Исследование механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала

Любушкина, Надежда Николаевна

Исследование механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Любушкина, Надежда Николаевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Комсомольск-на-Амуре МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала»

Автореферат диссертации на тему "Исследование механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала"

На правах рукописи

ЛЮБУШКИНА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

1 5 МАР 20/2

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005014083

Комсомольск-на-Амуре - 2012

005014083

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Тарануха Николай Алексеевич, ФГБОУ ВПО «КнАГТУ», завкафедрой «Кораблестроение», Комсомольск-на-Амуре

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Врагов Анатолий Михайлович, зав. лабораторией динамических испытаний материалов НИИ механики при ННГУ, Нижний Новгород

кандидат физико-математических наук, доцент

Григорьев Ян Юрьевич,

ФГБОУ ВПО «КнАГТУ»,

доцент кафедры «Высшая математика»,

Комсомольск-на-Амуре

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

«Институт машиноведения и металлургии» Дальневосточного отделения РАН, Комсомольск-на-Амуре

Защита состоится 29 марта 2012 г. в 14°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.092.02 в ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» по адресу: 681013, г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27, факс (4217) 53-61-50, E-mail: dis@knastu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Автореферат разослан «_» февраля 2012 года

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Г. С. Лейзерович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Деформационные характеристики нестандартизированных резин в значительной степени определяются характеристиками каучуков и входящими в состав наполнителями, зависят от длительности и температуры вулканизации.

Динамические процессы в стержне из подобного материала нетривиальны. Примерами конструкций из таких материалов могут быть специальные амортизаторы (типа автофинишеров). Амплитудно-частотные характеристики систем при больших упругих деформациях следует определять с учетом внутреннего сопротивления материала образца. Одним из важнейших параметров, определяющих динамические характеристики системы, является частота свободных колебаний, которая зависит от коэффициента жесткости элемента упругой связи. Коэффициент жесткости - это функция, определяемая деформационной характеристикой материала, которая при больших деформациях, как правило, нелинейна. Следовательно, предварительно необходимо определить логарифмический декремент колебания, коэффициент демпфирования, коэффициент жесткости стержня из нестандартизированного материала. Данные параметры можно определить только на основе экспериментальных данных. Таким образом, определение характеристик стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала, является актуальной задачей.

Цель работы: разработать методику расчета статических и динамических задач механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

Задачи

1) Построить математическую модель, позволяющую определять прочностные и амплитудно-частотные характеристики стержней из нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации;

2) Спроектировать аппаратно-программный комплекс для экспериментального исследования характеристик стержней из нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации;

3) Разработать методику исследования механики стержней, выполнить апробацию математической модели.

Предмет исследования. Статические и динамические задачи расчета стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

Объект исследования. Математические модели, учитывающие особенности поведения стержней из нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации (десятки и сотни процентов) в задачах статики и динамики; методика определения механических характеристик материала и конструкций.

Научная новизна работы

1) Построена математическая модель механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

2) Спроектирован аппаратно-программный комплекс по исследованию характеристик стержней из нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации.

3) Для стержней из нестандартизированного материала разработаны:

- методика расчета напряженно-деформированного состояния произволь-

ного стержня по данным модельного эксперимента; - методика определения амплитудно-частотных характеристик.

Практическая значимость

Разработана методика исследования характеристик стержней из нестандартизи-рованных материалов, допускающих большие упругие деформации. По данной методике, используя данные тестового (модельного) эксперимента, для любой стержневой конструкции с одной степенью свободы расчетным путем можно определить напряженно-деформированное состояние и амплитудно-частотные характеристики.

Для исследования характеристик стержней с большими деформациями из не-стандартизированного материала разработан и реализован аппаратно-программный комплекс.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были изложены автором в докладах на:

- Всероссийской научно-технической конференции «Новые технологии и материалы. Инновации и инвестиции в промышленности Дальнего Востока». Комсомольск-на-Амуре, 2007;

- XXXV Дальневосточной Математической Школе-Семинаре имени академика Е.В. Золотова. Владивосток, 2010;

- Международной научно-технической конференции «Электротехнические комплексы и системы». Комсомольск-на-Амуре, 2010;

- Международной научно-технической конференции «Математическое, вычислительное и информационное обеспечение технологических процессов и систем». Комсомольск-на-Амуре, 2010.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе пять статей в ведущих рецензируемых журналах [1-5], а также ряд статей в сборниках, трудах конференций, прочих журналах [6-12]. Получены три свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [13-15].

В настоящей работе представлены результаты, полученные автором самостоятельно. Автором разработаны математические модели, алгоритмы и методики решения, аппаратно-программный комплекс для исследования механики стержней с большими деформациями из нестандартизированных материалов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения, списка литературы (119 наименований) и двух приложений. Объем основного содержания - 122 страницы, в том числе 55 рисунков, два приложения на пяти страницах.

Автор выражает искреннюю благодарность к.т.н., доценту А.Н.Петровой за ценные консультации по существующим методам расчета и дружеское участие.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ содержит актуальность темы; цели и задачи исследования; предмет и объект исследования; научную новизну; практическую значимость.

В ПЕРВОИ ГЛАВЕ на основании обзора отечественной и зарубежной литературы проведен анализ определен™ механических свойств материалов и конструкций. Определены основные положения теории упругости для материалов, допускающих большие упругие деформации. Выполнен разбор математических моделей описания

нелинейно упругого деформируемого твердого тела с большими деформациями, определены формы физических соотношений. Выполнен обзор методов экспериментального исследования характеристик образцов из нестандартизированного материала и методов обработки экспериментальных данных. Отмечен вклад в развитие теории больших деформаций таких ученых, как В.Н. Анисимов, Б.Д. Ашшн, A.M. Врагов, A.A. Буренин, А.И. Голованов, Я.М. Клебанов, A.A. Лукьянов, В.А. Постнов, С.Ф. Яцун, B.J. Kazakof'f, Szabo Zsolt, Yamaguchi Takao.

