Исследование некоторых трехслойных полудискретных схем на основе полиномов Чебышева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ I. Определение и основные свойства

§ 2. Оценки для полиномов

§ 3. Оценки для полиномов Un Ui-i(sc^)

§ 4. Трехточечное рекуррентное соотношение и связанные с ним полиномы.

ГЛАВА П. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ

§ 5. Некоторые сведения из функционального анализа

§ 6. Явные трехслойные операторно-разностные и итерационные схемы

§ 7. Априорные оценки для трехслойных схем в конечномерном гильбертовом пространстве

ГЛАВА Ш. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛУДИСКРЕТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ

§ 8. Абстрактное гиперболическое уравнение

§ 9. Полное уравнение второго порядка

§ 10. Абстрактное параболическое уравнение

Известно, что различные краевые задачи для эволюционных уравнений с частными производными могут быть сведены к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с неограниченным оператором. Одним из методов решения этих задач является метод полудискретизации (так называют метод, основанный на дискретизации производной по временной переменной). В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных методу полудискретизации (прямых). С обзором этих работ по состоянию на 1965 год можно ознакомиться в статье С 23]. Вопросы, связанные с приближенным решением эволюционных задач, рассматриваются в учебниках и монографиях С.К.Годунова, и В.С.Рябенького 18], О.А.Ладыженской [19], Г.И.Марчука [28], Ш.Е.Микеладзе [31], С.Г.Михлина [33], Рихтмайера и Мортона [39], В.С.Рябенького и А.Ф.Филиппова [ 44], А.А.Самарского [45], Н.Н.Яненко [ 54],а также в трудах [6, 9, 10, 13, 18, 20, 26, 49, 50, 55-59, 73, 74], которые наиболее близки по содержанию к нашей работе.

Метод полудискретизации обладает тем преимуществом, что получаемую при этом систему можно решить, например, методом конечных разностей, осуществляя последующую дискретизацию производных по пространственным переменным, или применить другие методы (в том числе аналитические), которые реализуемы на ЭВМ. Среди таких методов отметим проекционно-сеточные, вариационные и метод конечных элементов ( см. [15, 29, 33, 52]).

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости и сходимости в гильбертовом пространстве трехслойных полудискретных схем для эволюционных задач на основе полиномов Чебышева от двух переменных. Кроме того рассматривается применение этих полиномов для исследования трехслойных операторноразностных и итерационных схем.

Вопросами применения ортогональных полиномов в дискретных и непрерывных задачах занимались многие авторы (см. монографию Ф.Аткинсона [2] с обширной библиографией). В этом направлении отметим труды [ 4, 5, 25, 27, 34, 38, 64, 71].

Недавно в русском переводе вышла книга [37] о полиномах и рядах Чебышева, где наряду с другими вопросами рассматривается применение этих полиномов в дифференциальных уравнениях.

Суть данной работы заключается в том, что исследование устойчивости трехслойных разностных схем с самосопряженными, перестановочными операторными коэффициентами сводится к оценке полиномов Чебышева от двух переменных, определяемых трехчленным рекуррентным соотношением:

Ц(х,у)э1, Ц(сс,у)=х.

Как нам известно, этот факт остался незамеченным, хотя полиномы Чебышева широко применяются для ускорения сходимости итерационных процессов (см. учебники и монографии Н.С.Бахвалова [3], Г.И.Марчука и Ю.А.Кузнецова [30], А.А.Самарского и Е.С.Николаева [47] и работы [21, 61, 62, 66, 67]).

Многие работы посвящены обобщению полиномов Чебышева. Например, в [ 60, 68, 70, 72] рассматриваются полиномы Чебышева от двух и более переменных. Они связаны четырехчленным рекуррентным соотношением. В связи с этим их применение для исследования четырехслойных схем кажется более естественным, чем для трехслойных.

Отметим, что при дискретизации эволюционных задач по *Ь получаются полудискретные схемы с неограниченными операторными коэффициентами, действующими в бесконечномерном пространстве. Поэтому получение таких априорных оценок для этих схем (особенно для многослойных), которые обеспечили бы сходимость приближенного решения к точному в естественных классах, сопряжено с трудностями.

