Исследование одной контактной задачи на отрезке и полуоси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 519.63

. Кирушев Владислав Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ НА ОТРЕЗКЕ И ПОЛУОСИ

01.01.07— вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученойстсиени кандидата физпко-матсматпчоских наук

Санкг-Петгрбург 1995 г.

Работа выполнена на кафедре исследования операций : пиемнтико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Малоземов Василий Николаевич

Официальные оппоненты — доктор фтпко-^атеиатпчесыпс; наук, профессор Демьянович Юрий Казимирович, .

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Кулагин Виктор Васильевич

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный технический университет

Зашита состоится "

1595 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г. Санкт-Петербург. Петродворец, Виблпотечшиг пл.. 2. математш^о-механический факультет.

С ди< сертаянсй можно ознакомиться в научной библиотеке у:шаер. итога ии адресу: 153034. г. Санкт-Петербург, Уяивер-

лсреферат разослан "20"' КО ^¿^>9-

1995 г.

с -{екми секретарь

-пссеиглкпошюго совета, доцент Ю. А. Оишш

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1957 г. Холлидей обнаружил глубокую связь между натуральными сплайнами п многоточечными вариационными задачами. Им было установлено, что единстзен-нъш решением задачи

где а = ¿х < <2 < < — й п [а,6] — линейное пространство функций, вторая производная которых суммируема с квадратом на [а,Ь], является натуральный интерполяционный кубический сплайн, т. е. функция нз класса С2[а, Ь], сужение которой на каждый отрезок есть алгебраический полином степени

не выше трех и вторая производная которой на концах отрезка [«. М обращается в ноль.

В дальнейшем систематическое исследование разного вила • сплайнов, получающихся прп решешш некоторых зкетремалыгь: \ задач в классах гладких функций п удовлетворяющих опрелеле;.-ньш интерполяционным условиям, получило интенсивное разшг-тие. В последние два десятилетия широкое внимание привлекло г теория вариационных неравенств и численных методов их решения. В связи с вариационными неравенствами особую актуальность приобрели контактные задачи. В частности, контактные задачи активно изучаются в теории упругости.

В 1988 г. Опфер ц Оберле рассмотрели контактную задачу

/ е Ш\{а,Ь\- /(<,) = т, ¿€ 1 :л; /(.г) > 0 на М_

где а = (1 < 1-2 < ... < t„ ~ Ь; »/у > 0, ] £ 1: п. В своей раб.-;.-они указали необходимые условия оптимальности для лал.еп: (I >. Приведем их результат.

Обозначим через множество функций, удоплегпор^ч.;;:г-х ограничениям задачи (1).

Теорема. Пусть /» доставляет минимум функционалу на М.+. Тогда имеет следующие свойства:

(1) /, является натуральным кубическим сплайном на системе узлов

а =Т1 < Г2 <...< Тц = Ь, N > п,

гс?е Г; содержат исходные узлы tj и, возможно, новые узлы (называемые дополнительными узлами); дополнительные узлы являются нулями }',, в любой окрестности которых имеются положительные значения /*,. (и) Между двумя соседними узлами tj находится не более двух дополнительных узлов. В случае двух дополнительных узлов /» = О между ними.

(ш) Если г является дополнительным узлом, то

Г(т + 0)-Л"(г-0)>0. •

Промежуток \тк-\, на котором /„ = 0, называется промежутком выстилания.

В 1989 г. Даунер и Райнш свели задачу (1) к задаче проектирования -элемента гильбертова пространства на непустое замкнутое выпуклое множество. Тем самым был установлен факт существования и единственности решения задачи (1).

В своей статье Даунер и Райнш предложили также алгоритм с линейной скоростью сходимости для построения неотрицательного кубического сплайна, интерполирующего положительные значения. Поскольку исследуемая задача — нелинейная, то численный метод имеет итерационный характер. На каждом шаге решается 'глобальная' задача сплайн-интерполяшш н "локальная^. задача уточнения положения промежутков выстилания и изолированных нулей.

Идея метода состоит в следующем. По исходным узлам

/•>.....tn строится натуральный интерполяционный кубический

сплайн 5 ("глобальныйС сплайн). На каждом интервале (¿¿-ь^), на котором 5 принимает отрицательные значения, сплайн 5 за-

.меняется неотрицательным кубическим сплайном Сплайн Sj имеет на интервале (£/_],одна, или два дополнительных узла (с нулевыми ординатами) и удовлетворяет определенным граничным условиям в узлах £у_1 и ¿у. '

В алгоритме предусмотрены два варианта решения "локальной'' задачи. Первый вариант связан с интерполяцией по значениям "глобального" сплайна и его первых производных в узлах и tj. Именно этот вариант и исследовали Даунер и Райнш. Второй вариант связан с интерполяцией по значениям "глобального" сплайна и его вторых производных в узлах п ¿у. .

