Линейные функциональные уравнения для аналитических в бикруге функций и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЦЛЗАЦТЫЦ ЭЛ-ФАРАБИ АТЫПДАГЫ МЕМЛЕКЕТТ1К УНИВЕРСИТЕТ!

колжазба ц\Цында

ДРЕБАТП МОХОМ АД ХАСАН

ЧЕБЫШЕВ МОНОСПЛАЙНДАРЫ ЖЭНЕ ОПТИМАЛДЫ КВАДРАТУР АЛЫ ФОРМУЛАЛАР

01.01.01 — Математнкалыц анализ

Фнзнка-математш.а гылымдарыныц кандидаты гылыми дэрежссше ¡здену дисссртациясыныц

Авторефераты

Алматы 1992

$ i ù ï h г

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО OFPAOOIWUM PB БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ня npwt* рукописи

КГ.УШПСКИЙ йчгений км кеянлроьшч

УДК 517 - 9-Ю. ЭЙ : 517.5 '14

ЖИК «/ЛКШОНАЛ'.НЬ'Ё УРЛГ>!ГЕНИЛ для АКШ1Т',1ЧЪСИ5Х В РККМТЕ ФУНКЦИИ

•и пи№ ;тишя

/Оt.01.01 - MWMífi'H'ieoKiivI пнялия/

что})»!.*'?-Д'ИО'.'ортчцни мп ccnicifiHite ученой степени КИНДВДПТЧ U'iei?!ais H-Ji'K

Работа выполнена на кафедре теории функций Белгос-университета.

Научпии руководитель - доктор Физико-математических

наук, профессор Э.И.ЗВЕРОБИЧ Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Г.С.ЛИТВИШУК (г. Одесса) кандидат физпко-математичес-ких наук, доцент С.В.РОГОЗИН (г. Минск) Ведущая организации Институт математики АН Беларуси. Защита состоится 13 октябри 1992 года в 10 часов на заседании еппциалнзирокшшого Совета К 056.03.05 по присуждению ученой степени кандидата наук в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, г. Минск, проспект Ф.Скоршш 4, главный корпус, комната 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгос-университета.

Автореферат разослан " ^_ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

■ ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАРОТН

Аполитически^ функции в теогии мпрсочого о?слукивй>пм и ли^ретних двуи^рних урмпнеииях с рмсностгагФ индпкппми trpiwe-

НЯКТСЯ ДОСТАТОЧНО jJ-JPtio (|>м.-, IIHITPI'MI'P, Рассмотрим JUWfl-

пое Функцлонплнюе уюяннен'/р

туа(т,у)1-(,т,у)-п(т) ~п(у)-п/п(т,у), Iris I. M)

где а(т,у), ч(х,у) неч^стни" Фунчцпй авух кимплакенн« перемен-пнх, c'iiiij'U'iit'î f' CKW-' при 1т|<.1, I у ! 1 и игелчтчепчн* * мидо абсолютно сходящихся степ^нних рлд-ж при l:ri-|t/|-1, П(х), я(у) - неизь»ст1шл Функции, принндлежэдне тему xf» классу. К уравнению (1) нрн/зодн.чоеь (см. ^ ) днекретно<> двумерное1 уравнение Виперз-Хонфа и четверти плоскости', которое, в с pop очередь, воу)П!Кнло в теория олучпЯШ'Х Ллуидчт'й. Тчм ко и г ряботах 3)i4) урЯВГ|,>цИе fi) iipot-KTupof алоеь ня гляпное вилл :тическое

1. Ро11яс?.вк P. Théorie -Arr-ilytlque «les problèmes nt-ocline tiques relat.H'R я un ^г-оире de Lignes te]efoiiiiiuee. 4veo ilinpopltif d'utteite, Gauthier Villars. Pari». 1961.

?. Малыпер В.A. Случайное блужяшшя, урзык-ния Винерм-Хопфя в четверти-плоскости, автоморФиямн Галуа, Препринт, Пяд-во Моск.ун-та,1970.

3. Молыыев В.Л. Уравнения Вииера-Холфа и пх применен.!!'1 н теории вероятностей.-Итоги нэуки, 147ь,т.13,с.?--3г>.

4. Мачшев В.А. Аналитический метод п тнерии двумррннх псло;тательнцк случайных блукданий//Си<?. мот .ж. ,т. n,N6, с.131-1-1329.

