, дается краткий обаор наиболее существенных р<мулм .иом. нилучешшх ио изучаемым проблемам н момент написания диссертации, сформулирована цель диссертации в оригинальные резудыаш, полученные в диссертации.

В первой главе диссертации обсуждется проблема формулирования достаточно аккуратной процедуры сведения квантовых спиновых гамильтонианов к адекватным квлзикласснческим аналогам. Наиболее естественным здесь оказывается выбор в качестве пробных функций, по-которым проводится усреднение квантового гамильтониана, когерентных сосюяннй, поскольку такие состояния наиболее близки к классическим, т.е. минимизируют соотношение неопределенностей Гсйзенберга. Для исследования квазиклассвческого поведения магнетиков с произвольным спином 5,

8

построспц обобщенные когерентные состояния (ОКС) в фундаментальном представлении группы 5(/(25 + 1), и, таким образом, учитывающие симметрии исходных кващорых гамильтонианов и необходимое число параметров ыультнполыюЯ п спиновой динамик,

/ 3. { 2. 1

(1)

Т+ и Т~ - генераторы фундаментального представления группы 5С/(25+1), | 0 >= (0,..м0,1)г , а | { > есть орт с единицей на строке снизу.

Являясь, фактически, обобщением метода Хартрп-фока.среднего поля, ко-Герептнме состояния группи + 1) позволяют получать киазпнлас-

снчесьие половые модели дннампии намагниченности. Построена матрица обобщенных сшшо/шх когерентных состояний, позволяющая проводить выбор соотиетстнуюшето конкретной модели ьогереншого состояния.

Квантовая система со спином = 1 н фундаментальном прсдстанлспии описывается ОКС

К >= 0 + |ч||" + 16|г)"'/г{1 0> +6 I 1 > | 2 >}.. (2) .

Представление в виде ьоптинуалиюго интеграла по ОКС группы £¿/(3) позволило получить лагранжиан

ь•= и_ „ (3)

и гамильтоно»^ уравнения движения 8 простраистье 5(/(3)/5(/(2) ф

.-■{,, = (1 + + Ы') {(1 + |{,|') Щ + . О-»)

¡ь, = (] + 16Г + 1б1г) {(1 +1612) щ + ь?,^} • (4.6)

Построены когерентные состояния группы 9(1(23 + 1) » более удобной и физически наглядной параметризации вещественных функций, в явном виде

учитывающие возбуждение мультиполышх параметров порядка спиновой динамики ■ .

I Ф >= exp (~iV£") exp (-¡0S") exp (-¿a2Sj) exp (-ijijA/') ». — exp (-ioj-jSJ-i) exp (-iVj-iXP"1) exp (-«OjSj) exp (-¡^ЛЯ) | 0 >,

(5)

где I 0 > - референтное (вакуумное) состояние, Sj - операторы спина, M'(i = 2, ...,j,j = 2S)- с точностью до постоянно!! операторы мультиполь-eux моментов, <р,0 - эйлеровы параметры орнентационной спиновой динамики, a,, fi¡ - параметры порядка мультинольной динамики. Когерентное состояние (5) в St/(3) реализации сведется к следующему виду

¡ Ф >= £>' (¿?,v,-ï)cxp (г.д«?'*-) [ >, (С)

где Q" -квадруподышй момент, I и > референтное состояние, О' (в, = exp (-iVS*) exp (-íeS'J exp i"ïS') - оператор Вигнера. Для моделей со спином S = lk рамках псЛтроенных копструкций ОКС группы 51/(3) сокращение вектора классического спина происходит за счет возбуждения квадруполыюго момента • повой степени свободы СПИООВОв да* намнкя, отсутствовавшей в случае Slf(2) ОКС, т.о.

S' + Í^l, (7)

где

q1 = sin' Чд, (8)

«ли

ч' =< S-S' >< > + < S'S" >< S'S* > + }

+ < S~S~ >< S*S+ > + < S'S' >)', (9)

С помощью представления в виде континуального интеграла по траекториям получены лагранжиан

L¿ = cois 2д (cos 0-р, + i,) - II (^.«,9,-г). (10)

в гамилътониви уравнения движения в вещественной параметризации

SU(3) ОКС

1 HI М1 .

• Vi =--ñ—О**)

coszgamí 60 .

coS2jcos0\íy> 6y ) 1 _ '

1 вн

(11..)

