Исследование напряженного состояния слоистых пластин и оболочек при уточненных соотношениях для прослойки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г 5 КОНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 9 СЕН 138'? На правах рукописи

ГУРЬЯНОВ Николай Георгиевич

УДК 539. 3

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ УТОЧНЕННЫХ СООТНОШЕНИЯХ ДЛЯ ПРОСЛОЙКИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1994

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Толкачев В.М. доктор физико-математических наук, профессор Ольшанский В. П. член-кор. АН Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор Паймушин В.Н.

Ведущая организация - Саратовский государственный технический

университет.

Защита состоится " 1994 года в (_{час.

на заседании специализированного совета Д.053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном универси -тете (аудитория физ.2)

по адресу:420008 г.Казань, ул.Ленина, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук, с.н.с.

/А. И. Голованов/

-3-

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Достоинства слоистых материалов начали проявляться с 30-х годов нашего столетия в связи с бурным развитием авиастроения. С тех пор интерес к ним постоянно растет как среди конструкторов, так и специалистов по расчету создаваемых изделий. В настоящее время в авиации, космической технике, химической промышленности и многих других отраслях народного хозяйства трудно встретить изделия, в которых в той или иной мере не использовались бы слоистые материалы. Среди ведущих научных школ в области механики твердого тела трудно найти такую, которая не уделяла бы внимания расчету слоистых пластин и оболочек, причем запросы практики требуют создания более точных моделей этих конструкций, а также более тонких методов их исследований с целью повышения надежности изделий при наименьшей их материалоемкости и весе.

Можно выделить два направления исследования слоистых конструкций, когда: 1) уделяется больше внимания работе более жестких несущих слоев с принятием упрощающих кинематических гипотез для пакета в целом или каждого слоя в отдельности; 2) детально анализируется работа мягких слоев Спрослоек) при тех или иных упрощаю -цих предположениях относительно несущих слоев.

Первые публикации по расчету слоистых конструкций относятся к зачалу 50-х годоз и принадлежат Э. И. Григолюку. В них предложена гипотеза ломаной линии,лежащая в основе громадного количества ис-;ледований,а с учетом последующих ее модификаций вплоть до насто-тщего времени. Затем появились работы А.Я.Александрова, С. А. Амба->цумяна, В.В. Болотина, И. И. Воровича, К. Э.Галимова, Л. М. Куршина,

X. М. Муштари, А. П. Прусакова, А. В.Саченкова, П. П.Чулкова, в которых сформировалось современное состояние проблемы во всем ее многообразии.

Основополагающая работа по расчету клеевых соединений, опубликованная в 1944 году., принадлежит Голланду и Рейсснеру. В ней было предложено считать клей работающим только на сдвиг и обжатие, причем обе эти компоненты напряженного состояния слоистой балку не менялись по толщине клеевой прослойки. Затем появились иссле -дования А.Л.Рабиновича, В.М.Толкачева, Ю.П.Артюхина, С.С.Крестовского и других,в которых эта гипотеза уточнялась, переносилась н< двумерные задачи.

С внедрением в расчетную практику численных методов, позволивших принимать более точные гипотезы для слоев, а также детальным л

исследованием "кромочных эффектов" эти два направления снова объединились.

Последние полтора-два десятилетия кроме вышеупомянутых иссле ■ дователей в этой области активно работают В.В.Васильев, Я.И.Гри горенко, Г.М.Куликов, А.Н.Москаленко, Ю. Н. Новичков,Э. И. Носатенко В.Н.Паймушин, В.В.Парцевский, Б.Л.Пелех, В.В.Пикуль, И.Г.Терегу лов, В.Е. Чапига и многие другие авторы.

Значительно число публикаций по этой тематике в странах даль него зарубежья, как правило, они базируются на гипотезах С.П.Ти мошенко и Э.Рейсснера как для.несущих слоев, так и для прослоек.

Широта географии и значительное количество известнейших имен занимающихся по сей день проблемами расчета слоистых конструкций подтверждает актуальность тематики.

Научная новизна. Настоящее исследование относится к расчет

клеевых соединений с принятием уточненных соотношений для прослойки. В силу того, что разрушение конструкции часто происходит в более мягких слоях и вблизи внешней границы, основное внимание уделялось исследованию влияния краевых Скромочных) эффектов в клеевом слое.

В целях более точного выполнения' граничных условий пришлось отказаться от широко используемой гипотезы о том, что клеевой слой работает только на сдвиг и обжатие. Вместо этого во внутренних точках области, занимаемой клеем, принимается гипотеза о постоянстве напряжений а^, а^ по толщине прослойки, что позволяет сохранить все компоненты напряженно-деформированного состояния СНДС) слоя как трехмерного тела.

Вязко-упругие свойства клея учитывались принятием соотношений, связывающих напряжения с деформациями в виде интегральных уравнений Вольтерра с ядрами Ржаницына-Колтунова. В частных задачах считалось ввиду независимости внешних нагрузок от времени и малой толщины клеевого слоя, что можно ограничиться исследованием релаксации напряжений в клее.

Проведена асимптотическая и численная оценка погрешности предложенной приближенной теории,а также сравнение конечных результатов с аналогичными, полученными точным или асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной теории. Установлена область при -менимости результатов в зависимости от вида нагружения конструк -ции, граничных условий, а также от принятой модели для несущих слоев.

Практическая ценность полученных результатов заключается в получении сравнительно простых аналитических зависимостей для ком -

-Й--

понент НДС конструкции, выработке рекомендаций для наиболее экономичного ее расчета, в возможности использования решений в качестве тестовых при расчете более сложных конструкций численным! методами.

Поскольку решения краевых задач строились, как правило, I одинарных или двойных рядах, предполагается,что "скорость их сходимости "может быть увеличена с помощью выделения и суммирование медленно сходящейся части ряда в духе работ В.М.Толкачева и В.П. Ольшанского.