множество А=( (х, у): |.т| , |у|я1 ,А(х,у)=0) поводилось к новс линейному функциональному уравнению

хуп(х.у) + К(х) + п(у) = 0, (а;,у)и. (2)

Уравнение (2) исследовалась в некоторых частных случаях пу: перехода к одной переменной. При йтсм существенным. оказиваж расположение проекции точек ветвления алгебраической фунм хуа{т,у) по отношению к единичным кругам на плоскостях перем! ных х и Относительно уравнения (2) лолученн некоторые т< ремы существования, а в случае конечной группы случайного б, ¡здания указано на существование условий разрешимости. Одн полного анализа уравнений (1), (2) в указанных выше раОо нет.

Б исследовалось близкое к (I) функциональ

уравнение

а11(Р1.Ра)'ИР1,Ра) - а1О(р1_.ра)Ф(р1,0) + а01(Р1,ра)Ф(0>Ра) + аоо(р1>Ра)Ф(0,0) + Ь(р1(ра), С

и.Ковн Дк., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслужяваиия.-М. ¡Мир, 1987.

2. Cohen J.W. Boundary value problems and random walk analyi in queuelng еувtern analysis, preprint N479, University . Utreoht, Depart, of Math., Augutst 1987.

3. Cohen J.W., Boxma O.J. The M/G/1 queue with alterna service formulated ae a Riemann-Hilbcrt problem, preprln N177, University Utreoht, Depart, of Math., 1980.

где a,j(Pt>Pa) и b(pitp3) - известные функции двух комплексных перемонгол р и р , определенные при |р |р Ist, а Ф(р ,р )

' 2 13- 12

- неизвестная функция, аналитическая по каадой из переменных. Уравнение (3) татке проектировалось на аналитическое множество Л и, далее, решилось уже уравнения, подобное (2). При ртом на коофЗмциенты накладывались достаточно иестюю ограничении. В частности, требовалось, чтобы внутри кругов 1р(К1 и 1ра1<1. существовали простые гладкие замкнутые контуры St и Ga противоположной ориентации, между точками которых уравнение a í ii¡ ,ра-)=0 устанавливало бн взаимно однозначное соответствие. Для нахождения контуров Sk составлялось нелн!гейное интегральное уравнение Теодорсела, которое решалось затем численно (см., например,

1)

Отметим также работу , в которой частный случаи линейных функциональных. уравнения типа (1)-(3) сводился к некоторым краевым задачам теории аналитических функций. Укажем такко

1. Caler I). Konstniktivo Methoden der Konformen Abbildung,

SprJrger Verlag, Berlin, 1964. ?.. Волгл 0., Crcenerirti.tk W.P. Two queues with alternating service and c-wllohlng times, In: Queueln^ theory and its? appllcnMono, ml. ty O.J.Boxim and R.S.veldL.p. '¿61-282,CWI Montara!*. 7, b'orth-Ikilli\nd Publ.Co, Arcoterdam, W-1.

3. FayolJ e (1. On functional equations of one and two oomploz varinhioü fu'Lyiiv; in the cmlyais of stoohastio models,In: Math.Computer Porfonnwe and Reliability,«da. (5.laceo]Ja, I'.J.OouiHoi« and A.Hold! Jk, p. 55-75.í'orth-Hol 1 and Ptibl .On. Ameterd?,,?;, 1 .

на pufoTu

Ortutr-ft идеей ii указании* ьшо работах, является проектирование уравнения типа (2) на плоскость одноА из переменных. Однаю ВТ ОТ Метод ИмеиТ ОГраННЧс^ННЫО ЬОЗМОМНОСТИ. При ЭТОМ ВОЗНИКЛА проблемг» расположения точек ветвления проектирукщей функции, i анализ негодной задачи сильно затрудняется.

Подобных проблем не-возникает при использовании метод! унифоршзации для исследования урньнений типа (1)-(3). Идея on

С )

применения ь подобных задачах принадлежит Э.И.Звероиичу . От-

1. Fayolle 0., Iasnogomlyki П., Mitran.!. 1. The distribution of Ro.tourn timas in a queuelrig network wlUi overtaking: reduction to a bourulnry value problem, In РчгГогшпио'ЬЗ. ert.. A.K.Agremiáis.К.Tripathl,p.<177-490, North Holland FmMAOo., Amsterdam 1983.