3'~ 2з|'п23 6-1' 1 III созД 6Н 8ш2? 6д соз2дзт0 60'

91 =

(11.Г)

Вторая глава посвящена изучению и одел п ферромагцетика Гевзепбсрга со спином 5 г= 1 с учетом обменной анизотропии

где Ь - показатель анизотропии,3 • обменпый итпеграл. Показало, что про цедура сведения к классическому описанию на основе О КС группы $(/{ 2) при ваяя т к (реноме поло г и вескому уравнению Ландау-Лифпшца. Показа по» Что при использовании 5С/(3) ОКС даже в случае изотропной модели, появляется эффективная апизотропия. Усреднением по 57,г(-]) ОКС получен квазиклассический апалог гамильтониана (12)

Исследованы основные состояния (вакуумы) квазиклассической модели (13) п показано, что они совпадают с классическими. Получены уравнения нелинейной динамики спин-квадрупольпых волн в магнетике с обменной анизотропией

¿6. = Щь - £?} [я* + 5Ч) + у/2 (5- + 5-] + 2(1 - ¿)6 К, + 5'],

(И.а)

= + [5" +5"]+4(1 + %|5;г + 5'], (14.6)

сводящиеся в ыалоамплитудном прпближенинн к интегро-днфферепцальныы уравнениям

•"{..-<&« + Щг +2(1 -6) М' {| +8<{,/' е"(,+6)|-г){?(г)</г=0. (15) 6 = (16)

Найдены первые три интеграла движения уравнений (15) и (16). Стационарные локализованные решения уравнений (15) и (16) имеют вид

(12)

{. =

Ь

(17л)

■с'

собЬ \/26 — ыюо

11

J1

= 2(l + í)-«co»h'Vü¿-«W (П'б)

ш = ¿[(1 - í)b' + 2 + 4« ± y/W + 4У(1 + í) + 4 + 8¿{1 + í). (18)

Изучена динамика вектора классического спвва при учете сильной нели-EeÍHOcr» i показало, что длина вектора классического спвва при обменной анизотропии постоянна

£(<*>)'-«. (19)

Получены уравнения спиновой в квадрупольпоЯ динамики магнетика с обменной анизотропией в весиестьеппой параметризации

•intfi^i = 2&<xe2g*\n$cos$ - а*{сов2дОжг—

-iñnlgg.S, - coa 2j ainí сов Í9J), " (20.a)

it = >ш - 4sin2ssin0j,<,j, + 2 coa 2$ «и 00,^,), (20.6)

• з, = 0, (20.») 1, = 2 eos 2j + aJ(cos 2fl(co( 00„ -

-0] - Ад]) - 2мп 2j(2col 0,jJ, -f jr„)). (20.r)

Обнаружено наличие дополнительных высокочастотных мод а ыагноиноы спектр«

(21)

t случае легкоосной (ЛО) надел»,

ил = 32. (22)

в случае легкопдоскостной (ЛП) модели. Показано, что при отсутстви» квадрупольвого взаимодействия система сводится к феноменологическим уравнениям динамики намагниченности Ландау-Лнфшвца.

В третьей главе проводится исследование магнетика Гейзенбсрга со спв-вом S = 1 с учетом одпоионной анизотропии

(23)

Получены уравнения динамики проекций лектора классического спина и квадрупольаого момента и выделено, что длина вектора классического спи па в рамках давней модели является существенно динамическим параметром. Для вектора спияа имеем

>j = -í{(< S'S+ > + < 5+5* >) < 5" > +

+ (< S'S~ > + < ¿~S' >) < S* >), (24)

Усредняя гамильтониан (23) no SU(3) OKC получим квазпклассический гамильтониан

Hd = 7" / (< ^ >r) ~S (< S'S' >)* j i*, (25)

Изучены осповпые состояния ферромагпетика (25) с анизотропией типа "легкая ось", обпарушеаа также дополнительная высокочастотная мода в магноппом спектре. Получены уравиеиня спин-квадруполыюй динамики

Ни = у/2 {б - {?} + 5+] + -Л [S;r + 5-¡ +2(, + S'J+Jf,, (26.а)

»'{» = -%/§«,(,+ S+] + V2(, [s- + <?-] + ч, [5J, + 5"], (26.6)

сводящиеся, в малоамплитудиои приближении к следующему интегро- дифференциальному уравнению

••í..-«2í« + í{l + 2|í1|2í. + S¡íI/<e4,,,-"(?(r)rfr = 0. (2?)

Здесь

{, = -%j eVC+'K'-'lff (т) dr. - (28) •

Найдены стапионарные солитонпые решения уравнений (27), (28).

