Исследование линейных функциональных уравнений для аналитических в бикруге функций методом униформизации и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДД ГСТШШШЙ УНИВЕРСИТЕГ

• На правах рукашси ГОН'ЛЙРИ ХАТИВА Да ¡шло Алваро

мсоледавание ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ В БИКРУГЕ

функций методом ушформизации и

ПРИЛОЖЕНИЯ /ОТ 01.01. - математический анализ/

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Научний руководитель Доктор физика-математических наук, профессор Э. И. Зверович

Минск 1994

Работа выполнена на кафедре теории функций Белорусского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор ЗВЕРОВИЧ Эдмунд Иванович.

Официальные опоненты: доктор физико-математических наук,

профессор АКСЕНТЬЕВ.Леонид Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент КРУШЕВСКИЙ Евгений Александрович

Ведущая организация: Одесский государственный .университет

им. И.И. Мечникова

Защита состоится "J5 "fbtjjT*- 1994 г. в 10 часов на заседании Специализированного Совета К 056.03.05 по присуждению ученой степе ни кандидата наук в Белорусском государственном университете пс адресу: Республика Беларусь, 220080, г. Минск,пр. Ф. Скоршга 4, главный корпус, комната 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосунивер-еитетэ.

Автореферат разослан "/S 1994 г_

Учений секретарь специализированного Совета

доцент ' H.H. КНЯЗЕВ

РЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш. За последние три десятилетия в связи с различными приложениями (теория массового обслуживания, случайные Злуждания и уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости) приобрела актуальность проблема решения следующего линейного функционального /равнения:

A<z, w> w> + B<z, w) 4<z, Oi-tCCz, w> {<0, w> + DCz, w> £<0, 0> = E(z, *),

г*де все функции аналитичны в Оикруге |zl<pt» |*|<рг и непрерывны з замкнутом Оикруге,а неизвестной является функция е. Очевидно, 1то все решения уравнения о> содержатся в формуле:

Е<z, w»-B<z, wj {<z, Oi-Ctz, w> J<0, w>-D<2, w>£<0. O»

w> = -—:- <25

A<z, w>

43 этой Формулы следует, что для разрешимости уравнения <з> в заданном кольце функции необходимо и достаточно, чтобы в этом кольце гаслитель в правой части сг> делился без остатка на .знаменатель. 1ля этого в свою очердь необходимо, чтобы v <z,'»»>«= п выполнялось эавенство

BCz, wi|Cz, 0>-»C<z, w>£<0, w> + D<z, w>J<0, 0> = ECz, w>, C3J

"■де O =» < <z, w)c-CZ: A<z, w)=0, |z|ápt> |»|<рг> <4>

i случае, когда q=o, т.е. когда уравнения <з> .нет вовсе, формула г? дает общее решение уравнения <i> при произвольных tez,о> и ;<о, «> из заданного кольца функций. При п /о уравнение <з> не вырождается, а его исследование представляет собой самостоятельную гроблему, которая в сколько-нибудь полном объеме еще не решена и, следовательно, актуальна. Уравнение <з> можно назвать "задачей ли-гейного сопряжения" для нахождения аналитических функций о> и ;<о,w> с условием сопряжения, заданным на множестве п. С топологи-1еской точки зрения множество Q может быть устроено весьма слож-

о

но, что и обуславливает трудности исследования задачи <з>. Очевидно, что в связи с этими трудностями все известные автору рябо ты в этом направлении посвящены тем или иным частным случаям уравнения <з> (и соответствующего ему уравнения <и), и никаких работ посвященных исследованию его в общем виде, автору встретить ш удалось.

В работе к ¡.пдтап л. р. с. И1 рассматривалось линейное функциональное уравнение

-рг:*г>ГС2,03 , |%»|<1-»гР , р<1, <53

где неизвестная функция аналитическая при |<1, |<1 +гр.

В си уравнение <з> проектировалось на главное аналитическое множество С1"< чг)«!1: г<2р2+1>.-2<1-*р>г»14»»г»0, | = | |«г|<1+2р > й сводилось к новому функциональному уравнению

Затем уравне'ние <в> исследовалось путем перехода к одной из переменных. При этом возникала, проблема расположения точек ветвления проектирующей функции,и анализ уравнения <5> затруднялся.

Аналогичные, подходы применялись в раОотах э. Рауоне 121 и Fi.at.to ь. .мскеап н,р. 131. в работе 121 рассматривалось однородное функциональное уравнение <1*.которое сводилось к обобщенной задаче Римана-Гильберта 14». В работе 131 изучалось функциональное уравнение близкое к <5>.

