Исследование неравновесной кристаллизации в условиях концентрационного переохлаждения при описании направленного роста кристаллов методом Бриджмена тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Васекин Борис Васильевич ^

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ КОНЦЕНТРАЦИОННОГО ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ ПРИ ОПИСАНИИ НАПРАВЛЕННОГО РОСТА КРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ БРИДЖМЕНА

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

2 I!ЮН 2011

4848284

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика №1» Московского государственного института электронной техники (технического университета)

Научный руководитель . доктор физико-математических наук,

доцент

Гончаров Виктор Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, с.н.с.

Чарахчьян Александр Агасиевич

доктор химических наук, профессор Минаев Виктор Семенович

Ведущая организация ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Защита состоится « 23 » уллДК-Я 2011 года в ОО на заседании диссертационного совета Д 212.134.03 при Московском государственном институте электронной техники (техническом университете) по адресу: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электронной техники (технического университета).

Автореферат разослан « мая 2011 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.134.03 доктор физико-математических наук, профессор ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Микроскопические неоднородности встречаются практически во всех получаемых полупроводниковых кристаллах и представляют собой неоднородности состава легирующей примеси. Появление микросегрегаций связано с колебаниями скорости роста, которая может изменяться по различным причинам: нестационарная конвекция, концентрационное переохлаждение и нестационарные условия в ростовой установке. Наличие полос роста в слитке приводит к неоднородности сопротивления и существенно снижает качество получаемых полупроводниковых приборов. К настоящему времени эффективных способов борьбы с микросегрегациями не существует.

Изучение механизмов неравновесного роста кристаллов в рамках объемного описания процесса кристаллизации представляет большой теоретический и практический интерес. В основе развитого теоретического описания роста кристалла в условиях концентрационного переохлаждения расплава лежит совместное решение тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации. Однако во всех предыдущих исследованиях две из этих трех задач были сильно упрощены. Поэтому при таком описании процесса неравновесной кристаллизации нельзя было рассчитать количественные характеристики полос роста.

Цель исследования

Целью диссертационной работы является построение количественного физико-математического описания процесса неравновесной кристаллизации и учет в рамках созданного описания действия механизмов, приводящих к слоистой неоднородности: концентрационного переохлаждения расплава и неравномерности перемещения нагревательного элемента.

Научная новизна

В настоящей работе был развит подход к описанию процесса неравновесного роста, основанный на совместном решении трех неупрощенных задач: тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации. Следует отметить, что совместное решение упомянутых задач аналитически невозможно. Это привело к необходимости применения методов вычислительной математики. Процесс неравновесной кристаллизации рассматривается в рамках задачи об объемном росте кристалла, учитывающей влияние

концентрационного переохлаждения расплава и нестационарных условий в ростовой установке. В диссертационной работе построен метод совместного численного решения тепловой и диффузионной задач, а так же задачи о кристаллизации.

Для моделирования объемного роста кристалла разработан метод решения нестационарной двухфазной задачи Стефана в конечной области. В описание включается известное ранее представление о действии механизма концентрационного переохлаждения расплава. На основе рассчитанного распределения примеси, с использованием диаграммы состояния кристаллизующейся системы, определяется зависимость равновесной температуры расплава от величины концентрации примеси. Благодаря расчету не только равновесной, но и фактической температуры в области расплава становится возможным вычислить ширину полос роста в кристалле.

При учете неравномерности перемещения нагревательного элемента была выявлена связь величины скачка температурного профиля и точности поддержания температуры на нем. Эта зависимость позволила связать период между скачками профиля с шириной аппаратурной полосы роста.

Созданное описание процесса неравновесной кристаллизации можно использовать как для случая чисто диффузионного роста кристалла, так и для роста кристалла в условиях ламинарной конвекции. Отметим, что при учете ламинарной конвекции используемая схема роста кристалла позволяет рассчитывать конвективные течения расплава у фронта и, таким образом, поперечную неоднородность распределения примеси в кристалле.

В работе проведено численное моделирование известного эксперимента как в рамках задачи равновесной, так и неравновесной кристаллизации.

Практическая ценность работы.

В диссертационной работе проводится последовательное развитие теории неравновесной кристаллизации. Возможен совместный учет факторов, приводящих к неравновесной кристаллизации: концентрационное переохлаждение расплава и нестационарные условия в ростовой установке.

Модель неравновесной кристаллизации можно использовать для оптимизации технологии выращивания полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена и прогнозирования их физических свойств.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов расчетов подтверждается применением строгих методов вычислительной математики, сходимостью результатов расчетов по сеткам и совпадением полученных результатов с экспериментальными данными.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертационной работы получены автором лично.

1. Разработано описание неравновесной кристаллизации в условиях ламинарной конвекции, а также в условиях диффузионного режима роста.

2. Разработан метод решения задачи Стефана для случая высоколегированных сплавов.

3. Осуществлена программная реализация разработанных алгоритмов.

В результате проведенных исследований получены и выносятся на защиту следующие основные научные результаты:

1. Физико-математическая модель неравновесной кристаллизации для численного решения задач о выращивании полупроводниковых кристаллов в условиях ламинарной конвекции.

2. Неявный метод решения нестационарной задачи Стефана, учитывающий зависимость температуры кристаллизации от концентрации примеси, позволяющий одновременно рассчитывать скорость роста и поле температур в области.

3. Характер зависимости ширины полос роста для диффузионного роста кристалла и роста в условиях слабой ламинарной конвекции.

4. Расчет величины относительной поперечной неоднородности распределения примеси в системе Се<БЬ> при моделировании неравновесного роста кристалла в условиях ламинарной конвекции.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на двух Национальных конференциях по рост^ кристаллов «НКРК-2008» (Москва, ИК РАН, 2008), «НКРК-2010» (Москва, ИК РАН, 2010) и трех Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Микроэлектроника и Информатика» (Москва, МИЭТ, 2008-2010).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ. Их список представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 74 наименований и приложения. Диссертация включает 84 страницы основного текста, 24 рисунка, 7 таблиц, и 21 страницу приложений. Приложения содержат листинги программ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрыта актуальность темы диссертации, проведен обзор существующих подходов к решению задач неравновесной кристаллизации. Обоснована необходимость совместного решения трех полных задач для описания процесса неравновесного роста.

В первой главе приведено физическое и математическое описание процесса неравновесной кристаллизации. Рост кристалла рассматривается в конечной двухфазной цилиндрической области с координатами г,г .