Предложенный в работе подход позволяет (например, в случае задачи Коши для абстрактного гиперболического уравнения ll' (i)+ Аи(-Ь) = J (Ъ) ) получить априорные оценки в норме Lg не только для UK и AllK/t ( 11 к - приближенное решение, AUK = UK+<1-UK , U - шаг по времени), но и для величин АУ2ик , AuK, A'/2(auk/t.) и л2ак/т)2.

Переходим к изложению содержания работы. Она состоит из трех глав и приложения.

В первой главе излагаются результаты исследования полиномов

UK(x,y).

В § I показано, что нули полинома UK (сс}асс + Ь), 8>0. являются вещественными, простыми и расположены внутри промежутка ] о(, р [ , где о(. и J3 - абсциссы точки пересечения прямой у = аос + Б с параболой у = 0, 25 ос2 . При этом, между двумя соседними нулями полинома UK лежит один и только один нуль полинома UK +1 • Доказательство этого утверждения опирается на формулу

Следующий результат заключается в том, что если G - открытая область, а 0G - ее граница, то UK (ос, у) достигает своего экстремума на Ъ G

В § 2 приводятся оценки для UK (ос,у) в разных подобластях треугольника

Среди них выделим следующие:

Л»,8

0.1) (0.2) где

Лс с - замкнутый равнобедренный треугольник, который расположен внутри Л таким образом, что основание его находится на расстоянии 80 от основания Л , а боковые стороны - на расстоянии от соответствующих боковых сторон Л;

В § 3 рассматривается аналогичный вопрос для полиномов Un Un.,, , К = 0,1 . Здесь основным результатом является оценка вида:

Un С*, у)" ) | (0.3)

В § 4 рассматривается общее трехточечное рекуррентное соотношение ик+1 = °<к (у) U-hV 9н , КМ,2,., где UL0 ^ Ц ? ~ заданные элементы некоторого линейного пространства, о(к(сс) и - скаляры и связанные с ним полиномы.

С помощью этих полиномов строится формула для представления liK через Uo , Щ и » 9а » 9 * С точки 3Рения приложений интересен частный случай этой формулы, когда обк (foe) = со и

Л су) - а: к

Ч (со,у)и,- yU^(®,у)и0+ Еик,С«,у)дь •

Отсюда непосредственно следует

Лемма ОД. Пусть дано рекуррентное соотношение

LL = Lli. -Su + Q , К = 1,2,., (0.4) н+1 « а к где L и Q - линейные коммутирующие операторы, действующие в линейном пространстве X ; U0 , UH и CJH ~ заданные элементы этого же пространства. Тогда для Vn справедлива формула uK+1=uKa,s)ursuH-,a,sH+

В данной работе формула (0.5) является основным соотношением. Именно она позволяет свести исследование устойчивости трехслойных схем к оценке полиномов UK (ос, у).

Вторая глава посвящена применению полиномов Чебышева для исследования трехслойных операторно-разностных схем, которые в некоторых случаях можно трактовать как итерационные алгоритмы.

Параграф 5 имеет вспомогательный для всего дальнейшего изложения характер. Ради удобства здесь сформулированы в виде теорем некоторые известные свойства замкнутых и самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Приводятся доказательства тех результатов, которые не встречаются в известных нам учебниках по функциональному анализу.

Пункты I и 2 § 6 посвящены исследованию схемы (0.4), когда

Q. =tf J"»u 9 Ч3>0, m = 4,2, Ь = 4,2, .9

Ц-РСК*,^), Зъ= Q С Къ, N^ ).

