Точные результаты в теории процессов переноса в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

АРХИНЧЕЕВ ВАЛЕРИЙ ЕФИМОВИЧ

ТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ТЕОРИИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

специальность 01.04.07 " Физика твердого тела "

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1998

Работа выполнена в Бурятском государственном университете и Институте физике полупроводников Сибирского Отделения РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Баскин Э.М. доктор физико-математических наук, профессор Двуреченский A.B. кандидат физико-математических наук, доцент Политыко С.И. Новосибирский государственный университет

Защита состоится "19 " марта 1998 г. в 10 часов на заседании специализированного совета Д 063.32.03 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003 , г.Иркутск, бульв. Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета

Автореферат разослан "10 " февраля 1998 г

Ученый секретарь

специализированного совета, ' А I- \ у *

кандидат физико-математических наукР* Мангазеев Б.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Свойства неоднородных и некристаллических материалов: аморфных, гегерофазных, сильно легированных и компенсированных полупроводников, халькогенидных стекол,

поликристаллов и других интенсивно исследуются в последнее время. Необходимость более глубокого понимания физических явлений, происходящих в средах с высокой степенью неоднородности, связана с широким использованием этих материалов в микроэлектронике. Возрастающий интерес к физике сильно неоднородных сред обусловлен также логикой развития физики твердого тела. В отличие от высокого уровня качественного понимания и количественного описания явлений, происходящих в кристаллических твердых телах, в области физики неоднородных материалов прогресс не столь значителен. Многие представления традиционной физики кристаллических твердых тел нельзя непосредственно примерить для описания неупорядоченных сред, поскольку последние не обладают трансляционной инвариантностью. Качественное понимание процессов переноса в сильно неоднородных средах связано с теорией протекания ( регсоЫшп ). Она адекватно описывает системы с

геометрическим фазовым переходом по связности. Иначе говоря, большой класс явлений, для которых связность играет решающую роль, можно изучать методами теории протекания. Кроме того, они легко моделируются на ЭВМ. В последние годы было опубликовано значительное количество работ по иерколяции. Это связано с активным освоением новых понятий для описания неупорядоченных срсд : фракталей, дробных хаусдорфовых размерностей и др. . В настоящее время идеи фрактальной геометрии получили широкое распространение. Фрактальная структура оказалась присуща многим физическим явлениям. В свою очередь, фрактальные размерности отражают симметрию фрактальных структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности могут служить характеристиками изучаемых систем. Согласно сложившейся точке зрения фрактали разделяют на два класса : регулярные и случайные, статистические. Примерами первых могут служить разнообразные паркеты Серпинского. Перколяционные кластеры на пороге протекания относятся к статистическим фракталям.

Более того, оказалось, что многие физические явления в неоднородных средах приобретают совершенно другой характер. В качестве примера укажем изменение характера диффузии при случайном блуждании в неоднородных средах, получившее название аномальной диффузии. Аномальность заключается в необычной зависимости среднеквадратичного смещения от времени:

Здесь 0 - критический индекс аномальной диффузии. Численное значение индекса существенно зависит от объекта, по которому идет диффузия. Например, в двумерном случае он равен 0.8 . В однородной среде средний квадрат смещения линеен по времени и не зависит от мерности просранства.

Цель работы заключается в исследовании процессов переноса; аномальной диффузии, протекания тока и релаксации в неоднородных средах с использованием представлений фрактальной геометрии.

Научная новизна: для описания аномальной диффузии предложены обобщенные уравнения в дробных производных. Рассмотрен переход от аномальной диффузии к обычной в двух моделях. Изучена связь между диффузией и проводимостью в случае аномальной диффузии. Показано, что возможны два альтернативных поведения подвижности частиц в электрическом поле:

- движение с постоянной нелинейной по электрическому полю подвижностью

-уменьшение подвижности со временем в постоянном электрическом

поле

При рассмотрении протекания тока в случайно неоднородной двухфазной среде, помещенной в магнитное поле, установлены более простые точные соотношения для эффективных характеристик неоднородной системы и проведено их обобщение на случай переменного электрического поля. Решена задача об эффективных характеристиках двумерной случайно неоднородной среды из смеси холловской и металлической фаз в широком

интервале концентраций, именно, пока имеется протекание по хояловской фазе.

Влияние неоднородности на релаксацию заряда рассмотрено в различных моделях неоднородной среды. Показано, что неоднородность среды приводит к существенно немаксвелловскому поведению. Например, в смеси металл- диэлектрик на пороге протекания и на регулярных фракталях заряд релаксирует степенным образом. Также установлено, что в условиях

квантового эффекта Холла (CJXX = о СТху= const) релаксация избыточной

плотности заряда возможна только в неоднородной среде и носит необычный осцилляционньш характер.

Аппробация работы . Основные результаты диссертации докладывались на 12 (Ереван-85), 13 (Ташкент-87) и 14 (Донецк-89) Всесоюзных конференциях по теории полупроводников,3 Всесоюзном семинаре "Электронные свойства двумерных систем" (Новосибирск-89), 12 Международной конференции по аморфным и жидким полупроводникам (Венгрия-86), 4 Международной конференции по прыжковой проводимости (Германия-91), семинарах лаборатории теоретической физики ИФП СО РАН. научных сессиях Бурятского научного центра и БГУ.