Далее, по расширенной системе узлов, включающей в себя исходные и дополнительные узлы, строится "глобальный" сплайн 5. На каждом интервале (¿,-_ь£у), на котором 5 принимает отрицательные значения, сплайн 5 снова заменяется неотрицательным кубическим сплайном 5у. Формируется новая расширенная система узлов и процесс повторяется.

Алгоритм заканчивает свою работу, когда решение "глобальной задачи становится неотрицательным на [а,Ь].

Цель работы..

1. Разработка численного метода решения задачи (1) со вторым вариантом решения "локальной" задача.

2. Формулировка и доказательство необходимых и достаточных условий оптимальности для задачи

. + . (2) Г€\¥1[а,Ь}- /(гу) = г/у, ¿€1:п; /(*)>0наМ,

где а = < <2 < - • • < = г/у > 0, ] € 1: п; ? — положительная константа.

3. Разработка, численного метода для построения решения задачи (2).

4. Характеризадия решения задачи

Г {5И*)]2 + »('Ж')} - М,.. (3)

/еК%(Ж+У, /(*у) = Уу, ;€.1:п;' /(х) > 0 на К+,

о

где 0 = ii < <2 < • • • < in! Vj > 0, j 6 1: n; — функция, определенная на полуоси R+ = [0,+ао), неотрицательная, локально суммируемая п такая, что -J д(х) dx = +оо; Wj,? ~~ линейное пространство функций /, у которых J g(:r)|/(:r)| dr < -f оо п вторая производная f суммируема с квадратом на IR+.

5. Разработка численного метода для построения решения задачи (3).

6. Разработка программного продукта, реализующего численные методы решения задач (1)-(3).

Методика исследования опирается на вариационное исчисление и теорию сплайнов..

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан численный метод решения задачи (1) со вторым вариантом решения "локальной" задачи.

2. Установлен критерий оптимальности для задачи (2) и доказана теорема единственности решения. .

3. Разработан численный метод решения задачи (2).

4. Установлен критерий оптимальности п теорема единственности решения задачи (3).

о. Разработан численный метод решения задачи (3).

6. Разработан программный продукт, реализующий численные методы решения задач (1)-(3). ,

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при численном решении контактных задач теории упругос ти, в частности, выстилания упругой балки, лежащей на нескольких опорах, на горизонтальное основание под действием положительной нагрузки.

Апробация работы н публикации. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" ( С.-Петербург, КТО г.). на семинаре кафедры исследования операций и на семинарах по нелинейным экстремальным задачам при С.-Петербургском

университете. По теме диссертации опубликованы четыре работы.

Структура п объем работы. Диссертация состоит in пве-денпя, трех глав, разбитых на 19 параграфов, списка литературы и приложения. Объем диссертации — 102 стр. основного текста и 22 стр. приложения. Список литературы насчитывает 41 найме нованпе. В диссертации имеется 10 рисунков и 11 таблиц.

Содержание работы

Во введении дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты диссертации.

В §2-4 главы I проводится детальный анализ алгоритма реш. -ния задачи (1) со вторым вариантом граничных условий у '"лока.и,-но-iT задачи. Установлен критерий выбора числа дополнительных узлов:

> о» у'1 > о,

где у"_х и у" — значения вторых производных "глобального* сплайна в узлах и. Ц. ■

Если все неравенства (4) выполняются, то на интервале вводятся два дополнительных узла по явным формулам. Если хотя бы одно-из неравенств (4) не выполняется, то на интервале вводится один дополнительный у?ел,. являющийся корнем нелинейного уравнения. Данное уравнение решается методом Ньютона. Уточнена локализация начального приближения для корня нелинейного уравнения, гарантирующая сходимость метода Ньютона. .

В §5 приведены результаты расчетов по двум примерам, на которых четко прослеживается эффект "оседания'' решения параметрической задачи и эффект бифуркации в поведении дополнительных узлов.

1

$0-1

+

бщ

уЧ

f ■

li

Л '.лаве Н приводится численный метод решения задачи (2). Л г. орш м решения задачи (2) основывается на следующем критерии шпимальности. установленном в §2.

Обозначим через множество планов задачи (2) п с каждой функшюи /. 6 -М" свяжем расширенную систему узлов Л,. В Д, включим естественные узлы t\. ^.....tr¡ п. возможно, дополнительные учлы. которые выбираются по следующему правилу:

а ! если на'интервале I; = (/у-ь ) функция /, обращается в ноль в единственной точке г% то г* включаем в А,;

0) если на интервале Ij функция /, имеет два плп более нулей, то пнфпмум и супремум множества нулей на I; дают два дополнительных узла.