2. Kiaprian J.P.O. Two aimllar queuo3 In parallel .-Ann. Math. Statist.,32 (1961) 1314-1323.

3. PI at to L., McKean H.P. Two queues in paral lei.-Corran .Kireíc Appl.Math.,30 (1977) 255-263.

4. Митюшев В.В. О решении краевой задачи, возникающей при анализе двух параллельно работающих систем массового обслуживания/ Деп. в ВИНИТИ 30.10.89,Н6567-В89.

5. Зверович Э.И. Об одном функциональном уравнении, возникаю-цем в теории^,случайных блужданий и уравнений Винера-Хопфа б четверти плоскости, Тези М1жнародно1 математично.Г конферен-цИ, присвячено! 100-р1ччю народження С.Банаха, Льв1в,1992.

летим Тпкте новую работу ff юторпП о тот метоц применялся цля решения функционального уравнения о ядром п вил* нчвн?к:к-

ЧС'МНоЯ КП1ДРЛКЯ. ТлКЧ'.М обрйзом, ТРМЯ, которой поооянц-чтп 11.ЧСТО-'1ГИ')Я дгич'ортинил, является иеоьмя яктуадкной и имеет б'»л«.шее

»il<rb>l!'.10 ДЛЯ npílJlMJKeUI'rt.

C.4<"iyiiij!.i основный результат pacora .чв.митгя wRumi:

- 'ччоч'чим* Л1скглгиого дчумерпого уроди«*ния Пииерм- Konf-i и чети tu v. Л1«ц.»пнсму Руцким* >ш»д*чону урпши.чи»»1 (.()

(ОМ. Счг. ?) Л"Я 'ЧШОрШСШХ Fl СНКруГ'; .{"УИКЦИЙ (§3)!

- Я!.!».»! Р'.'Ц^ИНЧ .'ЖЦг-пНОГО ^УНКЦИОНПЛЬНИГ'.» \Р'->ЧЧ-:ННН п кроетей-гпч елучпях, и tíiKK'? i:' олучялх, когд.*» ядро :«•><»г нил í'.ú'.v)"

• • (tl'-'ÍV,) и A(",Vi)-■IM-'1 >. ÜKftM'WOb, ЧТО оСт*

р«-й!»ти» МОЖвТ ÖUTb КПК МЧШОТЬОПНШ При пШ'ЧтчНКТ уолокиЯ :>.Ч .-pWMOOTH, 'Г л К И r»Mi И'. «Те. ОТ Щ '.MIKV'bHOß ФУНКЦИИ,

иг1.' ¡•¡'■.-•А.-ъ-уто'шис епгумрм írropi'i.iij ■ 1.Ч'(,о:*од ь о;.'нон1',-м yp-irowinn: к упирн-чширдорму ппрг>м«тру:

- Hü'íЮВД'.ЧIi'О H*<:0\CUHMHX И ДОО'ПТОЧШЧ усЛОУИЯ р-тлрг-шямооти и якнмд (■'■'рму.1: для р^чи'чп'ч вог;<'М".ч'!'1'г<"-льного лич^йног*» Функцио-нч.'ч нагч уршиг»ыш. '' кол:,;,-чу и^нидетои с-ногио" ур-яда -ни - гос.:-' ^'Ч'.^н;; i у':::íoivn'nipyt'X'jMV r'ip.wTpy : тг'чпсмя vM: г;-"-рмхс'.ч. к уН'л;<\-{ч:::'".;р;Л',:''-му Iii.г'5''-'''"'!-'1/ в с'Ч'ОгЧкм ут^гченчи ь c:.):y4'ii.' кч;0!'ол.'Стно;','> Hj'ip'i г"■ и'"' н ичло^ден^е »'то япмго рпче-V.UH, Г. тпкхн необходимых 'Л .ЗОСТЛТОЧШК УСЛОВИ?, риЗриИШОСТИ. (тсорг-'мч inj:

':. rop'í'üíli'c Д., ЗР-О.ЬЧЧ "i..;. .'ь'ИоЧнпй Ч'УЧКПК'ЧЯЛМС-" Vef'hßMntn

для «нм'.итнчески* í-y.íKU;«! и fS.ívpiTo о чдрпч и ыул- м^в^ро:;-

Г; г;-ч;;. е !-'лК!Ш 07.(4.°,?, 1П iíy.'-i^V.