Следует отметить, что кристаллизация расплава всегда происходит скачками. В работе различаются скачки двух видов. Первый вид обусловлен наличием температурного переохлаждения расплава у фронта кристаллизации. При росте кристалла в таких условиях большая часть примеси успевает оттесниться растущим кристаллом, а величина эффективного коэффициента сегрегации при этом не сильно отличается от своего равновесного значения, к«к0. Поэтому подобный рост кристалла в диссертации считается равновесным.

Другой вид скачков (полосы роста) образуются при резком увеличении скорости роста. Эти скачки отличаются значительно большей шириной, чем при равновесном росте, их ширина составляет 100-300 мкм. При этом происходит изменение величины эффективного коэффициента сегрегации примеси, к*к0. Подобный рост кристалла в диссертации считается неравновесным.

Для описания задачи о кристаллизации при равновесном росте решается нестационарная задача Стефана. В области расплава и кристалла решаются двумерные уравнения теплопроводности

= , (1) дг Рг

3 Т 1

_ = (2)

На фронте кристаллизации ставятся условия Стефана, учитывающие концентрационную зависимость температуры кристаллизации

ТКР = Т(С), (3)

Л.£ дп

дТ_ дп

+ (4)

I

где Л5,Л£ - коэффициенты температуропроводности в кристалле и в расплаве соответственно, Т - температура, Л.Рг.Ре -числа Стефана, Прандтля и Пекле соответственно, - скорость роста кристалла.

Эти уравнения замыкаются уравнением диффузии примеси в расплаве

= ~~divgra.dC, (5)

01 Бс

которое решается совместно с граничным условием оттеснения примеси на фронте кристаллизации

=8с-Уг-(1-Л0)-С, (б)

I

где С - концентрация примеси, 5с - число Шмидта. Следует отметить, что в условии (6) к0 - равновесный коэффициент сегрегации.

Данная система уравнений учитывает зависимость температуры кристаллизации от концентрации примеси, см. (3). Также имеет место обратная связь: оттеснение примеси в область расплава зависит от скорости роста, которая определяется потоками тепла через границу, см. (4). При этом перемещение фронта кристаллизации зависит от рассчитанной скорости роста

Ф{r,t) = Ф{r,í) + vгí, (7)

Таким образом, система уравнений (1)-(7) образует описание равновесного роста, основанное на совместном решении трех неупрощенных задач: тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации.

Для решения системы (1)-(7) применятся метод расщепления по физическим процессам и по пространственным переменным. Созданный метод решения задачи Стефана учитывает концентрационную зависимость температуры кристаллизации и позволяет одновременно рассчитывать скорость роста и распределение температуры в рассматриваемой области.

В главе 1 рассмотрены две причины неравновесного роста кристалла: концентрационное переохлаждение расплава и неравномерность перемещения нагревательного элемента.

Концентрационное переохлаждение.

В процессе равновесного роста перед фронтом кристаллизации в случае /<0<1 (часто бывает Л0«1) накапливается примесь, что приводит к изменению равновесной температуры в расплаве.

температур расплава вдоль осевой координаты г на периферии области.

Может оказаться так, что в процессе роста равновесная

температура расплава окажется выше фактической - образуется

переохлажденная область, см. рис.1. Диаграмма состояния кристаллизующейся системы аппроксимируется полиномом

Т(С) и Г(0)- 306.88С - 150.42С2 + 93.56С3 - 61.95С4. (8)

Использование полинома (8) и рассчитанного из уравнения диффузии (5) поля концентрации примеси позволяет вычислить равновесную температуру расплава. Фактическая температура расплава рассчитывается при сквозном решении уравнений теплопроводности в расплаве и кристалле, а также условий Стефана (1)-(4). В результате сравнения фактической и равновесной температур вычисляется размер переохлажденной области Ь2, . При определенных условиях эта область может закристаллизоваться скачком. При этом образуется полоса роста. Кристаллизация переохлажденной области происходит при условии

\ТКР(С)-ТКИ(0)\>АТ', где Т1<Р{С) - текущая температура кристаллизации системы, ТКР{0) -температура кристаллизации чистого вещества.

На практике величина Д Г*, как правило, неизвестна.

Конкретное значение ДТ* выбиралось в ходе параметрического исследования зависимости ширины первой полосы роста от величины

ДГ*.

В работе положено, что зона переохлаждения Ь.2 кристаллизуется мгновенно и полностью. Таким образом, происходит временное изменение эффективного коэффициента оттеснения примеси, и вместо условия (6) полагается к к 1. При этом полагается, что

Ф(г,0 = Ф(г, о + дг. (9)

При скачке (9) часть примеси из диффузионного слоя поглощается кристаллом, температура кристаллизации повышается, и далее снова происходит равновесный рост кристалла с к-к0.

Неравномерность перемещения нагревательного элемента.

Движущей силой роста кристалла является изменение внешних условий роста, а именно согласованное изменение профиля температур на нагревателях. Добиться непрерывного перемещения температурного профиля на нагревателях невозможно. При моделировании роста кристалла с образованием технологических полос перемещение температурного профиля происходит скачками, через равные промежутки времени Дг. В работе положено, что скачки температуры на нагревателе определяются точностью поддержания температуры на нем &ТНАП,. Данная величина лежит в диапазоне от 0.1К (лучшие установки космического материаловедения) до 1-2К (установки обычного наземного роста). Величина скачка температурного профиля

АН определяется в модели по значению ДТНАГР и величине

температурного градиента в расплаве ТГР , а именно ДЯ = ^~НАГ?/Т .

/ ]ГР

После скачка температурного профиля на величину АН у фронта кристаллизации образуется переохлажденная область. Это приводит к образованию технологической полосы роста шириной А2 , которая кристаллизуется мгновенно и полностью. Таким образом, здесь также происходит временное изменение эффективного коэффициента оттеснения примеси, и вместо условия (6) полагается к я 1. Далее, до следующего скачка профиля, осуществляется равновесный рост кристалла с к = к0 на основе решения равновесной задачи Стефана (1)-(6). Поскольку АН = А2 + , то ширина полосы роста Д2 всегда

меньше смещения температурного профиля АН на нагревателе.

Во второй главе приведено описание процесса неравновесной кристаллизации в условиях ламинарной конвекции. Конвекция в расплаве возникает вследствие неравномерного прогрева расплава и является причиной образования продольной и поперечной неоднородности распределения примеси. Сначала сформулируем постановку задачи равновесной кристаллизации.

