Исследование процессов диффузии в неоднородных средах со случайной проницаемостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛОГВИНОВА Кира Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ СО СЛУЧАЙНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

01.02.05 - МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 2005

Работа выполнена на кафедре «Информационные системы и технологии» - Нижегородского филиала Государственного университета - Высшая школа

экономики

и на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, г. Нижний Новгород

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор O.P. Козырев

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.Н. Панченков, (Нижегородский государственный технический университет, Н.Новгород)

доктор физико-математических наук, профессор H.H. Бобков (Нижегородский филиал Государственного университета - Высшая школа экономики, Н.Новгород)

Ведущая организация: Нижегородский государственный

университет им. Н.Г. Лобачевского

Защита состоится 23 декабря 2005 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: Н. Новгород, 603600, ул. Минина, 24, корп.1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » октября 2005 г. Ученый секретарь

специализированного совета Д 212.165.10

К.ф.-м.н., доцент \/ A.A. Куркин

и^ШАЛ.

2/?Р6 -V 2262!

2ШМС

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

В последнее время значительно возросло внимание к исследованиям в области неупорядоченных сред: гетероструктурные среды со случайным или периодическим расположением фаз, аморфные и композитные материалы, легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные грунты. Это обусловлено широким применением таких материалов в различных областях техники, от микроэлектроники при создании приборов с необычными свойствами, до сельского хозяйства, когда необходимо учитывать характер распределения удобрений в различных фунтах. В ходе таких исследований естественным образом возникает ряд теоретических задач: о процессах диффузии и проводимости, о просачивании и фильтрации жидкостей, о движении электронов в случайном электромагнитном поле и т.п.

В предлагаемой работе исследуется класс задач фильтрации в средах, в которых процессы переноса частиц контролируются стохастическими характеристиками среды (случайные фрактальные среды), например, случайным коэффициентом диффузии. При изучении характера транспорта примесных частиц в таких средах возникает ряд проблем, которые до настоящего времени не получили окончательного решения. Это, прежде всего, получение базовых уравнений переноса, адекватно описывающих ту или физическую модель среды. Поскольку базовые уравнения содержат параметры, являющиеся случайными функциями, то концентрация примесных частиц, как функционал от этих параметров, - тоже случайная функция. Поэтому возникает другая проблема -построение регулярных и достаточно универсальных методов нахождения уравнения для средней концентрации. И, наконец, из полученных уравнений для средней концентрации необходимо извлечь практически важные следствия, обусловленные стохастическим характером среды, отыскать возможные классы решений.

Настоящая диссертация и посвящена построению математических моделей для некоторых типов случайных сред и разработке методов усреднения, соответствующих этим моделям уравнений.

Цель работы

Цель работы состоит в описании процесса переноса вещества в случайных средах. Достижение этой цели включает следующие этапы:

• Формулировка основных уравнений, описывающих транспорт частиц в конкретных средах со случайными параметрами.

• Развитие регулярных методов усреднения и получения замкнутой системы уравнений, описывающих диффузию частиц в стохастических средах.

• Применение развитых методов к решению конкретных задач

Научная новизна результатов работы

• Для пористых сред, в которых перенос примесных частиц происходит в носителе, содержащем хаотически распределенные зерна, получено уравнение диффузии, отличающееся от известных ранее зависимостью эффективного коэффициента диффузии от проницаемости

• Получено новое уравнение для сред, в которых диффузия примесей осуществляется по тонким, случайным образом изогнутым трубкам.

• Разработана методика получения замкнутой системы уравнений для средних значений функциональных производных от концентрации по случайным параметрам среды.

• Для пористых и трубчатых сред с гауссовым характером стохастичности параметров адаптирован метод последовательных приближений и диаграммная техника. Показано, что, суммируя определенный класс диаграмм можно получить решение в требуемом приближении.

• Показано, что на пространственных масштабах, больших корреляционной длины случайного поля параметров и на временах, больших диффузионного времени, перенос примесей описывается уравнениями в дробных производных по времени.

• Найдены решения в квадратурах для средней концентрации примесей. Показано, что для пористой и трубчатой сред имеет место эффект аномальной диффузии и перенормировка эффективного коэффициента диффузии.

• В одномерном и трехмерном случаях получено уравнение в дробных производных по времени, описывающих транспорт частиц при наличии внешнего поля сил с гауссовым характером стохастичности потенциала. Выявлены эффекты аномальной (медленной) диффузии и перенормировки коэффициента диффузии.

