Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗШЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЯ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ДЕШЕШ Александр Степанович

УДК 517.986.64

ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ШТЕГРАЛШОЛ ГЕОМЕТРИИ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

/01.01.01 - математический анализ/

АВТОЙ®ЁРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1990

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.П.Паламодов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

вед. н. с. В.М.Еухштабер - доктор физико-математических наук, с. н. с. В.А.Шарафутдинов

Международная институт теспии прогноза Ведущая организация - землетрясений и аагеиатлческо;! гес^изи.

Я'-" i 1.

Защита диссертации состоится'" v ' " (-^¿Ux T9QI г. в 16-05 часов на заседании Специализированного совета Д.063.Об.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: II9899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-И4 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаж /.

Автореферат разослан " I 1 " р-клу*} 1991 г

Ученый секретарь Специализированного совета

Д.063.05.04 при МГУ, доцент gH.9t.ti Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Общая постановка задачи интегральной геометрии такова: пусть задано дифференцируемое многообразие X размерности h и на нём - семейство К-мерных подмногообразий • Цусть на катадом подмногообразии lj £ Y задана плотность . Функции %(зс) на многообразии X сопоставляются её интегралы по подмногообразиям:

У

называется К-мерным обобщённый преобразованием Радона. Задача состоит в том, чтобы по восстановить исходную

функцию ^ (см. Классическим является случай, когда ^ -

аффинное пространство (j^1, Y - множество гиперплоскостей, <Оу - мера Лебега на гиперплоскости у . В этом случае имеются Лормулы обращения восходящие к работе И.РЗДона .

1. ГельЛанд И.М. Интегральная геометрия и её связь с теорией представлений // УЫН, т. 15, № 2, i960.

2. Гель^анд И.М., Рраев М.И., Виленкин Н.П. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.*0боб- • щённые функции, вып. 5, М.: Физматгиз, 1962. *

3. Radon

3. Ükei ¿i е von Jünlftonen

сЫгД tVire ^nte^ia/werzte ¿cinßi TYlan-

i^ßeilen Jl Веч VeicV 5ibLc.li. fic*<{ Wi'^ - I -

Одномерное обобщённое преобразование-Радона называют лучевым преобразованием. Для семейства прямьас в имеются аналогичные Лорлулы обращения £4], Однако, в этом случае RA -f зависит от большего числа параметров, чем исходная 1*ункшш ^ . В связи с этим ставится вопрос о восстановлении $ , исходя из значений на некотором мерном семействе прямых. В

комплексном пространстве эта задача изучалась И.М.Гель^андом и М.И.Граевым в работе [^5]. W-мерные семейства прямых в (Ln , допускающие локальную формулу обращения лучевого преобразования, были названы допустимыми ко;.шлексами. В вещественном пространстве локальная- формула обращения лучевого преобразования в принципе невозможна, однако известны нелокальные Формулы для семейства прямых.в., пересекающих заданную кривую ^ с fR.^ (см. работы t.6,7,8,9l^.

¿е1ргс% rCioctU-rioCt ба.^ач?, 2.62-2яч.

4. Хелгасон С. Прёббразование Радона. М.: Мир, Т983.

5. Гелы^анд И.М., Грае^М.И. Комплексы прямых в пространстве

/Г» л ь

(L // функц, анал. и его прил., т.2,IP 3, с. г°-52, т°68.

6. Кириллов A.A. Об одной задаче И.М.РелыЬанда // ДАН СССР,

■с

Т37, IP 2, с. 276-277, 1961.

7. TuiíH.K. ütt Inueaûion ßoWHnib jjo% cone - беam tecon struct ion

//SiAM aPf¿. WA-íl ,V. , p. s^e- ssi.

8. З^'пД v. Cone 4exn\ xeu>n<¿txt».tÍLon t^íl» лои.1-UA Oh â WH* // g. 1Ulií,.

Многообразие прямых в , пересекающих заданную кривую, является характеристическим, то есть в каждой точке ^ е К. оно касается конического подрасслоения У ^ ,

где V - многообразие всех пряных в . Слой в точке

^е V определяется следующим образом: и ,

где с - многообразие прямых, проходящих через точку X. В.П.Паламодов предположил, что явные Формулы обращения лучевого преобразования молено выписать для любых характеристических комплексов прямых.