Рассмотрим задачу Стефана в двухфазной осесимметричной области кристалл-расплав, см. рис.2, совместно с системой уравнений Навье-Стокса для конвекции в расплаве.

В области расплава решается система нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска (10)-(13)

ди др 1

= + (10)

дТ 1

сИУ V = 0, (13)

где К(\,и) = у^гасЗи + 0.5'М -^/уу ; V;! и V2 - операторы вязких слагаемых вдоль осей г и г ; V - вектор скорости с компонентами — время, р — давление. Уравнения приведены в безразмерном виде: Яе - число Рейнольдса.

В области кристалла решается уравнение теплопроводности

(2)

= —с1м£гас1Т . д1 Ре

На фронте кристаллизации ставятся условия Стефана

4<р

■ПС),

ки дп

дТ_ дп

(3)

(4)

Для расчета распределения примеси в области расплава применяется нестационарное уравнение диффузии примеси

ас

1

- сИvgradC,

4 ' Л'Яе

а на фронте кристаллизации ставится условие оттеснения примеси дС

(14)

дп

(6)

где к0 - равновесный коэффициент сегрегации.

Ж

г

т„„+дт,

Т„„-ДТ2 Г Рис. 2. Область решения задачи.

В диссертационной работе для решения задачи Стефана применялся метод, разработанный в [1,2]. В [1] была предложена численная схема расщепления для моделирования термоконвекции на основе уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Эта схема использует удачные стороны двух основных способов расчета

конвекции (использование переменных вихрь-функция тока либо скорость-давление). Применяются естественные переменные, однако на шаге по времени вместо уравнения Пуассона с условиями Неймана решается уравнение Пуассона с условиями Дирихле для разностного аналога функции тока. Это достигается при помощи расщепления задачи по физическим процессам, а там, где это оправдано, и по пространственным переменным, а также использования так называемых разнесенных сеток. Консервативность численной схемы и неравномерные сетки позволяют получать точное решение задачи на сравнительно небольшом числе узлов.

Для решения полной задачи Стефана применялся метод, разработанный в [2]. Основная трудность решения задачи Стефана заключается в том,-что характерные скорости конвективного движения в расплаве (мм/с) и перемещения фронта кристаллизации (мм/ч) сильно различаются, что затрудняет проведение расчетов нестационарной задачи. Численный метод [2] позволил реализовать способ решения задачи, при котором одновременно вычисляются изменения теплового поля за шаг по времени и новая скорость выращивания кристалла. Такой подход позволил значительно увеличить шаг по времени по сравнению с другими способами решения задачи Стефана. Кроме того, при расчете слабой ламинарной конвекции массовые скорости расплава не так велики.

В диссертационной работе численный метод [2] был модифицирован для расчета роста кристалла из высоколегированного расплава. Для этого при решении нестационарной задачи Стефана была введена зависимость температуры кристаллизации от концентрации примеси. Это привело к изменению алгоритма сквозного расчета уравнений теплопроводности в кристалле и в расплаве.

Для описания процессов, происходящих вблизи фронта кристаллизации, необходимо подробное разрешение пограничных слоев. Для численного решения задачи использовались неравномерные сетки, что позволило поместить в области пограничного слоя несколько слоев сетки, подробно изучить влияние конвективной ячейки на диффузионный слой и рассчитать поперечную неоднородность примеси в кристалле.

Следует отметить, что в задаче с учетом конвекции фронт кристаллизации является неплоским и подвижным. В связи с этим возникает необходимость использования криволинейных координат. Осуществляется переход от ортогональных цилиндрических к

криволинейным переменным и к контравариантным компонентам скоростей, в результате чего сетка становится неподвижной, прямоугольной и равномерной. Фронт кристаллизации в новых переменных является неподвижным и плоским. В настоящей работе при решении модельной задачи используются криволинейные координаты.

Сущность описания неравновесной кристаллизации в модели с расчетом конвекции заключается в следующем. Слабая ламинарная конвекция оказывает некоторое влияние на распределение тепла в области, и весьма значительное - на распределение примеси, особенно вблизи и внутри пограничного слоя у фронта кристаллизации. При кристаллизации (решении полной равновесной задачи Стефана) оттесненная примесь накапливается в" ""расплаве у фронта кристаллизации и возрастает ее поперечная неоднородность. Далее тогда, когда это необходимо, в расчет включаются механизмы формирования полос роста, см. рис. 3. Как и в первой главе, рассмотрены две причины появления полос роста: концентрационное переохлаждение расплава и неравномерность перемещения нагревательного элемента. Учет механизмов неравновесного роста кристалла организован в первой и второй главе единообразно.

Основой построенного в работе описания процесса неравновесной кристаллизации, как для случая диффузионного роста (глава 1), так и для случая роста кристалла в условиях ламинарной конвекции (глава 2) является метод совместного решения трех неупрощенных задач: тепловой задачи, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации.

Рис. 3. Схематичное описание процесса неравновесного роста в условиях ламинарной конвекции.

В третьей главе представлены и проанализированы результаты расчетов задачи неравновесного роста кристалла из расплава. Проводились расчеты задачи о выращивании системы Се<8Ь> методом Бриджмена в условиях, близких к условиям известного эксперимента космического материаловедения [3]. Рассмотрена кристаллизация системы как в условиях роста со слабой ламинарной конвекцией, так и в диффузионных условиях роста. Были рассчитаны концентрация сурьмы в расплаве, поле температуры в двухфазной области, ширина полос роста.

При расчете ширины полос роста в условиях концентрационного переохлаждения расплава были выбраны следующие параметры: АТ* =1.4К, С® = 0.1а1% . Рассчитанная в таких условиях средняя ширина полосы роста Д2 составила 0.45мм и 0.20мм для диффузионного роста и роста в условиях ламинарной конвекции соответственно.

Было обнаружено, что ширина полосы роста меняется в процессе кристаллизации. В начале роста полосы не образуются, поскольку в это время происходит накопление примеси вблизи фронта

кристаллизации и увеличение величины |г/<? (С) - ТКР(0)| до Д7'*=1.4К.

При диффузионном режиме роста профиль равновесной температуры в расплаве определяется потоком примеси от фронта (6) и диффузией примеси в области (5). Градиент температуры в расплаве поддерживается постоянным. При этом ширина полосы роста меняется не сильно: от 0.52мм до 0.43мм, см. рис.4 кривая (1).