• Показано, что на пространственных масштабах, больших корреляционной длины и на временах, больших диффузионного времени, явный вид уравнений, описывающих эволюцию средней концентрации слабо зависит от вида корреляционной функции случайного поля.

Научная и практическая ценности работы.

Построены новые математические модели пористой и трубчатой сред. Предлагаемые модели адекватно описывают процессы диффузии в ряде реальных физических ситуаций В качестве примера можно привести процессы переноса примесей в грунтах с различными стохастическими свойствами и в жидкометаллических расплавах. Разработаны регулярные методы получения уравнений для средней концентрации. Эти методы могут быть применены к исследованию уравнений других типов, а не только к уравнениям диффузии в пористой и трубчатой средах, как это сделано в диссертации Выявлены эффекты перенормировки коэффициента диффузии и аномальной диффузии, что радикально меняет характер распределения примесей по сравнению с обычными, то есть не случайными средами.

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертации отражены в 12 публикациях (из них 6 статей и 6 тезисов докладов) и были представлены автором на следующих конференциях:

• International Conference Topical Problems of Nonlinear Physics NPW-3, Nizhniy Novgorod, 2003;

• VIII международная конференция Кограф-2003, Н.Новгород, НГТУ, 2003;

• VI International Congress of Mathematical Modeling, Nizhniy Novgorod, 2004;

• International Conference "Fractional Calculus and Applications (FDA04)", Bordeaux, France, 2004;

• XXI International Congress off Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM04), Warsaw, Poland;

• ENOC-2005, Eindhoven, Netherlands, 7-12 August 2005.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 107 страниц, включая 24 рисунка и список литературы из 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, приведен краткий обзор литературы, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 приведен вывод базовых уравнений переноса примесных частиц в пористой и трубчатой случайных средах. В §1.1 рассмотрена модель пористой среды, простейшая реализация которой приведена в работе [1]: в пространстве имеется носитель, например, жидкость в которой находятся неподвижные зерна какого-либо вещества в твердой фазе и рассматривается диффузия примесных частиц в этом носителе при наличие зерен. Подробный анализ, проведенный в диссертации показывает, что перенос частиц в этой модели подчиняется уравнению

!-«(?, t)e(f) = Z>0V£(r)VU(r,/) = 0, (1)

at

где - концентрация примесных частиц, - коэффициент диффузии в

свободном от зерен пространстве, s^ - пористость или проницаемость, которая зависит от распределения зерен; =' ~ ^(r) ^ где К(г) _ объем зерен, отнесенный к единице объема Структура уравнения (1) отличается от уравнения, приведенного в [1], зависимостью эффективного коэффициента диффузии от пористости, которая фигурирует в правой части (1). Пренебрежение этой зависимость не имеет каких-либо физических или математических оснований. В

дальнейшем будем предполагать, что - случайная функция. В §1.2 рассмотрена модель среды, представляющая собой ансамбль трубок, заполненных раствором, в которых и происходит диффузия частиц. При этом предполагается, что трубки случайным образом изогнуты в пространстве. Для случая, когда трубки расположены в одной плоскости получено уравнение для концентрации u(x,t)

^¿¿.D^f.^ii, (2)

8t dx Зх

где £•(*) = cos, в - угол наклона трубки к оси ОХ. Уравнения (1) и (2) описывают диффузию частиц в соответственно пористой и трубчатой случайной средах. В §1.3 приведен необходимый для дальнейшего исследования обзор свойств случайных полей. Поскольку, как это будет показано в дальнейшем, эволюция средней концентрации примесей в случайных средах описывается уравнениями в дробных производных по времени, в §1.4 приведены свойства операторов дробного порядка. В §1.5 для класса уравнений, содержащих операторы дробного дифференцирования, возникающих при моделировании процессов диффузии в случайных средах, доказана теорема о существовании фундаментального решения этих уравнений.

