Исследование многослойных задач тепломассообмена с изменяющимся агрегатным состоянием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ДВУХ-И МНОГОСЛОЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ АГРЕГАТНЫМ СОСТОЯНИЕМ.

1.1 Аналитические методы. Основные научные направления.

1.2 Постановка задач исследований.

1.2.1 Геометрия узла установки для получения композиционных материалов.

1.2.2 Температурный режим в установках автоматического ведения технологического процесса.

1.2.3 Физико-химические особенности процесса полимеризации.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ АГРЕГАТНЫМ СОСТОЯНИЕМ.

2.1 Постановка математической задачи.

2.2 Построение обобщенной математической модели процесса.

2.3 оптимальное упрощение обобщенной математической модели.

2.4 Качественный анализ построенной математической модели.

2.5 Выводы.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ АГРЕГАТНЫМ СОСТОЯНИЕМ.

3.1 Метод изотермических поверхностей.

3.2 Аналитическое решение для первого этапа процесса.

3.3 Аналитическое решение. Применение метода изотермических поверхностей для второго этапа процесса.

3.4 Получение аналитического решения для третьего этапа процесса.

3.5 Выводы.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В УСТАНОВКЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО ВЕДЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА И СОПОСТАВЛЕНИЕ ТЕОРИИ И ЭКСПЕРИМЕНТА.

4.1 Описание экспериментальной установки.

4.2 Методика эксперимента.

4.3 Описание результатов экспериментальных исследований и сопоставление теоретической и экспериментальной кривых.

4.4 Описание блок-схемы алгоритма расчетов распределения температуры по узлам слоев изделия.

Актуальность проблемы. В современной промышленности широко используются композиционные материалы, так как они обладают уникальными упругими и прочностными свойствами. Например, в изделиях авиастроения из таких материалов изготавливают лонжероны лопасти, детали корпусов и так далее.

Технология получения композиционных материалов состоит в следующем. Стеклоткань пропитывается специальными связующими материалами. Многослойная конструкция из пропитанной стеклоткани, которой придана требуемая форма, подвергается специальной температурной обработке. В результате процесса полимеризации получается изделие, которое по своим прочностным свойствам превосходит параметры металлических изделий. При этом не требуется дорогостоящая обработка (штамповка, резание и т.д.). В качестве основного оборудования для полимеризации используется пресс-форма с электроподогревом. Процесс полимеризации определяется термическими условиями, создаваемыми специальными нагревателями. Основным технологическим элементом таких установок, таким образом, выступают нагреватели, определяющие теплофизические процессы в пресс-формах.

Оптимизация процесса полимеризации связана с разработкой соответствующих теплофизических математических моделей. Основные трудности при создании таких моделей возникают из-за необходимости учета:

- многослойности соответствующих конструкций с различными теплофизическими свойствами;

- фазовых переходов при полимеризации, которые описываются моделями Стефана;

- многостадийности процесса прогрева. 5

Таким образом, проблема построения теплофизических математических моделей актуальна с практической и научной точек зрения.

Целью работы явилось создание математической модели, описывающей теплофизические процессы в установках автоматического ведения технологических процессов (АВТП), создание методов расчетов температурных полей в многослойных конструкциях из композиционных материалов с учетом фазовых переходов и многостадийности процессов, а также изучение особенностей теплофизических процессов в таких условиях и разработка рекомендаций для оптимизации технологии.

Основные задачи исследований:

1. Выявление физико-химических факторов, определяющих температурные поля в процессе полимеризации композиционных материалов.

2. Постановка и решение математических задач, описывающих температурные поля в процессе полимеризации в установках АВТП с учетом фазовых переходов и многостадийности.

3. Разработка конечно-разностных схем и проведение расчетов пространственно-временных распределений температурных полей в установках АВТП.

Экспериментальное измерение температурных полей в процессе полимеризации и сопоставление результатов экспериментальных исследований и теоретических кривых.

4. Анализ вклада различных процессов в температурные поля в установках АВТП и разработка рекомендаций по оптимизации процесса полимеризации.

Практическая ценность работы заключается в том, что созданы новые методы расчетов температурных полей в установках АВТП для получения композиционных материалов. На основе произведенных расчетов разработаны рекомендации по оптимизации процессов изготовления изделий из композиционных материалов. Полученные результаты доведены до уровня инженерных методик и используются для совершенствования 6 процессов изготовления изделий в Кумертауском авиационном производственном объединении со значительным экономическим эффектом. Экономический эффект создается как за счет сокращения затрат на обработку путем исключения штамповки и резки, так и за счет сокращения брака при изготовлении лонжеронов плоскостей вертолетов.