Здесь Р и Q - полиномы от двух переменных с вещественными коэффициентами; К^: Н Н и Н Н - симметричные, перестановочные, ограниченные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н ; U0 , U^ и - заданные элементы этого же пространства. Введем множество f Л )eSp(Kt,)« Sp ( Nx)}> где Sp ( K^) и SpCN-o) - соответственно спектры операторов Къ и Нъ ; Eq - двумерное евклидово пространство. Обозначим через с1+() расстояние между множествами Q и Г+(г)

U TJ 5 где Г+ - основание треугольника А , а Г - объединение его боковых сторон. Везде в дальнейшем || • ]| - обозначает норму в Н •

Справедлива следующая

Теорема 0.1, Пусть существуют постоянные Т^О, и Со > О такие, что G^ с: Д^ , d* ^ C0D и d~>C0ZQ для любого % из ] 0, Ъ о ] . Тогда для U к при m = 1 справедливы оценки: fj|]? (0e6)

AUk p(g *o VT.

Ujk (0'7) ь=ч где лик= UK+i- llK , Q =

Заметим, что если m = \ , G^ cr A^ 0 и d~ ^ С 0 T3 , б силу оценки (0,2) справедливо неравенство то

II u№i ||« а (Л) [0-сог)'(! u01+1| u, ID+T. S Ц J-J ].

Доказательство теоремы 0,1 опирается на формулу (0.5) и оценки. (0.2) и (0.3).

В пункте 3 § 6 для уравнения U = A ll + J , А * = А рассматривается трехслойная итерационная схема следующего вида a+0<l)ak-0<uk-1+i- (0.8)

Доказывается, что условие

Д => G= {Yoc,y)|ac=-UoC, ieSp (A) Jявляется достаточным, а при dim С Н ) < 00-и необходимым для сходимости итерационного процесса (0.8).

Аналогичный результат справедлив и для итерационной схемы

UKH=(l+Q(A)-AP(A))uK-Q(A)uK+/PCA)J, pft)>0, -beSpCA), решения уравнения A u = j при А* = А •

В § 7 с помощью полиномов Чебышева исследуются трехслойные операторно-разностные схемы, записанные в каноническом виде (см, [12, 45, 46]), а также явные схемы, имеющие вид:

2с к Jk

UK+i-2uK+ uKH AuK=fK> .

0,10)' соответственно с кососимметричными и самосопряженными операторами при условии, что выполняется критерий устойчивости Самарского, Некоторые априорные оценки, получаемые для этих схем с помощью предложенного подхода, совпадают с известными оценками, полученными энергетическим методом А.А.Самарским и А.В.Гулиным (см. [12, 45, 46]).

Приведем те оценки, которые справедливы при выполнении необходимых условий устойчивости: а) если в схеме (0.9) U || А || ^ А , то

I II« к || U0II + (КИ)IIU, b 2ъ 2 (кч- Ь) IIh«> о=1 б) если в схеме (0.10) О ^ ъ А ^ 41 , то uJ«(2K-0|u.|*tK nZ bH.Jhl, ь-i

AUk

В третьей главе исследуется устойчивость и сходимость некоторых трехслойных полудискретных схем для эволюционных задач. В § 8 рассматривается задача Коши u'W + AuOb^Ct), te[0,T], (0.II)

UC0) = 9o , u'CO) = <J> , (0.12) е вещественном гильбертовом пространстве Н . Здесь А - самосопряженный положительно определенны!! оператор; J (t) - функция со значениями в Н , Фс еТЭ(А), Ч^еТ) (А1/2).

Задаче (0.11), (0.12) ставится в соответствие следующая разностная задача

U-к-н ~ 2 UK + ULrt-i д U-K+-1 + 6U.H+ Ц-к—1

ТЗ2 + 2+<Э d"K где Ti=T/n, UQ 5 ^ заданы,

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 0.2. Пусть uD , и1 ет> (А), J 8 Н , к = -1,п-1 и б е ] - 2 ,2 [ . Тогда справедливы оценки а N с (II Uo II41 IIs I А"5 J Л >