Работа выполнена в соответствии с координационным планом научно- исследовательских работ вузов в области механики оболочек н< 1986-1990 гг. по проблеме 2. 7 "Разработка общей теории и методоз расчета оболочек, пластин и стержневых.систем".

Некоторые результаты исследований предполагается использоват] в виде спецкурсов для студентов Казанского университета.

Достоверность полученных результатов определяется следующим факторами. Область применимости предлагаемой теории, погрешность к которой приводит принятая модель поведения слоистой конструк ■ ции, установлены с помощью сравнения результатов с полученным] точными решениями трехмерных задач,а также асимптотической оценк: решения по методике,предложенной Л. А. Агаловяном и примененной на ми к слоистым конструкциям.

В рамках принятой модели получены точные решения краевых зада в одинарных или двойных рядах, сходимость которых строго доказан

Апробация работы. Основные результаты доложены на следующи всесоюзных и республиканских конференциях. На УШ С1973), IX С1975), KY С1990) Всесоюзных конференциях по теории оболоче

-7л пластин; Всес. сишозиуме "Ползучесть конструкций" (Днепропетровск, 1982D , I Всес. конф. "Механ. неоднор. структур" (Львов,1983), [II Всес.конфер. "Смешанные задачи механики деформ. тел" (Харьков, 1985), III Всес. конф."Прочн. .жестк. и технол. изделий из композ. латер." (Запорожье,1989), IY Всес.Четаевской конф. (Казань,1992), 1вух республиканских конференциях в Наб. Челнах (1982 и 1987).

В целом работа обсуждалась в Казанском государственном универ-:итете, на семинаре академика Ю. Г. Коноплева; в Казанском инженер-ю-строительном институте, на семинаре академика И. Г. Терегулова.-

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 28 статьях автора и тезисах его докладов.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений. Основной текст распо-южен на 314 страницах. Список литературы содержит 339 наименова-шй.

-8-

Содержание работы

Во введении дан исторический обзор и анализ существующих подходов к определению НДС слоистой конструкции посредством понижения размерности задачи. Их два. Наиболее распространенный - введение кинематических гипотез для каждого слоя оболочки Спластины) или для всего пакета в целом. Другой прием- представление решения уравнений трехмерной теории в виде рядов по координате вдоль нормали к поверхности приведения, либо метод малого параметра, в качестве которого чаще всего выбирается относительная толщина прослойки.

В настоящей работе используется смешанный метод. Для несущих слоев принимается либо теория типа Тимошенко, либо классическая теория Кирхгофа-Лява. Уравнения трехмерной теории для прослойки решаются методом разложения искомых функций в ряды по степеням у. Отличие от ранее известных подходов в следующем. Во-первых, вместо широко распространенной гипотезы о том,что клей работает только на сдвиг и обжатие,вводится гипотеза о постоянстве напряжений поперечного сдвига а^ и а^, по толщине клеевого слоя. Это позволяет сохранить все компоненты НДС клеевого слоя и тем самым пол -нее выполнить краевые условия на внешней границе прослойки. Во-вторых, в рамках принятой модели построено точное решение краевых задач в виде одинарных или двойных рядов с доказательством их сходимости. Преимущество данного метода более всего проявляется в области краевого эффекта- вблизи граничной поверхности прослойки. Во внутренних точках области, занимаемой клеем, достаточно хорошс работают традиционные теории.

Далее во введении сформулировано, что выносится на защиту:

-91. Уточненная теория расчета клеевых соединений, позволяющая достаточно хорошо описать НДС клея как во внутренних точках области, так и в погранслое.

2. Точное решение в рядах уравнений трехмерной теории для сплош -ного цилиндра при несимметричной его деформации с произвольно заданными условиями на торцах и при некоторых частного вида граничных условиях на боковой поверхности со строгим математическим доказательством сходимости рядов.

3. Точное решение в двойных рядах задачи о деформации замкнутой трехслойной сферической оболочки с доказательством их сходимости.

4. Решение методом асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории для цилиндра, анализ результатов.

5. Оценка погрешности предлагаемой приближенной теории, а также известных ранее теорий, их область применимости.

6. Интегральные представления перемещений пологой оболочки Тимошенко, позволяющие свести расчет конструкций со сложным . внешним контуром к системе интегро-дифференциальных уравнений.

7. Вывод разрешающих уравнений задачи несимметричного изгиба по -логой оболочки двоякой кривизны в теории Тимошенко с введением функции усилий при наличии всех составляющих главного вектора внешней нагрузки и при ограничении А р- 0, справедливом,в частности, для оболочек вращения.

8. Математическая аналогия между решениями уравнений изгиба пологой сферической оболочки и пластины в теориях Тимошенко и классической.

9. Новые варианты фундаментальных решений для пологих сферической и цилиндрической оболочек Тимошенко.

10.Аналитические решения задач изгиба слоистых пластин и пологих и непологих оболочек в уточненной постановке с анализом НДС клеевого слоя в зоне краевых эффектов посредством численной реализа -ции решений.

Первая глава носит вспомогательный характер, хотя в ней имеются оригинальные результаты. В первом параграфе с помощью обобщенного вариационного принципа, в котором допускаются к варьированию перемещения и напряжения на границах контакта несущих слоев и прослойки, сформулирована постановка краевой задачи расчета НДС конструкции. То есть получены уравнения равновесия в усилиях и моментах и граничные условия для несущих слоев в теории Тимошенко, уравнения равновесия трехмерной теории в напряжениях и вариационное уравнение, из которого вытекают граничные условия для прослойки. И, конечно, условия стыковки слоев, обеспечивающие непрерывность перемещений и напряжений на границах слоев. При этом использовалась методика, описанная в работах В.Н.Паймушина,с той разницей,"что сохранялись все компоненты НДС прослойки.