Конвективная ячейка оказывает заметное влияние на пограничный слой у фронта кристаллизации. Происходит изменение продольного распределения сурьмы вблизи фазовой границы, что приводит к изменению равновесной температуры расплава и увеличению ширины полосы роста от 0.08 до 0.27мм, рис.4, кривая (2).

В заключительный период роста происходит выравнивание концентрации примеси в малом объеме расплава, что в обоих случаях приводит к уменьшению ширины полосы роста.

дг.мм

от координаты положения фронта кристаллизации. (1) -диффузионный рост; (2) - рост в условиях ламинарной конвекции. Пунктирными горизонтальными линиями показаны границы диапазона экспериментальных значений.

Величина ДГ* выбиралась так, чтобы ширина первой полосы роста в условиях конвективной задачи согласовывалась с экспериментальными данными (А71* =1.4К). При этом рассчитанная величина для всего участка роста лежит в диапазоне

экспериментальных значений, см. рис.4, кривая 2. Отметим, что в этом случае ширина полосы роста оказывается меньше, чем аналогичная величина, рассчитанная в задаче о росте кристалла в диффузионном режиме, см. рис.4, кривая 1. Это объясняется тем, что конвективная ячейка вымывает часть примеси из области вблизи фронта кристаллизации, что приводит к формированию более пологого профиля распределения примеси и уменьшению зоны переохлаждения.

При расчете роста кристалла в условиях конвекции была дополнительно рассчитана величина поперечной неоднородности распределения примеси АС. Расчеты проводились в условиях эксперимента [3]. В этом эксперименте наблюдалась аномально высокая

поперечная неоднородность распределения примеси, а сам эксперимент

на протяжении 30 лет оставался предметом теоретического

исследования. Рассчитанный в условиях, близких к условиям данного

эксперимента, максимум величины АС при равновесном росте достиг

4.5 раз (рис. 5, кривая 1), с учетом дискретности перемещения

температурного профиля на нагревательном элементе - 2.5 раза (рис. 5,

кривая 2), при учете механизма концентрационного переохлаждения

расплава - 2.7 раза (рис. 5, кривая 3). Заметим, что при моделировании

неравновесного роста кристалла полученная поперечная

неоднородность распределения примеси меньше, чем при описании

равновесного роста кристалла (кривые 2 и 3 лежат ниже кривой 1). дс

Рис.5. Зависимость величины поперечной неоднородности распределения примеси Д С = (Стах-СтЫ)/СтЫ от координаты положения фронта кристаллизации: (1) - при равновесном росте, (2) -при росте с технологическими полосами, (3) - при росте с фундаментальными полосами. Пунктирными горизонтальными линиями показаны границы диапазона экспериментальных значений.

Действительно, после каждого скачка фронта кристаллизации профиль поперечного распределения примеси становится более пологим, и неоднородность примеси снижается. Следует отметить, что величина поперечной неоднородности примеси, полученная при

моделировании неравновесного роста кристалла, лучше согласуется с экспериментальными данными, чем соответствующая величина, рассчитанная в задаче с равновесным ростом кристалла.

Обнаружено, что после образования полосы роста происходит небольшое колебание скорости роста. Такие колебания можно объяснить как реакцию системы на скачкообразное изменение положение фронта кристаллизации, концентрации примеси и температуры кристаллизации (см. рис. б.)

Рис. б. Связь между колебаниями скорости роста и шириной полос роста.

В заключении приведены выводы по работе в целом и формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В приложениях приведены фрагменты кода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе:

• Создано описание процесса неравновесной кристаллизации, основанное на решении нестационарной задачи Стефана с учетом действия механизма концентрационного переохлаждения расплава, а также дискретности перемещения температурного профиля нагревательного элемента. Построенная

модель процесса неравновесной кристаллизации может применяться для расчета роста кристалла как в конвективном режиме, так и в диффузионных условиях роста.

• Разработан метод решения нестационарной задачи Стефана, учитывающий зависимость температуры кристаллизации от концентрации примеси. Метод позволил одновременно рассчитывать скорость роста кристалла и фактическую температуру в области.

• При решении модельной задачи установлено, что дискретность перемещения температурного профиля на нагревательном элементе и наличие концентрационного переохлаждения расплава приводят, в большинстве случаев, к появлению полос роста в кристалле. Вычислена ширина технологических и фундаментальных полос роста.

• Показано, что влияние слабой ламинарной конвекции на диффузионный слой может приводить к образованию существенной поперечной неоднородности распределения примеси в кристалле, а учет механизмов неравновесного роста при этом позволяет точнее рассчитать эту характеристику слитка.

• На примере германия, легированного сурьмой, исследованы механизмы переноса примесей в диффузионном слое, оттеснение и поглощение примеси кристаллом, процесс образования поперечной неоднородности распределения примеси. Расчеты находятся в количественном соответствии с результатами экспериментов.

Литература

1. Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999, т.39, №1 с.87-97.

2. Гончаров В.А. Об одном методе решения двухфазной задачи Стефана с неплоской границей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2000, т.40, №11 с.1706-1715.

3. Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости. Эксперимент "Универсальная печь" по программе "Союз" - "Аполлон" / Земсков B.C., Кубасов В.Н. и др. - М.: - Наука. - 1979. - 256с.

Основные результаты диссертационной работы представлены в следующих публикациях:

1. Васекин Б.В. // Неоднородность примеси в полупроводниковых кристаллах, выращенных в космических условиях методами направленной кристаллизации // 15-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Мэ и Инф,-2008». Зеленоград, 23-25 апреля 2008г. С. 122.

2. Васекин Б.В., Гончаров В.А. // Моделирование поперечной неоднородности примеси в кристаллах, выращенных в условиях ламинарной конвекции // XIII Национальная конференция по росту кристаллов «НКРК-2008». Москва, 17-21 ноября 2008г. С.136.

3. Васекин Б.В. II Математическое моделирование процесса образования полос роста в кристаллах, выращенных в условиях ламинарной конвекции // 16-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Мэ и Инф.-2009». Зеленоград, 24-24 апреля 2009г. С. 123.

4. Балдина H.A., Васекин Б.В., Гончаров В.А. Математическое моделирование поперечной сегрегации примеси в кристаллах, выращиваемых в условиях ламинарной конвекции / Ж. теор. основы хим. технологии, 2009. Т. 43. №4. С.371-378.