I ^ ||«с (|| А1^uJ+II t Ш1 )>

А^ ак« II5 с (I Д5 и» 1+IIА^ И+ъ I А® + S llcfoll), 8=1,2, K-lTTvT,

II 1141 A* ^ |«c(| Auoll+ll AVa ^ Ik к . . J2 II K = V>2, с = const>о* ь=Л и

Отсюда для погрешности 2И = U (-fcK)- UK следует Теорема 0.3. Пусть ио = % , U, = , fK=J(tK), к = ТТй-1 и u(t) е С CWfi). Тогда а)" если J C-b) е С' (И) и u (t) е С3 ( Н ) , то

K+i

Л£к Ъ

А%

К+1 сб где кубический сплайн, удовлетворяющий условиям: б) если J (t) 6 С2(Н) и U

-Ь)е C3~Ywl) п С4н), то

A2 f* 11+ съ при b = i и А

U, об при L = 2 .

Здесь ССН) - множество непрерывных на [ОД] функций со значениями в Н ; С^СЮ^тм - множество функций u(-fc) из С С Н) , непрерывно дифференцируемых на [ 0,Т ] до порядка m включительно. Аналогично определяются CCW°) и

Qm(WL), 1=1,2 t где W1 и W8 гильбертовы пространства, получаемые соответственно после введения норм || и. (,,= || А^ и || в Т>(А^) и II и. ||2 = || Аи || в Т> (А).

Доказывается, что в классе более гладких начальных данных и решения для величин, фигурирующих в теореме 0.6, справедливы оценки порядка О (Ъ9)

В § 9 рассматривается задача Коши для полного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве Н и"С-Ь)+ ВиЧ-Ь)+ Au(t)=J(-b), -be [о,т], (олз)

LL(0) = cPo , U40) = CP1 . (0.14)

Здесь А и В неограниченные, самосопряженные, полооттедьно определенные операторы в Н с областями определения Т)(А) и D(B), J (-b) - функция со значениями в Н, Ф0 , Ф, , 6 Т) ( В). Задаче (0.13), (0.14) ставится в соответствие следующая разностная задача: ukh-2uk+ uhh ^ гл. ^llk-m-ll

В Г(1+0

L т> т, -J rtf- L Ъ ТЗ

0.15)

0.16) где Т> =T/n , JK = J (к,т.) , 9 , б± и - вещественные числа.

Теорема 0.4. Пусть 9 = 0 , 6^=1 , 6 = 0 , Т)(А)СТ)ГВ) и А~1 Вос= ВА сс, ос g Т) С А) . Тогда существуют постоянные 1>о>0 и Со > О такие, что при 0 <ъ ^Ъ0 для решения задачи (0.15), (0.16) справедливы оценки (0.6) и (0.7). Если Фо еТ>(А), то дик

S<CP A a

AUc Т>

L=1

0.17) где P = \ -cb9 c = cons-b>o-J t> 0

Теорема 0.5. Пусть выполняются условия теоремы 0.4 и задача (0.15), (0.16) имеет такое трижды непрерывно дифференцируемое решение U (Ь) , что и"(-Ь)еТ)(В) при любом "Ь из [0,Т] и функция В и" ("Ь) непрерывна. Предположим, кроме того, что J (-Ь) непрерывно дифференцируема. Тогда душ погрешности 2к = и ("Ьк)~ UK справедлива оценка к+1

Л?и ъ CL, К = 1, п-\

Если Т>(А) = Т>(В) , то аналогичные теоремы справедливы для задачи (0.15), (0.16) при следующих значениях параметров: (I) 0 =-0,5 , $ = б2 = 0 (2) 9 = б; = б2 = 0.

В первом случае в оценках (0.6), (0.7) и (0.17) - следует заменить на 6°*. Относительно погрешности заметим, что если

U а) £ СЧ н) п С3 сws); и1=ф0+хт,+ъгфе. <Pp=a5(f(a)-Acl>-B{S),

ТО

К+1

2н 2 CL.

Во втором случае схема (0.15) по точности алроксимаций уступает предыдущей схеме, однако константы в оценках типа (0.6),

0.7) и (0.17) не зависят от "t • К

В § 10 для параболического уравнения рассматриваются некоторые трехслойные полудискретные схемы. С помощью предложенного подхода доказывается их устойчивость и сходимость.