Укажем еще на работы более общего характера 15-71. где рассматриваются функциональнее уравнения, возникающие в теории случайных блужданий и в теории массового обслуживания. В монографии В.А.Малышева 191 рассматривалось близкое к о> линейное функциональное уравнение

2wA<z, w> £Cz, wl-PCzi-rCwiszw^iz, wi, |z|fil, |w|<l, <7>

где ас?.»), TjC^.wj известные функции, a w>, p<z> и p<w> -не известные Функции, причем, все функции считаются принадлежащими кольцу Винера W- В isi уравнение </> проектировалось на множество О =С (zrW>i(L2: A<z,w)=0, |z|<l, |w|<l J и СВОДИЛОСЬ К НОВОМУ фуНК-

циопальному уравнению

' P<z)+P<w)+zwt(Cz, wJ=0, <z, w> е fi. <8>

Уравнение <я> исследовалось путем перехода к одной из переменных z или при этом существенным оказывалось расположение проекций точек ветвления алгебраической функции a<z,*>«о на соответсвующую плоскость. Кроме того, в работе i si дат некоторые теоремы существования и некоторые условия разрешимости уравнения <н>. Однако полного анализа уравнений <7> - <н> нет.-

В книге Коэна Дж. и Боксмы 0. m аналогичным образом исследовалось более общее, чем <7> функциональное уравнение

А <z,w)FCz,wJ =А Cz,wJFCz.Oi ♦ А <z,w>F<0,w> + А <z, wJF <0»0> + 11 Ю Ol . оо

4 BCz, w>, ' |z|<l, jw|<l, <Э>

при жестких ограничениях на коэффициент a^cz,

Общей идеей в указанных выше работах является проектирование уравнения типа <о> на плоскость одной из переменных. Но, как отмечалось ранее, этот метод имеет ограниченные возможности, и его применение затрудняется в связи с необходимостью учитывать расположение точек ветвления возникающих многозначных аналитических Функций.

Подобные проблемы не возникают, если вместо "проектирования" перейти в уравнении <з> к переменной t, где z = ф<о, * = ф<о - глобальная унпформизация соответсвия acz, *э=о. В результате задача <з> переходит в задачу, обобщающую классическую задачу

Гимана линейного сопряжения, что открывает возможности применена к ней метода аналитического продолжения. Идея этого метода бьш предложена Э.И.Зверовичем в 1987 г. (опубликовано в iei ). Первые применения этого метода для анализа уравнения «> при различны? частных предположениях относительно ядра a<z,w> даны в работал Э,И. Зверовича и Е.А. Крушевского ioj, а также в работах Е.А. Крушевского с 11,121.

Предлагаемая вниманию читателей диссертация является продолжением последнего цикла работ. В ней исследуется функциональное уравнение

АС z, w> £Cz, w>-A<z, О) £<z', 0>-ACO, w> £СО, v»>+ACO, 0> £CO, 0>=zwr)Cz, w) ,

|z|<l, I w I <1 , CIO»

где все функции, в том числе и неизвестная t считаются аналитическими в бикруге |z|<i. |»|<1.и непрерывными в его замыкании. Кроме того, всё функции принадлежат кольцу Винера W- состоящему из всех функций, представших в виде абсолютно сходящихся при |z|<i. |*|<i степенных рядов. Решения уравнения <ю> содержатся в формуле

A<z,0>£<z, 0>+А<0, w) t<0, w> -ACO, 0>£С0, 0>+zw-r)Cz, w> tC«,«)- -- ACz, w> - ' C11>

а уравнение сз> приобретает следующий вид:

ACz, О» fcCz, 0> + А<0, w> (<0, w>-ACO, 0> £СО, OJ=-zwr¡<z, w>, Cz, C12>

Цель работы. Целью диссертационной работы является нахождение условий-разрешимости и формул для общего решения функционального уравнения <ю> при различных предположениях относительно ядре

ACz, w).

Методы исследования. В работе применяются различные методы теории аналитических функций; униформизация, автоморфные функции, аналитическое продолжение, конформное склеивание, интеграл типа Коюи и др.

