Исследование предельного равновесия деформируемых горных пород тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

«г* ^

!• "'" V

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Журов Геннадий Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ГОРНЫХ ПОГОД

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Санкт-Петербург - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики п вычислительной техники Санкт - Петербургского государственного горного института (технического университета)

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физ. - мат. паук, профессор

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ доктор физ. - мат. наук, профессор кандидат физ. - мат. наук, доцент

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Государственный научно-исследовательский институт горной гсомеха-ники п маркшейдерского дела

Ю.М. Даль

В.С. Куксенко Б.Н. Семенов

Защита состоится

1997 г. в

часов на за-

седании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций па соискание ученой степени кандидата наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 198504 СПб, Старый Петергоф, Библиотечная пл. 2, СПбГУ, математико - механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 1997 г

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

М.А. Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дальнейшее развитие добычи полезных ископаемых связано с разработкой месторождений на больших глубинах. Горные работы на большой глубине характерны тем, что вблизи выработок происходит образование зон предельного состояния, где породы, проявляя упругие и пластические свойства, разрушаются в условиях неоднородного объемного напряженного состояния.

Теорией горного давления вблизи выработок занимались многие авторы, используя для этих целей различные модели реального массива. Так, в теории М.М.Протодьяхонова горный массив представляется как сыпучая среда, А.Н. Динник, С.Г. Лехницкий, Г.Н. Савин и др. наделяли его свойствами идеально упругой среды. Первыми попытками учета неупругих деформаций были работы Р.Феннера и АЛабасса. Дальнейшим развитием этой проблемы занимались К.В. Руппенейт, Ю.М. Либерман, В.Т. Глуш-ко, Ю.З. Заславский, Г.Л. Фисенко, Н.С. Булычев и другие.

Большой интерес для геомеханики представляет решение упруго - пластической задачи о распределении напряжений в плоскости, ослабленной отверстием круговой формы. Эта задача моделирует напряженно - деформированное состояние массива горных пород около горизонтальной выработки. Впервые ее точное решение дано Л. А. Галиным. Позднее аналогичная упруго - пластическая задача рассматривалась в работах Г.П. Черепанова, Д.Д. Ивлсва, Л.В. Ершова, А.И. Кузнецова, П.И. Перлтпта, B.C. Са-жина, А.Г. Протосени, Б.Д. Аннина, Н.И. Остросаблина и других авторов.

При исследовании упруго - пластического напряженно - деформированного состояния массива горных пород обычно используются критерии текучести X. Треска - Б. Сен-Венана, Р. Мизеса, А.Хаара - Кармана, Кулона - О. Мора. Получающиеся при этом математические теории пластичности хорошо известны. Отметим, например, монографии A.A. Ильюшина, С.Г. Михлипа, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С.А. Христиановича, Т.В. Ба-клашова и Б.А. Картозии и др. Однако, новые результаты экспериментов, проведенные А.Н. Ставрогиным, В. Менделем, В. Шрейнером и другими исследователями, показали, что вышеперечисленные условия текучести недостаточно полно описывают поведение реальных горных пород. Дальнейшим развитием упруго - пластической модели горного массива является так называемое "запредельное состояние". Данная тема рассматривалось в работах З.Т. Бинявского, Н. Кука, Е.И. Шемякина, А.Ф. Реву-женко, В.А. Ибрагимова, П.Л Клюшшгхова, И.М. Пстухова, A.M. Линь-

нова, А.Н. Ставрогина, А.Г. Протосени, Б.Г. Тарасова, А.К. Черникова, Б.З. Амусина, К.А. Ардашева, Б.Ф. Кошелева и других.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию напряженно - деформированного состояния массива горных пород в рамках механических моделей, описываемых критериями пластичности Ставрогина, Менделя -Шрейнера и условием, учитывающим запредельное состояние. Построено аналитическое решение уравнений пластического равновесия горных пород в форме тригонометрических рядов. Решена упруго - пластическая задача о растяжении плоскости с круговым отверстием для разных типов неоднородности породного массива, проявляющихся при ведении различных горностроительных работ. Но выведенным формулам выполнены численные расчеты, и проведен анализ полученных результатов.