В конце первой главы выполнена постановка задачи исследования, определена структура диссертациоиной работы.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ построена математическая модель механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала. Математическая модель построена на основе задачи о колебаниях системы с одной степенью свободы. При этом все участвующие в решении задачи характеристики являются нелинейными функциями, зависящими от степени деформации каждого элемента системы. Основные характеристики материала и стержневой системы определяются из первоначального тестового (модельного) эксперимента. Необходимость проведения тестового эксперимента для нестандартизированных материалов является обязательной процедурой. Предлагаемая математическая модель позволяет производить расчеты оценки прочности и амплитудно-частотных характеристик любой стержневой системы, изготовленной из указанного материала.

В первом разделе второй главы определена расчетная схема и выполнена постановка задачи динамического расчета.

Во втором разделе второй главы выполнено построение расчетной математической модели. Рассмотрена упругая система, состоящая из сосредоточенной массы М на конце упругой связи переменного сечения. Таких связей может быть несколько (рис. I, а).

а) б) в)

Рис. 1. Модель упругой системы: а - многостержневая; б - обобщенная (суммарная); в - определяющая переменный коэффициент упругой связи

Введены обозначения: т\(у), т2(у), ... //¡¡(у) - погонные массы упругих связей, имеющих переменное поперечное сечение /^(^(О). ••• ЖУ<(0) (в процессе

колебания площади меняют свою величину, зависят от времени); /¡=¡1(1), ¡2=Ы0> /;=/;(/) - длины упругих связей; ц{() - смещение сосредоточенной массы М вдоль оси О У. Упругие связи изг отовлены из одного материала, поэтому имеют один,

переменный, модуль продольной упругости Е = Е(у(/)). Допущение: система имеет одну степень свободы, перемещение происходит вдоль оси ОУ.

Коэффициент жесткости упругих связей С,=Сг(у(?)) в данной математической модели является переменным по длине и во времени (рис.1, б). Все упругие и жесткостные характеристики системы в процессе колебания рассматриваются как величины переменные, зависящие от положения системы в этот момент времени, а, значит, и от возникающей в этом положении деформации системы.

Рассматриваемые упругие системы являются симметричными относительно общей продольной оси системы ОУ и состоят из одинаковых непризматических упругих связей. Поэтому, не теряя общности рассуждений, анализируется упругая система, изображенная на рис. 1,6.

Для построения математической модели введены обозначения:

п - количество упругих связей системы;

тх(у) = т2(у) = ... = т,{>') = ... = т„(у)\

т\(у) + т2(у) + ... + т,(у) + ... + т„(у) = = т^у);

о = ^(у, /) = ... = /) = -

^(у, 0 + Р2{у, 1)+...+г,(у, /) + ... +Е„(у, о = = ГАу, 0;

СМ')) = <Ш0) =... = с,Ш)... см?));

с,(КО) + СгШ) + ••■ + СХКО) +... + сг,Ш) = ¿сдз-(О) = смт

/,(/)=/2(о=...=т =-=4(о=/со-

Для рассматриваемых систем величина сосредоточенной массы А/ должна быть много больше суммарной массы упругих связей М^'р'са, т.е. М>М^рсв. Суммарная масса упругих связей системы

=\пЧ(у)ф.

Дифференциальное уравнение колебаний получено для упругой системы с большими деформациями с использованием энергетического уравнения Лагранжа

дК ) дК дП дЯ

(1)

дт) «/(') 8д(1) дс,(1)'

где К = К(г) - кинетическая энергия движения, II = 11(1) - потенциальная энергия упругой системы, Я = Я(1) - функция рассеяния.

Для определения потенциальной энергии рассмотрена элементарная работа й'А бесконечно малого элемента 8у упругой связи в произвольный момент времени и Под действием продольной силы Р бесконечно малый элемент 8у получит удлинение с!д(у(1)) (рис. 1, в). Совершенная при этом элементарная работа равна

<1ЛШ) = Р-с!с1(у«)). (2)

Считая в каждый конкретный момент времени для бесконечно малого элемента на бесконечно малом перемещении справедливым закон Гука, получено удлинение

¿с](у( 0) =--. (3)

ЕЫФ-ЪЫО)

г_Е(у(1))-Рт(у(1))^д(у(1)) (4)

Из (3) выражена сила Р

р_Е{у«))-РЦ

8у

(5)

Входящее в (4) выражение

6у

есть не что иное, как погонный коэффициент жесткости бесконечно малого элемента 8у рассматриваемой упругой связи. Из выражения (5) видно, что коэффициент жесткости для задачи о перемещении системы с упругой связью является величиной переменной, зависящей от координаты^ и момента времени t.

Входящие в уравнение (1) частные производные определены следующим образом

дК дК ,,г , дК

); —-

= ме ■ т -тЬгтт = м' ■ 9(0; ттгг - 0;

дд(0 ' Э?(/)

дп :С2(Я0)-9(0; = О-

да) т)

где Лг - масса динамической системы, определяемая с учетом массы упругих связей; Сх(у(0) - суммарный коэффициент жесткости упругих связей из нестандартизиро-ванного материала; ¡3 - коэффициент сопротивления среды (внутренней и внешней), определяемые экспериментально.

Перемещение Ф0'(0) записано как функция, связанная с перемещением нижнего конца упругой связи <?(/), т.е. фактически с перемещением массы М

/(/) <р{1{0)

где (р(у(г)) - функция, описывающая перемещения во времени поперечных сечений упругой связи вдоль оси 0У.

