Исследование пространственной задачи о волнах на поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом в возмущенном потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

(^и^М) На правах рукописи

Химич Сергей Алексеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ ПОД НИЗКОЛЕТЯЩИМ

КРЫЛОМ В ВОЗМУЩЕННОМ ПОТОКЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 ПАР 2015

005560621

Нижний Новгород - 2015

005560621

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Орлов Юрий Федорович

Официальные оппоненты: Кочетков Анатолий Васильевич,

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник НИИ механики при федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (Национальный исследовательский университет)

Суворов Анатолий Сергеевич,

кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией №711, ФГБУН «Институт прикладной физики РАН»

Ведущая организация: ФГБУН «Институт проблем машиностроения

РАН»

Защита состоится 22 апреля 2015 года в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан «25» февраля 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Катаева Л .Ю

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Диссертационная работа связана с исследованием задач гидроаэродинамики тяжёлой невязкой жидкости со свободной поверхностью, возникающих при проектировании экранопланов. Эти задачи можно классифицировать как задачи теории корабельных волн.

В настоящее время наибольшие успехи в решении проблемы изучения взаимодействия твёрдого тела с окружающей средой в ограниченной жидкости достигнуты при решении линеаризованных задач, использовании асимптотических и численных методов при решении нелинейных задач гидроаэродинамики. Здесь имеются в виду прежде всего задачи гидродинамики подводного крыла и теория крыла вблизи экрана, развитые в фундаментальных работах М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, Н.Е.Кочина, Л.И.Седова, М.Д.Хаскинда, Н.Н.Моисеева, Л.В.Овсянникова, С.М.Белоцерковского, А.Н.Панченкова, И.Т.Егорова, В.В.Пухначёва, В.И.Налимова, В.Г.Мазьи, А.Г.Терентьева, Ю.Ф.Орлова, Н.Г.Кузнецова, К.В.Рождественского, М.А.Басина, Т.Нишияма (Т.МвЫуата), Ш.Виднал (БЬ.'МскмН) и др.

Существенные успехи в решении пространственных задач были достигнуты в 50-х, 60-х гг. после того, как введённые ещё Л.Прандтлем в конце тридцатых годов прошлого века термин и математическая конструкция «потенциал ускорений» стали широко использоваться при решении такого рода задач гидроаэродинамики. Основопологающими в этой области следует считать работы А.И.Некрасова, Т.Ву (\Уи), М.Д.Хаскинда, А.Н.Панченкова, А.Питерса (А.Р^егв), Дж.Стокера У^окег), В.М.Ивченко, М.А.Басина, Ю.Ф.Орлова, И.И.Ефремова и др.

Формирование теории потенциала ускорений как самостоятельного раздела гидродинамики идеальной жидкости было связано с работами А.Н.Панченкова и учеников его Киевской и Иркутской школ. Базовая часть теории представлена в известных монографиях А.Н.Панченкова [3, 6]. В этих монографиях приведена логически завершенная теория подводного крыла, находящегося в пространственном стационарном и нестационарном потоках жидкости бесконечной и конечной глубины, учитывающей поверхность раздела тяжелых жидкостей с различными плотностями и взаимодействие несущих поверхностей. А.Н.Панченков формулировал краевые задачи в пространстве потенциала ускорений и редуцировал их к двумерным сингулярным интегральным уравнениям. Затем, с помощью асимптотического анализа, он сводил полученные двумерные уравнения к одномерным и далее решал одномерные уравнения с помощью созданного им же метода функциональных параметров.

А.Н.Панченковым была также разработана квадрупольная теория крыла вблизи экрана [4]. Эту теорию следует рассматривать как специальный раздел

теории потенциала ускорений. Квадрупольная теория крыла вблизи экрана конструктивно использует малость отстояния крыла от экрана и позволяет перейти от моделирования несущей поверхности слоем диполей к слою квадруполей, распределенных на экране под крылом. Вырождение фундаментальных структур дает возможность перейти от сингулярного интегрального уравнения к дифференциальному соотношению в плоских потоках и к уравнению Пуассона для области течения под крылом в пространственном случае. Фактически, квадрупольная теория представляет собой редкий случай построения регулярной асимптотики сингулярно возмущённой задачи.

В дальнейшем теория потенциала ускорений в задачах теории корабельных волн развивалась в работах Ю.Ф.Орлова, получивших отражение в его монографии [2]. Ю.Ф.Орловым выполнен цикл исследований предельной корректности задач теории корабельных волн и развита асимптотическая теория корабельных волн с вихревыми возмущениями за телами.