- решение уравнения с ядром 2"шт-1 путем сведения его к задаче сопряжения Римана для двух вшеровских функций, разложимых е лакунорные ряды, абсолютно сходягциеся на единичной окрукносте (теорема 11);- изучение вопроса о возмоишости построения однозначных композиций аналитических функций от униформизируюцего параметра I функций, обратных униформизирующим (теоремы 12-14);

- переход к ушформизирующуму параметру в случае ядра, двулистного по обеим переменным, и изучение зависимости картины разрешимости от композита групп, порожденных униформизирующиш функциями. При етом полностью решены уравнения в случае конечного (теорема 15) и двух различных случаев бесконечног< (теоремы 16,17) композита.

Результаты работы могут найти применение как в дальнейших исследованиях по линейным функциональным уравнениям дл. аналитических в' бикруге функций, так и в многочисленных, приложениях в теории положительных случайных блужданий и дискретны: двумерных уравнений Бшера-Хопфа. Их также можно использоват: при чтении спецкурсов студентам физико-математических специаль ностей пединститутов и университетов.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладыва лись на научном семинаре лаборатории численных методов анализ! (руководитель,- член-корр. АН РБ, профессор Л.А.Янович), Одесском городском семинаре по краевым задачам (руководитель профессор Г.С.^твинчук), а также-неоднократно на Минском го родском научном семинаре имени академика Ф.Д.Гахова по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям при БГУ (руководитель - профессор Э.И.Зверович), ежегодных научно-технических

сонференциях ЕГПА и на семинаре "Гаховские чтения".

Основные результаты диссертации отражены в работах, сни-ок которых приведен в конце автореферата.

■ Диссертация состоит из введения, трех глав и списка лите-атурн, включающего 33 наименований. Работа изложена на 119 траншах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается история вопроса, обосновывается ктуальность теми диссертации и приводится аннотация основных езультатов.

Первая глава - ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ в БЖРУГЕ УНКЦИИ В НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ - состоит из.четырех пара-рафов. Первый из mix носит вспомогательный характер; в нем одержатся необходимые предварительные сведения из теории ана-'лтичеоких функций одной и многих комплексных переменных.

В § 2 при помощи метода производящих функций дискретное вумерное уравнение Винера-Хопфа сводится к линейному функцио-альному уравнению (в дальнейшем - основное уравнение)

(z,w)$(z,w)-A(z,0)g(z,0)~A(0,tu)5<0,tt») + * (4)

■ +А<0,0)5(0,0)=ztf»n(z,ш), |z|s1, |iu|s1

ля аналитических в бикруге и. вшеровских. на остове границы ункций (A(z,w), n(z,w) - заданы, 5(z,u>), 5(z,0), 5(0,о») - не-звестные)-, которое затем исследуется в простейших случаях.

В § 3 решается основное уравнение с ядром . A(z,tt>)=

= 5-(2-2 )•(ш-ю ). Результатом является

Теорема 4. Если А(г,ш) - 6-{г-га)-(\и--шо), гОе 6*0, г11 шо*0, |2о1<1, \ш0К'\, по основное нении и.юет ео-акспе.тиюе реиеиио

- 5[и (¿-.-¿С ) £ (г,0) 4у (ш-ш ) £ (0.и>) (0.0) ]4 (,ш)

с / „ ____о.______0 0_ р п

еи.У)- ^Г- ^УЦГ:-^'-'................. ................. ■

еОе £(г,0) и £ (0,и;) тюОжпс» по форами

)-1Г_г;с) и'П(-".,.'.')-и- >)(? ,и> )

)...... ^

С О

Лшитгичмил результаты пад/чеш по пи о а остальных случаях юп-пыного римиоои-мшп точки С г: о. ш > по отношению к бнкругу.

В § 4 ргц.чч.еггрльл'.'тся о.чюгшое урпытто о ядром -с<гр;:г/ччб.:1;>, коюроо ирп внполнишш уолонин с(6- (1) /0 (уе.п'лт;

«п-нрпподимоетк) уотгшпь.жьаст дробно- лииойпую ппмисимаггь м>ч;ду ПирОМОЛЦШЫ Г. И и'. Проектируя ЧИСЛИТ ОЛЬ на НуЛЬ-М'ЮГС.'ОГрчгл'Л: {>-{ и,ш)€-С.э I I|1, |Ш1«1, А (, к- > - о > ядра Л(я,и>), скгд"М ас-I',синод уравнение к урвыыинк

А^.О)5(г,О)-1Л(О.а-)?.(и,и0-А(О,О)5(О,О) = -2а;п(£,и»). (г.ш)сЛ

(V дальнейшем - родаиирзхшшюз ураппонно). Пользуясь круг .-"на

С,'!0;!СЧ1(0М ДроЩО -ЛШ10ЙИИ.Ч С'УНКИГЛ И ¡и ОД1К\Г.аоУ1:С'!т>, 1*лу.и1-ДОШНСШК) СЬО&Ы К УРЛЫ1'.1Г;!Ю Я'1 ШК-ГЧССГ.!, ГГ-ТСрО