5. Балдина H.A., Васекин Б.В., Гончаров В.А Моделирование возникновения аномальной поперечной неоднородности распределения примеси в космических экспериментах по выращиванию кристаллов / Математическое моделирование, 2009. Т. 21. №10. С.67-75.

6. Гончаров В.А., Азанова И.В., Васекин Б.В. Модель неравновесной кристаллизации для численного решения задач выращивания полупроводниковых кристаллов из расплава / Изв. ВУЗов. Электроника, 2010. №5. С.5-14.

7. Азанова И.В., Васекин Б.В. // Об одной модели неравновесной кристаллизации для численного решения задач выращивания кристаллов // 17-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Мэ и Инф.-2010». Зеленоград, 28-30 апреля 2010г. С.133.

8. Гончаров В.А., Васекин Б.В., Дормидонтов А.Н. // Применение модели неравновесной кристаллизации для решения задачи о выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена // XIV Национальная конференция по росту кристаллов «НКРК-2010». Москва, 6-10 декабря 2010г. T.l. С.112.

Подписано в печать: Формат 60x84 1/16 Уч.-изд.л. ¿,0 Тираж /(СО экз. Заказ № /с/ Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д.5, МИЭТ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Физико-математическое описание неравновесной 11 кристаллизации полупроводниковых кристаллов

§1.1. Постановка задачи кристаллизации

§ 1.2. Приближение Буссинеска и обезразмеривание системы 15 уравнений

§ 1.3. Цилиндрические координаты. Разнесенная разностная сетка и 18 способ расщепления уравнений

§ 1.4. Криволинейные координаты. Итоговые разностные 22 соотношения

§ 1.5. Решение задачи о кристаллизации. Метод решения задачи 26 Стефана

§ 1.6. Неравномерность перемещения нагревательного элемента

§ 1.7. Концентрационное переохлаждение

ГЛАВА 2. Неравновесная кристаллизация в условиях ламинарной 39 конвекции

§2.1. Постановка задачи кристаллизации

§ 2.2. Криволинейные координаты, расщепление уравнений

§ 2.3. Консервативность численной схемы

§ 2.4. Особенности построения описания неравновесного роста

ГЛАВА 3. Результаты расчетов

§ 3.1. Кристаллизация системы Ое<8Ь> в условиях диффузионного 51 режима роста

§3.1.1 Условия модельной задачи

§3.1.2 Особенности решаемой задачи

§ 3.1.3 Расчет фундаментальных полос роста

§ 3.1.4. Расчет аппаратурных полос роста

§ 3.2. Описание процесса роста системы ОеБЬ в условиях ламинарной 59 конвекции

§ 3.2.1. Условия модельной задачи

§ 3.2.2. Процесс роста системы Ое<8Ь> в условиях ламинарной 63 конвекции. Расчет продольного распределения примеси, сравнение с моделью Пфанна

§ 3.2.3. Моделирование процесса неравновесной кристаллизации 67 системы Ое<8Ь>

§ 3.2.4. Исследование поперечной неоднородности распределения 68 примеси при расчете задач неравновесного и равновесного роста

§ 3.2.5. Изменение температуры кристаллизации при неравновесном 73 росте. Колебания скорости роста при появлении полос роста

Полупроводниковые монокристаллы широко применяются в современной микроэлектронной технике. Требования к качеству получаемых полупроводников постоянно возрастают [1-3], поэтому получение однородных по электрофизическим свойствам кристаллов является важной технологической задачей. Свойства полупроводникового кристалла в большой степени определяются распределением концентрации примесей (легирующих и остаточных) и дефектами структуры кристалла [4-5]. В кристаллах присутствуют макроскопические (1-1000мм) и микроскопические (0.001-1мм) неоднородности.

Появление макроскопических неоднородностей обычно связано с явлением сегрегации примеси. К настоящему времени существует несколько способов борьбы с негативным влиянием макросегрегаций. Основные способы: это увеличение скорости роста (изменение величины сегрегации) и регулирование состава питающего раствора, меняющегося из-за сегрегации.

Эффективных способов борьбы с микросегрегациями к настоящему времени не существует. Эти неоднородности обычно обнаруживаются в большей части слитка, при этом свойства кристалла меняются в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен микрометров [6]. Микроскопические неоднородности полупроводников представляют собой колебания состава легирующей примеси, которые можно увидеть после травления или фотосъемки. Из-за полосчатости, наблюдаемой на микроскопических картинах, эти неоднородности называют полосами роста. Количественные методы исследования таких кристаллов [7] показывают, что полосы роста приводят к колебаниям электрического сопротивления, что является существенной проблемой для электронных приборов. Полосы роста воспроизводят форму межфазной поверхности в момент их формирования. Появление микросегрегаций связано, как правило, с колебаниями скорости роста, которые полностью соответствуют колебаниям температуры в жидкой фазе [6]. Скорость роста кристалла может колебаться по различным 5 причинам: нестационарная конвекция, нестационарные условия в ростовой установке или концентрационное переохлаждение.

Было установлено, что частой причиной появления полос роста является изменение температуры, вызванное нестационарной конвекцией [8-9]. Причиной появления нестационарной конвекции в расплаве может быть совместное действие градиентов температуры и концентрации примеси [10].

При теоретическом изучении влияния нестационарной конвекции на рост кристалла рассматривается 2х-3х мерная конечная область [11-14]. Влияние конвективного переноса вещества [15-16] рассматривается совместно с переносом тепла и примеси. Задача о кристаллизации решается с использованием условий Стефана [17-20].

Нестационарная конвекция чаще всего наблюдается в турбулентных условиях роста. В таких условиях скорости конвективных течений велики, а ширины пограничных слоев малы. Эти факторы накладывают существенные ограничения на вычислительные алгоритмы: задачу необходимо решать с очень маленьким шагом по времени, а также использовать подробные сетки для разрешения пограничных слоев. Дополнительный учет механизмов неравновесного роста в этих условиях практически невозможен.

Строить содержательное описание процесса неравновесной кристаллизации следует начать с роста кристалла условиях ламинарной конвекции, при которых не накладываются столь сильные физические и вычислительные ограничения. В этом случае можно успешно описывать процессы формирования поперечной неоднородности распределения примеси и механизмы появления микросегрегаций. В ламинарных условиях роста становится возможным описывать процессы образования микросегрегаций, вызванные другими причинами: нестационарные условия в ростовой установке и концентрационное переохлаждение расплава.

