Исследование линейных и нелинейных методов интерпретации измерений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

р: . од

| 1 СЕН 1У05 На правах рукописи

ЧЖОУ Яомин

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ

01.01.03. - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов фпзпкп физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Пытьев Ю.П.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Хрусталев O.A. каддидат физико-математических наук, ст.н.с. Роганова Т.М.

Ведущая организация — Объединенный институт ядерных.

исследований

Защита диссертации состоится г. в на

заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 ^Мрскъа., Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "Зо "

Л 995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, -

Д.ф.-М.н. сУ^^ги-^ П.А.Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные экспериментальные исследования в физике, как правило, проводятся с помощью измерительно-вычислительных систем (ИБС).

Работа ИБС основывается на двух математических моделях — системы "объект-среда-прпбор" и системы "объект-среда". Первая модель описывает взаимодействие исследуемого объекта с окружающей средой и с измерительным прибором. Поскольку процесс измерения вызывает возмущение объекта и среды, задача интерпретации измерения заключается в том, чтобы на основе наблюдения над системой, описываемой первой моделью, получить наиболее точные значения параметров объекта, свойственные ненаблюдаемой системе "объект-среда" (невозмущенной процессом измерения), и получить оценку погрешности.

Таким образом, на выходе ИБС должны быть получены максимально точные значения параметров изучаемого объекта, причем не те, которые он пмел при измерении, а свойственные его естественному состоянию в системе "объект-среда". Тем самым, измерительно-вычислительная система представляет то, что в экспериментальных исследованиях называется "идеальным измерительным прибором" .

На самом деле, значение параметров объекта и оценка погрешности не являются исчерпывающим результатом интерпретации измерений. выполненных на ИБС. Дело в том, что этот результат определяется как данными измерений, так и вышеупомянутыми моделями, и возникает вопрос об адекватности используемых моделей и, как следствие — найденных значений параметров н погрешности. Поэтому результат интериреташш кроме значении параметров объекта и погрешности должен содержать характеристики, показывающие, насколько можно доверять напденьш значениям параметров и погрешности, и в какой степени используемые модели согласуются с результатами эксперимента. Такими характеристиками являются надежность модели и надежность интерпретации. Для моде-

лей со стохастической априорной информацией надежность модели определяется как вероятность ошибочно отвергнуть модель на основавши результатов измерений; соответственно, надежность интерпретации определяется как вероятность ошибочно отвергнуть найденные значения параметров и оценку погрешности. Согласно сказанному, результат пнтерпретапии следует считать тем более качественным, чем меньше погрешность и выше надежность. Низкая надежность модели свидетельствует о том, что модель плохо согласуется с экспериментом и должна быть уточнена.

Измерительная часть ИВС представляет собой измерительный прибор или измерительный преобразователь (ИП), датчик. Измерительный преобразователь (ИП) второго порядка широко используется в научных исследованиях и промышленности и исследование соответствующих ИВС представляет значительный интерес.

Целью работы является:

решение задачи интерпретации измерении на ИВС, включающих датчик второго порядка;

изучение качества интерпретации и определение предельных возможностей этих ИВС;

сравнительный анализ линейных и нелинейных методов интерпретации измерений;

исследование задачи уточнения результатов измерений и задачи уточнения интерпретации с дополнительным измерением; изучение надежности модели и уточнения модели; разработка средств компьютерного моделирования ИВС.

Научная новизна. В работе впервые проведен сравнительный анализ линейных и нелинейных методов интерпретации для различных классов решающих алгоритмов в задаче интерпретации измерений. Показано, в частности, что в некоторых из рассмотренных задач интерпретации измерений применение более широкого класса нелинейных методов не приводит к улучшению качества интерпретации.

В работе исследована ИБС на основе датчика второго порядка и определены ее предельные возможности в задачах измерения перемещения и скорости. Получено решение задачи об уточнешш измерения и исследован эффект влияния дополнительного измерения на качество интерпретации. Найдены параметры датчика второго порядка, определяющие качество интерпретации измерений на классе линейных методов интерпретации.

В работе решена задача уточнения модели на основе анализа ее надежности.

Разработано новое математическое п программное обеспечение для моделирования указанной ИБС, в том числе для решения нелинейных задач интерпретации.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют существенно расширить возможности измерений в геофизике, в радиофизике, в промышленности и улучшить измерительные приборы, включающие датчик второго порядка.