В следующем параграфе с позиций теории Тимошенко и с использованием теоремы взаимности Бетти построены интегральные представ -ления перемещений, позволяющие свести задачу изгиба оболочки или пластины к системе интегро-дифференциальных уравнений, то есть решать задачи со сложным внешним контуром. Эти результаты являются обобщением известных построений В.П.Шевченко применительно к теории Кирхгофа-Лява.

В § 1.3 построены разрешающие уравнения теории Тимошенко для пологой оболочки относительно прогиба и функции усилий: 7гС§к- *кЭ- мк =0; <7г" 1/[С1-икЗрк]> Пк= 0;

74Ffc- Ek ^ 7zwk+ 7ZPC1;1)+ Cl+i^) ECBX^^+CAY^^/CAB^ 0.

+ C1" Ъ C1" he V PCk«*/ +

+ h,. [CBX*) a+CAY*)(/3]/C2ABD= 0. CI)

здесь w - прогиб к - го несущего слоя, §к .flj,- потенциальная и вихревая составляющие функции поперечного сдвига, fj - параметр, характеризующий деформацию поперечного сдвига, рСк^к^Скд/ВдаВ Xfc+ CB(a/A)jAB Yfcd|3]da - Ck//A)JAB Ykd|3, C2) рС1;1) получается из предыдущей формулы, если положить ка= 1, остальные обозначения совпадают с широко используемыми в монографии В.З.Власова. Новым результатом здесь является введение функции усилий Fk для пологой оболочки двоякой кривизны при несимметричной ее деформации и наличии всех составляющих вектора внешней нагрузки:

+В,Л.а/САгЮ" С1/ЮХ[АВ V^a/A)JAB Vtflda. V CFk,a/A),a/A "a/A)XAB V CW B^^MAB).

Единственное ограничение - A 0, то есть производная по (3 коэффициента первой квадратичной формы, определяющего длину элемента вдоль меридиана, равна нулю, что справедливо, в частности, цля оболочек вращения.

В последнем параграфе главы построены фундаментальные решения и функции Грина для прямоугольной и круглой пластин, пологого зферического сегмента с позиций теории Тимошенко и Кирхгофа-Лява. Предложена математическая аналогия, позволяющая элементарным пе -ресчетом получать решение уравнений изгиба пологой оболочки в те-эрии Тимошенко, имея аналогичное классическое решение. Суть ее в гом, что разрешающие уравнения теории Тимошенко, представленные в ■сомплексной форме, лишь коэффициентами отличаются от аналогичных

уравнений классической теории Кирхгофа-Лява. На частных примерах показана возможность использования интегральных представлений перемещений для построения функций Грина при близких краевых условиях к решенным ранее задачам.

В последующих пяти главах для различных пластин и оболочек строится приближенная теория определения их НДС.

В качестве исходных уравнений берутся уравнения равновесия в перемещенияхСиногда относительно деформаций) для несущих слоев:

Т<к>Си ) + Т<к>0 1 + Т(к1Си 1 = Т<к>СХ п п )• 'Л-1 + Чг хз 1\>сгаг'аг •

I(к1 Си ) + 1<к> Су ) + ) = Г(к} СУ а )•

Ьг. '"V гг гз ^к"1 2 4 к' /Зу' у '

Ь(к) Си ) + Ь<к' Су. ) + Ь(к 1 Си.) = Ь<к>С2. ,тСЗ)

31 к зг к зз к 34 к' у

здесь - линейные дифференциальные операторы, смысл которых раскрывается в каждой главе.

Уравнения равновесия трехмерной теории в напряжениях

здесь дифференциальные операторы линейной теории упругости в декартовой, цилиндрической или сферической системе координат.

Условия стыковки слоев, обеспечивающие непрерывность перемещений при переходе от одного слоя к другому:

и[а,/3, С-1)к+11/И = икСо1,р)Л> + С-1)кт)),С}/0(к+ р^З/2; у[а,0,С-1)к+1]/Е = УкСа,(3)/К + С-1)кг)кС Ск=1;2)

у/[а,/3,С-1)к+1]/К = *кСа,/3)/1? + С-1)кт?к/г; С5)

причем Гак= - \.«/А; Грк= ~ \>(/в> Рак'^/Зк" ФУНКЦИИ Деформаций поперечного сдвига несущих слоев, и,у,и - перемещения точек прослойки.

Кроме того, имеем традиционные соотношения, связывающие уси -

лия и моменты с перемещениями несущих слоев и соотношения закона Гука для клеевого слоя, в которых вместо модулей упругости, сдвига берутся временные операторы линейной теории вязкоупругости типа интегральных уравнений Вольтерра с ядрами Ржаницына-Колтунова. В частных задачах исследуется только релаксация напряжений в клее при известной диаграмме зависимости модуля упругости от времени.

А также известные граничные условия теории Тимошенко и уравнение

1

<£ / + аа)з бУ + а ] ёа ду = О, С6)

Ь -I

после интегрирования которого по у получаем краевые условия для прослойки.

Метод решения единый для всех глав. Компоненты НДС клеевого слоя представляются в виде рядов по координате у вдоль нормали к поверхности приведения и подставляются в уравнения С4), что поз -воляет выразить коэффициенты при всех степенях у через шесть функций ё0> ,ё1} ,с/0> ,т<0> . причем

в = о-а+ ар+ ау , т= в ССВ ог^З^ + СА Ору) р]/САВ),

«-«"Ва^-СЛсг^/СДЮ. С7)

V ССВ У) а - СА и)(/3]/С2АВ), а вышеупомянутые функции являются нулевым или первым приближениями разложений по у выражений С7) и а . Здесь - относительные толщины к-го несущего слоя и прослойки; А и В - коэффициенты 1-й квадратичной формы поверхности.