В диссертации определяется понятие характеристического комплекса кривых, а такие более обгцее понятие гиперболического комплекса квнвкх на многообразии X . Оказалось, что для прямых в свойства гиперболичности и допустимости эквивалентны. Более того, для гиперболических комплексов кривых оказались верными некоторые утверждения о локальном строении, аналогичные доказанным в [5] и [то] для комплексно-аначитических допус т;шых комплексов прямых в б^*1 .

С использованием полученного описания в диссертации выво-- о

дятся явные.формулы обращения лучевого преобразования для любых -мерных характеристических комплексов прямых в

9. Гель^анд U.M., Гончаров А.Е. Восстановление финитной функции, исходя из её интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // ДАН СССР, 290, ^ 5, Т?86.

10. Майус К. Структура допустимых комплексов прямых в (LM // Функц. анал. и его прил., т.7, !Р I, с. 78-81, 1979.

Одним из важнейших источников задач интегральной геометрии являются её практические приложения, в первую очередь, в томографии Задача обращения преобразования Радона по не-

полным данным - одна из них. Для её решения монно применять различше методы: метод Д.Слепяна, использующий разложение по вытян^уыы сфероидальным функциям [_12], метод моментов [_тз"|, приближённые методы решения интегрального уравнения интерполяции [т4].

Предлагаемый в диссертации способ основан на явной ''ор:.гу-

** '

ле штерполяции целой функции экспоненциального типа. Эта ,тор-ь'.ула может быть применена в родственных задачах интерполяции, в которых применяется метод Д.Слепяна [тз].

Проблема обращения обобщённого преобразования Радона на

ТТ. Наттерер 2>. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. и

Т2. Siepian , РоМлсЙ И. Probte ¿pberoidaf

v>AU/6 tfu.nctions , "Уоbviie-r апл^мл- unc&ilai'n itj, I// buet. s^t Tccu. 4 361, p. ^'s

T3. Камзолов А.И., Лукашенко Т.П., Никишин Е.М. Нахо-дение моментов функции по её преобразованию Радона// Тез. симп. 'по вычислительной томографии, Новосиб., СОАН СССР, тоез, с. 9Т-92. 14. Гончарский A.B., Матвиенко А.Н., Новикова Т.Н., Пикус И.В. Савич А.И., Якубов В.А. О проблеме неполноты данных в задачах восстановления скоростного разреза по результатам сейсмического проствечивания // Тез. ITI Всес. симп. по вычисоительной томографии, Киев, Навукова думка, Т987.

семействе произвольных гладких поверхностей изучалась различными авторами. В [.15^ для семейства гиперповерхностей в области Х^ был определён оператор обратного проектирования такой, что .

где 1Л - компактный оператор , нор.-а которого мояет быть меньше единицы, если размеры области X достаточно малы. В. Гийемин рассмотрел задачу для двойных расслоений

V

у ^

удовлетворяющих условию Болкера, которое заключается в том, что отображение является вложением.

Здесь Р - сужение на Л/* 2 естественной проекции

. В этом случае при помощи поло^И" тельной плотности ^ на 2 определяется преобразование Клона ^ к ) и оператор обратно«"; проекции ^ -

— "* • Оказывается, что ^^ - эллиптический псев-

до дилере нциальный

оператор порядка. с^арл^Ч^— ¿¿Д.^

т5. Лаврентьев М.М., Романов З.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической *изики и анализа. И.: Наука, тг^80.

Тб. \i. On Some (Wii of heejinj

¿и деоте^гд // S^mp. Р^Ъе

З.Т.Квинто в работе вычислил его главный символ.

Г. Бейлькин в ^18] для определённого вида семейства гиперповерхностей в области Xе- построил оператор, обращающий преобразование йдона с точностью до псевдодил<?«ренциального оператора порядка -I.

A.Гринлий и Г.Ульман в [_!?>} изучали лучевое преобразование для 1Г»-мерных комплексов геодезических римановой метрики, подчинённых дополнительным условиям. В этой ситуации получена Формула обращения с точностью до оператора порядка - .

B.П.Паламодов в указал условия на семейство кривьх в пространстве, достаточное для корректного обращения с точностью до бесконечно гладкой функции.

В диссертации рассматриваются произвольные семейства гладких поверхностей.