В четвертой главе диссертации проводится исследование полуклассического поведения магнетиков Гейзеиберга с различными видами анизотропии со спином S=l, находящихся под воздействием постоянного внешнего магнитного поля, посредством техники обобщенных когрентных состояний группы SU(3) в вещественной параметризапии (6). Рассмотрим гамильтониан _ _

И = -J(S,'s+ ís;s;t„ + ASjj , ' (29)

где 6 - постоянная анизотропии. А- постоянное внешнее магнитное поле, п = 0 соответствует аанововной анизотропии, а п = 1 -обменной.

13

Получены системы уравнений, описывающие спиновую и квадруполь-иую динамику намагниченности ферромагнетлков (29). В случае одноиои-вой анизотропии уравнения имеют вид

sin Of, = а\ (cos 2д sin 0 cos 0<?\ + 4 sin 2 дд,Ос - cos 2 +

■f^sinflcosfl (1 — sin 2g coa 2-¡) - A coa 0 eos y, (30.a)

eos 2g

0, = <¡2 (eos 2 g sin — i sin Ig sin 0yr<¿r + 2 eos 2g eos 00T<¿,) +

+3 íinfl cosí tan 2ji sin 2y + A sin v>, (30.6)

Si =-|sin2-r»¡nJ0, (30.«)

->, = 2cos 2g + aJcos2j (col A</,) -

—2aJ »in 2<j (2 cot flg,0, + grl) —

sin и

(coa' 6 1 * V

-— [sin cos f - l! - -sin'в cot 2¡j eos 27 ) . (ЗО.г)

соя 2g 2 /

которые в пределе исчезающего каадруоо.ипого момента сводятся к ура-внеппю Лапдау-Лнфшвца.

• Исследованы основные состояния классического аналога гамильтониана (29). Так для легкоосных магнетиков ( ? > 0) ирнЛ > |?| минимум гамильтониана достигается при

V» = 0,5 = 0,7= (31)

Вектор спина лежат вдоль оси 5* и совпадает с направлением внешнего магнитного поля. Если же

а1 (у^б + г^+г' -(•» + ?)). (32)

то i осноаиом состоянии

Ip ss О,-) = 0,sin2po = JJ,einío =

4? +И»

-Л3

В случае A¿ < А < J минимум гамильтопиаыа достигается при

(33)

* А

у> = 0,д = 0,1 = -,»'m0o = j (34)

В случае слабоЯ лсгкоосноП анизотропии возникает интервал полей, > к» тором и легкоконусиам состоянии длипа саииа равна

S-

f-[l-(«*(£)/а)*]

Итак, при определенных зцачеинях внешнего магнитного поля в ковстанты одноиоопой апнзотрэнии даже в основной состоянии магнетика имеет место сокращение длнпц классического спина, i.e. существует квадрупольяое магптитиое поле.

Для магнетиков с легкоплоскостной анизотропией (Z < 0) основное состояния имеет место ври следующих эпачениях параметров

У = 0л = |,А= (35)

в асимптотиках

sin2j —> 0, А -» оо,

sin2j-» Н.У1-.0. (36)

Видно, чго в случае легкой плоскости сокращение «-пина имеет место даже в отсутствии поля и должно проявляться в малых магн::т»ых полях.

При обменной ЛИ анизотропии появляется в.ч. ветвь дисперсии маг-иониых воли

^»«¿(¿'«J+д) (fc>«J + 2|J| + y\),

w = -w0(2 + /t). . (37)

В случае ашомончой ЛП надели дисперсия воли имеет вид

l>J = w^t'aj + -j {|?|(1 + sin go) r COS so fc'aj 4- Л} ,

+ 2»¡n£otl«¿ - 2 sin jo 1. (38)

Зо ) ■■

Здесь первая мода колебаний похожа ва боголюбовскую дисперсию ЛГ1 магнетиков, а вторая ветвь представляет собой дисперсию линеаризованного урзвиепия Клейпа-Рордопа.

При обменной анизотропия 360° доменная граница имеет тот же вид, что в при описании в рамках свпус-ураввенвя Гордодз

д = О, В = х /2, ч> = а tan ехр (Ах),

и дополнительно возникает лишь зависимость частоты квадрупольной ветви от х - появляется целый спектр частот

= 2 + Л-6ЛвесЛЛг,Дц> = 6Д.

(39)

В случае оавояонпоЯ анизотропии с < 4 в малых полях доменная граница сопровождается пространственным нзыевенисы длины спина.