В настоящее время систему «низколетящее крыло за движителем» в общей постановке в рамках динамики вязкой жидкости можно изучать или экспериментально, или в рамках дискретной модели и соответствующих численных методов. В настоящей работе рассматривается постановка, основанная на предположении о невязкости жидкости в поле действия объёмных сил гравитационной природы при наличии свободной поверхности или поверхности раздела жидкостей с различными плотностями. В первом случае (вязкая жидкость) следует рассматривать комплекс «крыло за генератором турбулентной струи». По такой постановке имеется очень ограниченный объём публикаций по натурным экспериментам или полуэмпирическим моделям. Во втором случае для моделирования движителя можно либо использовать его вихревую теорию (например, рассмотреть модель винта в насадке), либо в упрощенном варианте рассмотреть систему: крыло за диском диполей, моделирующим движитель. Ввиду того, что задача о низколетящем над свободной поверхностью крыле должным образом не исследована (при наличии значительного числа решений различного рода задач на эту тему до сих пор не произведен анализ влияния числа Фруда на аэродинамические характеристики), в настоящей работе основной упор сделан на изучение и анализ решений задач о движении крыла произвольного размаха над свободной поверхностью или поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями, и решение задачи о крыле за диском диполей над поверхностью раздела двух жидкостей с различными плотностями. Актуальность данной работы определяется обширными приложениями в инженерной практике создания новых типов транспортных средств и немногочисленностью подробных исследований и расчетов особенностей гидроаэродинамики низколетящего крыла вообще и в возмущенном потоке особенно.

Цели диссертационной работы

Основными целями данной работы являются:

1. Создание и исследование математической модели движения низколетящего крыла над жидким экраном в возмущенном потоке.

2. Определение формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом в возмущенном и невозмущенном потоках в рамках пространственной стационарной задачи.

3. Нахождение зависимостей гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла над жидким экраном от числа Фруда, а также от геометрических параметров крыла, таких как относительное удлинение крыла, угол атаки крыла, отстояние крыла от экрана.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна работы связана с малочисленностью теоретических решений, доведённых до создания эффективно работающих алгоритмов и комплексов программ, пространственных задач в области гидроаэродинамики низколетящего крыла вообще и в возмущенном потоке особенно. Существенным является то, что анализ влияния числа Фруда на аэродинамические характеристики низколетящего над поверхностью раздела двух жидкостей с различной плотностью крыла с подробными расчётами проведен впервые в настоящей работе, и выявлено неизвестное ранее свойство зависимости коэффициента подъёмной силы от числа Фруда - экстремум для определённых сочетаний геометрических характеристик стационарной формы движения.

Положения, выносимые на защиту

1. В рамках линейной теории с использованием метода нестационарной аналогии разработана упрощенная модель движения компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости.

2. С использованием квадрупольной теории крыла А.Н.Панченкова решена задача о движении низколетящего крыла над границей раздела двух сред, создан алгоритм и программный комплекс расчета гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла над границей раздела двух сред.

3. В задаче о движении низколетящего крыла над границей раздела двух сред проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости под крылом и зависимостей гидроаэродинамических характеристик крыла от относительного удлинения крыла, угла атаки крыла, отстояния крыла от границы раздела сред, числа Фруда. Выявлено неизвестное ранее свойство зависимости коэффициента подъёмной силы от числа Фруда — экстремум.

4. Выполнены исследования и расчеты гидроаэродинамических характеристик крыла в задаче о движении низколетящего крыла за диском диполей над твердой поверхностью.

5. Поставлена и решена задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над границей раздела двух сред. Создан алгоритм и программный комплекс расчета гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла над границей раздела двух сред за диском диполей. Работоспособность алгоритма проверена на модельном примере с характеристиками, близкими к реальному объекту.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обоснована математической корректностью постановок задач, использованием строгих математических преобразований, строгим использованием аналитических и численных методов, сравнением с полученными ранее решениями и обсуждениями на научных семинарах и конференциях.

Практическая значимость результатов работы

Результаты, полученные в работе, могут оказаться весьма полезными при проектировании экранопланов и других скоростных судов, использующих принцип динамической воздушной подушки. Известно, что при проектировании указанных типов судов, решение задач о нахождении их оптимальных гидроаэродинамических характеристик осуществляется с помощью дорогостоящих экспериментов. Эффективные теоретические решения дадут возможность многовариантного оптимального проектирования новой техники.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

на ряде научных конференций: «Будущее технической науки». V Международная молодежная научно-техническая конференция (НГТУ. Нижний Новгород. 2006); «Будущее технической науки». X Международная молодежная научно-техническая конференция (НГТУ. Нижний Новгород. 2011); «Будущее технической науки». XI Международная молодежная научно-техническая конференция (НГТУ. Нижний Новгород. 2012).

на научном семинаре в Нижегородском государственном техническом университете им Р.Е.Алексеева (Нижний Новгород, 2014).

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [Г1 - Г10], в том числе статья [Г1], опубликованная в журнале «Известия РАН. Механика жидкости и газа», рекомендованном ВАК, а также статья [ПО], опубликованная

б

в журнале «Современные проблемы науки и образования», рекомендованном ВАК.

Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке методов их решения, проведении расчетов, а также подготовке публикаций по полученным результатам работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 137 страниц, включая 75 рисунков.

Во Введении обоснована актуальность темы работы, проанализирована степень ее разработанности. Также сформулированы цели работы, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 посвящена исследованию упрощенных моделей расчета формы волновой поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом. Характерная особенность таких моделей состоит в том, что движение низколетящего крыла над свободной поверхностью жидкости рассматривается как движение по свободной поверхности жидкости компактной области повышенного давления. Пространственные задачи о волнах на поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом в рамках данного подхода рассматривались, например, в [1, 2]. Основные трудности, связанные с этим подходом, состоят в вычислении волновых интегралов с ядром Коши.

В параграфе 1.1 предлагается существенно упростить задачу, используя метод нестационарной аналогии. Данный метод состоит в том, что пространственная стационарная задача при определенных условиях заменяется набором плоских нестационарных задач. Тогда в пространстве потенциала скоростей начально-краевая задача может быть сформулирована следующим образом:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

дФ _дц

Г = 0,

1-, г

Р

оо, г —оо,

где g - ускорение свободного падения, р - плотность жидкости, г = ц(у,1) -уравнение свободной поверхности жидкости, Р(у,0 - функция распределения по свободной поверхности давления.

Используя преобразование Фурье, решение системы (1) было найдено в виде:

.ОС /

Ф(у,2,1) = -—. \С>ИЬ | Т) ' - X)) с1хс!к . (2)

-«> О

Если по поверхности жидкости движется статическая воздушная подушка:

Р0; -Ь< у <Ь; О</<Г, 0; \у\>Ъ\ I>Т.

Р{у, 0

где 2Ь - размах крыла, Р„

Г) у

——, О - нагрузка на крыло, Т = — - время, за 4 Ь а

которое крьшо пройдет путь, равный хорде 2а, то в таком случае уравнение "ПО.О свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом может быть найдено в виде:

ПСМ) = -<в

-2 Р,

л-р-у0

30 г СО %ку . (кХ) ,—- Р(у,0

~г ■ I——=--51П — • соз(хсо• к-1)с/к + '

V- > к уг) р-у02

0 < / < 1:

п-р-^'о к \2 )

Р'П

(3)

где Х = Ыа, <a = 2g■alvl=\IFr2, Р(,у,1) =

Р„ 0 < / < 1, 0,/>1 ,Н>|.

По формуле (3) были проведены расчеты волнообразования на поверхности тяжелой жидкости при движении по ней прямоугольной компактной области повышенного давления с параметрами Р„ = 83.3, X = 1 для

чисел Фруда Fr = 1.5; /=> = 3; Рг = 5, результаты которых, соответственно, представлены на рисунках 1-3.

Рисунок 3

Также в параграфе 1.1 было найдено уравнение свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом для случая, когда давление под крылом имеет форму распределения, близкую к треугольной.

В параграфе 1.2 приведено решение пространственной стационарной задачи о движении по свободной поверхности жидкости компактной области повышенного давления. В системе координат, связанной с крылом, задача имеет следующую постановку:

Х2 а2Ф [ а2ф | д2ч>, дх2 дуг 5?2

о,

ф*

со

2Рг

г = 0,

(4)

ф -> 0,

Уф -> о,

г —» -оо, х —> 00

где \ = Ыа - относительное удлинение крыла; 2а, 2Ъ - соответственно, хорда и размах крыла; ю = 1/(2 /;'г2) - безразмерная величина, Fr = vйl^2Tg~a - число Фруда; ц - малый действительный параметр, устремляемый к нулю в конечных результатах

С использованием преобразования Фурье решение системы (4) было найдено аналитически. Также была найдена общая формула, которая определяет форму свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом, в которую можно подставлять различные Фурье-образы функций распределения давления под крылом:

_ 2

С,(х, У, z) = Re (А. ¡со J Р{

ы ,e).i!

Хозг . х XvsinG,

-/ш(-т—-—)

г9.„ cose cos26

+ Rc (

2к

cos2e'"' coS4e

Р(г,в) - F2 ■ exw e"

2

-XFr2 r" Pir G)-F2 ■ .„¡rilcose+X.-?, in 6)

-drc/в).

cos2 в

В случае движения над поверхностью жидкости статической воздушной подушки (постоянного давления Р0) формула для вычисления ординаты свободной поверхности жидкости имеет вид:

( Х-ш-г^

2 J

к 1

" sinl f 1 (co-A,-sin0^

k, cos2 0 J

„ (O-sin0

ехр

I cos2 9

cos О

___/co-^-ysine4! ( fco-лЛ fco-(x-2)

xcosl-Vr- • cos - -cos —i--

cos-в J [ {coseJ ^ cose

(6)

El

n

f (• sin(r • X • sin 6) exp(A. • z • r) , „ Ц sin 0-cos 6 ш

cos2 0

X [sin(r • x• cos0) — sin(/" • (x - 2) ■ cos 6)] dr dQ).