Получив таким образом решение для клеевого слоя, определяем из С5) выражения для перемещений несущих слоев с требуемой погрешностью. Исключая с их помощью из уравнений (3), получаем

систему шести уравнений относительно разрешающих функций. Такой прием решения краевой задачи показался нам предпочтительнее тра -диционного, суть которого в решении систем уравнений (3) и С4) и затем определении констант интегрирования из краевых условий и со-ношений С5), так как этот последний приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений. Нам удается свести задачу к конечному числу уравнений, так как при нахождении констант, входящих в выражения для В<0' , в'1 ' , сг'0> , т<0' 1 ,£<0' ,не участвует общее решение однородной системы, соответствующей СЗ) и, следовательно, нет необходимости перераскладывать одни функции в ряды по другим функциям, что приводит обычно к бесконечным системам уравнений.

В первом параграфе второй главы строится точное решение задачи теории упругости при неосесимметричной деформации сплошного кругового цилиндра. На лицевых его плоскостях удается выполнить любые статические или кинематические краевые условия, а на боковой поверхности выполняются условия частного вида, например,усредненные по высоте цилиндра С толщине клеевого слоя). Это решение можно с успехом использовать при оценке области применимости приближенных решений. Результат получен в виде комбинации одинарных рядов типа Фурье и двойных - рядов Фурье вместе с рядами по бесселевым функциям типа Фурье-Бесселя или Дини.

Известно, что интегрирование уравнений теории упругости'-в цилиндрической системе координат- с помощью рядов по тригонометрическим и бесселевым функциям не представляет труда, однако, до сиу пор не удавалось точно выполнить граничные условия на торцах цилиндра. Это было связано с невозможностью представления заданны* на торцах функций ^ау^пу^у или Си,у,х) рядами по бесселевьга

функциям одновременно, что не давало возможности решить несимметричную задачу. Нам удалось преодолеть эту трудность следующим образом. Пусть

craJ/[a;/3;C-l)lc+1]= q^Cct;/?); ог^Сex;/3;С-lDk+l ]= q^Ca;/?);

оу Ca;(3;C-Dk+,l= q^Ca-,/3); Ck=l;2) C8D

здесь q^.q^.q^-заданные на верхнем Ck=l) и нижнем Ck=2) торцах функции. Подметив, что оу пропорционально функции Бесселя Jm(z), craY+ aßy зависит только от Jm+^Cz), а а^- а^ пропорционально Jm_jCz), мы предлагаем разлагать в ряды Дини не функции q^, q^, а их сумму и разность, и в ряды Фурье-Бесселя функции q^. Это дает возможность ввести единый для всех разложений параметр, представляющий собой множество корней бесселевой функции Jm(z), что полностью решает проблему интегрирования уравнений теории упругости в цилиндрических координатах, выполнив попутно некоторые условия на боковой поверхности.

Если представить искомые напряжения оу, а^ в виде рядов Фурье по costmCß-/?')], а а^ - по синусам того же аргумента, то коэффициенты этих рядов примут вид:

°Упг4Ст+1К V y(V «m" S « 0ш+

' n=i

+ c3ran ch c4mn sh V JBCp);

ffaynr ~ тСл1+1)£ Ur °m+ *Г *m3+ *m]" *m V ^

* C1/8) l < 2Ç 6mn+ [CClmn+ C3mn+ W sh ? +CC2mn+ C4mn+

n = l

+ C8mn) ch Ç]CJm+1Cp)- J^CpDH 2 k^ Jm+1Cp)>; C9)

V= mCm+D£ Ur V [yCV *m]" % am"1 +

+ (1/8) $ < 2Ç 8m+ [CClmn+ C3mn+ C7mn) sh Ç +CC2mn+ C4mn+

n=t

+ С8тп3 сЬ -1В+1СР3+ 2

и аналогичные выражения для ш=0. Здесь р= ста; £ = е

бтп= С1шсЬ С2шп2ь бш=бтп,?' п-ый корень функции

V23' ктп= СССЗшп" С7т3 СС6шп~ С8тп3 ^ ^ С103

остальные величины являются константами интегрирования и определяются из граничных условий С8) на торцах цилиндра и на его боковой поверхности.

В конце параграфа, используя признак Абеля, удается строго доказать сходимость двойных и одинарных рядов, если заданные функции разложимы в ряды Фурье по координате /3 и в ряды Дини или Фурье-Бесселя по а.

Второй параграф посвящен асимптотическому интегрированию тех же, что и в предыдущем параграфе, уравнений. Это дает возможность получить решение для более широкого класса граничных условий на боковой поверхности цилиндра при любых условиях на его торцах.

Методика получения асимптотического решения для внутренней задачи и погранслоя детально изложена и апробирована в работах Л.А. Агаловяна, решавшего задачу для полосы. Нам удалось обобщить его результаты на случай цилиндрической системы координат, решив задачу для кругового цилиндра. В рассматриваемом параграфе полу -чено решение внутренних задач СА) и СВ) в терминологии А.Л. Голь -денвейзера. В следующем параграфе для этих же задач решается за -дача для погранслоя.

В § 2.4 излагается приближенное решение задачи для слоистой плиты по вышеизложенной схеме.Для определения коэффициентов рядов Фурье по координате (3 имеем систему шести уравнений относительно искомых функций, основные из которых приведены ниже:

ш

СИ)

и-йф»'- Су®- Г4)г;»Ч1Х0,-П4и;

здесь т^ получается, если в операторе Лапласа в полярной системе координат вместо второй производной по /3 поставить коэффициент-т? Значения коэффициентов системы приведены в диссертации.

Нетрудно заметить, что частное решение неоднородной системы выражается в виде рядов по бесселевым функциям Общее ре-

шение однородной системы получается просто для одинаковых несущих слоев,когда корни характеристических уравнений записываются в об-ш,ем виде. Если слои различные, эти корни могут ' быть определены только численно.

Относительно оставшихся функций у*01 и х<0' имеем пару уравне -ний, решение которых в виде рядов по БШтС/З-/?')] приводится в диссертации.