Научная новизна. В данной работе впервые рассмотрен новый класс задач, описывающих тепловые поля в многослойных конструкциях с учетом фазовых переходов и многостадийности процессов применительно к условиям получения изделий методом полимеризации композиционных материалов. На основе диалогических решений и конечно-разностных схем осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей тепловых полей в многослойных конструкциях с контрастными теплофизическими свойствами и изучен вклад различных факторов, определяющих температурные поля в таких условиях.

Достоверность результатов, полученных в ходе исследований, определяется тем, что в основу положены уравнения тепло- и массопереноса, полученные на основе проверенных законов сохранения, а также многочисленными сопоставлениями результатов теоретических и экспериментальных исследований, показавшими удовлетворительное согласие теории и эксперимента. Опубликованные ранее в печати теоретические и экспериментальные результаты хорошо согласуются с описанной в данной работе теорией и могут быть представлены как ее частные случаи.

На защиту выносятся: 1. Доказательство адекватности математической модели температурных полей, возникающих в процессе полимеризации, экспериментально измеренным температурам в установках АВТП при изготовлении многослойных деталей и конструкций. 7

2. Новые аналитические решения задач тепломассообмена в многослойных конструкциях с изменяющимся агрегатным состоянием, полученные на основе метода изотермических поверхностей.

3. Анализ вклада различных процессов, определяющих температурные поля в процессе полимеризации, осуществленных на основе конечно-разностных расчетов.

4. Рекомендации по оптимизации процессов изготовления конструкций и деталей методом полимеризации и улучшению качества изделий.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на 4-ой Уральской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Уфа, 1989 г.); пятой конференции молодых ученых «Исследования по механике, физике, механике и процессам управления» (г. Уфа, 1987 г.); пятом всесоюзном научно-техническом симпозиуме «Проблемные вопросы автоматизации производства» (г. Тула, 1991 г.); научной конференции «Вопросы проектирования информационных и кибернетических систем» (г. Уфа, 1991 г.); третьей всесоюзной конференции «Надежность дискретных устройств» (г. Ташкент, 1977 г.); всесоюзной научно-технической конференции «Автоматизация технологической подготовки производства и управления технологическими процессами в приборостроении» (г. Москва, 1980 г.); на всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (г. Стерлитамак, 1997 г.), а также на научном семинаре кафедры теоретической физики Стерлитамакского госпединститута под руководством член-корр. д.ф.-м. наук, проф. Шагапова В.Ш. и д.т.н., проф. Филиппова А.И.; на научном семинаре кафедры прикладной физики БашГУ под руководством член-корр. проф. Саяхова Ф.Л. и член-корр., проф. Халикова Г.А.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 статей. Результаты диссертации вошли в 8 отчетов, выполненных в соответствии с планом хоздоговорной работы с Кумертауским авиационным 8 производственным объединением по теме: «Разработка математической модели и программ расчета теплопередачи в многослойной конструкции из композиционного материала в установке автоматического ведения технологического процесса».

В первой главе приведен краткий обзор литературы по тепломассообмену в многослойных конструкциях с изменяющимся агрегатным состоянием. Дан анализ проблем, возникающих при решении различных задач тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала. При этом теплофизические коэффициенты тела изменяются скачкообразно и затрачивается или выделяется тепло в процессе фазовых переходов.

Вторая глава посвящена исследованию теплофизических процессов в многослойных конструкциях из композиционного материала в промышленных установках автоматического ведения технологического процесса. Дан анализ физико-химических и процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала с изменяющимся агрегатным состоянием. Использованы методы теории подобия и приведена обобщенная математическая модель процесса. Проведено оптимальное упрощение обобщенной математической модели. Дан качественный анализ построенной модели. Приведены простые соотношения для расчета температурных полей в многослойных конструкциях с изменяющимся агрегатным состоянием. Доказано, что точности произведенных расчетов вполне достаточно для инженерных задач.

В третьей главе на основе анализа существующих методов решения показано, что имеются и другие подходы решения таких задач в многослойных областях, в частности, метод изотермических поверхностей. В литературе не описаны такие подходы к решению на основе метода изотермических поверхностей.