На защиту выносится:

- исследование основной системы уравнений теории предельного равновесия весомого неоднородного массива горных пород, находящегося в условиях плоской деформации;

- построение аналитического решения уравнений пластического равновесия горных пород в форме тригонометрических рядов;

- решение упруго - пластической задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием с учетом влияния коэффициента бокового распора;

- анализ влияния различных типов неоднородности и прочностных характеристик породного массива на размеры зоны предельных деформаций;

- учет деформационных характеристик породы на размеры зоны запредельной деформации.

Научная новизна. Исследована основная система уравнений теории предельного равновесия. Проанализирована степень влияния на размеры области предельных деформаций различных типов неоднородности породного массива, прочностных характеристик и эмпирических коэффициентов, входящих в условия А.Н. Ставрогина и В. Менделя - В. Шрейнера. Изучено напряженно - деформированное состояние горного массива вокруг выработки с учетом запредельного деформирования.

Практическая значимость. Полученные в результате исследований формулы используются в инженерных расчетах напряженного состояния горного массива вокруг выработок круговой формы.

Методы исследования. В основу анализа основной системы уравнений пластического равновесия горных пород положен метод характеристик. С его помощью определены области, в которых разрешающая система уравнений принадлежит к гиперболическому, параболическому или эллипти-

ческому типу.

Основная система уравнений заменой переменных сводится к канонической системе уравнений. Для построения аналитического решения полученной системы в форме тригонометрических рядов использован модифицированный метод С.А.Чаплыгина.

При решении плоских упруго - пластических задач использован метод малого параметра.

Достоверность основных результатов работы обеспечивается строгостью постановки задачи, сравнением результатов отдельных вычислений с данными других авторов и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на IV Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1982 г.), на Всесоюзной научно - технической конференции "Совершенствование технологии, механизации и организации производства при добыче угля" (г. Люберцы, 1983 г.), на девятом Всесоюзном семинаре по исследованию горного давления и охране капитальных и подготовительных выработок (Кемерово, 1984 г.), на V семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985 г.). В окончательном виде диссертационная работа была доложена на семинаре кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела (факультет ПМ-ПУ СПбГУ)

Публикации. Основные результаты работы опубликованы о статьях [1-5]. В работе [4] диссертанту принадлежит вывод формул для определения напряжений и смещений, определение границы раздела между запредельной и упругой зоной, численные результаты. В работе [5] автором получены аналогичные формулы для круговой выработки с учетом влияния коэффициента бокового распора.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 114 страниц, включая б таблиц и 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении представлен обзор литературы, касающейся изучаемых в диссертации проблем, и дано краткое содержание работы.

Псрвая глава посвящена исследованию напряженно - деформированного состояния массива горных пород в рамках механической модели, описываемой условием пластичности А.Н. Ставрогина

(. <7min\

А-1,

ffmar/

(1)

где стт;„, отаг - соответственно критические минимальное и максимальное главные напряжения: параметры а и А являются функциями координат (а-а(х,у); А = А(х,у)).

Основная система уравнений для определения компонент напряжений ах,пу, Тху при соблюдении условия (1) имеет следующий вид

Л'1 {il+x уА + ею Ч Й + д 5in ~ 2 sin 2у Й + 2 COS

•F

. „ (Ida /1 + х \/1 да 7

<Ъ

(2)

а У

Л-Лх)

где х = ffmm/ffmai , 9 - угол нахлона наибольшего главного напряжения ffiK оси х, 7 = const - плотность породы.

Компоненты перемещений их = и и uv = v находятся из уравнений

2 sill 2^ - jcos Ър---1—^

1 - х3 + 2/Л] V&r ^ ду ) п ■ п Ov г Л (1 - v)J 1 í dv ди\

(3)

Дифференциальные уравнения характеристик систем уравнений (2) п

(3) имеют вид _

dy du _ F sin 2'f> \JFl — 1 dx dv 1 + i' coa 2(jP '

(4)

Ay/F1 - ихЦ-ЪЬр* _'

4(1-*)J 1 + FcosV__Цад* d*J

-l(l-x)2 Fñnbe^y/Fi^T l\\ady+Xdy)

1(1 -x)2 Fain^Tv^

JLF + c,M2yT^"-l!.i.i2y = 0

1 + F eos 2v> q '

где

1 -х2 + УЛ

F

(1 - X?