Приложение посвящается численной реализации следующих стационарных задач:

1. Расчет сферической оболочки по теории Векуа [75];

2. Расчет прямоугольных плит, когда на параллельных гранях задан вектор внешнего напряжения, а остальная часть границы закреплена.

Эти задачи решаются вариационно-дискретным методом, развитым в работе [4]. Получаемая при этом алгебраическая система решается рассмотренным в диссертации итерационным методом. Соответствующие программы составлены на языке ФОРТРАН и являются программными модулями (ПМ), созданного в ИПМ ТГУ" пакета прикладных программ расчета пространственных сооружений (РАПСО) (см. [35], стр. 35-40, 67-78; [36], стр. 4-35).

Пакет был принят Государственной комиссией ГКНТ СССР 13 января 1979 г., включен в ФАП ГССР в декабре 1978 г.(Гос. регистр. В 0150).

Следует отметить, что ПМ независимы и работают в широком диапазоне входных параметров. В связи с этим не представляет особого труда создание на основе этих ПМ программы расчета нестационарных задач теории упругости методом полудискретизации.

Диссертационная работа выполнена в отделе проекционных методов Института прикладной математики им. И.Н.Векуа. В нее включены соответствующие разработки, предусмотренные планом научно-исследовательских работ на 1976-1982 гг. по следующим темам:

I. Разработка и внедрение методов расчета пространственных конструкций с применением ЭВМ. Подтема: Проекционные методы расчета пространственных конструкций. Шифр 76/3.3. Выполнялась по Нархозплану ГССР на 1976-1980 гг.

2. Создать и ввести в эксплуатацию пакет прикладных программ для расчета на ЭВМ ЕС однородных и неоднородных элементов и конструкций пространственных сооружений. Гос. регистр.

0.80.14.09.20. Выполнялась в 1976-1978 гг. в соответствии с постановлением ГКНТ СМ СССР от 12.У.1976 г. № 175.

3. Проекционные методы решения задач механики сплошной среды на ЭВМ. Гос. регистр. Jfc 80077123, шифр 81/9. Выполняется с 1981 г. по пятилетнему плану ИПМ Т1У.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательских семинарах Института прикладной математики им. акад. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (1975-1984 гг.), на совещании Проблемной комиссии многостороннего научного сотрудничества академий наук социалистических стран: Научные основы механики машин, конструкций и технологических процессов (Фрунзе, май, 1982 г.), на республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (Тбилиси, ноябрь, 1983 г.).

Они опубликованы в работах [6,35, 36, 40-43].

Г1АВА I. ПОЛИНОШ ЧЕБЫШЕВА ОТ ДВУХ ЛЕРЕМЕНШХ

1. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.:Мир, 1972. - 316 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. -М.;Мир, 1968, 749 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1973. - 631 с.

4. Вашакмадзе Т.С. О применении одного численного процесса к задаче Дирихле уравнений теории оболочек.Wiss.Z.Hochsch.Arch. und Bauw.,Weimar,1972,J.19,Н 2,с.228-231,

5. Вашакмадзе Т.С. Трехточечные операторы уравнения теории оболочек. Семинар ИПМ Тбилисского гос. ун-та, Аннотации докл., 1973, т. 8, с. 23-28.

6. Вашакмадзе Т.О., Рогава Дд.Л. Об одном дискретно-аналитическом методе решения параболических уравнений. В кн.: Приближенные методы решения задач математической физики. - Тбилиси :Изд-во Тбилисского гос. ун-та, 1975, с. 51-55.

7. Геронимус Я.Л. О некоторых уравнениях в конечных разностях и соответствующих системах ортогональных многочленов. Записки математического отделения физико-математического факультета Х1У и Харьковского математического общества, 1957, т. ХХУ, с. 87-100.

8. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука, 1977, - 439 с.

9. Гордезиани Д.Г. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного уравнения гиперболического типа. Семинар ШМ Тбилисского гос. ун-та, .Аннотации докл., 1971, т. 4, с. 11-13.