Описание процесса неравновесной кристаллизации в рамках объемного роста должно быть основано на совместном решении ряда задач: задачи переноса тепла, задачи переноса примеси, а также задачи о кристаллизации, б т.е. задачи о скорости перемещения фазовой границы. Как будет показано в диссертационной работе, этот набор задач является необходимым для количественного описания микросегрегаций.

Изучение механизмов неравновесного роста кристаллов в рамках объемного описания процесса кристаллизации представляет большой теоретический и практический интерес. Ранее для описания процесса роста совместно решались задача диффузии примеси и задача о кристаллизации, иногда - задачи теплопроводности и диффузии примеси.

Примером описания микросегрегаций, основанным на решении диффузионной задачи совместно с задачей о кристаллизации, является модель Фавье. Рассматривается рост кристалла в рамках модели пограничного слоя [21-24]. В составленном описании Фавье не рассматривает тепловую задачу, поэтому он не может рассчитать колебания скорости, связанные с изменением температуры. Вместо этого он решает задачу роста кристалла при произвольно выбранной синусоидальной зависимости скорости роста от времени. Кроме того, созданная модель одномерна и не может учитывать поперечную неоднородность распределения примеси и конфигурацию течений в расплаве.

Одним из примеров решения задачи неравновесного роста является теория, в которой различают два принципиально отличных механизмов роста кристаллов — послойный и нормальный [19,25]. При нормальном росте скорость кристаллизации пропорциональна величине переохлаждения [26]. В послойном росте выделяют последовательный и спиральный механизмы роста. Последовательный рост, связанный с образованием зародышей на атомно-гладких поверхностях, получил название механизма Фольмера-Косселя-Странского. Спиральный рост был описан в работах [27,28], в дальнейшем он получил название механизма Бартона-Кабреры-Франка [19].

Более подробно исследовать процесс неравновесного роста пытались в рамках термодинамической теории роста кристалла. Содержательное описание роста разработали И.В. Салли и Э.С. Фолькевич [29-31]. Модель 7 позволяет рассчитывать скорость роста кристалла в зависимости от величины переохлаждения расплава и степени шероховатости поверхности. В основе описания лежат термодинамические зависимости, а именно связь пересыщения и переохлаждения. В работе [25] был сформулирован универсальный критерий степени шероховатости поверхности, определяющий механизм роста кристалла. Рассмотрение термодинамических связей только в области близкой к фронту кристаллизации делает невозможным применение разработанных представлений для описания объемного роста кристалла.

Одной из причин образования микросегрегаций является концентрационное переохлаждение расплава. Следует отметить, что теоретические описание роста кристалла в таких условиях было создано ранее [32-36]. В основе разработанных представлений лежит совместный учет тепловой, диффузионной задачи и задачи о кристаллизации. Сравниваются две температуры в области расплава. Равновесная температура ликвидуса определяется по диаграмме состояния в зависимости от концентрации примеси в расплаве. Фактическая температура зависит от заданного градиента температуры. Далее, если у фронта кристаллизации фактическая температура расплава оказывается ниже равновесной, то переохлажденная область при определенных условиях мгновенно кристаллизуется с образованием полосы роста. Несмотря на то, что в описании участвуют все необходимые задачи: тепловая, концентрационная задачи и задача о кристаллизации, две из них сильно упрощены. А именно, фактическая температура расплава, как и скорость роста, являются в описании внешними параметрами. Поэтому можно рассуждать только качественно, указывая, что наличие скачка и его ширина зависят от градиента температур и от скорости роста.

В настоящей работе был развит подход к описанию процесса роста, основанный на решении трех задач [32-36]. Было построено описание процесса неравновесной кристаллизации, которое в рамках задачи объемного 8 роста кристалла учитывает влияние нестационарных условий в ростовой установке и концентрационное переохлаждение расплава. В основе созданного описания лежит метод совместного численного решения тепловой и диффузионной задач, а также задачи о кристаллизации.

Для описания объемного роста кристалла применяется разработанный метод решения нестационарной двухфазной задачи Стефана в конечной области. В расплаве применяется численная схема [37-38], в кристалле решается уравнение теплопроводности, на фронте кристаллизации ставятся условия Стефана. Такая схема роста кристалла позволяет рассчитывать конвективные течения и изменение температуры расплава. Для включения действия механизма концентрационного переохлаждения расплава используются представления [32-36]. На основе рассчитанного распределения примеси, с использованием диаграммы состояния кристаллизующейся системы, определяется зависимость равновесной температуры расплава от величины концентрации примеси. Благодаря расчету температуры в области расплава, проводимому на основе схемы [3738], становится возможным вычислить ширину и период появления полос роста кристалла. При учете неравномерности перемещения нагревательного элемента была выявлена зависимость ширины скачка температурного профиля и точности поддержания температуры на нем. Эта зависимость позволила связать период между скачками профиля с шириной аппаратурной полосы роста.

Анализ литературных данных показал, что к настоящему времени не создано единого описания процесса неравновесного роста кристаллов. В ходе литературного обзора были рассмотрены основные причины появления полос роста, а также основные направления решения задачи о неравновесном росте. Для количественного описания микросегрегаций указана необходимость совместного решения тепловой, диффузионной задач, а также задачи о кристаллизации.

На основании вышеизложенного можно сформулировать цель настоящего исследования:

• Построить количественное физико-математическое описание процесса неравновесной кристаллизации и учесть в рамках созданного описания действие механизмов, приводящих к слоистой неоднородности: концентрационного переохлаждения расплава и неравномерности перемещения нагревательного элемента.

Для достижения цели исследования, необходимо решить следующие задачи:

• В рамках объемного описания процесса роста решить задачу о кристаллизации для сильно легированных сплавов.

• Рассчитать характер зависимости ширины полос роста от времени кристаллизации для роста в условиях ламинарной конвекции и диффузионного роста кристалла.

• Рассчитать величину относительной поперечной неоднородности распределения примеси в системе ве<8Ь> при моделировании неравновесного роста кристалла в условиях ламинарной конвекции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложено описание процесса неравновесной кристаллизации, основанное на решении нестационарной задачи Стефана с учетом действия механизма концентрационного переохлаждения расплава, а также дискретности перемещения температурного профиля нагревательного элемента. В основе созданного описания лежит совместное решение системы трех задач: теплопроводности, диффузии примеси и кристаллизации. Решена задача о выращивании полупроводникового кристалла в условиях ламинарной конвекции. Изучены механизмы переноса примеси и исследована динамика ее распределения в процессе выращивания кристалла. Показано, что влияние слабой ламинарной конвекции на диффузионный слой может приводить к образованию существенной поперечной сегрегации примеси в кристалле.