О — т/2,7 = г/4, </> = 4 агс1ал ехр (Ах/¡¡о), д = сов2ро — ?о + [А/ (4/2)' - 1] [5 - б1апЬ5 (Ах/чо)], (40)

где

■ Найдены некоторые новые типы локализованных возбуждений, в магнетиках в отсутствии полей и при больших константах анизотропии, сопровождающиеся возбуждением динамики квадруполыюго момента, а также сокращением длины классического еппна. )

1 .. ?«

д = - агат -

2 1-£ып'27

; соз 2у

V*

2 ({-Ко)

Проведено исследование ДВУХОСН010 магнетика Гейзепберга

и = -./£ {Я5/+лд;* + 5 (ф- - <?;•)}•,

(41)

(42)

(43)

при наличии магнитного поля Н. Показано, что и в данной модели в основной состоянии имеет место сокращение длины классического спина

(44)

Изучены основные состояния и получены уравнения спиновой и квадру-польноЯ динамики. Показано, что ври больших зиачевиях константы анизотропии намагниченность выступает как существенно кзадрупольвав динамическая переменная.

16

В пятой главе рассматриваются общие вопросы исследования полушке-сического поведения магнетиков с прпзвольным значение спина 5 на освок ОКС груава 5и(2$+1)

1ф>=(1+Е№1') ' {|0>+£*и«>}. (45)

Методом континуального интеграла построены лагранжиан

(46)

.1 гаиильтонови уравнения спиновой в мультнвольной динамики в пространстве 5С/(25 + 1)/5(/(2) 0(/(1)

= ('++§'' (47)

| де о.» = | ¡* ^ ^ у • На основе обобщенного когерентного состояния

пуппи 51/(4) в комплексной параметризации ясгледоааны освоение состояния н дисперсия линейных волп леткооспих магнетиков. Выявлено в 1ЛВЧПС двух дополнительных высокочастотных мод магнопной дисперсии.

и, = 6ио(1 + «), (48.а)

1^ = 9^,(1 + «), (48.6)

Построено когреотпое состояние группы 5?/(4) в физически иллюстр-тнвной параметризации веществепных функций.

| Ф >= О' («, ^,7)«р (Яд()") ехр (-¡/¿¿'"^ ехр (-¿к/"") | 0 >, (49)

- где | 0 > - референтное состояние, , -

о' (О, <А">) = ехр(-^5*)ехр(-.05")ехр(-¡Т^"'). Д50)

Показапо, что в магнетиках со зпачеяпеи сшша 5 = 3/2 сокращение длинч классического спина происходит веголько за счет возбуждения квадруполъ-вого момента, по также н за счет появлеввя октупольных возбуждений

<5* >= -е'у (1—4 сов' д) со» 2<с в!п 0, (51.а)

< >«« je"** (l — 4cos*j;) соз2кып0, (51.6)

A

<i">= -(l -4cos's) C08 2Kcosí, (51.в)

Представлением в води континуального интеграла но когерентному состоянию построены лагранжиан

£ = jh cos 2кcos2 д ^3 cos' gß, + cosOv, + y,} - II, (52J

а гамильтоповы уравнения движения для вещественной параметризации Sü(4) ОКС

д _ /_U_ 6cosflsin2« - cosSKsinON Sil

1 \cos2icsin öcos'g 6cos5gsin 20sin 4к sin2 g ) Sf

tan0 SH 6cos0sin2k-cos2кsinOSII ,„ .

+ „.i..:.,,.^ TT' <53-*)

3 cos 2к cos*gSß 3sin -1л; sin 0 tan2 q Sf '

1 Sil -:--------- —-

cos 2« sin 0 cos1 <7 SO

cos 2g ^

cos0(l + cos2 g) \2sin 2/ccos' <7 ÍK

1,15//

gt — f----

cos 2к С05 <1 tan 2g sin g Sip

1 SH

1_iJi __L_ÍIÍ); (53.6)

neos*g 6к cos-2*sm2g 6g J '

), (53.в)

tan2 g ein 2g S-j

COS* 9 { l 6И 1 SH\ r

cosö(l cosjg) \sm2«;coe2g äk cos2ssin2g Sg J '

K ___sin 2g ( 1 SH 1 <5//\

6 sin 2« cos5 g cos 0 \tan 2g sin2 g S<¿> tan2 g sin 2g 67 / 1 SH

(53 .д)

VSUUKUJO'J/

1 Л/í mtfl

ß,=

cos* j tí cos ¿к sin ¿g од о cos ¿к cos" y cv Л /» _L 1 1 X И

(53.e)

cos'g-t-l cos 2* sin 2g £g 3cos2Kcos3g 3cos'g + l 1 SH 3(cos*g + l)2sin2iccos2g ¿ic'

IS

Исследован магнетик Гейзенберга со спипом $ = 3/2 при учете оляояон-уоП анизотропии. Получены уравнения динамики намагниченности. Выявлено, что октупольпое взаимодействие в 5 = 3/2 магнетиках совпадают С характером квадруполыюго поля в 5 = 1 магнетиках, а квадрупояьаые взаимодействия носят принципиально отличный характер.