10. Гордезиани Д.Г., Самарский А.А. Некоторые задачи термоупругости пластин и оболочек и метод суммарной аппроксимации.В кн.: Комплексный анализ и его приложения. М.:Наука, 1978, с. 173-186.

11. Гулин А.В. Критерии устойчивости некоторых несамосопряженных трехслойных разностных схем. Дифференц. уравнения, 1980, т. Ш, & 7, с. I205-I2I0.

12. Гулин А.В., Самарский А.А. 0 некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. Матем. сб., 1976, т. 99 (141), В 3, с. 299-330.

13. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач. ЖВМ и МФ, 1962, т. 2, В 4, с. 549-568.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Нау-ка, 1977. - 741 с.

15. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л. :Физматгиз, 1962. - 708 с.

16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.:Мир, 1972. - 740 с.

17. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. -М.-.Наука, 1971. 464 с.

18. Кузнецов Н.Н. Слабая устойчивость и асиптотика решений конечно-разностных апроксимаций дифференциальных уравнений. -Докл. АН СССР, 1971, т. 200, Ji° 5, с. 1026-1029.

19. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.:Гостехиздат, 1953. - 279 с.

20. Ладыженская О.А. 0 решении нестационарных операторных уравнений. Матем. сб., 1956, 39 (81), с. 491-524.

21. Лебедев В.И. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений и многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля. В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск:Наука, 1978, с. 89-108.

22. Лионе К.Л., Мадкенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мыр, 1971. - 371 с.

23. Лисковец О.А. Метод прямых (обзор). Дифференц. уравнения, 1965, т. I, Л» 12, с. 1662-1678.

24. Ломовцев Ф.Е., Юрчук Н.И. Задача Коши для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка. -Дифференц. уравнения, 1976, т. ХП, 1в 12, с. 2242-2250.

25. Макаров В.Л. Ортогональные многочлены и разностные схемы с точными и явными спектрами. Дисс. . докт. физ.-мат. наук.

26. Макаров В.Л., Самарский А.А. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. М., 1979. - 30 с. (Препринт) ИПМ им. М.В.Келдыша АН CCCP-JS 133).

27. Мальцев Л.Е. Применение смешанных полиномов Чебышева при решении операторных уравнений второго рода. Вестник Московского ун-та, Серия мат., мех., 1977, т. I, с. I02-II0.

28. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1977. - 455 с.

29. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.:Наука, 1981. - 414 с.

30. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. В кн.: Методы вычислительной математики. Новосибирск:Наука, 1975, с. 4-148.

31. Микеладзе Ш.Е. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными. М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1936. - 108 с.

32. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М., 1977. 504 с.

33. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.М.:Наука, 1966. 432 с.

34. Новиков В.А., Демидов Г.В. Замечание к одному методу построения схем высокой точности. В сб.: Численные методы мех. сплош. среды, т. 3, .£ 4. Новосибирск, 1972, с. 89-91.

35. Пакет прикладных программ расчета пространственных сооружений (РАПСО). Часть I. Тбилиси:Изд-ео ТГУ, 1982. - 166 с.

36. Пакет прикладных программ расчета пространственных сооружений (РАПСО). Часть П. Тбилиси:Изд-во ТГУ, 1982. - 160 с.

37. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М. .-Наука, 1983. - 384 с.

38. Растренин В.А. О применении одного разностного метода к абстрактным гиперболическим уравнениям. Дифференц. уравнения, 1973, т. IX, № 12, с. 2222-2226.

39. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.:Мир, 1972. - 418 с.

40. Рогава Дж. Л. Об исследовании устойчивости полудискретных схем с помощью ортогональных полиномов Чебышева. Сообщ. АН ГССР, 1976, т. 83, }й 3, с. 545-548.

41. Рогава Дк. Л. Об устойчивости метода полудискретизации для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка. Докл. семинара ИПМ Тбилисского гос. ун-та, 1978, 12-13, с. 41-47.

42. Рогава Дж. Л. Об одном применении полиномов Чебышева в итерационных процессах. Сообщ. АН ГССР, 1978, т. 90, № 2,с. 285-288.