Приведенные выше уравнения (1) и (2) содержат случайные функции е(х). Поэтому решения этих уравнений, являясь функционалами от е(х) , тоже случайные функции. Нас же интересует средняя концентрация примесей. В связи с этим возникает проблема получения уравнений для средней концентрации, которая и рассматривается в Главе 2. В § 2.1 на примере задачи о диффузии в

поле случайных сил применен разработанный в [2] для стационарной задачи и адаптированный в диссертации к нестационарному случаю метод последовательных приближений и диаграммная техника Соответствующее уравнение

ди д2и ди

д< дх дх дх

может быть получено из уравнения (1) для пористой среды в одномерном случае, если ввести случайную функцию г!(х) = \<ле(х) и интерпретировать т}(х) как потенциальную функцию внешнего поля. Метод последовательных приближений состоит в разложении средней концентрации в ряд по корреляционным функциям случайного поля ц(х) различных порядков При этом каждому члену разложения ставится в соответствие построенная по определенным правилам диаграмма. Диаграммная техника эффективно работает, если случайное поле г/(х) имеет гауссов характер стохастичности. В этом случае удается просуммировать в нужном приближении определенный класс диаграмм и получить уравнение для средней концентрации В этом параграфе для корреляционной функции вида к-*»!/ ^ _х |\

^лСх2,Х|>1=(т|('х2/) г|(';с|)} = яое ' 11+ I . гДе ' - корреляционная длина, при

условии нормальности поля случайных сил для малых флуктуаций (а0 «1) и на пространственных масштабах больших корреляционной длины, для средней концентрации получено уравнение в дробных производных

'{д{и(х.!)) п д2(и(Х,1))'

V / I <я дх I V ) дх

(3)

где Д^ - оператор дробной производной по времени порядка ^ ; х =

Уравнение (3) справедливо при любых временах. Для времен больших диффузионного (1»т) уравнение (3) приобретает более простой асимптотический вид

(4)

где оператор £>,' определен правилом D]v = — + v(Q. Обычно операторы

д1

дробного дифференцирования появляются в задачах о блуждании частицы по строго фрактальным линиям. Тот факт, что такие операторы определяют поведение частиц в поле случайных сил нетривиален. В §2.1.3 приведено обобщение на случай корреляционной функции произвольного вида. Показано, что на пространственных масштабах, больших корреляционной длины и на временах, больших диффузионного времени, соответствующего корреляционной длине случайного поля, общая структура уравнения для средний концентрации не зависит от вида корреляционной функции и имеет форму уравнения (4), но с другими коэффициентами, численные значения которых определяются видом корреляционной функции. В §2.2 метод диаграммной техники применен к уравнению (1), которое описывает процесс переноса примесных частиц в пористой среде При этом нужно иметь в виду, что для уравнения (1) правила соответствия диаграмм членам ряда по корреляционным функциям другие, чем для уравнения (3) Показано, что в одномерном случае при гауссовом характере стохастичности проницаемости е(х) и для корреляционной функции

экспоненциального вида у/п(х,,х2) = а1е ' , где / - корреляционная длина, уравнение переноса частиц, при малых амплитудах флуктуаций (а02 < 1 ), на масштабах больших /, и на временах больших диффузионного времени имеет вид интегродифференциального уравнения или уравнения с дробными производными по времени

дх дI

(5)

где Я = °/^2 (е - среднее значение пористости), т = ,г/п , - оператор

/е / и0

дробного дифференцирования порядка ^ в смысле Римана-Лиувилля

При всей своей наглядности, метод суммирования определенного класса диаграмм, с помощью которого было получено уравнение (5), имеет свом недостатки. Прежде всего, этот метод эффективно работает в случае, когда проницаемость имеет статистические свойства нормального случайного поля. Для полей с другими стохастическими свойствами построение диаграммной техники проблематично Кроме того, для разных видов равнений требуется своя диаграммная техника. В связи с этим, в §2.3, рассмотрен еще один метод получения замкнутой системы уравнений, описывающих перенос частиц в случайных средах. Этот метод лишен недостатков, присущих методу последовательных приближений, и состоит в следующем. От исходного уравнения (1) для пористой среды берутся функциональные производные по

пористости различных порядков:-= /Лх,х,,...х„). После усреднения

8е(х,).. .&(*„)

полученных уравнений по реализациям случайного поля е(х), с учетом формулы В.И.Кпяцкина, получается бесконечная цепочка зацепляющихся уравнений в обычных производных для средних значений (/„). Для малых флуктуаций (а* «1) эту цепочку уравнений можно оборвать и получить два связанных уравнения для (,и(х,1)} и (Мх,х,,1)). После исключения из этой системы (/(я,*,,/)) найдено уравнение для (и(х,0) , которое в указанном приближении при малых корреляционных длинах совпадает с уравнением (5). При этом характер стохастичности не существенен. Разумеется, этим методом можно рассмотреть высшие приближения, при этом результат будет зависеть от статистических свойств проницаемости. В §2.4 метод функциональных производных применен к модели трубчатой среды, перенос частиц в которой описывается уравнением (2). Для малых флуктуаций (а02«1) и при малых корреляционных длинах (как и для случая пористой среды) получено уравнение для средней концентрации