Шестая глава диссертации посвящена исследованию вопросов существования и устоПчпвости динамических топологических солитояов (иаглитимх вихрей) в двух- а трехмерпых мэделях классического аятиферромагветвха Гейзенберга.

Исследоаапа двумерная взотропяая модель классического гптиферромагнетика Гейзенберга. Лаграгокяап к плотность Гамильтоииаза есть

с. - = \[(дэ>.)г - (54)

¡М. =»1. Р = 0,1,2, к = 1,2, а = 1,2,3.

П = ^[(Ал)5 + (З^.)5], (55)

(подразумевается суммирование по индексам ¡171с,а ). И» (55) с учетом условия л.«. = 1 получаем уравнения Лаграяжа-Э1лера

+ = 0, «" = 1,2,3. (56)

Здесь

»1 = гш0соз^, лг = вт в зт ф, — сол 0, (57)

Устойчивость стационарных решечпЯ Белавипа-Поляковх (БП солзгтспов) с топологическим зарядом О» = тп

0,(г,Я) = 2«с1ап^ ф.=тх, (53)

, , я 2 , • у

« т'=х' + д , сен х = —В1Я х = --

показана как в вариационном подходе техник.г пробных функций, так ■ в прямых численных экспериментах. В компьютерных экспериментах исследовалась эволюция во времен« БП солитопов па квадратной простран-стзеппой сетке N х М, —Л <х< +£, —£ < у < +£. в интервале времена (0,Т); выбор шага по времени т удовлетворял условиям устойчивости явной численной схемы. Результаты решения эволюционной гадачи с начальными данными, заданными в виде БП созитспо» (58) с = 1,0, = 2, (где

Л = l>N = 601, Т = }0,Ь =г 3, т = 0.007) определенно указывают на устойчивость рассматриваемых солвтоиов. -

Рассмотрим вопрос о существовании и устойчивости 20 динамических топологических солитонов в классической модели антиферромагнетика Гей-зепберга с "легкоосиоД " анизотропией . Плотность Лагранжиана в 20 пространстве есть

С = 1^.9-5.4 («1-1)1, (59)

{

/1 = 0,1....,/), Х> = 2, с = 1,2,3, а.«. = 1, к уравнения Лаграпжа-Эйлера имеют вид

8„аиз, + -53(г,3-а,«3) = о, ¿=1,2.3. (со)

Из (59) получим плотности импульса, ,* = 1,2,3, злрядл (просинил) Л' и энергии И:

^ = -3,3.3;«., 1 = 1,2,3, (61)

Л' — - $2^1»

« = + №->.)'4(?-»2)]. (г.з)

которые определяют соответствующие истероаские шпегрлли дннлилии = N ~ JЛ''^Pxr 11 = /Кс/^х модели. Устойчивость 20 дина-

мических = 1) солитонов с топологическим зарядом = ж в легкоосноП модели антиферромагнетика Гсйзенберга

= 2агс1ап ^^ - ту -и.'/, и - 1 (64)

показана как а вариаг.поииом методе, так и в компьютерных экспериментах; н этих экспериментах интеграл энергии // сохранялся на интервале [0,7«1ЛГ] с относительной точностью не хуже, чем 10~ь

Па рис. 1 преде хае лена эволюция солитона (01) с Q^ — 2 (R 1,Л* = 001. Т = 0.0,1 = 2.5, г — 0.006). Макснмалипос значение отклонения плогпости энергии 6Л по всей области не превышало 1.-1 • 10"Л; плотность *г.<-{.пш Н в этой точке составляло са 8.28, л относительное о1Клоиенне к 1.7 • Ю*4. Итак, численные результаты, полученные для ф, = та = 2 демонстрируют устойчивость кольцеобразных динамических типологических

солитонов (61) с (?| = т > 2 н находятся в полпом согласил с выводами об устойчивости этих солитонов полученными в вариационном подходе.

Показано, чго в 20 легкоосной модели "ежовые* топологические решения существуют только для единственного значения частоты ш — 1. В 30 случае показано, что осесиммстричпые топологические солнтонц с единичным индексом Хопфа пе существуют в легкоосной модели аптиферромагне-тнка.

Рнс.1 Топологические солитонц с ^ = 2 в 2Е) анизотропной модели антиферромлгнетика. Распределение плотности энергия прн а)Т=0.0, б)Т=6.0.