Созданный математический аппарат, математическое п программное обеспечение для исследования предельных возможностей пзмерптельно-вычпслите'льных систем, их точности, разрешающей способности и надежности могут быть использованы для анализа и интерпретации измерений во многих физических исследованиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 80 страницах машинописного текста и содержит список литературы из 33 наименований. Работа иллюстрирована 35 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дано общее описание проблемы определения предельных возможностей измерительно-вычислительных систем, отражена актуальность темы диссертации, кратко изложены результаты диссертации.

Первая глава называется "Методы анализа и интерпретации измерения" и состоит пз трех параграфов. В первом параграфе " Задача интерпретации измерения" описаны задачи интерпретации для типичной схемы измерения в физических исследованиях в виде:

£ = 4/ + ", (1)

отвечающей стандартной системе "объект-среда-прибор". В (1) £ - искаженный шумом V выходной сигнал прибора А, на вход которого поступил сигнал /. Как правило, сигнал / поступает от объекта и среды, взаимодействующих между собой и с измерительным прибором, А - чаще всего линейный оператор, моделирующий измерительный прибор, взаимодействующий с изз'чаемым обектом и средой, V - погрешность измерения (шум).

Задача интерпретации измерения (1) состоит в определении как можно более точного значения V/ параметров объекта, свойственных системе "объект-среда", невозмущенной измерением, на основе результата измерения £ и сквозной математической модели системы "объект-среда-прибор", связывающей как закон формирования сигнала £ (1) с параметрами состояния объекта и среды, так и значения параметров объекта и среды в процессе измерения. Другпмп словами, задача интерпретации решается с помощью измерительно-вычислительной системы (ИВС) и сводится к редукции измерения £ к виду, свойственному измерению на идеальном приборе и. Она состоит в определении такого преобразования Н измерения при котором Щ дает самое точное значение 11} - результата измерения на идеальном приборе Е/.

На практике оператор А, моделирующий измерительный прибор, часто известен с некоторой ошибкой, что может привести к существенному увеличению реальной погрешности интерпретации Щ как II/. Поэтому возникает проблема анализа измерений, включающая анализ надежности модели и надежности интерпретации. Надежность модели определяется как вероятность ошибочно отвергнуть модель на основании измерения £ и позволяет распознать модели, противоречащие данным эксперимента.

Такпм образом, полное решение задачи анализа и интерпретации измерений предполагет получение:

1) собственно результата интерпретации в виде оптимальной в рамках принятой модели оценки параметров исследуемого объекта;

2) среднеквадратичной погрешности интерпретации;

3) надежности полученных результатов.

Второй параграф называется "Линейная интерпретация измерения" , содержит обзор известных и некоторых новых методов интерпретации и состоит пз трех частей. В первой части "Метод линейной редукции измерения для модели [.4, S]" рассмотрена задача интерпретации измерения для модели [Л, S], в которой оператор R = Л*, минимизирующий средне-квадратичную (с.к.) погрешность sup£||.R„£ - Uf\\2, имеет вид R = и{А*Ц-КА)~А*1:-\ соот-/

ветствуклцая с.к. погрешность равна trU(A*I^~1A)~U*. Во второй части "Задача линейной редукции измерений для модели [Л. F. ЕГ показано, что при известном корреляционном операторе F входного сигнала и математическом ожидании /о, т.е. в том случае, когда задана модель [A. fo,F. Г], оператор редукцпп /?» дается равенством Rt = + F-1)"^*!]-1, и с.к. погрешность

h = trf(.4*£-1/l + F-1)-1t7*. В третьей части "Задачи линейной редукцпп измерения для моделей [А, £|Н|2 ^ ¿Ь [.4, < 6 (mod Р)]" рассмотрены методы линейной интерпретации измерения для модели [А, £||;/||2 < ¿], [.4, ||г^||2 < 6 (mod Р)] , в которых оператор Е априори неизвестен, а известно, что энергия шума ограничена, E\\v\\2 < Д пли ]|;;||2 < { с вероятностью 1. Для этих моделей оператор R = R,. минимизирующий с.к. погрешность

sup sup — Uf ||2, пмеет вид Rt = UA~\ соответствующая с.к.

/я -

погрешность равна h = 6 ■ ||L"(.4M)-t/*|| .