Научная новизна. Б диссертации решено уравнение <юэ о ядра-ш следующего вида;

l'<z)-wO.<z); <13)

ACz, w">=zw-awz-ahz> ab C14>

A(z, »)=azZ+bw24c, abc^O; <15)

ACz, V»5=(xz2 + j3w2^a |Z-»2aw+e = a(z4p)2+b<w+q)í+c, abc/O; <16)

A(z, <17)

A(z, »)=z2-tepzw+w2-H, peRvc-1,0, 1>; (18)

Atz, w)=z2w-A2<w+bZ)2, ab^O <19)

, пП"Х1"Хг <\ -1)! \

ACz,w) = w -nb Г---i-—, \ 3--) '.w+Ь . <20>

, " - A ! \ ¡ ab

А, =n i 2

i z

Практическая ценность. Работа носит теоритический характер. Однако ее результата могут найти применение в теории массового эбслуживания, случайных блужданий и уравнений Винера-Хопфа в четверти плоскости. - -

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Минском городском семинаре имени академика Ф.Д. Гахова по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям при БГУ (руководитель - профессор Э.1Д. Зверович), Одесском городском семинаре по краевым задачам (руководитель - профессор Г.С. Литвинчук), и на научном семинаре но теории аналитических функций при Кованско" университете (руководитель - профессор Л.А. Аксентьев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовании ~ работах мэ-ivi.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 33 наименования. Общий объем работы 134 стр.

г/ I

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ■ Оригинальная часть диссертации изложена в §2 - §9. В §2 исследуется уравнение ао> с ядром <1з>, где многочлены р и q - взаимно простые, причем рсо>=о. в этом случае для решения уравнения <ia> достаточно задать произвольно неизвестную функцию

к^о

где Е |Eolt|<+«» . <22>

k Jo

и тогда другая неизвестная функция будет вычисляться по формуле»

«V q<0> p<z» , z , pczi , _ , i ,-,0-.

*<г'0>- fe tIO> ofz> + Q<zT oc^r > <г35

Если решение <гзэ, <го подставить в числитель cid, то числитель будет делиться без остатка на знаменатель, и потому функция t<z,wi будет аналитической-в бикруге М°> |«»|<1, и потому будет допускать разложение {<*,»>» с » Для принадлежности его кольцу ^ j. k^o 3 ■

должно выполнжрься неравенство Е |£. |<+*>. его

В результате получена Теорема I (TeopeMaMt__K0T0pHe_„формулируются или излагаются ниже, присвоены те же номера, что и в диссертации).

Теорема I. Для разрешимости уравнения <ю> с ядром оз> необходимо и. достаточно, чтобы выполнялось неравенство <гд.>. Eoju оно выполняется, то общее решение уравнения <ю> дается равенство!* <и>, куда поставлено £<о,«г> из <2i>, <гг>, a £Cz„o> - из сгзэ.

В §з изучаются уравнения ооэ, <1г> с ядром <i4>. Найдено условие при котором о=о, и установлена

Теорема 2. Равносильны следующие утверждения--1) |а|. | |Ь|*-1 |>1 и |Ь |>1 ; г> n=0j

з) Уравнение <ю> с ядром сю разрешимо безусловно, а его общее

решение дается равенством си> при произвольных ¿<о,

ДЛЯ которых о> = £<0, »>|ж=0.

Установлено также, что вслучае о/о, уравнение С1я> имеет не бол»е одного решения, которое выписано явно (Теорема 3).

Четвертый параграф посвящен изучению уравнения <ю> с ядром <1'>}. Для исследования соответствующего уравнения яг> используется глобальная униформизация

4- <1- 4 >.

__».«еС сг*з>

..»(1,- 4. \ Е_ 4 >,

соответствия |»,г+г=о. Исследовано взаимное расположение МНОЖеСТВ О: =< !.•=([> |г<1.)|$1 > И О:»« 1«=(Г: | «-> | $1 > <20) в зависимости от параметров | и р=|■ Установлена

теорема 4, посвященная случаю о»0 и аналогичная сформулированной вшив теореме 2. Для исследования уравнения <1г> в случае переход;™ в нем с помощью функций <гзз к униформизирующей переменной ». Далее, вводя сокращенные обозначения

фСО!= Л1 г<1>, 01. {1г<0,01, <27)

<|>СО!= А1 О, »(О 1. {ГО, *<1.> I, ЬеГ^, его)

•,)СО:= ЛГ0,О1. {Ю,(>1, <29)

г|< ): = -г<1).»<1).1]17а),»<1)1, 1еЮ*Ога2, <30)

сведем уравнение <12) к следующей задаче линейного сопряжения

1(,<0 + ф<1.) = Т|С1), 1<еО, ^ <31)

на множестве о=п^д, где <р и ф - функции, аналитические в о° и о", ш-п'чморфше относительно груш л1«<ь>4 > и —~ > соот-

ветстелнно. Задача <з«з-» подвергнута полному исследованию и решена в явном виде. Следует отметить, что одни условия разрешимости задачи <"«> имеют гад аналитической продолжимости одних известных

функций в некоторые области, а другие - тождественное обращение i нуль других известных функций. Результаты сформулированы в теоремах 5-10. На этой основе найден критерий разрешимости уравнения сюэ с ядром <is) и построено его общее решение. Особенностью егс является то, что оно зависит от произвольной функции (Теорема II).