Обоснована возможность анализа и решения многослойных задач применительно к материалам с изменяющимся агрегатным состоянием. 9

Получение точного решения поставленной задачи сопряжено со значительными математическими трудностями, поэтому приведены численные методы решения многослойных задач.

Четвертая глава посвящена экспериментальному исследованию температурных полей в теплообменных установках для получения многослойных конструкций из композиционного материала, когда между слоями происходит изменение агрегатного состояния - полимеризация. Путем сопоставления с экспериментальными данными проверена достоверность выбранной математической модели. Проведенные экспериментальные исследования и расчеты тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала показали удовлетворительное согласие.

Результаты данной работы могут быть применены при расчетах температурных полей в многослойных конструкциях из композиционного материала с изменяющимся агрегатным состоянием и физико-химической природой материала.

Работа выполнялась на кафедре высшей математики и промышленной автоматике УГАТУ в течении 1986-1999 гг. Промышленный эксперимент проводился с участием проф. Шафеева М.Н., доц. Якуповым Э.З., гл. инженера завода Кум. АПО Негановым Н.И. и нач. цеха №17 Гайнуллиным P.C., главного энергетика Ольхова A.A.; за помощь в работе автор приносит им глубокую благодарность.

Условные обозначения коэффициент теплопроводности, Вт/(К м); коэффициент температуропроводности, м /с; тепловой поток на границе слоя, Вт/м2; л коэффициент теплоотдачи, Вт/(К м ); координаты прямоугольной декартовой системы; число Рейнольдса; число Шмидта; число Прандтля; число Льюиса; пленочное число; время, с; вязкость, Па с; коэффициент кинематической вязкости; теплоемкость, Дж/(К кг); температура стенки, К; плотность вещества, кг/м3; параметр Гросгофа; параметр Нуссельта; давление, Па; сила электрического тока, А толщина стенки, м; коэффициент черноты поверхности; площадь поверхности среды, м2; число Кармана;

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана и исследована методами теории подобия математическая модель процесса тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала с изменяющимся агрегатным состоянием.

2. Для аналитического исследования процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала впервые использован метод изотермических поверхностей и матричный метод. Применение метода изотермических поверхностей к решению задач теплообмена в многослойных областях из композиционных материалов позволило получить аналитические решения задачи в форме удобной для реализации в инженерных расчетах.

3. Проведены расчеты и экспериментальные исследования процесса теплообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала в установках АВТП. Сравнение результатов численных расчетов, по аналитическим формулам, с результатами экспериментального исследования в многослойных конструкциях из композиционного материала в установках АВТП показало их удовлетворительное соответствие.

4. Разработаны методы и программы расчета теплообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала в установках АВТП. Составлены таблицы и графики температур в узлах слоев изделия в зависимости от времени.

5. С помощью разработанных в работе методов проведено исследование установок (теплообменников) АВТП, позволившее уточнить его теплопередающие параметры.

6. Анализ проведенных расчетов показал, что существующие методы изготовления изделия не обеспечивают одновременного подвода температурного режима полимеризации на все участки поверхности. Автором диссертационной работы предложена система

110 автоматизированного управления процессом передачи тепла, обеспечивающая правильный подвод и поддержание температуры на всех участках поверхности изделия.

Разработанные и развитые в работе аналитические и численные методы исследования процессов теплообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала в установках АВТП представляют интерес для инженерной практики расчета и проектирования теплообменных установок различного назначения.

1. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М., "Высшая школа", 1967, с.599.

2. Дезин A.A., Масленников В.Н. Неклассические граничные задачи. В сб. "Дифференциальные уравнения в частных производных". М., 1970, с. 81.

3. Люстерник Л.А. Об автомодельных решениях некоторых уравнений с частными производными. Вестник МГУ, мат. мех, 1974, № 9, с Л 9.

4. Гринберг Г.А. О решении обобщенной задачи Стефана опромерзании жидкости, а также родственная ее задача теории теплопроводности, диффузии и др. М., Тф, 1967, т.37, в 9.1598.

5. Гринберг Г.А., Чекмарева О.М. О движении поверхности раздела фаз в задачах Стефановского типа. Ж., Тф., 1970, т.60., в.10,2025.