и определяют два семейства: первое, соответствующее верхним знакам, и второе, отвечающее нижним знакам. Отсюда следует, что при F2 — 1 > О основная система уравнений принадлежит к гиперболическому типу, при F2 — 1 = 0 - к параболическому и при F2 — 1 < 0 - к эллиптическому. Аналогичные формулы получены для осесимметричной задачи. Дифференциальные уравнения характеристик (4) были численно проинтегрированы. Выведены рекуррентные формулы для нахождения компонент напряжений и перемещений с заданной степенью точности.

Далее в работе производится преобразование уравнений гиперболического типа невесомой (7 = 0) и однородной среды(А и а — const). Для этого случая характеристики систем уравнений (2) и (3) образуют два семейства и определяются уравнениями

, = v> - Ф = const, ^ = = tg{4> - Ф), (5)

dv du

( = v + Ф = const, ¿ = = (6)

где Ф вычисляется из соотношения соз2Ф = l/F, а функция Ф с точностью до произвольной постоянной будет

Я

+ \\¡A{* + A)[í9V^ ~ т^\пгр + •¿¡■{р,т) - Щр,m)J.

Здесь F(p,m), К(р,т) - эллиптические интегралы соответственно первого и Второго рода, р —агссозд, д = .— * т2 =-.

Jl/A+1-х 4 + Л

Специальной заменой переменных уравнения (2) и (3) сводятся к канонической системе

dv d<S>' дФ Э<р' dv 5Ф' <ЭФ d<¿' 11

решение которой получено в виде тригонометрических рядов.

В диссертации решена плоская упруго - пластическая задача о растяжении плоскости с круговым отверстием для разных типов неоднородности породного массива, появляющейся при ведении различных горностроительных работ. Рассмотрены два типа неоднородности. Первый тип-неоднородность, возникающая при искусственном замораживании рыхлых водоносных пород с помощью замораживающих колонок, когда вокруг выработки образуется педопородное ограждение; и второй тип - псодпород

ность, обусловленная взрывом камуфлетных зарядов в пластичных породах. Для этих случаев определены области существования решения, получены формулы для расчета зоны предельных деформаций, напряжений и перемещений в пластической и упругой областях, проведены соответствующие расчеты, результаты которых представлены в виде таблиц и графиков. Установлено, что размеры зоны предельных деформаций определяются, в основном, значением параметра А в условии (1), причем неоднородность первого типа оказывает сильное влияние только при значениях А < 5, а неоднородность второго типа - при значениях А > 5. Это видно, например, из рис.1, на котором представлены результаты расчетов тангенциального напряжения а$ в единицах уН, в зависимости от безразмерного радиуса r¡R для различных значений параметра А в условии (1).

л = i

Л = 2 Л-3

л = *

А = 5 т_

О 3 Ч б 8 10 12 Н 16 18 20 22 24 26 " Рис.1.Зависимость тангенциального напряжения а6 в единицах 7// от безразмерного радиуса г/Л для различных значений параметра А. 7-глотность породы, //-глубина выработки, Я-радиус выработки,

В заключительном параграфе первой главы исследуется область предельных деформаций вокруг выработок круговой формы с учетом влияния коэффициента бокового распора. Задача решена методом малого параметра. Получены первое и второе приближения. Проведенпые расчеты представлены в виде таблицы и графиков, два из которых отражены на рис.2-3. Установлено, что коэффициент бокового распора Л, параметр А в условии (1) и неоднородность породного массива оказывают большое влияние на размеры зоны предельных деформаций. При этом параметр А и неоднородность изменяют и форму пластической зоны. Параметр А па изменение формы пластической области значительного влияния не ока-

зывает. Сопоставление вычислений по первому и второму приближению показывает их практическое совпадение для А > 0,8.

\

\

СХ.

0123456789 10

012345678» 10

овД" б •

К

П I 3 4 И Т 1 1 10 12

Рис.2. Развитие зоны предельных деформаций в зависимости от изменения коэффициента бокового распора.

Точки - первое приближение, сплошная линия - второе приближение.

Рис.3. Развитие зоны предельных деформаций в зависимости от параметра А в условии (1).