При решении модельной задачи установлено, что дискретность перемещения температурного профиля на нагревательном элементе и наличие концентрационного переохлаждения расплава приводят, в большинстве случаев, к появлению полос роста в кристалле. Вычислена ширина фундаментальных и технологических полос роста. Рассчитанная ширина полос роста в кристалле Ое<8Ь> составила 0.1-0.3мм, что соответствует диапазону экспериментальных значений. На примере германия, легированного сурьмой, исследованы механизмы переноса примесей в диффузионном слое, оттеснение и поглощение примесей кристаллом, процесс образования поперечной неоднородности их распределения. Численно показано, что величина поперечной концентрационной неоднородности может достигать 5 раз. Расчеты находятся в количественном соответствии с результатами экспериментов.

В диссертационной работе:

1. Было установлено, что дискретность перемещения температурного профиля на нагревательном элементе и наличие концентрационного переохлаждения расплава приводит, в большинстве случаев, к образованию в кристалле полос роста. Вычислена ширина фундаментальных и технологических полос роста.

2. Показано, что ламинарная конвекция может приводить к образованию существенной поперечной неоднородности распределения примеси в слитке, а учет механизмов неравновесного роста позволяет точнее рассчитать эту величину.

3. На примере системы германий-сурьма рассчитано временное изменение температуры кристаллизации, скорости роста кристалла и величины поперечной неоднородности распределения примеси.

1. Мильвидский М.Г., Мильвидский A.M. Современное состояние технологии выращивания кристаллов твердых растворов Ge-Si // Материалы электронной техники. — №4 — 2005. № 12. - С. 17-24.

2. Мильвидский М.Г., Мильвидский A.M. Современное состояние технологии полупроводникового кремния часть 1 // Материаловедение.- 2006. № 11.-С. 15-27.

3. Мильвидский М.Г., Мильвидский A.M. Современное состояние технологии полупроводникового кремния часть 2 // Материаловедение.- 2007. № 1. — С. 19-31.

4. Границы зерен и свойства металлов / Кайбышев О. А., Валиев Р. 3. М.-Металлургия -1987. 214с.

5. Лекции по физике твердого тела / Жданов Г.С., Хунджуа Ф.Г. — М: Изд-во МГУ. 1988. - 229с.

6. Выращивание Кристаллов из расплава: Пер с англ. / Мюллер Г. — М.: Мир.-1991.- 143с.

7. Mazur R.G.A Spreading Resistance Technique for Resistivity Measurements on Silicon// J.Electrochem. Soc. 1966. - Vol.113. -P.255-262.

8. Hurle D.T.J., Temperature oscillations in molten metal's and their relationship to growth striae in melt-grown crystals // Phil. Mag. — 1966. — Vol.13.-P.305-315.

9. Hurle D.T. Interface kinetics and the stability of the shape of a solid sphere growing from the melt. // J. Crystal Growth, ed. H.S. Peiser, Pergamon, Oxford. 1967. -P.659-662.

10. Эффекты плавучести в жидкости. / Тернер Дж. — М.: Мир. — 1977. — 314с.

11. П.Бирюков В.М. О реализации численного метода исследованияконвекции в газе (жидкости) / Бирюков В.М., Гончаров В.А., Марков

12. З.Марченко М.П., Сенченков A.C., Фрязинов И.В. Математическое моделирование процесса роста кристаллов из раствора-расплава методом движущегося нагревателя // Математическое моделирование.1992. Т.4, №5. - С.67-79.

13. Kalaev V.V., Lukanin D.P., Zabelin V.A., Makarov Yu.N., Virbulis J., Dornberger E., Ammon W. Calculation of bulk defects in CZ Si growth: impact of melt turbulent fluctuations // J. Crystal Growth. —2003. — Vol. 250.1. P.203-208.

14. Stefan J.P. Das Wachstum der Kristallen des Eises // Ann. Phys. Chem.

15. N.F.). 1891. - Vol.42. - P.269-277.

16. Авдеев А.Ю., Гончаров B.A. Решение задачи Стефана длянестационарного процесса роста кристаллов в условияхмикрогравитации // Изв. вузов. Электроника. — 1999. — №1-2. — С.9-15.79

17. Кристаллизация полупроводников из расплава / Прокофьева В.К., Рыгалин Б.Н. М.: МИЭТ. - 2007. - 160с.

18. Favier J. J., Wilson L.O. A test of the boundary layer model in unsteady Czochralski growth // J. Crystal Growth. 1982. - Vol.58. - P.103-110.

19. Favier J.J., Fundamentals of Crystal Growth //. Acta Met. — 1981. — Vol.29.— P.197-205.

20. Favier J.J., Macrosegregation model //J. Crystal Growth. — 1980. — Vol. 49. —P.343-358.

21. Favier J.J., Macroscopic Equilibrium and Transport Concepts// Acta Met. — 1981. — Vol.28. — P.205-209.

22. Управление формой роста кристаллов. / Салли И.В., Фалькевич Э.С. -Киев: Наукова Думка. 1989. - 158с.

23. Kossel W. D. Zur Teorie des Kristal 1 wachstums // Nachr. Yes. Wiss. Gotingen: Math.-phys. 1926. - №5. - P.135-148.

24. Влияние смещений на рост кристаллов. Новые исследования по кристаллографии и кристаллофизике. / Франк Ф. — М.: Изд-во иностр. лит. 1950.- Т.1.- 213с.

25. Рост кристаллов и равновесная структура их поверхностей // Элементарные процессы роста кристаллов. / Бартон В., Кабрера Н., Франк Ф. М.: .: Изд-во иностр. лит. - 1959. - 420с.

26. Кристаллизация сплавов / Салли И.В. Киев : Наукова Думка. - 1974. -239с.

27. Физические основы формирования структуры сплавов / Салли И.В. —

28. М.: Металлургиздат. 1963. - 220с.8031 .Производство полупроводникового кремния / Салли И.В., Фолькевич Э.С. -М.: Металлургия. 1970. - 150с.