В третьем параграфе "Нелинейная интерпретация измерения" рассмотрен метод нелинейной редукции измерений. Еслп про входной сигнал / и погрешность v в схеме измерения (1) известно, что / € v € А<', где Т и Л* - заданные ограниченные множества, то

задана модель \А,Т,Щ схемы измерения (1). В этом случае задачу интерпретации измерения (1) можно поставить как следующую задачу на условный мпнимакс:

Л£(г, U) = sup{||r - Uff I (/, v): / e T, v £ Af, = A} + v) ~ min.

(2)

в которой требуется минимизировать условную оценку V) погрешности редукции .

Пусть для фиксированного £ £ AJ- + J\f

Щ = {Uf,fe = Äf + <еЯ}

и - шар минимального радиуса, содержащий множество Ut. Тогда решение г»(£) задачи (2) есть центр 5р и

I

Вторая глава диссертации называется "Исследование измерительного преобразователя второго порядка''. В первом параграфе "Сравнительный аналцз линейных п нелинейных методов интерпретации" сравниваются различные классы решающих алгоритмов в задаче интерпретации измерения. Доказано, что в задаче нелинейной интерпретации для модели [Л, ]jz/||2 < 6 (mod Р)] погрешность интерпретации совпадает с погрешностью линейной интерпретации. Задача нелинейной интерпретации для модели [.4. ||i^||2 < 6 (mod Р)] имеет следующий вид:

Вир{Цг-иЦ21/ €Лт,у€ Rn,u = UM = Af+v, < ¿} (3)

Если оператор U удовлетворяет условию U(I — А~А) = 0, то решение задачи (3) существует, единственно и дается равенством г, = R(£) = UA~£, и оценка погрешности интерпретации h(Rt(-),U) = 6\\U(A*A)-U'\\.

Во втором параграфе "Математическая модель измерительного преобразователя второго порядка" исследуется математическая модель ИЦ второго порядка, которая описывается решением задачи Копш

б

г/'(г) + 2аг/(0 + Ш = /(<), о < * <

2,(0) = у0. у'(0 ) = Уо В общем случае решение задачи Коши (4) записывается в виде

у{1) = (1 + а/и){со5-Л 4- 5ЬЛ)е~°'у0 -Ь (1/ш)е~°' ьт^у'^

+ / К(1 - г)/(г)аг, о

где ядро А'(-) - это решение однородного уравнения (4) при уо = О,

Уо = 1-

Рассмотрена задача измерения перемещения опоры, на которой установлен ИП. Пусть функция А'(/) задает движение опоры, тогда в (4) f(í) — и, если измеряются координаты у(1) ИП, то схема

измерения (1) будет иметь вид.

£(<) = у(*) + "(0 = (-Ш0 + К<). о<<<г, (5)

В дискретном прпблпженпп, соответственно, получим конечномерную схему измерения

Ш = У{и) + VI = (Л/ХЬ) + V, г = 1,2,..., п. (б)

В этом параграфе рассмотрены следующие задачи интерпретации измерений:

1) Начальные условия уо. и у'0 известны п /(<) = /ЗЛ'Ц). Требуется определить Х{1.) и А"(/)•

2) При неизвестных начальных условиях уо и у'0 требуется определить А'(<), А"(*), у0, и у'а.

3) Задача определения движения опоры, в которой схема измерения имеет вид

£(<) = з/(0-Д'(0 + КО, о<г<т. (7)

Требуется определить А'(?) и А''(*).

3.5 • 101г

3-Ю4 2.7 • 10*

4 ■ 104

а

0 0.2 0.4 0.6 0.6 1.0 а.

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 б.

1.2-104

1.1 • 104

104

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 в.

2.3 • 104

1.3 • 104

З-Ю3

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 г.

рпс. 1

4) Задача определения А'(<) и Л"(<) по результатам регистрации движения непосредственно опоры . При этом схема измерения имеет вид

£(«) = *(<)+ 1/(0, 0 <1<Т, . (8)

где !/(•) на сей раз определяет ошибки интерпретации £(<) как

5) Условия, определяющие качество ЙП второго порядка. Как известно, модель \А, Б] равномерно лучше, чем [А, Е], и для любого оператора С/ позволяет оценить любой сигнал и/ со с.к. погрешностью /г(17) не большей, чем /¿((7), еслп и только если А*Е-1Л > А*Т,~1А или, что в данном случае одно и то нее, (А'Е^А)-1 < (Л*!;-1 А)"1. Пусть Б = £ = /, тогда дифференциальный оператор А~1 определяется условиями

1.3 • юб

106

гМ,(гГ]