Точки - первое приближение, сплошная линия - второе приближение.

Вторая глава посвящена анализу модели поведения горной выработки, описываемой критерием пластичности В. Менделя - В. Шрейнера

,"3

1+6-сгс

(8)

где (Г,;, <тс - пределы прочности породы при одноосном сжатии п растяжении; а, Ь - параметры, характеризующие данное месторождение (о = 2,3; 6=1,3,8).

Установлено, что основная система уравнений при условии В. Менцеля-В. Шрейнера принадлежит к гиперболическому типу. Для нее найдены дифференциальные уравнения характеристик (5) и (6), где функция Ф имеет пид

- при а — 2 : Ф :

vf+ïï

ln

In

/1 + n - s/IAay здесь n - y/l + ЛАВ, A = (7C/ (iwj), В = o-Jb. - при о = 3 : Ф = d(c2 + с) ln L + с/2 + A - /г| -

-n — sJ'lAai

-Ci (c2 - c) ln |<Ti + с/2 - \Д/Л - Зс2/2| - 2c, ln |<7, - c|, здесь с, = v/3l/ [2(ЗЛс2 - 1)] ; с, = (ЗЛс* - 2)/>/4у4 - ЗЛ2сг; с = ^В/2 + >/0^/4 - 1/27Л + ф}/2 - фР~/4 - 1/27Л j

Ф связано С (71 соотношением (l - Ласт;-1) / (l + Ла<гГ') = co.ï2i/>.

Далее во второй главе рассмотрено напряженно - деформированное состояние массива горных пород вокруг выработки круговой формы. Расчеты, проведенные для различных отношений прочностных характеристик <Ji/у II (где - предел прочности породы при одноосном сжатии, у - плотность породы, H - глубина выработки), показывают, что опи сильно влияют на размеры зоны предельных деформаций (см. рис.4). Установлено, что увеличение коэффициентов а и b приводит к увеличению зоны предельных деформаций.

ин 2

•»Л-1

/

* Г ! !

iii 2

1 С*

1Н ' 1.5

1.5

1 Û.5 г «f /

IÀ f,

1/ -¿Ч-f- к.

S 10 11

Рис.4. Значения радиального напряженна а, и тангенциального напряжения О) в зависимости от безразмерного радиуса г/Я для различных отношений прочностных характеристик /7//.

1.5

Третья глава посвящена исследованию запредельного деформирования породного массива. Условие разрушения, учитывающее "запредельное состояние", взято из монографии А.Г. Протосени, А.Н. Ставрогина "Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах." -М., Недра, 1985, 272 с. (см. участок II рис.5).

17, - Стз = Я + (<Г, + СТз) cos 2/1 - 2М {Утах ~ У.) , (9)

где Н = 2К cos р\ 2/х = ж/2 — р\ К, р - соответственно сцепление и угол внутреннего трения горной породы; М - модуль спада; 7, - значение 7та1 на пределе упругости.

Рис.5. Зависимость между напряжениями и деформациями

для горных пород. I - участок остаточпой прочности,

II - запредельного деформирования, III - линейной упругости.

Определены области существования решения при которых система уравнений в напряжениях принадлежит к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу. Затем для уравнений гиперболического типа проведены преобразования, сводящие их к канонической системе, имеющей место в главе 1. Выведены формулы для представления решения данной системы в виде тригонометрических рядов.

Далее, в третьей главе, анализируется напряженно - деформированное состояние горного массива с учетом запредельное деформирования. Выведены формулы для определения зоны остаточной прочности и зоны запредельного деформирования. Расчеты, проведенные с помощью выведенных соотношений, представлены в виде графиков на соответствующих рисунках.

Анализируя графики распределения иг, а о, приходим к выводу, что распределение напряжения <гв с учетом запредельного" состояния качественно не отличается от распределения ад без учета запредельного состояния. Однако, происходят значительные количественные изменения: ширина области предельного равновесия за счет запредельного деформирования

стаиовится больше, максимум напряжении ад увеличивается. Б распределении напряжений ат наблюдаются и качественные изменения. При запредельном деформировании происходит значительный рост напряжений ат вблизи контура выработки. Максимум напряжении о> достигается на границе остаточной прочности с запредельной областью. Затем напряжения аг падают и достигают минимума па границе запредельной зоны с упругой областью. В дальнейшем они стремятся к своему начальному напряженному состоянию. Учет запредельного состояния приводит также к значительному увеличению радиальных перемещений. Величина всех изменений сильно зависит от степени снижения прочности породного массива.