Для теоретического определения переменного коэффициента жесткости С\(у(/)) упругих связей динамической системы с большими упругими деформациями из нестан-дартизированпого материала определена [зависимость

Коэффициент жесткости для рассматриваемой системы зависит от момента времени для которого он определяется. Фактически это означает, что этот коэффициент жесткости зависит от переменных во времени модуля продольной упругости £(>'(/)), поперечною сечения /^(уО)), длины упругой связи 1(1) и от функции <р(у(1)) - описывающей перемещение поперечных сечений упругой связи вдоль координаты у.

После подстановки (6) в (1) и последующих преобразований получено дифференциальное уравнение свободных колебаний упругой системы

о- (7)

м м

Определено, что уравнение (7) имеет две особенности: первая - суммарный коэффициент жесткости упругих связей из нестандартизированного материала при больших деформациях является переменным и зависит от изменяющихся в процессе деформации параметров каждого упругого элемента системы; вторая - учитывается

полная масса динамической системы (масса колеблющегося объекта и масса упругих связей).

Сложность предлагаемой математической модели заключается в том, что , ¡Су(у( /))

частота Я=.| " , описывающая поведение системы, зависит от жесткости V М

материала упругой связи С\(у(/)), которая, в свою очередь, зависит от удлинения (деформации) упругой связи А/, формы поперечного сечения и положения динамической системы. Далее, для упрощения записи, данная функция обозначена как Сх-

Решение однородного дифференциального уравнения (7) для больших деформаций предложено в виде

дО,Ст) - А(СТ) ■ е~ь(с*>' • б5п(Я,(С£) ■ I + ф{СЕ)), (8)

где А(Сх) - амплитуда колебания; Ь(С^) - коэффициент демпфирования;

(Се) - частота затухающих колебаний; ф (С'е) - фаза колебания.

Начальные условия задачи сформулированы в виде

?СоА) = ?о; = (9)

Выражения (8) совместно с (9) приняты как закон, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени /0 в точке пространства <?о определить параметры в любой момент времени 1 > /о. Предложенный закон поведения детерминированный, он описывает координатно-временную эволюцию динамической системы. Входящие в (8) функции Ь(С^), А^), Л (Су), ф{С\) зависят в конкретный момент времени от существующей в системе деформации (удлинения А/) и фактической жесткости системы Сг. При выполнении итерационной процедуры расчета это обстоятельство определено как основополагающее.

Определено, что для решения конкретной задачи необходимо знать параметры нестандартизированного материала упругой связи: деформационные (жесткостные) характеристики; а для определения коэффициента демпфирования - логарифмический декремент у, которые могут быть найдены экспериментальным путем.

Далее определен численный алгоритм поиска решения. Для реализации алгоритма построена система равноотстоящих точек: /г- = /0 + ¡' • ¡г, где И - шаг. Значения д, в точках определены по формуле

<7/ = МС,)■ • яп^/С,)■ 11 + «С,-)).

Для нахождения последующего значения учитывается истинное значение жесткости С,-, соответствующее действительному удлинению А/,.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ выполнено исследование статических и динамических характеристик стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

В первом разделе третьей главы приведено описание тестового эксперимента по исследованию статических характеристик стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

В серии тестовых (модельных) экспериментов определены статические характеристики нестандартизированного материала. Величина деформации доводилась до нескольких сотен процентов от начальной. В качестве исследуемых физических моделей использовались резиновые жгуты, которые имеют заданную длину и форму поперечного сечения. Численная модель, описывающая аналитические зависимости

статических характеристик стержней из нестандартизированного материала с большими упругими деформациями, определена полиномиальной зависимостью. Для решения рассматриваемой задачи применен метод наименьших квадратов.

Во втором разделе третьей главы приведено описание программного обеспечения «Аппроксимация зависимостей», позволяющего определять коэффициенты математической модели. В программе по исходным данным автоматически определяется порядок полинома.

В третьем разделе третьей главы определены основные уравнения и зависимости для построения математической модели статических характеристик. Анализ деформированного состояния выполнен на основе геометрических соотношений. Начало координат соответствует закреплению начальной точки стержня, длина после деформации равна / = /о + Д/, где /о - начальная длина, Д/ -удлинение образца. По экспериментальным данным определены характеристики удлинения и утонения образцов. По геометрическим размерам образцов определены относительные деформации еДД/), £Х(Д/), ег(М) и функция их отношения ¡¡(М). Для большой деформации выбрана логарифмическая деформация Генки £^ = 1п(1 + £у). Построена зависимость изменения площади поперечного сечения

образцов от величины удлинения ЯЛ/). Определено, что скорость изменения площади поперечного сечения образцов не зависит от формы и начального значения.

Нормальное напряжение ф(А1)) определено функцией деформации в виде полинома пятого порядка. Выполнен анализ поведения функции напряжения. Определено, что функция имеет участки упрочнения и расслабления.

По зависимостям деформационной теории пластичности определен касательный модуль продольной упругости

Екас(М)-~(а(Е(М))).

Построены графики изменения касательного модуля продольной упругости (рис. 2, а) для образцов разной формы поперечного сечения.

На основе деформационной теории упругости предложен вывод обобщенного закона в форме компонентов деформации, который предусматривает возможность учета нелинейных особенностей рассматриваемого процесса на стадии вывода формулы. По данному закону для нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации, определен приведенный модуль продольной упругости

£,.(Л/) + £',.(. Л/) !• Л/)

Г (А1\ ^ 1-2-МДО

* ех(М)+еу(&1) + е2(М)

Построение графиков приведенного модуля продольной упругости Е„р{Д/) проводится по данным фактических значений деформационных характеристик, полученных ранее экспериментальным путем. График построен для образцов разной формы поперечного сечения (рис. 2, б).