По формуле (6) были проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости при движении по ней статической воздушной подушки с параметрами Р0 =83.3, X = 1 для чисел Фруда Fr = 1, Fr = 3, Fr = 5, результаты которых, соответственно, представлены на рисунках 4-6.

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6 ю

Также в параграфе 1.2 были проведены расчеты волнообразования на поверхности жидкости для случая движения над поверхностью жидкости динамической воздушной подушки - прямоугольного крыла конечного размаха. Информация о распределении давления под низколетящим над твёрдым экраном крылом была взята из квадруполыюй теории А.Н.Панченкова

[4].

Сравнивая результаты расчетов, полученные в рамках пространственной стационарной задачи о движении компактной области повышенного давления по поверхности тяжелой жидкости, с результатами расчетов по методу нестационарной аналогии, можно отметить следующее: качественная картина волнообразования в рассмотренных моделях для одинаковых значений чисел Фруда сохраняется; различие моделей проявляется в детализации расходящихся волн во внутренней области угла Кельвина.

В Главе 2 исследована задача о движении на малой высоте над поверхностью SL раздела жидкостей с различными плотностями крыла S конечного размаха. В системе координат, связанной с крылом, в пространстве потенциала ускорений линеаризованная задача имеет вид:

Д9, =0, qe£1, в,.=Г(р), peSp,

[G,] = 0, * = 0, z = 0, \y\<b, (7)

p (0,„ -ц9„ +vO„)-e,„+nG2, -v92i =0, qe SL,

где 9, - потенциал ускорений для верхней жидкости; 9, - потенциал ускорений для нижней жидкости; q = (x,y,z) efi, П - пространство, занятое жидкостью; р = е sр, sp- проекция поверхности крыла на координатную плоскость

ху\ F{p) = N0'\Fi(p)), N0~' =-v0—(•); F,(p) - нормальная составляющая скорости

ох

точек на крыле; Ъ - полуразмах крыла; р = р,/р2«1 - относительная плотность; v = g-v0"!, g-9.81 м/с2, v0 - скорость движения крыла; ц - малый действительный параметр, устремляемый к нулю в конечных результатах.

Решение задачи (7) ищется в форме интегрального оператора типа потенциала двойного слоя: 9, = Ау. Основное двумерное сингулярное интегральное уравнение в линейной задаче о движении крыла вблизи границы раздела жидкостей имеет вид [2, 3, 4]:

N0Aj = F(q), (8)

где N0 = -v„"' f(-)А имеет смысл оператора, AIy = —\y(p)S

i 4jc J dzdC,

p = eSp; q = (x,y,z)eSp; у(p) - плотность двойного слоя на поверхности

> р(я) - проекция на нормаль к .9 скорости набегающего потока жидкости; О, (/>,?) - фундаментальное решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию теории волн малой амплитуды на поверхности раздела жидкостей, вид которого известен [5].

Используя малость параметра отстояния крыла конечного размаха от поверхности раздела двух жидкостей и механизм квадрупольного вырождения фундаментальных структур [4], трёхмерная краевая задача для уравнения Лапласа во всей области П, занятой жидкостью, была сведена к двумерной краевой задаче для уравнения Пуассона в области под крылом:

где А' = А/2о, Н' = Ь/2Ь; хе[0,2]; Ф(л:,±1) = Ф(2,>0 = О; 5Ф(0'>')^0;

дх

К дС, к '

Решив краевую задачу (9), можно найти Ф(х,у) - правую часть интегрального уравнения (10). Решив (10), можно найти плотность двойного слоя у(х,у), которая далее может быть использована для определения потенциала скоростей жидкости <р(х,у,г) и формы свободной поверхности жидкости С,(х,у). Также по известным формулам [6] могут быть найдены коэффициент подъёмной силы Су, коэффициент волнового сопротивления С„.:

С. (11)

^ = ф ¡а(Х,у) /г(с.л)**' ^>1.0) , (12)

^ (X,

Краевая задача (9) и интегральное уравнение (10) были решены численно. Была найдена форма волновой поверхности жидкости под крылом, движущимся на сверхмалых отстояниях над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями:

- 4 h'w„a

Х-цуа __I cos16 ) s. Г

lit cos4e t cose

____Г C0o-a-sin9-(y-r|)

cos" 9

X-Fr2- (l-o) „ 2r'f"r7 „

--r-5-¿ V P- \ J J J у(4. Л) • cos(r • (x - У • cos 0) к

0-100

r2 -cos2 6■ exp(-4• л'■ г) , ,

x-г—i-—z-¿ ■ cos(r • X ■ (y - r|) • sm 6) drdQdndE.

rcos" е-ш0 a

Для апробации приведённого выше алгоритма были выполнены подробные расчёты гидроаэродинамических характеристик крыла, близкого по параметрам к крылу судна на динамической воздушной подушке (СДВП) «Волга-2» из [7].