В § 2.5 рассматривается решение задачи для слоистой плиты с ортотропными несущими слоями. Отличие - в уравнениях для несущих слоев, которые удалось решить только для случая осесимметричной деформации плиты с кирхгофовскими слоями.

В последнем параграфе приводятся числовые результаты. Делает -ся анализ полученных результатов путем сравнения точных и приближенных решений, устанавливается область применимости приближенных решений. Изучается влияние релаксации напряжений в клеевом слое.

Вначале проведено сравнение напряжений оу и а^ в клеевом слое, полученных в результате точного решения уравнений трехмерной теории и их асимптотического интегрирования. Нагруженный равномерно

распределенной по своей плоскости поперечной силой верхний несущий слой свободно оперт по внешнему контуру. Жестко защемленный нижний несущий слой свободен от внешних воздействий.

Сравнение решения внутренней задачи, полученного асимптотическим методом, с точным решением показывает, что с погрешностью с® по сравнению с единицей Сс -отношение толщины прослойки к диаметру плиты) графики распределения напряжений аи а^ накладываются один на другой в области 02 а < 1- 2я. В зоне погранслоя шириной 2я точное и асимптотическое решения начинают расходиться, причем это расхождение для оу^^ в некоторых точках прослойки при некоторых значениях параметров задачи может доходить до 20%. Разница в максимальных значениях а^ на порядок меньше.

Привлечение решения для погранслоя.в окрестности границы а=1 с удержанием 4-5 членов ряда сводит эту разницу для напряжения оу до 5% и еще меньше для а^ и аа.

Таким образом, решение внутренней задачи для оу, а^ и аа, полученное асимптотическим методом, при рассматриваемом виде нагру-жения практически совпадает с точным в области 0 < а £ 1- 2е. Если к решению внутренней задачи добавить решение для погранслоя, то совпадение с точным решением наблюдается и в окрестности граничного контура, то есть в зоне краевого эффекта.

Остальные компоненты НДС как несущих слоев,так и прослойки хорошо описываются во всей области решением внутренней задачи.

В работе проведено исследование влияния второго и третьего членов разложения

сг Са;г)= сг(0>Са)- у т<0,Са)+ f т(1 >Са)/2+«"

Отношение т<0' Са)/огуСа;}') в области 02 а < 0,9 порядка 0,2,

тогда как вблизи границы оно может доходить до единицы. Уточнения, вносимые третьим членом, имеют порядок меньший, чем с2.

Принимая во внимание третье уравнение равновесия для прослойки и учитывая асимптотику для а, можно сделать вывод, что во внутренних точках области с погрешностью с2 по сравнению с единицей работает теория,в основе которой лежит гипотеза о постоянстве напряжений ау и по толщине прослойки.

Анализ графиков,дающих распределение напряжений а^ и оу вдоль радиуса плиты, показывает, что в области 0 < а £ 0,8 при достаточно большом диапазоне изменения параметров задачи - отношения модулей несущих слоев и прослойки, относительных толщин слоев - отношение оу/Р находится в пределах 0,4*0,6 в зависимости от а и у. Здесь Р -главный вектор равномерно распределенной поперечной нагрузки. В области 0,8< а< 1 оу может менять знак, а его величина доходить до Р.

Иной характер поведения а^. Оно равно нулю в центре плиты,затем растет, достигая максимума в области 0,8< а< 0,9,и опять убывает до нуля на краю. Интересно,что максимальное значение а■ может быть в 5^6 раз больше Р.

Таким образом,Стд^^д^ при равномерно распределенной внешней нагрузке значительно больше Но это не означает, что разрушение прослойки произойдет от сдвиговых напряжений, так как клей значительно лучше сопротивляется сдвигу, чем растяжению. Ясно одно, что при расчете слоистой конструкции необходимо контролировать вблизи границы оба напряжения.

Совершенно другое распределение напряжений в случае, когда на один из несущих слоев действует сосредоточенная сила. Если сила Р

приложена в центре шарнирно опертого верхнего несущего слоя, а нижний слой жестко защемлен и свободен от внешних воздействий, то максимальное значение напряжения оу в прослойке реализуется под нагрузкой, затем оно резко падает практически до нуля при а = Н. где Н - толщина пакета. Напряжение а■ под силой равно нулю,затем возрастает до максимума при а= Нлпосле чего медленно убывает до нуля на границе. При этом оу^^ на порядок больше Влияния

краевого эфекта при этом нагружении не ощущается.

Характер релаксации напряжений за счет вязкоупругих свойств клея таков: в течение 3,5 суток после приложения нагрузки происходит перераспределение напряжений при снижении максимальных Н2. ТА, затем процесс стабилизируется во времени.

Если верхний несущий слой свободно оперт, то при тех же краевых условиях для нижнего слоя характер распределения напряжений не отличается от случая шарнирного закрепления, практически совпадает сггшх, а сгаутх уменьшается на два порядка.

При локальных нагрузках, удаленных от границы, следовательно, хорошо работают прикладные теории. Это объясняется,на наш взгляд, демпфирующим свойством прослойки,не дающим распространиться внешнему воздействию до границы.

Однако при действии сосредоточенной силы вблизи границы а'=0,9 не все прикладные теории работают хорошо. Если теория, в которой напряжения а^ и о^ считаются-постоянными по толщине, с добавлением решения для погранслоя дает погрешность в определении напряжения а■ в пределах &Л, а для остальных напряжений еще меньше, то гипотеза о том, что клеевой слой работает только на сдвиг и обжатие даже с учетом краевого эффекта дает расхождение по адо 12%

на верхней границе слоев и до 3% на нижней, а по адо 16% и 7% соответственно. Мы это объясняем тем,что предлагаемая нами теория позволяет точнее выполнить краевые условия.