В §з изучается уравнение <ю> с ядром оеэ, которое предполагается неприводимым. Исследование проводится по той же схеме, что и в предыдущем параграфе. Однако исследование взаимного расположения множеств Dt и является более сложным из - за того, что ядро eis) является более осадим, чем ядро оз>. При естественных ограничениях на ядро получены результаты, аналогичные результатам §4 (Теоремы 12-19).

В §6 исследуется уравнение <ю> с ядром <17>, глобальная униформизация которого имеет вид

z=z<t> = <t+-|->2,

te(C сзгэ

w=w<t> «= <t--g-i2.

Без ограничения общности предполагается, что ¿»>о. Здесь возникают 3 различных случая: а>г, на<г, o<a<i. в случае ¡»г имеем о=е, и справедлива теорема 20, аналогичная теореме 2. В остальных случаях к возникающей здесь задаче сопряжения типа <з1> применяется метод конформного склеивания, позваляющий эффектно удовлетворить условиям автоморфности функций <р и ф. Склеивающей функцией в данном случае является io=s in ~ . Возникающая после склеивания задача линейного сопряжения решена в явном виде методом аналитического продолжения. В результате дана полная картина разрешимости и построено в явном виде общее решение исходного уравнения (Теоремы 21-25).

В- исследуется уравнение <ю> с ядром <ie> с помощью глобальной униформизавди, метода конформного склеивания и метода ана-

логического продолжения. В виду отличия соответствующей униформи--яяции от <:»а>, соответствующая склеивающая функция имеет вид эллиптической Функции Якоби. Получены результаты, аналогичные результатам §(> (Теоремы 26-31).

Теорема 26. Предположим, что функция ^ - гельдеровская. Для разрешимости задачи сзо соответсвущей уравнению <ю> с ядром <i«> в случае когда | 1<й (где + i->=:Pi, и аопаа.^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства ^<-ь> « ^<-ь> и г)<ы = Если они выполняются, то общее решение задачи od

дается формулами

"t Г-. w. < <-ь> "- u. <t>-u. сь> ?<o-„<o* 'iirJlî,,, ---L-J__+ _ ^ 1__♦

-111 (A <0-(,ï <-b> Ы (t)-W. <b>

a, i X, l A, l X, l

+ i. Г X Г^Г __^^kil^l

J J J L m <t> [M <oi2-i J

A, i A, i X, «

1фИ t.<=D°nC A<|t[<1 >, .

"e к i Wi <*->"<-'->, ~ ~ Ш. <t>-M <Ь> ф<1>—g<t>- Т^Ь)1п -i^i---i'-'-1--У<Ь> In -bJ.----+

0). ct-i-w, <-b) d7rx (0. <t)-M Cb)

A-t * A» 1 A# * A» *

гп'1 .) J J J J L w ct> ru <t>i2-i J

b i -b -i ' A'1 A'1

при t-l/Vif Я,< 11 | < 1 >,

где Ю = -.пси» Д- > и я<'-> - произвольная функция, аналитическая i

внутри и гельдеровская на краю области g.

Теорема 29. Предположим, что функция ^ - гельдеровская. Задача си) соответсвущей уравнению <ю:> с ядром <ie> в случае когда | (где ~<\ + *>=: Р], и l^i.^o разрешима

безусловно, а ее общее решение зависит линейно от одной произвольной постоянной и дается равенствами.-

0) <10) ' СО

•»}Сч>. ---^-— При Я<|1 |<1 >,

<х> <д. <х>-Ы. СО ' ^ Л, » Л, » Л» 1

X

<»•> с!Ш <х>

г)<х>- ---—----при ьеогп{ л< | i | <1 >

Ш. <1> 0). <г>-Ш. <<-> А» » Л» » *

1

На остальную часть своих областей аналитичности найдещше решения продолжаются по непрерывности и по автоморфности.

Параграф §8 посвящен исследованию уравнения <ю> с ядром <19>, двулистным по обеим переменным. В результате униформизации возникает задача вида <31> для кругового кольца. Эта задача решается методом разложения в степенные ряды. В результате найден критерий разрешимости уравнения <ю> с ядром <19> и аналитическое выражение для его общего решения (Теоремы 32-34).