17. Олл^гйо Z. Т. тЦе elepenc/ence oJf the ZAÎiïeJ da-iLom tгл-пь^чт ой тгмм^ //Тчл-кд. CLwwi. m^th. Soc., v. 154, л/2', 4$êù

18. Qe^C&in Tki iMbtn^on раоб&м О-пЛ CLpptLCAtLoriA of tii£ де-П¿*&£iïej -Jozvrs //Сокъ. PurU dppi. ШаЛк.^.ЪЧ/т^^-БЦ

19. Ьгегпйа-^ A., kfl&rnuui T1опСосл1 ¿.п&еп^оп

Ц-оч

ma.th ,v. 58 , 24 0

20. Паламодов В.П. Проблемы полноты данных и обращения-лучево-го преобразования в пространстве // Тез. докл. Всес. сиып. по вычислительной томографии, ч. I, с. 30-31, Новосибирск, Т°89.

Цель работы. Целью работы является исследование локального строения гиперболических комплексов кривых, получение явных 'ормул обращения лучевого преобразования для характеристических комплексов пряных в и для данных в неполном угловом диапазоне; а также исследование .обобщённого преобразования Радона для произвольных семейств гладких поверхностей в области евклидова пространства.

Научная новизна . Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем:

I/. Дано локальное описание характеристических и гиперболических комплексов кривых общего положения.

2/. Получены явные Формулы обращения лучевого преобразования для характеристических комплексов пряных в , а также новый метод обращения преобразования Радона по неполным данным, ■основанный на явной формуле интерполяции целой Функции.

3/. Дня семейства гиперповерхностей в области евклидова пространства построен оператор, обращающий обобщённое преобразование Радона с точностью до сглаживающего псевдоди^'Ференци-ального оператора, вычислен главный символ этого сглаживающего оператора; рассмотрен также случай семейств поверхностей произвольной размерности.

Теоретичеакая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть-использованы в интегральной геометрии и томографии.

- 7 -

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории функций и Функционального анализа механико-математического Факультета МГУ, на студенческой научной конференции МГУ в 1987 году и на III Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии в Киеве в 1987 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах, список которых приводится в конце авторе^ра-та. В работе написанной в соавторстве, автору диссертации принадлежит pTOposition 1.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 8 параграфов и списка литературы, содержащего 42 наименования. Объём диссертации - 88 листов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дан краткий обзор результатов, относящихся к теме работы и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается войрос о локальном строении гиперболических комплексов кривых. В первом параграфе даются необходимые определения и доказываются некоторые воспомо-гательные утверждения.

Пусть - бесконечно дифференцируемое многообразие, oUtrv, X = Л . На X задано семейство кривых ^ . Пусть V -тоже бесконечно дифференцируемое многообразие, причём для любых (ос £.~Т X существует единственная кривая, проходящая через точку ОС и касающаяся ^ . Тогда ck-wv ^ = 2. v-v - .

Обозначим = \ ОС £ X, ^ Y, X CL X" Y.

Предположим, что выполнено условие Болкера, то есть отображение является вложением, rrlyv, Р. Ковектор ^ gT^ Y называется характеристическим, если С у j^,4) G ¿ÎZ- • Под комплексом кривых подразумевается подмногообразие

^ П - 1 . Критические точки определяются аналогично случаю прямых в Сп[б"}. Кривая у € К называется критической, если на ней лежит бесконечно много критических точек. Оказывается, что для некритических кривых наличие в К характеристических ковекторов эквивалентно наличию на кривой Lj критических точек. Комплекс кривых Kv называется гиперболическим, если для любой кривой ^ 6 существуют такие критические точки £ lj f что

N/y = L л © • • • © 1—5 , где L j - подпространство характеристических ковекторов, соответствующих критической точке 0(1 j . Комплекс К, называется характеристическим, если АУ * К. С- -является характеристическим тогда и только тогда, когда для любой некритической, кривой ij £ К, существует единственная критическая точка ûf € ^ кратности Codkm И, .

Во втором параграфе изучается локальное строение характеристических комплексов кривых.

Теорема I. Дусть W - характеристический комплекс, СскА^Цг = & , причём существует такая окрестность \Л/ с. К кривой jjo, что все кривые € W не критические и отображение ^ W ^ , - критическая точка ^ , бесконечно диффе-

ренцируемо и имеет постоянный ранг.

Тогда в окрестности \\ состоит:

а) если ^ > 1, то из кривых, пересекающих трансверсально заданное подмногообразие размерности ;

б) если & = 1 , то либо из кривых, пересекающих трансверсально заданное подмногообразие М С- X размерности г\- 2 , либо -из кривых, касающихся заданного подмногообразия ^Л с: X. размерности Г» - 2 .