Угол внутреннего трения оказывает значительное влияние на деформирование пород вокруг выработки. При значениях р < 32° вокруг выработки образуются три зоны: остаточной прочности, запредельного состояния и упругая. При значениях р > 32° зона остаточной прочности не образовывается, и возникают только две зоны: запредельного состояния и упругая. Это видно из рис.6, на котором представлены результаты расчетов зависимости безразмерного радиуса г/Я от угла внутреннего трения горной породы р для запредельной зоны (сплошная линия) и для зоны остаточной прочности (точками). Для сравнения на рис.б пунктиром показана упруго - пластическая граница, рассчитанная по условию Кулопа - Мора без учета запредельного состояния.

я

Рис.6. Зависимость безразмерного радиуса г/Л от угла внутреннего трении горной породы р.

Выяснено, что коэффициент Пуассона при значениях 0,1 < и < 0,4 практически не влияет на качественную картину налрхжеппо - деформи-

рованного состояния. При значениях V > 0,4 запредельная область сильно увеличивается в размерах.

Полученная зависимость радиуса зоны запредельного состояния от коэффициента хрупкости горной породы М/Е показывает, что размеры запредельной области сильно зависят от этого коэффициента при значениях М/Е < 1. При значениях М/Е > 1 размеры запредельной зоны практически не меняются.

В заключении излагаются результаты проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследована основная система уравнений теории предельного равновесия весомого неоднородного массива горных пород, находящегося в условиях плоской деформации при условиях текучести, полученных на основе последних экспериментальных данных. Выяснено, что уравнения пластического равновесия при условии А.Н. Ставрогина могут быть гиперболического, параболического и эллиптического типа. Показано, что эти уравнения при условии В. Менделя В. Шрейнера являются гиперболическими.

2. Проанализировано напряженно - деформированное состояние горного массива с учетом запредельного деформирования.

3. Построено аналитическое решение уравнений пластического равновесия в форме тригонометрических рядов. Найдены интегралы уравнений пластичности.

4. Получены точные решения упруго - пластической задачи о растяжении плоскости с круговым отверстием при выполнении условий пластичности А.Н. Ставрогина, В. Менделя - В. Шрейнера и с учетом запредельного деформирования. Для этих условий решена плоская уяруго -пластическая задача определения области предельных деформаций вокруг выработок круговой формы с учетом влияния коэффициента бокового распора.

5. Осуществлены численные расчеты и проведен их анализ. Выявлена степень влияния на размеры зоны предельных деформаций различных типов неоднородности породного массива, прочностных характеристик и экспериментальных параметров, входящих в условия А.Н. Сталрогипа и

В. Менделя - В. Шрейнсра. Определено влияенае деформационных характеристик породы на размеры зоны запредельной деформации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Журов Г.Н. Интегрирование основной системы уравнений теории предельного равновесия при условии Менделя- Шрейнера. // Механика подземных сооружений., Тула, 1982, с. 96-104.

2. Журов Г.Н. Интегрирование основной системы уравнений теории предельного равновесия неоднородной связной и сыпучей среды при условии разрушения А.Н. Ставрогина. // Изв. ВУЗов, Горный журнал, 1983, N 3, с. 18-23.

3. Журов Г.Н. Интегрирование основной системы уравнений теории предельного равновесия в запредельной области.// В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной научно - технической конференции молодых ученых и специалистов угольной промышленности., М., 1983, с. 62-63.

4. Проюсеня А.Г., Журов Г.Н. Напряженно - деформированное состояние вокруг выработок при разупрочнении горных пород. // В кн.: Горное давление в капитальных и подготовительных выработках, Новосибирск, 1985, с. 21-26.

5. Протосеня А.Г., Журов Г.Н., Александров В.А. Запредельное деформирование вокруг выработки в негидростатйческом доле напряжений. // Физ. техн. пробя. разраб. цолезн. ископаемых, 1988, N 2, с. 10-17.