Приведенный модуль продольной упругости определен с учетом объемной деформации материала. Графики для образцов разной формы поперечного сечения хорошо согласуются между собой, отклонения незначительны, поэтому данный мо-

дуль, вычисленный для одного образца, можно использовать для образцов с любой формой поперечного сечения.

а)

'>4

б) Епр-Пе,

210-I

-4-

-4

О 0.05 0.1 0.15 0.2 дг, м 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Ы, и Форма поперечного сечения: 1 - круг; 2 -- квадрат; 3 - прямоугольник Рис. 2. Г рафики изменения модулей продольной упругости: а - касательный; б - приведенный

Для касательного модуля продольной упругости ЕКШ{Ы) коэффициент жесткости определен зависимостью

ДА/) -/"(Л/)

^кас

(А/) =

. кас V

/0 + А/

Для приведенного модуля продольной упругости Е„р(А1) коэффициент жесткости определен отношением

^д _ Епр(А/) • (еу(&1) + е,(А/) + (А/)) • Г(М)

">,{' А/

Зависимости коэффициентов жесткости от удлинения, определенные по разным модулям упругости, построены на рис. 3. Характеристики доказывают, что при больших деформациях из-за перестройки внутренней структуры резнноподобные материалы имеют коэффициент жесткости с участками расслабления и упрочнения. По фафикам видно, что ближе всего к экспериментальным значениям С)кс подходят значения коэффициента жесткости, вычисленного через приведенный модуль продольной упругости материала. Коэффициент жесткости, определенный через касательный модуль продольной упругости при деформациях более 50 % отличается от экспериментального.

В разделе диссертации выполнено исследование коэффициента жесткости при изменении длины образца и формы поперечного сечения. Определено, что найти коэффициент жесткости для образца любой длины можно по результатам тестового исследования одного опытного образца. С помощью коэффициента формы учитывается форма поперечного сечения образца. При изменении формы поперечного сечения образца ко-

С, И/и

0 05

0.1

Рис. 3

0.15

Д.', м

зффициент жесткости можно определить через нормированный коэффициент С"(А/), приходящийся на единицу площади поперечного сечения и длины образца

с"(д/)=-с<(д/)

Ял/н д/-(/0 + д/)-/г(д/)'

В четвертом разделе третьей главы выполнено экспериментальное исследование динамических характеристик стержней из нестандартизированного материала. Для определения динамических амплитудно-частотных характеристик стержней разработан аппаратно-программный комплекс (АПК) (рис.4). Аппаратная часть АПК: I - поперечная балка; 2 - резиновый стержень; 3 - устройство для снятия сигнала; 5 - нить; 6 - основание; 4,7,8 - грузы; 9 - стальной каркас; 1О - ПК.

Рис. 4. Аппаратная часть экспериментальной установки

Программная часть АПК обеспечивает ввод и обработку информации на основе специально разработанного программно-информационного обеспечения для ЭВМ. Приведено описание программно-информационного обеспечения АПК - программы «Колебания». Экспериментальные данные - табличные значения функции Цг) сохраняются в текстовом файле персонального компьютера. В разделе диссертации приведены результаты экспериментального определения перемещений для образцов разной длины. Результаты имеют хорошую сходимость, что говорит о достоинствах АПК. Для определения динамических характеристик задана регрессионная функция колебательного процесса в виде

¿(0 = А ■ е~ы ■ вш( А • г + ф) + к, (10)

где к - установившееся значение.

Вид функции соответствует традиционной форме гармонического затухающего колебания. Регрессионная функция (10) нелинейна относительно входящих коэффициентов, она не сводится к системе линейных уравнений с симметричной невырожденной матрицей. Для нахождения коэффициентов математической модели динамических характеристик предложен новый численный алгоритм. В подразделе дано поэтапное описание алгоритма.

В конце подраздела приведена сравнительная таблица динамических характеристик для образцов различной длины. Получена аппроксимация коэффициента демпфирования, определено его предельное значение. Приведено описание программы «Динамические свойства материалов» для определения коэффициентов математической модели динамических характеристик стержней из нестандартизированного материала.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ показано использование предложенной математической модели при расчете механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала.

В первом разделе четвертой главы сформулирована методика расчета напряженно-деформированного состояния произвольного стержня по данным тестового (модельного) эксперимента.

Во втором разделе четвертой главы выполнен расчет напряженно-деформированного состояния квадратного, прямоугольного и восьмиугольного стержня по данным тестового (модельного) эксперимента — образца круглой формы.

В третьем разделе четвертой главы определена методика расчета амплитудно-частотных характеристик стержней с большими упругими деформациями. Методика основана на применении разработанной во второй главе математической модели и полученных в третьей главе экспериментальных характеристиках стержней из нестандартизированного материала.

В четвертом разделе четвертой главы приведено решение задачи о механике стержня с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала. Исследуемая система не может работать в области сжимающих напряжений, поэтому элементы системы предварительно растянуты на величину q = q,.+ qn заведомо большую, чем амплитуда предполагаемого колебания q0. Координата конца растянутого образца после затухания колебательного процесса определена как qe.

Начальные условия задачи: q(0, С0) - 0,015 м; </(0, С0) = Vo = 0.

Решение определено в виде суммы двух составляющих: динамической qa(t), описываемой уравнением (4), и смещения qc от действия статического нагружения

А) = + <?с = A(Cz)-e-h(c'-]< • sin(A,(CV)• / + ф(С\)) + <yc(Cs) .(11)

Дальнейший расчет выполнен итерационным методом. Значения функций Ai(Cv), b{Cz), A(C'i) и ф (С'х) уточняются на каждом шаге итерации для соответствующего удлинения А/,- и фактической жесткости Сь(А/г). На рис. 5, а показано сопоставление решений, выполненных по различным коэффициентам жесткости.