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

а

3.7.104 ^

2.7-105

а

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 в

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 б

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 рис. 2 г

3/(0) = о, У(0) = 0, o<t<т,

где у(-) - фз'шщпя, определенная на [0.Г], имеющая абсолютно непрерывисто первую производную у'(-) п интегрируемую с квадратом на [0.Т] вторую производную у"(■) . Для сопряженного оператора найдем

(А-'ут = у"(<) - 2ау'(1) + 13у{г), у(Т) = у'(Т) = 0. При этом

((А*АГШ = !/""(*) + 2(3 - 2а2)у"(г)+р4уЦ), у(Т) = у'(Т) = 0, у"(*)-2ау'а) + 0уЦ) |<=0= 0, 9

/'(*)-WW+ /VW Uo=o,

и, как нетрудно проверить,

{А*А)'1 < (А*А)'1,

на общей области определенна, если /?2 > в'2 , в — 2а2 > ¡3 — 2q2.

В третьем параграфе представлены результаты вычислительного эксперимента.

1) На рис. 1. показаны графики зависимости с.к. погрешности измерения движения опоры от коэффициента затухания а), в) при постоянном значении /? = 0.9; б), г) при постоянном значении и — тг/4. На рис. 1 п рис. 2 — □— при неизвестных начальных условиях, —■— при известных начальных условиях.

При измерении скорости движения опоры Л"(г),0 < t < Т, аналогичные зависимости представлены на рис. 2 а), в) прп /3 = const и б), г) прп и; = const.

4A.trE] 104

Ь[АЛгЦ ltf

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

a

h{ax]

400

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 б

V.2I

0

-a

400

0

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 O.C 0.8

в pnc. 4 г

Очевидно, погрешность пнтерпреташш, когда известен ковариационный оператор и, меньше, чем погрешность интерпретации, когда неизвестен оператор Е.

2) Графики зависимости с.к. погрешности пнтерпреташш измерения движения опоры и скорости движения опоры от коэффциента затухания показаны на рпс. 1 и рис. 2.

Наконец, в задаче определения начальных условий с.к. погрешности определения уо не зависят от а л равны едпнипе для модели [A,S] и п для модели [A, tri], соответственно; с.к. погрешности определения у'й показаны на рпс. 3 а), в) при ß = const и б), г) при ы = const.

3) В рассматриваемом случае результаты для определения Л'(г), полученные в вычислительном эксперименте, представлены на рис. 4 а), в) при 3 = const и б), г) при и = const.

4 • 103

10

г(.4,4гЕ]

4 • 103

10

a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

a

600

300

600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. 6

h

!}{a, e]

a

300

0 0.2

0.4 0.6 . в

0.8 1

0 0.2

0.4 0.6 r

0.8 1

рис. 5

При определении <\"(t) экспериментальные результаты показаны на рпс о. а), в) при ¡3 = const п б), г) при ^ = const.

В данном случае схемы измерения (7) выигрыш в точности, обусловленный знанием ковариационного оператора, существенно больше, чем в случае схемы измерения (6); изменился характер зависимости с.к. ошибки интерпретации от а. Существенно точнее и сами результаты интерпретации.

4) Прп схеме измерения (6) погрешности определения A'(ti),i = 1,2,...,« для всех рассмотренных моделей одинаковы и равны h ~ п.

5) При этих условиях ИП с параметрами а, /3 обеспечит меньшую с.к. погрешность решения любой линейной задачи интерпретации, чем ИП с параметрами а, (3. На рис. 6 приведена зависимость с.к. погрешности оценивания X{t) как футлттт ¡3 и 2а2 - /3 при известных начальных условиях .

а

Рис. 6

Третья глава диссертации называется "Уточнение измерения и эффект дополнительного измерения". В первом параграфе, "Задача уточнения измерения" решена задача уточнения результатов измерения. Если вместо схемы измерения (1) рассматривать ее линейное преобразование

££ = 5.4/ + Ви, / 6 7(9) .

где В - некоторый линейный оператор, то схеме (9) отвечает модель [ВА, ВИВ*], и возникает вопрос, нельзя лп з'.тучшпть первоначальную модель, подобрав должным образом линейный оператор В ? Ответ, разз'меется, отрицательный: никакое линейное преобразование В не может улучшить модель: [А,Е] -< [Б.4,БЕВ*] 1 для любого В.