П седьмой главе диссертации на основе алгсбро-геометрического метода ' найдены гктие лнух<олпго[гнрешения скалярного и векторного нелинейного урантчшя Шредингсра

«¥>л - + и (*, 0 9, = 0.з = 1. N (65)

С ¡шлнчпими потенциалами и(х,1) и при различии* граничных условия?:, имеющею широкие приложении не только в нелинейной теории магнетизма, И>> тип,"' И но многих других областях физики. Приведена общая схема алгсйро-гсомсгрического метода интегрирования нелинейных урлвнений математической физики. [Троне-депо исследование днухсолнтонных решений скалярного ИУШ с убивающими гргннчпиин условиями. Найдены лвухсолитошшс решения С11УШ как с "притягивающим" потенциалом, так и с "о1талкн»атслышм* с цоидепсатнции граничными условиями. Найдено двухсолнтониое решение, обладающее динамикой внутренней степени свободы, характернзуемойчастотой й (брнзерц СНУШ).

21

СкавЬС^ + ЛО + ^соа^г+и-Ч+им); * '

гае

{ = г — с1,и = ш — А-, = — Чкслсало определена энергия связи брнзера. Тан, при параметрах конструкции «1 = 0.019 + «0.096, к2 — 1 — ¿0.1, ¿1 =0.1, энергия связи составляет 7-£процеата от энергии бризера.

Построена двухешятозхые решеипл двухкоипонептного векторного НУШ

«>н-»»1»+ <<(*, О Л =0, - + =0, * ' с самосогласованным котенцналом

и(х,г) = 2г(Ыа-6а)-АЫ2, , (68)

и гравпчнимя условвами

.«-«('.О \ .....•

1 + ~-(Г, I) 4 -(з-, г)

«■' — «I - Л'2 /

. = 71*1 + и*!, (69)

Очевидно, ЧТО у>2 —» —• с,1(*+11) при X —» ±00

Лз cosh (Pi (i,<) - Р, (r,i) 4 Лг) 4 Л4 cosh (Я2 ОМ) 4 Л (»<') + М 4

Фг =

(70)

Лде.м-,(*.0-/Мг.Ч + (Рг (г, () 4 М_

A, cosh (Р, (х,£) - P,(r,l) 4 Аз) 4 A, cosh (P, (sc.lj 4 A (J, <) 4 /13) + A,cos(lV,(*.<)- W,(i,f) + ft4),

НаДдезю новое дзу хеилитоцпое решение векторного НУШ с недпаго-ваяшш потенциалом

«{i.0 = 9IV>2 + Vi!?3- (71)

в следующем виде

_ cosb (Si (д 4 VIо 4 Ь.) 4 cosh (ft (1 4 t>at) 4 о.)

Vi ~ В, cosh (0+ (г 4 в+1) 4 hi) 4 £2 cosh (х 4 v~t) 4 h,) 4

+£3 cos (71 4 w< 4 U.01) (72)

обладающее аехмптотшшмд

Vifl-«с 0, (73)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

[1] Kh.O.Abdulloev, M.Aguero, A.V.Makhankov, V.G.Makhankov, Kh. Kh.Af uminov. Generalized spin coherent state« as л tool to study qua. sidassical behaviour of the Heisenberg ferromagnet. Proceeding« of the IV International Workshop, W.S, Singapore, 1990, pp. 214-265.

[2] Х.О.Абдуллое«, X.X.Myuniio». Обобщенные спиновые когерентные состояния и цепочка Гейзепберг» для спяна 5=1, ДАН ТаджССР,

1990, т.ЗЗ, N 10, С. 556-559.

[3] Х.О.Абдуллое«, А.Т.М'ксудов, Х.Х.Муивнов. О соответствии квантовых к классических неделей в теории конденсированного состояния. Мат. Всесоюзного семииара Мемчаствчные взаимодействия в растворах, иод ред. члеп-корр. АН СССР, проф.Г.А.Крестова, Душанбе,

1991, с.51-58.

[|| Х.О.Абдуллоев, Л.Т.Максудов, Х.Х.Муминов. Гамильтоповы уравне-. имя движения I пространстве 5£/(3)/5i/(2)0i/(l). ДАН Тадж.ССР, 1991, Т.34. N7, с.431-434.

|5] Х.О.Л(5луллое», Л.Т.Максудов, В.Г.Маханьков, Х.Х.Муминов. Нели-пеЯ Н4ч динамик» анизотропного легкоплоскостного магпетика со спином S в 1, Прщринт 011ЯИ, Р17-90-253, Дубна, 1990.