Предложенные в диссертации методика и математическая модель дают вполне удовлетворительные результаты. При этом лучший результат показал расчет с использованием коэффициента жесткости, вычисленного через приведенный модуль продольной упругости. Модель на основе касательного модуля продольной упругости приводит (начиная со второго колебания) не только к количественным, но и к качественным ошибкам.

Аналогичные расчеты выполнены для образцов с формой поперечного сечения: круг, квадрат и прямоугольник. Определены относительные погрешности опытов.

Переход к нормированным (удельным) коэффициентам жесткости для единичного поперечного сечения колеблющейся системы выполнен с использованием коэффициентов формы поперечного сечения. Это позволяет на первом шаге расчетов рассматривать нормированный коэффициент жесткости упругой связи как независящий от формы поперечного сечения образца.

В пятом разделе четвертой главы для апробации предложенной методики рассмотрен расчет колебания амортизатора с большими деформациями из нестандартизированного материала. Сначала был выполнен теоретический расчет по предложенной в диссертации методике, а затем, для проверки, был выполнен эксперимент.

Данные эксперимента в теоретическом расчете системы не использовались. Форма решения определена видом (11). На рис.5, б выполнено сопоставление результатов.

а) ~ ~J ' ' ' ' ' ' ' ' '

б)

0.2 04 0.6 0.8 1 12 14 1.6 1.8

V" X"

/ V*

1 - ДО экспериментальный; 2 - модель коэффициента жесткости Сщ^АГ);

3 - модель коэффициента жесткости С „Л АГ) Рис.5. Графики колебаний

Применение численного решения с учетом перерасчета коэффициента жесткости конструкции для упругих систем с большими деформациями дает хорошие результаты. Среднеквадратичная погрешность определения частоты не превышает 1,2 %.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построена расчетная математическая модель механики стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала. Анализ дифференциального уравнения движения показал, что при большой деформации частота и коэффициент демпфирования зависят от коэффициента жесткости стержня.

2. Форма решения однородного дифференциального уравнения определена эволюционным законом, учитывающим большие упругие деформации.

3. Для проведения тестовых (модельных) экспериментов по исследованию характеристик стержней из нестандартизированных материалов разработан и реализован аппаратно-программный комплекс.

4. Проведены физические эксперименты по исследованию и конкретному определению статических и динамических характеристик стержней из нестандартизированных материалов, допускающих большие упругие деформациями (до сотен процентов).

5. Разработана математическая модель определения статических и динамических характеристик стержней из нестандартизированных материалов, допускающих большие упругие деформации. Определены зависимости и графики для переменных модуля продольной упругости, коэффициента жесткости, коэффициента демпфиро-

вания стержней из нестандартизированного материала для разных длин образцов и форм поперечного сечения.

6. Разработана методика определения напряженно-деформированного состояния произвольного стержня, базирующаяся на данных тестового (модельного) эксперимента одного образца. Методика учитывает возможность изменения длин и форм поперечного сечения образцов в реальной конструкции.

7. На основе анализа физического поведения материала предложена численная модель определения амплитудно-частотных характеристик стержней с большими упругими деформациями из нестандартизированного материала (до сотен процентов). Предложенная модель учитывает реальные нелинейные жесткостные характеристики системы, меняющиеся в процессе деформирования стержня.

8. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ. Программы зарегистрированы, получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

9. Выполнена апробация предложенных в диссертации математических моделей при расчете амортизатора с большими упругими деформациями. Определены математические модели амортизатора, что позволило формализовать и составить алгоритмы расчета. Оценка разработанной математической модели выполнена путем сравнения расчетных результатов с экспериментальными данными.

Опубликованные работы по теме диссертации

Публикации в ведущих периодических изданиях

1. Любушкина, H.H. Программно-информационное обеспечение задачи о колебаниях стержня с большими деформациями /H.H. Любушкина А.Н. Петрова, H.A. Тарануха //Информатика и системы управления. - 2007. -№2(14) - С. 30-39.

2. Тарануха, H.A. Механика морских динамических систем с большими деформациями из нестандартизированного материала /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина. //Морские интеллектуальные технологии, 2010, №3 (9)-С. 56-59.

3. Тарануха, H.A. Колебания динамических систем из нестандартизированного материала /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина. //Ученые записки КнАГТУ, 2010, № III -1 (3) -С. 4-11

4. Тарануха, H.A. Определение жесткостной характеристики нестандартизированного материала упругой связи /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина. //Ученые записки КнАГТУ, 2010, № IV - 1 (4) -С. 4-11

5. Тарануха, H.A. Математическая модель деформирования упругой связи из нестандартизированного материала для динамической системы с большими деформациями /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина. //Ученые записки КнАГТУ, 2011,№I- 1 (5)-С. 4-9

Публикации в других изданиях

6. Любушкина, H.H. Математическая модель колебательного процесса в стержневой системе с большими деформациями при вынужденном воздействии /H.H. Любушкина //Новые технологии и материалы. Инновации и инвестиции в промышленности Дальнего Востока: в 3 ч. 41: Материалы докладов Всерос. науч,-технич. конф. (г. Комсомольск-на-Амуре, 15-19 окт. 2007 г.) -Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. -Ч. 1. -С. 71-75.

7. Петрова, А.Н. Аппаратно-программное обеспечение для измерения напряжений в стержне, участвующем в колебательном процессе /А.Н. Петрова, H.H. Любушкина //Новые технологии и материалы. Инновации и инвестиции в промышленности Дальнего Востока: в 3 ч. 42: Материалы докладов Всерос. науч,-технич. конф. (г. Комсомольск-на-Амуре, 15-19 окт. 2007 г.) -Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2007. -Ч. 2. -С. 124-126.