29. Ковтун Г.П., Щербань А.П., Кондрик А.И. Влияние условий направленной кристаллизации на глубокую отчистку металлов // Вопросы атомной науки и техники. Серия: вакуум, чистые материалы,- сверхпроводники. 2007. - № 4 (16). - С. 19-23.

30. Физико-химические основы легирования полупроводников / Глазов В.М., Земсков B.C. М.: Наука. - 1967. - 372с.

31. Физико-химические основы технологии конструкционных материалов в производстве летательных аппаратов / Тазетдинов Р.Г. — М.: МАИ. — 2004. 440с.

32. Строение и свойства германиевых металлических расплавов / Ватолин Н.А., Денисов В.М., Керн Э.М. и др. М.: Наука. - 1987. - 144с.

33. Principles of Solidification / Glicksman M. E. Springer. - 2010. - 520p.

34. Гончаров B.A. Об одном методе решения задачи Стефана в двухфазной области с неплоской границей // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2000. - Т. 40. - № 11. - С. 1706-1715.

35. Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1999. -Т. 39, № 1. - С.87-98.

36. Диаграммы состояния двойных и многокомпонентных систем на основе железа. / Банных О. А., Будберг П.Б., Алисова С. П. и др. — М.: Металлургия. 1986. - 356с.

37. Двойные и многокомпонентные системы на основе меди, под ред. Шухардина C.B. М.: Наука. - 1979. - 258с.

38. Диаграммы состояния двойных металлических систем ред. Н.П. Лякишева. М.: Машиностроение. - 1997. — 1024с.

39. Головизин В.М., Краюшкин И.Е., Рязанов М.А., Самарский A.A. Двумерные полностью консервативные схемы газовой динамики с разнесенными скоростями // Препринт ИПМатем. АН СССР. 1983. -№105. — С.83-85.

40. Методы вычислительной математики / Марчук Г.И. — М.: Наука. — 1977.-456с.

41. Теория разностных схем / Самарский A.A. — М.: Наука. 1977. — 656с.

42. Багриновский К.А., Годунов С.К. Разностные методы многомерных задач // ДАН СССР. 1957. - Т.115, №3. - С.431-433.

43. Повышение точности решений разностных схем / Марчук Г.И., Шайдуров B.B. М.: Наука. - 1979. - 320с.

44. Методы расщепления / Марчук Г.И. М.: Наука. - 1988. - 264с.

45. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Ж. прикл. матем. и матем. физ. — 1965. Т.5, №5. - С.816-827.

46. Овчарова A.C. Метод решения двумерной многофронтовой задачи Стефана // Ж. прикл. механики и технич. физики. — 1995. — Т.36, №4. -С.110-119.

47. Овчарова A.C. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей // Ж. Вычислительные технологии. -1999. — №1. — С.88-99.

48. Lan C.W., Chian С.Н. The numerical method is based on an efficient finite-volume method with front tracking. J. Crystal Growth. - 1999. - Vol. 203. -P.286-289.

49. Lan C.W., Liang M.C. Multigrid methods for incompressible heat flow problems with an unknown interface // J. Сотр. Phys. — 1999. — Vol. 152. — P.55-77.

50. Lan C.W., Liang M.C. Three-dimensional simulation of vertical zone-melting crystal growth: symmetry breaking to multiple states // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 208. - P.327-340.

51. Марченко М.П., Фрязинов И.В. Комплекс программ КАРМА1 решения нестационарных задач выращивания монокристаллов в ампулах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. - Т.37, №8. - С.988-998.

52. Witt А.Т., Gatos H.S. Macroscopic rates of growth in single crystals pulled from the melt // J. Electrochem. Soc. 1968. - Vol.115. - P.70-75.

53. Fu T.W., Wilox W.R. Rate change transients in Bridgman-Stockbarger growth // J, Crystal Growth. 1981. - Vol.51. - P.557-567.

54. Fu T.W., Wilox W.R. Rate change transients in Bridgman- Stockbarger growth of MnBi-Bi eutectic // J. Crystal Growth. 1982. - Vol.57 - P.91-97.

55. Rutter J. W., Chalmers B. A prismatic substructure formed during solidification of metals // Can. J. Phys. 1953. - Vol.31. - P.15-39.

56. Bardsley W. Hurdly D.T.J. Hart L., Lang A.M. Structural and chemikal inhomogeneities in germanium single crystals growth under conditions of constitutionale supercooling // J, Crystal Growth. 1980. - Vol.49. - P.612-630.

57. Кинетика и механизм кристаллизации / Сирота Н.Н. М.: Наука. -1973.-385с.

58. Полежаев В .И., Федюшкин А.И. Гидродинамические эффекты концентрационного расслоения в замкнутых объемах // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1980. - № 3. - С.11-18.

59. Полежаев В.И. Эффект максимума температурного расслоения и его приложения // ДАН СССР. 1974. - Т.218, №4. -С.783-786.

60. Жидкие полупроводники / Глазов В.М., Чижевская С.Н., Глаголева Н.Н. М.: Наука. - 1967. - 244с.

61. Закономерности формирования структуры электронных расплавов / Регель А.Р., Глазов В.М. М.: Наука. - 1982. - 320с.

62. Введение в физику полупроводников: пер. с англ. / Уаинград У. — М.: Мир. 1967г.-170с.

63. Markov E.V., Antropov V.Yu., Biryukov V.M. et al. Space materials for microelectronics // Proceedings of the joint X th European and VI th Russian Simposium of Physical Sciences in Microgravity. St. Pet., Russia, 15-21 June 1997.-Vol. II.-P.11-20.

64. Физико-химические основы получения разлагающихся полупроводниковых соединений / Мильвидский М.Г., Пелевин О.В., Сахаров Б.А. и др. — М.: Металлургия. — 1974. — 391с.

65. Технология полупроводниковых материалов / Нашельский А.Я. М.: Металлургия. - 1987. - 336с.71 .Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости.

66. Эксперимент "Универсальная печь" по программе "Союз" — "Аполлон" / Земсков B.C., Кубасов В.Н. и др. М.: Наука. - 1979. - 256с.

67. Механика жидкости и газа / Лойцянский Л.Г.- М.: Дрофа. 2003. -840с.

68. Pfann W.G., Principles of Zone Melting // Trans. AIME. 1952. - Vol.194. — P.747-753.

69. Zone Melting (2nd ed.) / Pfann W.G.,Wiley, N.Y. -1966. - 245p.