Вместе с тем, нетрудно указать линейное преобразование (3), позволяющее представить результат измерения (1) в виде, в известном смысле эквивалентном исходному, но с з'меньшенной ошибкой.

Как п ранее, выберем в задаче пнтерпретацпп измерения V = А. Задача будет разрешима, искомое преобразование, определенное

'[а, 2] -< [в а, ЛЕВ"] - качество модели [-4, Е) равномерно не хуже [В.4, В£В"].

оператором

дает

В£ = А/ + й, (10)

где й = А(А"£~1А)~А*Е~1^.

Схема измерения (10) сама по себе имеет меньшую погрешность, чем измерение (1), поскольку

На самом деле пмеет место более сильное утверждение: ко вариационный оператор Л(А*Е-1 шума й не больше, чем ковариационный оператор Е шума V .

В втором параграфе "Эффект дополнительного измерения" рассмотрен эффект дополнительного измерения в общей ситуации, характерной для экспериментальных исследований.

Пусть к измерению (1) добавлено еще одно измерение £о = (а, /) + щ. Формально речь идет о схеме измерения

)/+(;), (п)

в которой а* = (а!, • ■ • ,ат) - последняя строка матрицы А.

Предположим, что последнее измерение сопровождается ошибкой 1^0, которая не зависит от и и пмеет дисперсию егц и Ей о = 0. Следовательно, схеме измерения (11) мы сопоставляем модель

А\ /Е 0 а*) 40 а\

= [А,Е]

и получаем оценку погрешности интерпретации при дополнительном измерении

+ а1 + а.{Аъ-1А)-1а (12)

п соответствующую с.к. погрешность

а'(А'Т,"1 А)~2 а

41) = Щ)

Формулы (12) п (13) позволяют проанализировать эффект дополнительного измерения в общей ситуации, характерной для экспериментальных исследовании.

Если сто = 0, то • дополнительное измерение производится без ошибки и его влияние, естественно, максимально. Учет дополнительных измерений не -может увеличить погрешность редукции в том числе и тогда, когда им сопутствует произвольно большая погрешность. Погрешности интерпретации измерения уменьшаются с увеличением числа измерений.

В третьем параграфе рассмотрены экспериментальные" результаты уточнения измерения и уточнения интерпретации с зачетом дополнительного измерения на ИП второго порядка.

12

А} + р„

-2

Рис. 7

На рис. 7 показаны графики £ = А/ + у (1) и В£ = А/ + V (10). Очевидно, имеет существенно меньшую погрешность, чем (1).

Пусть кроме измерения ^ = А/ + и. выполнено еще одно точное измерение в 5-ой точке п = 0.

На рис. 8 и рис. 9 показано влияние дополнительного измерения на результат интерпретации (рис. 8) и на погрешность интерпретации.

1

I/-/

5

Рис. 8

10

Рис. 8. Изменение интерпретации, обусловленное дополнительным измерением.

Рис. 9. Графики погрешности интерпретации измерения: -□- погрешность интерпретации измерения без дополнительного измерения, -т- погрешность интерпретации измерения с дополнительным измерением.

Четвертая глава диссертации называется "Надежность модели и уточнение модели" и состоит из трех параграфов. Первый параграф посвящен анализу надежности модели датчика второго порядка. Пусть погрешность и в (1) имеет нормальное распределение Лг(0, Е). Надежностью модели [Л, Е] называется случайная величина п.4((), которую с известными оговорками можно интерпретировать как вероятность ошибочно отвергнуть модель. В данном случае:

оо

<*а(0= / Рх2(Р№> ■ 40

здесь рх2(р) — плотность ^'-распределения с п — сПт7£(Е_1''2Л) степенями свободы и <(£) = ||(7—П)Е-1/2£||2, где П - ортогональный проектор на 7?.(Е-1^2А).

Во втором параграфе "Нелинейные методы интерпретации" рассмотрена задача интерпретации измерения для нелинейных ИП. В этом случае схема измерения может быть определена равенством

е = Ш-у), / е т, v € лг, (н)

в котором £ — результат измерения, / — входной сигнал измерительного прибора, v — случайная погрешность (шум). Параметры объекта в естественном состоянии определяются в виде U(f).

Задачу редукцпп измерения (14) можно поставить как следующую задачу на минпмакс

h(r, [/(•)) = sup{||r-£7(/)||21/ eJrfV€ m.jn. (15)

Решение r* = r„(£) задачи (15) - центр шара 6 U наименьшего, радиуса, содержащего множество Uc = {U = {/(/), / € где Jv - проекция на TL множества {/ £ Т, v € у) = £}. Квадрат

радиуса 5с оценивает погрешность редукцпп.