8. Тарануха, H.A. Математическое моделирование колебательных процессов в стержне с большими деформациями /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина; ГОУВПО «КнАГТУ». -Комсомольск-на-Амуре, 2007. -19 с. -Деп. в ВИНИТИ 26.09.2007. 903-В2007.

9. Тарануха, H.A. Программно-аппаратный комплекс по обработке результатов эксперимента колеблющейся системы /H.A. Тарануха, А.Н. Петрова, H.H. Любушкина; ГОУВПО «КнАГТУ».- Комсомольск-на-Амуре, 2007. - 12 с. -Деп. в ВИНИТИ 26.09.2007. 902-В2007.

10.Любушкина, H.H. Оценка колебаний динамических систем с большими деформациями из нестандартизированного материала /H.H. Любушкина, А.Н. Петрова //XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар им. Академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. -С. 566-570.

11. Любушкина, H.H. Аппаратно-программный комплекс для определения динамических характеристик систем из нестандартизированного материала для задач механики деформируемого твердого тела /H.H. Любушкина, А.Н. Петрова //Международный симпозиум «Образование, наука и производство: проблемы, достижения и перспективы»: материалы международной научно-технической конференции «Электротехнические комплексы и системы» (Комсомольск-на-Амуре, 21-22 октября 2010), -Т.З. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2010.- С. 295-297.

12. Любушкина, H.H. Алгоритм определения динамических характеристик систем из нестандартизированного материала для задач механики деформируемого твердого тела /H.H. Любушкина, А.Н. Петрова //Международный симпозиум «Образование, наука и производство: проблемы, достижения и перспективы»: материалы международной научно-технической конференции «Математическое, вычислительное и информационное обеспечение технологических процессов и систем» (Комсомольск-на-Амуре, 26-28 октября 2010), -Т.4. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2010 - С. 109-112.

13. 'Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2008610137. Колебания /H.H. Любушкина, А.Н. Петрова (RU). //Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9 января 2008-М.: 2008.

14.'Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2008610138. Аппроксимация зависимостей/H.H. Любушкина, А.Н. Петрова (RU). //Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9 января 2008 -М.: 2008.

15.'Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2008615530. Динамические свойства материалов /H.H. Любушкина, А.Н. Петрова, Е.П. Парфенов (RU). //Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19 ноября 2008 -М.: 2008.

ЛЮБУШКИНА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано к печати 24.02.2012 Формат 60x84/16 Бумага писчая. Ризограф 1^370ЕЯ. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,85 Тираж 100 экз. Заказ 24650

Отпечатано в полиграфической лаборатории Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольски й-на-Амуре государственный технический университет» 681013, Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Любушкина, Надежда Николаевна, Комсомольск-на-Амуре

61 12-5/3800

МИНОБРНАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КОМСОМОЛЬСКИЙ-НА-АМУРЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

Любушкина Надежда Николаевна

Диссертация

Научный руководитель: д.т.н., профессор Н.А. Тарануха

Комсомольск-на-Амуре - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................4

Глава 1 ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ.....................................................................................7

1.1 Обзор механических свойств материалов.................................................................7

1.2 Основные положения теории упругости для материалов, допускающих

большие упругие деформации.................................................................................10

1.3 Обзор методов исследования и обработки экспериментальных данных............23

1.4 Идея диссертации и постановка задачи исследования..........................................29

Глава 2 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА.....................32

2.1 Расчетная схема и постановка задачи....................................................................32

2.2 Построение расчетной математической модели.....................................................34

Глава 3 ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА............................................................................................51

3.1 Экспериментальное исследование статических характеристик

нестандартизированного материала.........................................................................51

3.2 Программное обеспечение для определения коэффициентов математической

модели статических характеристик........................................................................54

3.3 Основные уравнения и зависимости для построения математической модели

статических характеристик.......................................................................................55

3.4 Экспериментальное исследование динамических характеристик стержней из

нестандартизированного материала.........................................................................73

Глава 4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ РАСЧЕТЕ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ С БОЛЬШИМИ УПРУГИМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ ИЗ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА.....................92

4.1 Методика расчета напряженно-деформированного состояния произвольного

стержня по данным модельного эксперимента.....................................................92

4.2 Расчет напряженно-деформированного состояния реальных стержней.............93

4.3 Методика расчета амплитудно-частотных характеристик стержней

с большими упругими деформациями...................................................................96

4.4 Решение задачи о механике стержня с большими упругими деформациями

из нестандартизированного материала..................................................................98

4.5 Расчет амортизатора с большими упругими деформациями

из нестандартизированного материала................................................................102

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................106

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.......................................108

ПРИЛОЖЕНИЕ А..................................................................................................123

ПРИЛОЖЕНИЕ Б..................................................................................................125

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Задачи:

- построить математическую модель, позволяющую определять прочностные и амплитудно-частотные характеристики стержней из нестандартизированного материала, допускающего большие упругие деформации;

- спроектировать аппаратно-программный комплекс для эксперимен-

Для исследования характеристик стержней с большими деформациями из нестандартизированного материала разработан и реализован аппаратно-программный комплекс.

Полученные результаты были использованы при выполнении фантов: 05-08-98501 по фундаментальным основам инженерных наук Российского Фонда фундаментальных исследований (РФФИ Москва и Правительства Хабаровского края) «Математическое и экспериментальное моделирование гидроупругости и волновой гидродинамики на базе Дальневосточного ОБ КнАГТУ» и 2.1.2/3046 по целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы. Проведение фундаментальных исследований» Министерства образования и науки РФ «Научно-методическое обеспечение фундаментальных исследований гидродинамики и гидроупругости судов и морских объектов на базе Дальневосточного ОБ КнАГТУ».