Узлы сетки Д. упорядочим по возрастанию

Л, : й = < т2* < • • • < ~т ~ Ь.1 т > п.

Теорема. Пусть /, б М+ и Д, — расширенная система узлов. Для того чтобы функция /, была решением задачи (2), не. обходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1)/.еС2(1); ■ П(а) = ть) = 0;

2) /, = 0 на если и тЦ — соседние дополнительные узлы;

3) сужение на остальные отрезки [г^т,*] есть алгебраические полиномы 4-й степени со старшим, коэффициентом —щд;

/-"(г* ~ 0) ^ /"'(г* +0) для всех дополнительных узлов т*. . ' -

Установлено, что решение "задачи (2), если оно существует, единственно.

Переход от задачи (1) к задаче (2) порождает новый эффект, заключающийся в том, что решение /» на промежутках выстилания не удовлетворяет уравнению Эйлера.

В §3-7 проводится детальный анализ численного метода, аналогичного методу Даунера-Райшпа, для решения задачи (2) с сохранением линейной скорости сходимости. Установлен критерий

выбора числа дополнительных узлов, аналогичный критерию ; ! •. Новым моментом метода является введение предварительного > i па для начальной стабилизации промежутков выстилания.

В §8 приведены результаты расчетов по трем примерам.

В главе III рассматривается задача (3). В установлен следующий критерий оптимальности.

Каждой функппп /« € М+ (удовлетворяющий ограничения:! задачи (3)) сопоставим расширенную систему узлов Л.. И Л. ВКЛЮЧИМ исходные узлы t\. t?. ... ,tn П. ВОЗМОЖНО, дополнительны'' узлы, которые выбираются по следующему правилу:

а) если на интервале Iy = (tjJ\.tj) функция /. обращаемся в ноль в единственной точке г', то г* включаем в Л.:

б) если на интервале lj функция имеет два или более нулей, то инфпмум и супремум множества нулей на 1, дают два дополнительных узла;-

■ в) если /, na l„+i = (t„, -4-эс) хотя бы один раз обращается в ноль, то инфпмум множества нулей на In+] берем в качестве дополнительного узла.

Узлы сетки А* упорядочил! по возрастанию

. А* : 0 - т* < < ... < г*,, m >п.

Теорема. Пусть /* 6 М+ и А, — расширенная tvw.tw.1 -лов.. Для того чтобы функция /» была решением задача, -

обходимо и достаточно, чтобы

1) л € C2(R+); /"(0) = 0;

2) /» = 0 на [г£_3,г|], если rjLj м — со. едкие dort'>.-v,-тельные узлы,

3) г* > tn: Д s 0 на [г*_,+ос);.

4) сужение /» на каждый из оставшихся штсрй'--лов имеет абсолютно непрерывную третью производную и почти 'везде на {т*_1.т*) четвертую производную, -удовлетворяющую соогтюии.-нию fW(x) + q(x) = 0; •

5) fl"(i~* — 0) < f"(r* + 0) для всех дополнительных, р-лов т*;

Установлено, что решение задачи (3) единственно.

График решения у — /,(х) задачи (3) при х > tn мы называем "тостом дракона", а саму задачу (3) — задачей о ''хвосте дракона".

В ¡¡4 в случае л = 1 п q(s) — q > 0 получено решение в явном гшде. В ¡¡5 на основе алгоритма пз главы II детально разработан численный .метод решения задачи (3) при q(x) = g > 0. В §6 ярп-ш-лены результаты расчетов по трем примерам, в которых демонстрируй тся эффект выстилания "хвоста дракона" на ось абсдпсс.

В приложении содержатся описание и текст программы на языке Turbo Pascal с использованием объектно-орпентпрованного программирования. реализующий численный метод решения задачи {'!). Описание сопровождается контрольным примером.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Кирушев В. А. Алгоритм построения неотрицательного q-сплайна, интерполирующего положительные значения. Доп. в ВИНИТИ от 13 сентября 1993 г., Лз 2575-В95.

2. Кирушев В. А., Малоземов В. Н. Интерполяция положительных данных при помощи неотрицательных натуральных кубических сплайнов // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 2(.\;8). С. 25-30. . '

3. Кирушев В. А., Малоземов В. Н. Об одном алгоритме построения неотрицательного кубического сплайна, интерполирующего положительные значения. Деп. в ВИНИТИ от 13 февраля 1995 г., .\H04-B95.

4. Kimshev Y. A., Malozemov V. К, Pevny А. В. Hie dragon tail, In: International Conference on Optimization of Finite Element Approximations. Abstracts. St.-Petersburg, 1995. P. Gl.

Диссертационная работа поддержана Правительством Санкт-Петербурга п государственным Комитетом Российской Федерации по высшему образованию (грант Л* М94-2.1К-218).