6. Чекмарева О.М. Некоторые интегральные уравнения нового типа для задач с фазовыми переходами. Ж., ТФ., 1971, г 61, в. 6,1115.

7. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. В сб. "Проблемы теплообмена. М., 1067.

8. Чарный И.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел. Изв. АН СССР, 1948, № 2, с. 187-202.

9. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М. ГИИТЛ, 1953, с. 266

10. Boleu В.A. Upper and Lower Bounds for Solution of a melting problem.- Qnart. Appel. Math., Vol. XXI, no. 1.1963.

11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.

12. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. 1963.112

13. Brillouin M. Sur guelgues problèmes nonresoloues de la physigue mathematigue classigue. Propagation di la fusion. Ann die J'Jast.H.

14. Будак Б.М., Васильев Ф. П., Успенский A.B. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана. В сб. раб. ВЦ. МГУ. «Численные методы в газовой динамике», т.4, Издательство МГУ 1963.

15. Микиладзе Ш. Е. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными. Изд. АН. СССР, 1936.

16. Панов Д. Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. Гостехиздат, 1950.

17. Рябенький В.С, Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Гостехиздат, 1956.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем, физматгиз, 1962.

19. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.физматгиз, 1961.

20. Березин И.С., Житков H.H. Методы вычислений. Физматгиз, 1960.

21. Саульев В.И. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. Физматгиз, 1960.

22. Юшков П.П. Приближенное решение задач нестационарной теплопроводности методом конечных разностей. Тр. ин-та энерг. АН БССР, 1958.

23. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. И.Л.1960.

24. Bonacina С. and Comini G. Namerical solution of phasechange Problem. Int.J. Heut Mass Transfer, 1973, v 16, pp. 1825-1832.

25. Соловьев И.А., Смирнов M.C. О естественной регуляризации обратной задачи Стефана, Минск. Изд. АН БССР, 1980, т. 9, с. 100-102.

26. Бургшраф О. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и ее приложениях. Теплопередача. 1962, т. 84, №2, с. 94-106.113

27. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана. АН СССР, 1966, №5, с. 1054-1056.

28. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжу-юб-лина. Задача Коши и краевая задача для уравнения типа неустановившейся фильтрации. Изв. АН СССР, т. 22, №-5, с. 668-704.

29. Любов Б.Я. Математическая теория кристаллизации в больших объемах. М. "Наука", 1975, с. 256.

30. Каменомостская C.JI. О задаче Стефана. Мат.сб., 1961, т.53/95/, №4 с.488-514.

31. Олейник О.А; Об уравнениях эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Успехи мат. наук, 1959, т. 14, №5, с. 164-166.

32. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана. ДАН СССР, 1960, т. 135, №5, с. 1054-1057.

33. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. Наука, 1967, с.736.

34. Huber A. Hauptaufsätze über das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einen liniaren Leiter. ZAMM, Bd. 19. H.z.s. 1-21, 1939.

35. Данилюк И.И. О задаче Стефана. УМИ, 1985, т.40, вып.5, с. 133185.

36. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Издательство "Звайгзис", 1967, с.457.

37. Кирпичев М.В. Теория подобия. Издательство АН СССР, 1953.

38. Михеев М.А. Основы теплопередачи. Госэнергоиздат.1956.

39. Кирпичев М.В., Михеев М.А. Моделирование тепловых устройств. Издательство АН СССР, 1956.

40. Гухман A.A. Введение в теорию подобия. Издательство "Высшая школа", 1963.

41. Гухман A.A. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло и массообмена. Изд. "Высшая школа" 1967.114

42. Эйгенсон JI.C. Моделирование. Изд. "Сов-я наука", 1952.

43. Конаков П.К. Теория подобия и ее применение в теплотехнике. Госэнергоиздат, 1959.

44. Дьяконов Г.К. Вопросы теории подобия в области физико -химических процессов. Изд-во АН СССР, 1956.

45. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. Изд-во "Наука". 1967.

46. Кафаров В.В. Основы массопередачи. Изд-во "Высшая школа",1962.

47. Зегжда А.Н. Теория подобия и методика расчета гидротехнических моделей. Госстройиздат, 1938.

48. Теплопередача и тепловое моделирование. Изд-во АН СССР, 1959.

49. Кутателадзе С.С., Ляховский Д.Н., Пермяков В.А. Моделирование теплоэнергетического оборудования. Изд-во "Энергия", 1966.

50. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. Изд-во "Энергия", 1967.

51. Лыков A.B. Теория теплопроводности. Изд-во "Высшая школа",1967.

52. Веников В.А., Иванов-Смоленский A.B. Физическое моделирование электрических систем. Госэнергоиздат, 1956.

53. Веников В. А. Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. Изд-во "Высшая школа", 1966.

54. Электродинамическое моделирование энергетических система, под ред. акад. М.Н. Костенко. Изд-во АН СССР, 1959.

55. Кирко И.М. Исследование электромагнитных явлений в механике методом размерности и подобия. Изд-во АН Латв, ССР, 1959.

56. Арсенъев Ю.Д. Теория подобия в инженерных экономических расчетах. Изд-во "Высшая школа", 1967.115

57. Лоссиевскии В.П. Применение теории подобия и динамических аналогий к задачам моделирования и процессов регулирования. Госэнергоиздат, 1951.

58. Лосевский В.П. автоматика и телемеханика. №3, 1953.

59. Конратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1954.

60. Lame G. et Clapeiron B.P. Memoire sur la solidification par refroidissement dun glob solid. Ann chem et de Phys. T. XLXII, 1831, 250-256.

61. Гурса Э. Курс математического анализа, т. 3, М-Л., ГТТИ., 1933,с.245.

62. Friedman A., Kinderlehrer D. On one phase Stefan problem. Indiana Univ. Math. J. 1975. V.24NII, p.1005-1035.

63. Duvaut G. Resolution dun problème de Stefan: C.h. Acad. Sc. Paris, 1973, 276, p.1461-1463.

64. Duvaut G. Solution of two phases Stefan problems by variational inequality. In. Proc. of the Suny. on Mgving Boundari Problems. Ox-ford, 1974, Mare, P.25-27.

65. Friedman A. Free boundary problems for parabolic equations. I. Melting of Solids. J.Math, and Mech. 1959, 8, p.499-518.

66. Evans G.W. A Note an the Existence of a Solution to a Problem of Stefan. Quert. Appl. Moleh., Vol IX, No. 2.1951.

67. Goffarelli L.A. The regularity of Free Boundaries in Higher Dimensions. Acte Math., 1977, 139: 3-4. p.155-184.

68. Kinderlehrer D. Nirenberg L. The smoothness of the Free Boundaries in the one Phase Stefan problem, Commus. Pure and Appl. Malh., 1978, v.31. №3, p.267-282.

69. Tarzia D.A. Sur le problème de Stefan a due Phases. C.R.Acad. sei. Paris, 288, 1979, №20, p.941-944.

70. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in pin variabili spaziali. Le

71. Matematiche, 1973, v.38, fasc. I. 65-108.116

72. Pawlow J.A. Variational ieguality approach to generalized two phase Stefan problem in several brace variable. Ann. Math. Pwra. Appl., 1982, 131,4, 333-373.

73. Фельхенгауэр Ч. Об одной однородной нестационарной задаче Стефана. Докл. АН УССР, сер.А, 1981, №1, с.30-39.

74. Мейрманов A.M. О классической разрешимости многомерной задачи Стефана. АН СССР, 1979, т.240, №6, с.1309-1312.

75. Мейрманов A.M. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Матем.сбор.1980, т. 112 /154/, №2, /6/.С.180-192.

76. Мейрманов A.M. О решении двумерной двухфазной задачи Стефана, близких к одномерным. динамика сплошной среды., 1987, вып. 50, с. 138-149.

77. Hanzawa E.J. Classical Solutions af the Stefan Problem. Tohoku Math. Journ., 1981, v. 33, 297-335.

78. Бородин M.A. Теорема существования: решения однофазной квазиста-ционарной задачи Стефана. Док. АН УССР, сер. А, 1976, №7., с.582-585.

79. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса. Изд-во "Наука думка"., К. 1969.

80. Donglas J.Gallic Т.М. On the numerical integration a moving Goundary condition, Dukl. Math. J., 1955, №4.

81. Васильев Ф.П. .Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана. Журнал выч.матем. и матем.физ., 1963, т.З, №5.

82. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Егорова А.Т. Разностные методы решения не которых краевых задач типа Стефана. Числ. мет. в газ-й динамике. Сб.раб. ВЦ МГУ, вып. 4, изд. МГУ, 1965.