Глава 1 ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Обзор механических свойств материалов

Механические свойства материалов характеризуют способность сопротивляться действию приложенных к ним нагрузок. Механические характеристики выражают эти свойства количественно.

Основные свойства материалов: прочность, пластичность (или вязкость), твердость, ударная вязкость, износоустойчивость, ползучесть и др. К основным механическим характеристикам материалов относят: временное сопротивление (предел прочности, предел прочности при растяжении - условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца;

истинное сопротивление разрыву (действительное напряжение) - напряжение, определяемое отношением нагрузки в момент разрыва к площади поперечного сечения образца в месте разрыва;

предел текучести (физический) - наименьшее напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки;

предел текучести (условный) - напряжение, при котором остаточное удлинение достигает 0,2 % длины участка образца, удлинение которого принимается в расчет при определении указанной характеристики.

Механические характеристики материалов определяются при механических испытаниях, которые в зависимости от характера действия нагрузки во времени делятся на: статические, динамические и циклические.

В зависимости от способа приложения внешних сил (нагрузок) различают

испытания на растяжение, сжатие, изгиб, кручение, ударный изгиб и т. п.

Определить механические характеристики нестандартизированного материала можно с помощью испытаний на растяжение. Данные испытания

проводятся на разрывных испытательных машинах, материал подвергают действию плавно возрастающей нагрузки. Образцы определенного сечения постепенно нагружают в продольном направлении и таким образом растягивают в длину. Удлинение выражают в процентах от первоначальной длины образца. В результате такого испытания получают диаграмму растягивающая сила Р - абсолютное удлинение образца А/, характеризующую поведение материала под нагрузкой. Для получения удельных механических характеристик данного материала, не зависящих от размеров образцов, диаграмма деформации при растяжении строится в координатах - растягивающее напряжение а - относительное удлинение е

сг = Р/^0; £ = Д///0 -100% где Р0 - исходная площадь поперечного сечения образца; /о - расчетная длина образца до испытания.

При малых нагрузках остаточная деформация не возникает и образец после снятия нагрузки принимает исходную длину - он ведет себя упруго. В пределах этой области упругой деформации нагрузка пропорциональна деформации:

где Е - коэффициент пропорциональности, модуль Юнга.

Крутизна подъема определяется как отношение напряжения к деформации. Коэффициент Е графически равен углу наклона и характеризует упругие свойства материала. Определению и исследованию модуля посвящены ряд работ [65, 93]. При заданной величине напряжения с увеличением модуля уменьшается величина упругой деформации, т.е. возрастает жесткость материала. Поэтому модуль Е также называют модулем жесткости. Величина зависит от природы и изменяется незначительно при изменении его состава, структуры и термической обработки.

Динамические характеристики можно определить так же, как и статические - методом растяжения, исследования систем с одной степенью свободы. В теории колебаний существует множество примеров исследования «сис-

тем с одной степенью свободы, решение которых проводится при помощи линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. При этом частота свободных колебаний является постоянной и не зависит от амплитуды» [76, 96, 98]. Имеется также ряд важных задач о колебаниях, «отыскание которых производится с помощью линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при </, д/ или д. Колебания, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, зависящими от времени, называют квазигармоническими». Общеустановлены следующие примеры:

- колебание маятника переменной длины, при этом коэффициент демпфирования является гармонической функцией времени;

- колебания стержней при переменном коэффициенте жесткости;

- колебания стержней с переменной по времени массой. Некоторые задачи о нелинейных колебаниях разрешены еще в XX веке.

Большое развитие теория нелинейных колебаний получила в России в связи с работами академиков Л.И.Мандельштама, Н.М.Крылова, профессоров Н.Н.Боголюбова, И.М.Рабиновича, А.М.Брагова, и других исследователей.

Уравнение движения для пространственной геометрически нелинейной стержневой системы А.А.Лукьяновым [44] определено в виде:

где К, - обобщенные инерционные, демпфирующие и упругие силы;

Р(7) - обобщенный вектор внешних сил. Векторы в левой части являются нелинейными функциями обобщенных перемещений д системы:

(й,)}={'(')}•

Введено предположение, что инерционные и демпфирующие силы в меньшей степени зависят от , чем упругие силы, поэтому матрицы инерции

[М] и демпфирования [С] постоянны в течение некоторого интервала времени

А г. Результирующее выражение разложено в ряд с удержанием слагаемых первой степени, получено линеаризованное уравнение движения в приращениях:

Анализ динамики нелинейной системы производится численно.

Математическая модель динамической системы может быть представлена эволюционным законом, в реальных условиях колебания нелинейных динамических систем следует рассматривать с учетом внутреннего сопротивления.

1.2 Основные положения теории упругости для материалов, допускающих большие упругие деформации

1.2.1 Постановка задачи

Основным первоначальным источником сведений о механических свойствах материалов служат опыты с лабораторными образцами. Рассмотрим элементарный (бесконечно малый) параллелепипед изотропного материала (рис. 1.2). На параллелепипед по всему объему действуют объемные силы, проекции которых на координатные оси равны соответственно X, У, 2.

+М-И,+Л,+=И'+*)} •-{ФУ,)}'

где А{5} = -{5} - приращение поступательных перемещений узла;

[Х^]- матрица касательной жесткости, вычисленная в момент времени I.

Рис. 1.2. Постановка общей задачи теории упругости

По граням этого параллелепипеда, вырезанного из тела, действуют напряжения и Ту. Рассматриваемый параллелепипед под действием всех

приложенных к нему сил находится в равновесии. Ввиду малости размеров

граней можно считать, что напряжения по ним распределены равномерно. Рассматриваем равномерное растяжение вдоль оси ОУ, при этом считаем, что касательные напряжения не возникают.