На рисунках 7, 8 представлены графики функции K,(Fr), которая определяется отношением коэффициента подъёмной силы крыла в зависимости от числа Фруда при движении крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями к коэффициенту подъемной силы того же крыла при его движении над твердой поверхностью. Графики представлены для плоского прямоугольного крыла, имеющего площадь 36 м2, угол атаки а = 4° и отстояния от поверхности: h=0.09 м, h=0.12 м, h=0.15 м, h=0.18 м, h=0.6 м (только для крыла, имеющего > = 1). На рисунке 7 представлен график для вышеупомянутого крыла, имеющего относительное удлинение 5i=l, на рисунке 8 - для крыла, имеющего относительное удлинение \=4.

Рисунок 7 Рисунок 8

Из рисунков 7, 8 видно, что коэффициент подъёмной силы крыла, движущегося над границей раздела жидкостей с различными плотностями, имеет ярко выраженный максимум в закритической области чисел Фруда. Проведенные расчеты показали, что с увеличением относительного удлинения

13

крыла X положение максимума слабо смещается в сторону больших значений чисел Фруда при одновременном уменьшении колебания графика функции и приближении значений коэффициента подъёмной силы к значению для случая движения крыла над твёрдым экраном. С увеличением относительного отстояния до А'= 0.1 и выше, по всей видимости, эффект местного увеличения коэффициента подъёмной силы для некоторых значений числа Фруда исчезает.

Выполненные расчёты ответили ещё на один пока открытый вопрос: на сколько мы ошибаемся, заменяя свободную поверхность жидкости твёрдым экраном при конечных значениях числа Фруда? Из графиков функции К^г) видно, что ошибка не превосходит 6 - 11 % на сверхмалых отстояниях, причём с увеличением относительного отстояния эта ошибка уменьшается и на малом отстоянии {К = 0.1) достигает всего лишь 2%.

Насколько известно, влияние числа Фруда на коэффициент подъёмной силы крыла, движущегося на малой высоте над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями, не исследовано. Факт наличия точки максимума у зависимости СД-Рг) ранее не выявлялся. Для объяснения этого эффекта были выполнены подробные расчёты формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом для различных чисел Фруда и различных относительных удлинений низколетящего крыла.

На рисунках 9—11 представлены некоторые результаты расчетов рельефа свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом, имеющим Х=1, а =4°, 11=0.09 м (А' = 0.015) для чисел Фруда »= 1.5, Л-= 2.485, /> = 5.1, соответственно.

Анализируя результаты расчетов, можно сделать общие выводы: при числе Фруда Рг = 1.5 для различных значений относительного удлинения крыла X форма поверхности жидкости под низколетящим крылом имеет характерный для корабельных волн в закритической (/>> 1) области вид (первый тип волновых систем). При больших числах Фруда для различных значений относительного удлинения крыла X форма поверхности жидкости под низколетящим крылом типична для рельефа поверхности жидкости под крылом экраноплана - валики за боковыми кромками крыла и впадина под поверхностью крыла (второй тип волновых систем). При тех числах Фруда, при которых достигается максимум коэффициента подъемной силы крыла для различных значений относительного удлинения крыла X, форма поверхности жидкости под низколетящим крылом соответствует фазе перехода волновых систем из первого типа во второй, причем волновая поверхность под низколетящим крылом заметно возвышается над невозмущённым уровнем. Этот факт проиллюстрирован на рисунке 12, на котором представлены срезы (в диаметральной плоскости) поверхностей жидкости под низколетящим крылом, имеющим А.=1, а = 4°, 11=0.09 м (// = 0.015), для чисел Фруда /> = 1.5, /=> = 2.485, Рг = 5.1.

-п= 1 ч'г.О)

_______

\ Ч Ч

Рисунок 12

В Главе 3 исследовались задачи о движении на малой высоте над твёрдым и жидким экраном крыла конечного размаха за диском диполей с заданным распределением скачка давления в диске.

Рассматриваемая в параграфе 3.1 линейная задача о движении низколетящего крыла 5 за диском диполей О над твердой поверхностью имеет следующую постановку в системе координат, связанной с крылом:

де = 0, в, =*■(*),

—9 = 0, 2 = -И,

дг

[е]=0, х = 0, г = 0,

[0]=—>

где в(х,у,г) - потенциал ускорений; д = (х,у,г)\ О. - пространство, занятое жидкостью; = Л'0"1(/;'1(^)), где ^(д) - нормальная составляющая скорости точек на крыле; 5 — проекция поверхности 5 на плоскость ху; Р, - скачок давления в диске £>; И - отстояние крыла от опорной поверхности.