[G] X.О.Абдуляи'В, Х.Х.Муминов. Описапнг магнетика Гейзгпбергл при пространепи'ином повороте для спича 5 = 1. ДАН Тадж.ССР, 1990, т.ЗЗ, ,\'9, е, 593-595.

[7] Х.О.АЛдул.тоев, Х.Х.Мушшов, Зпяд Рустам, Ф.Х.Ха кимов, Решение систем уравнении с обиеяноЛ и одпоионной апи ицропиеД. В сб. Тезисы докладов 28-И научиоН конференции фи.шко-математических в естественных паук, М., Изд-во УДН, 1992, с. ,

[S] V.G.MakhanW, A.V.Makhankov", Kh.Kh.Muminov, A T Maksudov Nonlinear spin waves and two-dimensional classical attractor. JINR Communication E17-91-220, Dubna, 1991.

(9| Kh.O.Abdulloev, A.T.Maksudov, V.G.Makhankovf,Kh.Kh.Muminov Dynamical equations for spin chain in the S£/(2S+ l)/5i/(25)®i/(l)

»pace and S = 3/2 еыу-axis magnet. Prepint JINR El 7-91-221, Dubna, 1991.

[10] Х.О.Абдуллоев, А.Т.Максудо», Х.Х.Муминов. Несохралевие квадрата классического спииа в нелинейной динамике ферромагнетика Гейзелберга. Вестник ТГ1', 1991, с.32-36.

[11] Х.О. Абдуддоев, А.Т.Максудож, Х.Х.Мумвнов. Системы уравнений для ферромагнетиков с о5^енной в одноконной анизотропией. ФТТ, 1992, т.34, N2, с- 344-547.

[12] Kh.O.AbduIloev, V.G.MakhanW^.T.Maksudov. Kh.Kh.Muminov On semi classical behaviour of the S=1 uniaxial Heisenberg magnet. Preprint JINR E17-91-219, Dubna, 1991

[13] Х.О.Абдуллоеа, А.Т.Максуаов, Х.Х.Муминов. Численное решение задачи Кошн для внгегро-дифференциального уравнение Шредингера. В сб. Тезисы докладов научной коиференципи факультета физико-математических в ест ест веяных ваук. М., Издво УДН. 1990, с.37.

[И] Х.О.Абдуллоеа, А.Т.Максудов, Х.Х.Муминов. Об одной системе уравнений в теория сливовых волн. ДАН Тадж.ССР, 1991, т.34, W5. с.327-329.

[15] Х.О.Абауллоев, А.Т.Максудов, Х.Х.Муминов. О возбуждении новой моды при учете соноповной анизотропии > теории спивовых волн. ДАН Тадж. ССР, 1991, т.34; N12, с.924-927.

|16j Kh.O.AbduIloev, A.T.Maksudov, V.G.Mukbankov.Kh.Kh.Muminov N on conserving of classical spin square in the Heisenberg model ferromagnet. International Workshop "Nonlinearity with Disorder*. Tashkent, 1990.

[17] Х.О.АЬдудлоев, А.Т.Макстаов, Х.Х.Муминов. Дияамака спиновых волн легкоплоскостного магнетика при наличия магнитного ноля. ДАН Тадж.ССР. 1991, т.34, КЗ. с.155- 15S.

|18! Х.О.Абдуллоек. А.Т.Макстаов. Х.Х.Муминов. Общие динамические уравнения в пространстве SL'i2$ + l)/5t'(2) ? C(ll к легкоосный магнетик со спином 5 = 3/2. ФТТ. 19!12. 1.34. NJ. с.544

[19j Kh.O.AbduIloev, V G.Makhankov,A.T.M»ksudo\. "Kfc.Kh.Munuuov DyninuCiii equations fur spin chain in the 5 = 3/2 ea^v-axis mappe; Physici Scripta. 1392. n.6. p.32;

[20] Х.О.Абдуллоев, А.Т.Максудов, Х.Х.Мумвнов, Звяд Рустам. Описание магнитной вепочкн со сливой S — 3/2 с обменное анизотропией. Вестник ТГУ, 1991, с. 158-162.

[21] Х.О.Абдудлоев, Х.Х.Муыквов. Полуклассическое описание анизотропных магнетиков, ваходдшяхся вел воздействием постоянных вве-пвих магсатных полей. ФТТ, 1994, т.36, N 1, с. 170-178.

[22] Х.Х.Мумвнов. Некоторые новые типы локализованных возбуждений в магнетиках. ДАН Тадяшкястаиа, 1995, т. 38 , ft -î-J "С. 20-Д.