Обратно, комплекс такого веда является характеристическим. В третьем параграфе изучаются гиперболические комплексы кривых. Доказано, что в окрестности кривой общего положения изучение гиперболических комплексов кривых можно свести'к характеристическим .

Теорема 2. Пусть К. - гиперболический комплекс кривых,

- кривая общего положения. Тогда существует 3 характеристических комплексов Ч\/." ,

—г- -

таких что локально = п\ , причём для любой кривой ^ критическая точка е ^ будет критической ровно для одного с кратностью Соси^ ^^ = & j .

Обратно, пусть где Wj - гиперболические

комплексы кривых, С^-тМ ^ г\-1 .

Тогда \\ - гиперболический комплекс, причём для любой кривой ^ £ точки, критические для какого-нибудь будут критическими для ^Л/ с той же кратностью.

Эта теорема обобщает результат К.Майуса где речь шл£

о комплексно-аналитических комплексах прямых в .

Как следствие предыдущих теорем получнн основной результат главы.

Теорема 3. Пусть - гиперболический комплекс кривых, СоЛл^ К = Ф , К - кривая общего положения; в окрестности V С- К кривой отображения ^:Ч/->Х »У^-)-критическая точка ^ , имеют постоянный ранг,

Тогда критические точки кратноетей Яд кривых из ^Л/ описывают 5 подмногообразий Мь--) . Причём, если > 1, то сА^г^ ^ ^ ~ А-^ и кривые из ^^ пересекают трансверсально; если » то либо о^г* м ; - г>- 2., и кривые из V/ пресекают М] трансверсально, либо сА^ог* М^ = — Л - 1 и кривые из V*/ касаются

И наоборот, пусть в X заданы 5 подмногообразий-• Положим ^ку, М^ ; если

¿ЕГ - & 1п - 4. и множество кривых, пересекающих подмногообразия размерности и касающихся подмногообразий размерности УЛ-1 , образует в ^ подмногообразие коразмерности &, то это - гиперболический комплекс с критическими точками кратностей , лежащими на' .

Четвёртый параграф посвящен изучению соотношения свойств гиперболичности и допустимости в смысле работы *[2Т , в которой определение допустимости перенесено на случай УЛ-мерных вещественных комплексов кривых. Доказано, что в случае прямых в эти свойства эквивалентны. Приведены примеры вещественного гиперболического комплекса кривых в » не являющегося допусти-

II. Гелы^анд И.М., Гиндикин С.Г., ПЬпиро З.Я. Локальная задача штегральной геометрии в пространстве кривых.// Функц. анал. и (го прил., т. 13, V? 2, с. 11-31, 1979.

мым, и допустимого комплекса прямых в , не являющегося гиперболическим.

Вторая глава посвящена проблеме обращения по неполным дан ным. В первом параграфе доказывается формула интерполяции преобразования Фурье финитной функции.

Теорема 4. Пусть ^С 1_г (Д'Л > ^рр £

Тогда для любого X, £

где ,

С помощью этой теоремы строится метод обращения преобразования Г&дона финитных функций по данным, неполным в угловом ди апазоне.

Во втором параграфе указаны явные формулы обращения лучевого преобразования йтункций для характеристических комплексов прямых в , подчинённых дополнительному условию полноты, которое является обобщением условия Кириллова - Туя и

заключается для комплекса кривых, пересекающих кривую ^С в том, чтобы любая гиперплоскость, пересекающая носитель функции, пересекалась бы трансверсально с ^ . (Дяя комплекса прямых в , касающихся поверхности, условие аналогично.) Указан также способ обращения в случае, если это условие гыполне-но только для гиперплоскостей, единичные нормали к которым заполняют открытую область на сфере. Этот способ использует тео-

рему 4.

Третья глава посвящена исследованию обобщённого преобразования Р&дона для произвольных семейств гладких поверхностей.