83. Будак Б. М., Васильев Ф.П., Егоров А.Т. Об одном варианте не явной разностной схемы с ловлей фазового фронта в узел сетки для решения117задачи типа Стефана. "Вычислительная математика и прогр-е", Сб.раб. ВЦ МГУ, Изд. МГУ, 1967.

84. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Доклад АН, 1966, №4.

85. Успенский А.В. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых одномерных задач типа Стефана. Док. Ан, 1967, т. 172.

86. Ehrlich L.W. A numerical method of solving a heat flow problem witch moving boundary. J.fssoc. Сотр. Math., 1958, vol.5, №2.

87. Evans G.W. A note on the existense of appl. Math. 1951, vol. 9, №2.

88. Волков C.A. Численное решение двухфазной задачи Стефана. «Выч. методы и прогр.» Сб.раб. ВЦ МГУ, Изд-во МГУ, 1967.

89. French F. On an expeisit nuthod for the solution of a Stefan problem. J. Of the society for industrial and applied mathematies, 1959, vol.7, №2.

90. Никитенко H.H. Приближенный метод расчета температурного поля в системе с нелинейными граничными условиями. Изд. вузов «Энергетика», №3, 1966.

91. Albasiny E.L. The solution of nonlimar heat-conduction problem on the ACE. Proc. Just. Ellectr. 1956? Vol 104, №1.

92. Будак Б.М., Соловьев E.H., Успенский A.K. Разностный метод со сглаживанием для решения задач. Стефана. Жур. выч. матем. и матем. физики, 1965, т.5, №5.

93. Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механике. ГНТИ, 1931, Собр.тр, т.З, изд. АН СССР, 1955, с. 445-439.

94. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния. Изд. АН СССР., Сер. геогр. и геофизика, 1939, №6.

95. Иванцов Г.И., Поляков Б.Т. Режим охлаждения плоского слитка при непрерывной разливке. Труды 4 совещания по теории литейных процессов; «Кристаллизация металлов», 1960.

96. Lotkin М. The Calculation of Heat Flow in Melting Solids, Quart. Appl. Math., vol XVIII, No, I. 1960.118

97. Самойлович Ю.А. Расчет затвердевания слитков. " Металлургическая теплотехника", Сб. науч. трудов №12, Свердловск, 1965.

98. Мартынов Г.А. О распространении тепла в двухфазной среде при заданном законе движения границы фаз. ж.Тф., т.25, Вып. 10, 1955, с. 17541767.

99. Мартынов Г.А. О решении обратной задачи Стефана для полупространства при линейном законе движения границы. Док. АН СССР, т. 109, №2, 1956.

100. Колесников А.Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта. ДАН, нов.сер. 1952, т.82, №6.

101. Рыжиков A.A. Теоретические основы литейного производства.1954.

102. Вейник А.И. Исследование процесса охлаждения отливки. Сб. трудов Белор. политех, института "Проблемы теплообмена при литье", К.1965.

103. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость Изд. "Наукова думка" К.1965.

104. Боли Б., Уэйнер Д. Теория термоупругих напряжений. Мир. М.,1966.

105. Никитенко Н.И. К исследованию теплопереноса при изменении агрегатного состояния в системе тел. И.Ф.Ж.,1965, т.8. №1.

106. Никитенко Н.И. Численное решение задач теплопереноса в системе тел. с подвижными границами и в потоке вязкой жидкости. Тепло-и массоперенос, Т.8, Изд-во "Наука и техника", М., 1968.

107. Никитенко Н.И. К исследованию теплопереноса при изменении агрегатного состояния в системе тел. И.Ф.Ж., 1965, т.8 №1.

108. Никитенко Н.И. О задаче Стефана. В книге "Теплоотдача при изменении агрегатного состояния". Изд. "Науково думка", К. 1966.119

109. Никитенко Н.И, Разностный метод решения задачи о продвижении фронта кристаллизации. В кн. "Исследование нестац. тепло -и массообмена", Минск 1966.

110. Никитенко Н.И. Численное интегрирование уравнения распространения тепла при переменных физических характеристиках. ИФЖ, 1965, т.9, №4.

111. Connon J.R. Primicerio М/А/ Stefon problem in vobving the appearance of phase. SJAM J. Mayh. Anal., 1973, 4, №1, 141.

112. HillC.D., Kotlov D.B. Classiche sohitions in the large of a two phase freí boundary problem., ДгсЬ. Ration. Mech. and Anal., 1972, m.45, №1, 63.