(6)

31 дх дх

где у = 'Ч ; 7 = . ^ = (ё = ссив) (в- угол наклона трубки к оси

0+-*) (1 + Луг е

абсцисс); Д^ - производная в смысле Римана-Лиувилля-Капуто

= -Ц \о - г)'"2^)^+У(0 )Си1

V» 9

Сравнивая уравнения (6), (5) и (4), видим, что на масштабах больших корреляционной длины и на временах больших диффузионного уравнения для средней концентрации содержат операторы дифференцирования дробного порядка.

В Главе 3 проведен анализ уравнений (5) и (6), соответственно для пористой и трубчатой сред. В §3.1 методом теории возмущений получено аналитическое решение уравнения (5) с точностью до первого порядка по малому параметру щ= 1/ ( / - корреляционная длина, х0 - масштаб измерения

/ хч

координаты). В нулевом приближении, то есть при щ = 0. Уравнение (5) переходит в обычное уравнение диффузии, но с перенормированным коэффициентом диффузии £> = £>0(1-Л) Этот эффект перенормировки оказывает радикальное влияние на распределение примесей в пространстве. В предельном случае, когда £> = 0 (Л ~ 1) диффузия в нулевом приближении отсутствует, поскольку реализуется плотная упаковка зерен. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 1 и

2, где показана зависимость нормированной средней концентрации ^("о^/ от

координаты х' при различных временах (х0- масштаб измерения координаты,

х' = х/х0; г = дг02 /й0) для начального распределения и(х,0) = ЬЗ(х).

Рис. 1 Зависимость для 0 = 1,^ = 0 Рис. 2 Зависимость для £> = 0.1,77 = О

Найденные поправки к нулевому приближению. Показывают, что при X ~ 1 даже при малых % , решение для концентрации не удовлетворяет физическим требованиям. В связи с этим приведено численное решение уравнения (5), справедливое при всех параметрах. В частности, получено численное и аналитическое решение для случая, когда эффективный коэффициент диффузии равен нулю (Л = 1). В этом случае, при отличной от нуля корреляционной длине, происходит диффузия примесей, причем, квадрат средней глубины проникновения частиц в среду пропорционален корреляционной длине. В этом, в частности, проявляется явление аномальной диффузии Численное решение для этого случая представлено на рис.3.

соответствии с формулой £> = й0ег ~—Д-. Найдено численное, а в случае, когда

Рис. 3 Зависимость для О = 0, г\ = 1

В §3.2 исследовано уравнение (6) для трубчатой среды. Проведен анализ решения этого уравнения, аналогично случаю пористой среды. Показано, что при нулевой корреляционной длине, но при отличной от нуля амплитуде флуктуаций угла наклона трубок, происходит перенормировка коэффициента диффузии, в

(1+Л)

Л = 1 (0 = 0) и асимптотическое решение уравнения (6) для средней концентрации. Также как и в случае пористой среды, при £) = 0 происходит проникновение примесей на расстояние порядка 41 ■ Показано, что при малых I и Л, решения уравнений для пористой и трубчатой сред практически совпадают. В §3.3 подробно исследован эффект аномальной диффузии в пористой и трубчатой средах. В обычных средах среднее значение квадрата смещения частицы за

время г определяется в одномерном случае выражением х' = 2£>0/. В случайных средах этот закон нарушается. Показано, что в пористых средах

7-2 дьл-аи+^^М (7)

т/я

/2Л2(2 + Л)2 _

Из (7) видим, что при I»---, х2 = 2£)0(1-Л)< и имеет место обычная

я£>0( 1-Л)

диффузия с перенормированным коэффициентом диффузии, а при

/2А2(2 +А)2 — 4Щ2+Л)Ж у I«-1-V и х =-г2, то есть на указанных временах имеет

яОоО-Л)

место аномальная (медленная) диффузия В предельном случае, когда эффективный коэффициент диффузии равен нулю (Л = 1), имеет место только

аномальная диффузия и х2 ~ Л. В этом же параграфе исследовано явление аномальной диффузии для трубчатых сред. Выражение для среднего значения квадрата смещения примесей частицы за время / определяется выражением типа (7), но, разумеется, с другими коэффициентами.