Третий параграф называется "Уточнение модели ИП второго порядка". В этом параграфе рассмотрены задачи уточнения моделп как задачи уточнения параметров а и в датчика второго порядка.

Первый метод уточнения модели основан на ее тестировании, при котором измеряется априори известный сигнал / € Ит, а результат измерения f используется для оценивания г(а,/3) € Г, здесь-г(а,р) - параметры исследуемой моделп, Г - область, априорп их содержащая.

Нелинейная схема измерения параметров моделп имеет вид:

£ = €(г(ао, ¡Зо)) = Л(г(а0, А,))/ + 1/, г(а0, (3Q) € Г .(16)

Задача редукции измерения (16) ставится как следующая задача на мпнимакс

Ле(г) = sup{||r - r(a^)||2|r(tt,y8) 6 Г, £ = A(r(a,p))f + v,v£Af} ~ nun (17)

Ее решение г, = г,(а,, Д,) — центр шара С Г наименьшего радиуса, содержащего множество Г^ = {г(а,/3) £ Г,( = А(г{а,(.3))/ 4- V, и € А'"}. Квадрат радиуса оценивает погрешность редукции.

Предположим, что в модели (4) измерительного преобразователя априори 0 < а < 0.7,0.6 < р < 1.5. Пусть а = 0.5, /3 — 1.0 — точные значения параметров модели, и измерение £ (5) выполнено при этих значениях параметров. Если при интерпретации измерения считается, что а = 0.0001 и В = 0.7, то для полученной в эксперименте реализации £ найдено значение надежности модели а^ДО ~ 0.003. говорящее о плохом ее согласии с результатом измерения. При этом фактическая погрешность интерпретации ||/) — /||2 ~ 2.9. Уточненные согласно (17) значения параметров а = 0.52 и 0 = 1.07 дают значение надежности а (О ~.*0.45, и фактическую погрешность II/ ~ /II2 ~ 0.83, т.е. позволяют существенно улучшить согласие модели с экспериментом п уточнить его пнтерпретацшо.

Во втором методе уточнения модели, известном как метод максимальной надежности, параметры модели определяются как решение задачи

В численном эксперименте получены следующие значения параметров а = 0.41, В — 1.2. Соответствующее значение надежности ал(£) = 0.73. Фактическая погрешность интерпретации для модели с максимально надежными значениями параметров равна 3.5 .

В методе максимальной надежности параметры модели определяются на основании тех же измерений, для которых решается задача интерпретации. Вычислительный эксперимент показывает, что параметры модели при этом определяются менее точно и приводят к большей ошибке интерпретации.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. На основе разработанной математической модели измерения для измерительного преобразователя (ИП) второго порядка построена измерительно-вычислительная спстема (ИВС) для исследования ее качества и предельных возможностей в задачах измерения перемещения и скорости.

2. Выполнен сравнительный анализ различных классов решающих алгоритмов в задаче интерпретации измерений. Показано, в частности, что в некоторых из рассмотренных линейных задач интерпретации измерений применение более широкого класса нелинейных алгоритмов не дает улучшения результатов интерпретации. Приведены результаты сравнительного анализа линейных и нелинейных методов интерпретации измерений.

3. На основе разработанной математической модели ИП второ-. го порядка решена задача интерпретации измерения на ИВС при дополнительном измерении. Исследовано влияние ошибок в модели системы "объект-среда-прпборг на точность интерпретации измерения.

4. Решены задачи уточнения модели на основе анализа ее надежности. Исследованы два метода: метод максимальной надежности и метод тестирования. Даны методы и алгоритмы определения коэф-фпцентов а и в ИП второго порядка.

5. Разработано математическое и программное обеспечение для -измерительно-вычислительных систем на основе измерительного преобразователя второго порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Пытьев Ю. П., Чжоу Яомйн, Филатова С. А. О линейных и нелинейных методах интерпретации: сравнительный анализ. - Вестник Моск. ун-та, Сер. 3, Физика-астрономия, 1995 г.

2. Пытьев Ю. П., Чжоу Яомпн. Филатова С. А. О задачах уточнения интерпретации эксперимента и его модели. - Вестник Моск. ун-та, Сер. 3, Физика-астрономия, 1995 г.

/Л?*}'