113. Золоторев П.П. К теории процесса замерзания толщи растворов. Прик. матем. тех. физ., 1966, №3.

114. Золотарев П.П., Рошаль А.А. Точные решения некоторых задач промерзания толщи раствора. И.Ф.Ж., 1973. т.24, №5, с.921.

115. Хуснутдинова Н.В. О поведении решений задач Стефана при неограниченном возрастании времени. В сб. "Динамика сплошной среды". Новосибирск, 1969, в. г. 168.

116. Меломед В.Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, сер. геофизика, 1958, №7, с.848.

117. Меломед Б.Г. Решение задачи типа Стефана для: одной квазилинейной параболической системы. Ж. М. и МФ, 1969. т.9, №6, с. 1327.

118. Фрязинов И.Б. О задаче Стефана для неоднородных сред. Жур.ВМ и МФ, 1961, т. 1, №5, с.927.

119. Gevred М. Sur les equation aux deriveis nartelles «du type paraboliqiul. J. Math. Mercs et anpl», 1913, 9, №1 4, 305.

120. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.2, т.4, М., 1958.

121. Рубинштейн Л.И. О решении задачи Стефана. Изв., АН СССР, сер. география и геофизика, №1, 1947.120

122. Рубинштейн Л.И Об определении границы раздела фаз в одномерной задаче Стефана. -ДАН СССР, т. 58, №2, 1947.

123. Рубинштейн Л.И. Об устойчивости границы раздела фаз в двухфазной теплопроводящей среде. Изв. АН СССР, сер. Географ, и геофизика., т. 12, №6, 1948.

124. Рубинштейн Л.И. О начальной скорости продвижения фронта кристаллизации в одномерной задаче Стефана. -ДАН СССР., т.62, №6, 1948.

125. Рубинштейн Л.И. О распространении тепла в двухфазной среде при наличии цилиндрической симметрии. -ДАН СССР, т.29, №6, 1951.

126. Рубинштейн,Л.И. О распространении тепла в многослойной среде с изменяющимся фазовым состоянием. -ДАН СССР, т.79, 1951.

127. Харин С.Н Тепловые процессы в электрических контактах и связанные с ними сингулярные интегральные уравнения. Автореферат канд. дис., А-Ата, 1968.

128. Портнов И.Г. Точное решение задачи о промерзании с произвольным изменением температуры на неподвижной границе. ДАН СССР, 1962, т.З, №3, 559.

129. Boley В.A., Jagoda Н.Р. The three dimensional Startingsolution for a maltingslab. «Poroseidings of the Royal sosety of Zondon», 1971, №15526 A.323.

130. Макаров A.M. и др. Задача о промерзании жидкости натекающей на плоскую стенку. И.Ф.Ж., 1971, т.21, №3, 637.

131. Цыбин A.M. К решению задачи Стефана. Ж.Т.Ф., 1974, т.64, в.11,244.

132. Рубинштейн Л.И. К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана. Изв. высшей шк. "Математика", №4, 1958.

133. Рубинштейн Л.И. Об одном варианте задачи Стефана. -ДАН СССР, т. 142, №3, 1962.

134. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М. 1971.

135. Тихонов А.Н., Невидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка. Ж.Т.Ф., 1947, т.17, в.2, 161.121

136. Рубинштейн Д.И. Об одном случав фильтрации двух малосжимаемых жидкостей через деформируемую пористую среду. Изв. высш. шк., "Математика", 1959, №18, с. 174-179.

137. Хакимов Х.Р. Искусственное замораживание грунта для строительных целей.

138. Шафеев М.Н. Исследование нестационарных процессов затвердевания дисперсных материалов методом теории подобия. Сб. науч. трудов Куй. АИ, 1975, Вып. 1, с.44-63.

139. Шафеев М.Н. Решение одной общей задачи теплообмена в четырехслойной облает^ при наличии свободных границ. Сб. науч. тр. Куй. АИ, 1975, Вьп.1, с.44-63.

140. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. Москва, 1963.

141. Неймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва, Наука. 1969.

142. Шафеев М.Н. Решение одной общей задачи теплообмена в четырехслойной области ври наличии свободных границ» Сб. науч.тр в Куйбышев, 1975, В1, с. 44-263.