Так как рассматривается линейная задача, то ч>(х,у,г) - потенциал скорости возмущенного движения жидкости, полученный при решении краевой задачи (14), можно представить в виде двух составляющих:

где ср'(х,у,г) - потенциал скорости обтекания крыла, ^(х,у,г) - потенциал скорости обтекания диска диполей.

Решение задачи (14) ищется в виде суммы интегральных операторов типа потенциала двойного слоя: в = Ау + Ауа,

Исходя из этого, было получено двумерное сингулярное по одной переменной интегральное уравнение:

где <р" =лг0лу„, Г" =(Г+Г)12.

Таким образом, влияние диска диполей на характеристики крыла в линейной задаче проявляется в изменении правой части интегрального уравнения и имеет смысл динамической кривизны потока жидкости перед крылом.

Рассматривая далее случай постоянного скачка давлений в диске диполей, удалось представить функцию ф*' = в

явном виде:

ф(х,у, г) = ф* (х, у, г) + ф'' (х, у, г),

(15)

где Ау = ±1у(р)™(^*.

Л'оЛу = Н + 9?)/;* + -9?,

(16)

#оАУ\ [со8гр-7, +8тЭ.со8Р-(Л + +вт2р• 4к

где J¡, J2, Jз, - комбинация рациональных, логарифмических и тригонометрических функций.

С учетом (17) были в явном виде найдены формулы для нахождения продольной (ф^), поперечной (ф^) и вертикальной (ф'/) составляющих скорости на вызванной диском диполей. По полученным формулам были выполнены расчеты вызванных диском диполей скоростей в модельном примере для бестелесного прямоугольного крыла.

Из [4] известно, что интегральное уравнение вида (18) сводится к краевой задаче для уравнения Пуассона. В нашем случае краевая задача для уравнения Пуассона будет иметь вид:

°2 1 д2 л <х-(-1 + Ф?)-Ф,

(18)

где = |у(т, у)с1т\ Н' = И/2Ь; хе[0,2]; ^ е[—1,1]; Ф(л,±1) = Ф(2,^) = 0;^^ = 0.

. дх

Решив (18), можно найти у(х,у) = -

8Ф(х,у) д~х

распределение плотности

двойного слоя у по поверхности 5р. После этого можно найти коэффициент С\ подъемной силы крыла по формуле (11).

На рисунке 13 представлен график функции Кс(а), которая определяется отношением коэффициента подъемной силы крыла, движущегося за диском диполей над твердой поверхностью, к коэффициенту подъемной силы изолированного крыла, движущегося над твердой поверхностью в зависимости от угла атаки крыла. Эта функция имеет смысл коэффициента влияния диска диполей на подъемную силу крыла в зависимости от угла атаки крыла.

к/к

Рисунок 13

Рисунок 14

На рисунке 14 представлен график функции К^Рг), которая определяется отношением коэффициента подъемной силы крыла при его движении над твердой поверхностью в присутствии диска диполей в зависимости от скоростного критерия /•> к коэффициенту подъемной силы крыла при его движении над твердой поверхностью в отсутствии диска диполей. Графики представлены для плоского прямоугольного крыла, имеющего площадь 36 м2, угол атаки а -4° и отстояние 11=0.09 м от твердой поверхности.

Выполненные расчёты показали, что вызванные диском диполей скорости при удалении от диска относительно быстро стремятся к нулю. Однако, в целом, влияние диска на коэффициент подъёмной силы заметно, если не сказать велико: при фиксированной скорости крыла и фиксированном отстоянии крыла от поверхности влияние диска диполей на коэффициент подъемной силы крыла тем больше, чем меньше угол атаки крыла; при фиксированном угле атаки крыла и фиксированном отстоянии крыла от поверхности влияние диска диполей на коэффициент подъемной силы крыла тем больше, чем меньше скорость крыла.

В параграфе 3.2 рассматривается линейная пространственная стационарная задача о движении комплекса «крыло - диск диполей» с известным скачком давления в диске диполей над поверхностью раздела двух невязких тяжелых жидкостей с различными плотностями. По сути, в этом параграфе выполнено объединение постановок задач, которые были поставлены и решены в главе 2 и в параграфе 3.1:

де, =о, 9„ =/(<?), [е]=0, х = 0, г = 0,

[е]=А (19)

р

У6->0, х —» +со,

р(9,„ + ув1г)-02„ +мв2т =0, д е

Для постановки задачи вида (19) справедливы все действия, описанные в параграфе 3.1. Поэтому, используя функцию Грина, которая была определена в главе 2, применив преобразования, описанные в параграфе 3.1, и используя процедуру построения квадрупольного приближения, описанную в главе 2, была получена краевая задача для уравнения Пуассона:

82 i д2 1 - //•°-н + ф?) + ф''/7-ф''

Фхл.Рг.р =—- ' , -1——. (20)

дх X2 ду2) У У 4-Н'-X 1 '

где = х е [а,(у),а2 (у)\, >е[-1,1]; Ф(х, tl.Fr, р) = Ф(а2, р) = 0;

1о

—-— = 0; а,(у), аЛу) - уравнения задней и передней кромок крыла

ох

соответственно; Ф(х,у) определяется уравнением (10).