Теорема 33. Для разрешимости уравнения <ю> с ядром оэ> необходимо и достаточно выполнение условий:

2 2 ~ Ь 1> ^<0 - Т)< > - Т)<-0 4 1]<-->3 О,

Г<Т) -П ь"гкх-ь>гк+п + г.Гг, ь"'к- 2. V г) ь~*к*2 = о к

Единственное решение дается формулами:

агЬ4£<2, О) в г,о+ .£ к^х

И<0,»> - 1 < ■Е<%к-Г) гкЬ"2к>«к + агЬ*5<0,0> >,

. Л4£<0,0) - % -2 Ь"4к<г

к

Это решение будет лежат в кольце w, если £|<рк|< где

к>1

= JL lc-0. 1,2,3.....

' I . k»l

11 h«

В §9 рассмотрено уравнение oo> с ядром <го>, двулистным по одной переменной а п-листным по другой. К этой задаче применяются те же методы, что и в предыдущем параграфе, и получены аналогичные результаты (Теоремы 35-37).

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю и научному руководителю профессору Э.И.Зввровичу за постановку задачи диссертации и за его постоянное внимание и помощь в процессе написания этой работа.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Kingman J.F. С. Tvo similar queues In parallel. - Ann. Math. Statist., за С1961Э 131 4-1323.

2. Fayolle G. On functional equations of one and two complex variables arising In the analysis of stochastics models. In: Math. Computer Perfomance and Reliability, eds. G. lazeolla. P.J. Courtois and A. Holdljlc, p.55-75, North-Holland Publ.Co. , Amsterdam, 1984.

3. Flatto L. , McKean H. P. Two queues in parallel. - Comm. Pure & Appl. Math. , ЗО С1977Э 255-253.

4. Муохвшивит И.И. стгулярте интегральные уравнения. - M.r Гос. изд. физ. мат. лит., 1962.

5. Малышев В.А. Случайные блуждания, уравнения Винера-Хопфа в четверти-плоскости, автоморфизмы Галуа, Препринт, Изд-во Моск. Ун-та, 1970.

6. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их применения в теории вероятности. - Итоги науки, 1976. т.13, с.5-35.

7. Коэн Дж., Боксма о. Граничные задачи в теории массового обслуживания. - М.: Мир, 1987.

8. Зверовии Э.И..00 одном функциональном уравнении, возникающем в теории случайных блужданий и уравнений Винера-Хопфа в четверти плоскости, Тези Мишародно* математичног конференции, присвя-ченно! 100-р1ччю С.Банаха, Львш, 1992.

9. Зверович Э.И., Крушевский Е.А. Явное решение частных случаев дискретного двумерного уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости// Современные проблемы математической физики. Труда Всесоюзного симпозиума, т. 2, Из-во Тбил. ун-та, 1987, с. 33-39.

10. Зверович Э.И., Крушевский Е.А. Линейные функциональные уравнения для аналитических функций в бикруге с ядром, двулистный по обеим переменным / Деп. в ВИНИТИ 25.03.92, № 1026- В92.

11. Крушевский Е.А. Линейные функциональные уравнения для аналитических в бикруге функций и приложения. Кандидатская диссертация, БГУ, Минск, 1992.

12. Крушевский Е.А. Двухэлементное функциональное уравнение в классах аналитических функций / Деп. в ВИНИТИ 06.08.91,

Л 3350-В91.

************

13. Гортайре Хатива А.Д., Зверович Э.И. Линейное функциональное уравнение для аналитических функций в бикруге с ядром в виде невырожденной квадрики /Деп. в ВИНИТИ 07.04.92, № 1168 - В 92

14. Гортайре Хатива А.Д., Зверович Э.И. Функциональное уравнение для аналитических в бикруге функций с ядром, линейным по одной переменной // Весц! АН Беларуси, , 1993 (в печати).

15. Гортайре Хатива А.Д. Линейное функциональное уравнение для аналитических функций-в бикруге., .с ядром в виде неполной невырожденной квадрики. / Деп. в ВИНИТИ 29.07.93, № 2164- В93.

16. Гортайре Хатива А.Д. Линейное функциональное уравнение для аналитических функций в бикруге с ядром, двулистным по одной из переменных, и п-листным по другой. / Деп. в ВИНИТИ 4.11.93, № 2763 - В93. •

17. Гортайре Хатива А.Д. Линейное Функциональное уравнение для ана литическюс функций в бикруге с ядром в виде невырожденной квадрики специального вида./ Деп. в ВИНИТИ 3.12.93, » 2997 - В93.

14

5. 5$; .ЬС >;ГУ