В предыдущих главах при получении и анализе уравнений переноса примесей в случайных средах мы ограничивались одномерным случаем, когда диффузия частиц происходит вдоль одной из осей. Разумеется, одномерные

задачи физически обоснованы и могут быть на практике реализованы. Однако, существует большое количество физических ситуаций, когда необходимо исследовать диффузию примесей в трехмерном пространстве В связи с этим в Главе 4 рассмотрен процесс диффузии частиц в пористой случайной среде. Уравнение переноса (1) в пористой среде введением новой случайной величины

т](г) = 1п переходит в уравнение

/ Ео

- £>0Ди = Л0Уг1 • V« , (8)

от

которое является обобщением на трехмерный случай уравнения (3). В такой форме уравнение (8) эквивалентно уравнению диффузии в поле случайных сил с потенциальной функцией т](г) Это уравнение можно интерпретировать и как уравнение переноса примесей, происходящего на фоне безвихревого движения жидкости со скоростью 9 = 41]. Именно такая интерпретация принята в [2] при анализе стационарного случая (8) В §4.1 сформулированы правила диаграммной техники для нестационарной задачи и приведено решение в переменных Фурье-Лапласа через сумму неприводимых диаграмм В §4.2 для случая когда г/(г) имеет статистические свойства нормального случайного поля с корреляционной

г

функцией </(?,,?2) = (17('5Ж*2)) = аое 'О+у) С - корреляционная длина, г = \г, -г2\)

на пространственных масштабах больших корреляционной длины получено уравнение для средней концентрации

+ = (9)

где г = , - оператор дробной производной по времени порядка ^ ;

оператор О,' определен правилом £>,'у = — + у(г,0*)5(/) . Уравнение (9)

Ы

справедливо при всех временах. В асимптотическом пределе при <»г уравнение (9) принимает более простой вид

8Я-О0(Х-а±)Ь(и) = ^[м1 -3 А,К}Д<и) (10)

Из этого уравнения видно, что происходит перенормировка коэффициента

диффузии: О = £>0^1 - j Это выражение для £> совпадает с тем, которое было

получено в [2] в стационарном случае. Наличие оператора дробного дифференцирования порядка ^ указывает на эффект аномальной диффузии,

который подробно изучен в §4.3.1. В этом параграфе, исходя их уравнения (9), получено среднее значение квадрата смещения частицы

•5 . N п _

(11)

ЧН^НИ^И*

3) ° Я

где у/(а,с, х) - вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми. В неслучайных средах = о) г1 = 6О0/. В случайных средах, как это видно из (11), этот закон нарушается. При / = 0 (г = 0); г2 = 6Г>0[ 1 как и в обычных средах,

но с перенормированным О = у При больших временах 0» г) среднее

значение квадрата смещения определяется выражением

г* =60П| 1-— 1/ —64

2> О0а^

+ 18£>0аоТ,

(12)

из которого видно, что при малых временах уравнение (10) несправедливо, как и должно быть. Показано, что точное выражение (11) стремится к асимптотическому

достаточно быстро; разность между ними ~ {у^^2 ■ Ниже, на рис.4, приведена зависимость величины—— от 1/т при а* =0.9.

6 Д. г

6/Лг

Рис. 4 Зависимость для случая а] = 0.9

На этом графике сплошная линия определяется выражением (11), которое является следствием точного уравнения (9). Пунктирная линия соответствует приближенной формуле (12), следующей из асимптотического равнения (10). В §4.3.2 для сравнения с трехмерным случаем рассмотрен одномерный случай переноса в поле случайных сил. С помощью уравнения (З)найдено среднее значение квадрата смещения частицы

__(. ->1 . ,

X

(13)

справедливое при всех временах и из уравнения (4) найдено

асимптотическое выражение для х при I» г

7 = + (14)

Как и в трехмерном случае происходит перенормировка коэффициента диффузии. Однако, характер аномальной диффузии, то есть зависимость среднего квадрата смещения от времени, существенно иной Кроме того, сходимость точного решения (13) к асимптотическому довольно медленная

Разность этих выражений при I» г пропорциональна [у^2 ■

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы и обозначены некоторые из задач, которые хотелось бы рассмотреть в дальнейшем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены уравнения переноса частиц в пористых и трубчатых средах. При этом уравнение для пористых сред отличается от общепринятых зависимостью эффективного коэффициента диффузии от концентрации зерен, между которыми происходит перемещение примесных частиц. Параметры сред, то есть концентрация зерен в случае пористой среды и угол наклона трубок к выбранной оси, являются случайными функциями координат с любым характером стохастичности.