Как видно, краевые задачи (9) и (20) - очень похожи, разница между ними заключается лишь в правых частях. Поэтому для решения краевой задачи (20) и дальнейшего нахождения гидроаэродинамических характеристик крыла можно применить ту же схему, что применялась в главе 2.

На рисунке 15 показаны графики функции Кс(а), которая имеет смысл коэффициента влияния диска диполей на подъемную силу крыла в зависимости от угла атаки.

Рисунок 15

На рисунке 15 график Кс1 (а) - для твердой поверхности (был также представлен на рисунке 13), Кс1{а) - для поверхности раздела сред воздух-вода. Из рисунка 15 видно, что коэффициент подъёмной силы крыла, движущегося над границей раздела сред воздух-вода, при наличии диска диполей перед крылом, растёт и тем больше, чем меньше угол атаки крыла. Разность Кс1 (а) - Кс2 (а) имеет порядок 10"3, что говорит об идентичности влияния диска диполей на подъёмную силу крыла над твёрдым и жидким экраном.

На рисунках 16 и 17, соответственно, изображена форма свободной поверхности за движущимся изолированным диском диполей при его движении со скоростями 11 м/с и 21 м/с.

Рисунок 16 Рисунок 17

На рисунках 18-20 представлены рельефы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом при наличии перед ним диска диполей для случаев движения комплекса «крыло - диск диполей» над границей раздела двух жидкостей с числами Фруда /У = 1.5, /-> = 2.485, /> = 5.1 соответственно. Крыло в этих расчетах имело Х,=1, а = 4° , 11=0.09 м {И = 0.015).

Рисунок 18 Рисунок 19

Рисунок 20

Как видно из рисунков 18 - 20, качественно рельеф свободной поверхности под крылом за диском диполей повторяет рельеф под изолированным крылом (см. рисунки 9 - 11). Однако наличие диска диполей перед крылом, движущимся над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями, заметно увеличивает амплитуду волн, генерируемых крылом на поверхности раздела двух жидкостей с различными плотностями. Причём, если для чисел Фруда 1.5 и 5.1 впадина под крылом увеличивается, то для числа Фруда 2.485, соответствующего точке экстремума коэффициента подъёмной силы, подъём свободной поверхности под крылом растёт, что проиллюстрировано на рисунках 21-23.

Рисунок 21 Рисунок 22

к /к" '•Л 1 *'Х •

["351 -js.IT! \ / \Ч-/ - ос.о; ••-. ..

Рисунок 23

Так как рисунки 21-23 дают срезы свободной поверхности в диаметральной плоскости, в которой и расположен диск диполей, то, по всей видимости, изменение свободной поверхности связано с действием диска диполей. Если ориентироваться на форму волновой поверхности под изолированным диском диполей, представленной на рисунках 16 и 17, то можно предположить, что влияние диполей локализовано в ограниченной области за ним, так как было обнаружено, что вызванные скорости за диском диполей при удалении от него быстро затухают. Этот факт косвенно подтверждается тем, что экстремальные свойства коэффициента подъёмной силы комплекса существенно от таких свойств изолированного крыла не отличаются. Проведённые ниже расчёты зависимости Кт(Рг) подтверждают это.

На рисунках 24, 25 представлены графики зависимости К„(Рг), которая определяется отношением коэффициента подъемной силы крыла при его движении над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями в присутствии диска диполей в зависимости от числа Фруда к коэффициенту подъемной силы крыла при его движении над твердой поверхностью в присутствии диска диполей в зависимости от числа Фруда.

21

Графики представлены для плоского прямоугольного крыла, имеющего площадь 36 м2, угол атаки а = 4° и отстояния 11=0.09 м, Ь=0.12 м, 11=0.15 м, 11=0.18 м от поверхности. На рисунке 24 представлен график для вышеупомянутого крыла, имеющего относительное удлинение 1=1, на рисунке 25 - для крыла, имеющего относительное удлинение Х=4.

1-г-з.

Рисунок 24 Рисунок 25

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В настоящей диссертационной работе получены следующие результаты:

1. В рамках линейной теории с использованием метода нестационарной аналогии разработана упрощенная модель движения низколетящего крыла над поверхностью тяжелой жидкости. Найдены простые формулы и быстроработающий алгоритм для определения формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом. Проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом в модельных примерах.

2. Используя квадрупольную теорию крыла А.Н.Панченкова, решена задача о движении низколетящего крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями. Также, создан асимптотический алгоритм и программный комплекс расчета гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями.

3. В задаче о движении низколетящего крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости под крылом и зависимостей гидроаэродинамических характеристик крыла от относительного удлинения крыла, угла атаки крыла, отстояния крыла от границы раздела жидкостей, числа Фруда.