лотом ром:;си'ся и '.тькеимасти от конфигурации как-жест;! П й б

(ИрООМШ 0 ио СОС'ПЗС ТСТОУ ХОД В ПЛОСКОСТЬ ). СДЙС! ¡'0:,:п\Т т

сколько пр;;т;;;лл:;,пыю различных елучпоп. ¿дли дс'-сг.йупо, ч речв'/цироштнеч) урамшнио продстакля."? сч>0;,й зпдачу ос-нр.гдон» ртииа, руапс-т. ивйостным метолом. Сдучяй, когдо шо

«дс-гао й одноеьямгс, ран о о вообще но ьотрочл.:;«!!. йм.чшб и от«.

'лучао возникает задача сопряжения на открытой римановой по-¡ерхнооти, представляющей собой объединение двух пересекающихся Округов. Решение подобней задачи зависит от произвольной'функ-цш. Обозначим через Л - дивизор, включающий в себя нули функ-ши (а ) ¡12) (а + уш(2)), Р(2) - многочлен, дивизор пулей кото-юго в точности совпадает с дивизором Д, а 0(г) - интерполяци-даний многочлен Ормита, такой, что он и его производные до со->тветотвуючпх порядков во всех точках, дивизора Д равны еоответ-¡тиующим значениям некоторой известной функции. Доказана

Тео_рема_8. Если переленше г и ш связаны .нехду собой соот-юионият ш(г) = - ^ , г(и>) = - 7ГТ~,5цГ' а можесп&о зЗносбязкое, ограниченное дусажа атЬ и Ьт, по основное уравнг-1110 при выполнении нообхоСииояо и достаточного условия разреши-юани - притбле-хнопт правей част приведенной ниже фор я ум* кольцу \ЧУ' (Рлшеро&ысих Й оикруге фушеций) - ¡¿ноет решение ( ~ - ъ - - а 1 Г б,

Г Р (Т)с1Г Ьш

* "й!г ' 7)~ " З^'М) - Р(2(ш))/1(2(ш)) + гщ(г.хо)

стЬ

к которое зависит от произвольной

2на.Аит1чес1сай функции / (.).

Вторая глава - ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УНИФОРШЗАЦИИ К ЛИНЕЙНЫМ ¡ЩВДИОНАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ В БЖРУГЕ ФУНКЦИЯ -состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию уравнений, к которым приводится редуцированное уравнение при подстановке в него известной уяиформизации ядра. Переход к униформизирующену параметру в редуцированном уравнении позволяет получить функци-

ональное уравнение для нахождения двух неизвестных функций одной комплексной переменной. Если основное уравнение разрешимо то среди всех решений униформизированного уравнения содержать и те,.которые дают решения исходного, причем потери решений п< происходит. В § 5 и § б решается вспомогательное функционально; уравнение на плоскости. Основным методом исследования являете! метод аналитического продолжения в совокупности с оригинальным! приемами для ликвидации логарифмических особенностей штеграло! по разомкнутым контурам. Пусть И и Д - множества, имеющие ви; объединения конечного числа областей с гладкими границами Пусть обгединегаш А и I» не покрывает всю комплексную плоскость, а их пересечение п распадается но конечное числ< связных компонент (гладаме контуры и многосвяонио области I кусочно-гладкими грашщами). Тогда, решение вспомогательной функционального уравнения зависит от произвольной функции.

Следующие два параграфа посвящены исследованию моделыш: функциональных уравнений с ыноголистнши ядрами методом перохо да к униформизирующему параметру. В § 7 редуцировашюе функциональное уравнение с ядром ш™ (п и т взаимно просты) сведо-но к урпшюшш для нахождения двух неизвестных функций, аналитических шутри единичного круга на плоскости унифорчнзирукщогч параметра I. Эти функции от £ должны впоследствии припадать аналитическим и ышеровским функциям от г и и> сооткетстьинпо Результатом /шляется

Тос1£)сч;|_10. Оаю&пои фугиа+ионсныше уравнение с яЗда^ г" - хип шет решение

г"/(г")-1£»"/Си»")-гп/1 <г,ш(2))4цт (г(и>),ш)4Ь (гМ.оЛ

------~----5------------т----•

2 — и'

зависщее от fit) - произвольной аисиимической при ltl<1, и

Доаюточни* условиел разрешмосш является притдлвхнастъ omaso решения кольцу W"*.