43. Рогава Дж. Л. Устойчивость и сходимость некоторых трехслойных полудискретных схем для эволюционных задач. Сообщ. АН ГССР, 1984, т. 114, JS I, с. 57-60.

44. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.:Гостехиздат, 1956. 171 с.

45. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977. -656 с.

46. Самарский А.А., 1улин А.В. Устойчивость разностных схем. -ГЛ.:Наука, 1973. 415 с.

47. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:Наука, 1978. - 589 с. .

48. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962. -500 с.

49. Сердюкова С.И. Об устойчивости в С линейных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами. ЖВМ и Ш, 1966, т. 6, № 3, с. 477-486.

50. Соболевский П.Е., Чеботарева Л.М. Приближенное решение методом прямых задач Коши для абстрактного гиперболического уравнения. Известия высших учебных заведений, Серия математика, 1977, Я 5 (180), с. I03-II6.

51. Стилтьес Т. Исследования о непрерывных дробях. Харьков, 1936. 156 с.

52. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

53. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Наука, 1980. -495 с.

54. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск:Наука, 1967. - 196 с.

55. Baker G.A. Error estimates for finite element methods for second order hyperbolic.-SIAM J.Numer.Anal.,1976,13,N4,p. 564-576.

56. Baker G.A.,Dougalis V.A.,Serbin S.M.An approximation theorem for second-order evolution equations.-Numerische Mathematik, 1980,35,Ш2,p.127-142.

57. Bramble J.H.Multistep methods for quasilinear parabolic equations. -Proc. of the IICOM Second Inter. Сonf.,Austin,Texas,1979.Amsterdam е.a.1980,p.177-183.

58. Crou.zeix M, ,Raviart Pierre-Arnaud.Approximation des equations d*evolution lineaires par des methodes a pas multiples.-C.R. Acad.Sc.Paris,1976,283,N6,A 367-370,

59. Crouzeix M.Une methode multipas implicite-ey, plicite pour 1* approximation des equations d'evolution paraboliqueshumeri-sche Mathematik,1980,35,H3,p.257-276.

60. Eier R.,Lidl R.Tschebyscheff polynome in einer und zwei Variables -Abh. math. Semin.Univ .Hamburg ,1974,41,s.17-27.

61. Frank W.F.Solution of linear systems by Richardson's method.-J.Assoc.Comput.mach.,1960,vol.7,p.274-286.

62. Gentzsch W. ,Schluter A.Uber ein Einschrittverfahren mit zyk-lischer Schrittweitenanderung zur Lc5sung parabolischer Diffe-rentialgbeichungen.-Z.Angew.Hath.Mech.,Berlin,1973,Bd.53,H.7, T415-T416.

63. Goldstein J.A.,Rosencrans S.I.Energy decay and partition for dissipative weve equations.-J.of Different.Equat.,1980,36,N1,p.66-73.

64. Golub G.,Varga R.S.Ghebyshev semi-iterative methods,successive over-relaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.P.1.-Numer.Math.,1961,Bd.3,S.147-156.

65. Golub G.,Varga R.S.Chebyshev semi-iterative methods,successive over-relaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.P.2.-Numer.Math.,1961,Bd.3,S.157-168.

66. Hays R.O.Multi-dimensional extensions of the Chebyshev polinomials.-Math.С omput.,1973,27,N123,p.621-624.69 .Heinz E.Beitr'ege sur Storungstheorie der Spektralzerlegung.-Math.Ann.,1951,123,H.4,S.415-438.

67. Lidl fi.Tschebyscheff polynome in mehreren Variablen.-J.reine und angew.Math.,273,1975,s.178-198.

68. Morris A.G.,Horner T.S.Chebyshev polynomials in the numerical solution of differential equations.-Math,Сomput.,1977,31,N140, p.881-891.

69. Vekua I.N.On two ways of constructing the theory of elastic shells.-Proc.of Thirteenth Inter. Congress of Theor.and Appl. Mech.M.,1972,p.322-339.