143. Шафеев М.Н. Решение одной задачи теплообмена и влагообмена. ИФЖ, т.29, №5, Минск, 1975.

144. Шафеев М.Н. Решение одной плоской задачи Стефана методом ВГГП. ИФЖ, т.34, №4, 1978.

145. Шафеев М.Н. О сходимости метода изотермических поверхностей. Уфа, 1986.

146. Вадин Ю.В. Инженерные методы расчета процессов тепдопереноса. Красноярск, 1974.

147. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. Энергоатомиздат, 1984.

148. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Изд. "Наука", Ленинград, 1977.122

149. Новиков И.И., Боришанский В.М. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче. Москва, Атомиздат,1979.

150. Арсении В.Я. Методы математической физики и специальные функции. Москва, "Наука", 1984.

151. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. Москва. Высшая школа, 1985.

152. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Изд. "Высшая школа", Москва, 1970.

153. Соловьев П.В. Функция Грина уравнения теплопроводности. ДАН СССР, т 23, №2, 1939. ,

154. Stefan J. Über einige Problems der Theorie der Wärmeuitung. -Sitzber, Wien. Akad. Mat. naturw., Bd, 98, 1 la 1889, 616-634.

155. Беляев H.M., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. Москва, "Высшая школа", 1982.

156. Stefan J. Über die Theorie der Eisbildung, ins besonders über Eisbildung im Polarmelre.- Sitzber, Wien. Akad. Mat. naturw., Bd, 98, IIa 1889, 965-983.

157. Stefan J. Über die Verdampfung und die Auflosung als Vorgänge der Diffusion.- Sitzber, Wien. Akad. Mat. naturw., Bd, 98, IIa 1889, 1918-1442.

158. Tadjbakch I. and Leiniger W. Free Baundary Problems with Regions of Growth und Decay. An Analysis of Heat Transfer in the Dip Solving Process. -Quart. J. Mech. and Appl. Math., vol. XVII, pt. 2, 1964, 141-153.

159. Акимов И.А. Решение одной многослойной задачи переноса тепла с подвижными границами.// 4-я Уральская региональная науч.-тех. конф. -Уфа: Изд-во Уфимского авиационного ин-та, 1989. С. 198.

160. Акимов И. А., Зайнуллин Р.Г. Решение одной сопряженной задачи теплообмена методом интегральных преобразований.// Уфимск. авиационный ин-т. Уфа, 1991. - 5 с. - Деп. в ВИНИТИ, - №1308 -В91, -1991.123

161. Акимов И.А., Зайнуллин Р.Г., Шафеев М.Н. Решение одной двухслойной задачи теплообмена со свободными границами.// Уфимск. авиационный ин-т. Уфа, 1991. - 7с. - Деп. в ВИНИТИ, - №1309-В91, - 1991.

162. Шафеев М.Н, Акимов И.А. Применение теории подобия к исследованию нестационарных процессов замораживания дисперсных материалов.// Уфимск. авиационный ин-т. Уфа, 1991. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ, - №485 - В91. - 1991.

163. Зайнуллин Р.Г., Акимов И.А. Решение одной сопряженной задачи. // Тез. докл. науч.-тех. конф. молод, уч-ых, Уфа: Уфимск. авиационный ин-т.-Уфа, 1987, - С.140. ,

164. Акимов И.А., Зайнуллин Р.Г., Шафеев М.Н. Решение одной задачи переноса тепла при наличии движущихся границ.// Уфимск. авиационный ин-т. Уфа, 1991. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ, №1307 -В91. - 1991.

165. Акимов И.А., Тюков Н.И., Акимов А.И. Об одном аналитическом подходе к решению задач теплообмена в многослойных конструкциях при изменении агрегатного состояния тела. // Тез. докл. науч.-тех. конф. молод, уч-ых. Салават, 1987. - С.42.

166. Акимов И.А., Тюков Н.И., Акимов А.И. Система измерения температур в многослойных конструкциях из композиционного материала методом сканирования. // Тез. докл. науч.-тех. конф. молод, уч-ых. Салават, 1987.-С.44.124

167. Акимов И.А., Тюков Н.И., Акимов А.И. Решение одной многослойной задачи теплообмена с изменяющимся агрегатным состоянием. // Проблемы прикладной теплофизики: Межвуз. сб. научн. трудов. -Стерлитамак: Изд-во Стерлитамакского пед. ин-та, 1999. С. 58-68.