2. Разработан метод усреднения исходных уравнений, приводящий в общем случае к бесконечной системе уравнений для средних значений функциональных производных от концентрации примесных частиц. Показано, что для относительно малых флуктуаций параметров среды можно получить замкнутую систему уравнений, описывающих перенос частиц в случайных средах в требуемом приближении.

3. Получено разложение средней концентрации частиц в ряд по корреляционным функциям случайного поля пористости. Частично (для гауссова случайного поля), разработана диаграммная техника, позволяющая получить решение с любой степенью точности. Показано, что суммирование определенного класса диаграмм приводит к тем же уравнениям, что и в методе функциональных производных.

4 Найдены уравнения диффузии для средней концентрации, содержащие дробные производные по времени. Область действия найденных уравнений - пространственные масштабы, большие корреляционной длины случайного поля параметров Показано, что на временах, больших диффузионного времени, вид уравнений слабо зависит от вида корреляционной функции случайного поля. Обычно подобные интегро-дифференциальные уравнения естественным образом возникают при блуждании частиц по фрактальным кривым. Тот факт, что для сред, параметры которых являются случайными функциями, получаются аналогичные уравнения, нетривиален. 5. Показано, что уравнения диффузии в дробных производных в предельном случае нулевой корреляционной длины случайного поля пористости или изгиба трубок, сводятся к обычному уравнению диффузии с перенормированным коэффициентом диффузии. В случае ненулевой корреляционной длины найдено общее решение для среднего квадрата смещения частицы при случайном блуждании. Найдено, что на определенном интервале времен, коэффициент диффузии аномальным зависит от времени, то есть наблюдается эффект медленной (аномальной) диффузии.

Наряду с результатами, полученными в диссертации, отметим несколько проблем, которые в значительной степени остались незатронутыми.

Уравнения диффузии в дробных производных получены в предположении, что корреляционная функция имеет экспоненциальный вид как у телеграфного случайного поля. Было бы интересно получить уравнение диффузии при других стохастических свойствах среды, используя разработанные в диссертации методы.

Было бы полезно применить разработанную здесь диаграммную для более тонкого анализа процесса переноса. В частности, найти другие суммируемые классы диаграмм, что позволит при разумных предположениях более точно

решить исходные уравнения Например, получить уравнение в высших втором порядках по корреляционной длине.

Используемые в диссертации методы естественно применимы и к другим уравнениям Например, можно рассмотреть диффузию в среде из трубок постоянного сечения. При этом получаются уравнения, отличные от приведенных здесь На этом примере можно сравнить получаемое решение с тем, которое реализовалось бы при случайном блуждании по строго фрактальной кривой Кроме чисто диффузионных задач, можно предлагаемыми методами исследовать и другие задачи Например, можно получить дифференциальное уравнение для коэффициента прохождения плоской волны, в диэлектрической среде со случайным показателем преломления.

Эти и другие проблемы и задачи предполагается исследовать в дальнейшей работе.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Erochenkova G., R. Lima. On a tracer flow through irregular packed bed // Physica A, V.275, 2000, P. 297-309.

2. Dean D.S., Drummond I.I. and Horgan R.R. Perturbations schemes for flow in random media // J. Phys. A: Math. Gen., V.27, 1994, P. 5135-5144.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

3. Логвинова К.В., Морозов В.П. Уравнение переноса в случайных средах // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика, Т.З, 2002, С. 69-73.

4. Логвинова К.В. Диффузия в дельта-коррелированной гауссовой случайной среде // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика, Т.4, 2003, С 88-91.

5. Рябов М.В, Морозов В.П., Логвинова К.В. Массоперенос в расплавах при растворении металлической границы // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика, Т.4, 2003, С. 83-87.

6. Logvinova K.V. Diffusion in Gauss Random Media II Труды VIII международной конференции Кограф-2003. Н.Новгород: НГТУ, 2003, С. 17-21.