Третья глава посвящена исследовании изгиба слоистой прямоугольной плиты. В первом параграфе дается постановка задачи, во втором конспективно приводятся результаты, полученные Л. А. Агаловяном для полосы,и дается их обобщение на слоистую конструкцию. Рассмотрены внутренние задачи и погранслой.

В § 3.3 строится приближенная теория изгиба слоистой прямоугольной плиты, причем для несущих слоев используется теория Тимошенко, для клеевого слоя принимаются уравнения трехмерной теории с представлением решения в виде степенного ряда по у и с удержанием числа членов,обеспечивающих погрешность порядка с2 по сравнению с единицей. Разрешающие уравнения относительно шести искомых функций по виду напоминают уравнения СИ). Получено решение этой системы в виде комбинации одинарных и двойных рядов, дано строгое доказательство их сходимости. В следующем параграфе результаты обобщаются на случай ортотропных несущих слоев.

В § 3.5 приведены числовые результаты, некоторые выводы,следующие из анализа этих результатов, рекомендации.

Рассматривалась прямоугольная слоистая плита,состоящая из двух несущих слоев и прослойки между ними. Два противоположных края этой плиты считались свободно опертыми, что по аналогии с монолитной пластиной позволяет аналитически интегрировать разрешающие уравнения задачи. Рассмотрены всевозможные способы закрепления двух других краев несущих слоев и несколько вариантов внешних нагрузок.

Отмечается, что при поперечных нагрузках результаты сравнения точного решения уравнений трехмерной теории с полученным асимптотическим методом аналогичны полученным во второй главе, если не рассматривать угловых точек плиты. Так в области 0 < а;р < 0,75 хорошо работает как решение внутренней задачи, полученной асимптотическим методом,так и приближенные теории: базирующаяся на гипотезе о постоянстве напряжений а^ и ст^ по толщине прослойки или считающая,что прослойка работает только на сдвиг и обжатие. В областях, прилегающих к внешним границам, разница между точным и асимптотическим решениями не выше 5%, но при учете решений типа краевого эффекта. При тех же условиях нормально работает предлагаемая в диссертации теория, в которой напряжения cr^ и а^ постоянны по толщине прослойки. Другая, прикладная теория работает значительно хуже. Все это справедливо на некотором удалении от угловых точек плиты. В работе показано, что даже удержание в решении для погранслоя более 10 членов не дает эффекта. В непосредственной близости от угловой точки решение начинает сильно осциллировать. Приходится делать вывод, что двумерная теория даже вместе с решением для погранслоя не может описать особенность в угловой точке.

В этом же параграфе рассмотрена полоса, состоящая из трех ненесущих слоев и двух прослоек между ними, приведены формулы для максимальных значений оу в каждой из прослоек.

В конце параграфа рассмотрены внешние нагрузки, действующие в плоскости плиты. Делается вывод, что при самоуравновешенных нагрузках хорошо работают обе прикладные теории, даже гипотеза о работе клеевого слоя только на сдвиг и обжатие приводит к погрешно-

стям не donee 8%. При несамоуравновешенных внешних силах в плос -кости плиты можно использовать гипотезу о постоянстве сдвиговых напряжений по толщине прослойки, так как совместно с решением для погранслоев она дает погрешность не более 6+7% В то же время без учета краевых эффектов можно получить погрешность до 20% в определении а .

Теория,в которой клей работает на сдвиг и обжатие, приводит при несамоуравновешенных нагрузках к качественно неверным результа -там, даже перемещения определяются с погрешностью порядка 15%.

Влияние вязкоупругих свойств клея при касательных нагрузках несколько меньше, чем при поперечных силах.

В четвертой главе рассмотрена несимметричная деформация непо -логой слоистой сферической оболочки или части ее. В § 4.1 строится двояко-периодическое решение уравнений трехмерной теории в сферических координатах с использованием присоединенных функций Лежандра и аппарата рядов Фурье. Перемещения точек полой сферы, через которые выражаются все остальные компоненты НДС, приведены ниже:

* I { SclnV^3 Vn+1+ впг"+

П =0 %

+ К ^"/Cn-ID - L r"<n+2VCП+2Э+ N ) 9 ; С123

n n ni n

u(a;/3;y3=-R J vCa^I-CR/Sina) |

n=o n=o

riro О - n[n+9- 4(1+ь01 A Vn+1_ Cn+13Cn-8 + 4Cl+iQ] n „п.

где en- HI Уn+УЗ- V -2T3FD-Bn' +

+ Cn+13 К Cn-13 + n L r-<n+2>/Cn+2) -2 N ;

n" n' n

© = ? s C(m> Pm(cos a3 cos[mC/3-/3')];

П Cd ш n n

m=o

здесь P"Ccos a) - присоединенная функция Лежандра, sm равна 1 при

ш=1 и двум при ¡п>1. А ,В ,Ст) ,К ,Ь - константы, позволяющие

пппппп

выполнить краевые условия на сферических поверхностях, ограничи -вающих исследуемую область. Следует отметить, что Во=0, а при К в выражении для V/ стоит множитель 1п у, и 2 1п у в еп-В следующем параграфе решается система уравнений В. 3. Власова для непологой сферической оболочки с позиций гипотез Кирхгофа-Лява. Доказывается теорема о сходимости двойного ряда для дельта-функции Дирака бСа-а' ,/3-(3') =

= ШР' I 5 2Ш РлСС02 «"> РпСС05 а)

ПГ0Ш=0

во всех точках области, кроме особой точки (а',/3'), а также, что полученный ряд обладает фильтрующим свойством, присущим этой фу -нкции.

В § 4.3 рассмотрено НДС слоистого сферического резервуара, покоящегося на регулярной системе точечных опор и заполненного жидкостью. Приведены числовые результаты для осесимметричной деформации резервуара, укрепленного на ложементе,с реакцией, направлен -ной вдоль радиуса сферы. Дано сравнение с результатами для однослойного резервуара. Показано, что слоистый резервуар имеет под опорой, хотя и незначительно, но больший прогиб за счет заметного уменьшения напряжений в окрестности ложемента.