Разложение тензора деформаций Те на шаровую и девиаторную часть имеет вид [86]:

£х 0 0 0 0 ех ~£0 0 0

т = 0 0 = 0 0 + 0 0

0 0 0 0 0 0

где 80 - средняя деформация, то есть

где - шаровый тензор;

Д>- девиатор деформаций.

Найдем относительное изменение объема: объем до деформации: с1У0 = сЬсфс1г;

; объем после деформации: с/И = ( 1 + £х)(1 + £у )(1 + £г)сЬсс!ус1г.

Объемная деформация определяется выражением:

Девиатор деформаций Вг характеризует изменение формы тела и так же, как и девиатор напряжений, имеет три инварианта:

•ЛСАт ) = (£*- £о) + (£У-£0) + (£2-£0) = 0;

¿гфе) = (ех - £0)(£У - £0) + (£у ~ £0)(£г - £0) + (£х - £0)(£2 - £0) =

\((ех - £у? + (£х - £2)2 + (£у - £2)2 ):

73(Ве) = (£х-£0)(£у-£0)(£2 ~£0) ■ Интенсивность деформации определяется выражением:

Для больших деформаций удобнее логарифмическая мера деформации. Линейная деформация, представляемая в виде*:

А/

'о

(1.8)

где А/ = / - /0 - удлинение образца; /о - длина образца до деформации; / - длина образца после деформации. Данная мера применима только для малых деформаций. Относительная деформация не аддитивна, поэтому при большой деформации используют логарифмическую деформацию Генки [57, 86]:

(1.9)

= 1п(1 + ер.

¿/в

)

/0 + А/

1 +

^ А

А/

1 + е

с1е = 1п(1 + е).

Свойства логарифмической деформации:

£2 е3

1) Разложение в ряд: £ = £-\---1---ь...

2 3

2) Групповые свойства: Для любых деформаций в логарифмической мере выполняется условие

1п(1 + 2) = 1п(1 + £;с) + 1п(1 + £у) + 1п(1 + £2); ® = £х+£у +£г.

Наряду с этим, существуют иные определения меры деформации, данные различными авторами [62]:

предложение Альманзи

— 1

(

(1+£у

предложение Кёрбера-Свейнгера £ -1 -

* Мера Огюстена Луи Коши

предложение Куна

предложение Грина

— 1

у 3

(1 + г)3

Каждая из мер дает свою особенную шкалу. За «меру деформации можно принять любую безразмерную функцию от 1 + е, если при (1 + г)->1

она вырождается в меру деформации Коши» (1.8). Считается, что зависимости Коши, Грина и Куна подходят к категории мягких материалов, так как производная йа / ¿/е постепенно уменьшается с ростом деформации. Формулы Альманзи и Кербера-Свейнгера походят к более жестким материалам. Мера Генки описывает поведение материала по закону Гука.

В логарифмической деформации могут быть введены обобщенные инвариантные характеристики, такие, например, как интенсивность логарифмического удлинения.

Основные уравнения в теории упругости: 1) Статические соотношения

дет. дт^ дт

дх ду да„ дт

+ ■

хг

дг

= 0

ду да.

+ ■

ух

дт

дх

+ ■

Уг

дх дт

(1.10)

гу

дг дх ду 2) Геометрические соотношения Коши

ди р =—•

X ~ '

дх

= 0

ду ду' дм?

(1.11)

где и, v, м^ - перемещения по. осям X,У, 2 соответственно.

3) Физические соотношения (закон Гука)

сг0=3 К-£0

<7х-а0=2 О(ех-е0) ау-<70=2О(еу-£0) ' аг-а0=2 в(£2-£0)

(1.12)

где в - модуль продольной упругости второго рода.

Данная модель материала является основной для многих исследований.

1.2.2 Физические соотношения для упругого тела

Физические уравнения позволяют связать напряжения с деформациями. Вид этих соотношений и значения постоянных, которые в них входят, определяются экспериментально.

1) Обобщенный закон Гука. Уравнения связи между перемещениями и деформациями получаем из геометрического рассмотрения картины деформирования среды без учета причин, вызывающих деформацию (рис. 1.3).

Искомые уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, можно записать в виде единой системы уравнений:

Рис. 1.3. Постановка задачи для идеально упругого тела

(1.13)

где Е - модуль продольной упругости первого рода,

коэффициент Пуассона.

2) Закон Гука в тензорной форме определяет связь между шаровыми тензорами (между а0 и е0)-

Сложим уравнения системы (1.13):

£х+£у+£2=((Тх+(7у + (72)

1-2 д

X у 4 ) £

£х+£у+£г=д = 3-£0; или ах + ау+а2=3-а0; су0=К-д = ЗК-е0,

где К

модуль объемной деформации.

3(1-2 ¡л)

3) Связь между девиаторами (между и Д.):

па =

О О

ау-оо

ст. - О",

Пе =

£х~£0

О О

о о

£у~£ о

О О

Из (1.9) имеем:

£у-£0=Ц<уу-!л{ох+ог)-11<уу + /нау) - =

1 (Л < З/н 1-2 и 1+и 1 + а 1 + и

—(1 + ¡1 )ау —— а0--— <70 = —-оу--—сга = —^

Ек ' у Е 0 Е 0 Е у Е 0 Е

(ау-а0),

так как ¡1{ох + <т2) - ¡ю.

Зог

£у £о-

1 -ц

следовательно

{°у-<* о),

= 2в.

Е к * " 1 Х_!Л

В процессе деформации тело накапливает энергию, за �