7. Логвинова К.В, Ниель М.-Кр. Дробная диффузия в неоднородной пористой среде: метод последовательных приближений // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика, Т.9, 2004, С. 33-44.

8. Козырев О.Р., Логвинова К.В. О некоторых фундаментальных свойствах дробных операторов // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика, Т.6, 2004, С. 20-22.

9. Logvinova K.V., Kozyrev O.R., Stepanyants Y.A., Morozov V.P. Diffusion in Random Porous Media // Intern. Conference Topical Problems of Nonlinear Physics N PW-3, Nizhny Novgorod, 2003, P.145-146.

10. Logvinova K.V., Neel M-Cr. A Fractional Equation for Anomalous Diffusion in a Randomly Heterogeneous Porous Media // Chaos, V.14, N4, 2004, P. 982-987.

11. Logvinova K.V., Neel M-Cr. Contaminant Spreading in Heterogeneous Porous Media // Book of Abstracts International Calculus "Fractional Calculus and Applications (FDA 04)". Bordeaux, France (2004), P. 369-372.

12. Logvinova K.V., Morozov V.P. Transportation of Substance in Random Media // Book of Abstracts of VI International Congress of Mathematical Modeling, Nizhny Novgorod, 2004, P.207.

13.Logvinova K.V., Nell M-Cr. Fractional Model for Solute Spreading in Heterogeneous Porous Media: a Fractional Model // Book of Abstract XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM04). Warsaw, Poland, (2004), P.114. 14 Logvinova K.V., Neel M-Cr. Fractional diffusion in heterogeneous porous media' an approach via method of successive approximations // ENOC-2005, Eindhoven, Netherlands, August 2005. P.17-23.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ ПРИМЕСЕЙ В ПОРИСТЫХ И ТРУБЧАТЫХ СРЕДАХ

1 1. Диффузия в случайной пористой среде

1 2 ДиффУзия в случайной трубчатой среде

1 3. Случайные поля

13 1. Телеграфное случайное поле

13 2. Нормальное случайное поле Реализация

1 4. Производные дробного порядка

1.4.1 Определения

1 4.2 Преобразования Лапласа для дробных производных 1 5 Некоторые фундаментальные свойства дробных операторов

1 6 Выводы к главе I.

Глава II Методы получения дифференциальных уравнений в дробных производных для средней концентрации

2 1 Построение диаграммной техники для задачи диффузии в поле случайных сил

2 11 Диаграммная техника в переменных Фурье - Лапласа 2.12 Приближение малых флуктуаций

2 13 Обобщение на случай корреляционной функции общего вида 2 2 Построение диаграммной техники для задачи диффузии в пористой среде 2 2.1 Диаграммное представление результатов 2 2 2 Приближение малых флуктуаций 2 3 Пористая среда Метод функциональных производных

2 4 Трубчатая среда Метод функциональных производных 2.5. Выводы к главе II

ГЛАВА III РЕШЕНИЯ БАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СРЕДНЕЙ КОНЦЕНТРАЦИИ В ПОРИСТОЙ И ТРУБЧАТОЙ СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ

3 1 Решение уравнения диффузии в пористой среде 3 11 Нулевое приближение

3 1.2. Первое приближение

3.1.3 Численное уравнение базового уравнения

3.2. Решение уравнений диффузии в трубчатой среде

3.2 1 Нулевое приближение

3 2 2. Первое приближение

3 2 3 Численное уравнение базового уравнения

3 3 Эффект аномальной диффузии в трубчатой и пористой средах

3 3.1 Аномальная диффузия в модели трубчатой среды

3 3.2. Аномальная диффузия в модели пористой среды

3 4. Выводы к главе III

ГЛАВА IV ДИФФУЗИЯ В ПОЛЕ СЛУЧАЙНЫХ СИЛ. ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

4 1 Диаграммная техника для пористой среды в трехмерном случае 4 2 Малые флуктуации. Уравнение в дробных производных

4 3 Аномальная диффузия в трехмерном и одномерном случаях

4 31. Трехмерный случай

4.3.2. Одномерный случай

4 4 Выводы к главе IV

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Кира Владимировна Логвинова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ СО СЛУЧАЙНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

Подписано в печать 7.11.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Зак 1475. Тир. 100.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лиц. ПД № 18-0099 от 04.05.2001. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

№2 2 337 i

РНБ Русский фонд

2006-4

22621 г

Г