В пятой главе исследуется деформация пологого слоистого сферического сегмента. В § 5.1 решаются уравнения трехмерной теории путем представления решения в виде рядов по у. В следующем параграфе проводится расчет слоистого сферического сегмента с кирхго -фовскими несущими слоями в двойных рядах с использованием разло -жения внешней нагрузки в ряды Фурье по координате (3 и рядов Динк или Фурье-Бесселя по а. Доказана сходимость рядов, представлявши}

эешение задачи. Исследуется погрешность гипотезы о постоянстве напряжений поперечного сдвига по толщине прослойки. Установлено, что для одинаковых краевых усдовий к вида внешних нагрузок влияние краевого эффекта для оболочки меньше, чем для пластины.

В следующем параграфе приводится решение той же задачи в предположении, что клеевой слой работает только на сдвиг и обжатие.

В § 5.4 получены решения для погранслоев. В последнем параграфе приведены результаты числовых расчетов, проводится сравнение приближенных решений при тех или иных упрощающих гипотезах.

В последней главе рассматривается непологая слоистая цилиндрическая оболочка. В § 6.1 строится частное решение уравнений теории упругости для полого цилиндра. В следующем параграфе рас -сматривается задача для погранслоев в окрестностях граничного контура, состоящего из отрезков координатных линий. В § 6.3 решается задача несимметричного изгиба слоистого цилиндра с уравнениями Морли для несущих слоев, позволяющими в общем виде записать корни характеристического уравнения для непологой цилиндрической оболочки. В §6.4 результаты предыдущих параграфов обобщаются на случай анизотропных несущих слоев. Рассматривается несимметричная деформация цилиндра с ортотропными слоями, осесимметричная деформация конструкции с анизотропией общего вида несущих слоев.

Основные результаты и выводы 1. Построена приближенная теория расчета слоистых пластин и оболочек при следующих предположениях: для несущих слоев принимается теория Тимошенко, учитывающая поперечные сдвиги. Для линейно вязкоупругого клеевого слоя интегрируются с помощью разложения в степенные ряды по у уравнения трехмерной теории. Привлечение ре-

шений типа краевого эффекта позволяет достаточно хорошо описать НДС не только во внутренних точках прослойки, но и в окрестности внешних границ.

2. В двойных или одинарных рядах построено точное решение уравнений трехмерной теории в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат при произвольно заданных статических или кинематических условиях на ограничивающих . поверхностях. С использованием аппарата специальных функций - Бесселя и присоединенных функций Лежандра - а также теории одинарных и двойных рядов строго доказана сходимость всех рядов, представляющих решение краевых задач в области исследования НДС конструкции.

3. Методом асимптотического интегрирования построено приближенное решение для слоистых прямоугольной и круглой плит. Показано, что решение внутренней задачи при произвольных нагрузках,действующих вдоль нормали к поверхности оболочки (пластины), или самоуравновешенных внешних нагрузках в касательной ее плоскости,достаточно хорошо описывает НДС во внутренних точках прослойки. Однако в окрестности внешней границы шириной порядка общей толщины слоистой конструкции необходимо привлечение уравнений для погран-слоев.

4. Установлена математическая аналогия между решениями уравнений изгиба пологой сферической оболочки и круглой пластины Тимошенко с аналогичными решениями в классической постановке с гипотезами Кирхгофа-Лява. Она позволяет пересчетом коэффициентов классических решений получать уточненные решения тех же задач.

5. Получены разрешающие уравнения для оболочек вращения относительно прогиба и функции усилий,введенной для случая произволь-

но ориентированного главного вектора нагрузки.

6. Построены точные аналитические решения некоторых задач несимметричного изгиба пластин, пологого сферического сегмента, непологой цилиндрической и сферической слоистых оболочек.

7. Установлено, что с погрешностью г2 по сравнению с единицей предлагаемая в диссертации приближенная теория может быть с успехом использована, вместо решения внутренней задачи теории упругости при исследовании НДС несущих слоев, а также внутренних точек прослойки, а совместно с решениями типа краевого эффекта дает хорошие результаты и в приграничных областях.

8. Теория, в которой считается, что прослойка работает только на сдвиг и обжатие,хорошо описывает НДС внутренних точек области, но даже с привлечением уравнений для погранслоя приводит к значительным погрешностям в определении а^,, о^, а^, <та вблизи внешних границ. Это объясняется, на наш взгляд, тем,что она не всегда позволяет выполнить все граничные условия задачи.

9. Построенные в диссертации точные решения краевых задач удобно использовать в конструкциях с областями концентрации напряжений, то есть при локальных нагрузках и при необходимости определения напряжений в зонах краевого эффекта,но для ограниченного круга задач, когда внешние границы совпадают с участками координатных линий. Можно использовать эти решения в качестве тестовых задач при апробации численных методов.

10.Полученные в работе интегральные представления перемещений позволяют, в принципе, строить решения задач изгиба слоистых конструкций со сложным внешним контуром. Однако задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений, аналитическое

решение которых весьма затруднительно. Предпочтение в этом случае следует отдать численным методам с последующим уточнением решения с помощью решения уравнений для погранслоев.

Основные результаты работы опубликованы в статьях:

1. Артюхин Ю. П. .Гурьянов Н.Г.,Дмитриева Л.М. Реакция замкнутой сферической оболочки на движущуюся сосредоточенную нагрузку //Исслед.по теор.пл.и обол.-Казань,1975.-вып.11-С.288-291.

2. Артюхин Ю.П. .Гурьянов Н. Г..Дмитриева Л.М. Реакция цилиндрической и замкнутой сферической оболочек на движущиеся сосредоточенные нагрузки //В тр.IX Всес. конф. по теор. пл. и обол.- Ленинград: "Судостроение"- 1975.- С.154-157.