Пусть Ж - область евклидова пространства {Я*1, ЦсЙГ - некоторая односвязная область, - гладкое многообразие. Предположим, что задано гладкое отображение ^: —ь"X такое, что ^^: Ц X является вложением, где (и)-= V ^ > • Поверхности И ^ = Тг* Чу образуют рассматриваемое семейство. Для функций £

с- ОО определяется преобразование Радона:

и ' и •

где

ае С" (ух и) ,

естественная форма объёма на Ц^, причём для любого ^е4^ а (§: Ц

В первом параграфе рассматривается семейство гиперповерхностей. Цусть = Xх - расслоение единичных конор-малей, 8>* л- С^-0-мерная сфера единичного радиуса, Ц0еЫ -отмеченная точка. Семейство гиперповерхностей называется полным, если его можно задать отображением ^р : X* ^ ^ Ц— X удовлетворяющим двум условиям: предположим, что коориентированы, определим отображение ^ : X * Б*"1* и —S*:X ^ Х-*\р : из, ^ V—>

где \Г\ (у, £Г * - это внешняя конорыаль к ^ в точке £ Потребуем, чтобы 1ро ;

было тождественным отображением. Здесь У5 ^¡^о)

2) с!0,и ^ = У\ при ц0 •

Определим для функций ^ С-°°СХ* ^ оператор обратного проектирования:

зависящий от веса о £

- стандартная

форма объёма на а*ере .

Теорема 5. Пусть в области задано полное се-

мейство гиперповерхностей, О. К > О ,

Тогда для любой функции £. СЧх4)

(^А^) * ^ 2- » гле - классический

псевдоди^еренциальный оператор порядка -т.

В параграфе получено выражение для главного символа \\ через метрические инварианты семейства Нэс.ю и функцию (X . .

Во втором параграфе рассматривается семейство К -мерных (Н ^ 4. П-1^ поверхностей в области Хс=_ .

В работе [_20^ В.П.Паламодов указал условие на семейство кривых в пространстве, достаточное для корректного обращения лучевого преобразования с точностью до бесконечно гладкой функции. Пусть Xе- , - семейство кривых > области X , параметризованных параметром t £ . Тогда для семейства V ' в области X выполнено условие полноты, если для любых (эс.^б £ X существуют кривая V и значение параметра Х0,

- 14 -

такие, что:

О у0 ¿О - х И <¿0, ао)у ^ О .где уо= .2) росток отображения : К —Х""^,

В» •• ¿«ё О ^ с , < £(-<) > ,

в точке является ди^еоморФизмом.

Мы потребуем выполнения более сильного условия. Можно показать, что при выполнении условия В.П.ГОшамодова выполнено, по крайней мере, локально и наше условие полноты. Обозначим П^.*1'1 ^ некоторую односвязную окрестность нуля. 5удем говорить, что для семейства К-мерных поверхностей У в области выполнено условие полноты, если существуют

такие гладкие отображения ^Т X* 5>П —* ^ V.

I") отображение флг.со V х Ц X ,

^ У ( П , и ^ является бложением;

г) для любых (ОС, Со} £. 5>*Х =- ' поверхность

= 1уул при (.V, и^ = ( О, ^С*)проходит через точ-■су X ортогонально 60 .

з) *1сио£ с\<о,чли ^ос.ю = ^ ПРИ Ф С О, я С*,со))

Зададим в области \/ финитную Форму "V £ (^Х/^

•акуто, что О £ $>ирр ^ . определим оператор Т- С^СУ^-»

Теорема 6. Пусть в области Х1^ задано семейство

^-мерных поверхностей ^ » удовлетворяющих условию полноты.

Тогда отображение Я^Х* ^"'"У* ^ —» X , -Р: ^С^и) задаёт в X полное семей-

гво гиперповерхностей Ну^«

Если, кроме того, 0.(1^., О ПРИ ,

' bccc из) — . JL U= ГЦог,«о,о)

где естественная йорма объёма на W\or,to,

то для любой функции £ С°ЧХ)

n-i Rn-i r f + К % , где

К - классический

псевдодискеренциальный оператор порядка -Т, a R* , - оператор обратного проектирования с весом Ь .

В качестве примера рассмотрен комплекс геодезических ри-мановой метрики, пересекающих заданную кривую.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Виктору Павловичу Паламодову за постановку задач, помощь и постоянное вниманиэ к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. РоА

rwoeUi? V. •еХ А ., сДгигел-лХоп „

OÜ2. <ks. ct'ap^i» ¿¿ел.

cton.nijLA r\x>n-Со^р&Хел. // С. R . А. ,

i-SO7. S€n. 1 , p. i £1-4S3.

2. Денисюк A.C. Локальная структура гиперболических комплексов кривых // УМН, т. 45, IP 5, 1990.

В печать 31.01.91 Изд.й 5п Формат 60x84/16

Уч. -изд. л. 0,6 Печ. л. 1,0 Тираж 100 экз.

Заказ * $ ' Шг отпечатано в ПОГМ вр /f листах в jpo экземплярах