Цикл работ "Точные результаты в теории процессов переноса в сильно неоднородных средах", вошедших в диссертацию, был отмечен 3 премией в конкурсе молодых ученых Сибирского отделения Академии наук по фундаментальным исследованиям 1990 г.

Публикации . По теме диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трехглав, заключения и списка литературы. Изложена на 108 страницах машинописного текста. В списке литературы 85 наименований

Во введении обсуждаются актуальность темы, новизна, цель диссертации. Приведено краткое содержание работы с указанием основных результатов.

Первая глава посвящена проблеме описания аномальной диффузии в неоднородных средах и на фракталях. Аномальность заключается в необычной зависимости среднеквадратичного смещения от времени Линейная зависимость квадрата смещения от времени представлялась универсальной, поэтому отклонение от такой зависимости-аномалыюе поведение неоднократно проверялась путем численного моделирования [1]. Отметим также, что связь между диффузией и проводимостью в общем случае неочевидна. Проблема состоит в том, что определяемый обычным образом коэффициент диффузии обращается в ноль, т.е. согласно соотношению Эйнштейна обращается в ноль и подвижность частицы. С другой стороны, очевидно, смещение должно бьгть ненулевым. Рассмотрению этих вопросов посвящена первая глава.

В пункте 1.1 посредством ренорм-групповых преобразований в реальном пространстве рассмотрена диффузия на регулярных фрактальных структурах. Такой подход позволяет установить аномальный характер диффузии на фракталях и указывает на необходимость использования аппарата дробных производных для описания аномальной диффузии. Аномальная диффузия в модели однородной изотропной среды, являющейся аналогом приближения эффективной среды для диффузионных задач, рассмотрена в

nl.2. Показано, что в этом приближении уравнение диффузии имеет вид уравнения непрерывности с необычным диффузионным током в дробных пространственных производных.Предложена интерполяция, учитывающая переход от аномальной диффузии к обычной. Решение задачи об аномальной диффузии на гребешковой структуре представлено в п 1.3. Эта модель описывает влияние "мертвых концов" - тупиков на характер диффузии [2]. Получено альтернативное уравнение диффузии в дробных временных производных Исследована статистика случайных блужданий вдоль оси структуры. Рассмотрен переход к обычной диффузии путем погружения гребешковой структуры в плохо проводящую среду и за счет введения конечной длины ребер. Установлена связь с задачей диффузии с непрерывным распределением времен захвата на ловушки ( continious time random walk ) [3] . Выражение для функции Грина задачи с аномальной диффузией в обоих случаях на больших временах имеет негауссов вид :

G (x,t) ~ ехр (- А [х4/1]1/3)

В п 1.4 показано, что в случае аномальной диффузии в однородной изотропной среде полевой ток и электрическое поле связаны нелинейным образом:

J ~ Е1+0

Степень нелинейности описывается критическим индексом аномальной диффузии. Таким образом, при обычной диффузии имеет место закон Ома, в модели однородной среды с аномальной диффузией связь тока с полем

оказывается нелинейной в сколь угодно слабых электрических полях. Другими словами, закон Ома не всегда выполняется. Диффузия по гребешковой

структуре в электрическом поле изучается в п 1.5. Показано, что подвижность центра тяжести в постоянном электрическом поле уменьшается со временем по закону:

Рассмотрено влияние электрического поля на статистику блужданий. В п 1.6 дано описание численного моделирования дрейфа па перколяционных кластерах и приведены результаты расчета подвижности на малых и больших временах. Показано, что на малых временах подвижность частицы уменьшается со временем степенным образом:

и а> ~гг

Установлено также стационарное значение подвижности на больших временах и сильных полях . Она оказывается нелинейной функцией электрического поля вследствие захвата в ловушки, индуцированные электрическим полем:

ц(Е) ~ ехр(-яЕЬ/кТ)

Такое поведение явялется результатом двоякой роли электрического поля. Помимо дрейфа электрическое поле в неоднородных средах порождает ловушки.В качестве ловушек выступают участки путей, направленные против поля.

Вторая глава посвящена изучению протеканию тока в двухфазной неоднородной двумерной среде. Эта модель относится к числу немногих точно решаемых моделей и подробно изучалась в работах [4, 5] . Были определены эффективные проводимость и холловский фактор системы на пороге

протекания. В п 2.1 изучаются свойства двухфазной среды в магнитном поле методом Дыхне и получены соотношения дуальности в более простом виде:

(<У е(с) ± О е (-8 ) ) / (а !+СТ 2) = фс(с) ± (- 8) )/ф, + (52)

На их основе определена структура эффективных характеристик системы в магнитном поле. В п.2.2 с использованием дуальных соотношений установлен линейный изоморфизм между задачами проводимости и о гальваномагнитных свойствах двухфазной двумерной среды. Далее в п.2.3 проведено обобщение этих соотношений на случай переменного электрического поля. В п.2.4 изучены гальваномагнитные свойства и распределение тепла в бинарной системе при равных концентрациях фаз. Точное решение задачи об эффективных характеристиках системы из смеси металлической и холловской фаз в широком интервале концентраций изложено в п.2.5. Показано, что пока имеется протекание по холловской фазе эффективные характеристики неоднородной среды постоянны и равны значениям в холловской фазе:

<УххС=0

С7 6= 0 (1) и ху иху

При конечной диссипации отклонение от плато пропорционально квадрату диссипативной части тензора проводимости:

8а ^ ~ (Он: )2

В третьей главе изучена релаксация избыточной плотности заряда в неоднородных средах. Показано, что неоднородность среды приводит к

существенно немаксвелловскому характеру релаксации. В п 3.1 немаксвелловское поведение установлено в модели гребешковой среды. Изменение плотности частиц в этой же модели при одновременном учете диффузии и релаксации изучено в п 3.2. Задача о распределении электрического потенциала и растекании заряда в бикристалле (неоднородной среды из двух полубескопечных сред с различными проводимостями ) решена в п 3.3. Обобщение максвелловского закона на случай слоистых и случайно неоднородных двухфазных материалов проведено в п 3.4. Релаксация заряда в условиях квантового эффекта Холла (КЭХ) исследована в п 3.5. Показано, что в условиях КЭХ растекание заряда возможно только в неоднородной среде вдоль границ неоднородности и носит осцилляционный характер. В п 3.6 рассмотрено растекание заряда на регулярных фрактальных структурах по средством ренорм-групповых преобразований.

В заключение сформулированы основные полученные результаты :

1. Выведены обобщенные диффузионные уравнения в дробных производных для описания аномальной диффузии в сильно неоднородных средах

2. Исследована связь между диффузией и проводимостью при аномальном характере диффузии в модели однородной изотропной среды, гребешковой структуре и путем численного моделирования на перколяционных кластерах.

3. Установлены соотношения дуальности для эффективных характеристик бинарной системы и проведено их обобщение на динамический случай.

4. Решена задача о квантовом эффекте Холла в неоднородной двухфазной среде и определены эффективные характеристики системы в широком интервале концентраций, пока имеется протекание но холловской фазе

5. Найдены обобщенные релаксационные немаксвелловские законы в двухфазных неоднородных материалах и на регулярных фракталях

Цитируемая литература:

1. D.Stauffer // Introduction to percolation theory Taylor & Frances.London. 1985

2. G.Weiss,S.Havlin // Physica A. 1986.V. 134.P.474

3. M.Shlesinger // J.Stat.Phys. 1974.V. 10.P.421

4. А.М.Дыхне ЖЭТФ.1970.Т.59.С.110 А.М.Дыхне ЖЭТФ. 1970.T.59.C.640

5. БЛ.Балагуров ЖЭТФ. 1981 .Т.81 .С.665

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Arkhincheev V.E., Baskin E.M., Batiyev E.G. Diffusion and conductivity in percolation systems near percolation threshold // Journal of non-crystalline solids 1987 V.90.P.21 -24

2. Архинчссв B E. Эффективная проводимост ь трехмерной двухфазной среды //Письма в ЖЭТФ, 1989.Т.50.С.293-295

3. Arkhincheev V.E.,Batiyev E.G. То the theory of the Quantum Hall Effect in inhomogeneous medium // Solid State Communications 1989. V. 12.P. 1059-1060

4. Архинчеев B.E. Релаксация заряда в неоднородной среде // ЖЭТФ. 1990.Т.97.С. 1379-1384

5. Arkhincheev V.E. Exact relations and galvanomagnetic properties of the inhomogeneous two-dimensional medium // Physica Status Solidi(B) 1990.V.161.P. 815-821

6. Архинчеев B.E. Релаксация заряда на фрактальных структурах // Письма в ЖЭТФ 1990.Т.52.С. 1007-1009

7. Архинчеев В.Е. Релаксация заряда в слоистых и случайно неоднородных двухфазных средах// ЖЭТФ 1991.Т.99.С.803-808

8. Архинчеев В.Е., Баскин Э.М. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров // ЖЭТФ 1991. Т.100.С.292-300.

9. Arkhincheev V.E. Exact solution of diffusion problem on a random comb structure // Proc. of 4 Intern, conf.

of hopping .1991.Marburg

10. Arkhincheev V E. To the theory of diffusion on

percolation systems with traps // Proc. of 4 Intern, conf. of hopping.1991 .Marburg.

11. Arkhincheev V.E. Oscillator character of charge relaxation under Quantum Hall Effect conditions // Proc. of Intern, conf. of hopping. 1991.Marburg

12. Arkhincheev V.E. Anomalous diffusion in inhomogeneous medium: some exact results // Modelling Measurement & Control 1993. V.49.N.2.P.11-29

13. Архинчеев B E. О распределении тока в холловской среде

с металлическими включениями // Препринт БНЦ СО РАН. 1997. С.14-16

14. Архинчеев В.Е. О связи диффузии и проводимости при случайном блуждании по самоподобным кластерам И Препринт БНЦ СО РАН. 1997.С.17-20 Письма в ЖЭТФ.1998.В печати.