3. Галиньш А.К..Гурьянов Н.Г. Изгиб круглой пластины под действием локальной нагрузки //Теория пл.и обол. - Казань, 1971.- вып.1-С.144-151.

4. Галиньш А.К.,Гурьянов Н. Г. Действие локальных нагрузок на пологую трансверсгльно-изотропную сферическую оболочку //Теория пластин и обол.- Казань, 1971.- вып.1- С. 158-167.

5. Галиньш А.К. .Гурьянов Н.Г. О математических аналогиях в теории пологих сферических оболочек и пластин, учитывающей поперечные сдвиги //Механика полимеров.-Рига:Зинатне- 1972.-вып.2-С.338-345.

6. Галиньш А. К.,Гурьянов Н. Г. Изгиб локальной нагрузкой трансвер-сально-изотропной круглой пластины и пологого сферического сегме-ента //Сопрот. матер, и теория сооруж. -Киев-1972. -вып. 16-С.113-114.

7. Галиньш А.К..Гурьянов Н.Г. Изгиб локальной нагрузкой трансвер-сально-изотропной круглой пластины и пологой сферы // VIII Всес. конф.по теории пл.и обол. - М.-.Наука, 1973.-С.642-646.

-293. Гурьянов Н. Г. Действие локальных нагрузок на непологую сферическую оболочку //Исслед. по теории пл. и обол.-Казань,1970.-вып.6-7- С. 312-321.

3. Гурьянов Н. Г. 0 разложении дельта-функции Дирака в ряд по функциям Лежандра //Теор.пл. и обол. - Казань, 1972.-вып. 2-С. 30-33.

10. Гурьянов Н. Г. Сферический резервуар на точечных опорах //Иссл. по теор. пл. и обол. - Казань,1972. -вып. 9-С. 205-211.

11. Гурьянов Н. Г. Круглая пластина, подверженная действию теплового удара //Исслед. по теор. пл. и обол. -Казань,1978. -вып.13-С. 160166.

12 Гурьянов Н. Г. 0 сходимости решений некоторых динамических задач для замкнутой сферической оболочки //Исслед. по теор.пл.и об. -Казань,1981. -вып. 16-С. 205-208.

13. Гурьянов Н. Г. Определение контактных напряжений в склеенных пластинах //Тр. Всес. симпоз."Ползучесть конструкций"-Днепропетр., 1982. -С. 151.

14 Гурьянов Н. Г. Определение контактных напряжений » склеенных круглых пластинах //Тр. Республ.н.-техн. конф. "Механика сплошной среды'-Казань,1982. -С.104.

15. Гурьянов Н.Г. 0 напряженно-деформированном состоянии многослойной пластины //Тр. 1 Всес. конф."Мех. неодн.структур"-Львов,1983 - С. 69-70.

16. Гурьянов Н. Г. Контактные напряжения в склеенных прямоугольных пластинах //Исслед. по теор. пл. и обол.-Казань,1984.-вып. 17,ч. 2-

С. 79-92.

17. Гурьянов Н.Г. Определение напряжений в клеевом слое двухслойной пластины //Исслед. по теор.пл.и обол.-Казань,1985.-вып.19-

С.46-57.

-3018. Гурьянов Н.Г. Определение контактных напряжений в прямоугольной двухслойной пластине //В тр.III Всес.конф."Сыеш. задачи механ. деформ.тела"- Харьков,1985. - С. 92.

19. Гурьянов Н. Г. 06 изгибе пологой оболочки, состоящей из двух слоев, склеенных между собой //Исслед.по теор.пл.и обол.-Казань, 1990.-вып.20-С.140-150.

20. Гурьянов Н. Г. Уточненные соотношения для клеевой прослойки слоистой пологой оболочки //Исслед.по теор.пл.и обол.-Казань, 1990.-вып.22-С.69-75.

21. Гурьянов Н.Г. Изгиб слоистых пластин и пологих оболочек //В тр. XV Всес. конф.по теор. пл. и обол. - Казань,1990.-С. 631-636.

22. Гурьянов Н.Г. Асимптотический анализ напряженно-деформированного состояния многослойной круглой пластины // Исслед.по теории пл.и обол.-Казань,1991.-вып. 23. С. 34-44.

23. Гурьянов Н.Г. Несимметричный изгиб слоистых пластин и пологих оболочек //В тр. VI Четаевской конф."Аналит. механ. .устойч. и управ, движен."- Казань,1992.- С. 116-117.

24. Гурьянов Н.Г. Об одном варианте решения задачи теории упругости для цилиндра //Изв.вузов "Математика"- 1992.-вып. 11-С. 12-16.

25. Гурьянов Н.Г. .Гурьянова Г. Б. Определение напряженно-деформированного состояния пологой слоистой оболочки //В тр. II Респ.кон. "Механ.машиностр. "Наб. Челны. - Казань,1987. -С. 21.

26. Гурьянов Н. Г. .Гурьянова Г.-Б. ,Широпатин В. Э. Деформация многослойной пластины при локальном ее нагружении //Исслед.по теор.пл. и обол. -Казань,1989.-вып. 21-С. 7-14.

27. Гурьянов Н. Г.,Гурьянова Г. Б. Деформация многослойной пластины при локальном нагружении //В тр.III Всес.конф. "Прочн. , жесткость,

гхнол.изделий из композ. матер. "-Запорожье, 1989.- С. 77-78. 3. Гурьянов Н.Г..Гурьянова Г.Б. Интегральные представления пере-мдений в задачах изгиба пластин и пологих оболочек //Исслед. по юр.пл. и обол.-Казань,1990. -вып. 20-С. 3-9.

Сдано в набор 23.08.94 г. Подписано в печать 26.08.94 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л.2. Тираж ТОО. Заказ 336.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5