В конце параграфа рассмотрено конкретное функциональное уравне-míe, которое решено предложенным методом. В § 0 функциональное уравненио с ядром z'V-1 (п и m взаимно просты) спедено к задаче о скачке на единичной окружности на плоскости униформиаирую-щего параметра t, причем решения втой задпчи должны впослед-ствго! приводить н аналитическим и вилеровским функциям от г и ш соответственно. Задача о скачке решена известным методом с использованием аппарата интеграла типа Коим, ^формул СохоЦкого и теоремы об аналитическом продолжении. В § 9 изучается вопрос оо условиях, которым должна удовлетворять аналитическая функция / униформмзирующого параметра t, чтобы ёе композиции о функциями (вообще говоря, многозначными), обратными к униформизирущим, были однозначными аналитическими в единичных кругах на плоскостях z и и> функциями. На конкретных примерах показано, что в некоторых случаях такие функции'от t существуют, о в некоторых - могут быть только конотантами. Данная проблема сведена к краевой задаче со сдвигом для функции f(t). Указано нэ связь мевду

И-непрерывной с показателем \ > | при |í| = 1 фушеция, производная которой fit) лежит в кольце Винера. Необходими, условие* разрешиосш является выполнение равенств

JJ,

зк'

= 0, mi+nj < nm-m-n.

этим вопросом и количеством решений основного уравнения.

' В Главе 3 - ЛИНЕЙНОЕ ШПЩИОИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРО ДВУЛИСТНЫМ' ПО ОБЕИМ ПЕРЕМЕННЫМ - введены груши, по котор должны быть пвтоморфнымн решения уравнения на плоскости уши;« мизирумпего параметра, а такие понятие композита етих групп, данном случае группы будут иметь порядок 2, а униформизируюш функции - рациональными. В § 10 решено одно функционалы! уравнение, у которого композит ость конечная группа 4'-го поря ка. Сформулированы необходимые и достаточные условия разреи мости, а решения выписаны в явном виде.

Теорема 15. Для разреишюсти уравнения ^(г.О) + (4ш+1)25(О,«0 - 5(0,0) = -2шг|(2,ш), (г,«»)сО, необтодию и достаточно выполнения равенств

+ » 1

Е^-*3" Ч-ак>*=&Г = где к.1 4

4if.il- Да]в У п Единственное решеныз дается а I аг ; к

форлулажа

•(со

Е " 4'2к П-ак,юк ~ 5(0,0)

о) - £ ^ . «<о,«о - -—----

к « О

со

Это решение будет лежать в /сольце V, если ^Г |(1к1<ь.

к = 0

ь.

В § -11 решены два функционалных уравнения с бесконечным ком зитом. Первое уравнение имеет единственное решите при выпол

- ú-

и условия абсолютной сходимости одной бесконечной ио^ледва-лыюсти, элементы которой выписаны явно. Второе уравнение еет решение, зависящее от произвольной аналитической функции, и выполнении указанных необходимых и достаточных условий развитости.

В заключение автор выражает благодарность научному руконо-телю профессору Зверовичу Э.И. за постоянное внимание и по-аь в процессе написания етой работы.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТБ2ИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Крушевский Е.А. Двухелементное функциональное уравнение в классах аналитических функций/Деп. в ВИНИТИ 06.08.91, N3350-B91.

Зверович Э.И., Крушевский Е.А. Явное решение частных случаев дискретного двумерного уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскосги//Современнке проблемы математической физики,Труды Всесоюзного симпозиума,т.2,Изд-во Тбил.ун-та, 1987,с.33-39.

Зверович Э.И., Крушевский Е.А. Задача о случайном блуждании в четверти плоскости и ее явное решение в некоторых частных олучаях/Дегг. в ВИНИТИ. 06.08.91,N3375-B91. , Зверович Э.И., Крушевский Е.А. Линейные функциональные уравнения для аналитических функций в бикруге с ядром, двулистным по обеим перемнным/Деп. в ВИНИТИ 25.03.92, N1026-B92.

иегно к nevпти1/.0992 г. ?¡tpí4¡ ICO »-Í76 Боспляг'О

чйтяно ип ротоптлшто Ií-Jili¿.í3CK. Я2С610, Минск, Кнорина, I.