4. В задаче о движении низколетящего крыла над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями выявлено неизвестное ранее свойство

22

зависимости коэффициента подъёмной силы крыла от числа Фруда -экстремум.

5. Проведены исследования и расчеты гидроаэродинамических характеристик крыла в задаче о движении низколетящего крыла за диском диполей над твердой поверхностью. Проведен анализ влияния диска диполей на характеристики потока под низколетящим крылом. Получены формулы для расчета вызванных диском диполей скоростей потока под крылом.

6. Поставлена и решена задача о движении низколетящего крыла за диском диполей над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями. Создан асимптотический алгоритм и программный комплекс расчета гидроаэродинамических характеристик низколетящего крыла, движущегося за диском диполей над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями. Работоспособность алгоритма проверена на модельном примере с характеристиками, близкими к реальному объекту. Проведены расчеты коэффициента влияния диска диполей на подъемную силу прямоугольного бестелесного крыла в зависимости от угла атаки крыла и числа Фруда. Проведены расчеты формы свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом при наличии перед ним диска диполей.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Орлов Ю.Ф. Алгоритмы расчета формы свободной поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом // Асимптотические методы в механике. Новосибирск: Наука, 1983. С. 92 - 101.

2. Орлов Ю.Ф. Потенциал ускорений в гидродинамике корабельных волн. Новосибирск: Наука, 1979. 214 с.

3. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наук, думка, 1965. 552 с.

4. Панченков А.Н. Квадрупольная теория крыла вблизи твердой границы // Асимптотические методы в динамике систем. Новосибирск: Наука, 1980. С 5-116.

5. Панченков А.Н. Линейные задачи гидродинамики крыла над поверхностью раздела жидкостей разных плотностей // Гидродинамика больших скоростей. Киев: Наук, думка, 1965. С. 7-20.

6. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука, 1975 220 с.

7. Соколов В.В. Новое поколение крылатых судов // Судостроение, 1991 №1 С. 3-7.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Г1. Орлов Ю.Ф., Химич С.А. Движение крыла над поверхностью раздела жидкостей с различными плотностями за диском диполей // Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 2015. №2. С. 121 - 130.

Г2. Химич С.А. Движение диска диполей над границей раздела двух жидкостей с различными плотностями // Будущее технической науки: Сборник материалов XIII Международной молодежной научно-технической конференции; НГТУ им. P.E. Алексеева. - Нижний Новгород, 2014. С. 41 -42.

ГЗ. Химич С.А. Движение над границей раздела двух сред крыла конечного размаха // Будущее технической науки: Сборник материалов XI Международной молодежной научно-технической конференции; НГТУ им. P.E. Алексеева. - Нижний Новгород, 2012. С. 39 - 40.

Г4. Химич С.А. Метод нестационарной аналогии в задаче о волнах на поверхности тяжелой жидкости, генерируемых низколетящим крылом // Труды Нижегородского Государственного Технического Университета им. P.E. Алексеева, 2013. №3. С. 47 - 54.

Г5. Химич С.А. Расчет вызванных работой движителя составляющих скоростей воздушного потока под низколетящим крылом // Будущее технической науки: Сборник материалов XII Международной молодежной научно-технической конференции; НГТУ им. P.E. Алексеева. - Нижний Новгород, 2013. С. 39-40.

Г6. Химич С.А. Трехмерная задача о волнах на поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом // Будущее технической науки: Сборник материалов X Международной молодежной научно-технической конференции; НГТУ им. P.E. Алексеева. — Нижний Новгород, 2011. С. 54.

Г7. Химич С.А., Орлов Ю.Ф. Волны на поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом // Будущее технической науки. Тезисы докладов V Международной молодежной научно-технической конференции. НГТУ. Нижний Новгород, 2006. С. 172.

Г8. Химич С.А., Орлов Ю.Ф. Движение над границей раздела двух сред крыла конечного размаха // Труды Нижегородского Государственного Технического Университета им. P.E. Алексеева, 2011. № 3 (90). С. 196 - 203.

Г9. Химич С.А., Орлов Ю.Ф. Задача о движении крыла за диском диполей над твёрдой поверхностью // Труды Нижегородского Государственного Технического Университета им. P.E. Алексеева, 2014. №1. С. 53 - 58.

Г10. Химич С.А., Орлов Ю.Ф. Расчёт аэродинамических характеристик крыла конечного размаха над границей раздела двух сред [Электронный ресурс] / Химич С.А., Орлов Ю.Ф. // Современные проблемы науки и образования. — 2014. -№ 5. - Режим доступа: http://www.science-education.ru/! 19-14768.

Подписано в печать 18.02.2015. Формат 60 х 84 l/i6. Бумага офсетная. _Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 115._

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева.

Типография НГТУ. Адрес университета и полиграфического предприятия: 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.