;23] Х.Х.Муыинов. Двухосный магнетик с одвоиоввой авиэотропвей. ДАН Таджикистана, 1995, т. 38 , Ы ? - 8 , С - 2.5-S.8,,

[24] Х.О.Аблудлоев, Х.Х.Мумнвов, Ф.К.Рахимов. ¡Согерентвые состояния группы SU{4) в действительной параметризации в гамяльтояови ура-аяеняя д>в«евкя. ДЛИ Ресяубл/ши Таджикистан, т. 36, N 6, 1993

¡25j Х.О.А6ду.тлоев, Х.Х.Мумвнов, Ф.К.Рахнмов. Когерентные состояния группы SU{4) как инструмент полуклассического опвсавия магнетиков со санном 5 = 3/2. Тезисы докладов апрельское хонфереяци» ТГУ, Душанбе, 1993, с.28

[26] Х.О.Абдудлоев, Х.Х.Мумавов, Ф.К-Рахимов. Учет чвадрупо-тьяой дяаамвкя магнетиков со епкпоы S = 3/2. Извести АН РТ, 1994, N1. c.2S-30.

[27] Х.О.Лбяуллоев, Х.Х.Мумнвов, Ф.К.Рахамо». Тасвяря шгбхвкласси-паи 6av>e модеххои Гейэевберг тавассут* холатхои когереятив умуми кароазуза. Дар ьитоби: Дастовардхои ялма физика ва кнмие дар То-чакястоя. Душанбе, 1994, с. 196-205

[25] Х.О.Абдулдоев, Х.Х.Мумнвов, Ф.К.Рахимов. Магнитные солитоны в легхоосяом магнетике с учетом квадрупольяой спиновой динамики. Известия АН Республики Таджикистан, 19U5. N 1, с.30-32.

[29j P.G.Akishin, I.L.Bogolubsky, M.Dudzialt, Kh.Kh.Mumînov, P.Werbot. On existence and stability of non-one-dimesional topological soliton» in classical Heisraberg antiferrorriagnet models ( to; be published)

[30j Х.О.Абдуллоев, А.Т.Максудов, Х.Х.Мумнвов. Новый тая дяухсолв-товвых реаеввй векторного веливеавого уравнения Шреявнгера со смешанным и граничным» условиями. ЖТФ, 1993, т.63, N 3, с. 180-185

[31] Х.О.Абауллоев, Х.Х.Муминов, Ф.К.Рахимов, В.Г.Маханьков. Двух-солвтопиые решения скалярного нелинейного уравнения Шредингера с кондевсьтными граничными усдовиямв. ЖТФ, 1995, t.65, ».6, с.191-196

[32] Kh.Abdulloev, M.Aguero, V.Makhankov, Kb.Muminov. Generalized spin coherent states as a tool to study quasidassical behaviour of the Heisenberg ferromagnet. - Preprint JINR, EI7-S9-S00, 19S9, Dubna

[33] Х.О.Абауллоев, А.Т.Максузов, Х.Х.Ыумвпов. Об одной системе уравнений в теории спиновых волк. ДАН Таджикистана, т.34, N6, с.327-329, 1991

[34] V.Makhankov, A-.Makhankov, Kh.Muminov. Two-dimensional classical attractor in the spin phase space of Heisenberg magnet. In proceedings of the VI International Workshop "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems", Dubna, 1990, Springer-V'erlag, Germany, 1991

[35] Kh.Abdulloev, V.Makhankov, A.Maksudov, Kh.Muminov. Two-dimensional classical attractor in spin phase space of the some qua-sidassical models of Heisenberg ferromagnet. In proceedings of International Workshop "Noniinearity with Disorder" Tashkent, 1990, Springer-Werlag, Germany, 1991

[36] V.Makhankov, Kh.Abdulloev, Kh.Muminov. Nonconserving of the classical spin square in the I[ei.senberg model of ferromagnet. In proceedings of the VI Internationa! Workshop "Nonlinear Evolution Equation and Dynamical Systems", Dubna, 1990, Springer-Werlag, Germany, 1991

[37] Х.О.Абдуллоев, Х.Х.Муминов. Нелинейные спиновые волны в стационарные солитоны в одномерном анизотропном магнетике, ФТТ, т.37, N И, с.3450-3456

[38] Х.О.Абауллоев, Х.Х.Муминов. Обобщенные когерентные состояния в нелинейных спиновых моделях. Монография депонирована в НПИ Центре Республики Таджикистан N 54(935)-Та94, вып.2 за 1994, 117с.